Budući da je nova varijabla normalno distribuirana, donja i gornja granica 95% intervala pouzdanosti za varijablu φ bit će φ-1,96 i φ+1,96 lijevo">

Umjesto 1,96 za male uzorke, preporuča se zamijeniti t vrijednost za N – 1 stupanj slobode. Ova metoda ne daje negativne vrijednosti i omogućuje točnije procjene intervala pouzdanosti za frekvencije od Waldove metode. Osim toga, opisan je u mnogim domaćim referentnim knjigama o medicinskoj statistici, što međutim nije dovelo do njegove široke primjene u medicinskim istraživanjima. Izračun intervala pouzdanosti pomoću kutne transformacije ne preporučuje se za frekvencije koje se približavaju 0 ili 1.

Ovdje obično završava opis metoda za procjenu intervala povjerenja u većini knjiga o osnovama statistike za medicinske istraživače, a ovaj problem je tipičan ne samo za domaću već i za stranu literaturu. Obje metode temelje se na središnjem graničnom teoremu, koji podrazumijeva veliki uzorak.

Uzimajući u obzir nedostatke procjene intervala pouzdanosti korištenjem gore navedenih metoda, Clopper i Pearson predložili su 1934. metodu za izračunavanje takozvanog točnog intervala pouzdanosti, s obzirom na binomnu distribuciju svojstva koje se proučava. Ova metoda je dostupna u mnogim online kalkulatorima, ali intervali pouzdanosti dobiveni na ovaj način su u većini slučajeva preširoki. Istodobno, ova metoda se preporučuje za korištenje u slučajevima kada je potrebna konzervativna procjena. Stupanj konzervativnosti metode raste kako se smanjuje veličina uzorka, osobito kada N< 15 . описывает применение функции биномиального распределения для анализа качественных данных с использованием MS Excel, в том числе и для определения доверительных интервалов, однако расчет последних для частот в электронных таблицах не «затабулирован» в удобном для пользователя виде, а потому, вероятно, и не используется большинством исследователей.

Prema mnogim statističarima, najoptimalnija procjena intervala pouzdanosti za frekvencije provodi se Wilsonovom metodom, predloženom još 1927. godine, ali se praktički ne koristi u domaćim biomedicinskim istraživanjima. Ova metoda ne samo da omogućuje procjenu intervala pouzdanosti za vrlo male i vrlo velike frekvencije, već je također primjenjiva za mali broj opažanja. Općenito, interval pouzdanosti prema Wilsonovoj formuli ima oblik

