Kako izračunati površinu paralelopipeda. Bočna površina različitih piramida

Prilikom pripreme za jedinstveni državni ispit iz matematike, učenici moraju sistematizirati svoje znanje iz algebre i geometrije. Želio bih kombinirati sve poznate informacije, na primjer, o tome kako izračunati površinu piramide. Štoviše, počevši od baze i bočnih rubova do cijele površine. Ako je situacija s bočnim stranama jasna, budući da su trokuti, tada je baza uvijek drugačija.

Kako pronaći područje baze piramide?

To može biti apsolutno bilo koja figura: od proizvoljnog trokuta do n-kuta. A ta baza, osim razlike u broju kutova, može biti pravilan lik ili nepravilan. U zadacima Jedinstvenog državnog ispita koji zanimaju školarce postoje samo zadaci s točnim brojkama u osnovi. Stoga ćemo govoriti samo o njima.

Pravilni trokut

Odnosno, jednakostraničan. Ona u kojoj su sve strane jednake i označene slovom "a". U ovom slučaju, površina baze piramide izračunava se formulom:

S = (a 2 * √3) / 4.

Kvadrat

Formula za izračunavanje njegove površine je najjednostavnija, ovdje je "a" opet strana:

Proizvoljni pravilni n-kut

Stranica poligona ima istu oznaku. Za broj kutova koristi se latinično slovo n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Što učiniti pri izračunu bočne i ukupne površine?

Budući da je baza pravilan lik, sva lica piramide su jednaka. Štoviše, svaki od njih je jednakokračan trokut, jer su bočni rubovi jednaki. Zatim, da biste izračunali bočnu površinu piramide, trebat će vam formula koja se sastoji od zbroja identičnih monoma. Broj članova određen je brojem stranica baze.

Površina jednakokračnog trokuta izračunava se formulom u kojoj se polovica umnoška baze množi s visinom. Ova visina u piramidi naziva se apotemom. Njegova oznaka je "A". Opća formula za bočnu površinu je:

S = ½ P*A, gdje je P opseg baze piramide.

Postoje situacije kada stranice baze nisu poznate, ali su zadani bočni bridovi (c) i ravni kut pri njezinu vrhu (α). Zatim morate koristiti sljedeću formulu za izračunavanje bočne površine piramide:

S = n/2 * u 2 sin α .

Zadatak br. 1

Stanje. Nađite ukupnu površinu piramide ako njezina baza ima stranicu 4 cm, a apotem ima vrijednost √3 cm.

Riješenje. Morate početi izračunavanjem perimetra baze. Budući da je ovo pravilan trokut, tada je P = 3 * 4 = 12 cm. Budući da je apotem poznat, možemo odmah izračunati površinu cijele bočne površine: ½ * 12 * √3 = 6√3 cm 2.

Za trokut u osnovi dobivate sljedeću vrijednost površine: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.

Da biste odredili cijelu površinu, morat ćete zbrojiti dvije dobivene vrijednosti: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Odgovor. 10√3 cm 2.

Problem br. 2

Stanje. Postoji pravilna četverokutna piramida. Duljina donje stranice je 7 mm, bočnog ruba 16 mm. Potrebno je saznati njegovu površinu.

Riješenje. Budući da je poliedar četverokutan i pravilan, baza mu je kvadrat. Nakon što saznate površinu baze i bočnih stranica, moći ćete izračunati površinu piramide. Formula za kvadrat je data gore. A za bočne strane poznate su sve strane trokuta. Stoga možete koristiti Heronovu formulu za izračunavanje njihovih površina.

Prvi izračuni su jednostavni i dovode do sljedećeg broja: 49 mm 2. Za drugu vrijednost morat ćete izračunati poluopseg: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Sada možete izračunati površinu jednakokračnog trokuta: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Postoje samo četiri takva trokuta, pa ćete ga pri izračunavanju konačnog broja morati pomnožiti s 4.

Ispada: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.

Odgovor. Željena vrijednost je 267,576 mm 2.

Problem br. 3

Stanje. Za pravilnu četverokutnu piramidu morate izračunati površinu. Poznato je da je stranica kvadrata 6 cm, a visina 4 cm.

Riješenje. Najlakši način je upotrijebiti formulu s umnoškom opsega i apoteme. Prvu vrijednost je lako pronaći. Drugi je malo kompliciraniji.

