Tablica osnovnih formula za određeni integral. Osnovne formule i metode integracije

U školi mnogi ljudi ne uspijevaju riješiti integrale ili imaju poteškoća s njima. Ovaj članak će vam pomoći da to shvatite jer ćete u njemu pronaći sve. integralne tablice.

Sastavni jedan je od glavnih izračuna i koncepata u matematičkoj analizi. Njegov izgled rezultat je dvije svrhe:
Prvi gol- vratiti funkciju koristeći njezinu derivaciju.
Drugi gol- izračun površine koja se nalazi na udaljenosti od grafikona do funkcije f(x) na ravnoj liniji gdje je a veće ili jednako x veće ili jednako b i x-osi.

Ovi ciljevi nas vode do određenih i neodređenih integrala. Veza između ovih integrala leži u traženju svojstava i izračuna. Ali sve teče i sve se mijenja tijekom vremena, pronalazila su se nova rješenja, identificirali dodaci, čime su određeni i neodređeni integrali doveli do drugih oblika integracije.

Što se dogodilo neodređeni integral pitaš. Ovo je antiderivativna funkcija F(x) jedne varijable x u intervalu a većem od x većeg od b. naziva se bilo koja funkcija F(x), u zadanom intervalu za bilo koju oznaku x, derivacija je jednaka F(x). Jasno je da je F(x) antiderivacija za f(x) u intervalu a je veće od x je veće od b. To znači F1(x) = F(x) + C. C - je bilo koja konstanta i antiderivacija za f(x) u danom intervalu. Ova izjava je invertibilna; za funkciju f(x) - 2 antiderivacije se razlikuju samo u konstanti. Na temelju teorema integralnog računa ispada da je svaki kontinuiran u intervalu a

Određeni integral shvaća se kao granica u integralnim zbrojevima, ili u situaciji dane funkcije f(x) definirane na nekom pravcu (a,b) koji ima antiderivaciju F na sebi, što znači razliku njezinih izraza na krajevima danog retka F(b) - F(a).

Za ilustraciju proučavanja ove teme, predlažem da pogledate video. Detaljno govori i pokazuje kako pronaći integrale.

Svaka tablica integrala sama po sebi vrlo je korisna jer pomaže u rješavanju određene vrste integrala.

Sve moguće vrste dopisnice i ostalo. Možete kupiti putem online trgovine v-kant.ru. Ili samo slijedite vezu Stationery Samara (http://v-kant.ru) kvaliteta i cijene će vas ugodno iznenaditi.

Glavni integrali koje bi svaki student trebao znati

Navedeni integrali su baza, osnova temelja. Ove formule svakako treba zapamtiti. Kada računate složenije integrale, morat ćete ih stalno koristiti.

Obratite posebnu pozornost na formule (5), (7), (9), (12), (13), (17) i (19). Ne zaboravite dodati proizvoljnu konstantu C vašem odgovoru prilikom integriranja!

Integral konstante

∫ A d x = A x + C (1)

Integriranje funkcije snage

Naime, bilo je moguće ograničiti se samo na formule (5) i (7), ali ostali integrali iz ove skupine pojavljuju se toliko često da vrijedi malo obratiti pozornost na njih.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Integrali eksponencijalnih funkcija i hiperboličkih funkcija

Naravno, formula (8) (možda najprikladnija za pamćenje) može se smatrati posebnim slučajem formule (9). Formule (10) i (11) za integrale hiperboličkog sinusa i hiperboličkog kosinusa lako se izvode iz formule (8), no bolje je jednostavno zapamtiti te relacije.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Osnovni integrali trigonometrijskih funkcija

Pogreška koju učenici često čine je da brkaju predznake u formulama (12) i (13). Imajući na umu da je derivacija sinusa jednaka kosinusu, iz nekog razloga mnogi ljudi vjeruju da je integral funkcije sinx jednak cosx. Ovo nije istina! Integral od sinusa jednak je "minus kosinus", ali je integral od cosx jednak "samo sinus":

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Integrali koji se svode na inverzne trigonometrijske funkcije

