Formula za volumen piramide u smislu trokutnog kuta. Formule za volumen pravilne trokutaste piramide
Jedna od najjednostavnijih volumetrijskih figura je trokutasta piramida, jer se sastoji od najmanjeg broja lica od kojih se može oblikovati lik u prostoru. U ovom ćemo članku razmotriti formule pomoću kojih možete pronaći volumen trokutaste pravilne piramide.
trokutasta piramida
Prema općoj definiciji, piramida je poligon čiji su svi vrhovi povezani s jednom točkom koja se ne nalazi u ravnini tog poligona. Ako je potonji trokut, tada se cijela figura naziva trokutasta piramida.
Razmatrana piramida sastoji se od baze (trokuta) i tri bočne strane (trokuta). Točka u kojoj su spojene tri bočne strane naziva se vrh figure. Okomica spuštena na podnožje iz tog vrha je visina piramide. Ako se točka sjecišta okomice s bazom podudara s točkom sjecišta medijana trokuta na bazi, tada se govori o pravilnoj piramidi. Inače će biti nagnut.
Kao što je rečeno, baza trokutaste piramide može biti opći trokut. Međutim, ako je jednakostrana, a sama piramida ravna, onda se govori o ispravnoj trodimenzionalnoj figuri.
Svaki ima 4 lica, 6 bridova i 4 vrha. Ako su duljine svih bridova jednake, tada se takva figura naziva tetraedar.
opći tip
Prije nego što zapišemo pravilnu trokutastu piramidu, dat ćemo izraz za ovu fizikalnu veličinu za piramidu općeg tipa. Ovaj izraz izgleda ovako:
Ovdje je S o površina baze, h je visina figure. Ova jednakost će vrijediti za bilo koju vrstu baze poligona piramide, kao i za stožac. Ako se na osnovici nalazi trokut čija je stranica duljine a i visina h o spuštena na nju, tada će formula za volumen biti zapisana na sljedeći način:
Formule za volumen pravilne trokutaste piramide
Triangular ima jednakostranični trokut u osnovi. Poznato je da je visina ovog trokuta s duljinom njegove stranice povezana jednakošću:
Zamjenom ovog izraza u formulu za volumen trokutaste piramide, napisanu u prethodnom odlomku, dobivamo:
V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.
Volumen pravilne piramide s trokutastom bazom je funkcija duljine stranice baze i visine figure.
Budući da se svaki pravilan mnogokut može upisati u krug čiji polumjer jednoznačno određuje duljinu stranice mnogokuta, tada se ova formula može napisati u terminima odgovarajućeg polumjera r:
Ovu formulu lako je dobiti iz prethodne, s obzirom da je polumjer r opisane kružnice kroz duljinu stranice a trokuta određen izrazom:
Zadatak određivanja volumena tetraedra
Pokažimo kako koristiti gornje formule u rješavanju specifičnih geometrijskih problema.
Poznato je da tetraedar ima brid duljine 7 cm.Nađite volumen pravilne trokutaste piramide-tetraedra.
Podsjetimo se da je tetraedar pravilna trokutasta piramida u kojoj su sve baze međusobno jednake. Da biste upotrijebili formulu za volumen pravilne trokutaste piramide, morate izračunati dvije količine:
- duljina stranice trokuta;
- visina figure.
Prva vrijednost poznata je iz uvjeta zadatka:
Da biste odredili visinu, razmotrite lik prikazan na slici.
Označeni trokut ABC je pravokutni trokut kojem je kut ABC 90o. Stranica AC je hipotenuza, čija je duljina a. Jednostavnim geometrijskim zaključivanjem može se pokazati da stranica BC ima duljinu:
Primijetimo da je duljina BC polumjer kruga opisane oko trokuta.
h \u003d AB \u003d √ (AC 2 - BC 2) \u003d √ (a 2 - a 2 / 3) \u003d a * √ (2/3).
Sada možete zamijeniti h i a u odgovarajuću formulu za volumen:
V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .
Tako smo dobili formulu za volumen tetraedra. Vidi se da volumen ovisi samo o duljini rebra. Ako u izraz zamijenimo vrijednost iz uvjeta zadatka, dobivamo odgovor:
V \u003d √2 / 12 * 7 3 ≈ 40,42 cm 3.