Morat ćemo se sjetiti Pitagorinog poučka i uzeti u obzir da se sastoji od visine piramide i apoteme, što je hipotenuza. Drugi krak je jednak polovici stranice kvadrata, budući da visina poliedra pada u njegovu sredinu.

Traženi apotem (hipotenuza pravokutnog trokuta) jednak je √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Sada možete izračunati traženu vrijednost: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).

Odgovor. 96 cm 2.

Problem broj 4

Stanje. Dana je točna stranica. Stranice njegove baze su 22 mm, bočni rubovi su 61 mm. Kolika je bočna površina ovog poliedra?

Riješenje. Obrazloženje u njemu je isto kao ono opisano u zadatku br. 2. Samo tamo je dana piramida s kvadratom u bazi, a sada je šesterokut.

Prije svega, osnovna površina izračunava se pomoću gornje formule: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.

Sada morate saznati poluopseg jednakokračnog trokuta, koji je bočna strana. (22+61*2):2 = 72 cm.Preostaje samo pomoću Heronove formule izračunati površinu svakog takvog trokuta, a zatim ga pomnožiti sa šest i dodati onom dobivenom za bazu.

Izračuni pomoću Heronove formule: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Izračuni koji će dati bočnu površinu: 660 * 6 = 3960 cm 2. Ostaje ih zbrojiti kako bismo saznali cijelu površinu: 5217,47≈5217 cm 2.

Odgovor. Baza je 726√3 cm2, bočna ploha 3960 cm2, cjelokupni oplošje 5217 cm2.

Cilindar je figura koja se sastoji od cilindrične površine i dva kruga koji se nalaze paralelno. Izračunavanje površine cilindra je problem u geometrijskoj grani matematike, koji se može vrlo jednostavno riješiti. Postoji nekoliko metoda za rješavanje, koje se na kraju uvijek svode na jednu formulu.

Kako pronaći površinu cilindra - pravila izračuna

• Da biste saznali površinu cilindra, morate dodati dvije površine baze s površinom bočne površine: S = S strana + 2S baza. U detaljnijoj verziji ova formula izgleda ovako: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Bočna površina danog geometrijskog tijela može se izračunati ako su poznati njegova visina i polumjer kruga koji leži u njegovoj osnovi. U ovom slučaju možete izraziti radijus iz opsega, ako je zadan. Visina se može pronaći ako je u uvjetu navedena vrijednost generatora. U ovom slučaju, generatrix će biti jednaka visini. Formula za bočnu površinu ovog tijela izgleda ovako: S= 2 π rh.
• Površina baze izračunava se pomoću formule za pronalaženje površine kruga: S osn= π r 2 . U nekim zadacima radijus možda nije zadan, ali opseg može biti zadan. Ovom se formulom radijus izražava prilično jednostavno. S=2π r, r= S/2π. Također morate zapamtiti da je radijus pola promjera.
• Prilikom izvođenja svih ovih izračuna, broj π se obično ne prevodi u 3,14159... Samo ga treba dodati uz numeričku vrijednost koja je dobivena kao rezultat izračuna.
• Zatim samo trebate pomnožiti pronađenu površinu baze s 2 i dodati dobivenom broju izračunatu površinu bočne površine figure.
• Ako problem pokazuje da cilindar ima osni presjek i da je pravokutnik, tada će rješenje biti malo drugačije. U ovom slučaju, širina pravokutnika bit će promjer kruga koji leži u podnožju tijela. Duljina figure bit će jednaka generatrisi ili visini cilindra. Potrebno je izračunati potrebne vrijednosti i zamijeniti ih u već poznatu formulu. U ovom slučaju, širina pravokutnika mora se podijeliti s dva da bi se pronašla površina baze. Da bismo pronašli bočnu površinu, duljina se množi s dva radijusa i brojem π.
• Možete izračunati površinu zadanog geometrijskog tijela kroz njegov volumen. Da biste to učinili, trebate izvesti vrijednost koja nedostaje iz formule V=π r 2 h.
• Ne postoji ništa komplicirano u izračunavanju površine cilindra. Vi samo trebate znati formule i moći iz njih izvesti količine potrebne za izračune.

Površina piramide. U ovom ćemo članku razmotriti probleme s pravilnim piramidama. Dopustite mi da vas podsjetim da je pravilna piramida piramida čija je baza pravilan poligon, vrh piramide je projiciran u središte tog poligona.

