Apsolutne i relativne pogreške mjerenja. Apsolutna pogreška mjerenja

Greška mjerenja- procjena odstupanja izmjerene vrijednosti veličine od njezine prave vrijednosti. Mjerna pogreška je karakteristika (mjerilo) točnosti mjerenja.

Budući da je nemoguće s apsolutnom točnošću odrediti pravu vrijednost bilo koje veličine, nemoguće je naznačiti koliki je odstupanje izmjerene vrijednosti od prave. (Ovo odstupanje obično se naziva pogreška mjerenja. U nizu izvora, na primjer, u Velikoj sovjetskoj enciklopediji, izrazi greška mjerenja I greška mjerenja koriste se kao sinonimi, ali prema RMG 29-99 termin greška mjerenja Ne preporuča se koristiti kao manje uspješan). Moguće je samo procijeniti veličinu tog odstupanja, primjerice, pomoću statističkih metoda. U praksi, umjesto prave vrijednosti, koriste stvarna vrijednost količine x d, odnosno eksperimentalno dobivena vrijednost fizikalne veličine koja je toliko blizu stvarne vrijednosti da se umjesto nje može koristiti u zadanom mjernom zadatku. Ta se vrijednost obično izračunava kao prosječna vrijednost dobivena statističkom obradom rezultata niza mjerenja. Ova dobivena vrijednost nije egzaktna, već samo najvjerojatnija. Stoga je u mjerenjima potrebno naznačiti kolika je njihova točnost. Da biste to učinili, pogreška mjerenja je naznačena zajedno s dobivenim rezultatom. Na primjer, snimite T=2,8±0,1 c. znači da je prava vrijednost količine T leži u rasponu od 2,7 s. prije 2,9 s. s nekom određenom vjerojatnošću

Godine 2004. na međunarodnoj razini donesen je novi dokument koji diktira uvjete za provođenje mjerenja i uspostavlja nova pravila za usporedbu državnih etalona. Koncept "pogreške" je zastario; umjesto toga uveden je koncept "mjerne nesigurnosti", međutim GOST R 50.2.038-2004 dopušta upotrebu pojma greška za dokumente koji se koriste u Rusiji.

Razlikuju se sljedeće vrste grešaka:

· apsolutna pogreška;

· relativna pogreška;

· smanjena pogreška;

· osnovna greška;

· dodatna pogreška;

· sustavna pogreška;

· slučajna pogreška;

· instrumentalna greška;

· metodička pogreška;

· osobna pogreška;

· statička pogreška;

· dinamička pogreška.

Pogreške mjerenja klasificiraju se prema sljedećim kriterijima.

· Prema načinu matematičkog izražavanja pogreške se dijele na apsolutne pogreške i relativne pogreške.

· Prema interakciji promjena vremena i ulazne vrijednosti, pogreške se dijele na statičke pogreške i dinamičke pogreške.

· Na temelju prirode nastanka pogreške se dijele na sustavne pogreške i slučajne pogreške.

· Prema karakteru ovisnosti pogreške o utjecajnim veličinama pogreške se dijele na osnovne i dodatne.

· Na temelju prirode ovisnosti pogreške o ulaznoj vrijednosti, pogreške se dijele na aditivne i multiplikativne.

Apsolutna pogreška– to je vrijednost izračunata kao razlika između vrijednosti veličine dobivene tijekom procesa mjerenja i stvarne (stvarne) vrijednosti te veličine. Apsolutna pogreška izračunava se pomoću sljedeće formule:

AQ n = Q n /Q 0 , gdje je AQ n apsolutna pogreška; Q n– vrijednost određene veličine dobivena tijekom postupka mjerenja; Q 0– vrijednost iste količine uzeta kao osnova za usporedbu (stvarna vrijednost).

Apsolutna greška mjere– to je vrijednost izračunata kao razlika između broja, koji je nazivna vrijednost mjere, i stvarne (stvarne) vrijednosti veličine reproducirane mjerom.

Relativna greška je broj koji odražava stupanj točnosti mjerenja. Relativna pogreška izračunava se pomoću sljedeće formule:

Gdje je ∆Q apsolutna pogreška; Q 0– prava (stvarna) vrijednost mjerene veličine. Relativna greška je izražena u postocima.

Smanjena pogreška je vrijednost izračunata kao omjer vrijednosti apsolutne pogreške i vrijednosti normalizacije.

Standardna vrijednost određena je na sljedeći način:

· za mjerila za koja je odobrena nazivna vrijednost, ta se nazivna vrijednost uzima kao standardna vrijednost;

· za mjerila kod kojih se nulta vrijednost nalazi na rubu mjerne ljestvice ili izvan ljestvice, normalizirajuća vrijednost se uzima jednaka konačnoj vrijednosti iz mjernog područja. Izuzetak su mjerni instrumenti s izrazito neujednačenom mjernom skalom;

· za mjerne instrumente čija se nulta oznaka nalazi unutar mjernog raspona, vrijednost normalizacije uzima se jednaka zbroju konačnih numeričkih vrijednosti mjernog raspona;

· za mjerila (mjerni instrumenti) kod kojih je ljestvica neujednačena, normirajuća vrijednost se uzima jednakom cijeloj duljini mjerne ljestvice ili duljini onog njezina dijela koji odgovara mjernom rasponu. Tada se apsolutna pogreška izražava u jedinicama duljine.