Ako tu vrijednost usporedimo s volumenom kocke koja ima isti brid, dobivamo da je volumen tetraedra 8,5 puta manji. To ukazuje da je tetraedar kompaktna figura, koja se realizira u nekim prirodnim tvarima. Na primjer, molekula metana je tetraedarska, a svaki atom ugljika u dijamantu povezan je s četiri druga atoma u tetraedar.
Problem s homotetičkim piramidama
Riješimo jedan zanimljiv geometrijski problem. Pretpostavimo da postoji trokutasta pravilna piramida nekog volumena V 1 . Koliko puta treba smanjiti veličinu te figure da bi se dobila njoj homotetična piramida tri puta manjeg volumena od izvorne?
Počnimo rješavati problem ispisivanjem formule za izvornu pravilnu piramidu:
V 1 \u003d √3 / 12 * a 1 2 * h 1.
Neka se volumen figure koji zahtijeva uvjet zadatka dobije množenjem njezinih parametara s koeficijentom k. Imamo:
V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .
Budući da je omjer volumena figura poznat iz uvjeta, dobivamo vrijednost koeficijenta k:
k \u003d ∛ (V 2 / V 1) \u003d ∛ (1/3) ≈ 0,693.
Imajte na umu da bismo sličnu vrijednost koeficijenta k dobili i za proizvoljan tip piramide, a ne samo za običnu trokutastu.
Definicija. Bočno lice- ovo je trokut u kojem jedan kut leži na vrhu piramide, a njegova suprotna strana poklapa se sa stranom baze (poligon).
Definicija. Bočna rebra su zajedničke stranice bočnih stranica. Piramida ima onoliko bridova koliko uglova ima mnogokut.
Definicija. visina piramide je okomica spuštena s vrha na bazu piramide.
Definicija. Apotema- ovo je okomica bočne strane piramide, spuštena s vrha piramide na stranu baze.
Definicija. Dijagonalni presjek- ovo je presjek piramide ravninom koja prolazi kroz vrh piramide i dijagonalu baze.
Definicija. Ispravna piramida- Ovo je piramida kojoj je baza pravilan mnogokut, a visina se spušta do središta baze.
Volumen i površina piramide
Formula. volumen piramide kroz osnovnu površinu i visinu:
svojstva piramide
Ako su svi bočni bridovi jednaki, tada se oko baze piramide može opisati kružnica, a središte baze se poklapa sa središtem kružnice. Također, okomica spuštena s vrha prolazi središtem baze (kružnice).
Ako su sva bočna rebra jednaka, tada su nagnuta prema ravnini baze pod istim kutom.
Bočna rebra su jednaka kada tvore jednake kutove s ravninom baze ili ako se oko baze piramide može opisati kružnica.
Ako su bočne strane nagnute prema ravnini baze pod jednim kutom, tada se u bazu piramide može upisati krug, a vrh piramide projicira se u njezino središte.
Ako su bočne plohe nagnute prema ravnini baze pod jednim kutom, tada su apoteme bočnih ploha jednake.
Svojstva pravilne piramide
1. Vrh piramide je jednako udaljen od svih kutova baze.
2. Svi bočni rubovi su jednaki.
3. Sva bočna rebra su nagnuta pod istim kutom u odnosu na bazu.
4. Apoteme svih bočnih strana su jednake.
5. Površine svih bočnih ploha su jednake.
6. Sve plohe imaju iste diedralne (ravne) kutove.
7. Oko piramide se može opisati kugla. Središte opisane kugle bit će sjecište okomica koje prolaze sredinom bridova.
8. U piramidu se može upisati kugla. Središte upisane kugle bit će sjecište simetrala koje izlaze iz kuta između brida i baze.
9. Ako se središte upisane sfere poklapa sa središtem opisane sfere, tada je zbroj ravnih kutova pri vrhu jednak π ili obrnuto, jedan kut je jednak π / n, gdje je n broj kutova na dnu piramide.
Veza piramide s kuglom
Oko piramide se može opisati sfera kada u osnovi piramide leži poliedar oko kojeg se može opisati kružnica (nužan i dovoljan uvjet). Središte sfere bit će točka presjeka ravnina koje prolaze okomito kroz središta bočnih bridova piramide.
Oko svake trokutaste ili pravilne piramide uvijek se može opisati sfera.
U piramidu se može upisati kugla ako se simetrale unutarnjih diedarskih kutova piramide sijeku u jednoj točki (nužan i dovoljan uvjet). Ova točka će biti središte sfere.
