Nađite najveću stopu porasta funkcije. Kako pronaći gradijent funkcije
Gradijent funkcije– vektorska veličina, čije je određivanje povezano s određivanjem parcijalnih derivacija funkcije. Smjer gradijenta označava put najbržeg rasta funkcije od jedne točke skalarnog polja do druge.
upute
1. Za rješavanje problema gradijenta funkcije koriste se metode diferencijalnog računa, odnosno pronalaženje parcijalnih derivacija prvog reda u odnosu na tri varijable. Pretpostavlja se da sama funkcija i sve njezine parcijalne derivacije imaju svojstvo neprekidnosti u domeni definiranja funkcije.
2. Gradijent je vektor čiji smjer pokazuje smjer najbržeg porasta funkcije F. Da biste to učinili, na grafu su odabrane dvije točke M0 i M1 koje su krajevi vektora. Veličina gradijenta jednaka je brzini porasta funkcije od točke M0 do točke M1.
3. Funkcija je diferencijabilna u svim točkama ovog vektora, stoga su projekcije vektora na koordinatne osi sve njegove parcijalne derivacije. Tada formula gradijenta izgleda ovako: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, gdje su i, j, k koordinate jediničnog vektora . Drugim riječima, gradijent funkcije je vektor čije su koordinate njegove parcijalne derivacije grad F = (?F/?h, ?F/?y, ?F/?z).
4. Primjer 1. Neka je dana funkcija F = sin(x z?)/y. Potrebno je detektirati njegov gradijent u točki (?/6, 1/4, 1).
5. Rješenje Odredite parcijalne derivacije u odnosu na svaku varijablu: F'_h = 1/y sos(h z?) z?; F'_y = sin(h z?) (-1) 1/(y?); F '_z = 1/y cos(x z?) 2 x z.
6. Zamijenite poznate koordinatne vrijednosti točke: F’_x = 4 sos(?/6) = 2 ?3; F’_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8; F’_z = 4 cos(?/6) 2 ?/6 = 2 ?/?3.
7. Primijenite formulu gradijenta funkcije: grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.
8. Primjer 2. Odrediti koordinate gradijenta funkcije F = y arctg (z/x) u točki (1, 2, 1).
9. Rješenje.F'_x = 0 arctg (z/x) + y (arctg(z/x))'_x = y 1/(1 + (z/x)?) (-z/x?) = -y z/ (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 arstg(z/h) = arstg 1 = ?/4;F'_z = 0 arstg(z/h) + y (arstg(z/h))'_z = y 1/(1 + (z/h)?) 1/h = y/(h (1 + (z/h)?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).
Gradijent skalarnog polja je vektorska veličina. Dakle, da bismo ga pronašli, potrebno je odrediti sve komponente odgovarajućeg vektora, na temelju poznavanja podjele skalarnog polja.
upute
1. Pročitaj u udžbeniku više matematike što je gradijent skalarnog polja. Kao što znate, ova vektorska veličina ima smjer karakteriziran maksimalnom brzinom opadanja skalarne funkcije. Ovakva interpretacija ove vektorske veličine opravdana je izrazom za određivanje njezinih komponenti.
2. Imajte na umu da je svaki vektor određen veličinama svojih komponenti. Komponente vektora zapravo su projekcije ovog vektora na jednu ili drugu koordinatnu os. Dakle, ako se razmatra trodimenzionalni prostor, tada vektor mora imati tri komponente.
3. Napiši kako se određuju komponente vektora koji je gradijent nekog polja. Sve koordinate takvog vektora jednake su derivaciji skalarnog potencijala u odnosu na varijablu čija se koordinata računa. To jest, ako trebate izračunati "x" komponentu vektora gradijenta polja, tada morate diferencirati skalarnu funkciju s obzirom na varijablu "x". Imajte na umu da derivat mora biti djelomičan. To znači da se tijekom diferencijacije preostale varijable koje u njoj ne sudjeluju moraju smatrati konstantama.
4. Napiši izraz za skalarno polje. Kao što je poznato, ovaj pojam podrazumijeva samo skalarnu funkciju nekoliko varijabli, koje su također skalarne veličine. Broj varijabli skalarne funkcije ograničen je dimenzijom prostora.
5. Diferencirajte skalarnu funkciju zasebno s obzirom na svaku varijablu. Kao rezultat, dobit ćete tri nove funkcije. Upišite bilo koju funkciju u izraz za vektor gradijenta skalarnog polja. Svaka od dobivenih funkcija zapravo je indikator za jedinični vektor zadane koordinate. Dakle, konačni vektor gradijenta trebao bi izgledati kao polinom s eksponentima u obliku derivacija funkcije.
Kada se razmatraju problemi koji uključuju predstavljanje gradijenta, uobičajeno je razmišljati o funkcijama kao o skalarnim poljima. Stoga je potrebno uvesti odgovarajuću notaciju.
