न्यूटन की विधि द्वारा क्लिपर एडीएच की गणना। अरैखिक समीकरणों को हल करने की संख्यात्मक विधियाँ

न्यूटन की विधि (स्पर्शरेखा विधि)

मान लें कि समीकरण f(x)=0 के मूल को पहले और दूसरे व्युत्पन्न f'(x) और के साथ खंड पर अलग किया गया है च""(x) xÎ के लिए निरंतर और स्थिर चिह्न वाले हैं।

मान लीजिए मूल शोधन के कुछ चरण में मूल x n का अगला सन्निकटन प्राप्त होता है (चयनित) . फिर मान लीजिए कि अगला सन्निकटन सुधार h n का उपयोग करके प्राप्त किया गया है , जड़ के सटीक मान की ओर ले जाता है

एक्स = एक्सएन + एचएन. (1.2.3-6)

गिनती एच एनछोटे मूल्य पर, हम टेलर श्रृंखला के रूप में f(х n + h n) का प्रतिनिधित्व करते हैं, खुद को रैखिक शब्दों तक सीमित रखते हैं

एफ(एक्स एन + एच एन) »एफ(एक्स एन) + एच एन एफ'(एक्स एन)। (1.2.3-7)

यह मानते हुए कि f(x) = f(x n + h n) = 0, हमें f(x n) + h n f '(x n) » 0 प्राप्त होता है।

इसलिए h n » - f(x n)/ f'(x n). आइए मान को प्रतिस्थापित करें एच एन(1.2.3-6) में और मूल के सटीक मान के बजाय एक्सहमें एक और अनुमान मिलता है

फॉर्मूला (1.2.3-8) हमें सन्निकटन x 1, x 2, x 3 ... का एक क्रम प्राप्त करने की अनुमति देता है, जो कुछ शर्तों के तहत, मूल के सटीक मान में परिवर्तित हो जाता है एक्स,वह है

न्यूटन की विधि की ज्यामितीय व्याख्याइस प्रकार है
(चित्र.1.2.3-6)। आइए खंड b के दाहिने सिरे को प्रारंभिक सन्निकटन x 0 के रूप में लें और फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ़ पर संबंधित बिंदु B 0 पर एक स्पर्शरेखा बनाएं। एक्स-अक्ष के साथ स्पर्शरेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु को एक नए, अधिक सटीक सन्निकटन x 1 के रूप में लिया जाता है। इस प्रक्रिया को कई बार दोहराने से हमें सन्निकटन x 0, x 1, x 2 का अनुक्रम प्राप्त करने की अनुमति मिलती है , . . ., जो मूल के सटीक मान की ओर प्रवृत्त होता है एक्स।

न्यूटन की विधि (1.2.3-8) का गणना सूत्र एक ज्यामितीय निर्माण से प्राप्त किया जा सकता है। तो एक समकोण त्रिभुज में x 0 B 0 x 1 पैर
x 0 x 1 = x 0 V 0 /tga. यह मानते हुए कि बिंदु B 0 फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर है एफ(एक्स),और कर्ण बिंदु B 0 पर ग्राफ़ f(x) की स्पर्श रेखा से बनता है, हम पाते हैं

(1.2.3-9)

(1.2.3-10)

यह सूत्र nवें सन्निकटन के लिए (1.2.3-8) से मेल खाता है।

चित्र 1.2.3-6 से यह स्पष्ट है कि बिंदु a को प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में चुनने से यह तथ्य सामने आ सकता है कि अगला सन्निकटन x 1 उस खंड के बाहर होगा जिस पर मूल अलग हो गया है एक्स. इस मामले में, प्रक्रिया के अभिसरण की गारंटी नहीं है। सामान्य स्थिति में, प्रारंभिक सन्निकटन का चुनाव निम्नलिखित नियम के अनुसार किया जाता है: प्रारंभिक सन्निकटन को एक बिंदु x 0 О के रूप में लिया जाना चाहिए, जिस पर f(x 0)×f''(x 0)>0 , अर्थात्, फ़ंक्शन और उसके दूसरे व्युत्पन्न के चिह्न मेल खाते हैं।

न्यूटन की विधि के अभिसरण की शर्तें निम्नलिखित प्रमेय में तैयार की गई हैं।

यदि समीकरण की जड़ को खंड पर अलग किया गया है, और f'(x 0) और f''(x) शून्य से भिन्न होते हैं और जब अपने चिह्न बनाए रखते हैं xО, तो यदि हम प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में ऐसा कोई बिंदु चुनते हैं x 0 О , क्या f(x 0).f¢¢(x 0)>0 , फिर समीकरण की जड़एफ(एक्स)=0 किसी भी डिग्री की सटीकता के साथ गणना की जा सकती है।

न्यूटन की विधि का त्रुटि अनुमान निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है:

(1.2.3-11)

सबसे छोटा मान कहां है पर

उच्चतम मूल्य पर

गणना प्रक्रिया रुक जाती है यदि ,

निर्दिष्ट सटीकता कहां है.

इसके अलावा, न्यूटन की विधि का उपयोग करके रूट को परिष्कृत करते समय निम्नलिखित अभिव्यक्तियाँ दी गई सटीकता प्राप्त करने के लिए एक शर्त के रूप में काम कर सकती हैं:

न्यूटन विधि एल्गोरिथ्म का आरेख चित्र में दिखाया गया है। 1.2.3-7.

एल्गोरिदम में मूल समीकरण f(x) के बाईं ओर और इसके व्युत्पन्न f'(x) को अलग-अलग सॉफ़्टवेयर मॉड्यूल के रूप में डिज़ाइन किया गया है।

चावल। 1.2.3-7. न्यूटन विधि एल्गोरिथ्म आरेख

उदाहरण 1.2.3-3. न्यूटन की विधि का उपयोग करके समीकरण x-ln(x+2) = 0 की जड़ों को परिष्कृत करें, बशर्ते कि इस समीकरण की जड़ें x 1 О[-1.9;-1.1] खंडों पर अलग की गई हों x 2 О [-0.9;2 ].

पहला व्युत्पन्न f'(x) = 1 - 1/(x+2) प्रत्येक खंड पर अपना चिह्न बरकरार रखता है:

एफ'(एक्स)<0 при хÎ [-1.9; -1.1],

f'(x)>0 xO पर [-0.9; 2].

किसी भी x के लिए दूसरा अवकलज f"(x) = 1/(x+2) 2 > 0।

इस प्रकार, अभिसरण की शर्तें संतुष्ट हैं। चूँकि f""(x)>0 अनुमेय मानों की संपूर्ण श्रृंखला पर है, तो प्रारंभिक सन्निकटन की जड़ को स्पष्ट करने के लिए एक्स 1 x 0 = -1.9 चुनें (चूँकि f(-1.9)×f”(-1.9)>0)। हमें सन्निकटनों का एक क्रम प्राप्त होता है:

गणना जारी रखते हुए, हमें पहले चार सन्निकटनों का निम्नलिखित क्रम प्राप्त होता है: -1.9; -1.8552, -1.8421; -1.8414 . बिंदु x=-1.8414 पर फ़ंक्शन f(x) का मान f(-1.8414)=-0.00003 के बराबर है .

मूल x 2 О[-0.9;2] को स्पष्ट करने के लिए हम प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में 0 =2 (f(2)×f”(2)>0) चुनते हैं। x 0 = 2 के आधार पर, हमें सन्निकटन का एक क्रम प्राप्त होता है: 2.0;1.1817; 1.1462; 1.1461. बिंदु x=1.1461 पर फ़ंक्शन f(x) का मान f(1.1461)= -0.00006 के बराबर है।

न्यूटन की विधि में उच्च अभिसरण दर है, लेकिन प्रत्येक चरण में न केवल फ़ंक्शन के मूल्य की गणना करने की आवश्यकता होती है, बल्कि इसके व्युत्पन्न की भी गणना होती है।

तार विधि

तार विधि की ज्यामितीय व्याख्याइस प्रकार है
(चित्र.1.2.3-8).

आइए बिंदु A और B से होकर एक रेखाखंड बनाएं। अगला सन्निकटन x 1, 0x अक्ष के साथ जीवा के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज है। आइए एक सीधी रेखा खंड का समीकरण बनाएं:

आइए y=0 सेट करें और मान x=x 1 ज्ञात करें (अगला सन्निकटन):

आइए मूल - x 2 का अगला सन्निकटन प्राप्त करने के लिए गणना प्रक्रिया को दोहराएं :

हमारे मामले में (चित्र 1.2.11) और कॉर्ड विधि के लिए गणना सूत्र जैसा दिखेगा

यह सूत्र तब मान्य होता है जब बिंदु b को एक निश्चित बिंदु के रूप में लिया जाता है, और बिंदु a प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में कार्य करता है।

आइए एक अन्य मामले पर विचार करें (चित्र 1.2.3-9), जब .