Formula (16), koja vodi do arktangensa, prirodno je poseban slučaj formule (17) za a=1. Slično, (18) je poseban slučaj (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Složeniji integrali

Također je poželjno zapamtiti ove formule. Također se koriste prilično često, a njihov je rezultat prilično zamoran.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Opća pravila integracije

1) Integral zbroja dviju funkcija jednak je zbroju odgovarajućih integrala: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Integral razlike dviju funkcija jednak je razlici odgovarajućih integrala: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Konstanta se može uzeti iz predznaka integrala: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Lako je vidjeti da je svojstvo (26) jednostavno kombinacija svojstava (25) i (27).

4) Integral složene funkcije ako je unutarnja funkcija linearna: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Ovdje je F(x) antiderivacija za funkciju f(x). Imajte na umu: ova formula radi samo kada je unutarnja funkcija Ax + B.

Važno: ne postoji univerzalna formula za integral umnoška dviju funkcija, kao ni za integral razlomka:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (trideset)

To, naravno, ne znači da se frakcija ili produkt ne mogu integrirati. Samo što svaki put kad vidite integral poput (30), morat ćete izmisliti način da se "borite" protiv njega. U nekim slučajevima će vam pomoći integracija po dijelovima, u drugima ćete morati napraviti promjenu varijable, a ponekad mogu pomoći čak i "školske" formule iz algebre ili trigonometrije.

Jednostavan primjer izračunavanja neodređenog integrala

Primjer 1. Odredite integral: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Poslužimo se formulama (25) i (26) (integral zbroja ili razlike funkcija jednak je zbroju ili razlici odgovarajućih integrala. Dobivamo: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Podsjetimo se da se konstanta može izbaciti iz predznaka integrala (formula (27)). Izraz se pretvara u oblik

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​​​x d x + 12 ∫ 1 d x

Sada se samo poslužimo tablicom osnovnih integrala. Morat ćemo primijeniti formule (3), (12), (8) i (1). Integrirajmo funkciju snage, sinus, eksponencijal i konstantu 1. Ne zaboravite dodati proizvoljnu konstantu C na kraju:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Nakon elementarnih transformacija dobivamo konačan odgovor:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Testirajte se diferenciranjem: uzmite derivaciju dobivene funkcije i uvjerite se da je jednaka izvornom integrandu.

Zbirna tablica integrala

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ln | x | +C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

Tablicu integrala (II. dio) preuzmite s ove poveznice

Ako studirate na fakultetu, ako imate poteškoća s višom matematikom (matematička analiza, linearna algebra, teorija vjerojatnosti, statistika), ako trebate usluge kvalificiranog nastavnika, idite na stranicu nastavnika više matematike. Zajedno ćemo riješiti vaše probleme!

Moglo bi vas također zanimati

Nabrojimo integrale elementarnih funkcija, koji se ponekad nazivaju tabličnim:

Bilo koja od gornjih formula može se dokazati uzimanjem derivacije desne strane (rezultat će biti integrand).

Metode integracije

Pogledajmo neke osnovne metode integracije. To uključuje:

1. Metoda razgradnje(izravna integracija).

Ova se metoda temelji na izravnoj uporabi tabličnih integrala, kao i na uporabi svojstava 4 i 5 neodređenog integrala (tj. uzimanje konstantnog faktora iz zagrada i/ili predstavljanje integranda kao zbroja funkcija - dekompozicija integranda u članove).

Primjer 1. Na primjer, za pronalaženje(dx/x 4) možete izravno koristiti tablični integral zax n dx. U stvari,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Pogledajmo još nekoliko primjera.

Primjer 2. Da bismo ga pronašli, koristimo isti integral:

Primjer 3. Da biste ga pronašli, morate uzeti

Primjer 4. Da bismo pronašli, predstavljamo funkciju integranda u obliku i upotrijebi tablični integral za eksponencijalnu funkciju:

Uzmimo korištenje zagrada kao konstantan faktor.