Kolika je vjerojatnost intervala pouzdanosti. Interval pouzdanosti Inteligencija se ne sastoji samo od znanja, već i od sposobnosti primjene znanja u praksi. (Aristotel) Intervali povjerenja opći pregled Uzimanjem uzorka iz populacije dobivamo točku procjene parametra od interesa i izračunavamo standardnu ​​pogrešku kako bismo ukazali na preciznost procjene. Međutim, za većinu slučajeva standardna pogreška kao takva nije prihvatljiva. Mnogo je korisnije kombinirati ovu mjeru točnosti s intervalnom procjenom za parametar populacije. To se može učiniti korištenjem znanja o teoretskoj distribuciji vjerojatnosti statistike uzorka (parametra) kako bi se izračunao interval pouzdanosti (CI - Interval pouzdanosti, CI - Interval pouzdanosti) za parametar. Općenito, interval pouzdanosti proširuje procjene u oba smjera određenim umnoškom standardne pogreške (danog parametra); dvije vrijednosti (granice pouzdanosti) koje definiraju interval obično su odvojene zarezom i uvrštene u zagrade. Interval pouzdanosti za srednju vrijednost Korištenje normalne distribucije Srednja vrijednost uzorka je normalno raspoređena ako je veličina uzorka velika, tako da možete primijeniti znanje o normalnoj distribuciji kada razmatrate srednju vrijednost uzorka. Točnije, 95% distribucije srednjih vrijednosti uzorka unutar je 1,96 standardnih devijacija (SD) srednje vrijednosti populacije. Kada imamo samo jedan uzorak, nazivamo ga standardnom pogreškom srednje vrijednosti (SEM) i izračunavamo interval pouzdanosti od 95% za srednju vrijednost na sljedeći način: Ako ponovimo ovaj eksperiment nekoliko puta, interval će sadržavati pravu srednju populaciju 95% vremena. Obično je to interval pouzdanosti, kao što je interval vrijednosti unutar kojeg se nalazi stvarna srednja vrijednost populacije (opća srednja vrijednost) s vjerojatnošću od 95% pouzdanosti. Iako nije sasvim rigorozno (srednja vrijednost populacije je fiksna vrijednost i stoga joj se ne može pridodati vjerojatnost) interpretirati interval pouzdanosti na ovaj način, konceptualno ga je lakše razumjeti. Korištenje t- distribucija Možete koristiti normalnu distribuciju ako znate vrijednost varijance u populaciji. Također, kada je veličina uzorka mala, srednja vrijednost uzorka slijedi normalnu distribuciju ako su temeljni podaci o populaciji normalno distribuirani. Ako podaci na kojima se temelji populacija nisu normalno raspodijeljeni i/ili je varijanca populacije nepoznata, srednja vrijednost uzorka slijedi Studentova t-distribucija. Interval pouzdanosti od 95% za srednju vrijednost opće populacije izračunavamo na sljedeći način: Gdje je postotna točka (percentil) t- Studentova t distribucija s (n-1) stupnjevima slobode, koja daje dvostranu vjerojatnost od 0,05. Općenito, pruža širi raspon od korištenja normalne distribucije jer uzima u obzir dodatnu nesigurnost uvedenu procjenom standardne devijacije populacije i/ili zbog male veličine uzorka. Kada je veličina uzorka velika (reda 100 ili više), razlika između dvije distribucije ( t-Student i normalno) je beznačajno. Međutim, oni uvijek koriste t- distribuciju pri izračunavanju intervala pouzdanosti, čak i ako je veličina uzorka velika. Obično se navodi 95% CI. Mogu se izračunati i drugi intervali pouzdanosti, kao što je 99% CI za srednju vrijednost. Umjesto umnoška standardne pogreške i tablične vrijednosti t- distribucije, koja odgovara dvostranoj vjerojatnosti od 0,05, pomnožite je (standardna pogreška) s vrijednošću koja odgovara dvostranoj vjerojatnosti od 0,01. Ovo je širi interval pouzdanosti od 95% intervala pouzdanosti jer odražava povećanu pouzdanost da interval zapravo uključuje srednju vrijednost populacije. Interval pouzdanosti za proporciju Distribucija uzoraka proporcija ima binomnu distribuciju. Međutim, ako veličina uzorka n je razumno velik, tada je distribucija uzorka udjela približno normalna sa srednjom vrijednosti . Ocjenjujemo selektivnim omjerom p=r/n(Gdje r- broj jedinki u uzorku s karakterističnim značajkama koje nas zanimaju), a procjenjuje se standardna pogreška: Procjenjuje se interval pouzdanosti od 95% za udio: Ako je veličina uzorka mala (obično kada n.p. ili n(1-p) manje 5 ), tada je potrebno koristiti binomnu distribuciju kako bi se izračunali točni intervali pouzdanosti. Imajte na umu da ako str izraženo u postocima, dakle (1-p) zamijenjen sa (100-p). Interpretacija intervala povjerenja Kod tumačenja intervala pouzdanosti zanimaju nas sljedeća pitanja: Koliko je širok interval pouzdanosti? Široki interval pouzdanosti ukazuje da je procjena neprecizna; usko označava točnu procjenu. Širina intervala pouzdanosti ovisi o veličini standardne pogreške, koja opet ovisi o veličini uzorka, a kada se uzme u obzir numerička varijabla, varijabilnost podataka proizvodi šire intervale pouzdanosti nego studije velikog skupa podataka od nekoliko varijabli . Uključuje li CI neke vrijednosti od posebnog interesa? Možete provjeriti spada li vjerojatna vrijednost za parametar populacije unutar intervala pouzdanosti. Ako je tako, rezultati su u skladu s ovom vjerojatnom vrijednošću. Ako nije, tada je malo vjerojatno (za interval pouzdanosti od 95% šansa je gotovo 5%) da parametar ima tu vrijednost. "Katren-Style" nastavlja objavljivanje serije o medicinskoj statistici Konstantina Kravchika. U prethodna dva članka autor se bavio objašnjenjem pojmova kao što su i. Konstantin Kravčik Matematičar-analitičar. Specijalist za statistička istraživanja u medicini i humanističkim znanostima Moskva grad Vrlo često u člancima o kliničkim studijama možete pronaći tajanstveni izraz: “interval pouzdanosti” (95 % CI ili 95 % CI - interval pouzdanosti). Na primjer, u članku bi moglo pisati: "Da bi se procijenila značajnost razlika, korišten je Studentov t-test za izračun 95 % intervala pouzdanosti." Kolika je vrijednost “95 % intervala pouzdanosti” i zašto ga izračunati? Što je interval pouzdanosti? - Ovo je raspon unutar kojeg prava populacija znači laž. Postoje li "neistiniti" prosjeci? U određenom smislu, da, imaju. Objasnili smo da je nemoguće izmjeriti parametar od interesa na cijeloj populaciji, pa se istraživači zadovoljavaju ograničenim uzorkom. U ovom uzorku (npr. na temelju tjelesne težine) postoji jedna prosječna vrijednost (određena težina), po kojoj prosuđujemo prosječnu vrijednost u cijeloj populaciji. Međutim, malo je vjerojatno da će se prosječna težina u uzorku (osobito malom) podudarati s prosječnom težinom u općoj populaciji. Stoga je ispravnije izračunati i koristiti raspon prosječnih vrijednosti stanovništva. Na primjer, zamislite da je 95% interval pouzdanosti (95% CI) za hemoglobin 110 do 122 g/L. To znači da postoji 95% šanse da će prava srednja vrijednost hemoglobina u populaciji biti između 110 i 122 g/L. Drugim riječima, ne znamo prosječnu vrijednost hemoglobina u populaciji, ali možemo s 95 % vjerojatnosti naznačiti raspon vrijednosti za ovu osobinu. Intervali pouzdanosti posebno su relevantni za razlike u srednjim vrijednostima između skupina ili kako se nazivaju veličine učinka. Recimo, usporedili smo učinkovitost dva pripravka željeza: jednog koji je već dugo na tržištu i jednog koji je tek registriran. Nakon provedene terapije procijenili smo koncentraciju hemoglobina u ispitivanim skupinama bolesnika, a statističkim programom izračunali smo da je razlika između prosječnih vrijednosti dviju skupina s vjerojatnošću od 95 % u rasponu od 1,72 do 14,36 g/l (Tablica 1). Stol 1. Test za neovisne uzorke (skupine se uspoređuju prema razini hemoglobina) To treba protumačiti na sljedeći način: u nekih bolesnika u općoj populaciji koji uzimaju novi lijek hemoglobin će biti viši u prosjeku za 1,72–14,36 g/l nego u onih koji su uzimali već poznati lijek. Drugim riječima, u općoj populaciji razlika u prosječnim vrijednostima hemoglobina između skupina je unutar ovih granica s vjerojatnošću od 95%. Na istraživaču će biti prosuditi je li to puno ili malo. Poanta svega ovoga je da ne radimo s jednom prosječnom vrijednošću, već s nizom vrijednosti, dakle, pouzdanije procjenjujemo razliku u parametru između grupa. U statističkim paketima, prema nahođenju istraživača, možete samostalno suziti ili proširiti granice intervala pouzdanosti. Snižavanjem vjerojatnosti intervala pouzdanosti sužavamo raspon srednjih vrijednosti. Na primjer, pri 90 % CI raspon srednjih vrijednosti (ili razlika u srednjim vrijednostima) bit će uži nego pri 95 %. Suprotno tome, povećanjem vjerojatnosti na 99 % proširuje se raspon vrijednosti. Kada se uspoređuju grupe, donja granica CI može prijeći nultu oznaku. Na primjer, ako smo proširili granice intervala pouzdanosti na 99 %, tada su granice intervala bile u rasponu od –1 do 16 g/l. To znači da u općoj populaciji postoje skupine među kojima je razlika u sredinama za osobinu koja se proučava jednaka 0 (M = 0). Pomoću intervala pouzdanosti možete testirati statističke hipoteze. Ako interval pouzdanosti prijeđe nultu vrijednost, tada je nulta hipoteza, koja pretpostavlja da se grupe ne razlikuju po parametru koji se proučava, točna. Gore je opisan primjer gdje smo proširili granice na 99 %. Negdje u općoj populaciji našli smo skupine koje se ni po čemu nisu razlikovale. 