Gore razmotren primjer omogućuje nam da zaključimo da vrijednosti korištene za analizu ovise o slučajnim razlozima, stoga se takve varijable nazivaju slučajan. U većini slučajeva nastaju kao rezultat opažanja ili eksperimenata, koji su tabelirani u prvom redu u kojem su zabilježene različite opažene vrijednosti slučajne varijable X, au drugom odgovarajuće frekvencije. Zato se ova tablica i zove empirijska distribucija slučajne varijable X ili varijacijske serije. Za niz varijacija pronašli smo srednju vrijednost, disperziju i standardnu devijaciju.

stalan, ako njegove vrijednosti u potpunosti ispunjavaju određeni numerički interval.

Slučajna varijabla se zove diskretna, ako se sve njegove vrijednosti mogu numerirati (osobito, ako uzima konačan broj vrijednosti).

Treba napomenuti dvije stvari karakteristična svojstva tablice diskretne slučajne varijable:

Svi brojevi u drugom retku tablice su pozitivni;

Njihov zbroj je jednak jedan.

Sukladno provedenom istraživanju, može se pretpostaviti da se povećanjem broja opažanja empirijska distribucija približava teorijskoj, prikazanoj u tabličnom obliku.

Važna karakteristika diskretne slučajne varijable je njezino matematičko očekivanje.

Matematičko očekivanje diskretna slučajna varijabla X, koja ima vrijednosti, , ..., .s vjerojatnostima , , ..., naziva se broj:

Očekivana vrijednost naziva se i srednja vrijednost.

Druge važne karakteristike slučajne varijable uključuju varijancu (8) i standardnu devijaciju (9).

gdje je: matematičko očekivanje vrijednosti X.

. (9)

Grafički prikaz informacija mnogo je vizualniji od tabličnog, pa se vrlo često koristi mogućnost MS Excel proračunskih tablica da podatke sadržane u njima prikažu u obliku različitih dijagrama, grafikona i histograma. Dakle, osim u tablici, distribucija slučajne varijable također je prikazana pomoću distribucijski poligon. Da biste to učinili, točke s koordinatama , , ... su konstruirane na koordinatnoj ravnini i povezane ravnim segmentima.

Da biste dobili distribucijski pravokutnik pomoću MS Excel-a, morate:

1. Odaberite karticu “Insert” ® “Area Chart” na alatnoj traci.

2. Desnom tipkom miša aktivirajte područje grafikona koje se pojavljuje na MS Excel listu i koristite naredbu “Odaberi podatke” u kontekstnom izborniku.

Riža. 6. Odabir izvora podataka

Prvo, definirajmo raspon podataka za grafikon. Da biste to učinili, unesite raspon C6:I6 u odgovarajuće područje dijaloškog okvira "Odabir izvora podataka" (predstavlja vrijednosti frekvencije pod nazivom Series1, slika 7).

Riža. 7. Dodavanje reda 1

Da biste promijenili naziv niza, morate odabrati gumb za promjenu područja “Elementi legende (niz)” (vidi sliku 7) i dodijeliti mu naziv.

Kako biste dodali oznaku X-osi, morate koristiti gumb "Uredi" u području "Oznake vodoravne osi (kategorije)".
(Sl. 8) i označite vrijednosti niza (raspon $C$6:$I$6).

Riža. 8. Konačni prikaz dijaloškog okvira “Odabir izvora podataka”.

Odabir gumba u dijaloškom okviru Odabir izvora podataka
(Sl. 8) omogućit će nam da dobijemo traženi poligon distribucije slučajne varijable (Sl. 9).

Riža. 9. Poligon distribucije slučajne varijable

Napravimo neke promjene u dizajnu dobivenih grafičkih informacija:

Dodajmo oznaku za X os;

Uredimo oznaku Y osi;

- Dodajmo naslov dijagramu “Distribucijski poligon”.

Da biste to učinili, odaberite karticu "Rad s grafikonima" u području alatne trake, karticu "Izgled" i na alatnoj traci koja se pojavi odgovarajuće gumbe: "Naslov grafikona", "Naslovi osi" (Sl. 10).

