Modeliranje dinamičkih sustava (Lagrangeova metoda i pristup Bond grafu). Lagrangeova metoda multiplikatora

Metoda množiteljaLagrange(u engleskoj literaturi “LaGrange's method of undetermined multipliers”) ˗ je numerička metoda za rješavanje optimizacijskih problema koja vam omogućuje određivanje “uvjetnog” ekstrema funkcije cilja (minimalne ili maksimalne vrijednosti)

u prisutnosti određenih ograničenja na njegove varijable u obliku jednakosti (tj. definiran je raspon dopuštenih vrijednosti)

˗ to su vrijednosti argumenta funkcije (parametri koji se mogu kontrolirati) na realnoj domeni pri kojoj vrijednost funkcije teži ekstremumu. Upotreba naziva "uvjetni" ekstrem je zbog činjenice da je varijablama nametnut dodatni uvjet, koji ograničava raspon dopuštenih vrijednosti pri traženju ekstrema funkcije.

Metoda Lagrangeovog množitelja omogućuje da se problem traženja uvjetnog ekstrema objektivne funkcije na skupu dopuštenih vrijednosti transformira u problem bezuvjetne optimizacije funkcije.

U slučaju da funkcije I kontinuirane zajedno sa svojim parcijalnim izvodnicama, tada postoje takve varijable λ koje nisu istovremeno jednake nuli, pod kojima je zadovoljen sljedeći uvjet:

Dakle, u skladu s Lagrangeovom metodom množitelja, da bih pronašao ekstrem funkcije cilja na skupu dopuštenih vrijednosti, sastavljam Lagrangeovu funkciju L(x, λ), koja je dalje optimizirana:

gdje je λ ˗ vektor dodatnih varijabli koje se nazivaju neodređeni Lagrangeovi množitelji.

Time se problem nalaženja uvjetnog ekstremuma funkcije f(x) sveo na problem nalaženja bezuvjetnog ekstremuma funkcije L(x, λ).

I

Nužni uvjet za ekstrem Lagrangeove funkcije dan je sustavom jednadžbi (sustav se sastoji od “n + m” jednadžbi):

Rješavanjem ovog sustava jednadžbi možemo odrediti argumente funkcije (X) pri kojima vrijednost funkcije L(x, λ), kao i vrijednost ciljne funkcije f(x) odgovaraju ekstremumu.

Veličina Lagrangeovih multiplikatora (λ) je od praktičnog interesa ako su ograničenja prikazana u obliku sa slobodnim članom u jednadžbi (konstanta). U ovom slučaju, možemo dalje razmatrati (povećati/smanjiti) vrijednost funkcije cilja mijenjanjem vrijednosti konstante u sustavu jednadžbi. Dakle, Lagrangeov multiplikator karakterizira brzinu promjene maksimuma funkcije cilja kada se mijenja granična konstanta.

Postoji nekoliko načina za određivanje prirode ekstrema rezultirajuće funkcije:

Prva metoda: Neka su koordinate točke ekstrema, a neka odgovarajuća vrijednost funkcije cilja. Uzima se točka blizu točke i izračunava se vrijednost funkcije cilja:

Ako , onda postoji maksimum u točki.

Ako , tada postoji minimum u točki.

Druga metoda: Dovoljan uvjet iz kojeg se može odrediti priroda ekstrema je predznak drugog diferencijala Lagrangeove funkcije. Drugi diferencijal Lagrangeove funkcije definiran je na sljedeći način:

Ako u datoj točki minimum, ako , tada ciljna funkcija f(x) ima uvjet maksimum.

Treća metoda: Također, priroda ekstrema funkcije može se odrediti razmatranjem Hessiana Lagrangeove funkcije. Hessova matrica je simetrična kvadratna matrica drugih parcijalnih izvoda funkcije u točki u kojoj su elementi matrice simetrični oko glavne dijagonale.

Da biste odredili vrstu ekstrema (maksimum ili minimum funkcije), možete koristiti Sylvesterovo pravilo:

1. Da bi drugi diferencijal Lagrangeove funkcije bio pozitivnog predznaka potrebno je da kutni minori funkcije budu pozitivni. U takvim uvjetima funkcija u ovoj točki ima minimum.