Trebat će vam
- – bum;
- - olovka.
upute
1. Neka je funkcija određena s tri argumenta u=f(x, y, z). Parcijalna derivacija funkcije, na primjer, u odnosu na x, definirana je kao derivacija u odnosu na ovaj argument, dobivena fiksiranjem preostalih argumenata. Slično za druge argumente. Oznaka parcijalne derivacije zapisana je u obliku: df/dx = u’x ...
2. Ukupni diferencijal bit će jednak du=(df/dh)dx+ (df/dy)dy+(df/dz)dz Parcijalne derivacije možemo shvatiti kao derivacije po smjerovima koordinatnih osi. Posljedično, postavlja se pitanje nalaženja derivacije u odnosu na smjer zadanog vektora s u točki M(x, y, z) (ne zaboravite da je smjer s određen jediničnim vektorom s^o). U ovom slučaju, vektorski diferencijal argumenata (dx, dy, dz) = (dscos(alfa), dscos(beta), dscos(gama)).
3. S obzirom na oblik totalnog diferencijala du, možemo zaključiti da je derivacija po pravcu s u točki M jednaka: (du/ds)|M=((df/dh)|M)sos(alpha)+ (( df/dy) |M) cos(beta) +((df/dz)|M) cos(gama). Ako je s= s(sx,sy,sz), tada kosinusi smjera (cos(alfa), cos(beta) ), cos( gama)) izračunavaju se (vidi sliku 1a).
4. Definicija derivacije smjera, smatrajući točku M varijablom, može se prepisati u obliku skalarnog produkta: (du/ds)=((df/dh, df/dy,df/dz), (cos(alfa) , cos(beta), cos (gama)))=(grad u, s^o). Ovaj izraz će biti objektivan za skalarno polje. Ako se funkcija razmatra jednostavno, tada je gradf vektor koji ima koordinate koje se podudaraju s parcijalnim izvodnicama f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dh, df/dy, df/ dz )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Ovdje su (i, j, k) jedinični vektori koordinatnih osi u pravokutnom Kartezijevom koordinatnom sustavu.
5. Ako koristimo Hamilton Nabla diferencijalni vektorski operator, tada se gradf može napisati kao množenje ovog operatorskog vektora sa skalarom f (vidi sliku 1b). Sa stajališta povezanosti gradf i derivacije smjera prihvatljiva je jednakost (gradf, s^o)=0 ako su ti vektori ortogonalni. Posljedično, gradf se često definira kao smjer najbrže metamorfoze skalarnog polja. A sa stajališta diferencijalnih operacija (gradf je jedna od njih), svojstva gradf-a točno ponavljaju svojstva diferencirajućih funkcija. Konkretno, ako je f=uv, tada je gradf=(vgradu+u gradv).
Video na temu
Gradijent Ovo je alat koji u grafičkim urednicima ispunjava siluetu glatkim prijelazom iz jedne boje u drugu. Gradijent može dati siluetu rezultat volumena, oponašati rasvjetu, odsjaj svjetla na površini objekta ili rezultat zalaska sunca u pozadini fotografije. Ovaj alat ima široku primjenu, pa je za obradu fotografija ili izradu ilustracija vrlo važno naučiti ga koristiti.
Trebat će vam
- Računalo, grafički uređivač Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net ili neki drugi.
upute
1. Otvorite sliku u programu ili snimite novu. Napravite siluetu ili odaberite željeno područje na slici.
2. Uključite alat za gradijent na alatnoj traci grafičkog uređivača. Postavite kursor miša na točku unutar odabranog područja ili siluete gdje će početi prva boja gradijenta. Kliknite i držite lijevu tipku miša. Pomaknite kursor do točke gdje želite da se gradijent promijeni u konačnu boju. Otpustite lijevu tipku miša. Odabrana silueta bit će ispunjena gradijentnom ispunom.
3. Gradijent Možete postaviti prozirnost, boje i njihov omjer na određenoj točki ispune. Da biste to učinili, otvorite prozor za uređivanje gradijenta. Da biste otvorili prozor za uređivanje u Photoshopu, kliknite na primjer gradijenta na ploči s opcijama.
4. Prozor koji se otvori prikazuje dostupne opcije ispune gradijenta u obliku primjera. Za uređivanje jedne od opcija odaberite je klikom miša.
5. Na dnu prozora prikazan je primjer gradijenta u obliku široke ljestvice na kojoj se nalaze klizači. Klizači označavaju točke na kojima bi gradijent trebao imati specificirane usporedbe, au intervalu između klizača boja ravnomjerno prelazi iz boje navedene u prvoj točki u boju 2. točke.
6. Klizači koji se nalaze na vrhu ljestvice postavljaju prozirnost gradijenta. Za promjenu prozirnosti kliknite željeni klizač. Ispod ljestvice pojavit će se polje u koje upisujete traženi stupanj prozirnosti u postocima.
