Formula za volumen piramide pomoću trokuta. Formule za volumen pravilne trokutaste piramide
Jedna od najjednostavnijih trodimenzionalnih figura je trokutasta piramida, budući da se sastoji od najmanjeg broja lica od kojih se može oblikovati lik u prostoru. U ovom članku ćemo pogledati formule koje se mogu koristiti za pronalaženje volumena trokutaste pravilne piramide.
Trokutasta piramida
Prema općoj definiciji, piramida je poligon čiji su svi vrhovi povezani s jednom točkom koja se ne nalazi u ravnini tog poligona. Ako je potonji trokut, tada se cijela figura naziva trokutasta piramida.
Piramida o kojoj je riječ sastoji se od baze (trokuta) i tri bočne strane (trokuta). Točka u kojoj su tri bočne plohe spojene naziva se vrhom figure. Okomica s tog vrha spuštena na bazu je visina piramide. Ako se sjecište okomice s osnovicom poklapa sa sjecištem središnjica trokuta na osnovici, tada govorimo o pravilnoj piramidi. Inače će biti nakošen.
Kao što je navedeno, baza trokutaste piramide može biti opća vrsta trokuta. Međutim, ako je jednakostrana, a sama piramida ravna, onda se govori o pravilnoj trodimenzionalnoj figuri.
Svaki ima 4 lica, 6 rubova i 4 vrha. Ako su duljine svih bridova jednake, tada se takva figura naziva tetraedar.
opći tip
Prije nego što zapišemo pravilnu trokutastu piramidu, dat ćemo izraz za ovu fizikalnu veličinu za piramidu općeg tipa. Ovaj izraz izgleda ovako:
Ovdje je S o površina baze, h je visina figure. Ova jednakost će vrijediti za bilo koju vrstu baze poligona piramide, kao i za stožac. Ako se na osnovici nalazi trokut s duljinom stranice a i visinom h o spuštenom na nju, tada će formula za volumen biti zapisana na sljedeći način:
Formule za volumen pravilne trokutaste piramide
Triangular ima jednakostranični trokut u osnovi. Poznato je da je visina ovog trokuta s duljinom njegove stranice povezana jednakošću:
Zamjenom ovog izraza u formulu za volumen trokutaste piramide napisanu u prethodnom paragrafu, dobivamo:
V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.
Volumen pravilne piramide s trokutastom bazom je funkcija duljine stranice baze i visine figure.
Budući da se bilo koji pravilni mnogokut može upisati u krug, čiji će polumjer jednoznačno odrediti duljinu stranice mnogokuta, tada se ova formula može napisati u smislu odgovarajućeg polumjera r:
Ova se formula lako može dobiti iz prethodne ako se uzme u obzir da je polumjer r opisane kružnice kroz duljinu stranice a trokuta određen izrazom:
Problem određivanja volumena tetraedra
Pokazat ćemo kako koristiti gornje formule pri rješavanju specifičnih geometrijskih problema.
Poznato je da tetraedar ima brid duljine 7 cm.Nađite volumen pravilne trokutaste piramide-tetraedra.
Podsjetimo se da je tetraedar pravilna trokutasta piramida u kojoj su sve baze međusobno jednake. Da biste upotrijebili formulu za volumen pravilne trokutaste piramide, morate izračunati dvije količine:
- duljina stranice trokuta;
- visina figure.
Prva veličina je poznata iz uvjeta zadatka:
Da biste odredili visinu, razmotrite lik prikazan na slici.
Označeni trokut ABC je pravokutni trokut, pri čemu je kut ABC 90o. Stranica AC je hipotenuza, a njezina duljina je a. Koristeći jednostavno geometrijsko razmišljanje, može se pokazati da stranica BC ima duljinu:
Primijetimo da je duljina BC polumjer kružnice opisane oko trokuta.
h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2 /3) = a*√(2/3).
Sada možete zamijeniti h i a u odgovarajuću formulu za volumen:
V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .
Tako smo dobili formulu za volumen tetraedra. Vidi se da volumen ovisi samo o duljini ruba. Ako u izraz zamijenimo vrijednost iz uvjeta problema, tada dobivamo odgovor:
V = √2/12*7 3 ≈ 40,42 cm 3.
