Podijelite križ u oblike od 5 ćelija. Problemi rezanja.docx - problemi rezanja

1. Kvadrat sadrži 16 ćelija. Podijelite kvadrat na dva jednaka dijela tako da linija rezanja ide duž stranica ćelija. (Metode rezanja kvadrata na dva dijela smatrat ćemo različitima ako dijelovi kvadrata dobiveni jednom metodom rezanja nisu jednaki dijelovima dobivenim drugom metodom.) Koliko ukupno rješenja ima zadatak?
2. Pravokutnik 3X4 sadrži 12 ćelija. Pronađite pet načina za rezanje pravokutnika na dva jednaka dijela tako da linija reza ide duž stranica ćelija (metode rezanja smatraju se različitim ako dijelovi dobiveni jednom metodom rezanja nisu jednaki dijelovima dobivenim drugom metodom).
3. Pravokutnik 3X5 sadrži 15 ćelija, a središnja ćelija je uklonjena. Pronađite pet načina da preostalu figuru prerežete na dva jednaka dijela tako da linija za rezanje ide duž stranica ćelija.
4. Kvadrat 6x6 podijeljen je na 36 identičnih kvadrata. Pronađite pet načina za rezanje kvadrata na dva jednaka dijela tako da linija rezanja ide duž stranica kvadrata. Napomena: problem ima više od 200 rješenja.
5. Podijelite kvadrat 4x4 na četiri jednaka dijela, tako da linija rezanja ide duž stranica kvadrata. Koliko različitih metoda rezanja možete pronaći?
6. Podijelite figuru (slika 5) na tri jednaka dijela tako da linija reza ide duž stranica kvadrata.

7. Podijelite figuru (slika 6) na četiri jednaka dijela tako da linija reza ide duž stranica kvadrata.

8. Podijelite figuru (slika 7) na četiri jednaka dijela tako da linije reza idu duž stranica kvadrata. Pronađite što više rješenja.

9. Kvadrat 5x5 s izrezanim središnjim kvadratom podijelite na četiri jednaka dijela.

10. Izrežite figure prikazane na sl. 8 na dva jednaka dijela duž crta mreže, a svaki dio treba imati krug.

11. Figure prikazane na slici 9 moraju se izrezati duž linija mreže na četiri jednaka dijela tako da svaki dio ima krug. Kako to učiniti?

12. Izrežite figuru prikazanu na slici 10 duž linija mreže na četiri jednaka dijela i presavijte ih u kvadrat tako da krugovi i zvjezdice budu smješteni simetrično u odnosu na sve osi simetrije kvadrata.

13. Izrežite ovaj kvadrat (slika 11) uzduž stranica ćelija tako da svi dijelovi budu iste veličine i oblika te da svaki sadrži po jedan krug i zvjezdicu.

14. Izrežite karirani papirnati kvadrat 6x6 prikazan na slici 12 na četiri jednaka dijela tako da svaki dio sadrži tri osjenčana kvadrata.

10. Kvadratni list kariranog papira podijeljen je na manje kvadrate segmentima koji se protežu duž stranica kvadrata. Dokažite da je zbroj duljina tih odsječaka djeljiv s 4. (Duljina stranice ćelije je 1).

Rješenje: Neka je Q kvadratni list papira, L(Q) zbroj duljina onih stranica ćelija koje leže unutar njega. Tada se L(Q) dijeli s 4, budući da su sve strane koje se razmatraju podijeljene na četiri strane, dobivene jedna od druge rotacijama od 90 0 i 180 0 u odnosu na središte kvadrata.

Ako se kvadrat Q podijeli na kvadrate Q 1, ..., Q n, tada je zbroj duljina diobenih odsječaka jednak

L (Q) - L (Q 1) - … - L (Q n). Jasno je da je taj broj djeljiv sa 4, jer su brojevi L(Q), L(Q 1), ..., L(Q n) djeljivi sa 4.

4. Invarijante

11. S obzirom na šahovsku ploču. Dopušteno je prebojati sve ćelije bilo koje vodoravne ili okomite crte u drugu boju odjednom. Može li to rezultirati pločom s točno jednim crnim kvadratom?

Rješenje: Kada promijenite boju vodoravne ili okomite crte koja sadrži k crnih i 8-k bijelih ćelija, dobit ćete 8-k crnih i k bijelih ćelija. Stoga će se broj crnih ćelija promijeniti u (8-k)-k=8-2k, tj. na paran broj. Budući da je paritet broja crnih ćelija sačuvan, od originalnih 32 crne ćelije ne možemo dobiti jednu crnu ćeliju.

12. S obzirom na šahovsku ploču. Dopušteno je odjednom prebojati sve ćelije koje se nalaze unutar kvadrata veličine 2 x 2 u drugu boju. Može li to ostaviti točno jednu crnu ćeliju na ploči?

Rješenje: Ako prebojite kvadrat 2 x 2 koji sadrži k crnih i 4 k bijelih ćelija, dobit ćete 4 k crnih i k bijelih ćelija. Stoga će se broj crnih ćelija promijeniti u (4-k)-k=4-2k, tj. na paran broj. Budući da je paritet broja crnih ćelija sačuvan, od originalnih 32 crne ćelije ne možemo dobiti jednu crnu ćeliju.

13. Dokažite da se konveksni mnogokut ne može razrezati na konačan broj nekonveksnih četverokuta.

Rješenje: Pretpostavimo da je konveksni mnogokut M razrezan na nekonveksne četverokute M 1,..., M n. Svakom mnogokutu N pridružujemo broj f(N), jednak razlici između zbroja njegovih unutarnjih kutova manjih od 180 i zbroja kutova koji dopunjuju do 360 njegove kutove veće od 180. Usporedimo brojeve A = f(M) i B = f(M 1)+…+ f(M n). Da biste to učinili, razmotrite sve točke koje su vrhovi četverokuta M 1 ..., M n. Mogu se podijeliti u četiri tipa.

1. Vrhovi poligona M. Ove točke daju jednak doprinos A i B.

2. Točke na stranicama poligona M ili M 1. Doprinos svake takve točke B na

180 više nego u A.

3. Unutarnje točke mnogokuta u kojima se sastaju kutovi četverokuta,

manje od 180. Doprinos svake takve točke B je 360 ​​veći nego A.

4. Unutarnje točke mnogokuta M u kojima se sastaju kutovi četverokuta, a jedan od njih je veći od 180. Takve točke daju nula doprinosa A i B.

Kao rezultat toga dobivamo A<В. С другой стороны, А>0 i B=0. Nejednakost A >0 je očita, a za dokaz jednakosti B=0 dovoljno je provjeriti da ako je N-nekonveksan četverokut, tada je f(N)=0. Neka su kutovi N jednaki a>b>c>d. Svaki nekonveksni četverokut ima točno jedan kut veći od 180, pa je f(N)=b+c+d-(360-a)=a+b+c+d-360=0.

Dobivena je kontradikcija, stoga se konveksni mnogokut ne može razrezati na konačan broj nekonveksnih četverokuta.

14. U sredini svakog polja šahovske ploče nalazi se figura. Žetoni su preuređeni tako da se međusobni razmak između njih ne smanjuje. Dokažite da se u stvarnosti udaljenosti parova nisu promijenile.

Rješenje: Kad bi se barem jedna od udaljenosti između žetona povećala, zbroj svih parnih udaljenosti između žetona bi se povećao, ali zbroj svih parnih udaljenosti između žetona ne mijenja se s bilo kojom permutacijom.

15. Kvadratno polje podijeljeno je na 100 jednakih kvadratnih dijelova od kojih je 9 zaraslo u korov. Poznato je da se korov tijekom godine dana proširi na one i samo one površine na kojima su barem dvije susjedne (tj. zajedničke strane) površine već zarasle u korov. Dokažite da njiva nikada neće potpuno zarasti u korov.

