Sinus, kosinus, tangens: što je to? Kako pronaći sinus, kosinus i tangens? Univerzalna trigonometrijska supstitucija, izvođenje formula, primjeri.

Neću vas pokušavati uvjeriti da ne pišete varalice. Pisati! Uključujući varalice o trigonometriji. Kasnije planiram objasniti zašto su varalice potrebne i zašto su varalice korisne. A evo i informacija kako ne učiti, nego zapamtiti neke trigonometrijske formule. Dakle - trigonometrija bez varalice!Za pamćenje koristimo asocijacije.

1. Formule zbrajanja:

Kosinusi uvijek “dolaze u paru”: kosinus-kosinus, sinus-sinus. I još nešto: kosinusi su "neadekvatni". Njima “ne štima sve” pa mijenjaju znakove: “-” u “+” i obrnuto.

Sinusi - "mješavina": sinus-kosinus, kosinus-sinus.

2. Formule zbroja i razlike:

kosinus uvijek “dolazi u paru”. Dodavanjem dva kosinusa - "koloboka", dobivamo par kosinusa - "koloboka". A oduzimanjem definitivno nećemo dobiti nikakve koloboke. Dobivamo par sinusa. Također s minusom naprijed.

Sinusi - "mješavina" :

3. Formule za pretvaranje umnoška u zbroj i razliku.

Kada dobivamo kosinusni par? Kada zbrojimo kosinuse. Zato

Kada ćemo dobiti par sinusa? Kod oduzimanja kosinusa. Odavde:

"Miješanje" se dobiva i pri zbrajanju i oduzimanju sinusa. Što je zabavnije: zbrajanje ili oduzimanje? Tako je, fold. A za formulu uzimaju zbrajanje:

U prvoj i trećoj formuli zbroj je u zagradi. Preraspoređivanjem mjesta članova ne mijenja se zbroj. Redoslijed je važan samo za drugu formulu. No, da ne bude zabune, radi lakšeg pamćenja, u sve tri formule u prve zagrade uzimamo razliku

i drugo – iznos

Varalice u vašem džepu daju vam mir: ako zaboravite formulu, možete je kopirati. I daju vam samopouzdanje: ako ne uspijete koristiti varalicu, lako ćete se sjetiti formula.

Referentne informacije o trigonometrijskim funkcijama sinus (sin x) i kosinus (cos x). Geometrijska definicija, svojstva, grafikoni, formule. Tablica sinusa i kosinusa, izvodnice, integrali, proširenja nizova, sekans, kosekans. Izrazi kroz kompleksne varijable. Veza s hiperboličkim funkcijama.

Geometrijska definicija sinusa i kosinusa

|BD|- duljina kružnog luka sa središtem u točki A.
α - kut izražen u radijanima.

Definicija
Sinus (sin α) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru duljine suprotnog kraka |BC| na duljinu hipotenuze |AC|.

Kosinus (cos α) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru duljine susjednog kraka |AB| na duljinu hipotenuze |AC|.

Prihvaćene oznake

;
;
.

;
;
.

Graf funkcije sinusa, y = sin x

Graf kosinusne funkcije, y = cos x

Svojstva sinusa i kosinusa

Periodičnost

Funkcije y = grijeh x i y = cos x periodic s periodom 2π.

Paritet

Funkcija sinusa je neparna. Funkcija kosinus je paran.

Područje definiranja i vrijednosti, ekstremi, porast, pad

Funkcije sinus i kosinus su kontinuirane u svojoj domeni definicije, to jest za sve x (vidi dokaz kontinuiteta). Njihova glavna svojstva prikazana su u tablici (n - cijeli broj).

	y = grijeh x	y = cos x
Opseg i kontinuitet	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Raspon vrijednosti	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Povećavajući se
Silazni
Maksimalno, y = 1
Minimalni, y = - 1
Nule, y = 0
Točke presjeka s osi ordinata, x = 0	y = 0	y = 1

Osnovne formule

Zbroj kvadrata sinusa i kosinusa

Formule za sinus i kosinus iz zbroja i razlike

;
;

Formule za umnožak sinusa i kosinusa

Formule zbroja i razlike

Izražavanje sinusa kroz kosinus

;
;
;
.

Izražavanje kosinusa kroz sinus

;
;
;
.

Izražavanje kroz tangentu

; .

Kada, imamo:
; .

u:
; .