Pogreška mjerenja uključuje instrumentalnu pogrešku, pogrešku metode i pogrešku brojanja. Štoviše, pogreška u brojanju nastaje zbog netočnosti u određivanju udjela podjele mjerne ljestvice.

Instrumentalna greška– radi se o pogrešci koja nastaje zbog pogrešaka učinjenih tijekom procesa proizvodnje funkcionalnih dijelova mjerila.

Metodološka greška je pogreška koja se javlja iz sljedećih razloga:

· netočnost u konstrukciji modela fizikalnog procesa na kojem se temelji mjerni instrument;

· neispravno korištenje mjernih instrumenata.

Subjektivna greška– radi se o pogrešci koja nastaje zbog niske osposobljenosti rukovatelja mjerilom, kao i zbog pogreške organa vida čovjeka, odnosno uzrok subjektivne pogreške je ljudski faktor.

Pogreške u interakciji promjena tijekom vremena i ulazne veličine dijele se na statičke i dinamičke pogreške.

Statička greška– ovo je pogreška koja nastaje u procesu mjerenja konstantne (nepromjenjive u vremenu) veličine.

Dinamička pogreška je pogreška, čija se numerička vrijednost izračunava kao razlika između pogreške koja se javlja pri mjerenju nekonstantne (vremenski promjenjive) veličine i statičke pogreške (pogreške u vrijednosti mjerene veličine u određenom trenutku u vrijeme).

Prema karakteru ovisnosti pogreške o utjecajnim veličinama pogreške se dijele na osnovne i dodatne.

Osnovna pogreška– ovo je pogreška dobivena u normalnim radnim uvjetima mjernog instrumenta (pri normalnim vrijednostima utjecajnih veličina).

Dodatna greška– ovo je pogreška koja nastaje kada vrijednosti utjecajnih veličina ne odgovaraju svojim normalnim vrijednostima ili ako utjecajna veličina prelazi granice područja normalnih vrijednosti.

Normalni uvjeti– to su stanja u kojima su sve vrijednosti utjecajnih veličina normalne ili ne izlaze izvan granica normalnog raspona.

Radni uvjeti– to su uvjeti u kojima promjena utjecajnih veličina ima širi raspon (utjecajne vrijednosti ne izlaze izvan granica radnog područja vrijednosti).

Radni raspon utjecajnih veličina– ovo je raspon vrijednosti u kojem su vrijednosti dodatne pogreške normalizirane.

Na temelju prirode ovisnosti pogreške o ulaznoj vrijednosti, pogreške se dijele na aditivne i multiplikativne.

Dodatna pogreška– ovo je pogreška koja nastaje zbog zbrajanja numeričkih vrijednosti i ne ovisi o vrijednosti izmjerene veličine uzete modulo (apsolutno).

Multiplikativna pristranost je pogreška koja se mijenja s promjenama vrijednosti veličine koja se mjeri.

Treba napomenuti da vrijednost apsolutne aditivne pogreške nije povezana s vrijednošću mjerene veličine i osjetljivošću mjernog instrumenta. Apsolutne aditivne pogreške su konstantne u cijelom mjernom rasponu.

Vrijednost apsolutne aditivne pogreške određuje najmanju vrijednost veličine koju je moguće izmjeriti mjernim instrumentom.

Vrijednosti multiplikativnih pogrešaka mijenjaju se proporcionalno promjenama vrijednosti mjerene veličine. Vrijednosti multiplikativnih pogrešaka također su proporcionalne osjetljivosti mjernog instrumenta.Multiplikativna pogreška nastaje zbog utjecaja utjecajnih veličina na parametarske karakteristike elemenata uređaja.

Pogreške koje se mogu pojaviti tijekom procesa mjerenja klasificiraju se prema prirodi njihove pojave. Istakni:

· sustavne pogreške;

· slučajne pogreške.

Tijekom procesa mjerenja mogu se pojaviti i velike pogreške i pogreške.

Sustavna pogreška- ovo je komponenta ukupne pogreške rezultata mjerenja, koja se ne mijenja ili se prirodno mijenja ponovnim mjerenjem iste količine. Obično se sustavna pogreška pokušava otkloniti na moguće načine (primjerice korištenjem mjernih metoda koje smanjuju vjerojatnost njezina nastanka), ali ako se sustavna pogreška ne može otkloniti, tada se ona izračunava prije početka mjerenja i odgovarajuće vrše se korekcije rezultata mjerenja. U procesu normalizacije sustavne pogreške određuju se granice njegovih dopuštenih vrijednosti. Sustavna pogreška određuje točnost mjerenja mjernih instrumenata (metrološko svojstvo). Sustavne pogreške u nekim se slučajevima mogu odrediti eksperimentalno. Rezultat mjerenja tada se može razjasniti uvođenjem korekcije.

Metode za uklanjanje sustavnih grešaka podijeljene su u četiri vrste:

· otklanjanje uzroka i izvora pogrešaka prije početka mjerenja;

· otklanjanje grešaka u procesu već započetog mjerenja supstitucijom, kompenzacijom grešaka predznakom, opozicijom, simetričnim opažanjima;

· korekcija rezultata mjerenja uvođenjem korekcija (otklanjanje pogrešaka proračunima);

· određivanje granica sustavne pogreške u slučaju da se ne može otkloniti.