7. Klizači na dnu ljestvice postavljaju boje gradijenta. Klikom na jednu od njih moći ćete odabrati željenu boju.
8. Gradijent može imati nekoliko prijelaznih boja. Za postavljanje druge boje kliknite na slobodni prostor na dnu ljestvice. Na njemu će se pojaviti još jedan klizač. Dajte potrebnu boju. Ljestvica će prikazati primjer gradijenta s još jednom točkom. Klizače možete pomicati držeći ih lijevom tipkom miša kako biste postigli željenu kombinaciju.
9. Gradijent Dolaze u nekoliko vrsta koje mogu dati oblik ravnim siluetama. Na primjer, da bi se kružnici dao oblik lopte, koristi se radijalni gradijent, a da bi se dobio oblik stošca, koristi se konusni gradijent. Da biste površini dali iluziju konveksnosti, možete koristiti zrcalni gradijent, a gradijent u obliku dijamanta može se koristiti za stvaranje istaknutih dijelova.
Video na temu
Video na temu
Ako je u svakoj točki prostora ili dijelu prostora određena vrijednost određene veličine, onda kažu da je određeno polje te veličine. Polje se naziva skalarnim ako je veličina koja se razmatra skalarna, tj. potpuno karakteriziran svojom numeričkom vrijednošću. Na primjer, temperaturno polje. Skalarno polje zadano je funkcijom skalarne točke u = /(M). Ako se u prostoru uvede kartezijev koordinatni sustav, tada postoji funkcija tri varijable x, yt z - koordinate točke M: Definicija. Ploha razine skalarnog polja skup je točaka u kojima funkcija f(M) poprima istu vrijednost. Jednadžba nivelirane plohe Primjer 1. Naći plohe nivelete skalarnog polja VEKTORSKA ANALIZA Skalarno polje Površine i nivelacijske linije Izvodnica smjera Derivacija Gradijent skalarnog polja Osnovna svojstva gradijenta Invarijantna definicija gradijenta Pravila za izračunavanje gradijenta -4 Prema definiciji , jednadžba ravne površine bit će. Ovo je jednadžba sfere (s F 0) sa središtem u ishodištu. Skalarno polje se naziva ravnim ako je polje isto u svim ravninama paralelnim s određenom ravninom. Ako se označena ravnina uzme kao ravnina xOy, tada funkcija polja neće ovisiti o koordinati z, tj. bit će funkcija samo argumenata x i y. Polje ravnine može se karakterizirati pomoću linija razine - a skup točaka na ravnini u kojima funkcija /(x, y) ima jedno i također značenje. Jednadžba ravnine - Primjer 2. Odredite nivoske linije skalarnog polja Nivelacijske linije dane su jednadžbama.Kada je c = 0, dobivamo par ravnih linija, dobivamo familiju hiperbola (slika 1). 1.1. Usmjerena derivacija Neka postoji skalarno polje definirano skalarnom funkcijom u = /(Af). Uzmimo točku Afo i odaberimo smjer određen vektorom I. Uzmimo drugu točku M tako da vektor M0M bude paralelan s vektorom 1 (slika 2). Označimo duljinu vektora MoM s A/, a prirast funkcije /(Af) - /(Afo), koji odgovara kretanju D1, s Di. Omjer određuje prosječnu brzinu promjene skalarnog polja po jedinici duljine u zadanom smjeru. Težimo sada nuli tako da vektor M0M cijelo vrijeme ostaje paralelan s vektorom I. Definicija. Ako u D/O postoji konačna granica relacije (5), onda se ona naziva derivacija funkcije u danoj točki Afo na dani pravac I i označava se simbolom 3!^. Dakle, po definiciji, ova definicija nije vezana uz izbor koordinatnog sustava, tj. ona je **varijantne prirode. Nađimo izraz za derivaciju smjera u Kartezijevom koordinatnom sustavu. Neka je funkcija / diferencijabilna u točki. Razmotrimo vrijednost /(Af) u točki. Tada se ukupni prirast funkcije može napisati u sljedećem obliku: gdje i simboli znače da su parcijalne derivacije izračunate u točki Afo. Stoga su ovdje količine jfi, ^ kosinusi smjera vektora. Budući da su vektori MoM i I kosmjerni, njihovi kosinusi smjera su isti: Budući da je M Afo, budući da je uvijek na ravnoj liniji paralelnoj s vektorom 1, kutovi su konstantni, stoga konačno, iz jednakosti (7) i (8) dobivamo Eamuan je 1. Pojedinačne derivacije su derivacije funkcije i po smjerovima koordinatnih osi pa-Primjer 3. Nađi derivaciju funkcije u smjeru na točku Vektor ima duljinu. Njegovi kosinusi