Tablica sinusa i kosinusa, tangensa i kotangensa

Ova tablica prikazuje vrijednosti sinusa i kosinusa za određene vrijednosti argumenta.

Izrazi kroz kompleksne varijable

;

Eulerova formula

{ -∞ < x < +∞ }

Sekans, kosekans

Inverzne funkcije

Inverzne funkcije sinusa i kosinusa su arksinus i arkosinus.

Arksinus, arcsin

Arkosinus, arkos

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, “Lan”, 2009.

– sigurno će biti zadataka iz trigonometrije. Trigonometrija se često ne voli zbog potrebe za natrpavanjem ogromnog broja teških formula, koje vrve sinusima, kosinusima, tangensima i kotangensima. Stranica je već jednom dala savjet kako zapamtiti zaboravljenu formulu, na primjeru Eulerove i Peelove formule.

A u ovom ćemo članku pokušati pokazati da je dovoljno dobro poznavati samo pet jednostavnih trigonometrijskih formula, a ostale općenito razumjeti i izvoditi ih u hodu. To je kao s DNK: molekula ne pohranjuje potpune nacrte gotovog živog bića. Umjesto toga, sadrži upute za sastavljanje od dostupnih aminokiselina. Dakle, u trigonometriji, poznavajući neka opća načela, dobit ćemo sve potrebne formule iz malog skupa onih koje moramo imati na umu.

Oslonit ćemo se na sljedeće formule:

Iz formula za zbrojeve sinusa i kosinusa, znajući za parnost kosinusne funkcije i neparnost sinusne funkcije, zamjenom -b umjesto b, dobivamo formule za razlike:

1. Sinus razlike: grijeh(a-b) = grijehacos(-b)+cosagrijeh(-b) = grijehacosb-cosagrijehb
2. Kosinus razlike: cos(a-b) = cosacos(-b)-grijehagrijeh(-b) = cosacosb+grijehagrijehb

Stavljajući a = b u iste formule, dobivamo formule za sinus i kosinus dvostrukih kutova:

1. Sinus dvostrukog kuta: grijeh2a = grijeh(a+a) = grijehacosa+cosagrijeha = 2grijehacosa
2. Kosinus dvostrukog kuta: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-grijehagrijeha = cos2 a-grijeh2 a

Formule za druge višestruke kutove dobivaju se na sličan način:

1. Sinus trostrukog kuta: grijeh3a = grijeh(2a+a) = grijeh2acosa+cos2agrijeha = (2grijehacosa)cosa+(cos2 a-grijeh2 a)grijeha = 2grijehacos2 a+grijehacos2 a-grijeh 3 a = 3 grijehacos2 a-grijeh 3 a = 3 grijeha(1-grijeh2 a)-grijeh 3 a = 3 grijeha-4grijeh 3a
2. Kosinus trostrukog kuta: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-grijeh2agrijeha = (cos2 a-grijeh2 a)cosa-(2grijehacosa)grijeha = cos 3 a- grijeh2 acosa-2grijeh2 acosa = cos 3 a-3 grijeh2 acosa = cos 3 a-3(1- cos2 a)cosa = 4cos 3 a-3 cosa

Prije nego što nastavimo, pogledajmo jedan problem.
Zadano: kut je oštar.
Pronađite njegov kosinus ako
Rješenje jednog učenika:
Jer , To grijeha= 3,a cosa = 4.
(Iz matematičkog humora)

Dakle, definicija tangensa povezuje ovu funkciju sa sinusom i kosinusom. Ali možete dobiti formulu koja povezuje tangens samo s kosinusom. Da bismo ga izveli, uzimamo glavni trigonometrijski identitet: grijeh 2 a+cos 2 a= 1 i podijelite ga s cos 2 a. Dobivamo:

Dakle, rješenje ovog problema bi bilo:

(Budući da je kut oštar, prilikom vađenja korijena uzima se znak +)

Formula za tangens zbroja je još jedna koju je teško zapamtiti. Izbacimo to ovako:

Odmah se prikazuje i

Iz formule kosinusa za dvostruki kut možete dobiti formule sinusa i kosinusa za polovice kutova. Da biste to učinili, na lijevoj strani formule kosinusa dvostrukog kuta:
cos2 a = cos 2 a-grijeh 2 a
dodamo jedan, a desno - trigonometrijsku jedinicu, tj. zbroj kvadrata sinusa i kosinusa.
cos2a+1 = cos2 a-grijeh2 a+cos2 a+grijeh2 a
2cos 2 a = cos2 a+1
Izražavanje cosa kroz cos2 a i vršeći promjenu varijabli, dobivamo:

Predznak se uzima ovisno o kvadrantu.

