Formule za integraciju po dijelovima s primjerima. Kompleksni integrali

Poziva se funkcija F(x) diferencijabilna u zadanom intervalu X antiderivacija funkcije f(x), ili integral od f(x), ako za svaki x ∈X vrijedi sljedeća jednakost:

F " (x) = f(x). (8.1)

Pronalaženje svih antiderivacija za danu funkciju naziva se njeno integracija. Funkcija neodređenog integrala f(x) na danom intervalu X je skup svih antiderivacijskih funkcija za funkciju f(x); oznaka -

Ako je F(x) neka antiderivacija funkcije f(x), tada je ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

gdje je C proizvoljna konstanta.

Tablica integrala

Izravno iz definicije dobivamo glavna svojstva neodređenog integrala i popis tabelarnih integrala:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2) ∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Popis tabelarnih integrala

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctan x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C

Zamjena varijable

Za integraciju mnogih funkcija koristite metodu zamjene varijable ili zamjene,što vam omogućuje redukciju integrala u tablični oblik.

Ako je funkcija f(z) kontinuirana na [α,β], funkcija z =g(x) ima kontinuiranu derivaciju i α ≤ g(x) ≤ β, tada

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

Štoviše, nakon integracije na desnoj strani treba izvršiti zamjenu z=g(x).

Da bismo to dokazali, dovoljno je originalni integral napisati u obliku:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Na primjer:

Metoda integracije po dijelovima

Neka su u = f(x) i v = g(x) funkcije koje imaju kontinuirano . Zatim, prema djelu,

d(uv))= udv + vdu ili udv = d(uv) - vdu.

Za izraz d(uv), antiderivacija će očito biti uv, tako da formula vrijedi:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Ova formula izražava pravilo integracija po dijelovima. On vodi integraciju izraza udv=uv"dx do integracije izraza vdu=vu"dx.

Neka, na primjer, želite pronaći ∫xcosx dx. Stavimo u = x, dv = cosxdx, dakle du=dx, v=sinx. Zatim

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Pravilo integracije po dijelovima ima ograničeniji opseg od zamjene varijabli. Ali postoje čitave klase integrala, npr.

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax i drugi, koji se izračunavaju precizno korištenjem integracije po dijelovima.

Određeni integral

Koncept određenog integrala uvodi se na sljedeći način. Neka je funkcija f(x) definirana na intervalu. Podijelimo segment [a,b] na n dijelovi po točkama a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. Poziva se suma oblika f(ξ i)Δ x i integralni zbroj, a njegova granica pri λ = maxΔx i → 0, ako postoji i konačna je, naziva se određeni integral funkcije f(x) od a prije b i označen je:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Funkcija f(x) u ovom slučaju se zove integrabilan na intervalu, nazivaju se brojevi a i b donja i gornja granica integrala.

Za određeni integral vrijede sljedeća svojstva:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Posljednje svojstvo se zove teorem srednje vrijednosti.

Neka je f(x) neprekidan na . Tada na tom segmentu postoji neodređeni integral

∫f(x)dx = F(x) + C

i odvija se Newton-Leibnizova formula, povezujući određeni integral s neodređenim integralom:

F(b) - F(a). (8,6)

Geometrijska interpretacija: određeni integral je površina krivocrtnog trapeza omeđenog odozgo krivuljom y=f(x), ravnim linijama x = a i x = b i segmentom osi Vol.

Nepravilni integrali

Integrali s beskonačnim limitima i integrali diskontinuiranih (neomeđenih) funkcija nazivaju se ne svoj. Nepravilni integrali prve vrste - To su integrali preko beskonačnog intervala, definirani na sljedeći način:

(8.7)

Ako ta granica postoji i konačna je, tada se zove konvergentni nepravi integral od f(x) na intervalu [a,+ ∞), te se poziva funkcija f(x). integrabilan u beskonačnom intervalu[a,+ ∞). Inače se za integral kaže da je ne postoji ili se razilazi.

Nepravi integrali na intervalima (-∞,b] i (-∞, + ∞) definiraju se na sličan način:

Definirajmo pojam integrala neograničene funkcije. Ako je f(x) kontinuirana za sve vrijednosti x segment , osim točke c, u kojoj f(x) ima beskonačni diskontinuitet, tada nepravi integral druge vrste f(x) u rasponu od a do b iznos se zove:

ako te granice postoje i konačne su. Oznaka:

Primjeri integralnih izračuna

Primjer 3.30. Izračunajte ∫dx/(x+2).

