प्रारंभिक संदर्भ योजना का निर्माण. क्षेत्र की मूल योजना, निपटान

आइए मान लें कि विहित एलपी समस्या का कोई विशेष रूप नहीं है, और उदाहरण के लिए, बाधाओं की प्रणाली के समीकरणों का दाहिना पक्ष नकारात्मक हो सकता है।
आहार संबंधी समस्या का समाधान करते समय यह मामला सामने आता है। समस्या का विहित दृष्टिकोण इस प्रकार दिखता है:

एफ=20 एक्स 1 + 20एक्स 2 + 10एक्स 3 → मिनट.

आइए समस्या को एक सिंप्लेक्स तालिका (तालिका 1) में लिखें।

तालिका नंबर एक

आधार (x 4, x 5, x 6) के अनुरूप और (0; 0; 0; -33; 23; -12) के बराबर मूल समाधान नकारात्मकता के कारण मान्य नहीं है एक्स 4 < 0, एक्स 5 < 0, एक्स 6 < 0.

आइए सूत्रबद्ध करें वैध संदर्भ योजना खोजने का नियम.
यदि मुक्त पद कॉलम में नकारात्मक तत्व हैं, तो सबसे बड़े मॉड्यूलो और उसकी पंक्ति में किसी भी नकारात्मक तत्व का चयन करें। इस तत्व को अनुमति तत्व के रूप में लेते हुए, तालिका को पिछले नियम 2-5 के अनुसार पुनर्गणना करें।
यदि परिणामी तालिका में मुक्त पदों के कॉलम के सभी तत्व सकारात्मक या 0 हो जाते हैं, तो इस मूल समाधान को प्रारंभिक संदर्भ योजना के रूप में लिया जा सकता है। . यदि मुक्त पदों के कॉलम में सभी तत्व गैर-नकारात्मक नहीं हैं, तो इस नियम का दोबारा उपयोग करें।
आइए आहार संबंधी समस्या के लिए यह चरण अपनाएँ। तालिका की समाधान रेखा के रूप में। 1 आपको पहला चुनना होगा. और आइए, उदाहरण के लिए, तत्व -4 को एक समाधान तत्व के रूप में चुनें।

तालिका 2

बुनियादी				मुक्त

ध्यान दें कि x 4 के स्थान पर चर x 1 को आधार में शामिल किया गया था, सभी गणनाएँ नियम 2-5 के अनुसार की गईं। दाएँ कॉलम में अभी भी एक नकारात्मक तत्व बचा हुआ है, आइए फिर से नियम का उपयोग करें। परिवर्तनीय स्ट्रिंग एक्स 6 समाधान कर रहा है, और एक समाधान तत्व के रूप में आइए, उदाहरण के लिए, 3/2 लें, यहां कुछ विकल्प है।

तालिका 2

बुनियादी				मुक्त

परिणामी आधार रेखा एक्स* = (एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स 3, एक्स 4 , एक्स 5 , एक्स 6) = (7, 0, 5/2, 0, 1/2, 0) स्वीकार्य है और, इसके अलावा, इष्टतम साबित होता है, क्योंकि सूचकांक स्ट्रिंग में कोई नकारात्मक तत्व नहीं हैं। उद्देश्य फलन का इष्टतम मान F* = 165 है। वास्तव में,
एफ = 20एक्स 1 + 20एक्स 2 + 10एक्स 3 = 20 7 + 0 + 10 = 140 + 25 = 165.

इस समस्या में, मिली प्रारंभिक संदर्भ योजना में सुधार करना आवश्यक नहीं था, क्योंकि यह इष्टतम निकला। अन्यथा, हमें चरण III पर लौटना होगा।

सिंप्लेक्स विधि का उपयोग करके योजना समस्या का समाधान करना

काम। कंपनी के पास तीन प्रकार के कच्चे माल हैं और वह चार प्रकार के उत्पाद तैयार करने का इरादा रखती है। तालिका 3.12 में गुणांक एक निश्चित प्रकार के उत्पाद की प्रति इकाई संबंधित प्रकार के कच्चे माल की लागत, साथ ही उत्पाद की एक इकाई की बिक्री से लाभ और कुल संसाधन भंडार को दर्शाते हैं। कार्य: इष्टतम उत्पादन योजना ढूंढें जो अधिकतम लाभ सुनिश्चित करेगी।