smjera: Prema formuli (9), imat ćemo Činjenica da, znači da skalarno polje u točki u danom smjeru starosti - Za ravno polje, derivacija u odnosu na pravac I u točki je izračunava se po formuli gdje je a kut koji vektor I čini s osi Oh. Zmmchmm 2. Formula (9) za izračunavanje derivacije u odnosu na pravac I u danoj točki Afo ostaje na snazi kada točka M teži točki Mo duž krivulje za koju je vektor I tangenta u točki PrIShr 4. Izračunajte derivaciju od skalarno polje u točki Afo(l, 1). koja pripada paraboli u smjeru ove krivulje (u smjeru rastuće apscise). Smjer ] parabole u točki smatra se smjerom tangente na parabolu u toj točki (slika 3). Neka tangenta na parabolu u točki Afo tvori kut o s osi Ox. Odakle onda dolaze kosinusi smjera tangente? Izračunajmo vrijednosti i u točki. Imamo Sada korištenjem formule (10) dobivamo. Nađi derivaciju skalarnog polja u točki duž pravca kružnice.Vektorska jednadžba kružnice ima oblik. Nalazimo jedinični vektor m tangente na kružnicu. Točka odgovara vrijednosti parametra. Vrijednost r u točki Afo bit će jednaka. Odavde dobivamo kosinuse smjera tangente na kružnicu na Izračunajmo vrijednosti parcijalnih derivacija zadanog skalarnog polja u točki. To znači željenu derivaciju. Gradijent skalarnog polja Neka je skalarno polje definirano skalarnom funkcijom za koju se pretpostavlja da je diferencijabilna. Definicija. Gradijent skalarnog polja "u danoj točki M je vektor označen simbolom grad i i definiran jednakošću Jasno je da ovaj vektor ovisi i o funkciji / i o točki M u kojoj se izračunava njegova derivacija. Neka je jedinični vektor u pravcu 1. Tada se formula za derivaciju smjera može napisati u sljedećem obliku: . Dakle, derivacija funkcije u po pravcu 1 jednaka je skalarnom umnošku gradijenta funkcije u(M) i jediničnog vektora 1° pravca I. 2.1. Osnovna svojstva gradijenta Teorem 1. Gradijent skalarnog polja je okomit na plohu nivelete (ili na liniju nivelete ako je polje ravno). (2) Kroz proizvoljnu točku M povucimo ravnu plohu u = const i izaberimo na toj plohi glatku krivulju L koja prolazi kroz točku M (slika 4). Neka je I vekgor tangenta na krivulju L u točki M. Budući da je na ravnini u(M) = u(M|) za bilo koju točku Mj e L, tada je s druge strane = (gradu, 1°). Zato. To znači da su vektori grad i i 1° ortogonalni. Dakle, vektor grad i je ortogonalan na bilo koju tangentu na plohu nivelete u točki M. Dakle, on je ortogonalan na samu plohu nivelete u točki M. Teorem 2. gradijent je usmjeren prema povećanju funkcije polja . Prethodno smo dokazali da je gradijent skalarnog polja usmjeren duž normale na ravnu plohu, koja može biti usmjerena ili u smjeru rastuće funkcije u(M) ili u smjeru njezinog pada. Označimo s n normalu plohe nivelete, usmjerenu u smjeru rastuće funkcije ti(M), i nađimo izvod funkcije u u smjeru te normale (slika 5). Imamo Budući da prema uvjetu na sl. 5 i prema tome VEKTORSKA ANALIZA Skalarno polje Površine i linije razine Derivacija po smjeru Derivacija Gradijent skalarnog polja Osnovna svojstva gradijenta Invarijantna definicija gradijenta Pravila za izračunavanje gradijenta Slijedi da je grad usmjerena u istom smjeru kao i ona koju smo odabrali normala n, tj. u smjeru rastuće funkcije u(M). Teorem 3. Duljina gradijenta jednaka je najvećoj derivaciji s obzirom na smjer u danoj točki u polju (ovdje se provjera vrši duž svih mogućih pravaca u danoj točki M). Imamo gdje je kut između vektora 1 i grad n. Budući da je najveća vrijednost Primjer 1. Nađite smjer najveće promjene skalarnog polja u točki i također veličinu te najveće promjene u navedenoj točki. Smjer najveće promjene u skalarnom polju označen je vektorom. Imamo tako da Ovaj vektor određuje smjer najvećeg povećanja polja u točki. Veličina najveće promjene polja u ovoj točki je 2,2. Invarijantna definicija gradijenta Veličine koje karakteriziraju svojstva proučavanog objekta i ne ovise o izboru koordinatnog sustava nazivaju se invarijantama danog objekta. Na primjer, duljina krivulje je invarijanta ove krivulje, ali kut tangente na krivulju s osi Ox nije invarijanta. Na temelju tri gore dokazana svojstva gradijenta skalarnog polja, možemo dati sljedeću invarijantnu definiciju gradijenta. Definicija. Gradijent skalarnog polja je vektor usmjeren normalno na ravnu površinu u smjeru povećanja funkcije polja i ima duljinu jednaku najvećoj derivaciji po smjeru (u danoj točki). Neka je jedinični vektor normale usmjeren u smjeru povećanja polja. Zatim Primjer 2. Nađi gradijent udaljenosti - neka fiksna točka, i M(x,y,z) - trenutna. 