Primjer 5.Pronađimo npr . S obzirom na to, dobivamo

Primjer 6. Naći ćemo ga. Jer , poslužimo se tabličnim integralom Dobivamo

U sljedeća dva primjera također možete koristiti integrale u zagradama i tablici:

Primjer 7.

(koristimo i );

Primjer 8.

(koristimo I ).

Pogledajmo složenije primjere koji koriste integral zbroja.

Primjer 9. Na primjer, pronađimo
. Da bismo primijenili metodu proširenja u brojniku, koristimo formulu kuba zbroja , a zatim dobiveni polinom podijelimo s nazivnikom, član po član.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Treba napomenuti da je na kraju rješenja ispisana jedna zajednička konstanta C (a ne zasebne kod integriranja svakog člana). Ubuduće se također predlaže izostavljanje konstanti iz integracije pojedinih članova u procesu rješavanja sve dok izraz sadrži barem jedan neodređeni integral (jednu konstantu ćemo napisati na kraju rješenja).

Primjer 10. Naći ćemo . Da bismo riješili ovaj problem, faktorizirajmo brojnik (nakon toga možemo smanjiti nazivnik).

Primjer 11. Naći ćemo ga. Ovdje se mogu koristiti trigonometrijski identiteti.

Ponekad, da biste rastavili izraz na pojmove, morate koristiti složenije tehnike.

Primjer 12. Naći ćemo . U integrandu odabiremo cijeli dio razlomka . Zatim

Primjer 13. Naći ćemo

2. Metoda zamjene varijable (metoda supstitucije)

Metoda se temelji na sljedećoj formuli: f(x)dx=f((t))`(t)dt, gdje je x =(t) funkcija diferencijabilna na intervalu koji se razmatra.

Dokaz. Nađimo izvodnice po varijabli t s lijeve i desne strane formule.

Primijetite da se na lijevoj strani nalazi složena funkcija čiji je srednji argument x = (t). Stoga, da bismo ga diferencirali s obzirom na t, prvo diferenciramo integral s obzirom na x, a zatim uzimamo derivaciju posrednog argumenta s obzirom na t.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Izvod s desne strane:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Budući da su ove derivacije jednake, prema Lagrangeovom teoremu, lijeva i desna strana formule koja se dokazuje razlikuju se za određenu konstantu. Budući da su sami neodređeni integrali definirani do neodređenog konstantnog člana, ta se konstanta može izostaviti iz konačnog zapisa. dokazano.

Uspješna promjena varijable omogućuje vam da pojednostavite izvorni integral, au najjednostavnijim slučajevima, smanjite ga na tablični. U primjeni ove metode razlikuju se linearne i nelinearne metode supstitucije.

a) Metoda linearne supstitucije Pogledajmo primjer.

Primjer 1.
. Neka je tada t= 1 – 2x

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Treba napomenuti da novu varijablu ne treba eksplicitno ispisivati. U takvim slučajevima se govori o transformaciji funkcije pod predznakom diferencijala ili o uvođenju konstanti i varijabli pod predznakom diferencijala, tj. O implicitna zamjena varijable.

Primjer 2. Na primjer, pronađimo cos(3x + 2)dx. Po svojstvima diferencijala dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), tada jecos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

U oba razmatrana primjera korištena je linearna supstitucija t=kx+b(k0) za pronalaženje integrala.

U općem slučaju vrijedi sljedeći teorem.

Teorem o linearnoj supstituciji. Neka je F(x) neka antiderivacija funkcije f(x). Tadaf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, gdje su k i b neke konstante,k0.

Dokaz.

Po definiciji integrala f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Izvadimo konstantni faktor k iz predznaka integrala: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Sada možemo lijevu i desnu stranu jednakosti podijeliti na dvoje i dobiti tvrdnju koju treba dokazati do oznake konstantnog člana.

Ovaj teorem kaže da ako u definiciji integrala f(x)dx= F(x) + C umjesto argumenta x zamijenimo izraz (kx+b), to će dovesti do pojave dodatnog faktor 1/k ispred antiderivacije.

Koristeći dokazani teorem rješavamo sljedeće primjere.

