Konstruirajmo interval pouzdanosti u MS EXCEL-u za procjenu srednje vrijednosti distribucije u slučaju poznate vrijednosti disperzije.

Naravno izbor razina povjerenja potpuno ovisi o problemu koji se rješava. Dakle, stupanj povjerenja zračnog putnika u pouzdanost zrakoplova nedvojbeno bi trebao biti veći od stupnja povjerenja kupca u pouzdanost električne žarulje.

Formulacija problema

Pretpostavimo da iz populacija nakon što je uzeto uzorak veličina n. Pretpostavlja se da standardna devijacija ova raspodjela je poznata. Na temelju ovoga potrebno je uzorci procijeniti nepoznato srednja vrijednost distribucije(μ, ) i konstruirajte odgovarajuće dvostran interval pouzdanosti.

Procjena bodova

Kako je poznato iz statistika(označimo to X prosj) je nepristrana procjena srednje vrijednosti ovaj populacija i ima raspodjelu N(μ;σ 2 /n).

Bilješka: Što učiniti ako trebate graditi interval pouzdanosti u slučaju distribucije koja nije normalan? U ovom slučaju, dolazi do spašavanja, koji navodi da s dovoljno velikom veličinom uzorci n iz distribucije ne biti normalan, uzorak distribucije statistike X prosj htjeti približno dopisivati ​​se normalna distribucija s parametrima N(μ;σ 2 /n).

Tako, bodovna procjena prosjek vrijednosti raspodjele imamo - ovo srednja vrijednost uzorka, tj. X prosj. Sada počnimo interval pouzdanosti.

Konstruiranje intervala povjerenja

Obično, znajući distribuciju i njene parametre, možemo izračunati vjerojatnost da će slučajna varijabla uzeti vrijednost iz intervala koji navedemo. Sada učinimo suprotno: pronađimo interval u koji će slučajna varijabla pasti sa zadanom vjerojatnošću. Na primjer, iz svojstava normalna distribucija poznato je da s vjerojatnošću od 95%, slučajna varijabla raspodijeljena preko normalno pravo, bit će unutar raspona od približno +/- 2 od Prosječna vrijednost(vidi članak o). Ovaj interval će nam poslužiti kao prototip interval pouzdanosti.

Sada da vidimo znamo li distribuciju , izračunati ovaj interval? Da bismo odgovorili na pitanje, moramo naznačiti oblik distribucije i njezine parametre.

Znamo oblik distribucije - ovo je normalna distribucija(zapamtite o čemu govorimo distribucija uzorkovanja statistika X prosj).

Parametar μ nam je nepoznat (samo ga treba procijeniti pomoću interval pouzdanosti), ali imamo njegovu procjenu X prosjek, izračunato na temelju uzorci, koji se mogu koristiti.

Drugi parametar - standardna devijacija srednje vrijednosti uzorka smatrat ćemo ga poznatim, jednak je σ/√n.

Jer ne znamo μ, tada ćemo izgraditi interval +/- 2 standardne devijacije ne od Prosječna vrijednost, a iz njegove poznate procjene X prosj. Oni. prilikom izračunavanja interval pouzdanosti to NEĆEMO pretpostaviti X prosj spada u raspon +/- 2 standardne devijacije od μ s vjerojatnošću od 95%, a pretpostavit ćemo da je interval +/- 2 standardne devijacije iz X prosj s 95% vjerojatnosti će pokriti μ – prosjek opće populacije, iz koje je preuzeto uzorak. Ova dva iskaza su ekvivalentna, ali nam drugi iskaz omogućuje konstruiranje interval pouzdanosti.

Nadalje, razjasnimo interval: slučajna varijabla raspodijeljena preko normalno pravo, s vjerojatnošću od 95% spada u interval +/- 1,960 standardne devijacije, ne +/- 2 standardne devijacije. To se može izračunati pomoću formule =NORM.ST.REV((1+0,95)/2), cm. primjer datoteke Sheet Interval.

Sada možemo formulirati vjerojatnosnu tvrdnju koja će nam poslužiti za oblikovanje interval pouzdanosti:
„Vjerojatnost da populacijska srednja vrijednost koji se nalazi od prosjek uzorka unutar 1.960" standardna odstupanja srednje vrijednosti uzorka", jednako 95%".

Vrijednost vjerojatnosti navedena u izjavi ima poseban naziv , koji je povezan sa razina značajnosti α (alfa) jednostavnim izrazom razina povjerenja =1 -α . U našem slučaju razina značajnosti α =1-0,95=0,05 .

Sada, na temelju ove vjerojatnosne izjave, pišemo izraz za izračunavanje interval pouzdanosti:

gdje je Z α/2 – standard normalna distribucija(ova vrijednost slučajne varijable z, Što P(z>=Z α/2 )=α/2).