Slično, oduzimanjem jedan od lijeve strane jednakosti i zbroja kvadrata sinusa i kosinusa od desne, dobivamo:
cos2a-1 = cos2 a-grijeh2 a-cos2 a-grijeh2 a
2grijeh 2 a = 1-cos2 a

I konačno, za pretvaranje zbroja trigonometrijskih funkcija u umnožak koristimo sljedeću tehniku. Recimo da trebamo prikazati zbroj sinusa kao umnožak grijeha+grijehb. Uvedimo varijable x i y tako da je a = x+y, b+x-y. Zatim
grijeha+grijehb = grijeh(x+y)+ grijeh(x-y) = grijeh x cos y+ cos x grijeh y+ grijeh x cos y- cos x grijeh y=2 grijeh x cos g. Izrazimo sada x i y kroz a i b.

Kako je a = x+y, b = x-y, tada je . Zato

Možete se odmah povući

1. Formula za particioniranje produkti sinusa i kosinusa V iznos: grijehacosb = 0.5(grijeh(a+b)+grijeh(a-b))

Preporučamo da sami uvježbate i izvedete formule za pretvaranje razlike sinusa i zbroja i razlike kosinusa u umnožak, kao i za dijeljenje umnoška sinusa i kosinusa u zbroj. Nakon što završite ove vježbe, temeljito ćete svladati vještinu izvođenja trigonometrijskih formula i nećete se izgubiti ni u najtežem testu, olimpijadi ili testiranju.

Formule za zbroj i razliku sinusa i kosinusa za dva kuta α i β omogućuju nam prijelaz sa zbroja ovih kutova na umnožak kutova α + β 2 i α - β 2. Odmah napominjemo da ne smijete brkati formule za zbroj i razliku sinusa i kosinusa s formulama za sinuse i kosinuse zbroja i razlike. U nastavku navodimo ove formule, dajemo njihove izvode i prikazujemo primjere primjene za specifične probleme.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Formule za zbroj i razliku sinusa i kosinusa

Zapišimo kako izgledaju formule zbroja i razlike sinusa i kosinusa

Formule zbroja i razlike za sinuse

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Formule zbroja i razlike za kosinuse

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2

Ove formule vrijede za sve kutove α i β. Kutovi α + β 2 i α - β 2 nazivaju se poluzbroj odnosno polurazlika kutova alfa i beta. Navedimo formulaciju za svaku formulu.

Definicije formula za zbrojeve i razlike sinusa i kosinusa

Zbroj sinusa dvaju kutova jednak je dvostrukom umnošku sinusa poluzbroja ovih kutova i kosinusa polurazlike.

Razlika sinusa dvaju kutova jednak je dvostrukom umnošku sinusa polurazlike ovih kutova i kosinusa poluzbroja.

Zbroj kosinusa dvaju kutova jednak je dvostrukom umnošku kosinusa poluzbroja i kosinusa polurazlike ovih kutova.

Razlika kosinusa dvaju kutova jednak je dvostrukom umnošku sinusa poluzbroja i kosinusa polurazlike ovih kutova, uzetog s negativnim predznakom.

Izvođenje formula za zbroj i razliku sinusa i kosinusa

Za izvođenje formula za zbroj i razliku sinusa i kosinusa dvaju kutova koriste se formule zbrajanja. Nabrojimo ih u nastavku

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Zamislimo i same kutove kao zbroj poluzbroja i polurazlike.

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Nastavljamo izravno s izvođenjem formula zbroja i razlike za sin i cos.

Derivacija formule za zbroj sinusa

U zbroju sin α + sin β, zamjenjujemo α i β s izrazima za ove kutove danima gore. Dobivamo

sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2

Sada na prvi izraz primjenjujemo formulu zbrajanja, a na drugi - formulu za sinus kutnih razlika (vidi formule iznad)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Otvorite zagrade, dodajte slične članove i dobijte traženu formulu

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2

Koraci za izvođenje preostalih formula su slični.

Izvod formule za razliku sinusa

sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Derivacija formule za zbroj kosinusa

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Derivacija formule za razliku kosinusa

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2

Primjeri rješavanja praktičnih problema

Prvo, provjerimo jednu od formula zamjenom određenih vrijednosti kuta u nju. Neka je α = π 2, β = π 6. Izračunajmo vrijednost zbroja sinusa tih kutova. Prvo ćemo koristiti tablicu osnovnih vrijednosti trigonometrijskih funkcija, a zatim ćemo primijeniti formulu za zbroj sinusa.