4 Imamo gdje je jedinični vektor smjera. Pravila za izračunavanje gradijenta gdje je c konstantan broj. Navedene formule dobivene su izravno iz definicije gradijenta i svojstava derivacija. Prema pravilu diferenciranja proizvoda dokaz je sličan dokazu svojstva Neka je F(u) diferencijabilna skalarna funkcija. Tada 4 Po definiciji fadijenta imamo Primijeni pravilo diferencijacije složene funkcije na sve članove s desne strane. Dobivamo Konkretno, Formula (6) slijedi iz formule Primjer 3. Odredite derivaciju u odnosu na smjer radijus vektora r iz funkcije Koristeći formulu (3) i koristeći formulu Kao rezultat toga, dobivamo da Primjer 4 Neka je zadano ravninsko skalarno polje - udaljenosti od neke ravnine točke do dviju fiksnih točaka te ravnine. Promotrimo proizvoljnu elipsu sa žarištima Fj i F] i dokažimo da svaka zraka svjetlosti koja izlazi iz jednog žarišta elipse, nakon refleksije od elipse, završava u njezinom drugom žarištu. Linije razine funkcije (7) su VEKTORSKA ANALIZA Skalarno polje Površine i linije razine Direkcijska derivacija Derivacija Gradijent skalarnog polja Osnovna svojstva gradijenta Invarijantna definicija gradijenta Pravila za izračunavanje gradijenta Jednadžbe (8) opisuju obitelj elipsa sa žarištima na točke F) i Fj. Prema rezultatu primjera 2, imamo Dakle, gradijent zadanog polja jednak je vektoru PQ dijagonale romba konstruiranom na jediničnim vektorima r? i radijus vektori. povučena u točku P(x, y) iz žarišta F| i Fj, te stoga leži na simetrali kuta između ovih radijus vektora (sl. 6). Prema Tooromu 1, gradijent PQ je okomit na elipsu (8) u točki. Stoga, sl. 6. normala na elipsu (8) u bilo kojoj točki raspolavlja kut između radijus vektora povučenih u tu točku. Iz toga i iz činjenice da je upadni kut jednak kutu refleksije, dobivamo: zraka svjetlosti koja izlazi iz jednog žarišta elipse, odbijajući se od njega, sigurno će pasti u drugo žarište ove elipse.
Neka Z= F(M) – funkcija definirana u nekoj okolini točke M(y; x);L={ Cos; Cos} – jedinični vektor (na slici 33 1= , 2= ); L– usmjereni pravac koji prolazi točkom M; M1(x1; y1), gdje je x1=x+x i y1=y+y– točka na liniji L; L– duljina segmenta MM1; Z= F(x+x, y+y)-F(x, Y) – prirast funkcije F(M) u točki M(x; y).
Definicija. Granica omjera, ako postoji, naziva se Derivacija funkcije Z = F ( M ) u točki M ( x ; Y ) u smjeru vektora L .
Oznaka.
|
|
Ako funkcija F(M) diferencijabilan u točki M(x;y), zatim u točki M(x;y) postoji derivacija u bilo kojem smjeru L koji proizlazi iz M; izračunava se pomoću sljedeće formule:
(8)
Gdje Cos I Cos- smjer kosinusa vektora L.
Primjer 46. Izračunajte derivaciju funkcije Z= x2 + Y2 x u točki M(1; 2) u smjeru vektora MM1, Gdje M1– točka s koordinatama (3; 0).
. Nađimo jedinični vektor L, ima ovaj smjer:
Gdje Cos= ; Cos=- .
Izračunajmo parcijalne derivacije funkcije u točki M(1; 2):
Koristeći formulu (8) dobivamo 
Primjer 47. Pronađite izvod funkcije U = Xy2 Z3 u točki M(3; 2; 1) U smjeru vektora MN, Gdje N(5; 4; 2) .
. Nađimo vektor i njegove kosinuse smjera:
Izračunajmo vrijednosti parcijalnih derivacija u točki M:
Stoga, 
Definicija. Gradijent FunkcijeZ= F(M) u točki M(x; y) je vektor čije su koordinate jednake odgovarajućim parcijalnim izvodnicama i uzetu u točki M(x; y).
Oznaka. 
Primjer 48. Pronađite gradijent funkcije Z= x2 +2 Y2 -5 u točki M(2; -1).
Riješenje. Nalaženje parcijalnih derivacija: 
i njihove vrijednosti u točki M(2; -1):
Primjer 49.