Bilješka: Gornji α/2-kvantil definira širinu interval pouzdanosti V standardne devijacije srednja vrijednost uzorka. Gornji α/2-kvantil standard normalna distribucija uvijek veće od 0, što je vrlo zgodno.

U našem slučaju, s α=0,05, gornji α/2-kvantil jednako 1,960. Za ostale razine značajnosti α (10%; 1%) gornji α/2-kvantil Z α/2 može se izračunati pomoću formule =NORM.ST.REV(1-α/2) ili, ako je poznato razina povjerenja, =NORM.ST.OBR((1+razina pouzdanosti)/2).

Obično prilikom gradnje intervali pouzdanosti za procjenu srednje vrijednosti koristiti samo gornji α/2-kvantil i ne koristite niži α/2-kvantil. To je moguće jer standard normalna distribucija simetrično u odnosu na os x ( njegovu gustoću distribucije simetrično oko prosjek, tj. 0). Stoga nema potrebe kalkulirati niži α/2-kvantil(jednostavno se zove α /2-kvantil), jer jednako je gornji α/2-kvantil sa znakom minus.

Podsjetimo se da, unatoč obliku distribucije vrijednosti x, odgovarajuća slučajna varijabla X prosj distribuiran približno Fino N(μ;σ 2 /n) (vidi članak o). Stoga, općenito, gornji izraz za interval pouzdanosti samo je aproksimacija. Ako je vrijednost x raspodijeljena na normalno pravo N(μ;σ 2 /n), zatim izraz za interval pouzdanosti je točan.

Izračun intervala pouzdanosti u MS EXCEL-u

Idemo riješiti problem.
Vrijeme odgovora elektroničke komponente na ulazni signal važna je karakteristika uređaja. Inženjer želi konstruirati interval pouzdanosti za prosječno vrijeme odgovora na razini pouzdanosti od 95%. Iz prethodnog iskustva, inženjer zna da je standardna devijacija vremena odziva 8 ms. Poznato je da je za procjenu vremena odziva inženjer napravio 25 mjerenja, prosječna vrijednost bila je 78 ms.

Riješenje: Inženjer želi znati vrijeme odziva elektroničkog uređaja, ali razumije da vrijeme odziva nije fiksna vrijednost, već slučajna varijabla koja ima vlastitu distribuciju. Dakle, najbolje čemu se može nadati je da odredi parametre i oblik ove distribucije.

Nažalost, iz uvjeta problema ne znamo oblik distribucije vremena odziva (ne mora biti normalan). , ova distribucija je također nepoznata. Samo on je poznat standardna devijacijaσ=8. Stoga, dok ne možemo izračunati vjerojatnosti i konstruirati interval pouzdanosti.

Međutim, unatoč tome što nam nije poznata distribucija vrijeme odvojeni odgovor, to znamo prema CPT, distribucija uzorkovanja prosječno vrijeme odziva je otprilike normalan(pretpostavit ćemo da uvjeti CPT provode se, jer veličina uzorci prilično velik (n=25)) .

Štoviše, prosjek ova raspodjela je jednaka Prosječna vrijednost distribucija jednog odgovora, tj. μ. A standardna devijacija ove distribucije (σ/√n) može se izračunati pomoću formule =8/ROOT(25) .

Također je poznato da je inženjer primio bodovna procjena parametar μ jednak 78 ms (X prosj.). Dakle, sada možemo izračunati vjerojatnosti, jer znamo oblik distribucije ( normalan) i njegove parametre (X avg i σ/√n).

Inženjer želi znati očekivana vrijednostμ raspodjele vremena odgovora. Kao što je gore navedeno, ovo μ je jednako matematičko očekivanje distribucije uzorka prosječnog vremena odgovora. Ako koristimo normalna distribucija N(X avg; σ/√n), tada će željeni μ biti u rasponu +/-2*σ/√n s vjerojatnošću od približno 95%.

Razina značajnosti jednako 1-0,95=0,05.

Na kraju, pronađimo lijevu i desnu granicu interval pouzdanosti.
Lijevi rub: =78-NORM.ST.REV(1-0.05/2)*8/ROOT(25) = 74,864
Desni rub: =78+NORM.ST.INV(1-0,05/2)*8/ROOT(25)=81,136

Lijevi rub: =NORM.REV(0,05/2; 78; 8/ROOT(25))
Desni rub: =NORM.REV(1-0,05/2; 78; 8/ROOT(25))

Odgovor: interval pouzdanosti na 95% razina pouzdanosti i σ=8msec jednaki 78+/-3,136 ms.

U primjer datoteke na Sigma listu poznat, stvorio obrazac za obračun i konstrukciju dvostran interval pouzdanosti za proizvoljno uzorci sa zadanim σ i razina značaja.

Funkcija CONFIDENCE.NORM().