टेबल तीन

आइए एक गणितीय मॉडल बनाएं। होने देना एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स 3 , एक्स 4 - योजना में क्रमशः I, II, III, IV प्रकार के उत्पादों की संख्या। तब प्रयुक्त कच्चे माल की मात्रा और उसके भंडार को असमानताओं में व्यक्त किया जाएगा:

एफ=3 एक्स 1 + 5एक्स 2 + 4एक्स 3 + 5एक्स 4 → अधिकतम.

उद्देश्य फ़ंक्शन सभी नियोजित उत्पादों की बिक्री से प्राप्त कुल लाभ को व्यक्त करता है, और प्रत्येक असमानता एक निश्चित प्रकार के उत्पाद की लागत को व्यक्त करती है। यह स्पष्ट है कि लागत कच्चे माल के भंडार से अधिक नहीं होनी चाहिए।

आइए हम प्रत्येक असमानता में अतिरिक्त चर x5, x6, x7 डालकर समस्या को विहित रूप में और एक विशेष रूप में लाएँ।
जाहिर है, यदि नियोजित उत्पादों के उत्पादन के लिए पहले संसाधन की आवश्यकता है 5 एक्स 1 + 0,4एक्स 2 + 2एक्स 3 + 0,5एक्स 4 तो एक्स 5 केवल पहले संसाधन के अधिशेष को उपलब्ध आपूर्ति और उत्पादन के लिए आवश्यक आपूर्ति के बीच अंतर के रूप में दर्शाता है। वैसे ही एक्स 6 और एक्स 7. इसलिए, एलपी समस्या में अतिरिक्त परिवर्तन किसी दिए गए इष्टतम योजना के उत्पादन में शेष कच्चे माल, समय और अन्य संसाधनों के अधिशेष का संकेत देते हैं।

आइए समस्या को तालिका 4 में लिखें, पहले उसका विहित रूप लिखें:

स्टेज I . यह एक विशेष प्रकार की समस्या है, आधार चर (x5, x6, x7) से बना है, समीकरण के दाहिने पक्ष गैर-नकारात्मक हैं, योजना एक्स= (0, 0, 0, 0, 400, 300, 100) - संदर्भ। यह सिंप्लेक्स तालिका से मेल खाता है।

तालिका 4

बुनियादी					मुक्त

चरण II . आइए इष्टतमता के लिए योजना की जाँच करें। चूंकि सूचकांक एफ-लाइन में नकारात्मक तत्व हैं, इसलिए योजना इष्टतम नहीं है; हम चरण III पर आगे बढ़ते हैं।

चरण III . संदर्भ योजना में सुधार. हम चौथे कॉलम को समाधान कॉलम के रूप में चुनेंगे, लेकिन हम दूसरा भी चुन सकते हैं, क्योंकि दोनों में (-5). चौथे पर निर्णय लेने के बाद, हम 1 को समाधान तत्व के रूप में चुनते हैं यह इस पर है कि न्यूनतम अनुपात प्राप्त किया जाता है . तत्व 1 को हल करने के साथ, हम तालिका को नियम 2-5 (तालिका 5) के अनुसार बदलते हैं।

तालिका 5

परिणामी योजना फिर से उप-इष्टतम है, क्योंकि एफ-स्ट्रिंग में एक नकारात्मक तत्व -5 है। यह कॉलम अनुज्ञेय है.

हम 5 को समाधानकारी तत्व के रूप में चुनते हैं, क्योंकि .