95% interval pouzdanosti razlike u hemoglobinu, (g/l) Na slici je prikazan interval pouzdanosti od 95% za razliku u srednjim vrijednostima hemoglobina između dvije skupine. Pravac prolazi kroz nultu oznaku, stoga postoji razlika između srednjih vrijednosti nule, što potvrđuje nultu hipotezu da se grupe ne razlikuju. Raspon razlika između skupina je od –2 do 5 g/L. To znači da se hemoglobin može smanjiti za 2 g/L ili povećati za 5 g/L. Interval pouzdanosti je vrlo važan pokazatelj. Zahvaljujući njemu možete vidjeti jesu li razlike u skupinama doista nastale zbog razlike u sredinama ili zbog velikog uzorka, budući da su s velikim uzorkom šanse za pronalaženje razlika veće nego s malim. U praksi bi to moglo izgledati ovako. Uzeli smo uzorak od 1000 ljudi, izmjerili razinu hemoglobina i otkrili da se interval pouzdanosti za razliku u srednjim vrijednostima kreće od 1,2 do 1,5 g/l. Razina statističke značajnosti u ovom slučaju str Vidimo da je koncentracija hemoglobina porasla, ali gotovo neprimjetno, dakle statistička značajnost se pojavila upravo zbog veličine uzorka. Intervali pouzdanosti mogu se izračunati ne samo za srednje vrijednosti, već i za proporcije (i omjere rizika). Na primjer, zanima nas interval pouzdanosti udjela pacijenata koji su postigli remisiju tijekom uzimanja razvijenog lijeka. Pretpostavimo da 95 % CI za udjele, tj. za udio takvih pacijenata, leži u rasponu od 0,60-0,80. Dakle, možemo reći da naš lijek ima terapijski učinak u 60 do 80 % slučajeva. Svaki uzorak daje samo približnu sliku opće populacije, a sve statističke karakteristike uzorka (srednja vrijednost, mod, varijanca...) su neke aproksimacije ili recimo procjena općih parametara, koje u većini slučajeva nije moguće izračunati zbog na nedostupnost općoj populaciji (Slika 20) . Slika 20. Greška uzorkovanja Ali možete odrediti interval u kojem se, s određenim stupnjem vjerojatnosti, nalazi prava (opća) vrijednost statističke karakteristike. Taj se interval naziva d interval pouzdanosti (CI). Dakle, opća prosječna vrijednost s vjerojatnošću od 95% leži unutar od do, (20) Gdje t – tablična vrijednost Studentovog testa za α =0,05 i f= n-1 U ovom slučaju također se može naći 99% CI t odabran za α =0,01. Koji je praktični značaj intervala pouzdanosti? Široki interval pouzdanosti ukazuje da srednja vrijednost uzorka ne odražava točno srednju vrijednost populacije. To je obično zbog nedovoljne veličine uzorka ili njegove heterogenosti, tj. velika disperzija. Oba daju veću pogrešku srednje vrijednosti i, sukladno tome, širi CI. I to je osnova za povratak u fazu planiranja istraživanja. Gornje i donje granice CI daju procjenu hoće li rezultati biti klinički značajni Zaustavimo se detaljnije o pitanju statističke i kliničke važnosti rezultata proučavanja grupnih svojstava. Prisjetimo se da je zadatak statistike otkriti barem neke razlike u općim populacijama na temelju podataka uzorka. Izazov za kliničare je otkriti razlike (ne bilo koje) koje će pomoći u dijagnozi ili liječenju. A statistički zaključci nisu uvijek temelj za kliničke zaključke. Dakle, statistički značajno smanjenje hemoglobina za 3 g/l nije razlog za zabrinutost. I obrnuto, ako neki problem u ljudskom organizmu nije raširen na razini cijele populacije, to nije razlog da se s tim problemom ne pozabavimo. Pogledajmo ovu situaciju primjer. Istraživače je zanimalo zaostaju li dječaci koji su bolovali od neke vrste zarazne bolesti u rastu za svojim vršnjacima. U tu svrhu provedeno je ispitivanje uzorka u kojem je sudjelovalo 10 dječaka koji su bolovali od ove bolesti. Rezultati su prikazani u tablici 23. Tablica 23. Rezultati statističke obrade donja granica Gornja granica Standardi (cm) prosjek Iz ovih izračuna proizlazi da je prosječna visina uzorka desetogodišnjih dječaka koji su bolovali od neke zarazne bolesti blizu normalne (132,5 cm). Međutim, donja granica intervala pouzdanosti (126,6 cm) pokazuje da postoji 95%-tna vjerojatnost da stvarna prosječna visina ove djece odgovara konceptu „niske visine“, tj. ova djeca su zakržljala. U ovom su primjeru rezultati izračuna intervala pouzdanosti klinički značajni. INTERVALI POVJERANJA ZA FREKVENCIJE I RAZLOMKE © 2008 Nacionalni institut za javno zdravstvo, Oslo, Norveška U članku se opisuje i raspravlja o izračunu intervala pouzdanosti za frekvencije i proporcije primjenom metoda Wald, Wilson, Clopper - Pearson, primjenom kutne transformacije i metode Wald s korekcijom po Agresti - Coullu. Predstavljeni materijal pruža opće informacije o metodama za izračunavanje intervala pouzdanosti za frekvencije i proporcije i ima za cilj pobuditi interes čitatelja časopisa ne samo za korištenje intervala povjerenja pri predstavljanju rezultata vlastitog istraživanja, već i za čitanje specijalizirane literature prije početka rada o budućim publikacijama. Ključne riječi: interval pouzdanosti, učestalost, proporcija U jednoj od prethodnih publikacija ukratko se spominje opis kvalitativnih podataka i navodi da je njihova intervalna procjena poželjnija od točkaste procjene za opisivanje učestalosti pojavljivanja svojstva koje se proučava u populaciji. Doista, budući da se istraživanje provodi korištenjem podataka uzorka, projekcija rezultata na populaciju mora sadržavati element nepreciznosti uzorkovanja. Interval pouzdanosti je mjera točnosti parametra koji se procjenjuje. Zanimljivo je da neke knjige o osnovnoj statistici za liječnike potpuno zanemaruju temu intervala pouzdanosti za frekvencije. U ovom ćemo članku razmotriti nekoliko načina za izračunavanje intervala pouzdanosti za frekvencije, podrazumijevajući karakteristike uzorka kao što su neponavljanje i reprezentativnost, kao i neovisnost opažanja jedno o drugom. U ovom članku učestalost se ne shvaća kao apsolutni broj koji pokazuje koliko se puta određena vrijednost javlja u agregatu, već kao relativna vrijednost koja određuje udio sudionika istraživanja kod kojih se pojavljuje proučavana karakteristika. U biomedicinskim istraživanjima najčešće se koriste intervali pouzdanosti od 95%. Ovaj interval pouzdanosti je područje unutar kojeg pravi udio pada 95% vremena. Drugim riječima, s pouzdanošću od 95% možemo reći da će prava vrijednost učestalosti pojavljivanja neke osobine u populaciji biti unutar intervala pouzdanosti od 95%. Većina statističkih priručnika za medicinske istraživače izvještava da se pogreška učestalosti izračunava pomoću formule gdje je p učestalost pojavljivanja karakteristike u uzorku (vrijednost od 0 do 1). Većina domaćih znanstvenih članaka navodi učestalost pojavljivanja svojstva u uzorku (p), kao i njegovu grešku (e) u obliku p ± s. Primjerenije je, međutim, prikazati interval pouzdanosti od 95% za učestalost pojavljivanja svojstva u populaciji, koji će uključivati ​​vrijednosti od prije. Neki priručnici preporučuju da se za male uzorke vrijednost 1,96 zamijeni vrijednošću t za N – 1 stupanj slobode, gdje je N broj opažanja u uzorku. Vrijednost t nalazi se iz tablica za t-distribuciju, dostupnih u gotovo svim udžbenicima statistike. Korištenje t distribucije za Waldovu metodu ne daje vidljive prednosti u usporedbi s drugim metodama o kojima se raspravlja u nastavku, pa je stoga neki autori ne preporučuju. Gore predstavljena metoda za izračunavanje intervala pouzdanosti za frekvencije ili proporcije nazvana je Wald u čast Abrahama Walda (1902. – 1950.), budući da je njezina široka uporaba započela nakon objave Walda i Wolfowitza 1939. godine. Međutim, samu metodu predložio je Pierre Simon Laplace (1749–1827) još 1812. godine. Waldova metoda je vrlo popularna, ali je njena primjena povezana sa značajnim problemima. Metoda se ne preporučuje za male veličine uzorka, kao ni u slučajevima kada učestalost pojavljivanja neke karakteristike teži 0 ili 1 (0% ili 100%), a jednostavno je nemoguća za frekvencije 0 i 1. Osim toga, aproksimacija normalne distribucije, koja se koristi pri izračunavanju pogreške, "ne radi" u slučajevima kada je n · p< 5 или n · (1 – p) < 5 . Более консервативные статистики считают, что n · p и n · (1 – p) должны быть не менее 10 . Более детальное рассмотрение метода Вальда показало, что полученные с его помощью доверительные интервалы в большинстве случаев слишком узки, то есть их применение ошибочно создает слишком оптимистичную картину, особенно при удалении частоты встречаемости признака от 0,5, или 50 % . К тому же при приближении частоты к 0 или 1 доверительный интревал может принимать отрицательные значения или превышать 1, что выглядит абсурдно для частот. Многие авторы совершенно справедливо не рекомендуют применять данный метод не только в уже упомянутых случаях, но и тогда, когда частота встречаемости признака менее 25 % или более 75 % . Таким образом, несмотря на простоту расчетов, метод Вальда может применяться лишь в очень ограниченном числе случаев. Зарубежные исследователи более категоричны в своих выводах и однозначно рекомендуют не применять этот метод для небольших выборок , а ведь именно с такими выборками часто приходится иметь дело исследователям-медикам.