Usporedimo li ovu vrijednost s volumenom kocke s istim rubom, ustanovit ćemo da je volumen tetraedra 8,5 puta manji. To ukazuje da je tetraedar kompaktna figura koja se pojavljuje u nekim prirodnim tvarima. Na primjer, molekula metana ima tetraedarski oblik, a svaki atom ugljika u dijamantu povezan je s četiri druga atoma u tetraedar.
Problem homotetske piramide
Riješimo jedan zanimljiv geometrijski zadatak. Pretpostavimo da postoji trokutasta pravilna piramida određenog volumena V 1. Koliko puta treba smanjiti veličinu te figure da bi se dobila homotetička piramida čiji je volumen tri puta manji od izvornog?
Počnimo rješavati problem ispisivanjem formule za izvornu pravilnu piramidu:
V 1 = √3/12*a 1 2 *h 1 .
Neka se volumen figure koji zahtijevaju uvjeti zadatka dobije množenjem njezinih parametara s koeficijentom k. Imamo:
V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .
Budući da je omjer volumena figura poznat iz uvjeta, dobivamo vrijednost koeficijenta k:
k = ∛(V 2 /V 1) = ∛(1/3) ≈ 0,693.
Imajte na umu da bismo dobili sličnu vrijednost za koeficijent k za piramidu bilo kojeg tipa, a ne samo za običnu trokutastu.
Definicija. Bočni rub- ovo je trokut u kojem jedan kut leži na vrhu piramide, a suprotna strana se podudara sa stranom baze (poligon).
Definicija. Bočna rebra- ovo su uobičajene strane bočnih strana. Piramida ima onoliko bridova koliko kutova ima mnogokut.
Definicija. Visina piramide- ovo je okomica spuštena od vrha do baze piramide.
Definicija. Apotema- ovo je okomica na bočnu stranu piramide, spuštena s vrha piramide na stranu baze.
Definicija. Dijagonalni presjek- ovo je presjek piramide ravninom koja prolazi kroz vrh piramide i dijagonalu baze.
Definicija. Ispravna piramida je piramida kojoj je baza pravilan mnogokut, a visina se spušta do središta baze.
Volumen i površina piramide
Formula. Volumen piramide kroz osnovnu površinu i visinu:
Svojstva piramide
Ako su svi bočni rubovi jednaki, tada se oko baze piramide može nacrtati krug, a središte baze se poklapa sa središtem kruga. Također, okomica spuštena s vrha prolazi središtem baze (kružnice).
Ako su svi bočni rubovi jednaki, tada su nagnuti prema ravnini baze pod istim kutovima.
Bočni bridovi su jednaki kada tvore jednake kutove s ravninom baze ili ako se oko baze piramide može opisati kružnica.
Ako su bočne strane nagnute prema ravnini baze pod istim kutom, tada se u bazu piramide može upisati krug, a vrh piramide projicira se u njezino središte.
Ako su bočne plohe nagnute prema ravnini baze pod istim kutom, onda su apoteme bočnih ploha jednake.
Svojstva pravilne piramide
1. Vrh piramide je jednako udaljen od svih kutova baze.
2. Svi bočni rubovi su jednaki.
3. Sva bočna rebra su nagnuta pod jednakim kutom u odnosu na bazu.
4. Apoteme svih bočnih lica su jednake.
5. Površine svih bočnih ploha su jednake.
6. Sve plohe imaju iste diedralne (ravne) kutove.
7. Oko piramide se može opisati kugla. Središte opisane sfere bit će sjecište okomica koje prolaze kroz sredinu bridova.
8. Kuglu možete uklopiti u piramidu. Središte upisane sfere bit će točka presjeka simetrala koje izlaze iz kuta između brida i baze.
9. Ako se središte upisane sfere poklapa sa središtem opisane sfere, tada je zbroj ravninskih kutova pri vrhu jednak π ili obrnuto, jedan kut je jednak π/n, gdje je n broj kutova na dnu piramide.
Veza piramide i kugle
Oko piramide se može opisati sfera kada se u osnovi piramide nalazi poliedar oko kojeg se može opisati kružnica (nužan i dovoljan uvjet). Središte sfere bit će sjecište ravnina koje prolaze okomito kroz središta bočnih bridova piramide.
Uvijek je moguće opisati sferu oko bilo koje trokutaste ili pravilne piramide.
U piramidu se može upisati kugla ako se simetrale unutarnjih diedarskih kutova piramide sijeku u jednoj točki (nužan i dovoljan uvjet). Ova točka će biti središte sfere.