Riža. 10. Konačni prikaz poligona distribucije slučajne varijable

Nasumična varijabla je veličina koja kao rezultat pokusa može poprimiti jednu ili drugu vrijednost koja nije unaprijed poznata. Postoje slučajne varijable diskontinuiran (diskretan) I stalan tip. Moguće vrijednosti diskontinuiranih količina mogu se unaprijed navesti. Moguće vrijednosti kontinuiranih količina ne mogu se unaprijed navesti i kontinuirano popunjavati određenu prazninu.

Primjer diskretnih slučajnih varijabli:

1) Koliko se puta grb pojavljuje u tri bacanja novčića. (moguće vrijednosti 0;1;2;3)

2) Učestalost pojavljivanja grba u istom eksperimentu. (moguće vrijednosti)

3) Broj neispravnih elemenata u uređaju koji se sastoji od pet elemenata. (Moguće vrijednosti 0;1;2;3;4;5)

Primjeri kontinuiranih slučajnih varijabli:

1) Apscisa (ordinata) točke udara pri ispaljivanju.

2) Udaljenost od točke udara do središta mete.

3) Vrijeme rada uređaja (radio cijevi).

Slučajne varijable označene su velikim slovima, a njihove moguće vrijednosti označene su odgovarajućim malim slovima. Na primjer, X je broj pogodaka s tri hica; moguće vrijednosti: X 1 =0, X 2 =1, X 3 =2, X 4 =3.

Razmotrimo diskontinuiranu slučajnu varijablu X s mogućim vrijednostima X 1, X 2, ..., X n. Svaka od ovih vrijednosti je moguća, ali nije sigurna, a vrijednost X može uzeti svaku od njih s određenom vjerojatnošću. Kao rezultat eksperimenta, vrijednost X će poprimiti jednu od ovih vrijednosti, odnosno dogodit će se jedan iz cijele skupine nekompatibilnih događaja.

Označimo vjerojatnosti ovih događaja slovima p s odgovarajućim indeksima:

Budući da nekompatibilni događaji čine cjelovitu skupinu, dakle

odnosno zbroj vjerojatnosti svih mogućih vrijednosti slučajne varijable jednak je 1. Ova ukupna vjerojatnost nekako je raspoređena između pojedinačnih vrijednosti. Slučajna varijabla bit će potpuno opisana s vjerojatnosnog gledišta ako definiramo ovu distribuciju, odnosno točno navedemo koliku vjerojatnost ima svaki od događaja. (Time će se uspostaviti tzv. zakon distribucije slučajnih varijabli.)

Zakon raspodjele slučajne varijable je bilo koja relacija koja uspostavlja vezu između mogućih vrijednosti slučajne varijable i odgovarajuće vjerojatnosti. (Za slučajnu varijablu ćemo reći da podliježe danom zakonu distribucije)

Najjednostavniji oblik specificiranja zakona distribucije slučajne varijable je tablica koja navodi moguće vrijednosti slučajne varijable i odgovarajuće vjerojatnosti.

Stol 1.

Slučajne varijable. Distribucijski poligon

Slučajne varijable: diskretne i kontinuirane.

Prilikom provođenja stohastičkog eksperimenta formira se prostor elementarnih događaja - mogućih ishoda ovog eksperimenta. Vjeruje se da je na tom prostoru elementarnih događanja dano slučajna vrijednost X, ako je dan zakon (pravilo) prema kojem se svakom elementarnom događaju pridružuje broj. Stoga se slučajna varijabla X može promatrati kao funkcija definirana na prostoru elementarnih događaja.

■ Slučajna varijabla- veličina koja pri svakom ispitivanju poprima jednu ili drugu brojčanu vrijednost (ne zna se unaprijed koju), ovisno o slučajnim razlozima koji se ne mogu unaprijed uzeti u obzir. Slučajne varijable označene su velikim slovima latinične abecede, a moguće vrijednosti slučajne varijable malim slovima. Dakle, prilikom bacanja kocke događa se događaj povezan s brojem x, gdje je x broj bačenih bodova. Broj bodova je slučajna varijabla, a brojevi 1, 2, 3, 4, 5, 6 su moguće vrijednosti te vrijednosti. Udaljenost koju će projektil prijeći ispaljen iz pištolja također je slučajna varijabla (ovisno o ugradnji nišana, jačini i smjeru vjetra, temperaturi i drugim čimbenicima), a moguće vrijednosti ove vrijednosti pripadaju na određeni interval (a; b).