Veza piramide sa stošcem
Stožac se naziva upisanim u piramidu ako se njihovi vrhovi poklapaju, a baza stošca je upisana u bazu piramide.
Stožac se može upisati u piramidu ako su apoteme piramide jednake.
Kaže se da je stožac opisan oko piramide ako se njihovi vrhovi poklapaju, a baza stošca je opisana oko baze piramide.
Stožac se može opisati oko piramide ako su svi bočni bridovi piramide međusobno jednaki.
Spoj piramide s valjkom
Za piramidu se kaže da je upisana u valjak ako vrh piramide leži na jednoj osnovici valjka, a baza piramide je upisana u drugu bazu cilindra.
Valjak se može opisati oko piramide ako se oko baze piramide može opisati kružnica.
Tetraedar ima četiri lica i četiri vrha i šest bridova, gdje bilo koja dva brida nemaju zajedničkih vrhova, ali se ne dodiruju.
Svaki vrh se sastoji od tri lica i bridova koji se tvore trokutni kut.
Segment koji povezuje vrh tetraedra sa središtem suprotne strane naziva se medijan tetraedra(GM).
Bimedijan naziva se isječak koji spaja središta suprotnih bridova koji se ne dodiruju (KL).
Svi bimedijani i medijani tetraedra sijeku se u jednoj točki (S). U ovom slučaju, bimedijani su podijeljeni na pola, a medijani u omjeru 3:1 počevši od vrha.
Definicija. Oštrokutna piramida je piramida u kojoj je apotem duži od polovice stranice baze.
Definicija. tupa piramida je piramida u kojoj je apotem manji od polovice duljine stranice baze.
Definicija. pravilni tetraedar Tetraedar čija su četiri lica jednakostranični trokuti. To je jedan od pet pravilnih poligona. U pravilnom tetraedru svi kutovi diedra (između ploha) i kutovi triedra (kod vrha) su jednaki.
Definicija. Pravokutni tetraedar tetraedar se naziva koji ima pravi kut između tri brida na vrhu (brdovi su okomiti). Formiraju se tri lica pravokutni trokutni kut a plohe su pravokutni trokuti, a baza je proizvoljan trokut. Apotem bilo kojeg lica jednak je polovici stranice baze na koju apotem pada.
Definicija. Izoedarski tetraedar Tetraedar se zove u kojem su bočne strane jednake jedna drugoj, a baza je pravilan trokut. Lica takvog tetraedra su jednakokračni trokuti.
Definicija. Ortocentrični tetraedar tetraedar se naziva kod kojeg se sve visine (okomice) koje su s vrha spuštene na suprotnu plohu sijeku u jednoj točki.
Definicija. zvjezdana piramida Poliedar čija je baza zvijezda naziva se.
Da biste pronašli volumen piramide, morate znati nekoliko formula. Razmotrimo ih.
Kako pronaći obujam piramide – 1. način
Volumen piramide može se pronaći pomoću visine i površine njezine baze. V = 1/3*S*h. Tako, na primjer, ako je visina piramide 10 cm, a površina njezine baze 25 cm 2, tada će volumen biti jednak V \u003d 1/3 * 25 * 10 \u003d 1 /3 * 250 \u003d 83,3 cm 3
Kako pronaći obujam piramide - 2. metoda
Ako pravilni mnogokut leži u podnožju piramide, tada se njegov volumen može pronaći pomoću sljedeće formule: V \u003d na 2 h / 12 * tg (180 / n), gdje je a strana poligona koja leži na baza, a n je broj njegovih stranica. Na primjer: Osnovica je pravilan šesterokut, odnosno n = 6. Budući da je pravilan, sve su mu stranice jednake, odnosno svi a su jednaki. Recimo a = 10 i h - 15. Umetnemo brojeve u formulu i dobijemo približan odgovor - 1299 cm 3
Kako pronaći obujam piramide - 3. način
Ako jednakostranični trokut leži u osnovi piramide, tada se njegov volumen može pronaći sljedećom formulom: V = ha 2 /4√3, gdje je a stranica jednakostraničnog trokuta. Na primjer: visina piramide je 10 cm, stranica baze je 5 cm. Volumen će biti jednak V \u003d 10 * 25 / 4 √ 3 \u003d 250 / 4 √ 3. Obično, ono što se dogodilo u nazivnik se ne izračunava i ostavlja u istom obliku. Također možete pomnožiti i brojnik i nazivnik s 4√3 da biste dobili 1000√3/48. Smanjivanjem dobivamo 125√ 3/6 cm 3.