Odredite veličinu i smjer gradijenta funkcije u točki 
Riješenje. Nađimo parcijalne derivacije i izračunajmo njihove vrijednosti u točki M:
Stoga,
Slično se određuje derivacija smjera za funkciju triju varijabli U= F(x, Y, Z) , prikazane su formule
Uvodi se pojam gradijenta 
Istaknimo to Osnovna svojstva funkcije gradijenta važnije za analizu ekonomske optimizacije: u smjeru gradijenta funkcija raste. Sljedeća svojstva gradijenta koriste se u ekonomskim problemima:
1) Neka je zadana funkcija Z= F(x, Y) , koji ima parcijalne derivacije u domeni definicije. Razmotrimo neke točke M0(x0, y0) iz domene definicije. Neka vrijednost funkcije u ovoj točki bude jednaka F(x0 , Y0 ) . Pogledajmo graf funkcije. Kroz točku (x0 , Y0 , F(x0 , Y0 )) trodimenzionalnom prostoru crtamo ravninu tangentu na plohu grafa funkcije. Zatim gradijent funkcije izračunat u točki (x0, y0), geometrijski posmatrano kao vektor primijenjen u točki (x0 , Y0 , F(x0 , Y0 )) , bit će okomita na tangentnu ravninu. Geometrijska ilustracija prikazana je na sl. 34.
2) Funkcija gradijenta F(x, Y) u točki M0(x0, y0) označava smjer najbržeg porasta funkcije u točki M0. Osim toga, svaki pravac koji čini oštar kut s gradijentom je smjer rasta funkcije u točki M0. Drugim riječima, mali pomak od točke (x0, y0) u smjeru gradijenta funkcije u ovoj točki dovodi do povećanja funkcije, i to u najvećoj mjeri.
Razmotrimo vektor suprotan gradijentu. To se zove Anti-gradijent . Koordinate ovog vektora su:
Funkcija protiv gradijenta F(x, Y) u točki M0(x0, y0) označava smjer najbržeg opadanja funkcije u točki M0. Svaki smjer koji tvori oštar kut s antigradijentom je smjer u kojem funkcija opada u toj točki.
3) Pri proučavanju funkcije često postoji potreba za pronalaženjem takvih parova (x, y) iz domene definicije funkcije, u kojoj funkcija poprima iste vrijednosti. Razmotrimo skup točaka (x, Y) iz domene funkcije F(x, Y) , tako da F(x, Y)= Konst, gdje je ulaz “ Konst” znači da je vrijednost funkcije fiksna i jednaka nekom broju iz raspona funkcije.
Definicija. Linija razine funkcije U = F ( x , Y ) nazvana linijaF(x, Y)=C u avionuXOy, u točkama u kojima funkcija zadržava konstantnu vrijednostU= C.
Linije razine geometrijski su prikazane na ravnini promjene nezavisnih varijabli u obliku zakrivljenih linija. Dobivanje linija razine može se zamisliti na sljedeći način. Razmotrite set S, koji se sastoji od točaka trodimenzionalnog prostora s koordinatama (x, Y, F(x, Y)= Konst), koji s jedne strane pripadaju grafu funkcije Z= F(x, Y), s druge strane leže u ravnini paralelnoj s koordinatnom ravninom HOU, i razmaknut od njega za iznos jednak zadanoj konstanti. Tada je za konstrukciju linije razine dovoljno presjeći površinu grafa funkcije s ravninom Z= Konst a presječnu liniju projicirati na ravninu HOU. Gornje obrazloženje opravdava mogućnost izravne konstrukcije nivelacija na ravnini HOU.
Definicija. Mnoge linije razine se nazivaju Karta linija razine.
Dobro poznati primjeri linija razine su razine jednakih visina na topografskoj karti i linije jednakog barometarskog tlaka na vremenskoj karti.
Definicija.
Smjer duž kojeg je brzina porasta funkcije najveća naziva se "preferirani" smjer, ili Smjer najbržeg rasta.
"Preferirani" smjer zadan je vektorom gradijenta funkcije. Na sl. 35 prikazuje maksimum, minimum i sedlo u problemu optimizacije funkcije dviju varijabli u odsutnosti ograničenja. Donji dio slike prikazuje linije razine i smjera najbržeg rasta.
Primjer 50. Pronađite linije na razini funkcije U= x2 + Y2 .
Riješenje. Jednadžba za familiju ravnih linija ima oblik x2 + Y2 = C (C>0) . Davanje S različite realne vrijednosti, dobivamo koncentrične kružnice sa središtem u ishodištu.
Izgradnja niveleta. Njihova analiza ima široku primjenu u ekonomskim problemima mikro i makrorazine, teoriji ravnoteže i učinkovitih rješenja. Izotroškovi, izokvante, krivulje indiferencije - sve su to linije razine konstruirane za različite ekonomske funkcije.