इस मामले के लिए सीधी रेखा समीकरण का रूप है

अगला सन्निकटन x 1 पर y = 0

फिर इस मामले के लिए कॉर्ड विधि के आवर्ती सूत्र का रूप होता है

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कॉर्ड विधि में निश्चित बिंदु को उस खंड के अंत के रूप में चुना जाता है जिसके लिए शर्त f (x)∙f¢¢ (x)>0 संतुष्ट होती है।

इस प्रकार, यदि बिंदु a को एक निश्चित बिंदु के रूप में लिया जाता है , तब x 0 = b प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में कार्य करता है, और इसके विपरीत।

जीवा सूत्र का उपयोग करके समीकरण f(x) = 0 के मूल की गणना सुनिश्चित करने वाली पर्याप्त स्थितियाँ स्पर्शरेखा विधि (न्यूटन की विधि) के समान ही होंगी, केवल प्रारंभिक सन्निकटन के बजाय, एक निश्चित बिंदु चुना जाता है। कॉर्ड विधि न्यूटन की विधि का एक संशोधन है। अंतर यह है कि न्यूटन की विधि में अगला सन्निकटन 0X अक्ष के साथ स्पर्शरेखा के प्रतिच्छेदन का बिंदु है, और कॉर्ड विधि में - 0X अक्ष के साथ जीवा के प्रतिच्छेदन का बिंदु - सन्निकटन विभिन्न पक्षों से मूल में परिवर्तित होते हैं .

कॉर्ड विधि के लिए त्रुटि अनुमान अभिव्यक्ति द्वारा दिया गया है

(1.2.3-15)

कॉर्ड विधि का उपयोग करके पुनरावृत्ति प्रक्रिया को समाप्त करने की शर्त

(1.2.3-16)

मामले में एम 1<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n -x n -1 |£इ।

उदाहरण 1.2.3-4. 10 -4 की सटीकता के साथ खंड पर अलग किए गए समीकरण ई एक्स - 3x = 0 की जड़ को स्पष्ट करें।

आइए अभिसरण स्थिति की जाँच करें:

नतीजतन, a=0 को निश्चित बिंदु के रूप में चुना जाना चाहिए, और x 0 =1 को प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में लिया जाना चाहिए, क्योंकि f(0)=1>0 और f(0)*f"(0)>0।

2. अरेखीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए न्यूटन की विधि।

इस विधि में सरल पुनरावृत्ति विधि की तुलना में बहुत तेज़ अभिसरण है। समीकरणों की प्रणाली (1.1) के लिए न्यूटन की विधि फ़ंक्शन विस्तार के उपयोग पर आधारित है

, कहाँ
(2.1)

टेलर श्रृंखला में, डेरिवेटिव के दूसरे और उच्च क्रम वाले शब्दों को त्याग दिया जा रहा है। यह दृष्टिकोण एक अरेखीय प्रणाली (1.1) के समाधान को कई रैखिक प्रणालियों के समाधान से प्रतिस्थापित करने की अनुमति देता है।

तो, हम सिस्टम (1.1) को न्यूटन की विधि से हल करेंगे। क्षेत्र D में, कोई भी बिंदु चुनें
और इसे मूल प्रणाली के सटीक समाधान का शून्य सन्निकटन कहें। आइए अब बिंदु के पड़ोस में फ़ंक्शंस (2.1) को टेलर श्रृंखला में विस्तारित करें। होगा

क्योंकि (2.2) का बायाँ भाग (1.1.1) के अनुसार लुप्त हो जाना चाहिए, फिर (2.2) का दायाँ भाग भी लुप्त हो जाना चाहिए। इसलिए, (2.2) से हमारे पास है

(2.3) में सभी आंशिक व्युत्पन्नों की गणना बिंदु पर की जानी चाहिए।

(2.3) अज्ञात के लिए रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली है। इस प्रणाली को क्रैमर विधि द्वारा हल किया जा सकता है यदि इसका मुख्य निर्धारक गैर-शून्य है और मात्राएँ पाई जा सकती हैं

अब हम निर्देशांक के साथ पहला सन्निकटन बनाकर शून्य सन्निकटन को परिष्कृत कर सकते हैं

वे।
. (2.6)

आइए जानें कि क्या सन्निकटन (2.6) पर्याप्त सटीकता के साथ प्राप्त किया गया है। ऐसा करने के लिए, आइए स्थिति की जाँच करें

,
(2.7)

कहाँ एक पूर्व निर्धारित छोटी सकारात्मक संख्या (जिस सटीकता के साथ सिस्टम (1.1) को हल किया जाना चाहिए)। यदि शर्त (2.7) संतुष्ट है, तो हम सिस्टम (1.1) के अनुमानित समाधान के रूप में (2.6) को चुनते हैं और गणना पूरी करते हैं। यदि शर्त (2.7) संतुष्ट नहीं है, तो हम निम्नलिखित कार्रवाई करते हैं। सिस्टम (2.3) में, के बजाय
आइए अद्यतन मान लें

, (2.8)

वे। आइए निम्नलिखित कार्य करें

. (2.9)

इसके बाद, प्रणाली (2.3) मात्राओं के लिए रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली होगी, इन मात्राओं को निर्धारित करने के बाद, अगला दूसरा सन्निकटन
सिस्टम का समाधान (1.1) हम सूत्रों का उपयोग करके पाते हैं

अब स्थिति की जाँच करते हैं (2.7)

यदि यह शर्त पूरी हो जाती है, तो हम सिस्टम (1.1) के अनुमानित समाधान के रूप में दूसरे सन्निकटन को लेकर गणना पूरी करते हैं।
. यदि यह शर्त पूरी नहीं होती है, तो हम (2.3) लेते हुए अगला सन्निकटन बनाना जारी रखते हैं।
जब तक शर्त पूरी न हो जाए तब तक अनुमान लगाना आवश्यक है।

सिस्टम को हल करने के लिए न्यूटन की विधि के कार्य सूत्र (1.1) को फॉर्म में लिखा जा सकता है।

अनुक्रम की गणना करें

यहाँ
सिस्टम का समाधान हैं

आइए हम सूत्र (2.11)-(2.13) का उपयोग करके एक गणना एल्गोरिदम तैयार करें।

1. आइए क्षेत्र डी से संबंधित एक शून्य सन्निकटन चुनें।

2. रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली में (2.13) हम सेट करते हैं
,ए ।

3. आइए प्रणाली (2.13) को हल करें और मात्राएँ ज्ञात करें
.

4. सूत्र (2.12) में हम डालते हैं
और अगले सन्निकटन के घटकों की गणना करें।

5. आइए इसके लिए शर्त (2.7) की जांच करें: (कई मात्राओं की अधिकतम गणना के लिए एल्गोरिदम देखें।)

6. यदि यह शर्त पूरी हो जाती है, तो हम सिस्टम (1.1) के अनुमानित समाधान के रूप में सन्निकटन को चुनकर गणना पूरी करते हैं। यदि यह शर्त पूरी नहीं होती है, तो चरण 7 पर आगे बढ़ें।

7. चलो डालते हैं
सभी के लिए ।

8. चलिए चरण 3 को आगे बढ़ाते हैं
.

ज्यामितीय रूप से, इस एल्गोरिदम को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

कलन विधि। कई मात्राओं की अधिकतम गणना.

उदाहरण. आइए दो समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए न्यूटन की विधि का उपयोग करने पर विचार करें।

न्यूटन की विधि का उपयोग करते हुए, अरैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को सटीकता तक हल करें

, (2.14)

यहाँ
. आइए शून्य सन्निकटन चुनें
, डोमेन डी से संबंधित। आइए हम रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (2.3) की एक प्रणाली का निर्माण करें। वह जैसी दिखेगी

(2.15)

चलो निरूपित करें

आइए अज्ञात के संबंध में सिस्टम (2.15) को हल करें
, उदाहरण के लिए क्रैमर विधि। हम क्रैमर के सूत्रों को फॉर्म में लिखते हैं

(2.17)

सिस्टम का मुख्य निर्धारक कहाँ है (2.15)

(2.18)

और सिस्टम के सहायक निर्धारक (2.15) का रूप है

.