Bočna strana takve piramide je jednakokračni trokut.Visina ovog trokuta izvučena iz vrha pravilne piramide naziva se apotem, SF - apotem:

U dolje prikazanoj vrsti problema morate pronaći površinu cijele piramide ili površinu njezine bočne površine. Blog je već raspravljao o nekoliko problema s pravilnim piramidama, gdje je pitanje bilo o pronalaženju elemenata (visina, osnovni rub, bočni rub).

Zadaci Jedinstvenog državnog ispita obično ispituju pravilne trokutaste, četverokutne i šesterokutne piramide. Nisam vidio nikakvih problema s pravilnim peterokutnim i sedmerokutnim piramidama.

Formula za površinu cijele površine je jednostavna - trebate pronaći zbroj površine baze piramide i površine njezine bočne površine:

Razmotrimo zadatke:

Stranice baze pravilne četverokutne piramide su 72, bočni bridovi su 164. Nađite površinu ove piramide.

Površina piramide jednaka je zbroju površina bočne površine i baze:

*Bočnu plohu čine četiri trokuta jednake površine. Osnova piramide je kvadrat.

Možemo izračunati površinu strane piramide koristeći:

Dakle, površina piramide je:

Odgovor: 28224

Stranice baze pravilne šesterokutne piramide jednake su 22, bočni rubovi su jednaki 61. Nađite bočnu površinu ove piramide.

Osnova pravilne šesterokutne piramide je pravilni šesterokut.

Bočna površina ove piramide sastoji se od šest područja jednakih trokuta sa stranicama 61,61 i 22:

Nađimo površinu trokuta pomoću Heronove formule:

Dakle, bočna površina je:

Odgovor: 3240

*U gore navedenim problemima, područje bočne strane može se pronaći pomoću druge formule trokuta, ali za to morate izračunati apotemu.

27155. Odredite površinu pravilne četverokutne piramide čije su osnovne stranice 6, a visina 4.

Da bismo pronašli površinu piramide, moramo znati površinu baze i površinu bočne površine:

Površina baze je 36 jer je to kvadrat sa stranicom 6.

Bočna površina sastoji se od četiri lica, koja su jednaki trokuti. Da biste pronašli područje takvog trokuta, morate znati njegovu bazu i visinu (apotem):

*Površina trokuta jednaka je polovici umnoška baze i visine povučene na tu bazu.

Baza je poznata, jednaka je šest. Nađimo visinu. Razmotrimo pravokutni trokut (označen žutom bojom):

Jedan krak je jednak 4, jer je to visina piramide, drugi je jednak 3, jer je jednak polovici ruba baze. Hipotenuzu možemo pronaći pomoću Pitagorine teoreme:

To znači da je površina bočne površine piramide:

Dakle, površina cijele piramide je:

Odgovor: 96

27069. Stranice baze pravilne četverokutne piramide jednake su 10, bočni bridovi su jednaki 13. Nađite površinu ove piramide.

27070. Stranice baze pravilne šesterokutne piramide jednake su 10, bočni bridovi su jednaki 13. Nađite bočnu površinu ove piramide.

Postoje i formule za bočnu površinu pravilne piramide. U pravilnoj piramidi baza je ortogonalna projekcija bočne plohe, dakle:

P- osnovni opseg, l- apotem piramide

*Ova formula se temelji na formuli za površinu trokuta.

Ako želite saznati više o tome kako se te formule izvode, ne propustite, pratite objavljivanje članaka.To je sve. Sretno ti!

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako biste mi rekli nešto o stranici na društvenim mrežama.

Cilindar je geometrijsko tijelo omeđeno dvjema paralelnim ravninama i cilindričnom plohom. U članku ćemo govoriti o tome kako pronaći površinu cilindra i, koristeći formulu, riješit ćemo nekoliko problema kao primjer.

Cilindar ima tri površine: vrh, bazu i bočnu površinu.

Vrh i baza cilindra su krugovi i lako ih je prepoznati.

Poznato je da je površina kruga jednaka πr 2. Stoga će formula za površinu dva kruga (vrh i baza cilindra) biti πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

Treća, bočna površina cilindra, je zakrivljena stijenka cilindra. Kako bismo bolje zamislili ovu plohu, pokušajmo je transformirati da dobije prepoznatljiv oblik. Zamislite da je cilindar obična konzerva koja nema ni gornji ni donji poklopac. Napravimo okomiti rez na bočnoj stijenci od vrha do dna limenke (Korak 1 na slici) i pokušajmo što više otvoriti (ispraviti) dobivenu figuru (Korak 2).