Otklanjanje uzroka i izvora grešaka prije početka mjerenja. Ova metoda je najbolja opcija, budući da njezina uporaba pojednostavljuje daljnji tijek mjerenja (nema potrebe otklanjati pogreške u procesu već započetog mjerenja ili vršiti korekcije dobivenog rezultata).

Za otklanjanje sustavnih grešaka u procesu već započetog mjerenja koriste se različite metode

Način unošenja amandmana temelji se na poznavanju sustavne greške i trenutnih obrazaca njezine promjene. Pri korištenju ove metode ispravljaju se rezultati mjerenja dobiveni sa sustavnim pogreškama, jednakim veličini tim pogreškama, ali suprotnog predznaka.

Metoda zamjene sastoji se u tome da se mjerena veličina zamjeni mjerilom postavljenim u iste uvjete u kojima se nalazio predmet mjerenja. Metoda zamjene koristi se pri mjerenju sljedećih električnih parametara: otpora, kapaciteta i induktiviteta.

Metoda kompenzacije pogreške predznaka sastoji se u tome da se mjerenja provode dva puta na način da se pogreška nepoznate veličine uključi u rezultate mjerenja sa suprotnim predznakom.

Metoda suprotstavljanja slično metodi kompenzacije predznaka. Ova se metoda sastoji od dvaputa mjerenja tako da izvor pogreške u prvom mjerenju ima suprotan učinak na rezultat drugog mjerenja.

Slučajna pogreška- ovo je komponenta pogreške rezultata mjerenja, koja se mijenja nasumično, nepravilno kada se ponavljaju mjerenja iste količine. Pojava slučajne pogreške ne može se predvidjeti niti predvidjeti. Slučajna pogreška se ne može u potpunosti eliminirati; ona uvijek u određenoj mjeri iskrivljuje konačne rezultate mjerenja. Ali rezultat mjerenja možete učiniti preciznijim ponavljanjem mjerenja. Uzrok slučajne pogreške može biti, na primjer, slučajna promjena vanjskih čimbenika koji utječu na proces mjerenja. Slučajna pogreška pri provođenju ponovljenih mjerenja s dovoljno visokim stupnjem točnosti dovodi do rasipanja rezultata.

Pogreške i grube pogreške– to su pogreške koje daleko premašuju sustavne i slučajne pogreške koje se očekuju u danim uvjetima mjerenja. Pogreške i grube pogreške mogu nastati zbog grubih pogrešaka tijekom procesa mjerenja, tehničke neispravnosti mjerila ili neočekivanih promjena vanjskih uvjeta.

Neka neka slučajna varijabla a izmjereno n puta pod istim uvjetima. Rezultati mjerenja dali su set n različite brojeve

Apsolutna pogreška- dimenzionalna vrijednost. Među n Apsolutne vrijednosti pogreške su nužno i pozitivne i negativne.

Za najvjerojatnije vrijednosti količine A obično se uzima prosjek vrijednost rezultata mjerenja

.

Što je veći broj mjerenja, to je prosječna vrijednost bliža stvarnoj vrijednosti.

Apsolutna pogreškaja

.

Relativna greškaja-to mjerenje naziva se količina

Relativna greška je bezdimenzijska veličina. Za to se obično relativna pogreška izražava u postocima e i pomnožite sa 100%. Veličina relativne pogreške karakterizira točnost mjerenja.

Prosječna apsolutna greška definira se ovako:

.

Naglašavamo potrebu zbrajanja apsolutnih vrijednosti (modula) veličina D i ja U suprotnom, rezultat će biti identična nula.

Prosječna relativna pogreška naziva se količina

.

Za veliki broj mjerenja.

Relativna pogreška može se smatrati vrijednošću pogreške po jedinici izmjerene vrijednosti.

Točnost mjerenja procjenjuje se usporedbom pogrešaka rezultata mjerenja. Stoga se pogreške mjerenja izražavaju u takvom obliku da je za procjenu točnosti dovoljno usporediti samo pogreške rezultata, bez usporedbe veličina mjernih predmeta ili vrlo približnog poznavanja tih veličina. Iz prakse je poznato da apsolutna pogreška pri mjerenju kuta ne ovisi o vrijednosti kuta, a apsolutna pogreška pri mjerenju duljine ovisi o vrijednosti duljine. Što je duljina veća, to je veća apsolutna pogreška za danu metodu i uvjete mjerenja. Prema tome, apsolutna pogreška rezultata može se koristiti za procjenu točnosti mjerenja kuta, ali se ne može prosuditi točnost mjerenja duljine. Izražavanje pogreške u relativnom obliku omogućuje usporedbu točnosti kutnih i linearnih mjerenja u poznatim slučajevima.

Osnovni pojmovi teorije vjerojatnosti. Slučajna pogreška.

Slučajna pogreška naziva se komponenta pogreške mjerenja koja se nasumično mijenja tijekom ponovljenih mjerenja iste veličine.

Kada se opetovana mjerenja iste konstantne, nepromjenjive veličine provode s istom pažnjom i pod istim uvjetima, dobivamo rezultate mjerenja - neki se međusobno razlikuju, a neki podudaraju. Takva odstupanja u rezultatima mjerenja ukazuju na prisutnost komponenti slučajne pogreške u njima.