हम पाए गए मानों को (2.16) में प्रतिस्थापित करते हैं और पहले सन्निकटन के घटकों को ढूंढते हैं
सिस्टम के समाधान के लिए (2.15)।

आइए स्थिति की जाँच करें

, (2.19)

यदि यह शर्त पूरी हो जाती है, तो हम पहले सन्निकटन को सिस्टम (2.15) के अनुमानित समाधान के रूप में लेकर गणना पूरी करते हैं, अर्थात।
. यदि शर्त (2.19) संतुष्ट नहीं है, तो हम सेट करते हैं
,
और रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (2.15) की एक नई प्रणाली का निर्माण करें। इसे हल करने के बाद, हम दूसरा सन्निकटन पाते हैं
. आइए इसे जांचें। यदि यह शर्त पूरी हो जाती है, तो हम सिस्टम के लिए एक अनुमानित समाधान चुनते हैं (2.15)
. यदि शर्त पूरी नहीं होती है, तो हम सेट करते हैं
,
और खोजने के लिए निम्नलिखित प्रणाली (2.15) का निर्माण करें
वगैरह।

कार्य

सभी कार्यों के लिए आवश्यक है:

प्रस्तावित एल्गोरिथम के अनुसार विधि के संख्यात्मक कार्यान्वयन के लिए एक कार्यक्रम तैयार करें।

गणना परिणाम प्राप्त करें.

अपने परिणाम जांचें.

दो अरेखीय समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है।

1.
2.

3.
4.

5.
6.

7.
8.

9.
10.

11.
12.

13.
14.

15.
.

अध्याय 3. रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (एसएलएई) की प्रणालियों को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीके।

कार्य का लक्ष्य. SLAE को हल करने के लिए कुछ अनुमानित तरीकों का परिचय और एक पीसी पर उनका संख्यात्मक कार्यान्वयन।

प्रारंभिक टिप्पणियां। SLAE को हल करने की सभी विधियों को आमतौर पर दो बड़े समूहों में विभाजित किया जाता है। पहले समूह में वे विधियाँ शामिल हैं जिन्हें आमतौर पर सटीक कहा जाता है। ये विधियां किसी भी प्रणाली के लिए सीमित संख्या में अंकगणितीय परिचालनों के बाद अज्ञात के सटीक मानों को ढूंढना संभव बनाती हैं, जिनमें से प्रत्येक को सटीक रूप से निष्पादित किया जाता है।

दूसरे समूह में वे सभी विधियाँ शामिल हैं जो सटीक नहीं हैं। उन्हें पुनरावृत्तीय, या संख्यात्मक, या अनुमानित कहा जाता है। ऐसी विधियों का उपयोग करते समय सटीक समाधान, अनुमान लगाने की एक अंतहीन प्रक्रिया के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है। ऐसी विधियों की एक आकर्षक विशेषता उनका स्व-सुधार और पीसी पर कार्यान्वयन में आसानी है।

आइए SLAE को हल करने के लिए कुछ अनुमानित तरीकों पर विचार करें और उनके संख्यात्मक कार्यान्वयन के लिए एल्गोरिदम का निर्माण करें। हम सटीकता के साथ SLAE का एक अनुमानित समाधान प्राप्त करेंगे, जहां कुछ बहुत छोटी सकारात्मक संख्या है।

1. पुनरावृत्ति विधि.

बता दें कि SLAE फॉर्म में दिया गया है

(1.1)

इस प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में लिखा जा सकता है

, (1.2)

कहाँ
- सिस्टम में अज्ञात के लिए गुणांक का मैट्रिक्स (1.1),
- निःशुल्क सदस्यों का कॉलम,
- सिस्टम के अज्ञात का कॉलम (1.1)।

. (1.3)

आइए पुनरावृत्ति विधि का उपयोग करके सिस्टम (1.1) को हल करें। ऐसा करने के लिए, हम निम्नलिखित कदम उठाएंगे।

पहले तो। आइए शून्य सन्निकटन चुनें

(1.4)

सिस्टम (1.1) के सटीक समाधान (1.3) के लिए। शून्य सन्निकटन के घटक कोई भी संख्या हो सकते हैं। लेकिन शून्य सन्निकटन के घटकों के लिए या तो शून्य लेना अधिक सुविधाजनक है
, या सिस्टम की निःशुल्क शर्तें (1.1)

दूसरी बात. हम शून्य सन्निकटन के घटकों को सिस्टम के दाईं ओर (1.1) में प्रतिस्थापित करते हैं और गणना करते हैं

(1.5)

(1.5) में बाईं ओर की मात्राएँ पहले सन्निकटन के घटक हैं
वे क्रियाएँ जिनके परिणामस्वरूप प्रथम सन्निकटन हुआ, पुनरावृत्ति कहलाती हैं।

तीसरा। आइए शून्य और प्रथम सन्निकटन की जाँच करें

(1.6)

यदि सभी शर्तें (1.6) पूरी होती हैं, तो सिस्टम (1.1) के अनुमानित समाधान के लिए हम या तो चुनते हैं, या इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, क्योंकि वे एक-दूसरे से अधिक भिन्न नहीं हैं और आइए गणना समाप्त करें। यदि कम से कम एक शर्त (1.6) पूरी नहीं होती है, तो हम अगली कार्रवाई के लिए आगे बढ़ते हैं।

चौथा. आइए अगला पुनरावृत्ति निष्पादित करें, अर्थात सिस्टम के दाईं ओर (1.1) हम पहले सन्निकटन के घटकों को प्रतिस्थापित करते हैं और दूसरे सन्निकटन के घटकों की गणना करते हैं
, कहाँ

पांचवां. की जाँच करें
और पर , यानी आइए इन सन्निकटनों के लिए शर्त (1.6) की जाँच करें। यदि सभी शर्तें (1.6) पूरी होती हैं, तो सिस्टम (1.1) के अनुमानित समाधान के लिए हम या तो चुनेंगे, या इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, क्योंकि वे एक-दूसरे से अधिक भिन्न नहीं हैं। अन्यथा, हम दूसरे सन्निकटन के घटकों को सिस्टम के दाईं ओर (1.1) में प्रतिस्थापित करके अगली पुनरावृत्ति का निर्माण करेंगे।

पुनरावृत्तियों को दो आसन्न सन्निकटनों तक निर्मित करने की आवश्यकता है
और एक दूसरे से इससे अधिक भिन्न नहीं होंगे।

सिस्टम (1.1) को हल करने के लिए पुनरावृत्ति विधि का कार्य सूत्र इस प्रकार लिखा जा सकता है

सूत्र (1.7) के संख्यात्मक कार्यान्वयन के लिए एल्गोरिदम इस प्रकार हो सकता है।

सिस्टम (1.1) के लिए पुनरावृत्ति विधि के अभिसरण के लिए पर्याप्त शर्तों का रूप है

1.
, .

2.
,
.

3.

2. सरल पुनरावृत्ति विधि.

मान लीजिए कि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (SLAE) की प्रणाली को प्रपत्र में दिया गया है

(2.1)

सरल पुनरावृत्ति विधि का उपयोग करके सिस्टम (2.1) को हल करने के लिए, इसे पहले फॉर्म में कम किया जाना चाहिए

(2.2)

सिस्टम में (2.2) -वां समीकरण सिस्टम (2.1) का -वां समीकरण है, जिसे -वें अज्ञात के संबंध में हल किया गया है (
).

सिस्टम (2.1) को हल करने की विधि, जिसमें इसे सिस्टम (2.2) में कम करना और उसके बाद पुनरावृत्ति विधि का उपयोग करके सिस्टम (2.2) को हल करना शामिल है, को सिस्टम (2.1) के लिए सरल पुनरावृत्ति विधि कहा जाता है।

इस प्रकार, सिस्टम (2.1) को हल करने के लिए सरल पुनरावृत्ति विधि के कार्य सूत्रों का रूप होगा

(2.3)

सूत्र (2.3) को प्रपत्र में लिखा जा सकता है

सूत्र (2.4) के अनुसार सिस्टम (2.1) के लिए सरल पुनरावृत्ति विधि के संख्यात्मक कार्यान्वयन के लिए एल्गोरिदम इस प्रकार हो सकता है।

इस एल्गोरिथम को ज्यामितीय रूप से लिखा जा सकता है।

सिस्टम (2.1) के लिए सरल पुनरावृत्ति विधि के अभिसरण के लिए पर्याप्त शर्तों का रूप है

1.
, .

2.
,
.

3.

3. स्थिर सीडेल विधि.