Kako pronaći obujam piramide – 4. način
Ako kvadrat leži u podnožju piramide, tada se njegov volumen može pronaći sljedećom formulom: V = 1/3*h*a 2, gdje su a stranice kvadrata. Na primjer: visina - 5 cm, stranica kvadrata - 3 cm V \u003d 1/3 * 5 * 9 \u003d 15 cm 3
Kako pronaći obujam piramide - 5. način
Ako je piramida tetraedar, to jest, sva su joj lica jednakostranični trokuti, volumen piramide možete pronaći pomoću sljedeće formule: V = a 3 √2/12, gdje je a rub tetraedra. Na primjer: rub tetraedra \u003d 7. V \u003d 7 * 7 * 7√2 / 12 \u003d 343 cm 3
Riječ "piramida" nehotice se povezuje s veličanstvenim divovima u Egiptu, vjerno čuvajući mir faraona. Možda baš zato piramidu nepogrešivo prepoznaju svi, pa i djeca.
Ipak, pokušajmo mu dati geometrijsku definiciju. Zamislimo nekoliko točaka (A1, A2,..., An) na ravnini i još jednu (E) koja joj ne pripada. Dakle, ako se točka E (vrh) spoji s vrhovima poligona kojeg tvore točke A1, A2, ..., An (baza), dobiva se poliedar koji se naziva piramida. Očito, mnogokut u osnovi piramide može imati bilo koji broj vrhova, a ovisno o njihovom broju, piramida se može nazvati trokutasta i četverokutna, peterokutna itd.
Ako pažljivo pogledate piramidu, postat će vam jasno zašto je definirana drugačije - kao geometrijska figura s poligonom u podnožju i trokutima ujedinjenim zajedničkim vrhom kao bočnim stranama.
Budući da je piramida prostorna figura, ona također ima takvu kvantitativnu karakteristiku, jer se izračunava iz dobro poznate jednake trećine proizvoda baze piramide i njezine visine:
Volumen piramide, kada se izvodi formula, u početku se izračunava za trokutastu, uzimajući kao osnovu konstantan omjer koji povezuje ovu vrijednost s volumenom trokutaste prizme iste baze i visine, koja, kako se ispostavlja, je tri puta veći od ovog volumena.
A budući da je svaka piramida podijeljena na trokutaste piramide, a njezin volumen ne ovisi o konstrukcijama izvedenim u dokazu, valjanost gornje formule volumena je očita.
Među svim piramidama izdvajaju se one desne, u kojima se nalazi baza.Što se tiče, ona bi trebala "završavati" u središtu baze.
U slučaju nepravilnog poligona u podnožju, za izračun površine baze trebat će vam:
- razbiti ga u trokute i kvadrate;
- izračunajte površinu svakog od njih;
- dodati primljene podatke.
U slučaju pravilnog poligona u podnožju piramide, njegova se površina izračunava pomoću gotovih formula, tako da se volumen pravilne piramide izračunava vrlo jednostavno.
Na primjer, za izračun obujma četverokutne piramide, ako je pravilna, duljina stranice pravilnog četverokuta (kvadrata) na bazi se kvadrira i, pomnoži se s visinom piramide, dobiveni umnožak podijeli s tri.
Volumen piramide može se izračunati pomoću drugih parametara:
- kao trećina umnoška polumjera lopte upisane u piramidu i površine njezine ukupne površine;
- kao dvije trećine umnoška udaljenosti između dvaju proizvoljno uzetih rubova koji se križaju i površine paralelograma koji čini središta preostala četiri brida.
Volumen piramide također se izračunava jednostavno u slučaju kada se njena visina podudara s jednim od bočnih bridova, odnosno u slučaju pravokutne piramide.
Govoreći o piramidama, ne mogu se zanemariti krnje piramide dobivene rezanjem piramide ravninom paralelnom s bazom. Njihov volumen je gotovo jednak razlici između volumena cijele piramide i odsječenog vrha.
Prvi volumen piramide, iako ne sasvim u svom modernom obliku, ali jednak 1/3 volumena nama poznate prizme, pronašao je Demokrit. Arhimed je svoju metodu brojanja nazvao "bez dokaza", budući da je Demokrit piramidi pristupio kao liku sastavljenom od beskrajno tankih, sličnih ploča.