Rješenje: Lako je provjeriti da se duljina granice cijele površine (ili više površina) obrasle korovom neće povećati. U početnom trenutku ne prelazi 4*9=36, tako da u konačnom trenutku ne može biti jednak 40.

Posljedično, polje nikada neće potpuno zarasti u korov.

16. Zadan je konveksni 2m-kut A 1 ...A 2 m. Unutar njega je uzeta točka P koja ne leži ni na jednoj dijagonali. Dokažite da točka P pripada parnom broju trokuta s vrhovima u točkama A 1,..., A 2 m.

Rješenje: Dijagonale dijele mnogokut na nekoliko dijelova. Nazvat ćemo susjedni one koje imaju zajedničku stranu. Jasno je da iz bilo koje unutarnje točke poligona možete doći do bilo koje druge, svaki put prelazeći samo iz susjednog dijela u susjedni. Dio ravnine koji leži izvan poligona također se može smatrati jednim od tih dijelova. Broj trokuta koji se razmatraju za točke ovog dijela je nula, pa je dovoljno dokazati da se pri prelasku sa susjednog dijela na susjedni čuva paritet broja trokuta.

Neka zajednička stranica dvaju susjednih dijelova leži na dijagonali (ili stranici) PQ. Tada svim razmatranim trokutima, osim trokutima sa stranicom PQ, oba ova dijela ili pripadaju ili ne pripadaju u isto vrijeme. Stoga se pri prelasku s jednog dijela na drugi broj trokuta mijenja za k 1 -k 2, gdje je k 1 broj vrhova mnogokuta koji leži s jedne strane PQ. Kako je k 1 +k 2 =2m-2, onda je broj k 1 -k 2 paran.

4. Pomoćne stranice za bojanje u šahovnici

17. U svakoj ćeliji ploče 5 x 5 nalazi se buba. U nekom trenutku, svi kornjaši puze na susjedne (vodoravne ili okomite) ćelije. Ostavlja li to nužno praznu ćeliju?

Rješenje: Budući da je ukupan broj ćelija na šahovskoj ploči od 5 x 5 ćelija neparan, ne može biti jednak broj crnih i bijelih ćelija. Neka bude više crnih stanica da budemo sigurni. Tada na bijelim stanicama sjedi manje kornjaša nego na crnim stanicama. Stoga barem jedna od crnih stanica ostaje prazna, jer samo kornjaši koji sjede na bijelim ćelijama pužu na crne ćelije.

19. Dokažite da se ploča dimenzija 10 x 10 kvadrata ne može razrezati na figure u obliku slova T koje se sastoje od četiri kvadrata.

Rješenje: Pretpostavimo da je ploča od 10 x 10 ćelija podijeljena na sljedeće figure. Svaka figura sadrži 1 ili 3 crne ćelije, tj. uvijek neparan broj. Same figure trebaju biti 100/4 = 25 komada. Dakle, sadrže neparan broj crnih stanica, a ukupno ih ima 100/2 = 50. Dobivena je kontradikcija.

5. Problemi oko bojanki

20. Avion je obojen u dvije boje. Dokažite da postoje dvije točke iste boje, udaljenost između njih je točno 1.

Rješenje: Razmotrimo pravilan trokut sa stranicom 1.

Prijepis

1 M. A. Ekimova, G. P. Kukin MCNMO Moskva, 2002

2 UDK BBK E45 E45 Ekimova M. A., Kukin G. P. Problemi rezanja. M.: MTsNMO, str.: ilustr. Serija: “Tajne nastave matematike.” Ova je knjiga prva knjiga iz serije “Tajne nastave matematike” koja je osmišljena da prikaže i sažme stečeno iskustvo u području matematičkog obrazovanja. Ova zbirka predstavlja jedan od dijelova predmeta „Razvojna logika u 5.–7. Za sve zadatke navedene u knjizi data su rješenja ili upute. Knjiga se preporučuje za izvannastavni rad iz matematike. LBC ISBN c Kukin G. P., Ekimova M. A., c MCNMO, 2002.

3 Uvod Trenutačno se tradicionalno gledište o sastavu predmeta koje uče školarci revidira i pojašnjava. U školski plan i program uvode se razni novi predmeti. Jedan od tih predmeta je logika. Proučavanje logike pridonosi razumijevanju ljepote i ljupkosti zaključivanja, sposobnosti rasuđivanja, stvaralačkom razvoju osobnosti i estetskom odgoju čovjeka. Svaka kulturna osoba trebala bi poznavati logičke zadatke, zagonetke i igre koje su poznate već nekoliko stoljeća ili čak tisućljeća u mnogim zemljama svijeta. Razvoj inteligencije, domišljatosti i samostalnog mišljenja je neophodan svakoj osobi ako želi uspjeti i postići sklad u životu. Naše iskustvo pokazuje da sustavno učenje formalne logike ili fragmenata matematičke logike treba odgoditi do viših razreda srednje škole. Istodobno, potrebno je što ranije razviti logičko razmišljanje. Zapravo, kada se u školi proučavaju akademski predmeti, zaključivanje i dokazivanje pojavljuju se tek u 7. razredu (kada počinje sustavni tečaj geometrije). Za mnoge je učenike nagli prijelaz (bez razmišljanja postalo je puno razmišljanja) nepodnošljivo težak. U tečaju razvojne logike za 5.-7. razred sasvim je moguće naučiti školarce da razmišljaju, dokazuju i pronalaze obrasce. Na primjer, kada rješavate matematičke zagonetke, morate ne samo pogoditi (odabrati) nekoliko odgovora, već i dokazati da ste dobili potpuni popis mogućih odgovora. Ovo je sasvim izvedivo za učenika petog razreda. Ali u procesu poučavanja logike u 5.-7. razredu srednjih škola nastavnici se suočavaju s određenim poteškoćama: nedostatkom udžbenika, nastavnih materijala, priručnika i vizualnih materijala. Sve to treba sastaviti, napisati i nacrtati sam učitelj. Jedan od ciljeva ove zbirke je olakšati nastavnicima pripremu i izvođenje nastave. Dat ćemo neke preporuke za izvođenje lekcija prije rada sa zbirkom.

4 4 Uvod Poučavati logiku školarce je poželjno započeti u petom razredu, a možda i ranije. Poučavanje logike treba izvoditi u opuštenom, gotovo improvizacijskom stilu. Ova prividna lakoća zapravo zahtijeva puno ozbiljne pripreme od učitelja. Neprihvatljivo je, na primjer, čitati zanimljiv i zabavan problem iz debele rukom pisane bilježnice, kao što ponekad rade učitelji. Preporučujemo izvođenje nastave u nestandardnom obliku. U nastavi je potrebno koristiti što više vizualnog materijala: razne kartice, slike, skupovi slika, ilustracije za rješavanje zadataka, dijagrami. Ne biste trebali dugo učiti jednu temu s mlađim učenicima. Kada analizirate temu, trebali biste pokušati istaknuti glavne logičke prekretnice i postići razumijevanje (a ne pamćenje) tih točaka. Neophodno je stalno vraćanje pređenom gradivu. To se može učiniti u samostalnom radu, timskim natjecanjima (tijekom nastave), kolokvijima na kraju tromjesečja, usmenim i pisanim olimpijadama, matbojima (izvan sati nastave). U nastavi je također potrebno koristiti zabavne i duhovite zadatke, ponekad je korisno promijeniti smjer aktivnosti. Ova zbirka je jedan od dijelova tečaja "Razvojna logika u razredima 5-7" "Problemi rezanja". Ovaj je dio testiran na satovima logike u razredima 5-7 u školi liceja 74 u Omsku. Mnogi su znanstvenici od davnina zainteresirani za probleme rezanja. Rješenja za mnoge jednostavne probleme rezanja pronašli su stari Grci i Kinezi, ali prva sustavna rasprava na tu temu pripada peru Abul-Vefa, poznatog perzijskog astronoma iz 10. stoljeća, koji je živio u Bagdadu. Geometri su se tek početkom 20. stoljeća ozbiljno počeli baviti problemima rezanja figura na što manji broj dijelova i potom od njih sastavljati jednu ili drugu novu figuru. Jedan od utemeljitelja ove fascinantne grane geometrije bio je poznati tvorac zagonetki Henry