SLAEs को हल करने के लिए सीडेल विधि पुनरावृत्ति विधि से भिन्न है, जिसमें -वें घटक के लिए कुछ सन्निकटन प्राप्त करने के बाद, हम तुरंत इसका उपयोग अगले घटक को खोजने के लिए करते हैं।
,
, …, -वाँ घटक. यह दृष्टिकोण पुनरावृत्ति विधि की तुलना में सीडेल विधि की उच्च अभिसरण दर की अनुमति देता है।

बता दें कि SLAE फॉर्म में दिया गया है

(3.1)

होने देना
- सटीक समाधान के लिए शून्य सन्निकटन
सिस्टम (3.1). और उसे ढूंढ़ने दो वें सन्निकटन
. आइए घटकों को परिभाषित करें
सूत्रों का उपयोग करके वें सन्निकटन

(3.2)

सूत्र (3.2) को संक्षिप्त रूप में लिखा जा सकता है

,
,
(3.3)

सूत्र (3.3) का उपयोग करके सिस्टम (3.1) को हल करने के लिए सीडेल विधि के संख्यात्मक कार्यान्वयन के लिए एल्गोरिदम निम्नानुसार हो सकता है।

1. आइए चुनें, उदाहरण के लिए,
,

2. लगाओ ।

3. आइए सभी के लिए गणना करें।

4. हम सभी के लिए शर्तों की जांच करेंगे
.

5. यदि पैराग्राफ 4 की सभी शर्तें पूरी होती हैं, तो हम सिस्टम (3.1) में से किसी एक को या अनुमानित समाधान के रूप में चुनेंगे और गणना पूरी करेंगे। यदि चरण 4 में कम से कम एक शर्त पूरी नहीं होती है, तो चरण 6 पर आगे बढ़ें।

6. आइए इसे नीचे रखें और चरण 3 पर आगे बढ़ें।

इस एल्गोरिथम को ज्यामितीय रूप से लिखा जा सकता है।

सिस्टम (3.1) के लिए सीडेल विधि के अभिसरण के लिए पर्याप्त शर्त का रूप है
, .

4. गैर-स्थिर सीडेल विधि।

SLAE (3.1) को हल करने की यह विधि सीडेल विधि के अभिसरण की और भी अधिक गति प्रदान करती है।

आइए किसी तरह सिस्टम (3.1) के लिए वें सन्निकटन और वें सन्निकटन के घटकों का पता लगाएं।

आइए सुधार वेक्टर की गणना करें

आइए मानों की गणना करें

, (4.2)

आइए मात्राएँ व्यवस्थित करें
, घटते क्रम में।

उसी क्रम में, हम सिस्टम (3.1) में समीकरणों और इस सिस्टम में अज्ञात को फिर से लिखते हैं: रेखीयबीजगणितऔर अरेखीय ... प्रबंधके लिएप्रयोगशाला काम करता हैद्वारा ... methodologicalनिर्देश के लिएव्यावहारिककाम करता हैद्वारा के लिएछात्र ...

शैक्षिक साहित्य (प्राकृतिक विज्ञान और तकनीकी) 2000-2011 ओपी चक्र - 10 वर्ष सीडी चक्र - 5 वर्ष

साहित्य

... प्राकृतिकविज्ञानसामान्य तौर पर 1. खगोल विज्ञान [पाठ]: मैनुअल के लिए ... न्यूमेरिकलतरीकों: रेखीयबीजगणितऔर अरेखीय ... प्रबंधके लिएप्रयोगशाला काम करता हैद्वारा ... methodologicalनिर्देश के लिएव्यावहारिककाम करता हैद्वाराअनुशासन "परिवहन अर्थशास्त्र" के लिएछात्र ...

- प्राकृतिक विज्ञान (1)

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... के लिएछात्रसहज रूप में- ... काम करता हैद्वाराअनुशासन "आनुवांशिकी और चयन", इसकी वर्तमान समस्याओं के लिए समर्पित विज्ञान. व्यवस्थित स्वतंत्र कामछात्रद्वारासैद्धांतिक और व्यावहारिक ... रेखीय, अरेखीय, गतिशील। सभी तरीकों ...

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न्यूटन की विधि (जिसे स्पर्शरेखा विधि के रूप में भी जाना जाता है) किसी दिए गए फ़ंक्शन का मूल (शून्य) खोजने के लिए एक पुनरावृत्तीय संख्यात्मक विधि है। यह विधि सबसे पहले अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी, गणितज्ञ और खगोलशास्त्री आइजैक न्यूटन (1643-1727) द्वारा प्रस्तावित की गई थी, जिनके नाम से यह प्रसिद्ध हुई।

इस विधि का वर्णन आइजैक न्यूटन द्वारा पांडुलिपि डी एनालिसिस प्रति एक्वेशन्स न्यूमेरो टर्मिनोरम इनफिनिटास (अव्य.) में किया गया था। ।के बारे मेंअनंत श्रृंखला के समीकरणों द्वारा विश्लेषण), 1669 में बैरो को संबोधित, और कार्य डी मेटोडिस फ्लक्सियोनम एट सेरीरम इनफिनिटरम (लैटिन: प्रवाह और अनंत श्रृंखला की विधि) या जियोमेट्रिया एनालिटिका ( अव्य.विश्लेषणात्मकज्यामिति) न्यूटन के एकत्रित कार्यों में, जो 1671 में लिखा गया था। हालाँकि, विधि का विवरण इसकी वर्तमान प्रस्तुति से काफी भिन्न था: न्यूटन ने अपनी विधि को विशेष रूप से बहुपदों पर लागू किया। उन्होंने x n के क्रमिक सन्निकटन की गणना नहीं की, बल्कि बहुपदों के अनुक्रम की गणना की और परिणामस्वरूप x का अनुमानित समाधान प्राप्त किया।

इस पद्धति को पहली बार 1685 में जॉन वालिस द्वारा बीजगणित ग्रंथ में प्रकाशित किया गया था, जिनके अनुरोध पर इसका संक्षिप्त वर्णन स्वयं न्यूटन द्वारा किया गया था। 1690 में, जोसेफ रैफसन ने अपने कार्य एनालिसिस एक्वेशनम युनिवर्सलिस (अव्य.) में एक सरलीकृत विवरण प्रकाशित किया। समीकरणों का सामान्य विश्लेषण)।रैफसन ने न्यूटन की विधि को पूरी तरह से बीजगणितीय माना और इसके उपयोग को बहुपदों तक सीमित रखा, लेकिन उन्होंने इस विधि का वर्णन न्यूटन द्वारा उपयोग किए गए बहुपदों के अनुक्रम को समझने में अधिक कठिन होने के बजाय क्रमिक सन्निकटन x n के संदर्भ में किया।

अंत में, 1740 में, न्यूटन की विधि को थॉमस सिम्पसन द्वारा डेरिवेटिव का उपयोग करके गैर-रेखीय समीकरणों को हल करने के लिए प्रथम-क्रम पुनरावृत्ति विधि के रूप में वर्णित किया गया था जैसा कि यहां बताया गया है। उसी प्रकाशन में, सिम्पसन ने दो समीकरणों की प्रणाली के मामले में विधि को सामान्यीकृत किया और नोट किया कि न्यूटन की विधि को व्युत्पन्न या ग्रेडिएंट के शून्य का पता लगाकर अनुकूलन समस्याओं को हल करने के लिए भी लागू किया जा सकता है।

इस पद्धति के अनुसार, किसी फ़ंक्शन के मूल को खोजने का कार्य फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा के x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु को खोजने के कार्य तक कम हो जाता है।

चित्र .1 . फ़ंक्शन परिवर्तन ग्राफ़

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के किसी भी बिंदु पर खींची गई स्पर्शरेखा रेखा विचाराधीन बिंदु पर इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न द्वारा निर्धारित की जाती है, जो बदले में कोण α () के स्पर्शरेखा द्वारा निर्धारित की जाती है। भुज अक्ष के साथ स्पर्शरेखा के प्रतिच्छेदन का बिंदु एक समकोण त्रिभुज में निम्नलिखित संबंध के आधार पर निर्धारित किया जाता है: कोण की स्पर्शरेखाएक समकोण त्रिभुज में त्रिभुज की विपरीत भुजा और आसन्न भुजा के अनुपात से निर्धारित होता है। इस प्रकार, प्रत्येक चरण में, फ़ंक्शन के ग्राफ़ की एक स्पर्श रेखा अगले सन्निकटन के बिंदु पर बनाई जाती है . अक्ष के साथ स्पर्शरेखा का प्रतिच्छेदन बिंदुबैल अगला दृष्टिकोण बिंदु होगा. विचाराधीन विधि के अनुसार, रूट के अनुमानित मूल्य की गणना की जाती हैमैं-पुनरावृत्तियां सूत्र के अनुसार की जाती हैं:

सीधी रेखा का ढलान प्रत्येक चरण में सर्वोत्तम संभव तरीके से समायोजित किया जाता है, हालांकि, आपको इस तथ्य पर ध्यान देना चाहिए कि एल्गोरिदम ग्राफ़ की वक्रता को ध्यान में नहीं रखता है और इसलिए, गणना प्रक्रिया के दौरान यह अज्ञात रहता है ग्राफ़ किस दिशा में भटक सकता है.