आइए तालिका की दोबारा गणना करें। ध्यान दें कि सूचकांक रेखा से पुनर्गणना शुरू करना सुविधाजनक है, क्योंकि यदि इसके सभी तत्व गैर-नकारात्मक हैं, तो योजना इष्टतम है, और इसे लिखने के लिए, मुक्त शर्तों के कॉलम को पुनर्गणना करने के लिए पर्याप्त है; तालिका के "अंदर" की गणना करने की कोई आवश्यकता नहीं है (तालिका 6)।

तालिका 6

बुनियादी					मुक्त

योजना इष्टतम है क्योंकि सूचकांक पंक्ति में कोई नकारात्मक तत्व नहीं हैं, इसे लिखें।

चरण IV . आधार चर (x 5, x 2, x 4) मुक्त पद कॉलम से मान लेते हैं, और मुक्त चर 0 हैं। तो, इष्टतम योजना एक्स* = (0, 40, 0, 100, 334, 0, 0) और एफ* = 700. वास्तव में, एफ = 3एक्स 1 + 4एक्स 3 + 5एक्स 2 + 5एक्स 4 = 5 · 40 + 5 · 100 = 700. यानी 700 रूबल का अधिकतम लाभ प्राप्त करना। उद्यम को 40 टुकड़ों की मात्रा में प्रकार II के उत्पादों का उत्पादन करना होगा, 100 टुकड़ों की मात्रा में प्रकार IV का उत्पादन करना होगा, प्रकार I और III के उत्पादों का उत्पादन करना लाभहीन है। इस मामले में, दूसरे और तीसरे प्रकार का कच्चा माल पूरी तरह से खपत हो जाएगा, और पहले प्रकार का कच्चा माल 334 यूनिट रहेगा ( एक्स 5 = 334, एक्स 6 = 0, एक्स 7 = 0).

परिवहन समस्या को हल करना, किसी भी रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या की तरह, एक संदर्भ समाधान खोजने से शुरू होता है, या, जैसा कि हम कहेंगे, एक संदर्भ योजना। मनमाने प्रतिबंधों और न्यूनतम किए जाने वाले फ़ंक्शन वाले ओपीएलपी के सामान्य मामले के विपरीत, कार्य समस्या का समाधान हमेशा मौजूद होता है। वास्तव में, विशुद्ध रूप से भौतिक विचारों से यह स्पष्ट है कि कम से कम कुछ स्वीकार्य योजना मौजूद होनी चाहिए। स्वीकार्य योजनाओं में, निश्चित रूप से एक इष्टतम (शायद एक से अधिक) है, क्योंकि रैखिक फ़ंक्शन एल - परिवहन की लागत स्पष्ट रूप से गैर-नकारात्मक है (नीचे से शून्य तक सीमित)। इस पैराग्राफ में हम दिखाएंगे कि संदर्भ योजना कैसे बनाई जाए। इसके लिए विभिन्न विधियाँ हैं, जिनमें से हम सबसे सरल, तथाकथित "उत्तर-पश्चिम कोने विधि" पर ध्यान केंद्रित करेंगे। इसे समझाने का सबसे आसान तरीका एक विशिष्ट उदाहरण है।

उदाहरण 1. संदर्भ की शर्तें परिवहन तालिका द्वारा निर्दिष्ट हैं (तालिका 10.1 देखें)।

तकनीकी विशिष्टताओं के लिए एक संदर्भ समाधान ढूंढना (एक संदर्भ योजना बनाना) आवश्यक है।

समाधान। आइए तालिका को फिर से लिखें। 10.1 और हम इसे ऊपरी बाएँ सेल (1,1) (तालिका के "उत्तर-पश्चिम कोने") से शुरू करके, धीरे-धीरे परिवहन से भर देंगे। हम इस प्रकार तर्क करेंगे। यह बिंदु कार्गो की 18 इकाइयों के लिए लागू किया गया। आइए बिंदु पर उपलब्ध 48 के स्टॉक का उपयोग करके इस अनुरोध को पूरा करें और सेल (1,1) में 18 के परिवहन को लिखें। इसके बाद, प्वाइंट I का अनुरोध संतुष्ट हो गया, और प्वाइंट पर अभी भी 30 यूनिट कार्गो बचा हुआ था। आइए हम उनका उपयोग करके यूनिट क्लॉज के अनुरोध को पूरा करें), सेल (1,2) में 27 लिखें; बिंदु की शेष 3 इकाइयों को बिंदु को सौंपा जाएगा। आइटम अनुरोध के भाग के रूप में, 39 इकाइयाँ असंतुष्ट रहीं।