Primjer 3.

Naći ćemo . Ovdje je kx+b= 3 –x, tj. k= -1,b= 3. Tada

Primjer 4.

Naći ćemo ga. Evo kx+b= 4x+ 3, tj. k= 4,b= 3. Tada je

Primjer 5.

Naći ćemo . Ovdje je kx+b= -2x+ 7, tj. k= -2,b= 7. Tada

.

Primjer 6. Naći ćemo
. Ovdje je kx+b= 2x+ 0, tj. k= 2,b= 0.

.

Usporedimo dobiveni rezultat s primjerom 8 koji je riješen metodom dekompozicije. Rješavajući isti problem različitim metodama, dobili smo odgovor
. Usporedimo rezultate: Dakle, ovi se izrazi međusobno razlikuju stalnim članom , tj. Dobiveni odgovori nisu međusobno proturječni.

Primjer 7. Naći ćemo
. Odaberimo potpuni kvadrat u nazivniku.

U nekim slučajevima promjena varijable ne reducira integral izravno na tablični, ali može pojednostaviti rješenje, omogućujući korištenje metode proširenja u sljedećem koraku.

Primjer 8. Na primjer, pronađimo . Zamijenite t=x+ 2, tada dt=d(x+ 2) =dx. Zatim

,

gdje je C = C 1 – 6 (zamjenom izraza (x+ 2) umjesto prva dva člana dobivamo ½x 2 -2x– 6).

Primjer 9. Naći ćemo
. Neka je t= 2x+ 1, tada je dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Zamijenimo t izrazom (2x+ 1), otvorimo zagrade i navedimo slične.

Imajte na umu da smo u procesu transformacija prešli na drugi stalni član, jer skupina stalnih članova mogla bi se izostaviti tijekom procesa transformacije.

b) Metoda nelinearne supstitucije Pogledajmo primjer.

Primjer 1.
. Lett= -x 2. Dalje, moglo bi se izraziti x u smislu t, zatim pronaći izraz za dx i implementirati promjenu varijable u željenom integralu. Ali u ovom slučaju lakše je učiniti stvari drugačije. Nađimo dt=d(-x 2) = -2xdx. Imajte na umu da je izraz xdx faktor integranda željenog integrala. Izrazimo to iz dobivene jednakostixdx= - ½dt. Zatim

Dolje su navedene četiri glavne metode integracije.

1) Pravilo za integriranje zbroja ili razlike.
.
Ovdje i dolje u, v, w su funkcije integracijske varijable x.

2) Pomicanje konstante izvan predznaka integrala.
Neka je c konstanta neovisna o x. Tada se može izvaditi iz integralnog predznaka.

3) Metoda zamjene varijable.
Razmotrimo neodređeni integral.
Ako uspijemo pronaći takvu funkciju φ (x) od x, dakle
,
tada zamjenom varijable t = φ(x) imamo
.

4) Formula za integraciju po dijelovima.
,
gdje su u i v funkcije integracijske varijable.

Krajnji cilj izračunavanja neodređenih integrala je transformacijama svesti zadani integral na najjednostavnije integrale koji se nazivaju tablični integrali. Tablični integrali se izražavaju kroz elementarne funkcije pomoću poznatih formula.
Pogledajte tablicu integrala >>>

Primjer

Izračunajte neodređeni integral

Riješenje

Napominjemo da je integrand zbroj i razlika tri člana:
, i .
Primjenom metode 1 .

Zatim, primijetit ćemo da se integrandi novih integrala množe s konstantama 5, 4, I 2 , odnosno. Primjenom metode 2 .

U tablici integrala nalazimo formulu
.
Uz pretpostavku n = 2 , nalazimo prvi integral.

Prepišimo drugi integral u obliku
.
Primjećujemo da . Zatim

Upotrijebimo treću metodu. Mijenjamo varijablu t = φ (x) = log x.
.
U tablici integrala nalazimo formulu

Budući da se varijabla integracije može označiti bilo kojim slovom, onda

Prepišimo treći integral u obliku
.
Primjenjujemo formulu integracije po dijelovima.
Stavimo to.
Zatim
;
;

;
;
.