पुनरावृत्तीय प्रक्रिया के अंत की शर्त निम्नलिखित शर्त की पूर्ति है:

कहाँ ˗ मूल निर्धारण में अनुमेय त्रुटि।

विधि में द्विघात अभिसरण है। अभिसरण की द्विघात दर का अर्थ है कि सन्निकटन में सही संकेतों की संख्या प्रत्येक पुनरावृत्ति के साथ दोगुनी हो जाती है।

गणितीय औचित्य

एक वास्तविक कार्य दिया जाए, जो विचाराधीन क्षेत्र में परिभाषित और निरंतर है। प्रश्न में फ़ंक्शन की वास्तविक जड़ का पता लगाना आवश्यक है।

समीकरण की व्युत्पत्ति सरल पुनरावृत्तियों की विधि पर आधारित है, जिसके अनुसार समीकरण को किसी भी फ़ंक्शन के समतुल्य समीकरण में घटा दिया जाता है। आइए हम संकुचन मानचित्रण की अवधारणा का परिचय दें, जिसे संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है।

विधि के सर्वोत्तम अभिसरण के लिए, शर्त को अगले सन्निकटन के बिंदु पर संतुष्ट किया जाना चाहिए। इस आवश्यकता का अर्थ है कि फ़ंक्शन का मूल फ़ंक्शन के चरम के अनुरूप होना चाहिए।

संकुचन मानचित्र का व्युत्पन्नको इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

आइए इस अभिव्यक्ति से चर को व्यक्त करेंपहले से स्वीकृत कथन के अधीन रहते हुए कि कब शर्त सुनिश्चित करना आवश्यक है। परिणामस्वरूप, हमें चर को परिभाषित करने के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त होती है:

इसे ध्यान में रखते हुए, संपीड़न फ़ंक्शन इस प्रकार है:

इस प्रकार, समीकरण का संख्यात्मक समाधान खोजने के लिए एल्गोरिदम को पुनरावृत्तीय गणना प्रक्रिया में बदल दिया गया है:

विधि का उपयोग करके एक अरेखीय समीकरण का मूल ज्ञात करने के लिए एल्गोरिदम

1. फ़ंक्शन के रूट के अनुमानित मान का प्रारंभिक बिंदु सेट करें, साथ ही गणना त्रुटि (छोटी सकारात्मक संख्या) और प्रारंभिक पुनरावृत्ति चरण ().

2. सूत्र के अनुसार फ़ंक्शन के मूल के अनुमानित मान की गणना करें:

3. हम निर्दिष्ट सटीकता के लिए रूट के अनुमानित मूल्य की जांच करते हैं:

यदि दो क्रमिक सन्निकटनों के बीच का अंतर निर्दिष्ट सटीकता से कम हो जाता है, तो पुनरावृत्तीय प्रक्रिया समाप्त हो जाती है।

यदि दो क्रमिक सन्निकटनों के बीच का अंतर आवश्यक सटीकता तक नहीं पहुंचता है, तो पुनरावृत्त प्रक्रिया को जारी रखना और विचाराधीन एल्गोरिदम के चरण 2 पर जाना आवश्यक है।

समीकरण हल करने का उदाहरण

विधि द्वाराएक चर वाले समीकरण के लिए न्यूटन

उदाहरण के तौर पर, विधि का उपयोग करके एक अरेखीय समीकरण को हल करने पर विचार करेंएक चर वाले समीकरण के लिए न्यूटन. जड़ को पहले सन्निकटन के रूप में सटीकता के साथ पाया जाना चाहिए.

सॉफ़्टवेयर पैकेज में अरेखीय समीकरण को हल करने का विकल्पMathCADचित्र 3 में प्रस्तुत किया गया है।

गणना परिणाम, अर्थात् रूट के अनुमानित मूल्य में परिवर्तन की गतिशीलता, साथ ही पुनरावृत्ति चरण के आधार पर गणना त्रुटियां, ग्राफिकल रूप में प्रस्तुत की जाती हैं (चित्र 2 देखें)।

अंक 2. एक चर वाले समीकरण के लिए न्यूटन की विधि का उपयोग करके गणना परिणाम

श्रेणी में समीकरण के मूल के अनुमानित मान की खोज करते समय निर्दिष्ट सटीकता सुनिश्चित करने के लिए, 4 पुनरावृत्तियों को निष्पादित करना आवश्यक है। अंतिम पुनरावृत्ति चरण में, अरेखीय समीकरण की जड़ का अनुमानित मूल्य मान द्वारा निर्धारित किया जाएगा:।

चित्र 3 . कार्यक्रम सूची मेंMathCAD

एक चर वाले समीकरण के लिए न्यूटन की विधि में संशोधन

न्यूटन की पद्धति में कई संशोधन हैं जिनका उद्देश्य कम्प्यूटेशनल प्रक्रिया को सरल बनाना है।

सरलीकृत न्यूटन की विधि

न्यूटन की विधि के अनुसार, प्रत्येक पुनरावृत्ति चरण पर फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न की गणना करना आवश्यक है, जिससे कम्प्यूटेशनल लागत में वृद्धि होती है। प्रत्येक गणना चरण में व्युत्पन्न की गणना से जुड़ी लागत को कम करने के लिए, आप सूत्र में बिंदु x n पर व्युत्पन्न f'(x n) को बिंदु x 0 पर व्युत्पन्न f'(x 0) से बदल सकते हैं। इस गणना पद्धति के अनुसार, मूल का अनुमानित मान निम्नलिखित सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:संशोधित न्यूटन की विधि

न्यूटन की अंतर विधि

परिणामस्वरूप, फ़ंक्शन f(x) के मूल का अनुमानित मान न्यूटन की अंतर विधि की अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाएगा:

न्यूटन की दो चरणीय विधि

न्यूटन की विधि के अनुसार, प्रत्येक पुनरावृत्ति चरण पर फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न की गणना करना आवश्यक है, जो हमेशा सुविधाजनक नहीं होता है और कभी-कभी व्यावहारिक रूप से असंभव होता है। यह विधि आपको किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को अंतर अनुपात (अनुमानित मान) से बदलने की अनुमति देती है:

परिणामस्वरूप, फ़ंक्शन f(x) के मूल का अनुमानित मान निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाएगा:

कहाँ

चित्र.5 . न्यूटन की दो चरणीय विधि

सेकेंट विधि एक दो-चरणीय विधि है, अर्थात एक नया सन्निकटनपिछले दो पुनरावृत्तियों द्वारा निर्धारितऔर । विधि को दो प्रारंभिक सन्निकटन निर्दिष्ट करने होंगेऔर । विधि की अभिसरण दर रैखिक होगी.