Riješenje. Označimo t = x+2, tada je dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Primjer 3.31. Nađi ∫ tgxdx.

Riješenje.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Neka je t=cosx, tada je ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Primjer3.32 . Pronađite ∫dx/sinx

Riješenje.

Primjer3.33. Pronaći .

Riješenje. = .

Primjer3.34 . Pronađite ∫arctgxdx.

Riješenje. Integrirajmo po dijelovima. Označimo u=arctgx, dv=dx. Tada je du = dx/(x 2 +1), v=x, odakle je ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; jer
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Primjer3.35 . Izračunajte ∫lnxdx.

Riješenje. Primjenom formule integracije po dijelovima dobivamo:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Tada je ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Primjer3.36 . Izračunajte ∫e x sinxdx.

Riješenje. Označimo u = e x, dv = sinxdx, tada je du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Integral ∫e x cosxdx također integriramo po dijelovima: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Imamo:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Dobili smo relaciju ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, odakle je 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Primjer 3.37. Izračunajte J = ∫cos(lnx)dx/x.

Riješenje. Kako je dx/x = dlnx, tada je J= ∫cos(lnx)d(lnx). Zamjenom lnx kroz t dolazimo do tabličnog integrala J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Primjer 3.38 . Izračunajte J = .

Riješenje. S obzirom da je = d(lnx), zamijenimo lnx = t. Tada je J = .

Primjer 3.39 . Izračunajte integral J = .

Riješenje. Imamo: . Stoga =
=
=. uneseno ovako: sqrt(tan(x/2)).

A ako u prozoru s rezultatima kliknete na Prikaži korake u gornjem desnom kutu, dobit ćete detaljno rješenje.

Kalkulator rješava integrale s DETALJNIM opisom radnji na ruskom i besplatno!

Rješavanje neodređenih integrala

Ovo je online usluga u jedan korak:

Rješavanje određenih integrala

Ovo je online usluga u jedan korak:

• Unesite izraz integrand (integralna funkcija)
• Unesite donju granicu za integral
• Unesite gornju granicu za integral

Rješavanje dvostrukih integrala

• Unesite izraz integrand (integralna funkcija)

Rješavanje nepravilnih integrala

• Unesite izraz integrand (integralna funkcija)
• Unesite gornji raspon integracije (ili + beskonačno)
• Unesite donju regiju integracije (ili - beskonačno)

Ići: Online usluga "Nevlasnički integral" →

Rješavanje trostrukih integrala

• Unesite izraz integrand (integralna funkcija)
• Unesite donje i gornje granice za prvu regiju integracije
• Unesite donju i gornju granicu za drugu regiju integracije
• Unesite donju i gornju granicu za treću regiju integracije

Ići: Online usluga "Trostruki integral" →

Ova usluga vam omogućuje da provjerite svoje kalkulacije za ispravnost

Mogućnosti

• Podržava sve moguće matematičke funkcije: sinus, kosinus, eksponent, tangens, kotangens, kvadratni i kubični korijen, potencije, eksponencijale i druge.
• Postoje primjeri za unos, kako za neodređene integrale tako i za neprave i određene.
• Ispravlja pogreške u izrazima koje unesete i nudi vlastite opcije za unos.
• Numeričko rješenje za određene i neprave integrale (uključujući dvostruke i trostruke integrale).
• Podrška za kompleksne brojeve, kao i razne parametre (možete odrediti ne samo integracijsku varijablu, već i druge varijable parametara u izrazu integranda)

Integracija po dijelovima- metoda koja se koristi za rješavanje određenih i neodređenih integrala, kada je jedan integrand lako integrabilan, a drugi diferencijabilan. Prilično uobičajena metoda za pronalaženje integrala, neodređenih i određenih. Glavni znak kada ga trebate koristiti je određena funkcija koja se sastoji od produkta dviju funkcija koje se ne mogu izravno integrirati.

Formula

Kako biste uspješno koristili ovu metodu, morate razumjeti i naučiti formule.

