Navedite svojstva sabiranja dok ih čitate. Svojstva zbrajanja, množenja, oduzimanja i dijeljenja cijelih brojeva

Nacrtajmo na karirani papir pravokutnik sa stranicama 5 cm i 3 cm te ga podijelimo na kvadrate sa stranicama 1 cm (slika 143). Izbrojimo broj ćelija u pravokutniku. To se može učiniti, na primjer, ovako.

Broj kvadrata sa stranicom od 1 cm je 5 * 3. Svaki takav kvadrat sastoji se od četiri ćelije. Stoga je ukupan broj ćelija (5 * 3) * 4.

Isti problem može se riješiti drugačije. Svaki od pet stupaca pravokutnika sastoji se od tri kvadrata sa stranicom od 1 cm. Dakle, jedan stupac sadrži 3 * 4 ćelije. Dakle, ukupno će biti 5 * (3 * 4) ćelija.

Brojenje stanica na slici 143 ilustrira na dva načina asocijativno svojstvo množenja za brojeve 5, 3 i 4. Imamo: (5 * 3) * 4 = 5 * (3 * 4).

Da biste pomnožili umnožak dva broja s trećim brojem, možete pomnožiti prvi broj s umnoškom drugog i trećeg broja.

(ab)c = a(bc)

Iz komutativnih i kombinatornih svojstava množenja proizlazi da se kod množenja više brojeva faktori mogu zamijeniti i staviti u zagrade, čime se određuje redoslijed izračuna.

Na primjer, sljedeće jednakosti su istinite:

abc = cba,

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

Na slici 144 segment AB dijeli pravokutnik o kojemu je bilo riječi na pravokutnik i kvadrat.

Izbrojimo kvadrate sa stranicom 1 cm na dva načina.

S jedne strane, dobiveni kvadrat ih sadrži 3 * 3, a pravokutnik 3 * 2. Ukupno dobivamo 3 * 3 + 3 * 2 kvadrata. S druge strane, u svakom od tri retka ovog pravokutnika nalaze se 3 + 2 kvadrata. Tada je njihov ukupan broj 3 * (3 + 2).

Jednako 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 ilustrira svojstvo razdiobe množenja u odnosu na zbrajanje.

Da biste broj pomnožili zbrojem dvaju brojeva, možete taj broj pomnožiti sa svakim pribrojnikom i zbrojiti dobivene umnoške.

U doslovnom obliku ovo se svojstvo piše na sljedeći način:

a(b + c) = ab + ac

Iz svojstva distribucije množenja u odnosu na zbrajanje slijedi da

ab + ac = a(b + c).

Ova jednakost omogućuje formulu P = 2 a + 2 b za pronalaženje opsega pravokutnika koji treba napisati u ovom obliku:

P = 2 (a + b).

Imajte na umu da svojstvo distribucije vrijedi tri ili više uvjeta. Na primjer:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.

Svojstvo distribucije množenja u odnosu na oduzimanje je također istinito: ako je b > c ili b = c, tada

a(b − c) = ab − ac

Primjer 1 . Izračunajte na prikladan način:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) Koristimo komutativna, a zatim asocijativna svojstva množenja:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) Imamo:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

Primjer 2 . Pojednostavite izraz:

1) 4 a * 3 b;

2) 18 m − 13 m.

1) Koristeći komutativna i asocijativna svojstva množenja, dobivamo:

4 a * 3 b = (4 * 3 ) * ab = 12 ab.

2) Koristeći svojstvo distribucije množenja u odnosu na oduzimanje, dobivamo:

18 m − 13 m = m(18 − 13 ) = m * 5 = 5 m.

Primjer 3 . Napiši izraz 5 (2 m + 7) tako da nema zagrada.

Prema svojstvu distribucije množenja u odnosu na zbrajanje imamo:

5 (2 m + 7) = 5 * 2 m + 5 * 7 = 10 m + 35.

Ova transformacija se zove otvaranje zagrada.

Primjer 4 . Izračunaj na prikladan način vrijednost izraza 125 * 24 * 283.

Riješenje. Imamo:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

Primjer 5 . Izvršite množenje: 3 dana 18 sati * 6.