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फॉर्म के n अज्ञात के साथ n अरेखीय बीजगणितीय या ट्रान्सेंडैंटल समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान खोजने की समस्या

	एफ 1(एक्स 1, एक्स 2, … एक्स एन) = 0,
	एफ 2(एक्स 1, एक्स 2, … एक्स एन) = 0,
	……………………
	एफ एन (एक्स 1 ,एक्स 2 ,… एक्स एन ) = 0,

कंप्यूटिंग अभ्यास में व्यापक रूप से माना जाता है। समीकरणों की समान प्रणालियाँ उत्पन्न हो सकती हैं, उदाहरण के लिए, उनकी स्थिर अवस्थाओं की खोज के चरण में गैर-रेखीय भौतिक प्रणालियों के संख्यात्मक मॉडलिंग के दौरान। कई मामलों में, किसी अन्य कम्प्यूटेशनल समस्या को हल करने की प्रक्रिया में, फॉर्म (6.1) की प्रणालियाँ अप्रत्यक्ष रूप से प्राप्त की जाती हैं। उदाहरण के लिए, जब कई वेरिएबल वाले फ़ंक्शन को छोटा करने का प्रयास किया जाता है, तो आप बहुआयामी स्थान में उन बिंदुओं को देख सकते हैं जहां फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट शून्य है। इस मामले में, समीकरणों की प्रणाली (6.1) को बाईं ओर से हल करना आवश्यक है - समन्वय अक्षों पर ढाल का अनुमान।

वेक्टर नोटेशन में, सिस्टम (6.1) को अधिक संक्षिप्त रूप में लिखा जा सकता है

फ़ंक्शंस का वेक्टर कॉलम, प्रतीक () टी ट्रांसपोनिशन ऑपरेशन को दर्शाता है

किसी एकल अरेखीय समीकरण को हल करने की तुलना में अरेखीय समीकरणों की प्रणाली का समाधान ढूंढना कहीं अधिक जटिल कार्य है। फिर भी, गैर-रेखीय समीकरणों को हल करने के लिए कई पुनरावृत्त तरीकों को गैर-रेखीय समीकरणों की प्रणालियों तक बढ़ाया जा सकता है।

सरल पुनरावृत्ति विधि

अरेखीय समीकरणों की प्रणालियों के लिए सरल पुनरावृत्ति विधि अनिवार्य रूप से एक समीकरण के लिए समान नाम की विधि का सामान्यीकरण है। यह इस तथ्य पर आधारित है कि समीकरणों की प्रणाली (6.1) को निम्न रूप में घटाया गया है

एक्स 1= जी 1(एक्स 1, एक्स 2, … , एक्स एन) , एक्स 2= जी 2(एक्स 1, एक्स 2, … , एक्स एन) ,

……………………

एक्स एन= जी एन(एक्स 1 , एक्स 2 , … , एक्स एन) ,

और पुनरावृत्तियाँ सूत्रों के अनुसार की जाती हैं

x 1 (k + 1 )= g 1 (x 1 (k ), x 2 (k ), ... , x n (k )), x 2 (k + 1 )= g 2 (x 1 (k ), x 2 (k ), … , x n (k )) ,

……………………………

एक्स एन (के + 1)= जी एन (एक्स 1 (के), एक्स 2 (के), ..., एक्स एन (के))।

यहां सुपरस्क्रिप्ट सन्निकटन संख्या को इंगित करता है। पुनरावृत्तीय प्रक्रिया (6.3) कुछ प्रारंभिक सन्निकटन के साथ शुरू होती है

(x 1 (0) ,x 2 (0) ,… ,x n (0) ) और वेतन वृद्धि मॉड्यूल तक जारी रखें

एक k-पुनरावृत्ति के बाद सभी तर्क दिए गए मान से कम नहीं होंगे ε : x i (k + 1 ) − x i (k )< ε дляi = 1,2,… ,n .

हालाँकि सरल पुनरावृत्ति विधि सीधे समाधान की ओर ले जाती है और प्रोग्राम करना आसान है, लेकिन इसके दो महत्वपूर्ण नुकसान हैं। उनमें से एक है धीमा अभिसरण. दूसरा यह है कि यदि प्रारंभिक सन्निकटन को सही समाधान (X 1,X 2,…,X n) से दूर चुना जाता है, तो अभिसरण

विधि की गारंटी नहीं है. यह स्पष्ट है कि प्रारंभिक सन्निकटन चुनने की समस्या, जो एक समीकरण के लिए भी सरल नहीं है, अरेखीय प्रणालियों के लिए बहुत जटिल हो जाती है।

अरेखीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

	(एक्स...		) =0
एफ एन (एक्स 1 ...		एक्स एन) = 0 .

सामान्य रूप की अरेखीय प्रणालियों को हल करने के लिए कोई प्रत्यक्ष विधियाँ नहीं हैं। केवल कुछ मामलों में ही सिस्टम (4.1) को सीधे हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, दो समीकरणों के मामले में, कभी-कभी एक अज्ञात को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करना संभव होता है और इस प्रकार समस्या को एक अज्ञात के संबंध में एक अरेखीय समीकरण को हल करने तक सीमित कर दिया जाता है।

पुनरावृत्तीय विधियों का उपयोग आमतौर पर अरेखीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जाता है।

न्यूटन की विधि

एक समीकरण F(x) = 0 के मामले में, न्यूटन की विधि का एल्गोरिदम वक्र y = F(x) के स्पर्शरेखा समीकरण लिखकर आसानी से प्राप्त किया गया था। समीकरणों की प्रणालियों के लिए न्यूटन विधि टेलर श्रृंखला में फ़ंक्शन F 1 (x 1 ...x n) के विस्तार और इसमें शामिल शब्दों के उपयोग पर आधारित है

मौजूदा दूसरे (और उच्चतर क्रम) डेरिवेटिव को छोड़ दिया जाता है। मान लीजिए कि सिस्टम के अज्ञातों का अनुमानित मान (4.1) बराबर है

जिम्मेदार ए 1 ,ए 2 ,....,ए एन . कार्य वेतन वृद्धि (द्वारा) ढूंढना है

संपादन) इन मानों के लिए	एक्स 1 ,एक्स 2 ,...,	x n , जिसके लिए सिस्टम का समाधान धन्यवाद
विषय इस प्रकार लिखे जायेंगे:
एक्स 1= ए 1+ एक्स 1,	एक्स 2= ए 2+	x 2, .... ,x n = a n + x n.

आइए हम टेलर श्रृंखला के विस्तार को ध्यान में रखते हुए समीकरणों (4.1) के बाईं ओर का विस्तार करें, खुद को केवल सापेक्ष के रैखिक शब्दों तक सीमित रखें

बिल्कुल वृद्धि:
F1 (x1 ... xn ) ≈ F1 (a1 ... an ) +	∂ एफ 1	एक्स 1+		+ ∂ एफ 1		एक्सएन,
	∂x			∂x
F2 (x1 ... xn ) ≈ F2 (a1 ... an ) +	∂ एफ 2	एक्स 1+			∂ एफ 2	एक्सएन,
	∂x				∂x
...................................
एफ एन(एक्स 1 ... एक्स एन) ≈ एफ एन(ए 1 ... ए एन) +	∂Fn	एक्स 1+			∂Fn	xn
	∂x				∂x

सिस्टम (4.1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम वेतन वृद्धि के लिए रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं:

∂ एफ 1			∂ एफ 1			+ ∂ एफ 1			= −F ,
∂x			∂x			∂x
∂ एफ 2			∂ एफ 2				∂ एफ 2		= −F ,
∂x			∂x				∂x
..............................
∂Fn			∂Fn				∂Fn		= −F .
∂x			∂x				∂x
मान एफ 1 ...				डेरिवेटिव				पर गणना की जाती है

एक्स 2 = ए 2, …एक्स एन = ए एन।

सिस्टम का निर्धारक (4.3) जैकोबियन है:

∂ एफ 1		∂ एफ 1
∂x		∂x
∂ एफ 2		∂ एफ 2
जे = ∂x		∂x.

… … … …

∂ एफ एन… … ∂ एफ एन∂ एक्स 1 ∂ एक्स एन

एक्स 1= ए 1,

सिस्टम के अस्तित्व के लिए एक अद्वितीय समाधान के लिए, जैकोबियन को प्रत्येक पुनरावृत्ति पर गैर-शून्य होना चाहिए।

इस प्रकार, न्यूटन की विधि द्वारा समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की पुनरावृत्तीय प्रक्रिया में रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली को हल करके प्रत्येक पुनरावृत्ति पर अज्ञात के मूल्यों में वृद्धि x 1 , x 2 , ..., x n निर्धारित करना शामिल है ( 4.3). यदि सभी वेतनवृद्धियाँ निरपेक्ष मान में छोटी हो जाती हैं तो गिनती बंद हो जाती है: अधिकतम i< ε . В ме-

न्यूटन की विधि में, अच्छा अभिसरण सुनिश्चित करने के लिए प्रारंभिक सन्निकटन का एक अच्छा विकल्प भी महत्वपूर्ण है। सिस्टम में समीकरणों की संख्या बढ़ने पर अभिसरण बिगड़ जाता है।

उदाहरण के तौर पर, दो समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए न्यूटन की विधि का उपयोग करने पर विचार करें:

∂ ∂ एफ 1. एक्स

दाईं ओर की मात्राओं की गणना x = a,y = b पर की जाती है।

यदि शर्तें पूरी होती हैं		y−b		< εи		x−a			किसी दिए गए एम के लिए, तो
x और y मान प्रदर्शित होते हैं,	अन्यथा								आउटपुट होता है
एक्स ,वाई ,एम .