Formula za integraciju po dijelovima u neodređeni integral:

$$ \int udv = uv - \int vdu $$

Formula za integraciju po dijelovima u određenom integralu:

$$ \int \limits_(a)^(b) udv = uv \bigg |_(a)^(b) - \int \limits_(a)^(b) vdu $$

Primjeri rješenja

Razmotrimo u praksi primjere rješenja integracije po dijelovima, koje često predlažu nastavnici tijekom testova. Imajte na umu da se ispod simbola integrala nalazi proizvod dviju funkcija. To je znak da je ova metoda prikladna za rješenje.

Primjer 1

Pronađite integral $ \int xe^xdx $

Riješenje

Vidimo da se integrand sastoji od dvije funkcije, od kojih jedna diferenciranjem odmah prelazi u jedinicu, a druga se lako integrira. Za rješavanje integrala koristimo se metodom integracije po dijelovima. Pretpostavimo $ u = x \rightarrow du=dx $ i $ dv = e^x dx \rightarrow v=e^x $ Pronađene vrijednosti zamijenimo u prvu integracijsku formulu i dobijemo: $$ \int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C $$ Ako ne možete riješiti svoj problem, pošaljite nam ga. Mi ćemo pružiti detaljno rješenje. Moći ćete vidjeti napredak izračuna i dobiti informacije. To će vam pomoći da na vrijeme dobijete ocjenu od svog učitelja!

Odgovor

$$ \int xe^x dx = xe^x - e^x + C $$

Primjer 4

Izračunajte integral $ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx $

Riješenje

Po analogiji s prethodnim riješenim primjerima, shvatit ćemo koju funkciju bez problema integrirati, a koju razlikovati. Imajte na umu da ako diferenciramo $ (x+5) $, tada će se ovaj izraz automatski pretvoriti u jedinicu, što će biti naša prednost. Pa radimo ovo: $$ u=x+5 \rightarrow du=dx, dv=3^x dx \rightarrow v=\frac(3^x)(ln3) $$ Sada su sve nepoznate funkcije pronađene i mogu se staviti u drugu formulu za integraciju po dijelovima za određeni integral. $$ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx = (x+5) \frac(3^x)(\ln 3) \bigg |_0 ^1 - \int \limits_0 ^1 \frac (3^x dx)(\ln 3) = $$ $$ = \frac(18)(\ln 3) - \frac(5)(\ln 3) - \frac(3^x)(\ln^2 3)\bigg| _0 ^1 = \frac(13)(\ln 3) - \frac(3)(\ln^2 3)+\frac(1)(\ln^2 3) = \frac(13)(\ln 3 )-\frac(4)(\ln^2 3) $$

Odgovor

$$ \int\limits_0 ^1 (x+5)3^x dx = \frac(13)(\ln 3)-\frac(4)(\ln^2 3) $$

Određenim integralom iz kontinuirane funkcije f(x) na posljednjem segmentu [ a, b] (gdje je ) prirast nekih njegovih antiderivata na ovom segmentu. (Općenito, razumijevanje će biti znatno lakše ako ponovite temu o neodređenom integralu) U ovom slučaju koristi se oznaka

Kao što se može vidjeti na grafikonima ispod (inkrement antiderivacijske funkcije označen je sa ), određeni integral može biti ili pozitivan ili negativan broj(Izračunava se kao razlika između vrijednosti antiderivacije u gornjoj granici i njegove vrijednosti u donjoj granici, tj. F(b) - F(a)).

Brojke a I b nazivaju se donja i gornja granica integracije, a segment [ a, b] – segment integracije.

Dakle, ako F(x) – neka antiderivativna funkcija za f(x), tada je prema definiciji

(38)

Jednakost (38) se zove Newton-Leibnizova formula . Razlika F(b) – F(a) ukratko se piše ovako:

Stoga ćemo Newton-Leibnizovu formulu napisati ovako:

(39)

Dokažimo da određeni integral ne ovisi o tome koja se antiderivacija integranda uzima pri njegovom izračunavanju. Neka F(x) i F( x) su proizvoljne antiderivacije integranda. Budući da se radi o antiderivacijama iste funkcije, razlikuju se konstantnim članom: F( x) = F(x) + C. Zato

Time se utvrđuje da na segmentu [ a, b] inkrementi svih antiderivacija funkcije f(x) podudarati se.