Slučajna pogreška proizlazi iz istovremenog utjecaja više izvora, od kojih svaki za sebe ima neprimjetan učinak na rezultat mjerenja, ali ukupni utjecaj svih izvora može biti prilično jak.

Slučajne pogreške su neizbježna posljedica bilo kojeg mjerenja i uzrokuju ih:

a) netočnost očitanja na ljestvici instrumenata i instrumenata;

b) neidentičnost uvjeta za ponovljena mjerenja;

c) slučajne promjene vanjskih uvjeta (temperatura, tlak, polje sila itd.), koje se ne mogu kontrolirati;

d) svi drugi utjecaji na mjerenja, čiji su nam uzroci nepoznati. Veličina slučajne pogreške može se minimizirati ponavljanjem eksperimenta mnogo puta i odgovarajućom matematičkom obradom dobivenih rezultata.

Slučajna pogreška može poprimiti različite apsolutne vrijednosti, koje je nemoguće predvidjeti za određeno mjerenje. Ova greška može biti jednako pozitivna ili negativna. U eksperimentu su uvijek prisutne slučajne pogreške. U nedostatku sustavnih pogrešaka, one uzrokuju raspršenost ponovljenih mjerenja u odnosu na pravu vrijednost.

Pretpostavimo da se period titranja njihala mjeri štopericom i da se mjerenje ponavlja mnogo puta. Pogreške u pokretanju i zaustavljanju štoperice, pogreška u očitanoj vrijednosti, mala neravnomjernost u kretanju njihala - sve to uzrokuje raspršivanje rezultata ponovljenih mjerenja i stoga se može klasificirati kao slučajne pogreške.

Ako nema drugih pogrešaka, tada će neki rezultati biti donekle precijenjeni, dok će drugi biti donekle podcijenjeni. Ali ako uz to još i sat zaostane, onda će svi rezultati biti podcijenjeni. To je već sustavna greška.

Neki čimbenici mogu uzrokovati i sustavne i slučajne pogreške u isto vrijeme. Dakle, uključivanjem i isključivanjem štoperice, možemo stvoriti malu nepravilnu razliku u vremenima početka i zaustavljanja sata u odnosu na kretanje njihala i time unijeti slučajnu pogrešku. Ali ako, osim toga, svaki put žurimo uključiti štopericu i malo kasnimo da je isključimo, tada će to dovesti do sustavne pogreške.

Slučajne pogreške uzrokovane su pogreškom paralakse pri brojanju podjeljaka instrumenta, podrhtavanjem temelja zgrade, utjecajem laganog kretanja zraka itd.

Iako je nemoguće eliminirati slučajne pogreške u pojedinačnim mjerenjima, matematička teorija slučajnih pojava omogućuje smanjenje utjecaja tih pogrešaka na konačni rezultat mjerenja. U nastavku će se pokazati da je za to potrebno napraviti ne jedno, već više mjerenja, a što je manja vrijednost pogreške koju želimo dobiti, potrebno je napraviti više mjerenja.

Zbog činjenice da je pojava slučajnih pogrešaka neizbježna i neizbježna, glavni zadatak svakog mjernog procesa je svesti pogreške na najmanju moguću mjeru.

Teorija pogrešaka temelji se na dvije glavne pretpostavke, potvrđene iskustvom:

1. Kod velikog broja mjerenja često se javljaju slučajne pogreške iste veličine, ali različitih predznaka, odnosno pogreške u smjeru povećanja i smanjenja rezultata.

2. Pogreške koje su velike u apsolutnoj vrijednosti rjeđe su od malih, stoga se vjerojatnost pojave pogreške smanjuje kako se njezina veličina povećava.

Ponašanje slučajnih varijabli opisuje se statističkim obrascima, koji su predmet teorije vjerojatnosti. Statistička definicija vjerojatnosti w i događanja ja je odnos

Gdje n- ukupan broj eksperimenata, n i- broj eksperimenata u kojima je događaj ja dogodilo se. U tom slučaju, ukupan broj eksperimenata trebao bi biti vrlo velik ( n®¥). Kod velikog broja mjerenja, slučajne pogreške podliježu normalnoj distribuciji (Gaussova distribucija), čije su glavne značajke sljedeće:

1. Što je veće odstupanje izmjerene vrijednosti od prave vrijednosti, manja je vjerojatnost za takav rezultat.

2. Odstupanja u oba smjera od prave vrijednosti jednako su vjerojatna.

Iz navedenih pretpostavki proizlazi da je za smanjenje utjecaja slučajnih pogrešaka potrebno izmjeriti ovu vrijednost nekoliko puta. Pretpostavimo da mjerimo neku količinu x. Neka se proizvodi n mjerenja: x 1, x 2, ... x n- koristeći istu metodu i s istom pažnjom. Može se očekivati ​​da broj dn dobiveni rezultati, koji leže u nekom prilično uskom intervalu od x prije x + dx, mora biti proporcionalan:

Veličina uzetog intervala dx;

Ukupan broj mjerenja n.

Vjerojatnost dw(x) da neka vrijednost x leži u rasponu od x prije x + dx, je definiran na sljedeći način :

(sa brojem mjerenja n ®¥).