■ Diskretna slučajna varijabla– slučajna varijabla koja poprima zasebne, izolirane moguće vrijednosti s određenim vjerojatnostima. Broj mogućih vrijednosti diskretne slučajne varijable može biti konačan ili beskonačan.

■ Kontinuirana slučajna varijabla– slučajna varijabla koja može uzeti sve vrijednosti iz nekog konačnog ili beskonačnog intervala. Broj mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je beskonačan.

Na primjer, broj bodova bačenih prilikom bacanja kocke, rezultat za test su diskretne slučajne varijable; udaljenost koju projektil preleti pri ispaljivanju iz pištolja, pogreška mjerenja pokazatelja vremena za svladavanje nastavnog gradiva, visina i težina osobe kontinuirane su slučajne varijable.

Zakon raspodjele slučajne varijable– podudarnost između mogućih vrijednosti slučajne varijable i njihovih vjerojatnosti, tj. Svakoj mogućoj vrijednosti x i pridružuje se vjerojatnost p i s kojom slučajna varijabla može uzeti tu vrijednost. Zakon raspodjele slučajne varijable može se zadati tabelarno (u obliku tablice), analitički (u obliku formule) i grafički.

Neka diskretna slučajna varijabla X poprima vrijednosti x 1 , x 2 , …, x n s vjerojatnostima p 1 , p 2 , …, p n redom, tj. P(X=x 1) = p 1, P(X=x 2) = p 2, …, P(X=x n) = p n. Prilikom zadavanja zakona raspodjele ove veličine u tablici, prvi red tablice sadrži moguće vrijednosti x 1 , x 2 , ..., x n , a drugi red sadrži njihove vjerojatnosti

x	x 1	x 2	…	x n
str	str 1	p2	…	p n

Kao rezultat testa, diskretna slučajna varijabla X poprima jednu i samo jednu od mogućih vrijednosti, stoga događaji X=x 1, X=x 2, ..., X=x n tvore potpunu skupinu upareno nekompatibilnih događaja, pa je stoga zbroj vjerojatnosti tih događaja jednak jedan, tj. p 1 + p 2 +… + p n =1.

Zakon distribucije diskretne slučajne varijable. Distribucijski poligon (poligon).

Kao što znate, slučajna varijabla je varijabla koja može poprimiti određene vrijednosti ovisno o slučaju. Slučajne varijable označene su velikim slovima latinične abecede (X, Y, Z), a njihove vrijednosti označene su odgovarajućim malim slovima (x, y, z). Slučajne varijable se dijele na diskontinuirane (diskretne) i kontinuirane.

Diskretna slučajna varijabla je slučajna varijabla koja uzima samo konačan ili beskonačan (brojiv) skup vrijednosti s određenim vjerojatnostima različitim od nule.

Zakon distribucije diskretne slučajne varijable je funkcija koja povezuje vrijednosti slučajne varijable s njihovim odgovarajućim vjerojatnostima. Zakon raspodjele može se odrediti na jedan od sljedećih načina.

1. Zakon raspodjele može se dati tablicom:

gdje je λ>0, k = 0, 1, 2, … .

c) pomoću funkcije distribucije F(x), koja za svaku vrijednost x određuje vjerojatnost da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost manju od x, tj. F(x) = P(X< x).

Svojstva funkcije F(x)

3. Zakon raspodjele može se zadati grafički - poligonom (poligonom) raspodjele (vidi zadatak 3).

Imajte na umu da za rješavanje nekih problema nije potrebno poznavati zakon raspodjele. U nekim slučajevima dovoljno je znati jedan ili više brojeva koji odražavaju najvažnije značajke zakona raspodjele. To može biti broj koji ima značenje “prosječne vrijednosti” slučajne varijable ili broj koji pokazuje prosječnu veličinu odstupanja slučajne varijable od njezine srednje vrijednosti. Brojevi ove vrste nazivaju se numeričkim karakteristikama slučajne varijable.