5 Uvod 5 E. Dudeney. Osobito velik broj već postojećih rekorda u rezanju figura srušio je stručnjak Australskog ureda za patente, Harry Lindgren. Vodeći je stručnjak u području rezanja oblika. U današnje vrijeme ljubitelji zagonetki željni su rješavanja reznih problema prvenstveno zato što ne postoji univerzalna metoda za rješavanje takvih problema, a svatko tko se upusti u njihovo rješavanje može u potpunosti pokazati svoju domišljatost, intuiciju i sposobnost kreativnog razmišljanja. Budući da ne zahtijeva duboko poznavanje geometrije, amateri ponekad čak mogu nadmašiti profesionalne matematičare. Međutim, problemi rezanja nisu neozbiljni ili beskorisni, nisu toliko daleko od ozbiljnih matematičkih problema. Iz problema rezanja proizašao je Bolyai Gerwinov teorem da su bilo koja dva poligona jednake veličine ekvivalentni (obrnuto je očito), a zatim Hilbertov treći problem: vrijedi li slična izjava za poliedre? Zadaci izrezivanja pomažu školarcima da što ranije formiraju geometrijske pojmove koristeći različite materijale. Prilikom rješavanja takvih problema javlja se osjećaj ljepote, zakona i reda u prirodi. Zbirka “Problemi rezanja” podijeljena je u dva dijela. Pri rješavanju zadataka iz prvog odjeljka učenicima neće trebati znanje o osnovama planimetrije, ali će trebati domišljatost, geometrijska mašta i prilično jednostavni geometrijski podaci koji su svima poznati. Drugi dio su izborni zadaci. To uključuje zadatke koji zahtijevaju poznavanje osnovnih geometrijskih podataka o likovima, njihovim svojstvima i karakteristikama te poznavanje nekih teorema. Svaki odjeljak podijeljen je na odlomke, u koje smo pokušali spojiti zadatke na jednu temu, a oni su pak podijeljeni na lekcije, od kojih svaka sadrži homogene zadatke prema rastućoj težini. Prvi dio sadrži osam paragrafa. 1. Zadaci na kariranom papiru. Ovaj odjeljak sadrži probleme u kojima se rezanje oblika (uglavnom kvadrata i pravokutnika) događa duž stranica ćelija. Paragraf sadrži 4 lekcije, preporučujemo ih za proučavanje učenicima 5. razreda.

6 6 Uvod 2. Pentamino. Ovaj odlomak sadrži probleme vezane uz pentomino figure, pa je za ove lekcije preporučljivo djeci podijeliti setove ovih figura. Ovdje postoje dvije lekcije, preporučujemo ih za proučavanje učenicima od 5. do 6. razreda. 3. Teški zadaci rezanja. Ovdje su sabrani zadaci za rezanje oblika složenijih oblika, npr. s granicama koje su lukovi, te složeniji zadaci rezanja. Postoje dvije lekcije u ovom odlomku; preporučujemo da ih podučavate u 7. razredu. 4. Pregrađivanje ravnine. Ovdje su sabrani zadaci u kojima treba pronaći kontinuirane podjele pravokutnika na pravokutne pločice, zadaci o slaganju parketa, zadaci o što gušćem rasporedu likova u pravokutniku ili kvadratu. Preporučujemo proučavanje ovog paragrafa u 6-7 razredima. 5. Tangram. Ovdje su prikupljeni problemi vezani uz drevnu kinesku zagonetku "Tangram". Za izvođenje ove lekcije, preporučljivo je imati ovu zagonetku, barem napravljenu od kartona. Preporučujemo ovaj paragraf za proučavanje u 5. razredu. 6. Problemi koji uključuju rezanje u prostoru. Ovdje se učenici upoznaju s razvojem kocke i trokutaste piramide, povlače se paralele i prikazuju razlike između likova u ravnini i volumenskih tijela, a time i razlike u rješavanju zadataka. Odlomak sadrži jednu lekciju koju preporučujemo učenicima 6. razreda za proučavanje. 7. Zadaci za bojanje. Ovo pokazuje kako bojanje figure pomaže u rješavanju problema. Nije teško dokazati da je moguće riješiti problem rezanja figure na dijelove, dovoljno je dati neki način rezanja. Ali teže je dokazati da je rezanje nemoguće. U tome nam pomaže bojanje figure. Tri su lekcije u ovom paragrafu. Preporučujemo ih za proučavanje učenicima 7. razreda. 8. Problemi s bojanjem u stanju. Ovdje su prikupljeni zadaci u kojima treba obojiti lik na određeni način, odgovoriti na pitanje: koliko će boja biti potrebno za takvo bojanje (najmanji ili najveći broj) itd. U odlomku je sedam lekcija. Preporučujemo ih za proučavanje učenicima 7. razreda. U drugom dijelu nalaze se zadaci koji se mogu rješavati u dodatnoj nastavi. Sadrži tri paragrafa.

7 Uvod 7 9. Transformacija figura. Sadrži zadatke u kojima se jedna figura reže na dijelove od kojih se pravi druga figura. U ovom paragrafu postoje tri lekcije, prva ispituje “transformaciju” raznih likova (ovdje su skupljeni prilično laki zadaci), a druga lekcija ispituje geometriju transformacije kvadrata. 10. Razni zadaci rezanja. To uključuje različite zadatke rezanja koji se rješavaju različitim metodama. Tri su lekcije u ovom paragrafu. 11. Područje figura. Dvije su lekcije u ovom paragrafu. U prvoj lekciji obrađuju se zadaci u kojima je potrebno razrezati figure na dijelove i zatim dokazati da su likovi jednako sastavljeni, u drugoj lekciji zadaci u kojima treba koristiti svojstva površina likova.

8 Odjeljak 1 1. Problemi na kariranom papiru Lekcija 1.1 Tema: Problemi rezanja na kariranom papiru. Cilj: Razviti kombinatorne vještine (razmotriti različite načine konstruiranja rezne linije za figure, pravila koja vam omogućuju da ne izgubite rješenja pri konstruiranju ove linije), razviti ideje o simetriji. Rješavamo zadatke u razredu, zadatak 1.5 za dom Kvadrat sadrži 16 ćelija. Podijelite kvadrat na dva jednaka dijela tako da linija rezanja ide duž stranica ćelija. (Metode rezanja kvadrata na dva dijela smatrat ćemo različitima ako dijelovi kvadrata dobiveni jednom metodom rezanja nisu jednaki dijelovima dobivenim drugom metodom.) Koliko ukupno rješenja ima zadatak? Bilješka. Pronalaženje više rješenja za ovaj problem nije tako teško. Na sl. 1 prikazana su neka od njih, a rješenja b) i c) su ista jer se figure dobivene u njima mogu kombinirati preklapanjem (ako kvadrat c) zakrenete za 90 stupnjeva). Riža. 1 Ali pronaći sva rješenja i ne izgubiti niti jedno rješenje već je teže. Imajte na umu da je isprekidana crta koja dijeli kvadrat na dva jednaka dijela simetrična u odnosu na središte kvadrata. Ovo opažanje dopušta korak