Funkcija f(x) naziva se funkcija distribucije ili gustoća vjerojatnosti.

Kao postulat teorije pogrešaka prihvaćeno je da se rezultati izravnih mjerenja i njihove slučajne pogreške, kada ih je mnogo, pokoravaju zakonu normalne raspodjele.

Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable koju je pronašao Gauss x ima sljedeći oblik:

, gdje mis - parametri distribucije .

Parametar m normalne distribucije jednak je srednjoj vrijednosti b x– slučajna varijabla, koja je za proizvoljno poznatu funkciju raspodjele određena integralom

.

Tako, vrijednost m je najvjerojatnija vrijednost mjerene veličine x, tj. njezina najbolja procjena.

Parametar s 2 normalne distribucije jednak je varijanci D slučajne varijable, koja je u općem slučaju određena sljedećim integralom

.

Kvadratni korijen varijance naziva se standardna devijacija slučajne varijable.

Prosječno odstupanje (pogreška) slučajne varijable ásñ određuje se pomoću funkcije distribucije kako slijedi

Prosječna pogreška mjerenja ásñ, izračunata iz Gaussove funkcije distribucije, povezana je s vrijednošću standardne devijacije s na sljedeći način:

< s > = 0,8 s.

Parametri s i m međusobno su povezani na sljedeći način:

.

Ovaj izraz vam omogućuje da pronađete standardnu ​​devijaciju s ako postoji krivulja normalne distribucije.

Na slikama je prikazan graf Gaussove funkcije. Funkcija f(x) je simetrična u odnosu na ordinatu povučenu u točki x = m; prolazi kroz maksimum u točki x = m i ima infleksiju u točkama m ±s. Dakle, varijanca karakterizira širinu funkcije distribucije ili pokazuje koliko su vrijednosti slučajne varijable raspršene u odnosu na njezinu pravu vrijednost. Što su mjerenja točnija, to su rezultati pojedinih mjerenja bliži stvarnoj vrijednosti, tj. vrijednost s je manja. Slika A prikazuje funkciju f(x) za tri vrijednosti s .

Područje figure okruženo krivuljom f(x) i okomite crte povučene iz točaka x 1 i x 2 (Slika B) , brojčano jednaka vjerojatnosti da rezultat mjerenja padne u interval D x = x 1 - x 2, koja se naziva vjerojatnost povjerenja. Područje ispod cijele krivulje f(x) jednaka je vjerojatnosti da slučajna varijabla padne u interval od 0 do ¥, tj.

,

budući da je vjerojatnost pouzdanog događaja jednaka jedinici.

Koristeći normalnu distribuciju, teorija pogrešaka postavlja i rješava dva glavna problema. Prvi je procjena točnosti obavljenih mjerenja. Drugi je procjena točnosti aritmetičke sredine rezultata mjerenja.5. Interval pouzdanosti. Koeficijent učenika.

Teorija vjerojatnosti omogućuje nam da odredimo veličinu intervala u kojem, uz poznatu vjerojatnost w nalaze se rezultati pojedinih mjerenja. Ova vjerojatnost se zove povjerenje vjerojatnost, i odgovarajući interval (<x>±D x)w nazvao interval pouzdanosti. Vjerojatnost pouzdanosti također je jednaka relativnom udjelu rezultata koji spadaju unutar intervala pouzdanosti.

Ako je broj mjerenja n je dovoljno velik, tada vjerojatnost pouzdanja izražava udio ukupnog broja n ona mjerenja u kojima je izmjerena vrijednost bila unutar intervala pouzdanosti. Svaka vjerojatnost povjerenja w odgovara njegovom intervalu pouzdanosti.w 2 80%. Što je širi interval pouzdanosti, to je veća vjerojatnost dobivanja rezultata unutar tog intervala. U teoriji vjerojatnosti uspostavlja se kvantitativni odnos između vrijednosti intervala pouzdanosti, vjerojatnosti pouzdanosti i broja mjerenja.

Odaberemo li kao interval pouzdanosti interval koji odgovara prosječnoj pogrešci, tj. D a = oglas Añ, tada za dovoljno velik broj mjerenja odgovara vjerojatnosti povjerenja w 60%. Kako se broj mjerenja smanjuje, vjerojatnost pouzdanosti koja odgovara takvom intervalu pouzdanosti (á Añ ± oglas Añ), smanjuje.

Dakle, za procjenu intervala pouzdanosti slučajne varijable, može se koristiti vrijednost prosječne pogreške áD Añ .

Za karakterizaciju veličine slučajne pogreške potrebno je navesti dva broja, naime vrijednost intervala pouzdanosti i vrijednost vjerojatnosti pouzdanosti . Navođenje samo veličine pogreške bez odgovarajuće vjerojatnosti pouzdanosti uglavnom je besmisleno.

Ako je poznata prosječna pogreška mjerenja ásñ, interval pouzdanosti zapisan kao (<x> ± ásñ) w, određeno s vjerojatnošću povjerenja w= 0,57.

Ako je poznata standardna devijacija s raspodjele rezultata mjerenja navedeni interval ima oblik (<x>± t w s) w, Gdje t w- koeficijent koji ovisi o vrijednosti vjerojatnosti pouzdanosti i izračunava se pomoću Gaussove distribucije.

