Interval pouzdanosti. Interval pouzdanosti za matematičko očekivanje normalne distribucije s poznatom varijancom

Interval pouzdanosti– granične vrijednosti statističke veličine koje će se, uz zadanu vjerojatnost pouzdanosti γ, nalaziti u tom intervalu pri uzorkovanju većeg volumena. Označava se kao P(θ - ε. U praksi, vjerojatnost pouzdanosti γ bira se između vrijednosti prilično blizu jedinici: γ = 0,9, γ = 0,95, γ = 0,99.

Svrha usluge. Pomoću ove usluge možete odrediti:

• interval pouzdanosti za opću sredinu, interval pouzdanosti za varijancu;
• interval pouzdanosti za standardnu ​​devijaciju, interval pouzdanosti za opći udio;

Dobiveno rješenje sprema se u Word datoteku (vidi primjer). Ispod je video uputa za popunjavanje početnih podataka.

Primjer br. 1. Na kolektivnoj farmi, od ukupnog stada od 1000 ovaca, 100 ovaca je podvrgnuto selektivnoj kontrolnoj striži. Kao rezultat, utvrđen je prosječan ostrig vune od 4,2 kg po ovci. Odredite s vjerojatnošću od 0,99 srednju kvadratnu pogrešku uzorka pri određivanju prosječnog striženja vune po ovci i granice unutar kojih se nalazi vrijednost striženja ako je varijanca 2,5. Uzorak se ne ponavlja.
Primjer br. 2. Iz serije uvezenih proizvoda na postaji Moskovske sjeverne carine uzeto je 20 uzoraka proizvoda "A" slučajnim ponovljenim uzorkovanjem. Kao rezultat ispitivanja utvrđen je prosječni sadržaj vlage proizvoda „A“ u uzorku, koji se pokazao jednakim 6% sa standardnom devijacijom od 1%.
S vjerojatnošću 0,683 odredite granice prosječnog sadržaja vlage proizvoda u cijeloj seriji uvezenih proizvoda.
Primjer br. 3. Istraživanje 36 studenata pokazalo je da je prosječan broj udžbenika koje su pročitali tijekom akademske godine jednak 6. Uz pretpostavku da broj udžbenika koje student pročita po semestru ima normalan zakon raspodjele sa standardnom devijacijom jednakom 6, pronađite : A) s pouzdanošću od 0,99 intervalne procjene za matematičko očekivanje ove slučajne varijable; B) s kojom vjerojatnošću možemo reći da će prosječan broj udžbenika koje student pročita po semestru, izračunat iz ovog uzorka, odstupati od matematičkog očekivanja u apsolutnoj vrijednosti za najviše 2.

Klasifikacija intervala povjerenja

Prema vrsti parametra koji se procjenjuje:

Prema vrsti uzorka:

1. Interval pouzdanosti za beskonačan uzorak;
2. Interval pouzdanosti za konačni uzorak;

Uzorak se naziva ponovno uzorkovanje, ako se odabrani objekt vrati u populaciju prije odabira sljedećeg. Uzorak se naziva neponavljajući, ako se odabrani objekt ne vrati u populaciju. U praksi obično imamo posla s uzorcima koji se ne ponavljaju.

Izračun prosječne pogreške uzorkovanja za slučajno uzorkovanje

Razlika između vrijednosti pokazatelja dobivenih iz uzorka i odgovarajućih parametara opće populacije naziva se pogreška reprezentativnosti.
Oznake glavnih parametara opće i uzorkovane populacije.

Formule prosječne pogreške uzorkovanja
ponovni odabir		ponoviti odabir
za prosjek	za udio	za prosjek	za udio

Odnos između granice pogreške uzorkovanja (Δ) zajamčene s određenom vjerojatnošću R(t), a prosječna greška uzorkovanja ima oblik: ili Δ = t·μ, gdje t– koeficijent pouzdanosti, određen ovisno o razini vjerojatnosti P(t) prema tablici Laplaceove integralne funkcije.