9 Lekcija po korak za crtanje polilinije na oba kraja. Na primjer, ako je početak isprekidane linije u točki A, tada će njen kraj biti u točki B (slika 2). Uvjerite se da se za ovaj problem početak i kraj polilinije mogu nacrtati na dva načina, prikazana na sl. 2. Prilikom konstruiranja polilinije, kako ne biste izgubili nijedno rješenje, možete se pridržavati ovog pravila. Ako se sljedeća poveznica izlomljene linije može nacrtati na dva načina, tada prvo treba pripremiti drugi sličan crtež i ovaj korak izvesti na jednom crtežu na prvi način, a na drugom na drugi način (Sl. 3 prikazuje dva nastavka slike 2 (a)). Trebate učiniti isto kada ne postoje dvije, već tri metode (slika 4 prikazuje tri nastavka slike 2 (b)). Navedeni postupak pomaže u pronalaženju svih rješenja. Riža. 2 sl. 3 Slika Pravokutnik 3 4 sadrži 12 ćelija. Pronađite pet načina za rezanje pravokutnika na dva jednaka dijela tako da linija reza ide duž stranica ćelija (metode rezanja smatraju se različitim ako dijelovi dobiveni jednom metodom rezanja nisu jednaki dijelovima dobivenim drugom metodom) A 3 5 pravokutnik sadrži 15 ćelija, a središnja ćelija je uklonjena. Pronađite pet načina za rezanje preostale figure

10 10 1. Zadaci na kariranom papiru izrezani na dva jednaka dijela tako da linija reza ide uz stranice ćelija Kvadrat 6 6 podijeljen je na 36 jednakih kvadrata. Nađi pet načina kako prerezati kvadrat na dva jednaka dijela tako da rezna linija ide duž stranica kvadrata Zadatak 1.4 ima više od 200 rješenja. Pronađite ih barem 15. Lekcija 1.2 Tema: Problemi rezanja na kariranom papiru. Cilj: Nastaviti razvijati ideje o simetriji, pripremati se za temu "Pentamino" (ispitivanje različitih figura koje se mogu graditi od pet ćelija). Zadaci: Je li moguće kvadrat od 5 5 ćelija prerezati na dva jednaka dijela tako da linija reza ide duž stranica ćelija? Obrazložite svoj odgovor Podijelite kvadrat 4 4 ​​na četiri jednaka dijela tako da linija reza ide duž stranica ćelija. Koliko različitih metoda rezanja možete pronaći? 1.8. Podijelite figuru (slika 5) na tri jednaka dijela tako da linija reza ide duž stranica kvadrata. Riža. 5 sl. 6 Sl. Podijelite figuru (Sl. 6) na četiri jednaka dijela tako da linija reza ide duž stranica kvadrata Podijelite figuru (Sl. 7) na četiri jednaka dijela tako da linije reza idu duž stranica kvadrata. trgovi. Pronađite što više rješenja.

Lekcija 11 Podijelite kvadrat s 5 5 ćelija sa središnjom ćelijom izrezanom na četiri jednaka dijela. Lekcija 1.3 Tema: Problemi rezanja na kariranom papiru. Cilj: Nastaviti razvijati ideje o simetriji (aksijalnoj, središnjoj). Zadaci Izrežite oblike prikazane na sl. 8, na dva jednaka dijela duž linija mreže, a svaki dio treba imati krug. Riža. 8 sl. Slike prikazane na sl. 9, trebate izrezati duž linija mreže na četiri jednaka dijela tako da u svakom dijelu bude krug. Kako to učiniti? Izrežite lik prikazan na sl. 10, duž linija rešetke na četiri jednaka dijela i presavijte ih u kvadrat tako da krugovi i zvijezde budu smješteni simetrično u odnosu na sve osi simetrije kvadrata. Riža. 10

12 12 1. Zadaci na kariranom papiru Ovaj kvadrat (sl. 11) izrežite uzduž stranica ćelija tako da svi dijelovi budu iste veličine i oblika te da svaki sadrži po jedan krug i zvjezdicu.Kvadrat 6 6 izrežite od kariranog papir prikazan na sl. 12, na četiri identična dijela tako da svaki od njih sadrži tri osjenčane ćelije. Lekcija 1.4 Sl. 11 sl. 12 Tema: Problemi rezanja na kariranom papiru. Cilj: Naučiti prerezati pravokutnik na dva jednaka dijela, od kojih možete složiti kvadrat i drugi pravokutnik. Naučite odrediti od kojih pravokutnika se rezanjem mogu napraviti kvadrati. Zadaci Dodatni zadaci 1.23, 1.24 (ovi se zadaci mogu razmotriti na početku sata za zagrijavanje) Pravokutnik od 4 9 ćelija na stranicama ćelija razrežite na dva jednaka dijela tako da ih možete presavijati u kvadrat. Je li moguće pravokutnik od 4 8 ćelija razrezati na dva dijela duž stranica ćelija tako da se od njih može oblikovati kvadrat? Iz pravokutnika od 10 7 ćelija izrezan je pravokutnik od 1 6 ćelija, kao što je prikazano na sl. 13. Izrežite dobivenu figuru na dva dijela tako da se mogu saviti u kvadrat.Osjenčane figure izrezane su iz pravokutnika od 8 9 ćelija, kao što je prikazano na sl. 14. Dobivenu figuru izrežite na dva jednaka dijela tako da ih možete saviti u pravokutnik 6 10 .

13 Lekcija Sl. 13 Slika. Na kariranom papiru nacrtan je kvadrat veličine 5 5 ćelija. Pokažite kako ga razrezati duž stranica kvadrata na 7 različitih pravokutnika. Izrežite kvadrat na 5 pravokutnika duž stranica kvadrata tako da svih deset brojeva koji izražavaju duljine stranica pravokutnika budu različiti cijeli brojevi. Podijelite prikazane figure na sl. 15, na dva jednaka dijela. (Možete rezati ne samo duž linija stanica, već i duž njihovih dijagonala.) Sl. 15

14 14 2. Pentomino Izrežite oblike prikazane na sl. 16, na četiri jednaka dijela. 2. Pentamino Fig. 16 Lekcija 2.1 Tema: Pentamino. Cilj: Razvijanje kombinatorike učenika. Zadaci Likovi domino, trimino, tetromino (igra s takvim figurama zove se Tetris), pentomino se sastoje od dva, tri, četiri, pet kvadrata tako da svaki kvadrat ima zajedničku stranicu s barem jednim kvadratom. Od dva identična kvadrata možete napraviti samo jednu domino figuru (vidi sl. 17). Trimino figure mogu se dobiti iz jedne domino figure dodavanjem drugog kvadrata na razne načine. Dobit ćete dvije trimino figure (slika 18). Riža. 17 Fig Napravite sve vrste tetromino figura (od grčke riječi “tetra” četiri). Koliko ste ih dobili? (Oblici dobiveni rotacijom ili simetričnim prikazom od bilo kojih drugih ne smatraju se novima).

Lekcija 15 Napravite sve moguće pentomino figure (od grčke riječi "penta" pet). Koliko ste ih dobili? 2.3. Napravite figure prikazane na sl. 19, od pentomino figura. Koliko rješenja ima zadatak za svaku figuru? Slika Presavijte pravokutnik od 3 5 koristeći pentomino figure. Koliko različitih rješenja možete smisliti? 2.5. Napravite figure prikazane na sl. 20, od pentomino figura. Riža. 20

16 16 2. Pentamino Lekcija 2.2 Tema: Pentamino. Cilj: Razvoj ideja o simetriji. Zadaci U zadatku 2.2 sastavili smo sve moguće pentomino figure. Pogledajte ih na sl. 21. Sl. 21 Slika 1 ima sljedeće svojstvo. Ako ga izrežete od papira i savijete duž ravne linije a (slika 22), tada će se jedan dio figure podudarati s drugim. Kažu da je lik simetričan oko ravne osi simetrije. Slika 12 također ima os simetrije, čak su dvije prave b i c, ali slika 2 nema osi simetrije. Slika Koliko osi simetrije ima svaka pentomino figura? 2.7. Od svih 12 pentomino figura složiti pravokutnik. Asimetrične dijelove je dozvoljeno okretati. Dvanaest pentomino figura složiti u pravokutnik 6 10 i to tako da svaki element dodiruje neku stranu tog pravokutnika.