gdje uzima vrijednost 1,96 pri izračunu 95% intervala pouzdanosti, N je broj opažanja, a p je učestalost pojavljivanja karakteristike u uzorku. Ova metoda je dostupna u online kalkulatorima, tako da njezino korištenje nije problematično. i ne preporučujemo korištenje ove metode za n str< 4 или n · (1 – p) < 4 по причине слишком грубого приближения распределения р к нормальному в такой ситуации, однако зарубежные статистики считают метод Уилсона применимым и для малых выборок .

Uz Wilsonovu metodu, također se vjeruje da Waldova metoda s Agresti–Collovom korekcijom daje optimalnu procjenu intervala pouzdanosti za frekvencije. Agresti-Collova korekcija je zamjena u Waldovoj formuli učestalosti pojavljivanja karakteristike u uzorku (p) s p`, pri čemu se brojniku dodaje 2, a nazivniku 4, tj. p` = (X + 2) / (N + 4), gdje je X broj sudionika istraživanja koji imaju osobinu koja se proučava, a N veličina uzorka. Ova modifikacija daje rezultate vrlo slične Wilsonovoj formuli, osim kada se učestalost događaja približava 0% ili 100%, a uzorak je mali. Uz gore navedene metode za izračunavanje intervala pouzdanosti za frekvencije, predložene su korekcije kontinuiteta za Waldovu i Wilsonovu metodu za male uzorke, ali studije su pokazale da je njihova uporaba neprikladna.