Primjer 51. Razmotrite sljedeću ekonomsku situaciju. Neka se opiše proizvodnja proizvoda Cobb-Douglasova funkcija F(x, Y)=10x1/3y2/3, Gdje x- količinu rada, U– iznos kapitala. Za kupnju resursa izdvojeno je 30 USD. jedinica, cijena rada je 5 USD. jedinice, kapital – 10 USD. jedinice Zapitajmo se: koji je najveći output koji se može dobiti pod ovim uvjetima? Ovdje "dani uvjeti" znače dane tehnologije, cijene resursa i vrstu proizvodne funkcije. Kao što je već navedeno, funkcija Cobb-Douglas monotono raste za svaku varijablu, tj. povećanje svake vrste resursa dovodi do povećanja outputa. Pod ovim uvjetima, jasno je da je moguće povećati nabavu resursa sve dok ima dovoljno novca. Skupovi resursa, čija je cijena 30 USD. jedinice, zadovoljavaju uvjet:
5x + 10y = 30,
Odnosno, oni određuju liniju razine funkcije:
G(x, Y) = 5x + 10y.
S druge strane, pomoću ravnih linija Cobb-Douglasove funkcije (Sl. 36) možete prikazati porast funkcije: u bilo kojoj točki linije razine smjer gradijenta je smjer najvećeg porasta, a za konstrukciju gradijenta u točki dovoljno je povući tangentu na liniju razine u ovoj točki, konstruirajte okomicu na tangentu i označite smjer gradijenta. Od sl. 36 može se vidjeti da se linija razine Cobb-Douglasove funkcije treba pomicati duž gradijenta dok ne postane tangenta na liniju razine 5x + 10y = 30. Dakle, korištenjem koncepata linije razine, gradijenta i svojstava gradijenta, moguće je razviti pristupe najboljem korištenju resursa u smislu povećanja volumena izlaza.
Definicija. Funkcija razine površine U = F ( x , Y , Z ) naziva površinaF(x, Y, Z)=S, u čijim točkama funkcija zadržava konstantnu vrijednostU= C.
Primjer 52. Pronađite površine na razini funkcije U= x2 + Z2 - Y2 .
Riješenje. Jednadžba za familiju ravnih površina ima oblik x2 + Z2 - Y2 =C. Ako S=0, onda dobivamo x2 + Z2 - Y2 =0 – konus; Ako C<0 , To x2 + Z2 - Y2 =C – Obitelj dvolistnih hiperboloida.
Iz školskog tečaja matematike znamo da je vektor na ravnini usmjeren segment. Njegov početak i kraj imaju dvije koordinate. Vektorske koordinate izračunavaju se oduzimanjem početnih koordinata od krajnjih koordinata.
Koncept vektora može se proširiti na n-dimenzionalni prostor (umjesto dvije koordinate bit će n koordinata).
Gradijent gradzfunctionz=f(x 1, x 2, ...x n) je vektor parcijalnih derivacija funkcije u točki, tj. vektor s koordinatama.
Može se dokazati da gradijent funkcije karakterizira smjer najbržeg rasta razine funkcije u točki.
Na primjer, za funkciju z = 2x 1 + x 2 (vidi sliku 5.8), gradijent u bilo kojoj točki će imati koordinate (2; 1). Možete ga konstruirati na ravnini na različite načine, uzimajući bilo koju točku kao početak vektora. Na primjer, možete povezati točku (0; 0) s točkom (2; 1), ili točku (1; 0) s točkom (3; 1), ili točku (0; 3) s točkom (2; 4), ili tako dalje..P. (Vidi sliku 5.8). Svi vektori konstruirani na ovaj način imat će koordinate (2 – 0; 1 – 0) = = (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).
Sa slike 5.8 jasno se vidi da razina funkcije raste u smjeru gradijenta, budući da konstruirane linije razine odgovaraju vrijednostima razine 4 > 3 > 2.
Slika 5.8 - Gradijent funkcije z= 2x 1 + x 2
Razmotrimo još jedan primjer - funkciju z = 1/(x 1 x 2). Gradijent ove funkcije više neće uvijek biti isti u različitim točkama, jer su njene koordinate određene formulama (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2)).
Slika 5.9 prikazuje linije funkcijske razine z = 1/(x 1 x 2) za razine 2 i 10 (ravna linija 1/(x 1 x 2) = 2 označena je točkastom linijom, a ravna linija 1/( x 1 x 2) = 10 je puna linija).
Slika 5.9 - Gradijenti funkcije z= 1/(x 1 x 2) u različitim točkama
Uzmimo, na primjer, točku (0,5; 1) i izračunajmo gradijent u ovoj točki: (-1/(0,5 2 *1); -1/(0,5*1 2)) = (-4; - 2). Primijetite da točka (0,5; 1) leži na liniji razine 1/(x 1 x 2) = 2, jer je z=f(0,5; 1) = 1/(0,5*1) = 2. Za crtanje vektora ( -4; -2) na slici 5.9 spojite točku (0,5; 1) s točkom (-3,5; -1), jer je (-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).
Uzmimo drugu točku na istoj liniji razine, na primjer, točku (1; 0,5) (z=f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Izračunajmo gradijent u ovoj točki (-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Da bismo to prikazali na slici 5.9, spojimo točku (1; 0,5) s točkom (-1; -3,5), jer je (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; - 4).