Lekcija 17 Izrežite pravokutnik prikazan na sl. 23 (a), po unutarnjim linijama u dva takva dijela, iz kojih se može saviti lik s tri kvadratne rupe veličine jedne ćelije (sl. 23 (b)). sl. Od pentomino figura presavijte kvadrat 8 8 s izrezanim kvadratom 2 2 u sredini. Nađite nekoliko rješenja. Dvanaest pentominoa postavljeno je u pravokutnik. Vratite granice figura (sl. 24.) ako svaka zvijezda padne. u točno jedan pentomino. Riža. 24 sl. Dvanaest pentomino figura smješteno je u okvir 12 10, kao što je prikazano na sl. 25. Pokušajte staviti još jedan set pentomina na preostalo slobodno polje.

18 18 3. Teški problemi rezanja 3. Teški problemi rezanja Lekcija 3.1 Tema: Zadaci rezanja figura složenijih oblika s granicama koje su lukovi. Cilj: Naučiti izrezati oblike složenijih oblika s rubovima koji su lukovi te od dobivenih dijelova sastaviti kvadrat. Zadaci na sl. 26 prikazuje 4 figure. Svaki od njih jednim rezom podijelite na dva dijela i od njih napravite kvadrat. Karirani papir će vam olakšati rješavanje problema. Slika. Izrežite kvadrat 6 6 na komade i spojite ih u oblike prikazane na sl. 27. Fig. 27

Lekcija 19 Na sl. 28 prikazuje dio zida tvrđave. Jedan od kamenova ima tako bizaran oblik da ako ga izvučete iz zida i postavite na drugi način, zid će postati ravan. Nacrtaj ovaj kamen.Za što će biti više boje: za kvadrat ili ovaj neobičan prsten (slika 29)? Riža. 28 sl. Izrežite vazu prikazanu na sl. 30, na tri dijela, od kojih možete složiti romb. Riža. 30 sl. 31 sl. 32 Lekcija 3.2 Tema: Složeniji zadaci rezanja. Cilj: Uvježbati rješavanje složenijih zadataka rezanja. Rješavamo zadatke na satu zadatak 3.12 kod kuće Izrežite lik (slika 31) s dva ravna reza na komade od kojih možete složiti kvadrat Izrežite lik prikazan na sl. 32 lik na četiri jednaka dijela, od kojih bi se mogao sastaviti kvadrat. Izrežite slovo E prikazano na sl. 33, na pet dijelova i savijte ih u kvadrat. Ne okrećite dijelove unatrag

20 20 4. Dopuštena je podjela ravnine. Može li se proći s četiri dijela, ako dopustite da se dijelovi okreću? 3.9. Križ sastavljen od pet polja potrebno je razrezati na komade od kojih se može napraviti jedno polje veličine križa (tj. jednake površine).Date su dvije šahovske ploče: obična sa 64 polja, a drugi s 36 kvadrata. Svaku od njih potrebno je razrezati na dva dijela tako da se od sva dobivena četiri dijela napravi nova šahovska ploča od ćelija.Stolar ima komad šahovske ploče od 7 7 ćelija od dragocjenog mahagonija. On želi, bez gubitka materijala i izvođenja Sl. 33 zarezati samo po rubovima kvadrata, ispiliti ploču na 6 dijelova tako da od njih napravite tri nova kvadrata, svi različitih veličina. Kako to učiniti? Je li moguće riješiti zadatak 3.11 ako je broj dijelova 5, a ukupna duljina rezova 17? 4. Rastavljanje ravnine Lekcija 4.1 Tema: Pune particije pravokutnika. Cilj: Naučiti graditi kontinuirane podjele pravokutnika s pravokutnim pločicama. Odgovorite na pitanje pod kojim uvjetima pravokutnik dopušta takvu podjelu ravnine. Zadaci (a) rješavaju se na satu. Zadatke 4.5 (b), 4.6, 4.7 možete ostaviti kod kuće. Pretpostavimo da imamo neograničenu zalihu pravokutnih pločica veličine 2 1 i želimo s njima obložiti pravokutni pod i nijedna se pločica ne smije preklapati. Položite 2 1 pločice na pod u prostoriji dimenzija 5 6. Jasno je da ako je pod u pravokutnoj prostoriji p q postavljen pločicama 2 1, tada je p q paran (jer je površina djeljiva s 2). I obrnuto: ako je p q paran, tada se pod može postaviti s 2 1 pločica.

Lekcija 21 Doista, u ovom slučaju jedan od brojeva p ili q mora biti paran. Ako je, na primjer, p = 2r, tada se pod može postaviti kao što je prikazano na sl. 34. Ali kod takvih parketa postoje linije prijeloma koje prelaze cijelu “sobu” od zida do zida, ali ne prelaze pločice. Ali u praksi se koriste parketi bez takvih linija – masivni parketi. Fig Položite pločice 2 1 kontinuirani parket prostorije Pokušajte pronaći kontinuiranu podjelu na pločice 2 1 a) pravokutnik 4 6; b) kvadrat Postaviti pločice 2 1 masivni parket a) sobe 5 8; b) sobe 6 8. Prirodno se postavlja pitanje: za koje p i q pravokutnik p q dopušta kontinuiranu podjelu na pločice 2 1? Potrebne uvjete već znamo: 1) p q je djeljiv s 2, 2) (p, q) (6, 6) i (p, q) (4, 6). Također možete provjeriti još jedan uvjet: 3) p 5, q 5. Ispada da su i ova tri uvjeta dovoljna. Pločice drugih veličina Položite pločice 3 2 bez prekida: a) pravokutnik 11 18; b) pravokutnik Kvadrat rasporedite u pločice bez prekida, ako je moguće.Može li se od kvadrata kariranog papira veličine 5 5 ćelija izrezati 1 ćelija tako da se preostali dio može izrezati na ploče 1 3 ćelije? Lekcija 4.2 Tema: Parketi.

22 22 4. Pregrađivanje ravnine Cilj: Naučiti obložiti ravninu raznim figurama (a parketi mogu biti s prekidnim linijama ili puni), ili dokazati da je to nemoguće. Problemi Jedno od najvažnijih pitanja u teoriji ravne particije je: “Kakav oblik treba biti pločica da njezine kopije mogu prekriti ravninu bez razmaka ili dvostrukog pokrivanja?” Nekoliko očitih oblika odmah pada na pamet. Može se dokazati da postoje samo tri pravilna poligona koji mogu pokriti ravninu. To su jednakostranični trokut, kvadrat i šesterokut (vidi sliku 35). Postoji beskonačan broj nepravilnih poligona koji se mogu koristiti za pokrivanje ravnine. Slika Proizvoljni tupokutni trokut podijelimo na četiri jednaka i slična trokuta. U zadatku 4.8 trokut smo podijelili na četiri jednaka i slična trokuta. Svaki od četiri dobivena trokuta može se pak podijeliti na četiri jednaka i slična trokuta itd. Ako se pomaknete u suprotnom smjeru, odnosno zbrojite četiri jednaka tupokutna trokuta tako da dobijete jedan trokut sličan njima, ali četiri puta veći u području , itd., tada se ravnina može popločati takvim trokutima. Ravnina se može prekriti drugim likovima, na primjer, trapezoidima, paralelogramima.Prekrijte ravninu istim likovima prikazanim na sl. 36.

23 Lekcija Obložite ravninu istim "zagradama" kao na sl. 37. Fig. 36 sl. Postoje četiri kvadrata sa stranicom 1, osam sa stranicom 2, dvanaest sa stranom 3. Je li ih moguće presavinuti u jedan veliki kvadrat? Je li moguće napraviti kvadrat bilo koje veličine od drvenih pločica prikazanih na sl. 38 vrsta koristeći obje vrste pločica? Lekcija 4.3 Tema: Problemi oko najgušćeg pakiranja. Riža. 38 Cilj: Formirati koncept optimalnog rješenja. Zadaci Koji je najveći broj traka veličine 1 5 ćelija koje se mogu izrezati iz kvadrata kariranog papira od 8 8 ćelija? Majstor ima lim od lima veličine kvadrata. dm. Majstor želi iz njega izrezati što više pravokutnih praznina veličine 3-5 četvornih metara. dm. Pomozite mu. Je li moguće izrezati ćelijski pravokutnik bez ostatka na pravokutnike dimenzija 5 7? Ako je moguće, kako? Ako ne, zašto ne? Na listu kariranog papira s dimenzijama ćelija označite rezove uz pomoć kojih možete dobiti što više cijelih figura, prikazanih na sl. 39. Slike prikazane na sl. 39 (b, d), može se okrenuti.