Najčešće korištene količine D x dati su u tabeli 1.

Stranica 1

Apsolutna pogreška određivanja ne prelazi 0,01 μg fosfora. Ovom metodom odredili smo fosfor u dušičnoj, octenoj, solnoj i sumpornoj kiselini te acetonu uz njihovo prethodno isparavanje.

Apsolutna pogreška određivanja je 0 2 - 0 3 mg.

Apsolutna pogreška u određivanju cinka u cink-mangan feritima predloženom metodom ne prelazi 0 2% rel.

Apsolutna pogreška u određivanju ugljikovodika C2 - C4, kada je njihov sadržaj u plinu 0 2 - 5 0%, iznosi 0 01 - 0 2%, respektivno.

Ovdje je Au apsolutna pogreška u određivanju r/, koja proizlazi iz pogreške Da u određivanju a. Na primjer, relativna pogreška kvadrata broja dvostruko je veća od pogreške u određivanju samog broja, a relativna pogreška broja ispod kubnog korijena jednostavno je jedna trećina pogreške u određivanju broja.

Složenija razmatranja su potrebna pri izboru mjere za usporedbe apsolutnih pogrešaka u određivanju vremena početka nesreće TV - Ts, gdje su Tv i Ts vrijeme rekonstruirane i stvarne nesreće. Analogno tome, ovdje se može koristiti prosječno vrijeme putovanja vrha onečišćenja od stvarnog ispuštanja do onih točaka praćenja koje su zabilježile nesreću tijekom prolaska onečišćenja Tsm. Proračun pouzdanosti određivanja snage havarija temelji se na izračunu relativne pogreške MV - Ms / Mv, gdje su Mv i Ms obnovljena odnosno stvarna snaga. Konačno, relativna pogreška u određivanju trajanja ispuštanja u nuždi karakterizirana je vrijednošću rv - rs / re, gdje su rv i rs rekonstruirano i stvarno trajanje nesreće.

Složenija razmatranja su potrebna pri izboru mjere za usporedbe apsolutnih pogrešaka u određivanju vremena početka nesreće TV - Ts, gdje su Tv i Ts vrijeme rekonstruirane i stvarne nesreće. Analogno tome, ovdje se može koristiti prosječno vrijeme putovanja vrha onečišćenja od stvarnog ispuštanja do onih točaka praćenja koje su zabilježile nesreću tijekom prolaska onečišćenja Tsm. Proračun pouzdanosti određivanja snage havarija temelji se na izračunu relativne pogreške Mv - Ms / Ms, gdje su Mv i Ms obnovljena odnosno stvarna snaga. Konačno, relativna pogreška u određivanju trajanja ispuštanja u nuždi karakterizirana je vrijednošću rv - rs / rs, gdje su rv i rs rekonstruirano i stvarno trajanje nesreće.

Za istu apsolutnu pogrešku mjerenja ay, apsolutna pogreška u određivanju veličine ax opada s povećanjem osjetljivosti metode.

Budući da se pogreške ne temelje na slučajnim, već na sustavnim pogreškama, konačna apsolutna pogreška u određivanju usisnih čašica može doseći 10% teoretski potrebne količine zraka. Samo kod neprihvatljivo nepropusnih ložišta (A a0 25) općeprihvaćena metoda daje više ili manje zadovoljavajuće rezultate. To dobro znaju serviseri koji kod balansiranja zračne ravnoteže gustih ložišta često dobivaju negativne vrijednosti usisa.

Analiza pogreške u određivanju vrijednosti pet pokazala je da se ona sastoji od 4 komponente: apsolutne pogreške u određivanju mase matrice, kapaciteta uzorka, vaganja i relativne pogreške zbog fluktuacija mase uzorka oko ravnotežnog stanja. vrijednost.

Ako se poštuju sva pravila za odabir, mjerenje volumena i analizu plinova pomoću analizatora plina GKhP-3, ukupna apsolutna pogreška u određivanju sadržaja CO2 i O2 ne smije prelaziti 0 2 - 0 4% njihove prave vrijednosti.

Sa stola 1 - 3 možemo zaključiti da podaci koje koristimo za polazne tvari, preuzeti iz različitih izvora, imaju relativno male razlike, koje se nalaze unutar apsolutnih pogrešaka u određivanju tih količina.

Slučajne pogreške mogu biti apsolutne i relativne. Slučajna pogreška koja ima dimenziju izmjerene vrijednosti naziva se apsolutnom pogreškom određivanja. Aritmetička sredina apsolutnih pogrešaka svih pojedinačnih mjerenja naziva se apsolutnom pogreškom analitičke metode.

Vrijednost dopuštenog odstupanja, odnosno intervala pouzdanosti, ne postavlja se proizvoljno, već se izračunava iz specifičnih mjernih podataka i karakteristika korištenih instrumenata. Odstupanje rezultata pojedinog mjerenja od stvarne vrijednosti veličine naziva se apsolutna pogreška određivanja ili jednostavno pogreška. Omjer apsolutne greške i izmjerene vrijednosti naziva se relativna greška, koja se obično izražava u postocima. Poznavanje pogreške pojedinog mjerenja nema samostalno značenje, au svakom ozbiljno provedenom pokusu mora se provesti nekoliko paralelnih mjerenja iz kojih se izračunava pogreška pokusa. Pogreške mjerenja, ovisno o razlozima nastanka, dijele se u tri vrste.