Pitanjem pronalaženja volumena piramide također se bavila vektorska algebra, koristeći za to koordinate njezinih vrhova. Piramida izgrađena na tripletu vektora a,b,c jednaka je jednoj šestini modula mješovitog umnoška zadanih vektora.
Ovdje ćemo analizirati primjere vezane uz pojam volumena. Da biste riješili takve zadatke, morate znati formulu za volumen piramide:
S
h - visina piramide
Baza može biti bilo koji poligon. Ali u većini zadataka na ispitu uvjet je, u pravilu, o ispravnim piramidama. Da vas podsjetim na jedno od njegovih svojstava:
Vrh pravilne piramide projiciran je u središte njezine baze
Pogledajte projekciju pravilne trokutaste, četverokutne i šesterokutne piramide (POGLED OD GORE):
Možete na blogu, gdje su obrađeni zadaci vezani za pronalaženje volumena piramide.Razmotrite zadatke:
27087. Odredite obujam pravilne trokutaste piramide s baznim stranicama jednakim 1 i visinom jednakom korijenu iz tri.
S- područje baze piramide
h- visina piramide
Pronađite površinu baze piramide, ovo je pravilan trokut. Koristimo formulu - površina trokuta jednaka je polovici umnoška susjednih stranica i sinusa kuta između njih, što znači:
Odgovor: 0,25
27088. Odredite visinu pravilne trokutaste piramide s baznim stranicama jednakim 2 i volumenom jednakim korijenu iz tri.
Koncepti kao što su visina piramide i karakteristike njezine baze povezani su formulom volumena:
S- područje baze piramide
h- visina piramide
Znamo sam volumen, možemo pronaći područje baze, jer su strane trokuta, koji je baza, poznate. Poznavajući ove vrijednosti, lako možemo pronaći visinu.
Da bismo pronašli površinu baze, koristimo formulu - površina trokuta jednaka je polovici umnoška susjednih stranica i sinusa kuta između njih, što znači:
Dakle, zamjenom ovih vrijednosti u formulu volumena, možemo izračunati visinu piramide:
Visina je tri.
Odgovor: 3
27109. U pravilnoj četverokutnoj piramidi visina je 6, bočni brid je 10. Nađite njezin volumen.
Volumen piramide izračunava se po formuli:
S- područje baze piramide
h- visina piramide
Znamo visinu. Morate pronaći područje baze. Dopustite mi da vas podsjetim da je vrh pravilne piramide projiciran u središte njezine baze. Osnova pravilne četverokutne piramide je kvadrat. Možemo pronaći njegovu dijagonalu. Razmotrimo pravokutni trokut (označen plavom bojom):
Segment koji spaja središte kvadrata s točkom B je krak koji je jednak polovici dijagonale kvadrata. Ovu nogu možemo izračunati pomoću Pitagorine teoreme:
Dakle, BD = 16. Izračunajte površinu kvadrata koristeći formulu površine četverokuta:
Stoga:
Dakle, volumen piramide je:
Odgovor: 256
27178. U pravilnoj četverokutnoj piramidi visina je 12, volumen 200. Nađite bočni brid ove piramide.
Poznata je visina piramide i njezin volumen, tako da možemo pronaći površinu kvadrata koji je baza. Znajući površinu kvadrata, možemo pronaći njegovu dijagonalu. Nadalje, razmatrajući pravokutni trokut, koristeći Pitagorin teorem, izračunavamo bočni rub:
Pronađite površinu kvadrata (osnova piramide):
Izračunaj dijagonalu kvadrata. Budući da je njegova površina 50, tada će stranica biti jednaka korijenu iz pedeset, a prema Pitagorinom teoremu:
Točka O dijeli dijagonalu BD popola, pa je krak pravokutnog trokuta OB = 5.
Dakle, možemo izračunati koliko je jednak bočni rub piramide:
Odgovor: 13
245353. Odredi obujam piramide prikazane na slici. Osnovica mu je mnogokut čije su susjedne stranice okomite, a jedan od bočnih bridova okomit je na ravninu osnovke i jednak je 3.
Kao što je više puta rečeno - volumen piramide izračunava se formulom:
S- područje baze piramide
h- visina piramide
Bočni brid okomit na bazu je tri, što znači da je visina piramide tri. Osnova piramide je poligon čija je površina:
Tako:
Odgovor: 27
27086. Osnova piramide je pravokutnik sa stranicama 3 i 4. Obujam joj je 16. Odredite visinu ove piramide.