Razmotrimo primjenu gore navedenih metoda za izračunavanje intervala pouzdanosti na dva primjera. U prvom slučaju, proučavamo veliki uzorak od 1000 nasumično odabranih sudionika studije, od kojih 450 ima osobinu koja se proučava (ovo može biti čimbenik rizika, ishod ili bilo koja druga osobina), što predstavlja učestalost od 0,45 ili 45 %. U drugom slučaju, istraživanje se provodi na malom uzorku, recimo samo 20 osoba, a samo 1 sudionik istraživanja (5%) ima osobinu koja se proučava. Intervali pouzdanosti korištenjem Waldove metode, Waldove metode s Agresti–Coll korekcijom i Wilsonove metode izračunati su pomoću online kalkulatora koji je razvio Jeff Sauro (http://www. /wald. htm). Wilsonovi intervali pouzdanosti ispravljeni za kontinuitet izračunati su pomoću kalkulatora koji je osigurao Wassar Stats: Web stranica za statističko izračunavanje (http://faculty.vassar.edu/lowry/prop1.html). Izračuni kutne Fisherove transformacije izvedeni su ručno korištenjem kritične t vrijednosti za 19 odnosno 999 stupnjeva slobode. Rezultati proračuna prikazani su u tablici za oba primjera.

Intervali pouzdanosti izračunati na šest različitih načina za dva primjera opisana u tekstu

Kao što se može vidjeti iz tablice, za prvi primjer interval pouzdanosti izračunat pomoću “općeprihvaćene” Waldove metode ulazi u negativno područje, što ne može biti slučaj za frekvencije. Nažalost, takvi incidenti nisu neuobičajeni u ruskoj književnosti. Tradicionalni način prezentiranja podataka u smislu učestalosti i njihove pogreške djelomično prikriva ovaj problem. Na primjer, ako je učestalost pojavljivanja neke osobine (u postocima) predstavljena kao 2,1 ± 1,4, onda to nije toliko "uvredljivo za oko" kao 2,1% (95% CI: –0,7; 4,9), iako i znači ista stvar. Waldova metoda s Agresti–Collovom korekcijom i izračun pomoću kutne transformacije daje donju granicu koja teži nuli. Wilsonova metoda s korekcijom kontinuiteta i "egzaktna metoda" proizvode šire intervale pouzdanosti od Wilsonove metode. Za drugi primjer, sve metode daju približno iste intervale pouzdanosti (razlike se pojavljuju samo u tisućinkama), što ne čudi, budući da se učestalost pojavljivanja događaja u ovom primjeru ne razlikuje puno od 50%, a veličina uzorka je prilično veliko.

Čitateljima koje zanima ovaj problem možemo preporučiti radove R. G. Newcombea i Browna, Caija i Dasgupte, koji daju prednosti i nedostatke korištenja 7 odnosno 10 različitih metoda za izračunavanje intervala pouzdanosti. Od domaćih priručnika preporučamo knjigu i, koja uz detaljan opis teorije prikazuje metode Walda i Wilsona, kao i metodu za izračunavanje intervala pouzdanosti uzimajući u obzir binomnu raspodjelu frekvencija. Osim besplatnih online kalkulatora (http://www. /wald. htm i http://faculty. vassar. edu/lowry/prop1.html), intervali pouzdanosti za frekvencije (i ne samo!) mogu se izračunati pomoću CIA program (Confidence Intervals Analysis), koji se može preuzeti s http://www. medicinska škola. soton. ak. uk/cia/ .

Sljedeći članak će se osvrnuti na jednovarijabilne načine usporedbe kvalitativnih podataka.

Bibliografija

INTERVALI POVJERANJA ZA PROPORCIJE

A. M. Grjibovski

Nacionalni institut za javno zdravstvo, Oslo, Norveška

U članku je prikazano nekoliko metoda za izračun intervala pouzdanosti za binomne proporcije, i to Waldova, Wilsonova, arcsinusna, Agresti-Coullova i egzaktna Clopper-Pearsonova metoda. Rad daje samo opći uvod u problem procjene intervala pouzdanosti binomnog udjela, a cilj mu je ne samo potaknuti čitatelje da koriste intervale pouzdanosti prilikom predstavljanja rezultata vlastitog empirijskog istraživanja, već i potaknuti ih da konzultiraju statističke knjige. prije analize vlastitih podataka i pripreme rukopisa.

Ključne riječi: interval pouzdanosti, proporcija

Podaci za kontakt:

– Viši savjetnik, Nacionalni institut za javno zdravstvo, Oslo, Norveška

U prethodnim pododjeljcima razmatrali smo pitanje procjene nepoznatog parametra A jedan broj. To se naziva "točkasta" procjena. U brojnim zadacima ne trebate samo pronaći parametar A prikladnu numeričku vrijednost, ali i procijeniti njegovu točnost i pouzdanost. Morate znati do kojih grešaka može dovesti zamjena parametra A svoju procjenu A i s kojim stupnjem pouzdanosti možemo očekivati ​​da te pogreške neće prijeći poznate granice?

Problemi ove vrste posebno su relevantni s malim brojem opažanja, kada je procjena točke i u uglavnom je nasumična i približna zamjena a s a može dovesti do ozbiljnih pogrešaka.

Da biste dobili ideju o točnosti i pouzdanosti procjene A,

U matematičkoj statistici koriste se takozvani intervali pouzdanosti i vjerojatnosti pouzdanosti.