Veza piramide sa stošcem
Kaže se da je stožac upisan u piramidu ako se njihovi vrhovi poklapaju, a baza stošca je upisana u bazu piramide.
Stožac se može upisati u piramidu ako su apoteme piramide međusobno jednake.
Kaže se da je stožac opisan oko piramide ako se njihovi vrhovi poklapaju, a baza stošca je opisana oko baze piramide.
Stožac se može opisati oko piramide ako su svi bočni bridovi piramide međusobno jednaki.
Odnos piramide i valjka
Piramida se naziva upisana u valjak ako vrh piramide leži na jednoj osnovici valjka, a baza piramide je upisana u drugu bazu cilindra.
Oko piramide se može opisati cilindar ako se oko baze piramide može opisati kružnica.
Tetraedar ima četiri lica i četiri vrha i šest bridova, pri čemu bilo koja dva brida nemaju zajedničke vrhove, ali se ne dodiruju.
Svaki vrh se sastoji od tri lica i bridova koji se tvore trokutasti kut.
Segment koji povezuje vrh tetraedra sa središtem suprotne strane naziva se medijan tetraedra(GM).
Bimedijan naziva segment koji spaja središta suprotnih rubova koji se ne dodiruju (KL).
Svi bimedijani i medijani tetraedra sijeku se u jednoj točki (S). U ovom slučaju bimedijane se dijele na pola, a medijane se dijele u omjeru 3:1 počevši od vrha.
Definicija. Oštrokutna piramida- piramida u kojoj je apotem duži od polovice stranice baze.
Definicija. Tupa piramida- piramida u kojoj je apotem manji od polovice duljine stranice baze.
Definicija. Pravilni tetraedar- tetraedar u kojem su sva četiri lica jednakostranični trokuti. To je jedan od pet pravilnih poligona. U pravilnom tetraedru svi diedarski kutovi (između ploha) i trokutni kutovi (u vrhu) su jednaki.
Definicija. Pravokutni tetraedar naziva se tetraedar u kojem između tri brida na vrhu (brdovi su okomiti) ima pravi kut. Formiraju se tri lica rectangular trokutasti kut a plohe su pravokutni trokuti, a baza je proizvoljan trokut. Apotem bilo kojeg lica jednak je polovici stranice baze na koju apotem pada.
Definicija. Izoedarski tetraedar naziva se tetraedar čije su bočne strane međusobno jednake, a baza je pravilan trokut. Takav tetraedar ima lica koja su jednakokračni trokuti.
Definicija. Ortocentrični tetraedar zove se tetraedar u kojem se sve visine (okomice) koje su s vrha spuštene na suprotnu plohu sijeku u jednoj točki.
Definicija. Zvjezdana piramida zove se poliedar čija je baza zvijezda.
Da biste pronašli volumen piramide, morate znati nekoliko formula. Pogledajmo ih.
Kako pronaći obujam piramide - 1. metoda
Volumen piramide može se pronaći pomoću visine i površine njezine baze. V = 1/3*S*h. Tako, na primjer, ako je visina piramide 10 cm, a površina njezine baze 25 cm 2, tada će volumen biti jednak V = 1/3 * 25 * 10 = 1/3 * 250 = 83,3 cm 3
Kako pronaći obujam piramide - 2. metoda
Ako pravilni mnogokut leži u podnožju piramide, tada se njegov volumen može pronaći pomoću sljedeće formule: V = na 2 h/12*tg(180/n), gdje je a stranica mnogokuta koja leži u podnožju , a n je broj njegovih stranica. Na primjer: Osnovica je pravilan šesterokut, odnosno n = 6. Budući da je pravilan, sve su mu stranice jednake, odnosno svi a su jednaki. Recimo a = 10, a h - 15. Umetnemo brojeve u formulu i dobijemo približan odgovor - 1299 cm 3
Kako pronaći obujam piramide - 3. metoda
Ako jednakostranični trokut leži u podnožju piramide, tada se njegov volumen može pronaći pomoću sljedeće formule: V = ha 2 /4√3, gdje je a stranica jednakostraničnog trokuta. Na primjer: visina piramide je 10 cm, stranica baze je 5 cm Volumen će biti jednak V = 10*25/4√ 3 = 250/4√ 3. Obično, ono što je u nazivniku se ne izračunava i ostavlja se u istom obliku. Također možete pomnožiti i brojnik i nazivnik s 4√ 3. Dobit ćemo 1000√ 3/48. Smanjenjem dobivamo 125√ 3/6 cm 3.