2. Da bi drugi diferencijal Lagrangeove funkcije bio negativnog predznaka , potrebno je da se kutni minori funkcije izmjenjuju, a prvi element matrice mora biti negativanv. U takvim uvjetima funkcija u ovoj točki ima maksimum.

Pod kutnim minorom podrazumijevamo minor koji se nalazi u prvih k redaka i k stupaca originalne matrice.

Glavni praktični značaj Lagrangeove metode je u tome što vam omogućuje prijelaz s uvjetne optimizacije na bezuvjetnu optimizaciju i, sukladno tome, proširite arsenal dostupnih metoda za rješavanje problema. Međutim, problem rješavanja sustava jednadžbi na koji se ova metoda svodi nije, u općem slučaju, ništa jednostavniji od izvornog problema nalaženja ekstremuma. Takve se metode nazivaju neizravnima. Njihova uporaba objašnjava se potrebom dobivanja rješenja ekstremnog problema u analitičkom obliku (na primjer, za određene teorijske izračune). Pri rješavanju konkretnih praktičnih problema obično se koriste izravne metode koje se temelje na iterativnim procesima izračuna i usporedbe vrijednosti funkcija koje se optimiziraju.

Metoda izračuna

1 korak: Lagrangeovu funkciju određujemo iz zadane funkcije cilja i sustava ograničenja:

Naprijed

Da biste dodali svoj komentar na članak, registrirajte se na web mjestu.

Naziv parametra	Značenje
Tema članka:	Lagrangeova metoda.
Rubrika (tematska kategorija)	Matematika

Pronalaženje polinoma znači određivanje vrijednosti njegovog koeficijenta . Da biste to učinili, koristeći uvjet interpolacije, možete formirati sustav linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE).

Determinanta ovog SLAE obično se naziva Vandermondeova determinanta. Vandermondeova determinanta nije jednaka nuli za za , odnosno u slučaju kada nema odgovarajućih čvorova u tablici pretraživanja. Međutim, može se tvrditi da SLAE ima rješenje i da je to rješenje jedinstveno. Nakon što je riješio SLAE i odredio nepoznate koeficijente možete konstruirati interpolacijski polinom.

Polinom koji zadovoljava uvjete interpolacije, kada se interpolira Lagrangeovom metodom, konstruira se u obliku linearne kombinacije polinoma n-tog stupnja:

Polinomi se obično nazivaju Osnovni, temeljni polinomi. Da bi Lagrangeov polinom zadovoljava uvjete interpolacije, izuzetno je važno da su zadovoljeni sljedeći uvjeti za njegove bazne polinome:

Za .

Ako su ovi uvjeti ispunjeni, tada za sve imamo:

Štoviše, ispunjenje navedenih uvjeta za bazne polinome znači da su zadovoljeni i uvjeti interpolacije.

Odredimo vrstu baznih polinoma na temelju ograničenja koja su im nametnuta.

1. uvjet: u .

2. uvjet: .

Konačno, za bazni polinom možemo napisati:

Zatim, zamjenom dobivenog izraza za bazne polinome u izvorni polinom, dobivamo konačni oblik Lagrangeovog polinoma:

Poseban oblik Lagrangeovog polinoma pri obično se naziva formula linearne interpolacije:

.

Lagrangeov polinom uzet na obično se naziva formula kvadratne interpolacije:

Lagrangeova metoda. - pojam i vrste. Klasifikacija i značajke kategorije "Lagrangeova metoda". 2017., 2018. godine.

- Lagrangeova metoda (metoda varijacije proizvoljne konstante).

Linearni daljinski upravljači. Definicija. DU tip tj. linearna u odnosu na nepoznatu funkciju i njezinu derivaciju nazivamo linearnom. Za rješenje ovog tipa, razmotrit ćemo dvije metode: Lagrangeovu metodu i Bernoullijevu metodu. Razmotrimo homogenu diferencijalnu jednadžbu. Ova jednadžba je sa separabilnim varijablama. Rješenje jednadžbe je općenito... .