24 24 5. Tangram Fig Tangram Lekcija 5.1 Tema: Tangram. Svrha: Upoznati učenike s kineskom zagonetkom "Tangram". Vježbajte geometrijsko istraživanje i dizajn. Razvijati kombinatorne sposobnosti. Zadaci Govoreći o reznim zadacima, ne možemo ne spomenuti drevnu kinesku zagonetku "Tangram", koja je nastala u Kini prije 4 tisuće godina. U Kini se to zove chi tao tu, ili mentalna slagalica od sedam dijelova. Smjernice. Za izvođenje ove lekcije preporučljivo je imati materijale: slagalicu (koju školarci mogu sami napraviti), crteže figura koje će trebati presavijati. Slika Napravite sami slagalicu: prenesite kvadrat podijeljen na sedam dijelova (slika 40) na deblji papir i izrežite ga. Koristeći svih sedam dijelova slagalice, napravite figure prikazane na sl. 41.

25 Lekcija Sl. 41 sl. 42 Metodološke preporuke. Djeci se mogu dati crteži figura a), b) u prirodnoj veličini. Stoga učenik može riješiti problem tako što će dijelove slagalice prekriti na crtežu figure i tako odabrati potrebne dijelove, što pojednostavljuje zadatak. I crteži figura

26 26 6. Zadaci za rezanje u prostoru c), d) mogu se dati u manjem mjerilu; stoga će te probleme biti teže riješiti. Na sl. Dane su vam još 42 figure koje sami možete sastaviti. Pokušajte osmisliti vlastitu figuru koristeći svih sedam dijelova tangrama. U tangramu se među njegovih sedam dijelova već nalaze trokuti različitih veličina. Ali iz njegovih dijelova još uvijek možete dodati razne trokute. Presavijte trokut koristeći četiri dijela tangrama: a) jedan veliki trokut, dva mala trokuta i kvadrat; b) jedan veliki trokut, dva mala trokuta i paralelogram; c) jedan veliki trokut, jedan srednji trokut i dva mala trokuta Je li moguće napraviti trokut koristeći samo dva dijela tangrama? Tri dijela? Pet dijelova? Šest dijelova? Svih sedam dijelova tangrama? 5.6. Očito, svih sedam dijelova tangrama čine kvadrat. Je li moguće ili ne napraviti kvadrat iz dva dijela? Od tri? Od četiri? 5.7. Koji su različiti dijelovi tangrama koji se mogu koristiti za izradu pravokutnika? Koji se još konveksni poligoni mogu napraviti? 6. Zadaci za rezanje u prostoru Lekcija 6.1 Tema: Zadaci za rezanje u prostoru. Cilj: Razviti prostornu maštu. Naučiti konstruirati razvoje trokutaste piramide, kocke i odrediti koji su razvoji netočni. Uvježbati rješavanje zadataka reznih tijela u prostoru (rješavanje takvih zadataka razlikuje se od rješavanja zadataka rezanja figura u ravnini). Problemi Buratino je s jedne strane imao papir obložen polietilenom. Napravio je prazninu prikazanu na sl. 43 da od njega lijepite vrećice za mlijeko (trokutaste piramide). A lisica Alisa može napraviti još jednu pripremu. Koji?

27 Lekcija Riža Mačak Basilio je također dobio ovakav papir, ali želi lijepiti kockice (kefirne vrećice). Napravio je praznine prikazane na sl. 44. A lisica Alice kaže da se neke mogu odmah baciti, jer ne valjaju. Je li u pravu? Fig. Keopsova piramida ima kvadrat u osnovi, a njezine bočne stranice su jednaki jednakokračni trokuti. Pinocchio se popeo i izmjerio kut lica na vrhu (AMD, na slici 45). Ispalo je 100. A lisica Alisa kaže da se pregrijao na suncu, jer to ne može biti. Je li u pravu? 6.4. Koliki je najmanji broj ravnih rezova potrebnih da se kocka podijeli na 64 male kocke? Nakon svakog rezanja dopušteno je presložiti dijelove kocke kako želite.Drvena kocka obojana je izvana bijelom bojom, a zatim svaki njen rub Sl. 45 su podijeljeni na 5 jednakih dijelova, nakon čega su ispiljeni tako da su dobivene male kocke čiji je rub 5 puta manji od brida originalne kocke. Koliko ste malih kockica dobili? Koliko kockica ima tri obojene strane? Dvije strane? Jedan rub? Koliko je neobojanih kocki ostalo? 6.6. Lubenica je prerezana na 4 dijela i pojedena. Ispalo je 5 kora. Je li ovo moguće?

28 28 7. Zadaci za bojanje 6.7. Na koji se najveći broj komada palačinka može izrezati pomoću tri ravna reza? Koliko komada možete dobiti od tri komada štruce kruha? 7. Problemi bojanja Lekcija 7.1 Tema: Bojanje pomaže u rješavanju problema. Cilj: Naučiti dobro odabranim bojanjem (primjerice bojanje šahovnice) dokazati da neki rezni zadaci nemaju rješenja, čime se poboljšava logička kultura učenika. Problemi Nije teško dokazati da je rješenje problema rezanja neke figure na dijelove moguće: dovoljno je dati neki način rezanja. Već je teže pronaći sva rješenja, odnosno sve metode rezanja. A dokazati da je rezanje nemoguće također je prilično teško. U nekim slučajevima nam u tome pomaže bojanje figure.Uzeli smo kvadrat kariranog papira dimenzija 8×8 i od njega odrezali dva kvadrata (donji lijevi i gornji desni). Je li moguće u potpunosti pokriti dobivenu figuru „domino“ pravokutnicima 1 2? 7.2. Na šahovskoj ploči nalazi se figura deva koja svakim potezom pomiče tri polja okomito i jedno vodoravno ili tri vodoravno i jedno okomito. Može li "deva", nakon što je napravila nekoliko poteza, ući u ćeliju koja je susjedna originalnoj sa strane? 7.3. Buba sjedi u svakoj ćeliji kvadrata veličine 5 5. Na zapovijed, svaka je kornjaša otpuzala do jedne od ćelija uz nju. Može li biti da će nakon ovoga u svakoj ćeliji opet biti točno po jedan buba? Što ako je originalni kvadrat imao dimenzije 6 6? 7.4. Je li moguće izrezati kvadrat od tartan papira 4 x 4 u jedno postolje, jedan kvadrat, jedan stup i jedan cik-cak (slika 46)?

M. A. Ekimova, G. P. Kukin MTsNMO Moskva, 2002. UDC 514.11 BBK 22.151.0 E45 E45 Ekimova M. A., Kukin G. P. Problemi rezanja. M.: MTsNMO, 2002. 120 str.: ilustr. Serija: “Tajne nastave matematike.” Ovaj

V.A. Smirnov, I.M. Smirnova, I.V. Yashchenko ŠTO BITI VIZUALNA GEOMETRIJA U 5.-6. RAZREDIMA Rezultati državnog ispita i Jedinstvenog državnog ispita iz matematike pokazuju da je glavni problem geometrijske pripreme učenika povezan s nedovoljnom

Problemi na rešetkama V. V. Vavilov, O. N. German, A. V. Ustinov 1 Rešetkaste baze 1. Par vektora a = me 1 + ne 2 i b = ke 1 + le 2, gdje su m, n, k, l cijeli brojevi, tada i samo onda stvara li istu rešetku,

I. V. Yakovlev Materijali o matematici MathUs.ru Rezanje Geometrijske figure nazivaju se jednakima ako se mogu postaviti jedna na drugu tako da se potpuno podudaraju. 1. Svaki oblik izrežite na

V.A. Smirnov, I.M. Smirnova GEOMETRIJA Priručnik za pripremu za GIA Zadaci za odabir točnih tvrdnji 2015. 1 UVOD Ovaj priručnik namijenjen je pripremi za rješavanje geometrijskih zadataka državne mature iz matematike.