Formule za izračunavanje veličine uzorka korištenjem metode isključivo slučajnog uzorkovanja

Neka je slučajna varijabla (možemo govoriti o općoj populaciji) raspodijeljena prema normalnom zakonu za koju je poznata varijanca D = 2 (> 0). Iz opće populacije (na skupu objekata od kojih je određena slučajna varijabla) izrađuje se uzorak veličine n. Uzorak x 1 , x 2 ,..., x n smatra se skupom od n neovisnih slučajnih varijabli raspodijeljenih na isti način kao (pristup objašnjen gore u tekstu).

Ranije smo raspravljali i dokazali sljedeće jednakosti:

Mx 1 = Mx 2 = ... = Mx n = M;

Dx 1 = Dx 2 = ... = Dx n = D;

Dovoljno je jednostavno dokazati (dokaz izostavljamo) da je slučajna varijabla iu ovom slučaju raspoređena prema normalnom zakonu.

Označimo nepoznatu veličinu M s a i odaberemo na temelju zadane pouzdanosti broj d > 0 tako da bude zadovoljen uvjet:

P(- a< d) = (1)

Budući da je slučajna varijabla raspodijeljena prema normalnom zakonu s matematičkim očekivanjem M = M = a i varijancom D = D /n = 2 /n, dobivamo:

P(- a< d) =P(a - d < < a + d) =

Ostaje odabrati d tako da vrijedi jednakost

Za bilo koji, možete koristiti tablicu da pronađete broj t takav da je (t)= / 2. Taj se broj t ponekad naziva kvantil.

Sada od jednakosti

odredimo vrijednost d:

Konačni rezultat dobivamo predstavljanjem formule (1) u obliku:

Značenje posljednje formule je sljedeće: uz pouzdanost, interval pouzdanosti

pokriva nepoznati parametar a = M populacije. Možemo reći i drugačije: točkasta procjena određuje vrijednost parametra M s točnošću d= t / i pouzdanošću.

Zadatak. Neka postoji opća populacija s određenom karakteristikom raspodijeljenom prema normalnom zakonu s varijacijom jednakom 6,25. Uzeta je veličina uzorka od n = 27 i dobivena je prosječna vrijednost uzorka karakteristike = 12. Nađite interval pouzdanosti koji pokriva nepoznato matematičko očekivanje proučavane karakteristike opće populacije s pouzdanošću = 0,99.

Riješenje. Prvo pomoću tablice za Laplaceovu funkciju nalazimo vrijednost t iz jednakosti (t) = / 2 = 0,495. Na temelju dobivene vrijednosti t = 2,58 utvrđujemo točnost procjene (odnosno polovicu duljine intervala pouzdanosti) d: d = 2,52,58 / 1,24. Odavde dobivamo željeni interval pouzdanosti: (10,76; 13,24).

statistička hipoteza general variational

Interval pouzdanosti za matematičko očekivanje normalne distribucije s nepoznatom varijancom

Neka je slučajna varijabla raspodijeljena prema normalnom zakonu s nepoznatim matematičkim očekivanjem M, koje označavamo slovom a. Napravimo uzorak volumena n. Odredimo prosječni uzorak i korigiranu varijancu uzorka s 2 pomoću poznatih formula.

Slučajna vrijednost

raspodijeljena prema Studentovom zakonu s n - 1 stupnjeva slobode.

Zadatak je pronaći broj t za zadanu pouzdanost i broj stupnjeva slobode n - 1 tako da vrijedi jednakost

ili ekvivalentnu jednakost

Ovdje je u zagradi napisan uvjet da vrijednost nepoznatog parametra a pripada određenom intervalu koji je interval pouzdanosti. Njegove granice ovise o pouzdanosti, kao io parametrima uzorkovanja i s.