- Linearni sustavi upravljanja, homogeni i heterogeni. Pojam opće odluke. Lagrangeova metoda varijacije proizvodnih konstanti.

Definicija. Upravljački sustav se naziva homogenim ako se funkcija može prikazati kao odnos između njenih argumenata Primjer. F-to se naziva homogeno f-to mjerenje ako Primjeri: 1) - 1. red homogenosti. 2) - 2. red homogenosti. 3) - nulti red homogenosti (jednostavno homogeni... .

- Predavanje 8. Primjena parcijalnih derivacija: problemi ekstremuma. Lagrangeova metoda.

Problemi ekstrema su od velike važnosti u ekonomskim proračunima. To je izračun, na primjer, maksimalnog prihoda, dobiti, minimalnih troškova ovisno o nekoliko varijabli: resursima, proizvodnim sredstvima itd. Teorija nalaženja ekstrema funkcija... .

- T.2.3. DE viših redova. Jednadžba u totalnim diferencijalima. T.2.4. Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima. Lagrangeova metoda.

3. 2. 1. DE s odvojivim varijablama S.R. 3. U prirodnim znanostima, tehnologiji i ekonomiji često se radi o empirijskim formulama, tj. formule sastavljene na temelju obrade statističkih podataka ili...

Metoda za određivanje uvjetnog ekstremuma započinje konstruiranjem pomoćne Lagrangeove funkcije, koja u području mogućih rješenja doseže maksimum za iste vrijednosti varijabli x 1 , x 2 , ..., x n , što je isto što i funkcija cilja z . Neka je riješen problem određivanja uvjetnog ekstrema funkcije z = f(X) pod ograničenjima φ ja ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = 0, ja = 1, 2, ..., m , m < n

Sastavimo funkciju

koji se zove Lagrangeova funkcija. x , - konstantni faktori ( Lagrangeovi množitelji). Imajte na umu da se Lagrangeovim množiteljima može dati ekonomsko značenje. Ako f(x 1 , x 2 , ..., x n ) - prihod u skladu s planom X = (x 1 , x 2 , ..., x n ) , i funkcija φ ja (x 1 , x 2 , ..., x n ) - troškovi i-tog resursa koji odgovara ovom planu, dakle x , je cijena (procjena) i-tog resursa, koja karakterizira promjenu ekstremne vrijednosti funkcije cilja ovisno o promjeni veličine i-tog resursa (granična procjena). L(X) - funkcija n+m varijable (x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . Određivanje stacionarnih točaka ove funkcije dovodi do rješavanja sustava jednadžbi

To je lako vidjeti . Dakle, zadatak pronalaženja uvjetnog ekstrema funkcije z = f(X) svodi na pronalaženje lokalnog ekstremuma funkcije L(X) . Ako se pronađe stacionarna točka, tada se pitanje postojanja ekstrema u najjednostavnijim slučajevima rješava na temelju dovoljnih uvjeta za ekstrem - proučavanjem predznaka drugog diferencijala. d 2 L(X) u stacionarnoj točki, pod uvjetom da se varijabla povećava Δx ja - povezani odnosima

dobivenih diferenciranjem jednadžbi sprezanja.

Rješavanje sustava nelinearnih jednadžbi s dvije nepoznanice pomoću alata Find Solution

postavke Pronalaženje rješenja omogućuje pronalaženje rješenja sustava nelinearnih jednadžbi s dvije nepoznanice:

Gdje
- nelinearna funkcija varijabli x I g ,
- proizvoljna konstanta.

Poznato je da je par ( x , g ) je rješenje sustava jednadžbi (10) ako i samo ako je rješenje sljedeće jednadžbe s dvije nepoznanice:

S s druge strane, rješenje sustava (10) su točke presjeka dviju krivulja: f ] (x, g) = C I f 2 (x, y) = C 2 na površini XOY.