Osnovne numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable:

Matematičko očekivanje (prosječna vrijednost) diskretne slučajne varijable M(X)=Σ x i p i .
Za binomnu distribuciju M(X)=np, za Poissonovu distribuciju M(X)=λ
Disperzija diskretne slučajne varijable D(X)= M 2 ili D(X) = M(X 2)− 2. Razlika X–M(X) naziva se odstupanje slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja.
Za binomnu distribuciju D(X)=npq, za Poissonovu distribuciju D(X)=λ
Srednja kvadratna devijacija (standardna devijacija) σ(X)=√D(X).

· Za jasnoću prikaza niza varijacija, njegove grafičke slike su od velike važnosti. Grafički, serija varijacija može se prikazati kao poligon, histogram i kumulacija.

· Poligon razdiobe (doslovno poligon razdiobe) naziva se izlomljena linija, koja je konstruirana u pravokutnom koordinatnom sustavu. Vrijednost atributa ucrtana je na apscisu, odgovarajuće frekvencije (ili relativne frekvencije) - na ordinatu. Točke (ili) se spajaju ravnim segmentima i dobiva se distribucijski poligon. Poligoni se najčešće koriste za prikaz diskretnih varijacijskih serija, ali se mogu koristiti i za intervalne serije. U ovom slučaju, točke koje odgovaraju središtima ovih intervala ucrtane su na apscisnu os.

X i	X 1	X 2	…	Xn
P i	P 1	P2	…	Pn

Ova tablica se zove blizu distribucije slučajne varijable.

Kako bi serija distribucije dobila vizualniji izgled, pribjegava se njenom grafičkom prikazu: moguće vrijednosti slučajne varijable iscrtane su duž osi apscise, a vjerojatnosti tih vrijednosti iscrtane su duž osi ordinate. (Radi jasnoće, rezultirajuće točke povezane su ravnim segmentima.)

Slika 1 – distribucijski poligon

Ova figura se zove distribucijski poligon. Poligon distribucije, kao i serija distribucije, potpuno karakterizira slučajnu varijablu; to je jedan od oblika zakona raspodjele.

Primjer:

izvodi se jedan eksperiment u kojem se može ili ne mora pojaviti događaj A. Vjerojatnost događaja A = 0.3. Uzimamo u obzir slučajnu varijablu X - broj pojavljivanja događaja A u danom eksperimentu. Potrebno je konstruirati niz i poligon distribucije X vrijednosti.

Tablica 2.

X i
P i	0,7	0,3

Slika 2 - Funkcija raspodjele

Funkcija distribucije je univerzalna karakteristika slučajne varijable. Postoji za sve slučajne varijable: i diskontinuirane i nekontinuirane. Funkcija distribucije u potpunosti karakterizira slučajnu varijablu s vjerojatnosnog gledišta, odnosno jedan je od oblika zakona distribucije.

Za kvantitativno karakteriziranje ove distribucije vjerojatnosti, prikladno je koristiti ne vjerojatnost događaja X=x, već vjerojatnost događaja X

Funkcija distribucije F(x) ponekad se naziva i kumulativna funkcija distribucije ili kumulativni zakon distribucije.

Svojstva funkcije distribucije slučajne varijable

1. Funkcija distribucije F(x) je neopadajuća funkcija svog argumenta, to jest za ;

2. Na minus beskonačno:

3. Na plus beskonačno:

Slika 3 – graf funkcije distribucije

Grafik funkcije distribucije općenito, to je graf neopadajuće funkcije čije vrijednosti počinju od 0 i idu do 1.

Poznavajući niz distribucije slučajne varijable, moguće je konstruirati funkciju distribucije slučajne varijable.

Primjer:

za uvjete prethodnog primjera konstruirajte funkciju distribucije slučajne varijable.

Konstruirajmo funkciju distribucije X:

Slika 4 – funkcija distribucije X

Funkcija distribucije bilo koje diskontinuirane diskretne slučajne varijable uvijek postoji diskontinuirana funkcija koraka, čiji se skokovi događaju u točkama koje odgovaraju mogućim vrijednostima slučajne varijable i jednaki su vjerojatnostima tih vrijednosti. Zbroj svih skokova funkcije distribucije jednak je 1.