Uzmimo još jednu točku na istoj liniji razine, ali samo sada u nepozitivnoj koordinatnoj četvrtini. Na primjer, točka (-0,5; -1) (z=f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Gradijent u ovoj točki bit će jednak (-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Oslikajmo to na slici 5.9 spajanjem točke (-0,5; -1) s točkom (3,5; 1), jer je (3,5 – (-0,5); 1 – (-1)) = (4 ; 2).
Treba napomenuti da u sva tri razmatrana slučaja gradijent pokazuje smjer rasta razine funkcije (prema liniji razine 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).
Može se dokazati da je gradijent uvijek okomit na liniju razine (ravnu površinu) koja prolazi kroz danu točku.
Ekstremi funkcije više varijabli
Definirajmo pojam ekstremno za funkciju mnogih varijabli.
Funkcija mnogih varijabli f(X) ima u točki X (0) maksimum (minimum), ako postoji okolina ove točke takva da su za sve točke X iz te okoline zadovoljene nejednakosti f(X)f(X (0)) ().
Ako su te nejednakosti zadovoljene kao stroge, tada se naziva ekstrem snažna, a ako ne, onda slab.
Primijetimo da je ovako definiran ekstrem lokalni karaktera, budući da su te nejednakosti zadovoljene samo za određenu okolinu točke ekstrema.
Nužan uvjet za lokalni ekstrem diferencijabilne funkcije z=f(x 1, . . ., x n) u točki je jednakost nuli svih parcijalnih derivacija prvog reda u ovoj točki: 
.
Točke u kojima te jednakosti vrijede nazivaju se stacionarni.
Na drugi način, nužni uvjet za ekstrem može se formulirati na sljedeći način: u točki ekstrema, gradijent je nula. Može se dokazati i općenitija tvrdnja: u točki ekstrema derivacije funkcije u svim smjerovima nestaju.
Stacionarne točke treba podvrgnuti dodatnim istraživanjima kako bi se utvrdilo jesu li ispunjeni dovoljni uvjeti za postojanje lokalnog ekstrema. Da biste to učinili, odredite predznak diferencijala drugog reda. Ako je za bilo koji , koji nije istodobno jednak nuli, uvijek negativan (pozitivan), tada funkcija ima maksimum (minimum). Ako može ići do nule ne samo s nultim priraštajima, tada ostaje otvoreno pitanje ekstremuma. Ako može poprimiti i pozitivne i negativne vrijednosti, tada u stacionarnoj točki nema ekstrema.
U općem slučaju određivanje predznaka diferencijala prilično je složen problem, koji ovdje nećemo razmatrati. Za funkciju dviju varijabli može se dokazati da ako je u stacionarnoj točki 
, onda je ekstrem prisutan. U ovom slučaju, predznak drugog diferencijala podudara se sa predznakom 
, tj. Ako 
, onda je ovo maksimum, a ako 
, onda je ovo minimum. Ako 
, tada u ovoj točki nema ekstrema, a ako 
, onda ostaje otvoreno pitanje ekstremuma.
Primjer 1. Pronađite ekstreme funkcije 
.
Nađimo parcijalne derivacije koristeći metodu logaritamske diferencijacije.
ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x 2) – ln (1 + y 2)
Također 
.
Nađimo stacionarne točke iz sustava jednadžbi:
Tako su pronađene četiri stacionarne točke (1; 1), (1; -1), (-1; 1) i (-1; -1).
Nađimo parcijalne derivacije drugog reda:
ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)
Također 
;
.
Jer 
, izrazni znak 
ovisi samo o 
. Imajte na umu da je u obje ove derivacije nazivnik uvijek pozitivan, tako da možete uzeti u obzir samo predznak brojnika, ili čak predznak izraza x(x 2 – 3) i y(y 2 – 3). Definirajmo ga u svakoj kritičnoj točki i provjerimo je li zadovoljen dovoljan uvjet za ekstrem.
Za točku (1; 1) dobivamo 1*(1 2 – 3) = -2< 0. Т.к. произведение
двух отрицательных чисел
> 0, i 
<
0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он
равен
=
2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) =
= 8/4
= 2.
Za točku (1; -1) dobivamo 1*(1 2 – 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3)
= 2 >0. Jer umnožak ovih brojeva 
< 0, в этой точке экстремума нет.
Аналогично можно показать, что нет
экстремума в точке (-1; 1).
Za točku (-1; -1) dobivamo (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 > 0. Jer umnožak dvaju pozitivnih brojeva 
> 0, i 
> 0, u točki (-1; -1) se može naći minimum. Jednako je 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.
Pronaći globalno maksimum ili minimum (najveća ili najmanja vrijednost funkcije) nešto je složeniji od lokalnog ekstrema, budući da se te vrijednosti mogu postići ne samo u stacionarnim točkama, već i na granici domene definicije. Nije uvijek lako proučavati ponašanje funkcije na granici ovog područja.