Test 448 Okomiti kutovi 1. Ako kutovi nisu okomiti, onda nisu jednaki. 2. Jednaki kutovi su okomiti kutovi samo ako su središnje simetrični. 3. Ako su kutovi jednaki i njihova unija ima

I. V. Yakovlev Materijali o matematici MathUs.ru Primjeri i konstrukcije 1. (Vseross., 2018, ŠÉ, 5.2) Djevojčica je svako slovo u svom imenu zamijenila njegovim brojem u ruskoj abecedi. Dobiveni broj je 2011533.

PREDAVANJE 24 RAVNINSKI GRAFOVI 1. Eulerova formula za planarne grafove Definicija 44: Planarni graf je slika grafa na ravnini bez samosjecišta. Napomena: Graf nije isto što i planarni.

Srednje (potpuno) opće obrazovanje M. I. Bašmakov Matematika 11. razred Zbirka zadataka 3. izdanje UDK 372.851 (075.3) BBK 22.1ya721 B336 Bašmakov M. I. B336 Matematika. 11. razred. Zbirka zadataka: prosječna (potpuna)

V.A. Smirnov 1. Prepoznavanje likova 1. Koji se poliedar naziva kocka? 2. Koliko vrhova, bridova, stranica ima kocka? 3. Na kariranom papiru nacrtajte kocku. 4. Koji se poliedar naziva paralelopiped?

V.A. Smirnov, I.V. Yashchenko FIGURE U SVEMIRU Priručnik za pripremu za Jedinstveni državni ispit 2013. UVOD Ovaj priručnik namijenjen je pripremi za rješavanje geometrijskih problema Jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Njegovi ciljevi su:

1 naučiti koristiti geometrijski jezik i geometrijsku simboliku za opisivanje objekata u okolnom svijetu; provoditi jednostavno obrazloženje i opravdanje u postupku rješavanja predviđenih problema

MATEMATIKA razredi 5.1-5.3 (tehnološki profil) Banka zadataka Modul “Geometrija” “Trokuti i četverokuti. Ravne linije i krugovi. Simetrija. Poliedri" Potrebne osnovne teorijske informacije

Zadaci za treći Minsk City Open turnir mladih matematičara 2016. (juniorska liga, razredi 5-7) 10.-12. ožujka 2016. Preliminarne prijave s naznakom obrazovne ustanove, ravnatelja, njegovog broja telefona

Općinska proračunska predškolska obrazovna ustanova "Dječji vrtić 30" središnjeg okruga Barnaul SAVJETOVNI I PREPORUČNI MATERIJALI ZA UČITELJE na temu: "Upoznavanje djece predškolske dobi

1 Pravilo krajnosti Igor Zhuk (Alpha, 1(4), 1999.) Razmotrimo najprije sljedeća tri problema: Zadatak1. Na beskonačnom listu kariranog papira u svakoj je ćeliji upisan određeni prirodni broj. Poznato je

Znanje je najizvrsniji imetak. Svi tome teže, ne dolazi samo od sebe. Abu-r-Raikhan al-buruni “Pojam površine poligona” Geometrija 8. razred 1 KARAKTERISTIKE POLINOMA Zatvorena isprekidana linija,

Objašnjenje 1. Opće karakteristike predmeta Ovaj program je sastavljen u skladu sa zahtjevima Saveznog državnog obrazovnog standarda za osnovno opće obrazovanje i namijenjen je

Majstorska klasa „Geometrija i stereometrija na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike, 1. dio. Listopad 2017. Za rješavanje problema potrebno vam je znanje o geometrijskim figurama i njihovim svojstvima, izračunavanje područja ravnih figura, volumena

Općinska proračunska obrazovna ustanova "Srednja škola 2" Prilog 3.20. Program rada za predmet "Vizualna geometrija" razredi 5-6 Programeri: Ovchinnikova N.V.,

Tema 1. Paritet 1. Na stolu se nalazi 13 zupčanika povezanih u zatvoreni lanac. Mogu li se svi zupčanici okretati u isto vrijeme? 2. Može li pravac koji ne sadrži vrhove zatvorenog 13-karičnog izlomljenog pravca

Analiza zadataka trećeg dijela zadataka 1 2 Elektronička škola Znika Analiza zadataka trećeg dijela zadataka 4. razred 6 7 8 9 10 A B A B D 6. zadatak Unutar tunela svakih 10 m nalaze se kontrolne točke.

IX Sveruska sesija "Mladi matematičar". Sveruski dječji centar "Orlyonok" VI Turnir matematičkih igara. Matematička igra "Dvoboj". Juniorska liga. Rješenja. 8. rujna 2013. 1. Dvije grupe imaju isti broj učenika

Zabavni zadaci s kockama Zadatak 1. Označi 8 vrhova kocke rednim brojevima (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) tako da zbroj brojeva na svakoj od njezinih šest strana bude jednak (slika 1a).

Banka zadataka iz matematike 6. razred “Mnogokuti i poliedri” 1. Poliedar je zatvorena ploha sastavljena od: paralelograma, mnogokuta i trokuta, mnogokuta, poligona.

DRŽAVNI KOMISET RUSKE FEDERACIJE ZA VISOKO OBRAZOVANJE NOVOSIBIRSKO DRŽAVNO SVEUČILIŠTE Dopisna škola ODJEL ZA MATEMATIKU PARALELNI DIZAJN Razred 0, zadatak 3. Novosibirsk

Program rada nastavnog predmeta „Svijet znakova i brojeva“ 5. razred 1. Planirani rezultati svladavanja nastavnog predmeta „Svijet znakova i brojeva“ ovladavanje geometrijskim jezikom, korištenje istog za opis.

Izvannastavna lekcija vizualne geometrije u 7. razredu. Tema: “Geometrija škara. Problemi za rezanje i savijanje oblika"

IH. SMIRNOVA, V.A. SMIRNOV GEOMETRIJA NA PROVJERENOM PAPIRU Udžbenik za obrazovne ustanove Moskva 2009 PREDGOVOR Predloženi priručnik sadrži pedeset i šest problema za konstruiranje i

RADNA BILJEŽNICA 2 TRANSFORMACIJE 1 Pojam transformacije Primjer 1. Transformacija koncentričnih kružnica jedne u drugu. Kružnica c 1 se transformira u koncentričnu kružnicu c 2 kao što je prikazano

Jesenski fizikalno-matematički intenziv “100 sati” POLIMINO Igre i zagonetke s kockastim figurama Hozin Mihail Anatoljevič Dzeržinsk, 29. listopada 2. studenog 2016. ŠTO JE POLYMINO? Svi znaju domine

7 figura nacrtano je točkama kao što je prikazano na slikama ispod. C A G B F Pokažite kako napraviti figure na slikama ispod od ovih elemenata D E A) (bod 0 bodova) B) (bod 0 bodova) C) (3 boda

Jedinstveni državni ispit 2010. Matematika. Problem B9. Radna bilježnica Smirnov V.A. (priredili A.L. Semenov i I.V. Yashchenko) M.: Izdavačka kuća MTsNMO; 2010, 48 str. Radna knjiga iz matematike serije "Jedinstveni državni ispit 2010. Matematika"

1) IDm2014_006 odgovori iz kruga natjecanja 2) Voditeljica tima Olga Sergeevna Poyarkova 3) Tehnički rukovoditelj (koordinator) ne 4) URL web stranice s odgovorima iz kruga natjecanja (ako postoje) ne 5) Tablica