Neka za parametar A nepristrana procjena dobivena iz iskustva A.Želimo procijeniti moguću pogrešku u ovom slučaju. Dodijelimo neku dovoljno veliku vjerojatnost p (na primjer, p = 0,9, 0,95 ili 0,99) tako da se događaj s vjerojatnošću p može smatrati praktički pouzdanim, i pronađimo vrijednost s za koju

Zatim raspon praktički mogućih vrijednosti pogreške koje nastaju tijekom zamjene A na A, bit će ± s; Velike pogreške u apsolutnoj vrijednosti pojavit će se samo s malom vjerojatnošću a = 1 - p. Prepišimo (14.3.1) kao:

Jednakost (14.3.2) znači da je s vjerojatnošću p nepoznata vrijednost parametra A spada u interval

Potrebno je napomenuti jednu okolnost. Prethodno smo više puta razmatrali vjerojatnost da slučajna varijabla padne u zadani neslučajni interval. Ovdje je situacija drugačija: veličina A nije slučajan, ali je interval / p slučajan. Njegov položaj na x-osi je slučajan, određen njegovim središtem A; Općenito, duljina intervala 2s također je slučajna, budući da se vrijednost s izračunava, u pravilu, iz eksperimentalnih podataka. Stoga bi u ovom slučaju bilo bolje interpretirati p vrijednost ne kao vjerojatnost "pogađanja" točke A u intervalu / p, te kao vjerojatnost da će slučajni interval / p pokriti točku A(Slika 14.3.1).

Riža. 14.3.1

Vjerojatnost p obično se naziva povjerenje vjerojatnost, i interval / p - interval pouzdanosti. Granice intervala Ako. a x =a- s i a 2 = a + a nazivaju se granice povjerenja.

Dajmo još jedno tumačenje koncepta intervala pouzdanosti: može se smatrati intervalom vrijednosti parametara A, kompatibilan s eksperimentalnim podacima i ne proturječi im. Doista, ako se složimo da događaj s vjerojatnošću a = 1-p smatramo praktički nemogućim, tada su one vrijednosti parametra a za koje a - a> s moraju se prepoznati kao kontradiktorni eksperimentalni podaci, a oni za koje |a - A a t na 2 .

Neka za parametar A postoji nepristrana procjena A. Kad bismo poznavali zakon raspodjele količine A, zadatak pronalaženja intervala pouzdanosti bio bi vrlo jednostavan: bilo bi dovoljno pronaći vrijednost s za koju

Poteškoća je u tome što zakon raspodjele procjena A ovisi o zakonu raspodjele količine x i stoga na njegove nepoznate parametre (posebno na sam parametar A).

Da biste zaobišli ovu poteškoću, možete upotrijebiti sljedeću grubo približnu tehniku: zamijenite nepoznate parametre u izrazu za s njihovim točkastim procjenama. Uz relativno velik broj pokusa P(oko 20...30) ova tehnika obično daje rezultate koji su zadovoljavajući u smislu točnosti.

Kao primjer, razmotrite problem intervala pouzdanosti za matematičko očekivanje.

Neka se proizvodi P X,čije su karakteristike matematičko očekivanje T i varijanca D- nepoznato. Za ove parametre dobivene su sljedeće procjene:

Potrebno je konstruirati interval pouzdanosti / p koji odgovara vjerojatnosti pouzdanosti p za matematičko očekivanje T količinama X.

Pri rješavanju ovog problema koristit ćemo se činjenicom da količina T predstavlja zbroj P nezavisne identično distribuirane slučajne varijable Xh a prema središnjem graničnom teoremu, za dovoljno velik P njegov zakon raspodjele je blizu normalnog. U praksi, čak i s relativno malim brojem članova (oko 10 ... 20), zakon distribucije zbroja može se približno smatrati normalnim. Pretpostavit ćemo da vrijednost T raspoređeni prema normalnom zakonu. Karakteristike ovog zakona - matematičko očekivanje i varijanca - jednake su redom T I

(vidi poglavlje 13 pododjeljak 13.3). Pretpostavimo da vrijednost D znamo i naći ćemo vrijednost Ep za koju

Koristeći formulu (6.3.5) iz poglavlja 6, izražavamo vjerojatnost na lijevoj strani (14.3.5) kroz funkciju normalne distribucije

gdje je standardna devijacija procjene T.

Iz jednadžbe

nađi vrijednost Sp:

gdje je arg F* (h) inverzna funkcija od F* (X), oni. takva vrijednost argumenta za koju je funkcija normalne distribucije jednaka X.

Disperzija D, preko kojih se izražava količina A 1P, ne znamo točno; kao njegovu približnu vrijednost možete koristiti procjenu D(14.3.4) i približno staviti:

Time je približno riješen problem konstruiranja intervala povjerenja koji je jednak:

gdje je gp određen formulom (14.3.7).

Kako bi se izbjegla obrnuta interpolacija u tablicama funkcije F* (l) pri izračunavanju s p, prikladno je sastaviti posebnu tablicu (tablica 14.3.1), koja daje vrijednosti količine

ovisno o r. Vrijednost (p za normalni zakon određuje broj standardnih devijacija koje se moraju iscrtati desno i lijevo od središta disperzije tako da je vjerojatnost ulaska u rezultirajuće područje jednaka p.

Koristeći vrijednost 7 p, interval pouzdanosti se izražava kao:

Tablica 14.3.1

Primjer 1. Provedeno je 20 eksperimenata na količinu X; rezultati su prikazani u tablici. 14.3.2.

Tablica 14.3.2

Potrebno je pronaći procjenu iz matematičkog očekivanja količine x i konstruirajte interval pouzdanosti koji odgovara vjerojatnosti pouzdanosti p = 0,8.