Napokon imamo
.
Sakupimo članove s x 3 .
.

Odgovor

Reference:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Zbirka zadataka iz više matematike, “Lan”, 2003.

Antiderivativna funkcija i neodređeni integral

Činjenica 1. Integracija je inverzna radnja diferencijacije, naime vraćanje funkcije iz poznate derivacije te funkcije. Funkcija je tako obnovljena F(x) Zove se antiderivativan za funkciju f(x).

Definicija 1. Funkcija F(x f(x) na nekom intervalu x, ako je za sve vrijednosti x iz ovog intervala vrijedi jednakost F "(x)=f(x), odnosno ovu funkciju f(x) je derivacija antiderivacijske funkcije F(x). .

Na primjer, funkcija F(x) = grijeh x je antiderivat funkcije f(x) = cos x na cijelom brojevnom pravcu, jer za bilo koju vrijednost x (grijeh x)" = (cos x) .

Definicija 2. Neodređeni integral funkcije f(x) je skup svih njegovih antiderivata. U ovom slučaju koristi se notacija

∫

f(x)dx

,

gdje je znak ∫ naziva integralni znak, funkcija f(x) – funkcija integranda, i f(x)dx – izraz integranda.

Dakle, ako F(x) – neki antiderivat za f(x) , To

∫

f(x)dx = F(x) +C

Gdje C - proizvoljna konstanta (konstanta).

Za razumijevanje značenja skupa antiderivacija funkcije kao neodređenog integrala prikladna je sljedeća analogija. Neka budu vrata (tradicionalna drvena vrata). Njegova je funkcija "biti vrata". Od čega su napravljena vrata? Napravljeno od drveta. To znači da je skup antiderivacija integranda funkcije “biti vrata”, odnosno njenog neodređenog integrala, funkcija “biti stablo + C”, gdje je C konstanta, koja u ovom kontekstu može označavaju, na primjer, vrstu drveta. Baš kao što su vrata izrađena od drva pomoću nekih alata, derivat funkcije je "napravljen" od antiderivativne funkcije pomoću formule koje smo naučili proučavajući izvod .

Zatim je tablica funkcija uobičajenih predmeta i njihovih odgovarajućih antiderivata ("biti vrata" - "biti drvo", "biti žlica" - "biti metal", itd.) slična tablici osnovnih neodređeni integrali, koji će biti navedeni u nastavku. U tablici neodređenih integrala navedene su uobičajene funkcije s naznakom antiderivacija od kojih su te funkcije “napravljene”. U dijelu zadataka nalaženja neodređenog integrala dani su integranti koji se mogu integrirati izravno bez većeg napora, odnosno pomoću tablice neodređenih integrala. U složenijim problemima, integrand se prvo mora transformirati kako bi se mogli koristiti tablični integrali.

Činjenica 2. Kada obnavljamo funkciju kao antiderivaciju, moramo uzeti u obzir proizvoljnu konstantu (konstantu) C, a kako ne biste pisali popis antiderivacija s raznim konstantama od 1 do beskonačno, trebate napisati skup antiderivacija s proizvoljnom konstantom C, na primjer, ovako: 5 x³+C. Dakle, proizvoljna konstanta (konstanta) je uključena u izraz antiderivacije, budući da antiderivacija može biti funkcija, npr. 5 x³+4 ili 5 x³+3 i kada se diferencira, 4 ili 3, ili bilo koja druga konstanta ide na nulu.

Postavimo problem integracije: za ovu funkciju f(x) pronaći takvu funkciju F(x), čiji derivat jednak f(x).

Primjer 1. Pronađite skup antiderivacija funkcije

Riješenje. Za ovu funkciju antiderivacija je funkcija

Funkcija F(x) naziva se antiderivacija za funkciju f(x), ako je derivat F(x) jednako je f(x), ili, što je isto, diferencijal F(x) je jednako f(x) dx, tj.