Kako pronaći obujam piramide - 4. metoda
Ako postoji kvadrat u podnožju piramide, tada se njegov volumen može pronaći pomoću sljedeće formule: V = 1/3*h*a 2, gdje su a stranice kvadrata. Na primjer: visina – 5 cm, stranica kvadrata – 3 cm V = 1/3*5*9 = 15 cm 3
Kako pronaći obujam piramide - 5. metoda
Ako je piramida tetraedar, to jest, sva su joj lica jednakostranični trokuti, volumen piramide možete pronaći pomoću sljedeće formule: V = a 3 √2/12, gdje je a rub tetraedra. Na primjer: rub tetraedra = 7. V = 7*7*7√2/12 = 343 cm 3
Riječ "piramida" nehotice se povezuje s veličanstvenim divovima u Egiptu, koji vjerno čuvaju mir faraona. Možda zato svi, pa i djeca, nepogrešivo prepoznaju piramidu.
Ipak, pokušajmo mu dati geometrijsku definiciju. Zamislimo nekoliko točaka na ravnini (A1, A2,..., An) i još jednu (E) koja joj ne pripada. Dakle, ako se točka E (vrh) spoji s vrhovima mnogokuta kojeg tvore točke A1, A2,..., An (baza), dobiva se poliedar koji se naziva piramida. Očito, mnogokut u osnovi piramide može imati bilo koji broj vrhova, a ovisno o njihovom broju, piramida se može nazvati trokutasta, četverokutna, peterokutna itd.
Ako pažljivo pogledate piramidu, postat će vam jasno zašto je definirana i na drugi način - kao geometrijska figura s poligonom u svojoj bazi, i trokutima ujedinjenim zajedničkim vrhom kao bočnim stranama.
Budući da je piramida prostorni lik, ona također ima sljedeću kvantitativnu karakteristiku, izračunatu iz dobro poznate jednake trećine umnoška baze piramide i njezine visine:
Prilikom izvođenja formule, volumen piramide u početku se izračunava za trokutastu piramidu, uzimajući kao osnovu konstantan omjer koji povezuje ovu vrijednost s volumenom trokutaste prizme iste baze i visine, što je, kako se ispostavilo, tri puta veći volumen.
A budući da je svaka piramida podijeljena na trokutaste, a njezin volumen ne ovisi o konstrukcijama izvedenim tijekom dokaza, valjanost dane formule volumena je očita.
Među svim piramidama izdvajaju se ispravne piramide koje u svojoj osnovi imaju što se tiče, ona bi trebala "završavati" u središtu baze.
U slučaju nepravilnog poligona u bazi, za izračun površine baze trebat će vam:
- razbiti ga u trokute i kvadrate;
- izračunajte površinu svakog od njih;
- zbrajati dobivene podatke.
U slučaju pravilnog poligona u podnožju piramide, njegova se površina izračunava pomoću gotovih formula, tako da se volumen pravilne piramide izračunava prilično jednostavno.
Na primjer, za izračun obujma četverokutne piramide, ako je pravilna, duljina stranice pravilnog četverokuta (kvadrata) na bazi se kvadrira i, pomnožena s visinom piramide, dobiveni umnožak se podijeli s tri.
Volumen piramide može se izračunati pomoću drugih parametara:
- kao trećina umnoška polumjera lopte upisane u piramidu i njezine ukupne površine;
- kao dvije trećine umnoška udaljenosti između dvaju proizvoljno odabranih križnih bridova i površine paralelograma koji čini polovišta preostala četiri brida.
Volumen piramide izračunava se jednostavno u slučaju kada se njena visina podudara s jednim od bočnih bridova, odnosno u slučaju pravokutne piramide.
Govoreći o piramidama, ne možemo zanemariti krnje piramide, dobivene rezanjem piramide ravninom paralelnom s bazom. Njihov volumen je gotovo jednak razlici između volumena cijele piramide i odsječenog vrha.
Demokrit je prvi pronašao volumen piramide, iako ne baš u modernom obliku, ali jednak 1/3 volumena nama poznate prizme. Arhimed je svoju metodu izračuna nazvao "bez dokaza", budući da je Demokrit piramidi pristupio kao liku sastavljenom od beskrajno tankih, sličnih ploča.