Riješenje. Imamo:

Odabirom l: = 10 kao referentne točke, korištenjem treće formule (14.2.14) nalazimo nepristranu procjenu D :

Prema tablici 14.3.1 nalazimo

Granice pouzdanosti:

Interval pouzdanosti:

Vrijednosti parametara T, koji leže u ovom intervalu kompatibilni su s eksperimentalnim podacima danim u tablici. 14.3.2.

Interval pouzdanosti za varijancu može se konstruirati na sličan način.

Neka se proizvodi P neovisni eksperimenti na slučajnoj varijabli x s nepoznatim parametrima i za A i za disperziju D dobivena je nepristrana procjena:

Potrebno je približno konstruirati interval pouzdanosti za varijancu.

Iz formule (14.3.11) jasno je da količina D predstavlja

iznos P slučajne varijable oblika . Ove vrijednosti nisu

neovisni, budući da svaki od njih uključuje količinu T, ovisan o svima drugima. Međutim, može se pokazati da s povećanjem P zakon raspodjele njihovog zbroja također se približava normalnom. Skoro u P= 20...30 već se može smatrati normalnim.

Pretpostavimo da je to tako i pronađimo karakteristike ovog zakona: matematičko očekivanje i disperziju. Od procjene D- nepristrano, dakle M[D] = D.

Izračun varijance DD je povezan s relativno složenim izračunima, stoga prikazujemo njegov izraz bez izvoda:

gdje je q 4 četvrti središnji moment veličine X.

Da biste koristili ovaj izraz, morate zamijeniti vrijednosti \u003d 4 i D(barem bližnjih). Umjesto D možete koristiti njegovu procjenu D. U načelu, četvrti središnji moment također se može zamijeniti procjenom, na primjer, vrijednošću oblika:

ali takva zamjena će dati izuzetno nisku točnost, budući da se općenito, s ograničenim brojem eksperimenata, momenti visokog reda određuju s velikim pogreškama. Međutim, u praksi se često događa da vrsta zakona raspodjele količine x unaprijed poznat: nepoznati su samo njegovi parametri. Zatim možete pokušati izraziti μ 4 kroz D.

Uzmimo najčešći slučaj, kada je vrijednost x raspoređeni prema normalnom zakonu. Zatim se njegov četvrti središnji moment izražava u smislu disperzije (vidi Poglavlje 6, pododjeljak 6.2);

a formula (14.3.12) daje ili

Zamjena nepoznatog u (14.3.14) D njegova procjena D, dobivamo: odakle

Moment μ 4 može se izraziti kroz D također i u nekim drugim slučajevima, kada raspodjela vrijednosti x nije normalan, ali je poznat njegov izgled. Na primjer, za zakon uniformne gustoće (vidi Poglavlje 5) imamo:

gdje je (a, P) interval na kojem je specificiran zakon.

Stoga,

Koristeći formulu (14.3.12) dobivamo: gdje nalazimo otprilike

U slučajevima kada je vrsta zakona raspodjele za količinu 26 nepoznata, pri približnoj procjeni vrijednosti a/) i dalje se preporuča koristiti formulu (14.3.16), osim ako postoje posebni razlozi vjerovati da ovaj zakon jako se razlikuje od normalnog (ima primjetan pozitivan ili negativan kurtosis) .

Ako se približna vrijednost a/) dobije na ovaj ili onaj način, tada možemo konstruirati interval pouzdanosti za varijancu na isti način kao što smo ga izgradili za matematičko očekivanje:

gdje se vrijednost ovisno o zadanoj vjerojatnosti p nalazi prema tablici. 14.3.1.

Primjer 2. Pronađite približno 80% interval pouzdanosti za varijancu slučajne varijable x pod uvjetima iz primjera 1, ako je poznato da vrijednost x raspodijeljena prema zakonu bliskom normalnom.

Riješenje. Vrijednost ostaje ista kao u tablici. 14.3.1:

Prema formuli (14.3.16)

Pomoću formule (14.3.18) nalazimo interval pouzdanosti:

Odgovarajući raspon vrijednosti standardne devijacije: (0,21; 0,29).

14.4. Egzaktne metode za konstruiranje intervala pouzdanosti za parametre slučajne varijable distribuirane prema normalnom zakonu

U prethodnom pododjeljku ispitali smo grubo približne metode za konstruiranje intervala pouzdanosti za matematičko očekivanje i varijancu. Ovdje ćemo dati ideju o točnim metodama za rješavanje istog problema. Naglašavamo da je za točno određivanje intervala pouzdanosti apsolutno potrebno unaprijed znati oblik zakona raspodjele količine X, dok za primjenu približnih metoda to nije potrebno.

Ideja točnih metoda za konstruiranje intervala povjerenja svodi se na sljedeće. Bilo koji interval pouzdanosti nalazi se iz uvjeta koji izražava vjerojatnost ispunjenja određenih nejednakosti, koje uključuju procjenu koja nas zanima A. Zakon raspodjele vrednovanja A u općem slučaju ovisi o nepoznatim parametrima veličine X. Međutim, ponekad je moguće prenijeti nejednakosti iz slučajne varijable A na neku drugu funkciju promatranih vrijednosti X p X 2, ..., X str.čiji zakon raspodjele ne ovisi o nepoznatim parametrima, već ovisi samo o broju pokusa i vrsti zakona raspodjele veličine X. Ove vrste slučajnih varijabli igraju važnu ulogu u matematičkoj statistici; najdetaljnije su proučavani za slučaj normalne raspodjele količine X.

Na primjer, dokazano je da uz normalnu raspodjelu vrijednosti x slučajna vrijednost

pokorava se tzv Zakon raspodjele studenata S P- 1 stupanj slobode; gustoća ovog zakona ima oblik

gdje je G(x) poznata gama funkcija:

Također je dokazano da slučajna varijabla

ima "%2 distribuciju" sa P- 1 stupnjeva slobode (vidi Poglavlje 7), čija se gustoća izražava formulom

Ne zadržavajući se na izvodima distribucija (14.4.2) i (14.4.4), pokazat ćemo kako se one mogu primijeniti pri konstruiranju intervala pouzdanosti za parametre ti D.