(2)

Dakle, funkcija je antiderivat funkcije. Međutim, to nije jedini antiderivat za . Oni također služe kao funkcije

Gdje S– proizvoljna konstanta. To se može provjeriti diferencijacijom.

Dakle, ako postoji jedna antiderivacija za funkciju, tada za nju postoji beskonačan broj antiderivacija koje se razlikuju po konstantnom članu. Sve antiderivacije za funkciju napisane su u gornjem obliku. To slijedi iz sljedećeg teorema.

Teorem (formalna izjava činjenice 2). Ako F(x) – antiderivacija za funkciju f(x) na nekom intervalu x, zatim bilo koji drugi antiderivat za f(x) na istom intervalu mogu se prikazati u obliku F(x) + C, Gdje S– proizvoljna konstanta.

U sljedećem primjeru prelazimo na tablicu integrala koja će biti dana u paragrafu 3, nakon svojstava neodređenog integrala. To radimo prije čitanja cijele tablice kako bi bila jasna suština navedenog. A nakon tablice i svojstava, koristit ćemo ih u cijelosti tijekom integracije.

Primjer 2. Pronađite skupove antiderivacijskih funkcija:

Riješenje. Pronalazimo skupove antiderivacijskih funkcija od kojih su te funkcije “napravljene”. Kad spominjemo formule iz tablice integrala, za sada samo prihvatite da takve formule postoje, a samu tablicu neodređenih integrala ćemo malo dalje proučiti.

1) Primjenom formule (7) iz tablice integrala za n= 3, dobivamo

2) Koristeći formulu (10) iz tablice integrala za n= 1/3, imamo

3) Budući da

tada prema formuli (7) sa n= -1/4 nalazimo

Pod znakom integrala nije zapisana sama funkcija. f, a njegov umnožak s diferencijalom dx. Ovo je prvenstveno učinjeno kako bi se pokazalo po kojoj se varijabli traži antiderivacija. Na primjer,

, ;

ovdje je u oba slučaja integrand jednak , ali se njegovi neodređeni integrali u razmatranim slučajevima pokazuju različitima. U prvom slučaju ova se funkcija smatra funkcijom varijable x, au drugom - kao funkcija z .

Proces pronalaženja neodređenog integrala funkcije naziva se integriranje te funkcije.

Geometrijsko značenje neodređenog integrala

Pretpostavimo da trebamo pronaći krivulju y=F(x) a već znamo da je tangens tangentnog kuta u svakoj njegovoj točki zadana funkcija f(x) apscisa ove točke.

Prema geometrijskom značenju izvoda, tangens kuta nagiba tangente u danoj točki krivulje y=F(x) jednaka vrijednosti derivata F"(x). Dakle, moramo pronaći takvu funkciju F(x), za koji F"(x)=f(x). Funkcija potrebna u zadatku F(x) je antiderivat od f(x). Uvjete problema ne zadovoljava jedna krivulja, već porodica krivulja. y=F(x)- jedna od tih krivulja, a iz nje se paralelnom translacijom duž osi može dobiti bilo koja druga krivulja Joj.

Nazovimo graf antiderivacijske funkcije od f(x) integralna krivulja. Ako F"(x)=f(x), zatim graf funkcije y=F(x) postoji integralna krivulja.

Činjenica 3. Neodređeni integral je geometrijski predstavljen skupom svih integralnih krivulja , kao na slici ispod. Udaljenost svake krivulje od ishodišta koordinata određena je proizvoljnom integracijskom konstantom C.

Svojstva neodređenog integrala

Činjenica 4. Teorem 1. Derivacija neodređenog integrala jednaka je integrandu, a njegov diferencijal jednak je integrandu.

Činjenica 5. Teorem 2. Neodređeni integral diferencijala funkcije f(x) jednaka je funkciji f(x) do konstantnog člana , tj.

(3)

Teoremi 1 i 2 pokazuju da su diferenciranje i integracija međusobno inverzne operacije.

Činjenica 6. Teorem 3. Konstantni faktor u integrandu može se skinuti s predznaka neodređenog integrala , tj.