Riješenje. Imamo:

3 dana 18 sati * 6 = 18 dana 108 sati = 22 dana 12 sati.

Pri rješavanju primjera korišteno je svojstvo distribucije množenja u odnosu na zbrajanje:

3 dana 18 sati * 6 = (3 dana + 18 sati) * 6 = 3 dana * 6 + 18 sati * 6 = 18 dana + 108 sati = 18 dana + 96 sati + 12 sati = 18 dana + 4 dana + 12 sati = 22 dana i 12 sati.

Može se primijetiti niz rezultata svojstvenih ovoj radnji. Ovi rezultati su tzv svojstva zbrajanja prirodnih brojeva. U ovom ćemo članku detaljno analizirati svojstva zbrajanja prirodnih brojeva, napisati ih slovima i dati primjere s objašnjenjima.

Navigacija po stranici.

Kombinativno svojstvo zbrajanja prirodnih brojeva.

Sada dajmo primjer koji ilustrira asocijativno svojstvo zbrajanja prirodnih brojeva.

Zamislimo situaciju: s prve jabuke je pala 1 jabuka, a s druge 2 jabuke i još 4 jabuke. Sada razmislite o ovoj situaciji: 1 jabuka i još 2 jabuke pale su s prve jabuke, a 4 jabuke su pale s druge jabuke. Jasno je da će i u prvom i u drugom slučaju na tlu biti isti broj jabuka (što se može provjeriti preračunavanje). Odnosno, rezultat zbrajanja broja 1 sa zbrojem brojeva 2 i 4 jednak je rezultatu zbrajanja zbroja brojeva 1 i 2 s brojem 4.

Razmatrani primjer omogućuje nam da formuliramo kombinatorno svojstvo zbrajanja prirodnih brojeva: da bismo zadanom zbroju dvaju brojeva dodali zadani broj, možemo ovom broju dodati prvi član danog zbroja i dodati drugi član zbroja dati zbroj rezultirajućeg rezultata. Ovo se svojstvo može napisati pomoću slova poput ovog: a+(b+c)=(a+b)+c, gdje su a, b i c proizvoljni prirodni brojevi.

Imajte na umu da jednakost a+(b+c)=(a+b)+c sadrži zagrade “(” i “)”. Zagrade se koriste u izrazima za označavanje redoslijeda izvođenja radnji - radnje u zagradama se izvode prve (više o tome je napisano u odjeljku). Drugim riječima, izrazi čije se vrijednosti prve procjenjuju stavljaju se u zagrade.

U zaključku ovog odlomka napominjemo da nam asocijativno svojstvo zbrajanja omogućuje nedvosmisleno određivanje zbrajanje tri, četiri ili više prirodnih brojeva.

Svojstvo zbrajanja nule i prirodnog broja, svojstvo zbrajanja nule i nule.

Znamo da nula NIJE prirodan broj. Zašto smo u ovom članku odlučili pogledati svojstvo zbrajanja nule i prirodnog broja? Tri su razloga za to. Prvo: ovo se svojstvo koristi kada zbrajanje prirodnih brojeva u stupcu. Drugo: ovo se svojstvo koristi kada oduzimanje prirodnih brojeva. Treće: ako pretpostavimo da nula znači odsutnost nečega, tada se značenje zbrajanja nule i prirodnog broja podudara s smisao zbrajanja dva prirodna broja.

Provedimo neka razmišljanja koja će nam pomoći da formuliramo svojstvo zbrajanja nule i prirodnog broja. Zamislimo da u kutiji nema nijednog objekta (drugim riječima, u kutiji ima 0 objekata), au njoj je smješteno a objekata, gdje je a bilo koji prirodni broj. Odnosno, dodali smo objekte 0 i a. Jasno je da nakon ove radnje u kutiji ima predmeta. Dakle, vrijedi jednakost 0+a=a.

Slično, ako kutija sadrži stavke i u nju je dodano 0 stavki (tj. nije dodana nijedna stavka), tada će nakon ove radnje biti stavke u kutiji. Dakle, a+0=a.

Sada možemo dati formulaciju svojstva zbrajanja nule i prirodnog broja: zbroj dva broja od kojih je jedan nula jednak je drugom broju. Matematički se ovo svojstvo može napisati kao sljedeća jednakost: 0+a=a ili a+0=a, gdje je a proizvoljan prirodni broj.

Posebno obratimo pažnju na činjenicu da kod zbrajanja prirodnog broja i nule ostaje istinito svojstvo komutativnosti zbrajanja, odnosno a+0=0+a.

Na kraju, formulirajmo svojstvo zbrajanja nule na nulu (sasvim je očito i ne treba dodatne komentare): zbroj dvaju brojeva, od kojih je svaki jednak nuli, jednak je nuli. To je, 0+0=0 .

Sada je vrijeme da smislite kako to učiniti zbrajanje prirodnih brojeva.

Bibliografija.

• Matematika. Bilo koji udžbenici za 1., 2., 3., 4. razrede općeobrazovnih ustanova.
• Matematika. Bilo koji udžbenik za 5. razred općeobrazovnih ustanova.

Tema kojoj je posvećena ova lekcija je “Svojstva zbrajanja.” U njoj ćete se upoznati s komutativnim i asocijativnim svojstvima zbrajanja, ispitujući ih na konkretnim primjerima. Saznajte u kojim slučajevima ih možete koristiti kako biste olakšali proces izračuna. Testni primjeri pomoći će vam da utvrdite koliko ste dobro savladali proučavano gradivo.

Lekcija: Svojstva zbrajanja

Pažljivo pogledajte izraz:

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

Moramo pronaći njegovu vrijednost. Učinimo to.

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

Rezultat izraza je 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.
Recite mi, je li bilo zgodno izračunati? Nije bilo baš zgodno izračunati. Pogledajte ponovno brojeve u ovom izrazu. Je li ih moguće zamijeniti tako da izračuni budu praktičniji?

Ako drugačije rasporedimo brojeve:

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

Konačni rezultat izraza je 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
Vidimo da su rezultati izraza isti.

Izrazi se mogu zamijeniti ako je to zgodno za izračune, a vrijednost zbroja se neće promijeniti.

U matematici postoji zakon: Komutativni zakon zbrajanja. Navodi se da preuređivanje članova ne mijenja zbroj.

Ujak Fjodor i Šarik su se svađali. Šarik je pronašao značenje izraza onako kako je napisano, a stric Fjodor je rekao da zna drugi, zgodniji način izračunavanja. Vidite li bolji način za izračunavanje?

Sharik je riješio izraz kako je napisano. A stric Fjodor je rekao da zna zakon koji dopušta zamjenu pojmova i zamijenio je brojeve 25 i 3.

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

Vidimo da je rezultat ostao isti, ali je izračun postao puno lakši.

Pogledajte sljedeće izraze i pročitajte ih.

6 + (24 + 51) = 81 (6 dodajte zbroj 24 i 51)
Postoji li prikladan način za izračunavanje?
Vidimo da ako zbrojimo 6 i 24, dobivamo okrugli broj. Okruglom broju uvijek je lakše nešto dodati. Stavimo zbroj brojeva 6 i 24 u zagradu.
(6 + 24) + 51 = …
(zbroju brojeva 6 i 24 dodaj 51)

Izračunajmo vrijednost izraza i vidimo je li se vrijednost izraza promijenila?

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

Vidimo da značenje izraza ostaje isto.

Vježbajmo s još jednim primjerom.

(27 + 19) + 1 = 47 (zbroju brojeva 27 i 19 dodaj 1)
Koje je brojeve prikladno grupirati da bi se formirala prikladna metoda?
Pogađate da su to brojevi 19 i 1. Stavimo zbroj brojeva 19 i 1 u zagradu.
27 + (19 + 1) = …
(27 dodaj zbroj brojeva 19 i 1)
Pronađimo značenje ovog izraza. Sjećamo se da se radnja u zagradama izvodi prva.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

Značenje našeg izraza ostaje isto.

Kombinacijski zakon zbrajanja: dva susjedna člana mogu se zamijeniti njihovim zbrojem.

Sada vježbajmo korištenje oba zakona. Moramo izračunati vrijednost izraza:

38 + 14 + 2 + 6 = …

Prvo, upotrijebimo svojstvo komutativnosti zbrajanja, koje nam omogućuje zamjenu pribrojnika. Zamijenimo pojmove 14 i 2.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

Sada upotrijebimo svojstvo kombinacije koje nam omogućuje da dva susjedna člana zamijenimo njihovim zbrojem.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

Najprije saznamo vrijednost zbroja 38 i 2.

Sada je zbroj 14 i 6.

3. Festival pedagoških ideja “Otvorena lekcija” ().

Napravite ga kod kuće

1. Izračunajte zbroj članova na različite načine:

a) 5 + 3 + 5 b) 7 + 8 + 13 c) 24 + 9 + 16

2. Procijenite rezultate izraza:

a) 19 + 4 + 16 + 1 b) 8 + 15 + 12 + 5 c) 20 + 9 + 30 + 1

3. Izračunajte iznos na prikladan način:

a) 10 + 12 + 8 + 20 b) 17 + 4 + 3 + 16 c) 9 + 7 + 21 + 13

Definirali smo zbrajanje, množenje, oduzimanje i dijeljenje cijelih brojeva. Ove akcije (operacije) imaju niz karakterističnih rezultata, koji se nazivaju svojstvima. U ovom ćemo članku pogledati osnovna svojstva zbrajanja i množenja cijelih brojeva, iz kojih slijede sva ostala svojstva ovih radnji, kao i svojstva oduzimanja i dijeljenja cijelih brojeva.

Navigacija po stranici.

Zbrajanje cijelih brojeva ima još nekoliko vrlo važnih svojstava.

Jedan od njih vezan je za postojanje nule. Ovo svojstvo zbrajanja cijelih brojeva navodi da dodavanje nule bilo kojem cijelom broju ne mijenja taj broj. Zapišimo ovo svojstvo zbrajanja slovima: a+0=a i 0+a=a (ova jednakost vrijedi zbog komutativnosti zbrajanja), a je bilo koji cijeli broj. Možda ćete čuti da se cijeli broj nula naziva i neutralni element. Navedimo par primjera. Zbroj cijelog broja −78 i nule je −78; Ako pozitivni cijeli broj 999 dodate nuli, rezultat je 999.

Sada ćemo dati formulaciju drugog svojstva zbrajanja cijelih brojeva, koje je povezano s postojanjem suprotnog broja za bilo koji cijeli broj. Zbroj bilo kojeg cijelog broja sa svojim suprotnim brojem je nula. Dajmo doslovni oblik pisanja ovog svojstva: a+(−a)=0, gdje su a i −a suprotni cijeli brojevi. Na primjer, zbroj 901+(−901) je nula; slično, zbroj suprotnih cijelih brojeva −97 i 97 je nula.

Osnovna svojstva množenja cijelih brojeva

Množenje cijelih brojeva ima sva svojstva množenja prirodnih brojeva. Nabrojimo glavna od tih svojstava.

Baš kao što je nula neutralan cijeli broj u odnosu na zbrajanje, jedan je neutralan cijeli broj u odnosu na množenje cijelog broja. To je, množenje bilo kojeg cijelog broja s jedan ne mijenja broj koji se množi. Dakle, 1·a=a, gdje je a bilo koji cijeli broj. Posljednja jednakost može se prepisati kao a·1=a, što nam omogućuje da napravimo komutativno svojstvo množenja. Navedimo dva primjera. Umnožak cijelog broja 556 s 1 je 556; umnožak jedinice i cijelog negativnog broja −78 jednak je −78.

Sljedeće svojstvo množenja cijelih brojeva vezano je za množenje nulom. Rezultat množenja bilo kojeg cijelog broja a s nulom je nula, odnosno a·0=0 . Jednakost 0·a=0 također vrijedi zbog svojstva komutativnosti množenja cijelih brojeva. U posebnom slučaju kada je a=0, umnožak nule i nule jednak je nuli.

Za množenje cijelih brojeva vrijedi i svojstvo obrnuto prethodnom. To tvrdi umnožak dvaju cijelih brojeva jednak je nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. U doslovnom obliku, ovo se svojstvo može napisati na sljedeći način: a·b=0, ako je ili a=0, ili b=0, ili su oba a i b jednaki nuli u isto vrijeme.

Svojstvo distribucije množenja cijelih brojeva u odnosu na zbrajanje

Zajedničko zbrajanje i množenje cijelih brojeva omogućuje nam da razmotrimo svojstvo distribucije množenja u odnosu na zbrajanje, koje povezuje dvije navedene radnje. Korištenje zbrajanja i množenja zajedno otvara dodatne mogućnosti koje bismo propustili ako bismo zbrajanje razmatrali odvojeno od množenja.

Dakle, svojstvo distribucije množenja u odnosu na zbrajanje kaže da je umnožak cijelog broja a i zbroja dva cijela broja a i b jednak zbroju umnožaka a b i a c, tj. a·(b+c)=a·b+a·c. Isto svojstvo može se napisati u drugom obliku: (a+b)c=ac+bc .

Distribucijsko svojstvo množenja cijelih brojeva u odnosu na zbrajanje, zajedno s kombinatornim svojstvom zbrajanja, omogućuje nam da odredimo množenje cijelog broja sa zbrojem tri ili više cijelih brojeva, a zatim i množenje zbroja cijelih brojeva sa zbrojem.

Također imajte na umu da se sva druga svojstva zbrajanja i množenja cijelih brojeva mogu dobiti iz svojstava koja smo naveli, odnosno da su posljedice gore navedenih svojstava.

Svojstva oduzimanja cijelih brojeva

Iz dobivene jednakosti, kao i iz svojstava zbrajanja i množenja cijelih brojeva, slijede sljedeća svojstva oduzimanja cijelih brojeva (a, b i c su proizvoljni cijeli brojevi):

• Oduzimanje cijelih brojeva općenito NEMA svojstvo komutativnosti: a−b≠b−a.
• Razlika jednakih cijelih brojeva je nula: a−a=0.
• Svojstvo oduzimanja zbroja dva cijela broja od zadanog cijelog broja: a−(b+c)=(a−b)−c .
• Svojstvo oduzimanja cijelog broja od zbroja dvaju cijelih brojeva: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• Svojstvo distribucije množenja u odnosu na oduzimanje: a·(b−c)=a·b−a·c i (a−b)·c=a·c−b·c.
• I sva ostala svojstva oduzimanja cijelih brojeva.

Svojstva dijeljenja cijelih brojeva

Dok smo razgovarali o značenju dijeljenja cijelih brojeva, saznali smo da je dijeljenje cijelih brojeva radnja obrnuta od množenja. Dali smo sljedeću definiciju: dijeljenje cijelih brojeva je pronalaženje nepoznatog faktora iz poznatog umnoška i poznatog faktora. To jest, cijeli broj c nazivamo kvocijentom dijeljenja cijelog broja a s cijelim brojem b, kada je umnožak c·b jednak a.

Ova definicija, kao i sva svojstva operacija nad cijelim brojevima koja su gore razmotrena, omogućuju utvrđivanje valjanosti sljedećih svojstava dijeljenja cijelih brojeva:

• Nijedan cijeli broj ne može se podijeliti s nulom.
• Svojstvo dijeljenja nule s proizvoljnim cijelim brojem a koji nije nula: 0:a=0.
• Svojstvo dijeljenja jednakih cijelih brojeva: a:a=1, gdje je a bilo koji cijeli broj osim nule.
• Svojstvo dijeljenja proizvoljnog cijelog broja a s jedan: a:1=a.
• Općenito, dijeljenje cijelih brojeva NEMA svojstvo komutativnosti: a:b≠b:a .
• Svojstva dijeljenja zbroja i razlike dva cijela broja s cijelim brojem: (a+b):c=a:c+b:c i (a−b):c=a:c−b:c, gdje su a, b , i c su cijeli brojevi tako da su i a i b djeljivi sa c i c nije nula.
• Svojstvo dijeljenja umnoška dvaju cijelih brojeva a i b s cijelim brojem c koji nije nula: (a·b):c=(a:c)·b, ako je a djeljivo s c; (a·b):c=a·(b:c) , ako je b djeljiv sa c ; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) ako su i a i b djeljivi sa c .
• Svojstvo dijeljenja cijelog broja a umnoškom dva cijela broja b i c (brojevi a , b i c su takvi da je moguće dijeljenje a sa b c): a:(b c)=(a:b)c=(a :c)·b .
• Sva druga svojstva dijeljenja cijelih brojeva.