Da bismo odredili vrijednost t prema veličini, pretvaramo jednakost (2) u oblik:

Sada, koristeći tablicu za slučajnu varijablu t raspodijeljenu prema Studentovom zakonu, koristeći vjerojatnost 1 - i broj stupnjeva slobode n - 1, nalazimo t. Formula (3) daje odgovor na postavljeni problem.

Zadatak. U kontrolnim ispitivanjima 20 električnih žarulja prosječno trajanje njihovog rada iznosilo je 2000 sati sa standardnom devijacijom (izračunato kao kvadratni korijen korigirane varijance uzorka) od 11 sati. Poznato je da je vrijeme rada žarulje normalno raspodijeljena slučajna varijabla. S pouzdanošću od 0,95 odredite interval pouzdanosti za matematičko očekivanje ove slučajne varijable.

Riješenje. Vrijednost 1 - u ovom slučaju jednaka je 0,05. Prema Studentovoj tablici raspodjele, s brojem stupnjeva slobode jednakim 19, nalazimo: t = 2,093. Izračunajmo sada točnost procjene: 2,093121/ = 56,6. Odavde dobivamo traženi interval pouzdanosti: (1943,4; 2056,6).

Interval pouzdanosti za matematičko očekivanje - ovo je interval izračunat iz podataka koji s poznatom vjerojatnošću sadrži matematičko očekivanje opće populacije. Prirodna procjena matematičkog očekivanja je aritmetička sredina njegovih promatranih vrijednosti. Stoga ćemo tijekom cijele lekcije koristiti pojmove "prosjek" i "prosječna vrijednost". U problemima izračuna intervala pouzdanosti, odgovor koji se najčešće traži je nešto poput "Interval pouzdanosti prosječnog broja [vrijednosti u određenom problemu] je od [manje vrijednosti] do [veće vrijednosti]." Pomoću intervala pouzdanosti možete procijeniti ne samo prosječne vrijednosti, već i udio određene karakteristike opće populacije. U lekciji se govori o prosječnim vrijednostima, disperziji, standardnoj devijaciji i pogrešci preko kojih ćemo doći do novih definicija i formula. Obilježja uzorka i populacije .

Točkaste i intervalne procjene srednje vrijednosti

Ako se prosječna vrijednost populacije procjenjuje brojem (točkom), tada se kao procjena nepoznate prosječne vrijednosti populacije uzima određeni prosjek koji se izračunava iz uzorka opažanja. U ovom slučaju vrijednost uzorkačke sredine – slučajne varijable – ne podudara se sa srednjom vrijednošću opće populacije. Stoga, kada označavate srednju vrijednost uzorka, morate istovremeno navesti pogrešku uzorkovanja. Mjera greške uzorkovanja je standardna greška, koja se izražava u istim jedinicama kao i srednja vrijednost. Stoga se često koristi sljedeća oznaka: .

Ako procjenu prosjeka treba povezati s određenom vjerojatnošću, tada se parametar od interesa u populaciji mora procijeniti ne jednim brojem, već intervalom. Interval povjerenja je interval u kojem se s određenom vjerojatnošću P nalazi se vrijednost procijenjenog pokazatelja populacije. Interval pouzdanosti u kojem je to vjerojatno P = 1 - α pronađena je slučajna varijabla, izračunata na sljedeći način:

,

α = 1 - P, koji se može naći u dodatku gotovo svake knjige o statistici.

U praksi srednja vrijednost populacije i varijanca nisu poznati, pa se varijanca populacije zamjenjuje varijancom uzorka, a srednja vrijednost populacije sredinom uzorka. Stoga se interval pouzdanosti u većini slučajeva izračunava na sljedeći način:

.

Formula intervala pouzdanosti može se koristiti za procjenu srednje vrijednosti populacije ako

• poznata je standardna devijacija populacije;
• ili je standardna devijacija populacije nepoznata, ali je veličina uzorka veća od 30.