Gotovo je nemoguće apsolutno točno odrediti pravu vrijednost neke fizikalne veličine jer svaka operacija mjerenja povezana je s brojnim pogreškama ili, drugim riječima, netočnostima. Razlozi grešaka mogu biti vrlo različiti. Njihova pojava može biti povezana s netočnostima u proizvodnji i podešavanju mjernog uređaja, zbog fizičkih karakteristika predmeta koji se proučava (na primjer, pri mjerenju promjera žice neujednačene debljine, rezultat nasumično ovisi o izbor mjesta mjerenja), slučajni razlozi itd.

Zadatak eksperimentatora je smanjiti njihov utjecaj na rezultat, ali i pokazati koliko je dobiveni rezultat blizak stvarnom.

Postoje koncepti apsolutne i relativne pogreške.

Pod, ispod apsolutna greška mjerenja će razumjeti razliku između rezultata mjerenja i prave vrijednosti izmjerene količine:

∆x i =x i -x i (2)

gdje je ∆x i apsolutna pogreška i-tog mjerenja, x i _ rezultat i-tog mjerenja, x i je prava vrijednost izmjerene vrijednosti.

Rezultat svakog fizičkog mjerenja obično se piše u obliku:

gdje je aritmetička srednja vrijednost izmjerene vrijednosti, najbliža stvarnoj vrijednosti (valjanost x i≈ bit će prikazana u nastavku), apsolutna pogreška mjerenja.

Jednakost (3) treba shvatiti na način da se prava vrijednost mjerene veličine nalazi u intervalu [ - , + ].

Apsolutna pogreška je dimenzionalna veličina; ima istu dimenziju kao i izmjerena veličina.

Apsolutna pogreška ne karakterizira u potpunosti točnost mjerenja. Zapravo, ako mjerimo segmente duljine 1 m i 5 mm s istom apsolutnom greškom ± 1 mm, točnost mjerenja bit će neusporediva. Stoga se uz apsolutnu grešku mjerenja računa i relativna greška.

Relativna greška mjerenja je omjer apsolutne pogreške i same izmjerene vrijednosti:

Relativna greška je bezdimenzijska veličina. Izražava se u postotku:

U gornjem primjeru, relativne pogreške su 0,1% i 20%. One se značajno razlikuju jedna od druge, iako su apsolutne vrijednosti iste. Relativna pogreška daje informaciju o točnosti

Pogreške mjerenja

Prema prirodi manifestacije i razlozima nastanka pogreške, one se mogu podijeliti u sljedeće klase: instrumentalne, sustavne, slučajne i promašaje (grube pogreške).

Pogreške su uzrokovane ili kvarom uređaja, ili kršenjem metodologije ili eksperimentalnih uvjeta, ili su subjektivne prirode. U praksi se definiraju kao rezultati koji se oštro razlikuju od drugih. Kako bi se spriječila njihova pojava, potrebno je pažljivo i temeljito raditi s uređajima. Rezultati koji sadrže pogreške moraju se isključiti iz razmatranja (odbaciti).

Greške instrumenta. Ako je mjerni uređaj ispravan i podešen, na njemu se mogu mjeriti s ograničenom točnošću određenom vrstom uređaja. Uobičajeno je da se pogreška instrumenta kazaljke smatra jednakom polovici najmanjeg podjela njegove skale. Kod instrumenata s digitalnim očitanjem pogreška instrumenta je jednaka vrijednosti jedne najmanje znamenke skale instrumenta.

Sustavne pogreške su pogreške čija su veličina i predznak konstantni za cijeli niz mjerenja koja se provode istom metodom i istim mjernim instrumentima.

Prilikom izvođenja mjerenja važno je ne samo uzeti u obzir sustavne pogreške, već je potrebno osigurati i njihovo uklanjanje.

Sustavne pogreške se konvencionalno dijele u četiri skupine:

1) pogreške, čija je priroda poznata i njihova se veličina može vrlo točno odrediti. Takva pogreška je npr. promjena izmjerene mase u zraku, koja ovisi o temperaturi, vlažnosti, tlaku zraka itd.;

2) pogreške, čija je priroda poznata, ali je veličina same pogreške nepoznata. Takve pogreške uključuju pogreške uzrokovane mjernim uređajem: neispravnost samog uređaja, ljestvica koja ne odgovara nultoj vrijednosti ili razredu točnosti uređaja;

3) pogreške u čije postojanje se ne može sumnjati, ali njihova veličina često može biti značajna. Takve se pogreške najčešće javljaju kod složenih mjerenja. Jednostavan primjer takve pogreške je mjerenje gustoće nekog uzorka koji u sebi sadrži šupljinu;

4) pogreške uzrokovane karakteristikama samog objekta mjerenja. Na primjer, kada se mjeri električna vodljivost metala, iz potonjeg se uzme komad žice. Pogreške mogu nastati ako postoji bilo kakav nedostatak u materijalu - pukotina, zadebljanje žice ili nehomogenost koja mijenja njen otpor.

Slučajne pogreške su pogreške koje nasumično mijenjaju predznak i veličinu pod identičnim uvjetima ponovljenih mjerenja iste veličine.