To vodi do metode za pronalaženje korijena sustava. nelinearne jednadžbe:

Odrediti (bar približno) interval postojanja rješenja sustava jednadžbi (10) ili jednadžbe (11). Ovdje je potrebno uzeti u obzir vrstu jednadžbi uključenih u sustav, domenu definiranja svake od njihovih jednadžbi, itd. Ponekad se koristi odabir početne aproksimacije rješenja;

Tabelirajte rješenje jednadžbe (11) za varijable x i y na odabranom intervalu ili konstruirajte grafove funkcija f 1 (x, g) = C, i f 2 (x,y) = C 2 (sustav(10)).

Lokalizirajte pretpostavljene korijene sustava jednadžbi - pronađite nekoliko minimalnih vrijednosti iz tablice koja prikazuje korijene jednadžbe (11) ili odredite sjecišne točke krivulja uključenih u sustav (10).

4. Pomoću dodatka pronađite korijene za sustav jednadžbi (10). Pronalaženje rješenja.

Kratka teorija

Lagrangeova metoda množenja je klasična metoda za rješavanje problema matematičkog programiranja (osobito konveksnih). Nažalost, praktična primjena metode može naići na značajne računalne poteškoće, sužavajući opseg njezine upotrebe. Lagrangeovu metodu ovdje razmatramo uglavnom zato što je to aparatura koja se aktivno koristi za potkrepljivanje različitih suvremenih numeričkih metoda koje se široko koriste u praksi. Što se tiče Lagrangeove funkcije i Lagrangeovih množitelja, oni igraju neovisnu i iznimno važnu ulogu u teoriji i primjenama ne samo matematičkog programiranja.

Razmotrimo klasični problem optimizacije:

Među ograničenjima ovog problema nema nejednakosti, nema uvjeta za nenegativnost varijabli, njihovu diskretnost, a funkcije su kontinuirane i imaju parcijalne derivacije najmanje drugog reda.

Klasični pristup rješavanju problema daje sustav jednadžbi (potrebnih uvjeta) koje mora zadovoljiti točka koja daje funkciji lokalni ekstrem na skupu točaka koje zadovoljavaju ograničenja (za problem konveksnog programiranja, pronađena točka bit će i globalna točka ekstrema).

Pretpostavimo da u točki funkcija (1) ima lokalni uvjetni ekstrem i da je rang matrice jednak . Tada će potrebni uvjeti biti napisani u obliku:

postoji Lagrangeova funkcija; – Lagrangeovi množitelji.

Postoje i dovoljni uvjeti pod kojima rješenje sustava jednadžbi (3) određuje točku ekstrema funkcije. Ovo se pitanje rješava na temelju proučavanja predznaka drugog diferencijala Lagrangeove funkcije. Međutim, dovoljni uvjeti uglavnom su od teorijskog interesa.

Možete navesti sljedeći postupak za rješavanje problema (1), (2) koristeći metodu Lagrangeovog množitelja:

1) sastaviti Lagrangeovu funkciju (4);

2) pronaći parcijalne derivacije Lagrangeove funkcije u odnosu na sve varijable i izjednačiti ih

nula. Tako će se dobiti sustav (3) koji se sastoji od jednadžbi Riješite dobiveni sustav (ako se to pokaže mogućim!) i tako pronađite sve stacionarne točke Lagrangeove funkcije;

3) iz stacionarnih točaka uzetih bez koordinata, odaberite točke u kojima funkcija ima uvjetne lokalne ekstreme u prisutnosti ograničenja (2). Ovaj izbor je napravljen, na primjer, korištenjem dovoljnih uvjeta za lokalni ekstrem. Često je studija pojednostavljena ako se koriste specifični uvjeti problema.

Primjer rješenja problema

Zadatak

Tvrtka proizvodi dvije vrste robe u količinama i . Funkcija korisnog troška određena je relacijom. Cijene te robe na tržištu su jednake i sukladno tome.