Dakle, da bi se izračunao određeni integral, potrebno je pronaći bilo koju antiderivaciju integranda, tj. Prvo morate pronaći neodređeni integral. Konstantno S isključeni iz naknadnih izračuna. Tada se primjenjuje Newton-Leibnizova formula: vrijednost gornje granice zamjenjuje se u antiderivacijsku funkciju b , dalje - vrijednost donje granice a a razlika se izračunava F(b) - F(a) . Rezultirajući broj bit će određeni integral..

Na a = b po definiciji prihvaćeno

Primjer 1.

Riješenje. Najprije pronađimo neodređeni integral:

Primjena Newton-Leibnizove formule na antiderivaciju

(na S= 0), dobivamo

Međutim, pri računanju određenog integrala bolje je ne pronaći antiderivaciju zasebno, već integral odmah napisati u obliku (39).

Primjer 2. Izračunajte određeni integral

Riješenje. Korištenje formule

Svojstva određenog integrala

Teorem 2.Vrijednost određenog integrala ne ovisi o oznaci integracijske varijable, tj.

(40)

Neka F(x) – antiderivat za f(x). Za f(t) antiderivat je ista funkcija F(t), u kojem je nezavisna varijabla samo drugačije označena. Stoga,

Na temelju formule (39) posljednja jednakost znači jednakost integrala

Teorem 3.Konstantni faktor može se uzeti iz predznaka određenog integrala, tj.

(41)

Teorem 4.Određeni integral algebarskog zbroja konačnog broja funkcija jednak je algebarskom zbroju određenih integrala tih funkcija, tj.

(42)

Teorem 5.Ako se segment integracije podijeli na dijelove, tada je određeni integral po cijelom segmentu jednak zbroju određenih integrala po njegovim dijelovima., tj. Ako

(43)

Teorem 6.Preuređivanjem granica integracije ne mijenja se apsolutna vrijednost određenog integrala, već samo njegov predznak, tj.

(44)

Teorem 7(teorem o srednjoj vrijednosti). Određeni integral jednak je umnošku duljine segmenta integracije i vrijednosti integranda u nekoj točki unutar njega, tj.

(45)

Teorem 8.Ako je gornja granica integracije veća od donje, a integrand je nenegativan (pozitivan), tada je i definitivni integral nenegativan (pozitivan), tj. Ako

Teorem 9.Ako je gornja granica integracije veća od donje, a funkcije i su neprekidne, tada je nejednakost

može se integrirati pojam po pojam, tj.

(46)

Svojstva određenog integrala omogućuju pojednostavljenje izravnog izračunavanja integrala.

Primjer 5. Izračunajte određeni integral

Koristeći teoreme 4 i 3, te pri pronalaženju antiderivacija - tabličnih integrala (7) i (6), dobivamo

Određeni integral s promjenjivom gornjom granicom

Neka f(x) – kontinuirano na segmentu [ a, b] funkcija, i F(x) je njegov antiderivat. Promotrimo određeni integral

(47)

i kroz t integracijska varijabla je označena tako da je ne zbunite s gornjom granicom. Kad se promijeni x mijenja se i određeni integral (47), tj. to je funkcija gornje granice integracije x, što označavamo sa F(x), tj.

(48)

Dokažimo da funkcija F(x) je antiderivat za f(x) = f(t). Doista, razlikovanje F(x), dobivamo

jer F(x) – antiderivat za f(x), A F(a) je konstantna vrijednost.

Funkcija F(x) – jedan od beskonačnog broja antiderivata za f(x), naime onaj koji x = a ide na nulu. Ovu tvrdnju dobivamo ako u jednakost (48) stavimo x = a i upotrijebite teorem 1 prethodnog paragrafa.

Izračunavanje određenih integrala metodom integracije po dijelovima i metodom promjene varijable

gdje je, po definiciji, F(x) – antiderivat za f(x). Ako promijenimo varijablu u integrandu

tada u skladu s formulom (16) možemo pisati

U ovom izrazu

antiderivativna funkcija za

Zapravo, njegova izvedenica, prema pravilo diferencijacije složenih funkcija, je jednako

Neka su α i β vrijednosti varijable t, za koju je funkcija

prema tome uzima vrijednosti a I b, tj.