Povezane informacije.

Apsolutna pogreška mjerenja je veličina određena razlikom između rezultata mjerenja x i pravu vrijednost mjerene veličine x 0:

Δ x = |x - x 0 |.

Vrijednost δ, jednaka omjeru apsolutne pogreške mjerenja i rezultata mjerenja, naziva se relativna pogreška:

Primjer 2.1. Približna vrijednost π je 3,14. Tada je njegova greška 0,00159. Apsolutna pogreška može se smatrati jednakom 0,0016, a relativna pogreška jednaka 0,0016/3,14 = 0,00051 = 0,051%.

Značajne brojke. Ako apsolutna pogreška vrijednosti a ne prelazi jednu mjesnu jedinicu zadnje znamenke broja a, tada se kaže da broj ima sve točne predznake. Treba zapisati približne brojeve, zadržavajući samo točne predznake. Ako je, na primjer, apsolutna pogreška broja 52400 100, tada taj broj treba napisati kao npr. 524·10 2 ili 0,524·10 5. Možete procijeniti pogrešku približnog broja tako da navedete koliko točnih značajnih znamenki sadrži. Pri prebrojavanju značajnih znamenki ne računaju se nule na lijevoj strani broja.

Na primjer, broj 0,0283 ima tri važeće značajne znamenke, a 2,5400 ima pet valjanih značajnih znamenki.

Pravila zaokruživanja brojeva. Ako približni broj sadrži dodatne (ili netočne) znamenke, treba ga zaokružiti. Prilikom zaokruživanja javlja se dodatna pogreška koja ne prelazi pola jedinice mjesta zadnje značajne znamenke ( d) zaokruženi broj. Prilikom zaokruživanja zadržavaju se samo točne znamenke; dodatni znakovi se odbacuju, a ako je prva odbačena znamenka veća ili jednaka d/2, tada se zadnja pohranjena znamenka povećava za jedan.

Dodatne znamenke u cijelim brojevima zamjenjuju se nulama, au decimalama se odbacuju (kao i dodatne nule). Na primjer, ako je pogreška mjerenja 0,001 mm, tada se rezultat 1,07005 zaokružuje na 1,070. Ako je prva od znamenki modificiranih nulama i odbačenih manja od 5, preostale znamenke se ne mijenjaju. Na primjer, broj 148935 s preciznošću mjerenja od 50 ima vrijednost zaokruživanja 148900. Ako je prva od znamenki zamijenjenih nulama ili odbačenih 5, a nakon nje nema znamenki ili nula, tada se zaokružuje na najbližu Parni broj. Na primjer, broj 123,50 zaokružuje se na 124. Ako je prva nula ili ispuštena znamenka veća od 5 ili jednaka 5, ali slijedi značajna znamenka, tada se zadnja preostala znamenka povećava za jedan. Na primjer, broj 6783,6 zaokružuje se na 6784.

Primjer 2.2. Kod zaokruživanja 1284 na 1300 apsolutna greška je 1300 - 1284 = 16, a kod zaokruživanja na 1280 apsolutna greška je 1280 - 1284 = 4.

Primjer 2.3. Kada se broj 197 zaokružuje na 200, apsolutna pogreška je 200 - 197 = 3. Relativna pogreška je 3/197 ≈ 0,01523 ili približno 3/200 ≈ 1,5%.

Primjer 2.4. Prodavač važe lubenicu na vagi. Najmanja težina u setu je 50 g. Vaganje je dalo 3600 g. Ovaj broj je približan. Točna težina lubenice nije poznata. Ali apsolutna pogreška ne prelazi 50 g. Relativna pogreška ne prelazi 50/3600 = 1,4%.

Pogreške u rješavanju problema na PC

Tri vrste pogrešaka obično se smatraju glavnim izvorima pogrešaka. To se nazivaju pogreške skraćivanja, pogreške zaokruživanja i pogreške širenja. Na primjer, kada se koriste iterativne metode za traženje korijena nelinearnih jednadžbi, rezultati su približni, za razliku od izravnih metoda koje daju točno rješenje.

Pogreške skraćivanja

Ova vrsta pogreške povezana je s pogreškom svojstvenom samom zadatku. To može biti zbog netočnosti u određivanju izvornih podataka. Na primjer, ako su bilo koje dimenzije navedene u tvrdnji problema, tada su u praksi za stvarne objekte te dimenzije uvijek poznate s određenom točnošću. Isto vrijedi i za sve ostale fizičke parametre. To također uključuje netočnost formula za izračun i numeričkih koeficijenata uključenih u njih.

Pogreške propagacije

Ova vrsta pogreške povezana je s korištenjem jedne ili druge metode rješavanja problema. Tijekom izračuna neizbježno dolazi do nakupljanja grešaka ili, drugim riječima, širenja. Osim što sami izvorni podaci nisu točni, nova pogreška nastaje kada se oni množe, zbrajaju itd. Akumulacija pogreške ovisi o prirodi i broju aritmetičkih operacija korištenih u izračunu.

Greške zaokruživanja

Do ove vrste pogreške dolazi jer računalo ne pohranjuje uvijek pravu vrijednost broja. Kada je realni broj pohranjen u memoriji računala, zapisan je kao mantisa i eksponent na sličan način kao što se broj prikazuje na kalkulatoru.