Neka se proizvodi P neovisni eksperimenti na slučajnoj varijabli X, normalno raspodijeljen s nepoznatim parametrima DO. Za ove parametre dobivene su procjene

Potrebno je konstruirati intervale pouzdanosti za oba parametra koji odgovaraju vjerojatnosti pouzdanosti p.

Najprije konstruirajmo interval pouzdanosti za matematičko očekivanje. Prirodno je taj interval uzeti simetričnim u odnosu na T; neka s p označava polovicu duljine intervala. Vrijednost s p mora biti odabrana tako da uvjet bude zadovoljen

Pokušajmo se pomaknuti s lijeve strane jednakosti (14.4.5) od slučajne varijable T na slučajnu varijablu T, raspoređeni prema Studentovom zakonu. Da biste to učinili, pomnožite obje strane nejednakosti |m-w?|

pozitivnom vrijednošću: ili, koristeći notaciju (14.4.1),

Nađimo broj / p takav da se vrijednost / p može pronaći iz uvjeta

Iz formule (14.4.2) jasno je da je (1) parna funkcija, stoga (14.4.8) daje

Jednakost (14.4.9) određuje vrijednost / p ovisno o p. Ako imate na raspolaganju tablicu integralnih vrijednosti

tada se vrijednost /p može naći obrnutom interpolacijom u tablici. Međutim, prikladnije je unaprijed sastaviti tablicu /p vrijednosti. Takva tablica data je u Dodatku (Tablica 5). Ova tablica prikazuje vrijednosti ovisno o razini pouzdanosti p i broju stupnjeva slobode P- 1. Odredivši / p iz tablice. 5 i pod pretpostavkom

naći ćemo polovicu širine intervala pouzdanosti / p i sam interval

Primjer 1. Provedeno je 5 neovisnih eksperimenata na slučajnoj varijabli X, normalno raspodijeljen s nepoznatim parametrima T i oko. Rezultati pokusa dati su u tablici. 14.4.1.

Tablica 14.4.1

Pronađite ocjenu T za matematičko očekivanje i za njega konstruirajte 90% interval pouzdanosti / p (tj. interval koji odgovara vjerojatnosti pouzdanosti p = 0,9).

Riješenje. Imamo:

Prema tablici 5 prijave za P - 1 = 4 i p = 0,9 nalazimo gdje

Interval pouzdanosti bit će

Primjer 2. Za uvjete iz primjera 1 pododjeljka 14.3, uz pretpostavku vrijednosti x normalno raspoređen, pronađite točan interval pouzdanosti.

Riješenje. Prema tablici 5. priloga nalazimo kada P - 1 = 19ir =

0,8 / p = 1,328; odavde

Uspoređujući s rješenjem primjera 1 pododjeljka 14.3 (e p = 0,072), uvjerili smo se da je odstupanje vrlo beznačajno. Ako zadržimo točnost do drugog decimalnog mjesta, tada se intervali pouzdanosti pronađeni egzaktnom i aproksimativnom metodom podudaraju:

Prijeđimo na konstruiranje intervala pouzdanosti za varijancu. Razmotrite nepristrani procjenitelj varijance

i izrazite slučajnu varijablu D kroz veličinu V(14.4.3), s distribucijom x 2 (14.4.4):

Poznavanje zakona raspodjele količine V, možete pronaći interval /(1) u koji pada sa zadanom vjerojatnošću p.

Zakon raspodjele kn_x(v) magnituda I 7 ima oblik prikazan na sl. 14.4.1.

Riža. 14.4.1

Postavlja se pitanje: kako odabrati interval / p? Ako zakon raspodjele veličine V bio simetričan (poput normalnog zakona ili Studentove distribucije), bilo bi prirodno interval /p uzeti simetričnim u odnosu na matematičko očekivanje. U ovom slučaju zakon k p_x (v) asimetričan. Dogovorimo se da odaberemo interval /p tako da je vjerojatnost vrijednosti V izvan intervala desno i lijevo (osjenčana područja na sl. 14.4.1) bili su isti i jednaki

Da bismo konstruirali interval /p s ovim svojstvom, koristimo tablicu. 4 aplikacije: sadrži brojeve y) takav da

za vrijednost V, ima x 2 -distribuciju s r stupnjeva slobode. U našem slučaju r = n- 1. Popravimo r = n- 1 i pronađite u odgovarajućem retku tablice. 4 dva značenja x 2 - jedan odgovara vjerojatnosti drugi - vjerojatnosti Označimo ove

vrijednosti u 2 I xl? Interval ima y 2, lijevom stranom i y ~ desni kraj.

Nađimo sada iz intervala / p željeni interval pouzdanosti /|, za disperziju s granicama D, i D2, koji pokriva točku D s vjerojatnošću p:

Konstruirajmo interval / (, = (?> ʹ A) koji pokriva točku D ako i samo ako vrijednost V pada u interval /r. Pokažimo da je interval

zadovoljava ovaj uvjet. Doista, nejednakosti ekvivalentne su nejednakostima

te su nejednakosti zadovoljene s vjerojatnošću p. Dakle, interval pouzdanosti za varijancu je pronađen i izražen je formulom (14.4.13).

Primjer 3. Odredite interval pouzdanosti za varijancu pod uvjetima iz primjera 2 pododjeljka 14.3, ako je poznato da vrijednost x normalno raspoređena.

Riješenje. Imamo . Prema tablici 4. priloga

nalazimo na r = n - 1 = 19

Pomoću formule (14.4.13) nalazimo interval pouzdanosti za varijancu

Odgovarajući interval za standardnu ​​devijaciju je (0,21; 0,32). Ovaj interval samo neznatno premašuje interval (0,21; 0,29) dobiven u primjeru 2 pododjeljka 14.3 uporabom aproksimativne metode.

• Slika 14.3.1 razmatra interval pouzdanosti simetričan oko a. Općenito, kao što ćemo vidjeti kasnije, to nije potrebno.