कीवर्ड:

कार्य का लक्ष्य: एक अज्ञात के साथ अरेखीय समीकरणों को हल करने के तरीकों का अध्ययन करें और प्रयोगात्मक कार्य में उनका परीक्षण करें।

नौकरी के उद्देश्य:

1. विशेष साहित्य का विश्लेषण करें और गैर-रेखीय समीकरणों को हल करने के लिए सबसे तर्कसंगत तरीकों का चयन करें, जिससे सभी हाई स्कूल स्नातकों को इस विषय का गहराई से अध्ययन करने और आत्मसात करने की अनुमति मिल सके।
2. आईसीटी का उपयोग करके अरेखीय समीकरणों को हल करने के लिए एक पद्धति के कुछ पहलुओं का विकास करें।
3. अरैखिक समीकरणों को हल करने की विधियाँ खोजें:

‒ चरण विधि

‒ आधा करने की विधि

‒ न्यूटन की विधि

परिचय।

गणितीय साक्षरता के बिना, भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान और अन्य विषयों में समस्याओं को हल करने के तरीकों में सफलतापूर्वक महारत हासिल करना असंभव है। प्राकृतिक विज्ञान का संपूर्ण परिसर गणितीय ज्ञान के आधार पर निर्मित और विकसित हुआ है। उदाहरण के लिए, गणितीय भौतिकी में कई सामयिक समस्याओं के अध्ययन से गैर-रेखीय समीकरणों को हल करने की आवश्यकता होती है। अरेखीय समीकरणों का समाधान अरेखीय प्रकाशिकी, प्लाज्मा भौतिकी, अतिचालकता सिद्धांत और निम्न-तापमान भौतिकी में आवश्यक है। इस विषय पर पर्याप्त मात्रा में साहित्य है, लेकिन कई पाठ्यपुस्तकों और लेखों को हाई स्कूल के छात्र के लिए समझना मुश्किल है। यह पेपर गैर-रेखीय समीकरणों को हल करने के तरीकों पर चर्चा करता है जिनका उपयोग भौतिकी और रसायन विज्ञान में लागू समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। गणित में समीकरणों और समस्याओं को हल करने के लिए सूचना प्रौद्योगिकी का अनुप्रयोग एक दिलचस्प पहलू है।

चरण विधि.

मान लीजिए कि F(x)=0 के रूप के एक अरेखीय समीकरण को हल करना आवश्यक है। आइए यह भी मान लें कि हमें एक निश्चित खोज अंतराल दिया गया है। खोज अंतराल की बाईं सीमा से शुरू करके, समीकरण की पहली जड़ वाले लंबाई h के अंतराल [a,b] को ढूंढना आवश्यक है।

चावल। 1. चरण विधि

ऐसी समस्या को हल करने के कई तरीके हैं। चरण विधि असमानताओं को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीकों में सबसे सरल है, लेकिन उच्च सटीकता प्राप्त करने के लिए चरण को महत्वपूर्ण रूप से कम करना आवश्यक है, और इससे गणना का समय काफी बढ़ जाता है। इस पद्धति का उपयोग करके समीकरणों को हल करने के एल्गोरिदम में दो चरण होते हैं।

मैंअवस्था। जड़ पृथक्करण.

इस स्तर पर, अनुभाग निर्धारित किए जाते हैं, जिनमें से प्रत्येक में समीकरण का केवल एक मूल होता है। इस चरण को लागू करने के लिए कई विकल्प हैं:

• हम एक्स के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं (अधिमानतः कुछ काफी छोटे कदम के साथ) और देखते हैं कि फ़ंक्शन का चिह्न कहां बदलता है। यदि फ़ंक्शन ने अपना चिह्न बदल दिया है, तो इसका मतलब है कि X के पिछले और वर्तमान मान के बीच के क्षेत्र में एक जड़ है (यदि फ़ंक्शन अपनी वृद्धि/कमी की प्रकृति को नहीं बदलता है, तो हम कह सकते हैं कि केवल एक ही है इस अंतराल में जड़)।
• ग्राफ़िक विधि. हम एक ग्राफ बनाते हैं और मूल्यांकन करते हैं कि एक जड़ किस अंतराल पर स्थित है।
• आइए किसी विशिष्ट फ़ंक्शन के गुणों का पता लगाएं।

द्वितीयअवस्था। जड़ों का शोधन.

इस स्तर पर, पहले निर्धारित समीकरण की जड़ों का अर्थ स्पष्ट किया जाता है। एक नियम के रूप में, इस स्तर पर पुनरावृत्त तरीकों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, आधे भाग की विधि (द्विभाजन) या न्यूटन की विधि।

अर्धविभाजन विधि

समीकरणों को हल करने के लिए एक तेज़ और काफी सरल संख्यात्मक विधि, जो निर्दिष्ट सटीकता ई प्राप्त होने तक समीकरण की एकमात्र जड़ एफ (एक्स) = 0 वाले अंतराल की अनुक्रमिक संकुचन पर आधारित है। इस विधि का उपयोग आम तौर पर द्विघात समीकरणों को हल करते समय किया जाता है और उच्च डिग्री के समीकरण. हालाँकि, इस पद्धति में एक महत्वपूर्ण खामी है - यदि खंड [ए,बी] में एक से अधिक रूट हैं, तो यह अच्छे परिणाम प्राप्त करने में सक्षम नहीं होगा।

चावल। 2. द्विभाजन विधि

इस विधि का एल्गोरिदम इस प्रकार है:

‒ खंड [a;b] के मध्य में मूल x का एक नया सन्निकटन निर्धारित करें: x=(a+b)/2.

- बिंदु a और x: F(a) और F(x) पर फ़ंक्शन के मान ज्ञात करें।

- स्थिति की जाँच करें F(a)*F(x)

‒ चरण 1 पर जाएं और खंड को फिर से आधे में विभाजित करें। एल्गोरिथम को तब तक जारी रखें जब तक स्थिति |F(x)|

न्यूटन की विधि

संख्यात्मक समाधान विधियों में सबसे सटीक; बहुत जटिल समीकरणों को हल करने के लिए उपयुक्त है, लेकिन प्रत्येक चरण पर डेरिवेटिव की गणना करने की आवश्यकता से जटिल है। क्या यह है कि यदि x n समीकरण के मूल का कुछ सन्निकटन है , तो अगले सन्निकटन को बिंदु x n पर खींचे गए फ़ंक्शन f(x) की स्पर्शरेखा के मूल के रूप में परिभाषित किया गया है।

बिंदु x n पर फ़ंक्शन f(x) के स्पर्शरेखा समीकरण का रूप है:

स्पर्शरेखा समीकरण में हम y = 0 और x = x n +1 डालते हैं।

फिर न्यूटन की विधि में अनुक्रमिक गणना के लिए एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

स्पर्शरेखा विधि का अभिसरण द्विघात है, अभिसरण का क्रम 2 है।

इस प्रकार, न्यूटन की स्पर्शरेखा विधि का अभिसरण बहुत तेज़ है।

बिना किसी बदलाव के, विधि को जटिल मामले में सामान्यीकृत किया जाता है। यदि मूल x i दूसरी बहुलता या उच्चतर का मूल है, तो अभिसरण का क्रम गिर जाता है और रैखिक हो जाता है।

न्यूटन की विधि के नुकसान में इसकी स्थानीयता शामिल है, क्योंकि यह एक मनमाने ढंग से प्रारंभिक सन्निकटन के लिए अभिसरण की गारंटी देता है, अगर शर्त हर जगह संतुष्ट हो विपरीत स्थिति में, अभिसरण जड़ के एक निश्चित पड़ोस में ही होता है।

समीकरण बनाते समय आमतौर पर न्यूटन की विधि (स्पर्शरेखा विधि) का उपयोग किया जाता है एफ(एक्स) = 0एक जड़ है और निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:

1) फ़ंक्शन y=f(x)परिभाषित और निरंतर;

2) f(a) f(b) (फ़ंक्शन खंड के अंत में विभिन्न चिह्नों का मान लेता है [ ए;बी]);

3) डेरिवेटिव च"(x)और च""(x)अंतराल पर चिह्न सुरक्षित रखें [ ए;बी] (अर्थात फ़ंक्शन एफ(एक्स)खंड पर या तो बढ़ता है या घटता है [ ए;बी], उत्तलता की दिशा बनाए रखते हुए);

विधि का अर्थ इस प्रकार है: खंड पर [ ए;बी] ऐसी संख्या का चयन किया जाता है एक्स 0 ,जिस पर एफ(एक्स 0)के समान चिन्ह है च""(x 0),यानी शर्त पूरी हो गई है f(x 0) f""(x) > 0. इस प्रकार, भुज वाले बिंदु का चयन किया जाता है एक्स 0, जिसमें वक्र की स्पर्शरेखा है y=f(x)खंड पर [ ए;बी] अक्ष को प्रतिच्छेद करता है बैल. प्रति बिंदु एक्स 0सबसे पहले, खंड के किसी एक सिरे का चयन करना सुविधाजनक है।

आइए एक विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करके इस एल्गोरिदम पर विचार करें।

आइए हमें एक बढ़ता हुआ फलन दिया जाए y = f(x) =x 2– 2,खंड (0;2) पर निरंतर, और होना एफ "(एक्स) =2x>0और एफ ""(x) = 2> 0.