Kako se broj mogućih vrijednosti slučajne varijable povećava, a intervali između njih smanjuju, broj skokova postaje sve veći, a sami skokovi sve manji:

Slika 5

Stepenasta krivulja postaje glađa:

Slika 6

Slučajna varijabla postupno se približava kontinuiranoj vrijednosti, a njena funkcija raspodjele kontinuiranoj funkciji. Postoje i slučajne varijable čije moguće vrijednosti kontinuirano ispunjavaju određeni interval, ali za koje funkcija distribucije nije svugdje kontinuirana. I na određenim točkama se pokvari. Takve slučajne varijable nazivamo mješovitim.

Slika 7

Problem 14. U novčanoj lutriji igra se 1 dobitak od 1.000.000 rubalja, 10 dobitaka od 100.000 rubalja. i 100 dobitaka po 1000 rubalja. s ukupnim brojem listića od 10 000. Pronađite zakon raspodjele slučajnih dobitaka x za vlasnika jedne srećke.

Riješenje. Moguće vrijednosti za x: x 1 = 0; x 2 = 1000; x 3 = 100000;

x 4 = 1000000. Njihove su vjerojatnosti redom jednake: R 2 = 0,01; R 3 = 0,001; R 4 = 0,0001; R 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Dakle, zakon raspodjele dobitaka x može se dati sljedećom tablicom:

Zadatak 15. Diskretna slučajna varijabla x daje zakon raspodjele:

Konstruirajte poligon distribucije.

Riješenje. Izgradimo pravokutni koordinatni sustav i nacrtat ćemo moguće vrijednosti duž apscisne osi x i, a po osi ordinata – pripadajuće vjerojatnosti p i. Ucrtajmo točke M 1 (1;0,2), M 2 (3;0,1), M 3 (6; 0,4) i M 4 (8; 0,3). Spajanjem ovih točaka ravnim segmentima dobivamo željeni razdiobeni poligon.

§2. Numeričke karakteristike slučajnih varijabli

Slučajnu varijablu u potpunosti karakterizira njezin zakon raspodjele. Prosječni opis slučajne varijable može se dobiti pomoću njezinih numeričkih karakteristika

2.1. Očekivana vrijednost. Disperzija.

Neka slučajna varijabla poprima vrijednosti s vjerojatnostima.

Definicija. Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbroj proizvoda svih mogućih vrijednosti i odgovarajućih vjerojatnosti:

Svojstva matematičkog očekivanja.

Disperziju slučajne varijable oko srednje vrijednosti karakteriziraju varijanca i standardna devijacija.

Varijanca slučajne varijable je matematičko očekivanje kvadrata odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja:

Sljedeća formula se koristi za izračune

Svojstva disperzije.

2. , gdje su međusobno neovisne slučajne varijable.

3. Standardna devijacija.

Zadatak 16. Nađite matematičko očekivanje slučajne varijable Z = X+ 2Y, ako su poznata matematička očekivanja slučajnih varijabli x I Y: M(x) = 5, M(Y) = 3.

Riješenje. Koristimo svojstva matematičkog očekivanja. Tada dobivamo:

M(X+ 2Y)= M(x) + M(2Y) = M(x) + 2M(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.

Zadatak 17. Varijanca slučajne varijable x jednak je 3. Odredi varijancu slučajnih varijabli: a) –3 X; b) 4 x + 3.

Riješenje. Primijenimo svojstva 3, 4 i 2 disperzije. Imamo:

A) D(–3x) = (–3) 2 D(x) = 9D(x) = 9 . 3 = 27;

b) D(4X + 3) = D(4x) + D(3) = 16D(x) + 0 = 16 . 3 = 48.

Problem 18. Zadana nezavisna slučajna varijabla Y– broj bodova dobivenih prilikom bacanja kocke. Pronađite zakon distribucije, matematičko očekivanje, disperziju i standardnu devijaciju slučajne varijable Y.

Riješenje. Tablica distribucije slučajne varijable Y ima oblik:

Zatim M(Y) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3,5;

D(Y) = (1 – 3,5) 2 1/6 +(2 – 3,5) 2 /6 + (3 – 3,5) 2 1/6 + (4 – 3,5) 2 / 6 +(5 – –3,5) 2 1/6 + (6 – 3,5) 2. 1/6 = 2,917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.