Primjer 1. Provjera formule za zbroj sinusa dvaju kutova

α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2

Razmotrimo sada slučaj kada se vrijednosti kutova razlikuju od osnovnih vrijednosti prikazanih u tablici. Neka je α = 165°, β = 75°. Izračunajmo razliku sinusa ovih kutova.

Primjer 2. Primjena formule razlike sinusa

α = 165 °, β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Koristeći formule za zbroj i razliku sinusa i kosinusa, možete prijeći sa zbroja ili razlike na umnožak trigonometrijskih funkcija. Često se te formule nazivaju formulama za prijelaz sa zbroja na umnožak. Formule za zbroj i razliku sinusa i kosinusa naširoko se koriste u rješavanju trigonometrijskih jednadžbi i pretvorbi trigonometrijskih izraza.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

U ovom ćemo članku sveobuhvatno pogledati. Osnovni trigonometrijski identiteti su jednakosti koje uspostavljaju vezu između sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa jednog kuta i omogućuju pronalaženje bilo koje od ovih trigonometrijskih funkcija kroz poznatu drugu.

Odmah nabrojimo glavne trigonometrijske identitete koje ćemo analizirati u ovom članku. Zapišimo ih u tablicu, au nastavku ćemo dati izlaz ovih formula i dati potrebna objašnjenja.

Navigacija po stranici.

Odnos između sinusa i kosinusa jednog kuta

Ponekad ne govore o glavnim trigonometrijskim identitetima navedenim u gornjoj tablici, već o jednom jedinom osnovni trigonometrijski identitet ljubazan . Objašnjenje ove činjenice je prilično jednostavno: jednakosti se dobivaju iz glavnog trigonometrijskog identiteta nakon dijeljenja oba njegova dijela s i, odnosno, i jednakosti I slijede iz definicija sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa. O tome ćemo detaljnije govoriti u sljedećim paragrafima.

Odnosno, od posebnog je interesa jednakost koja je dobila naziv glavni trigonometrijski identitet.

Prije nego dokažemo glavni trigonometrijski identitet, dajemo njegovu formulaciju: zbroj kvadrata sinusa i kosinusa jednog kuta identički je jednak jedan. Sada dokažimo.

Osnovni trigonometrijski identitet vrlo se često koristi kada pretvaranje trigonometrijskih izraza. Omogućuje da se zbroj kvadrata sinusa i kosinusa jednog kuta zamijeni jedinicom. Ne manje često, osnovni trigonometrijski identitet koristi se obrnutim redoslijedom: jedinica se zamjenjuje zbrojem kvadrata sinusa i kosinusa bilo kojeg kuta.

Tangens i kotangens kroz sinus i kosinus

Identiteti koji povezuju tangens i kotangens sa sinusom i kosinusom jednog kuta gledanja i neposredno slijede iz definicija sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa. Doista, po definiciji, sinus je ordinata od y, kosinus je apscisa od x, tangens je omjer ordinate i apscise, tj. , a kotangens je omjer apscise i ordinate, tj. .

Zahvaljujući takvoj očitosti identiteta i Tangens i kotangens se često definiraju ne kroz odnos apscise i ordinate, već kroz odnos sinusa i kosinusa. Dakle, tangens kuta je omjer sinusa i kosinusa ovog kuta, a kotangens je omjer kosinusa i sinusa.

U zaključku ovog paragrafa treba napomenuti da su identiteti i odvijaju se za sve kutove pri kojima trigonometrijske funkcije uključene u njih imaju smisla. Dakle, formula vrijedi za bilo koji , osim (inače će nazivnik imati nulu, a nismo definirali dijeljenje s nulom), i formula - za sve, različite od, gdje je z bilo koji.

Odnos tangensa i kotangensa

Još očitiji trigonometrijski identitet od prethodna dva je identitet koji povezuje tangens i kotangens jednog kuta oblika . Jasno je da vrijedi za sve kutove osim , inače ni tangens ni kotangens nisu definirani.

Dokaz formule jako jednostavno. Po definiciji i odakle . Dokaz se mogao izvesti malo drugačije. Od , To .

Dakle, tangens i kotangens istog kuta pod kojim imaju smisla su .