Ako vrijednosti uzorci su u rasponu B20:B79 , A razina značajnosti jednako 0,05; zatim MS EXCEL formula:
=PROSJEK(B20:B79)-POVJERENJE.NORM(0,05;σ; BROJ(B20:B79))
vratit će lijevu granicu interval pouzdanosti.

Ista granica može se izračunati pomoću formule:
=PROSJEK(B20:B79)-NORM.ST.REV(1-0,05/2)*σ/ROOT(BROJ(B20:B79))

Bilješka: Funkcija CONFIDENCE.NORM() pojavila se u MS EXCEL 2010. U ranijim verzijama MS EXCEL-a korištena je funkcija TRUST().

Interval pouzdanosti za matematičko očekivanje - ovo je interval izračunat iz podataka koji s poznatom vjerojatnošću sadrži matematičko očekivanje opće populacije. Prirodna procjena matematičkog očekivanja je aritmetička sredina njegovih promatranih vrijednosti. Stoga ćemo tijekom cijele lekcije koristiti pojmove "prosjek" i "prosječna vrijednost". U problemima izračuna intervala pouzdanosti, odgovor koji se najčešće traži je nešto poput "Interval pouzdanosti prosječnog broja [vrijednosti u određenom problemu] je od [manje vrijednosti] do [veće vrijednosti]." Pomoću intervala pouzdanosti možete procijeniti ne samo prosječne vrijednosti, već i udio određene karakteristike opće populacije. U lekciji se govori o prosječnim vrijednostima, disperziji, standardnoj devijaciji i pogrešci preko kojih ćemo doći do novih definicija i formula. Obilježja uzorka i populacije .

Točkaste i intervalne procjene srednje vrijednosti

Ako se prosječna vrijednost populacije procjenjuje brojem (točkom), tada se kao procjena nepoznate prosječne vrijednosti populacije uzima određeni prosjek koji se izračunava iz uzorka opažanja. U ovom slučaju vrijednost uzorkačke sredine – slučajne varijable – ne podudara se sa srednjom vrijednošću opće populacije. Stoga, kada označavate srednju vrijednost uzorka, morate istovremeno navesti pogrešku uzorkovanja. Mjera greške uzorkovanja je standardna greška, koja se izražava u istim jedinicama kao i srednja vrijednost. Stoga se često koristi sljedeća oznaka: .

Ako procjenu prosjeka treba povezati s određenom vjerojatnošću, tada se parametar od interesa u populaciji mora procijeniti ne jednim brojem, već intervalom. Interval povjerenja je interval u kojem se s određenom vjerojatnošću P nalazi se vrijednost procijenjenog pokazatelja populacije. Interval pouzdanosti u kojem je to vjerojatno P = 1 - α pronađena je slučajna varijabla, izračunata na sljedeći način:

,

α = 1 - P, koji se može naći u dodatku gotovo svake knjige o statistici.

U praksi srednja vrijednost populacije i varijanca nisu poznati, pa se varijanca populacije zamjenjuje varijancom uzorka, a srednja vrijednost populacije sredinom uzorka. Stoga se interval pouzdanosti u većini slučajeva izračunava na sljedeći način:

.

Formula intervala pouzdanosti može se koristiti za procjenu srednje vrijednosti populacije ako

• poznata je standardna devijacija populacije;
• ili je standardna devijacija populacije nepoznata, ali je veličina uzorka veća od 30.

Srednja vrijednost uzorka je nepristrana procjena srednje vrijednosti populacije. S druge strane, varijanca uzorka nije nepristrana procjena varijance populacije. Za dobivanje nepristrane procjene varijance populacije u formuli varijance uzorka, veličina uzorka n treba zamijeniti sa n-1.

Primjer 1. Od 100 nasumično odabranih kafića u određenom gradu prikupljen je podatak da je prosječan broj zaposlenih u njima 10,5 sa standardnom devijacijom od 4,6. Odredite 95% interval pouzdanosti za broj zaposlenih u kafiću.

gdje je kritična vrijednost standardne normalne distribucije za razinu značajnosti α = 0,05 .

Tako se 95%-tni interval pouzdanosti za prosječan broj zaposlenih u kafiću kretao od 9,6 do 11,4.

Primjer 2. Za slučajni uzorak iz populacije od 64 opažanja, izračunate su sljedeće ukupne vrijednosti:

zbroj vrijednosti u promatranjima,

zbroj kvadrata odstupanja vrijednosti od prosjeka .

Izračunajte interval pouzdanosti od 95% za matematičko očekivanje.

Izračunajmo standardnu ​​devijaciju:

,

Izračunajmo prosječnu vrijednost:

.

Zamjenjujemo vrijednosti u izraz za interval pouzdanosti:

gdje je kritična vrijednost standardne normalne distribucije za razinu značajnosti α = 0,05 .