Vektorska algebra također se “pozabavila” pitanjem pronalaženja volumena piramide, koristeći koordinate njezinih vrhova. Piramida izgrađena na trojki vektora a, b, c jednaka je jednoj šestini modula mješovitog umnoška zadanih vektora.
Ovdje ćemo pogledati primjere vezane uz koncept volumena. Da biste riješili takve zadatke, morate znati formulu za volumen piramide:
S
h – visina piramide
Baza može biti bilo koji poligon. Ali u većini problema na Jedinstvenom državnom ispitu uvjet je obično o pravilnim piramidama. Da vas podsjetim na jedno od njegovih svojstava:
Vrh pravilne piramide projiciran je u središte njezine baze
Pogledajte projekciju pravilne trokutaste, četverokutne i šesterokutne piramide (POGLED OD GORE):
Možete na blogu, gdje se raspravljalo o problemima u vezi s pronalaženjem volumena piramide.Razmotrimo zadatke:
27087. Odredi obujam pravilne trokutaste piramide čije su stranice baze jednake 1, a visina jednaka korijenu iz tri.
S– površina baze piramide
h– visina piramide
Nađimo površinu baze piramide, ovo je pravilan trokut. Upotrijebimo formulu - površina trokuta jednaka je polovici umnoška susjednih stranica i sinusa kuta između njih, što znači:
Odgovor: 0,25
27088. Odredi visinu pravilne trokutaste piramide čije su stranice baze jednake 2, a volumen jednak korijenu iz tri.
Koncepti kao što su visina piramide i karakteristike njezine baze povezani su formulom volumena:
S– površina baze piramide
h– visina piramide
Znamo sam volumen, možemo pronaći površinu baze, budući da znamo stranice trokuta, koji je baza. Poznavajući navedene vrijednosti, lako možemo pronaći visinu.
Da bismo pronašli površinu baze, koristimo formulu - površina trokuta jednaka je polovici proizvoda susjednih stranica i sinusa kuta između njih, što znači:
Dakle, zamjenom ovih vrijednosti u formulu volumena, možemo izračunati visinu piramide:
Visina je tri.
Odgovor: 3
27109. U pravilnoj četverokutnoj piramidi visina je 6, a bočni brid 10. Nađite njezin volumen.
Volumen piramide izračunava se po formuli:
S– površina baze piramide
h– visina piramide
Znamo visinu. Morate pronaći područje baze. Dopustite mi da vas podsjetim da je vrh pravilne piramide projiciran u središte njezine baze. Osnova pravilne četverokutne piramide je kvadrat. Možemo pronaći njegovu dijagonalu. Razmotrimo pravokutni trokut (označen plavom bojom):
Isječak koji povezuje središte kvadrata s točkom B je krak jednak polovici dijagonale kvadrata. Ovu nogu možemo izračunati pomoću Pitagorine teoreme:
To znači BD = 16. Izračunajmo površinu kvadrata pomoću formule za površinu četverokuta:
Stoga:
Dakle, volumen piramide je:
Odgovor: 256
27178. U pravilnoj četverokutnoj piramidi visina je 12, a obujam 200. Nađite bočni brid ove piramide.
Visina piramide i njezin volumen su poznati, što znači da možemo pronaći površinu kvadrata koji je baza. Znajući površinu kvadrata, možemo pronaći njegovu dijagonalu. Zatim, uzimajući u obzir pravokutni trokut koristeći Pitagorin teorem, izračunavamo bočni rub:
Nađimo površinu kvadrata (osnova piramide):
Izračunajmo dijagonalu kvadrata. Budući da je njegova površina 50, stranica će biti jednaka korijenu iz pedeset, a prema Pitagorinom teoremu:
Točka O dijeli dijagonalu BD na pola, što znači krak pravokutnog trokuta OB = 5.
Dakle, možemo izračunati koliko je jednak bočni rub piramide:
Odgovor: 13
245353. Odredi obujam piramide prikazane na slici. Njegova baza je mnogokut čije su susjedne stranice okomite, a jedan od bočnih bridova je okomit na ravninu baze i jednak je 3.
Kao što je već mnogo puta rečeno, volumen piramide izračunava se po formuli:
S– površina baze piramide
h– visina piramide
Bočni brid okomit na bazu jednak je tri, što znači da je visina piramide tri. Osnova piramide je mnogokut čija je površina jednaka:
Tako:
Odgovor: 27
27086. Osnova piramide je pravokutnik sa stranicama 3 i 4. Obujam joj je 16. Odredite visinu ove piramide.