Odredite pri kojim količinama proizvodnje se postiže najveći profit i čemu je on jednak ako ukupni troškovi ne prelaze

Imate problema s razumijevanjem napretka odluke? Web stranica nudi uslugu Rješavanje problema metodama optimalnih rješenja po narudžbi

Rješenje problema

Ekonomski i matematički model problema

Funkcija dobiti:

Ograničenja troškova:

Dobivamo sljedeći ekonomsko-matematički model:

Osim toga, prema značenju zadatka

Lagrangeova metoda multiplikatora

Sastavimo Lagrangeovu funkciju:

Nalazimo parcijalne derivacije 1. reda:

Kreirajmo i riješimo sustav jednadžbi:

Od tad

Maksimalna dobit:

Odgovor

Dakle, potrebno je osloboditi hranu. robe 1. vrste i jed. roba 2. vrste. U tom slučaju dobit će biti maksimalna i iznositi 270.
Dan je primjer rješavanja problema kvadratnog konveksnog programiranja grafičkom metodom.

Rješavanje linearnog problema grafičkom metodom
Razmatra se grafička metoda za rješavanje problema linearnog programiranja (LPP) s dvije varijable. Na primjeru zadatka detaljno je opisana izrada crteža i pronalaženje rješenja.

Wilsonov model upravljanja zalihama
Na primjeru rješenja problema razmatran je osnovni model upravljanja zalihama (Wilsonov model). Izračunati su takvi pokazatelji modela kao što su optimalna veličina serije narudžbe, godišnji troškovi skladištenja, interval između isporuka i točka narudžbe.

Matrica omjera izravnih troškova i Matrica input-outputa
Na primjeru rješavanja problema razmatra se Leontjevljev međusektorski model. Prikazan je izračun matrice koeficijenata izravnih materijalnih troškova, matrice “input-output”, matrice koeficijenata neizravnih troškova, vektora finalne potrošnje i bruto outputa.

Razmotrimo linearnu nehomogenu diferencijalnu jednadžbu prvog reda:
(1) .
Postoje tri načina za rješavanje ove jednadžbe:

• metoda varijacije konstante (Lagrange).

Razmotrimo rješavanje linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda pomoću Lagrangeove metode.

Metoda varijacije konstante (Lagrange)

U varijaciji metode konstante, jednadžbu rješavamo u dva koraka. U prvom koraku pojednostavljujemo izvornu jednadžbu i rješavamo homogenu jednadžbu. U drugom stupnju konstantu integracije dobivenu u prvom stupnju rješenja zamijenimo funkcijom. Zatim tražimo opće rješenje izvorne jednadžbe.

Razmotrite jednadžbu:
(1)

1. korak Rješavanje homogene jednadžbe

Tražimo rješenje homogene jednadžbe:

Ovo je jednadžba koja se može odvojiti

Odvajamo varijable - množimo s dx, dijelimo s y:

Integrirajmo:

Integral preko y - tablični:

Zatim

Potencirajmo:

Zamijenimo konstantu e C s C i uklonimo znak modula, što se svodi na množenje s konstantom ±1, koje ćemo uključiti u C:

Korak 2 Zamijenite konstantu C funkcijom

Sada zamijenimo konstantu C funkcijom od x:
C → u (x)
Odnosno, tražit ćemo rješenje izvorne jednadžbe (1) kao:
(2)
Pronalaženje izvoda.

Prema pravilu diferenciranja složene funkcije:
.
Prema pravilu razlikovanja proizvoda:

.
Zamijenite u izvornu jednadžbu (1) :
(1) ;

.
Dva člana su smanjena:
;
.
Integrirajmo:
.
Zamjena u (2) :
.
Kao rezultat, dobivamo opće rješenje linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda:
.

Primjer rješavanja linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda Lagrangeovom metodom

Riješite jednadžbu

Riješenje

Rješavamo homogenu jednadžbu:

Odvajamo varijable:

Pomnožiti sa:

Integrirajmo:

Tablični integrali:

Potencirajmo:

Zamijenimo konstantu e C s C i uklonimo znakove modula:

Odavde:

Zamijenimo konstantu C funkcijom od x:
C → u (x)

Pronalaženje derivata:
.
Zamijenite u izvornu jednadžbu:
;
;
Ili:
;
.
Integrirajmo:
;
Rješenje jednadžbe:
.