Dobivamo:

Stoga je 95%-tni interval pouzdanosti za matematičko očekivanje ovog uzorka bio u rasponu od 7,484 do 11,266.

Primjer 3. Za slučajni uzorak populacije od 100 opažanja, izračunata sredina je 15,2, a standardna devijacija je 3,2. Izračunajte 95% interval pouzdanosti za očekivanu vrijednost, zatim 99% interval pouzdanosti. Ako snaga uzorka i njezina varijacija ostanu nepromijenjeni, a koeficijent pouzdanosti raste, hoće li se interval pouzdanosti suziti ili proširiti?

Zamjenjujemo ove vrijednosti u izraz za interval pouzdanosti:

gdje je kritična vrijednost standardne normalne distribucije za razinu značajnosti α = 0,05 .

Dobivamo:

.

Stoga je 95%-tni interval pouzdanosti za srednju vrijednost ovog uzorka bio u rasponu od 14,57 do 15,82.

Ponovno zamijenimo ove vrijednosti u izrazu za interval pouzdanosti:

gdje je kritična vrijednost standardne normalne distribucije za razinu značajnosti α = 0,01 .

Dobivamo:

.

Stoga je 99% interval pouzdanosti za srednju vrijednost ovog uzorka bio u rasponu od 14,37 do 16,02.

Kao što vidimo, kako se koeficijent pouzdanosti povećava, kritična vrijednost standardne normalne distribucije također raste, i, posljedično, početna i završna točka intervala nalaze se dalje od srednje vrijednosti, a time se povećava interval pouzdanosti za matematičko očekivanje .

Točkaste i intervalne procjene specifične težine

Udio nekog atributa uzorka može se interpretirati kao procjena udjela str istih karakteristika u općoj populaciji. Ako ovu vrijednost treba povezati s vjerojatnošću, tada treba izračunati interval pouzdanosti specifične težine str karakterističan u populaciji s vjerojatnošću P = 1 - α :

.

Primjer 4. U nekom gradu postoje dva kandidata A I B kandidiraju se za gradonačelnika. Nasumično je anketirano 200 stanovnika grada, od kojih je 46% odgovorilo da bi glasalo za kandidata A, 26% - za kandidata B a 28% ne zna za koga će glasati. Odredite interval pouzdanosti od 95% za udio stanovnika grada koji podržavaju kandidata A.

Svrha usluge. Pomoću ove usluge možete odrediti:

• interval pouzdanosti za opću sredinu, interval pouzdanosti za varijancu;
• interval pouzdanosti za standardnu ​​devijaciju, interval pouzdanosti za opći udio;

Primjer br. 1. Na kolektivnoj farmi, od ukupnog stada od 1000 ovaca, 100 ovaca je podvrgnuto selektivnoj kontrolnoj striži. Kao rezultat, utvrđen je prosječan ostrig vune od 4,2 kg po ovci. Odredite s vjerojatnošću od 0,99 srednju kvadratnu pogrešku uzorka pri određivanju prosječnog striženja vune po ovci i granice unutar kojih se nalazi vrijednost striženja ako je varijanca 2,5. Uzorak se ne ponavlja.
Primjer br. 2. Iz serije uvezenih proizvoda na postaji Moskovske sjeverne carine uzeto je 20 uzoraka proizvoda "A" slučajnim ponovljenim uzorkovanjem. Kao rezultat ispitivanja utvrđen je prosječni sadržaj vlage proizvoda „A“ u uzorku, koji se pokazao jednakim 6% sa standardnom devijacijom od 1%.
S vjerojatnošću 0,683 odredite granice prosječnog sadržaja vlage proizvoda u cijeloj seriji uvezenih proizvoda.
Primjer br. 3. Istraživanje 36 studenata pokazalo je da je prosječan broj udžbenika koje su pročitali tijekom akademske godine jednak 6. Uz pretpostavku da broj udžbenika koje student pročita po semestru ima normalan zakon raspodjele sa standardnom devijacijom jednakom 6, pronađite : A) s pouzdanošću od 0,99 intervalne procjene za matematičko očekivanje ove slučajne varijable; B) s kojom vjerojatnošću možemo reći da će prosječan broj udžbenika koje student pročita po semestru, izračunat iz ovog uzorka, odstupati od matematičkog očekivanja u apsolutnoj vrijednosti za najviše 2.

Klasifikacija intervala povjerenja

Prema vrsti uzorka:

1. Interval pouzdanosti za beskonačan uzorak;
2. Interval pouzdanosti za konačni uzorak;

Izračun prosječne pogreške uzorkovanja za slučajno uzorkovanje

Formule prosječne pogreške uzorkovanja
ponovni odabir		ponoviti odabir
za prosjek	za udio	za prosjek	za udio

Formule za izračunavanje veličine uzorka korištenjem metode isključivo slučajnog uzorkovanja