हमारे मामले में, स्पर्शरेखा समीकरण का रूप है: y-y 0 =2x 0 ·(x-x 0).में बिंदु x 0 के रूप में हम बिंदु का चयन करते हैं बी 1 (बी; एफ(बी)) = (2,2).फ़ंक्शन के लिए एक स्पर्शरेखा बनाएं वाई = एफ(एक्स)बिंदु बी 1 पर, और स्पर्शरेखा और अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु को निरूपित करें बैलडॉट एक्स 1. हमें प्रथम स्पर्श रेखा का समीकरण प्राप्त होता है: y-2=2·2(x-2), y=4x-6. बैल: x 1 =

चावल। 3. फ़ंक्शन f(x) के ग्राफ़ की पहली स्पर्शरेखा का निर्माण

y=f(x) बैलबिंदु के माध्यम से एक्स 1, हमें बात समझ में आ गई बी 2 =(1.5; 0.25). फ़ंक्शन के लिए फिर से एक स्पर्शरेखा बनाएं वाई = एफ(एक्स)बिंदु बी 2 पर, और स्पर्शरेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु को निरूपित करें बैलडॉट एक्स 2.

दूसरे स्पर्शरेखा का समीकरण: y-2.25=2*1.5(x-1.5), y = 3x - 4.25.स्पर्शरेखा और अक्ष का प्रतिच्छेदन बिंदु बैल: x 2 =.

फिर हम फ़ंक्शन का प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं y=f(x)और अक्ष पर खींचा गया एक लम्ब बैलबिंदु x 2 से होकर हमें बिंदु B 3 मिलता है इत्यादि।

चावल। 4. फ़ंक्शन f(x) के ग्राफ़ की दूसरी स्पर्शरेखा का निर्माण

मूल का पहला सन्निकटन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

= 1.5.

मूल का दूसरा सन्निकटन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

=

मूल का तीसरा सन्निकटन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

इस प्रकार ,मैंमूल का वां सन्निकटन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

गणना तब तक की जाती है जब तक कि उत्तर में आवश्यक दशमलव स्थान मेल नहीं खाते, या निर्दिष्ट परिशुद्धता ई प्राप्त नहीं हो जाती - जब तक कि असमानता संतुष्ट न हो जाए |xi-xi-1|

हमारे मामले में, आइए तीसरे चरण में प्राप्त अनुमान की तुलना वास्तविक उत्तर से करें। जैसा कि आप देख सकते हैं, पहले से ही तीसरे चरण में हमें 0.000002 से कम की त्रुटि प्राप्त हुई।

CAD का उपयोग करके एक समीकरण को हल करनाMathCAD

प्रपत्र के सरलतम समीकरणों के लिए एफ(एक्स) = 0 MathCAD में समाधान फ़ंक्शन का उपयोग करके पाया जाता है जड़.

जड़(एफ (एक्स 1 , एक्स 2 , … ) , एक्स 1 , ए, बी ) - मान लौटाता है एक्स 1 , खंड से संबंधित [ ए, बी ] , जिसमें अभिव्यक्ति या कार्य एफ (एक्स ) 0 पर जाता है। इस फ़ंक्शन के दोनों तर्क अदिश होने चाहिए। फ़ंक्शन एक अदिश राशि लौटाता है.

चावल। 5. MathCAD (रूट फ़ंक्शन) में एक अरेखीय समीकरण को हल करना

यदि इस फ़ंक्शन को लागू करने के परिणामस्वरूप कोई त्रुटि होती है, तो इसका मतलब यह हो सकता है कि समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं, या समीकरण की जड़ें प्रारंभिक सन्निकटन से दूर स्थित हैं, अभिव्यक्ति में स्थानीय है अधिकतमऔर मिनप्रारंभिक सन्निकटन और जड़ों के बीच.

त्रुटि का कारण स्थापित करने के लिए, फ़ंक्शन के ग्राफ़ की जांच करना आवश्यक है एफ(एक्स). इससे समीकरण के मूलों की उपस्थिति का पता लगाने में मदद मिलेगी एफ(एक्स) = 0 और, यदि वे मौजूद हैं, तो लगभग उनके मान निर्धारित करें। जड़ का आरंभिक सन्निकटन जितना अधिक सटीकता से चुना जाएगा, उतनी ही तेजी से उसका सटीक मान ज्ञात किया जा सकेगा।

यदि प्रारंभिक सन्निकटन अज्ञात है, तो फ़ंक्शन का उपयोग करने की सलाह दी जाती है हल करना . इसके अलावा, यदि समीकरण में कई चर हैं, तो आपको सॉल्व कीवर्ड के बाद वेरिएबल्स की एक सूची निर्दिष्ट करनी होगी जिसके संबंध में समीकरण हल किया गया है।

चावल। 6. MathCAD में एक अरेखीय समीकरण को हल करना (फ़ंक्शन हल करें)

निष्कर्ष

अध्ययन में सीएडी प्रणाली मैथसीएडी में प्रोग्रामिंग का उपयोग करके गणितीय तरीकों और समीकरणों को हल करने दोनों की जांच की गई। अलग-अलग तरीकों के अपने-अपने फायदे और नुकसान हैं। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी विशेष विधि का उपयोग दिए गए समीकरण की प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर करता है। वे समीकरण जिन्हें स्कूल में ज्ञात गुणनखंडन आदि विधियों द्वारा अच्छी तरह से हल किया जा सकता है, उन्हें अधिक जटिल तरीकों का उपयोग करके हल करने का कोई मतलब नहीं है। व्यावहारिक गणित की समस्याएं जो भौतिकी और रसायन विज्ञान के लिए महत्वपूर्ण हैं और समीकरणों को हल करते समय जटिल कम्प्यूटेशनल संचालन की आवश्यकता होती है, उन्हें सफलतापूर्वक हल किया जाता है, उदाहरण के लिए, प्रोग्रामिंग का उपयोग करके। इन्हें न्यूटन की विधि से हल करना अच्छा है।

मूलों को स्पष्ट करने के लिए, आप एक ही समीकरण को हल करने के लिए कई विधियों का उपयोग कर सकते हैं। यह वह शोध था जिसने इस कार्य का आधार बनाया। साथ ही, यह देखना आसान है कि समीकरण के प्रत्येक चरण को हल करते समय कौन सी विधि सबसे सफल है, और इस चरण में कौन सी विधि का उपयोग न करना बेहतर है।

अध्ययन की गई सामग्री, एक ओर, गणितीय ज्ञान को विस्तारित और गहरा करने और गणित में रुचि पैदा करने में मदद करती है। दूसरी ओर, उन लोगों के लिए वास्तविक गणित समस्याओं को हल करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है जो तकनीकी और इंजीनियरिंग पेशे हासिल करने की योजना बना रहे हैं। इसलिए, यह कार्य आगे की शिक्षा (उदाहरण के लिए, किसी उच्च शिक्षण संस्थान में) के लिए महत्वपूर्ण है।

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कीवर्ड: अरेखीय समीकरण, अनुप्रयुक्त गणित, सीएडी मैथसीएडी, न्यूटन की विधि, चरण विधि, द्विभाजन विधि।.

एनोटेशन: यह लेख मैथकैड कंप्यूटर-एडेड डिज़ाइन प्रणाली का उपयोग करने सहित गैर-रेखीय समीकरणों को हल करने के तरीकों के अध्ययन के लिए समर्पित है। चरण विधि, आधे भाग और न्यूटन विधियों पर विचार किया जाता है, इन विधियों को लागू करने के लिए विस्तृत एल्गोरिदम दिए जाते हैं, और इन विधियों का तुलनात्मक विश्लेषण किया जाता है।