Srednja vrijednost uzorka je nepristrana procjena srednje vrijednosti populacije. S druge strane, varijanca uzorka nije nepristrana procjena varijance populacije. Za dobivanje nepristrane procjene varijance populacije u formuli varijance uzorka, veličina uzorka n treba zamijeniti sa n-1.

Primjer 1. Od 100 nasumično odabranih kafića u određenom gradu prikupljen je podatak da je prosječan broj zaposlenih u njima 10,5 sa standardnom devijacijom od 4,6. Odredite 95% interval pouzdanosti za broj zaposlenih u kafiću.

gdje je kritična vrijednost standardne normalne distribucije za razinu značajnosti α = 0,05 .

Tako se 95%-tni interval pouzdanosti za prosječan broj zaposlenih u kafiću kretao od 9,6 do 11,4.

Primjer 2. Za slučajni uzorak iz populacije od 64 opažanja, izračunate su sljedeće ukupne vrijednosti:

zbroj vrijednosti u promatranjima,

zbroj kvadrata odstupanja vrijednosti od srednje vrijednosti .

Izračunajte interval pouzdanosti od 95% za matematičko očekivanje.

Izračunajmo standardnu ​​devijaciju:

,

Izračunajmo prosječnu vrijednost:

.

Zamjenjujemo vrijednosti u izraz za interval pouzdanosti:

gdje je kritična vrijednost standardne normalne distribucije za razinu značajnosti α = 0,05 .

Dobivamo:

Stoga je 95%-tni interval pouzdanosti za matematičko očekivanje ovog uzorka bio u rasponu od 7,484 do 11,266.

Primjer 3. Za slučajni uzorak populacije od 100 opažanja, izračunata sredina je 15,2, a standardna devijacija je 3,2. Izračunajte 95% interval pouzdanosti za očekivanu vrijednost, zatim 99% interval pouzdanosti. Ako snaga uzorka i njezina varijacija ostanu nepromijenjeni, a koeficijent pouzdanosti raste, hoće li se interval pouzdanosti suziti ili proširiti?

Zamjenjujemo ove vrijednosti u izraz za interval pouzdanosti:

gdje je kritična vrijednost standardne normalne distribucije za razinu značajnosti α = 0,05 .

Dobivamo:

.

Stoga je 95%-tni interval pouzdanosti za srednju vrijednost ovog uzorka bio u rasponu od 14,57 do 15,82.

Ponovno zamijenimo ove vrijednosti u izrazu za interval pouzdanosti:

gdje je kritična vrijednost standardne normalne distribucije za razinu značajnosti α = 0,01 .

Dobivamo:

.

Stoga je 99% interval pouzdanosti za srednju vrijednost ovog uzorka bio u rasponu od 14,37 do 16,02.

Kao što vidimo, kako se koeficijent pouzdanosti povećava, kritična vrijednost standardne normalne distribucije također raste, i, posljedično, početna i završna točka intervala nalaze se dalje od srednje vrijednosti, a time se povećava interval pouzdanosti za matematičko očekivanje .

Točkaste i intervalne procjene specifične težine

Udio nekog atributa uzorka može se interpretirati kao procjena udjela str istih karakteristika u općoj populaciji. Ako ovu vrijednost treba povezati s vjerojatnošću, tada treba izračunati interval pouzdanosti specifične težine str karakterističan u populaciji s vjerojatnošću P = 1 - α :

.

Primjer 4. U nekom gradu postoje dva kandidata A I B kandidiraju se za gradonačelnika. Nasumično je anketirano 200 stanovnika grada, od kojih je 46% odgovorilo da bi glasalo za kandidata A, 26% - za kandidata B a 28% ne zna za koga će glasati. Odredite interval pouzdanosti od 95% za udio stanovnika grada koji podržavaju kandidata A.