Ali, prema Newton-Leibnizovoj formuli, razlika F(b) – F(a) Tamo je

Rješavanje integrala je lak zadatak, ali samo za odabrane. Ovaj članak je za one koji žele naučiti razumjeti integrale, ali ne znaju ništa ili gotovo ništa o njima. Integral... Zašto je potreban? Kako to izračunati? Što su određeni i neodređeni integrali? Ako je jedina upotreba integrala za koju znate korištenje kukice u obliku ikone integrala kako biste izvukli nešto korisno s teško dostupnih mjesta, onda dobrodošli! Saznajte kako rješavati integrale i zašto ne možete bez toga.

Proučavamo koncept "integrala"

Integracija je bila poznata još u starom Egiptu. Naravno, ne u modernom obliku, ali ipak. Od tada su matematičari napisali mnogo knjiga o ovoj temi. Posebno su se istakli Newton I Leibniz , ali se bit stvari nije promijenila. Kako razumjeti integrale od nule? Nema šanse! Da biste razumjeli ovu temu, i dalje ćete trebati osnovno znanje o osnovama matematičke analize. Informacije o , potrebne za razumijevanje integrala, već imamo na našem blogu.

Neodređeni integral

Neka nam bude neka funkcija f(x) .

Funkcija neodređenog integrala f(x) ova funkcija se zove F(x) , čija je derivacija jednaka funkciji f(x) .

Drugim riječima, integral je obrnuta derivacija ili antiderivacija. Usput, pročitajte kako u našem članku.

Antiderivacija postoji za sve neprekidne funkcije. Također, antiderivatu se često dodaje predznak konstante, jer se derivacije funkcija koje se razlikuju po konstanti podudaraju. Proces pronalaženja integrala naziva se integracija.

Jednostavan primjer:

Kako ne bi stalno izračunavali antiderivacije elementarnih funkcija, zgodno ih je staviti u tablicu i koristiti gotove vrijednosti:

Određeni integral

Kada govorimo o pojmu integrala, imamo posla s infinitezimalnim veličinama. Integral će vam pomoći izračunati površinu figure, masu neuniformnog tijela, prijeđenu udaljenost tijekom neravnomjernog kretanja i još mnogo toga. Treba imati na umu da je integral zbroj beskonačno velikog broja infinitezimalnih članova.

Kao primjer, zamislite graf neke funkcije. Kako pronaći područje figure ograničene grafom funkcije?

Korištenje integrala! Podijelimo krivuljasti trapez, ograničen koordinatnim osima i grafom funkcije, na infinitezimalne segmente. Na taj način će lik biti podijeljen u tanke stupce. Zbroj površina stupaca bit će površina trapeza. Ali zapamtite da će takav izračun dati približan rezultat. Međutim, što su segmenti manji i uži, izračun će biti točniji. Ako ih smanjimo do te mjere da duljina teži nuli, tada će zbroj površina segmenata težiti površini figure. Ovo je određeni integral koji se piše ovako:

Točke a i b nazivamo limesima integracije.

Bari Alibasov i grupa "Integral"

Usput! Za naše čitatelje sada postoji popust od 10% na

Pravila za izračunavanje integrala za lutke

Svojstva neodređenog integrala

Kako riješiti neodređeni integral? Ovdje ćemo se osvrnuti na svojstva neodređenog integrala, što će nam biti od koristi pri rješavanju primjera.

• Derivacija integrala jednaka je integrandu:

• Konstanta se može izvući ispod znaka integrala:

• Integral zbroja jednak je zbroju integrala. Ovo vrijedi i za razliku:

Svojstva određenog integrala

• Linearnost:

• Predznak integrala se mijenja ako se granice integracije zamijene:

• Na bilo koji bodova a, b I S:

Već smo saznali da je određeni integral limit zbroja. Ali kako dobiti određenu vrijednost prilikom rješavanja primjera? Za to postoji Newton-Leibnizova formula:

Primjeri rješavanja integrala

U nastavku ćemo razmotriti nekoliko primjera pronalaženja neodređenih integrala. Predlažemo da sami shvatite zamršenost rješenja, a ako vam nešto nije jasno, postavite pitanja u komentarima.

Za učvršćivanje gradiva pogledajte video o tome kako se integrali rješavaju u praksi. Nemojte očajavati ako integral ne dobijete odmah. Obratite se stručnoj službi za studente i svaki trostruki ili zakrivljeni integral po zatvorenoj plohi bit će u vašoj moći.