10.1 (tehnološki profil), 10.2 (razina profila) 2018.-2019. akademska godina Približna banka zadataka za pripremu za testiranje iz matematike, odjeljak "Geometrija" (udžbenik Atanasyan L.S., razina profila)

I. M. Smirnova, V. A. Smirnov Pravilni, polupravilni i zvjezdasti poliedri Moskva Izdavačka kuća MTsNMO 010 UDC 514.11 BBK.151.0 C50 Sadržaj C50 Smirnova I. M., Smirnov V. A. Pravilni, polupravilni

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I ZNANOSTI RUSKE FEDERACIJE NOVOSIBIRSK DRŽAVNO SVEUČILIŠTE SPECIJALIZIRANI OBRAZOVNI I ISTRAŽIVAČKI CENTAR Matematika stupanj 0 PARALELNI DIZAJN Novosibirsk I. Dizajn

2016. 2017. školska godina 5. razred 51 Rasporedi 2 2 2 2 2 zagrade i znakove radnji u unosima tako da ispadne 24 52 Anya laže utorkom, srijedom i četvrtkom, a govori istinu svim ostalim danima u tjednu

Tema 16. Poliedri 1. Prizma i njeni elementi: Prizma je poliedar čije su dvije plohe jednaki poligoni koji se nalaze u paralelnim ravninama, a ostale su plohe paralelogrami.

Geometrija prije geometrije. PDA, Geometrija, Treća lekcija (Maksimov D.V.) 28. lipnja 2017. Vizualna geometrija Kocka 3x3x3 sastoji se od 13 bijelih i 14 tamnih kocki. Koja ga slika prikazuje? Prikazano ispod

7. razred 7.1. Može li se pokazati da će ovaj zadatak točno riješiti 1000 sudionika olimpijade, a među njima će biti 43 dječaka više nego djevojčica? 7.2. Lada i Lera poželjele su prirodni broj. Ako

Odbor uprave okruga Zmeinogorsk Altajskog kraja za obrazovanje i pitanja mladih Općinska proračunska obrazovna ustanova "Srednja škola Zmeinogorsk s naprednim obrazovanjem"

Prijemni ispit u Večernju školu matematike na Fakultetu računalne matematike i matematike Moskovskog državnog sveučilišta M. V. Lomonosova (29. rujna 2018.) razredi 8-9 1. Ekipe „Matematičari“, „Fizičari“ i „Programeri“ igrale su nogomet

Općinska proračunska obrazovna ustanova grada Abakana "Srednja škola 11" PROGRAM izvannastavnih aktivnosti kruga "Mladi matematičar" za razrede 1-4 Program izvannastavnih aktivnosti

Tema I. Problem pariteta 1. Tablica kvadrata 25 25 obojana je u 25 boja tako da su sve boje zastupljene u svakom retku i svakom stupcu. Dokazati da ako je raspored boja simetričan u odnosu na

1. Garniture. Operacije nad skupovima 1. Je li točno da za bilo koje skupove A, B vrijedi jednakost A \ (A \ B) A B? 2. Je li točno da za bilo koje skupove A, B vrijedi jednakost (A \ B) (B \ A)?

Šifra odjeljka Zahtjevi (vještine) koje se provjeravaju zadacima završnog rada Otvorena banka zadataka iz predmeta „Matematika“ za učenike četvrtog razreda Zadaci 4. PROSTORNI ODNOSI. GEOMETRIJSKI

Slika poliedara Slikom lika smatra se lik sličan njegovoj projekciji na neku ravninu. Odabrana je slika koja daje ispravnu ideju o obliku figure

Zadaci za 5. razred Web stranica osnovne matematike Dmitrija Guščina www.mathnet.spb.ru u okviru 5. Tko će pobijediti ako bude igrao najbolje? 2. U kvadratu je nacrtano 5 5 crta koje ga dijele na

Odjel za obrazovanje uprave okruga Krasnogvardeisky Općinska obrazovna ustanova "Kalinovskaya Secondary School" Odobrila: Ravnateljica MBOU "Kalinovskaya Secondary School" Belousova

Dvanaesta sveruska olimpijada u geometriji nazvana po. I. F. Sharygina Četrnaesta usmena olimpijada iz geometrije Moskva, 17. travnja 2016. Rješenja zadataka 8 9 razred 1. (A. Blinkov) U šesterokutu jednako

Zadaci G -11.5.16. S strana = P glavna. * H formula za određivanje bočne plohe prizme G -11.5.17. S strana = 1 P glavni. * h formula za određivanje bočne 2 plohe piramide 6. Razni zadaci G-10.6.1.

VIII timsko-osobni turnir “Matematički višeboj” 2 7. studenoga 2015. Moskva Geometrija (rješenja) Juniorska liga 1. Zadana kružnica i njena tetiva. Na krajevima tetive na kružnicu se povlače tangente

1. Nacrtajte lik na karirani papir. Podijelite ga na 4 jednaka dijela
dijelovi duž linija kariranog papira. Pronađite sve moguće figure za koje
možete izrezati ovu figuru prema uvjetima problema.
Riješenje.
2. Iz kvadrata 5 5 izrezana je središnja ćelija. Izrežite dobiveni
oblikujte na dva jednaka dijela na dva načina.
Riješenje.

3. Podijelite pravokutnik 3×4 na dva jednaka dijela. Pronađite što je više moguće
više načina. Možete rezati samo duž stranice kvadrata 1 × 1 i metode
smatraju se različitima ako dobivene brojke nisu jednake za svaku
put.
Riješenje.
4. Izrežite figuru prikazanu na slici na 2 jednaka dijela.
Riješenje.
5. Izrežite figuru prikazanu na slici na 2 jednaka dijela.

Riješenje.
6. Izrežite lik prikazan na slici na dva jednaka dijela po dužini
linije mreže, au svakom dijelu treba biti krug.
Riješenje.
7. Izrežite lik prikazan na slici na četiri jednaka dijela

Riješenje.

8. Izrežite lik prikazan na slici na četiri jednaka dijela
duž linija mreže, au svakom dijelu treba biti krug.
Riješenje.
9. Izrežite ovaj kvadrat duž stranica ćelija tako da svi dijelovi
biti iste veličine i oblika i svaki sadržavati jedan
šalica i križ.
Riješenje.

10. Izrežite figuru prikazanu na slici duž crta mreže
četiri jednaka dijela i presavijte ih u kvadrat tako da krugovi i križići
smještena simetrično u odnosu na sve osi simetrije kvadrata.
Riješenje.
11. Kvadrat 6 6 prikazan na slici prerežite na četiri
identične dijelove tako da svaki od njih sadrži tri osjenčane ćelije.

Riješenje.
12. Je li moguće kvadrat razrezati na četiri dijela tako da svaki dio
bio u kontaktu s ostala tri (dijelovi su u kontaktu ako imaju zajedničku
granični dio)?
Riješenje.
13. Je li moguće pravokutnik od 9 4 ćelija prerezati na dva jednaka dijela duž

kako onda to učiniti?
Rješenje Površina takvog kvadrata je 36 ćelija, odnosno njegova strana je 6
Stanice. Način rezanja prikazan je na slici.

14. Je li moguće pravokutnik od 5 10 ćelija prerezati na dva jednaka dijela duž
stranice ćelija kako bi se mogle oblikovati u kvadrat? Ako da,
kako onda to učiniti?
Rješenje Površina takvog kvadrata je 50 ćelija, odnosno njegova strana je
više od 7, ali manje od 8 cijelih stanica. Dakle, izrežite takav pravokutnik
na traženi način na stranama stanica nemoguće je.
15. Bilo je 9 listova papira. Neki od njih su izrezani na tri dijela. Ukupno
postalo 15 listova. Koliko ste listova papira izrezali?
Rješenje. Izrezali smo 3 lista: 3 ∙ 3 + 6 = 15.