Nakon što se staklenka potpuno otvori, vidjet ćemo poznatu figuru (3. korak), ovo je pravokutnik. Površina pravokutnika je lako izračunati. Ali prije toga, vratimo se na trenutak na izvorni cilindar. Vrh izvornog valjka je kružnica, a znamo da se opseg izračunava po formuli: L = 2πr. Na slici je označen crvenom bojom.

Kada se bočna stijenka cilindra potpuno otvori, vidimo da opseg postaje duljina rezultirajućeg pravokutnika. Stranice tog pravokutnika bit će opseg (L = 2πr) i visina valjka (h). Površina pravokutnika jednaka je umnošku njegovih stranica - S = duljina x širina = L x h = 2πr x h = 2πrh. Kao rezultat toga, dobili smo formulu za izračunavanje površine bočne površine cilindra.

Formula za bočnu površinu cilindra
S strana = 2πrh

Ukupna površina cilindra

Na kraju, ako zbrojimo površinu sve tri površine, dobivamo formulu za ukupnu površinu cilindra. Površina cilindra jednaka je površini vrha cilindra + površini baze cilindra + površini bočne površine cilindra ili S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Ponekad se ovaj izraz piše identično formuli 2πr (r + h).

Formula za ukupnu površinu cilindra
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – polumjer cilindra, h – visina cilindra

Primjeri izračunavanja površine cilindra

Da bismo razumjeli gornje formule, pokušajmo izračunati površinu cilindra pomoću primjera.

1. Polumjer baze cilindra je 2, visina je 3. Odredite površinu bočne površine cilindra.

Ukupna površina izračunava se po formuli: S strana. = 2πrh

S strana = 2 * 3,14 * 2 * 3

S strana = 6,28 * 6

S strana = 37,68

Bočna površina cilindra je 37,68.

2. Kako pronaći površinu valjka ako je visina 4, a polumjer 6?

Ukupna površina izračunava se pomoću formule: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

je višestrani lik, čija je baza mnogokut, a preostala lica predstavljena su trokutima sa zajedničkim vrhom.

Ako je baza kvadrat, tada se zove piramida četverokutan, ako je trokut – onda trokutasti. Visina piramide povučena je od njenog vrha okomito na bazu. Također se koristi za izračunavanje površine apotema– visina bočne strane, spuštena od njenog vrha.
Formula za površinu bočne površine piramide je zbroj površina njezinih bočnih strana, koje su međusobno jednake. Međutim, ova metoda izračuna se koristi vrlo rijetko. U osnovi, površina piramide izračunava se kroz obod baze i apoteme:

Razmotrimo primjer izračuna površine bočne površine piramide.

Neka je dana piramida s bazom ABCDE i vrhom F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm. Apotem a = 5 cm. Odredite površinu bočne površine piramide.
Nađimo opseg. Budući da su svi rubovi baze jednaki, opseg peterokuta bit će jednak:
Sada možete pronaći bočno područje piramide:

Površina pravilne trokutaste piramide

Pravilna trokutasta piramida sastoji se od baze u kojoj leži pravilan trokut i tri bočne strane koje su jednake površine.
Formula za bočnu površinu pravilne trokutaste piramide može se izračunati na različite načine. Možete primijeniti uobičajenu formulu za izračun pomoću perimetra i apoteme ili možete pronaći područje jednog lica i pomnožiti ga s tri. Budući da je lice piramide trokut, primjenjujemo formulu za površinu trokuta. To će zahtijevati apotemu i duljinu baze. Razmotrimo primjer izračuna bočne površine pravilne trokutaste piramide.

Dana je piramida s apotemom a = 4 cm i osnovnom plohom b = 2 cm. Odredite površinu bočne plohe piramide.
Prvo pronađite područje jedne od bočnih strana. U ovom slučaju to će biti:
Zamijenite vrijednosti u formulu:
Budući da su u pravilnoj piramidi sve strane iste, površina bočne površine piramide bit će jednaka zbroju površina tri lica. Odnosno:

Površina krnje piramide

Krnji Piramida je poliedar kojeg čine piramida i njezin presjek paralelan s bazom.
Formula za bočnu površinu krnje piramide vrlo je jednostavna. Površina je jednaka umnošku polovine zbroja opsega baza i apoteme: