Primjeri određenog integrala po dijelovima. Rješavanje integrala online

Prethodno smo za zadanu funkciju, vodeći se raznim formulama i pravilima, pronašli njezinu derivaciju. Izvedenica ima brojne namjene: to je brzina kretanja (ili, općenitije, brzina bilo kojeg procesa); kutni koeficijent tangente na graf funkcije; koristeći izvod, možete ispitati funkciju na monotonost i ekstreme; pomaže u rješavanju problema optimizacije.

Ali uz problem nalaženja brzine prema poznatom zakonu gibanja, postoji i obrnuti problem - problem vraćanja zakona gibanja prema poznatoj brzini. Razmotrimo jedan od ovih problema.

Primjer 1. Materijalna točka se giba pravocrtno, njena brzina u trenutku t dana je formulom v=gt. Pronađite zakon gibanja.
Riješenje. Neka je s = s(t) željeni zakon gibanja. Poznato je da je s"(t) = v(t). To znači da za rješavanje problema trebate odabrati funkciju s = s(t), čija je derivacija jednaka gt. Nije teško pogoditi da je \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \).Zapravo
\(s"(t) = \lijevo(\frac(gt^2)(2) \desno)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Odgovor: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Odmah napomenimo da je primjer riješen točno, ali nepotpuno. Dobili smo \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Zapravo, problem ima beskonačno mnogo rješenja: bilo koja funkcija oblika \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), gdje je C proizvoljna konstanta, može poslužiti kao zakon kretanje, jer \(\lijevo (\frac(gt^2)(2) +C \desno)" = gt \)

Da bismo problem učinili specifičnijim, morali smo popraviti početnu situaciju: označiti koordinatu pomične točke u nekom trenutku u vremenu, na primjer u t = 0. Ako je, recimo, s(0) = s 0, tada iz jednakosti s(t) = (gt 2)/2 + C dobivamo: s(0) = 0 + C, tj. C = s 0. Sada je zakon gibanja jedinstveno definiran: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

U matematici se međusobno obrnutim operacijama daju različita imena, izmišljene su posebne oznake, na primjer: kvadriranje (x 2) i kvadratni korijen (\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) i arksinus (arcsin x) i itd. Postupak nalaženja derivacije zadane funkcije naziva se diferencijacija, a inverzna operacija, tj. postupak nalaženja funkcije iz zadane derivacije je integracija.

Sam termin “derivacija” može biti opravdan “u svakodnevnom smislu”: funkcija y = f(x) “rađa” novu funkciju y" = f"(x). Funkcija y = f(x) djeluje kao “roditelj”, ali je matematičari, naravno, ne nazivaju “roditeljem” ili “proizvođačem”; oni kažu da jest, u odnosu na funkciju y" = f"( x), primarna slika ili primitivna.

Definicija. Funkcija y = F(x) se zove antiderivacija za funkciju y = f(x) na intervalu X ako jednakost F"(x) = f(x) vrijedi za \(x \u X\)

U praksi se interval X obično ne specificira, ali se podrazumijeva (kao prirodno područje definiranja funkcije).

Navedimo primjere.
1) Funkcija y = x 2 je antiderivativna za funkciju y = 2x, jer za bilo koji x vrijedi jednakost (x 2)" = 2x
2) Funkcija y = x 3 je antiderivativna za funkciju y = 3x 2, jer za bilo koji x vrijedi jednakost (x 3)" = 3x 2
3) Funkcija y = sin(x) je antiderivativna za funkciju y = cos(x), jer za bilo koji x vrijedi jednakost (sin(x))" = cos(x)

Pri pronalaženju antiderivata, kao i derivata, ne koriste se samo formule, već i neka pravila. Oni su izravno povezani s odgovarajućim pravilima za izračun izvedenica.

Znamo da je derivacija zbroja jednaka zbroju njegovih derivacija. Ovo pravilo generira odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.

Pravilo 1. Antiderivacija zbroja jednaka je zbroju antiderivacija.

Znamo da se faktor konstante može uzeti iz predznaka derivacije. Ovo pravilo generira odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.

Pravilo 2. Ako je F(x) antiderivacija za f(x), onda je kF(x) antiderivacija za kf(x).

Teorem 1. Ako je y = F(x) antiderivacija za funkciju y = f(x), tada je antiderivacija za funkciju y = f(kx + m) funkcija \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

Teorem 2. Ako je y = F(x) antiderivacija za funkciju y = f(x) na intervalu X, tada funkcija y = f(x) ima beskonačno mnogo antiderivacija, a sve imaju oblik y = F(x) + C.

Metode integracije

Metoda zamjene varijable (metoda zamjene)

Metoda integracije supstitucijom uključuje uvođenje nove integracijske varijable (odnosno supstitucije). U tom se slučaju zadani integral svodi na novi integral, koji je tablični ili se na njega može svesti. Ne postoje opće metode za odabir zamjena. Sposobnost ispravnog određivanja zamjene stječe se vježbom.
Neka je potrebno izračunati integral \(\textstyle \int F(x)dx \). Napravimo zamjenu \(x= \varphi(t) \) gdje je \(\varphi(t) \) funkcija koja ima kontinuiranu derivaciju.
Zatim \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) i na temelju svojstva invarijantnosti integracijske formule za neodređeni integral, dobivamo integracijsku formulu supstitucijom:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Integracija izraza oblika \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Ako je m neparan, m > 0, tada je prikladnije izvršiti zamjenu sin x = t.
Ako je n neparan, n > 0, tada je prikladnije izvršiti zamjenu cos x = t.
Ako su n i m parni, tada je prikladnije napraviti zamjenu tg x = t.

Integracija po dijelovima

Integracija po dijelovima - primjenom sljedeće formule za integraciju:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
ili:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Tablica neodređenih integrala (antiderivacija) nekih funkcija

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2) ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

Integracija po dijelovima. Primjeri rješenja

Bok opet. Danas ćemo u lekciji naučiti kako integrirati po dijelovima. Metoda integracije po dijelovima jedan je od temelja integralnog računa. Tijekom kolokvija ili ispita od studenata se gotovo uvijek traži rješavanje sljedećih vrsta integrala: najjednostavniji integral (vidi članak) ili integral zamjenom varijable (vidi članak) ili je integral samo na metoda integracije po dijelovima.

Kao i uvijek, trebali biste imati pri ruci: Tablica integrala I Tablica izvedenica. Ako ih još uvijek nemate, posjetite skladište moje web stranice: Matematičke formule i tablice. Neću se umoriti ponavljati - bolje je sve isprintati. Nastojat ću sav materijal izložiti dosljedno, jednostavno i jasno, nema posebnih poteškoća u integraciji dijelova.

Koji problem rješava metoda integracije po dijelovima? Metoda integracije po dijelovima rješava vrlo važan problem, omogućuje integraciju nekih funkcija koje nisu u tablici, raditi funkcije, au nekim slučajevima čak i kvocijente. Kao što se sjećamo, ne postoji prikladna formula: . Ali postoji ovaj: – formula za integraciju po dijelovima osobno. Znam, znam, ti si jedina - s njom ćemo raditi tijekom cijele lekcije (sada je lakše).

I odmah lista u studio. Integrali sljedećih vrsta uzimaju se po dijelovima:

1) , , – logaritam, logaritam pomnožen nekim polinomom.

2) ,je eksponencijalna funkcija pomnožena nekim polinomom. Tu spadaju i integrali poput - eksponencijalne funkcije pomnožene s polinomom, ali u praksi je to 97 posto, ispod integrala stoji lijepo slovo “e”. ... članak ispada pomalo lirski, o da ... stiglo je proljeće.

3) , , su trigonometrijske funkcije pomnožene nekim polinomom.

4) , – inverzne trigonometrijske funkcije (“lukovi”), “lukovi” pomnoženi nekim polinomom.

Neki se razlomci također uzimaju u dijelovima; također ćemo detaljno razmotriti odgovarajuće primjere.

Integrali logaritama

Primjer 1

klasična. S vremena na vrijeme ovaj se integral može pronaći u tablicama, ali nije preporučljivo koristiti gotov odgovor, jer učitelj ima proljetni nedostatak vitamina i jako će psovati. Budući da razmatrani integral nipošto nije tablični - uzima se u dijelovima. Mi odlučujemo:

Prekidamo rješenje za međuobjašnjenja.

Koristimo formulu integracije po dijelovima:

Formula se primjenjuje s lijeva na desno

Gledamo lijevu stranu: . Očito, u našem primjeru (i u svim ostalim koje ćemo razmotriti), nešto treba označiti kao , a nešto kao .

U integralima razmatranog tipa uvijek se označava logaritam.

Tehnički, dizajn rješenja je implementiran na sljedeći način, upisujemo u stupac:

To jest, logaritam smo označili sa, i sa - preostali dio izraz integranda.

Sljedeća faza: pronađite diferencijal:

Diferencijal je gotovo isto što i izvod; već smo raspravljali o tome kako ga pronaći u prethodnim lekcijama.

Sada nalazimo funkciju. Kako biste pronašli funkciju koju trebate integrirati desna strana manja jednakost:

Sada otvaramo naše rješenje i konstruiramo desnu stranu formule: .
Usput, evo uzorka konačnog rješenja s nekim napomenama:

Jedina točka u radu je da sam odmah zamijenio i , budući da je uobičajeno pisati faktor prije logaritma.

Kao što vidite, primjena formule integracije po dijelovima u biti je svela naše rješenje na dva jednostavna integrala.

Imajte na umu da u nekim slučajevima odmah nakon primjene formule, pojednostavljenje se nužno provodi pod preostalim integralom - u primjeru koji razmatramo smanjili smo integrand na "x".

Provjerimo. Da biste to učinili, morate uzeti derivat odgovora:

Dobivena je izvorna funkcija integranda, što znači da je integral točno riješen.

Tijekom testa koristili smo pravilo razlikovanja proizvoda: . I to nije slučajnost.

Formula za integraciju po dijelovima i formula – to su dva međusobno obrnuta pravila.

Primjer 2

Nađi neodređeni integral.

Integrand je proizvod logaritma i polinoma.
Odlučimo se.

Još jednom ću detaljno opisati postupak primjene pravila, ubuduće će primjeri biti prikazani ukratko, a ako imate poteškoća u samostalnom rješavanju, morate se vratiti na prva dva primjera lekcije .

Kao što je već spomenuto, potrebno je označiti logaritam (to što je potencija nije bitno). Označavamo sa preostali dio izraz integranda.

U rubrici pišemo:

Prvo nalazimo diferencijal:

Ovdje koristimo pravilo za razlikovanje složene funkcije . Nije slučajno da već na prvoj lekciji teme Neodređeni integral. Primjeri rješenja Fokusirao sam se na to da je za svladavanje integrala potrebno “dobiti se” izvodnica. S izvedenicama ćete se morati nositi više puta.

Sada nalazimo funkciju, za ovo integriramo desna strana manja jednakost:

Za integraciju smo koristili najjednostavniju tabelarnu formulu

Sada je sve spremno za primjenu formule . Otvorite zvjezdicom i "konstruirajte" rješenje u skladu s desnom stranom:

Pod integralom opet imamo polinom za logaritam! Stoga se rješavanje ponovno prekida i drugi put se primjenjuje pravilo integracije po dijelovima. Ne zaboravite da se u sličnim situacijama uvijek označava logaritam.

Bilo bi dobro da do sada znaš usmeno pronaći najjednostavnije integrale i derivacije.

(1) Neka vas znakovi ne zbune! Vrlo često se ovdje gubi minus, također imajte na umu da se minus odnosi na svima zagrada , a te zagrade moraju biti pravilno proširene.

(2) Otvorite zagrade. Pojednostavit ćemo zadnji integral.

(3) Uzimamo posljednji integral.

(4) “Češljanje” odgovora.

Potreba da se pravilo integracije po dijelovima primijeni dva puta (pa čak i tri puta) ne pojavljuje se vrlo rijetko.

A sada nekoliko primjera za vlastito rješenje:

Primjer 3

Nađi neodređeni integral.

Ovaj primjer je riješen promjenom varijable (ili njenom zamjenom ispod predznaka razlike)! Zašto ne - možete pokušati uzimati u dijelovima, ispast će smiješna stvar.

Primjer 4

Nađi neodređeni integral.

Ali ovaj integral je integriran po dijelovima (obećani razlomak).

Ovo su primjeri koje sami rješavate, rješenja i odgovori na kraju lekcije.

Čini se da su u primjerima 3 i 4 integrandi slični, ali su metode rješenja različite! To je glavna poteškoća u svladavanju integrala - ako odaberete pogrešnu metodu za rješavanje integrala, možete se s njim petljati satima, kao s pravom zagonetkom. Dakle, što više rješavate raznih integrala, to bolje, lakši će vam biti test i ispit. Osim toga, na drugoj godini bit će diferencijalne jednadžbe, a bez iskustva u rješavanju integrala i derivacija tu se nema što raditi.

U smislu logaritma, ovo je vjerojatno više nego dovoljno. Na stranu, također se mogu sjetiti da studenti strojarstva koriste logaritme za nazivanje ženskih grudi =). Usput, korisno je znati napamet grafove glavnih elementarnih funkcija: sinusa, kosinusa, arktangensa, eksponenta, polinoma trećeg, četvrtog stupnja itd. Ne, naravno, kondom na kugli zemaljskoj
Neću razvlačiti, ali sada ćete se sjetiti mnogo toga iz odjeljka Grafikoni i funkcije =).

Integrali eksponencijala pomnoženog polinomom

Opće pravilo:

Primjer 5

Nađi neodređeni integral.

Koristeći poznati algoritam, integriramo po dijelovima:

Ako imate poteškoća s integralom, trebali biste se vratiti na članak Metoda promjene varijable u neodređenom integralu.

Jedina druga stvar koju možete učiniti je prilagoditi odgovor:

Ali ako vaša tehnika izračuna nije baš dobra, onda je najprofitabilnija opcija da to ostavite kao odgovor ili čak

Odnosno, primjer se smatra riješenim kada se uzme posljednji integral. To neće biti pogreška; druga je stvar što bi vas učitelj mogao zamoliti da pojednostavite odgovor.

Primjer 6

Nađi neodređeni integral.

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Ovaj integral se integrira dva puta po dijelovima. Posebnu pozornost treba obratiti na znakove - lako se zbuniti u njima, također se sjećamo da je ovo složena funkcija.

O izlagaču se više nema što reći. Mogu samo dodati da su eksponencijal i prirodni logaritam međusobno inverzne funkcije, ovo sam ja na temi zabavnih grafova više matematike =) Stani, stani, ne brini, predavač je trijezan.

Integrali trigonometrijskih funkcija pomnoženi polinomom

Opće pravilo: jer uvijek označava polinom

Primjer 7

Nađi neodređeni integral.

Integrirajmo po dijelovima:

Hmmm...i nema se što komentirati.

Primjer 8

Nađi neodređeni integral

Ovo je primjer za vas da sami riješite

Primjer 9

Nađi neodređeni integral

Još jedan primjer s razlomkom. Kao u prethodna dva primjera, for označava polinom.

Integrirajmo po dijelovima:

Ako imate bilo kakvih poteškoća ili nesporazuma s pronalaženjem integrala, preporučam pohađanje lekcije Integrali trigonometrijskih funkcija.

Primjer 10

Nađi neodređeni integral

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti.

Savjet: Prije korištenja metode integracije po dijelovima, trebali biste primijeniti neku trigonometrijsku formulu koja umnožak dviju trigonometrijskih funkcija pretvara u jednu funkciju. Formula se može koristiti i pri primjeni metode integracije po dijelovima, što vam više odgovara.

To je vjerojatno sve u ovom odlomku. Iz nekog razloga sam se sjetio stiha iz fizikalno-matematičke himne “I sinusni graf teče val za valom duž apscisne osi”….

Integrali inverznih trigonometrijskih funkcija.
Integrali inverznih trigonometrijskih funkcija pomnoženi polinomom

Opće pravilo: uvijek označava inverznu trigonometrijsku funkciju.

Dopustite mi da vas podsjetim da inverzne trigonometrijske funkcije uključuju arksinus, arkosinus, arktangens i arkotangens. Zbog kratkoće zapisa nazvat ću ih "lukovi"