Pomoću ovog obrasca za pretraživanje možete pronaći zadatak koji vam je potreban. Unesite riječ, izraz iz zadatka ili njegov broj, ako ga znate.

Traži samo u ovom odjeljku

Intervali povjerenja: popis rješenja problema

Intervali povjerenja: teorija i problemi

Razumijevanje intervala povjerenja

Ukratko predstavimo pojam intervala povjerenja koji
1) procjenjuje neki parametar numeričkog uzorka izravno iz podataka samog uzorka,
2) pokriva vrijednost ovog parametra s vjerojatnošću γ.

Interval pouzdanosti za parametar x(s vjerojatnošću γ) naziva se interval oblika , takav da , a vrijednosti se na neki način izračunavaju iz uzorka.

Obično se u primijenjenim problemima vjerojatnost pouzdanosti uzima jednakom γ ​​= 0,9; 0,95; 0,99.

Razmotrimo neki uzorak veličine n, napravljen od opće populacije, raspoređen vjerojatno prema normalnom zakonu distribucije. Pokažimo koje se formule koriste za pronalaženje intervali pouzdanosti za parametre distribucije- matematičko očekivanje i disperzija (standardna devijacija).

Interval pouzdanosti za matematičko očekivanje

Slučaj 1. Varijanca distribucije je poznata i jednaka je . Zatim interval pouzdanosti za parametar a ima oblik:
t određena iz tablice Laplaceove distribucije prema odnosu

Slučaj 2. Varijanca distribucije je nepoznata; točkasta procjena varijance izračunava se iz uzorka. Zatim interval pouzdanosti za parametar a ima oblik:
, gdje je prosjek uzorka izračunat iz uzorka, parametar t utvrđeno iz tablice distribucije učenika

Primjer. Na temelju 7 mjerenja određene veličine dobiven je prosjek rezultata mjerenja od 30, a varijanca uzorka od 36. Odredite granice unutar kojih se nalazi prava vrijednost izmjerene veličine s pouzdanošću od 0,99.

Riješenje. Naći ćemo . Tada se granice pouzdanosti za interval koji sadrži pravu vrijednost izmjerene vrijednosti mogu pronaći pomoću formule:
, gdje je srednja vrijednost uzorka, varijanca uzorka. Zamjenjujemo sve vrijednosti i dobivamo:

Interval pouzdanosti za varijancu

Vjerujemo da je, općenito govoreći, matematičko očekivanje nepoznato, a poznata je samo točkasta nepristrana procjena varijance. Tada interval pouzdanosti ima oblik:
, Gdje - kvantili raspodjele određeni iz tablica.

Primjer. Na temelju podataka 7 testova dobivena je procjena vrijednosti standardne devijacije s=12. Nađite, s vjerojatnošću 0,9, širinu intervala pouzdanosti konstruiranog za procjenu disperzije.

Riješenje. Interval pouzdanosti za nepoznatu varijancu populacije može se pronaći pomoću formule:

Zamijenimo i dobijemo:


Tada je širina intervala pouzdanosti 465,589-71,708=393,881.

Interval pouzdanosti za vjerojatnost (proporciju)

Slučaj 1. Neka su u problemu poznati veličina uzorka i udio uzorka (relativna frekvencija). Tada interval pouzdanosti za opći udio (prava vjerojatnost) ima oblik:
, gdje je parametar t određuje se iz tablice Laplaceove distribucije pomoću relacije.

Slučaj 2. Ako je u zadatku dodatno poznata ukupna veličina populacije iz koje je uzet uzorak, interval pouzdanosti za opći udio (prava vjerojatnost) može se pronaći pomoću prilagođene formule:
.

Primjer. Poznato je da Pronađite granice unutar kojih će opći udio vjerojatno biti sadržan.

Riješenje. Koristimo formulu:

Nađimo parametar iz uvjeta , dobivamo Zamjenu u formulu:

Na stranici ćete naći i druge primjere problema iz matematičke statistike