तालिका 10.1

इनमें से, हम 30 को बिंदु की कीमत पर कवर करेंगे, जिससे इसकी आपूर्ति समाप्त हो जाएगी, और अन्य 9 को बिंदु से लिया जाएगा। आइटम की शेष 18 इकाइयों में से, हम शेष 6 इकाइयों को आइटम में आवंटित करेंगे, जो आइटम की सभी 20 इकाइयों के साथ मिलकर, इसके अनुप्रयोग को कवर करेगी (तालिका 10.2 देखें)।

इस बिंदु पर, आपूर्ति का वितरण पूरा हो गया है: प्रत्येक गंतव्य को उसके अनुरोध के अनुसार कार्गो प्राप्त हुआ। यह इस तथ्य में व्यक्त किया गया है कि प्रत्येक पंक्ति में परिवहन की मात्रा संबंधित स्टॉक के बराबर है, और कॉलम में - आवेदन।

इस प्रकार, हमने तुरंत एक परिवहन योजना तैयार की जो शेष शर्तों को पूरा करती है। परिणामी समाधान न केवल स्वीकार्य है, बल्कि परिवहन समस्या का एक संदर्भ समाधान भी है।

तालिका 10.2

तालिका की वे कोशिकाएँ जिनमें गैर-शून्य परिवहन हैं, बुनियादी हैं, उनकी संख्या शर्त को पूरा करती है। शेष कोशिकाएँ स्वतंत्र (खाली) हैं, उनमें गैर-शून्य परिवहन हैं, उनकी संख्या बराबर है। इसका मतलब है कि हमारी योजना एक है संदर्भ योजना और संदर्भ योजना के निर्माण का कार्य हल हो गया है।

प्रश्न उठता है कि क्या यह योजना लागत की दृष्टि से सर्वोत्तम है? बिल्कुल नहीं! आख़िरकार, इसे बनाते समय, हमने परिवहन लागत को बिल्कुल भी ध्यान में नहीं रखा। स्वाभाविक रूप से, योजना इष्टतम नहीं बन पाई। दरअसल, इस योजना की लागत, जो प्रत्येक परिवहन को संबंधित लागत से गुणा करने पर पाई जाती है, के बराबर है।

तालिका 10.3

आइए, उदाहरण के लिए, सेल (1,1) से सेल (2,1) तक 18 इकाइयों को स्थानांतरित करके इस योजना को बेहतर बनाने का प्रयास करें और, संतुलन को खराब न करने के लिए, सेल (2,3) से समान 18 इकाइयों को स्थानांतरित करें। सेल के लिए (1,3 ). हमें तालिका में दिखाई गई एक नई योजना मिलती है। 10.3.

यह सत्यापित करना आसान है कि नई योजना की लागत बराबर है, अर्थात, तालिका में दी गई योजना की लागत से 126 इकाइयाँ कम हैं। 10.3.

इस प्रकार, कार्गो की 18 इकाइयों को चक्रीय रूप से एक सेल से दूसरे सेल में पुनर्व्यवस्थित करके, हम योजना की लागत को कम करने में कामयाब रहे। परिवहन योजना अनुकूलन एल्गोरिदम भविष्य में लागत में कमी की इस पद्धति पर आधारित होगा।

आइए हम परिवहन योजना की एक विशेषता पर ध्यान दें जिसका सामना संदर्भ योजना बनाते समय और उसमें सुधार करते समय किया जा सकता है। हम तथाकथित "पतित" योजना के बारे में बात कर रहे हैं, जिसमें कुछ बुनियादी परिवहन शून्य के बराबर हो जाते हैं। आइए एक विकृत योजना के उद्भव के एक विशिष्ट उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 2. एक परिवहन तालिका दी गई है (परिवहन लागत के बिना, क्योंकि हम केवल एक संदर्भ योजना बनाने के बारे में बात कर रहे हैं) - तालिका देखें। 10.4.

तालिका 10.4

तालिका 10.5

तालिका 10.6

एक बुनियादी परिवहन योजना बनाएं.

समाधान। उत्तर-पश्चिमी कोने की विधि का उपयोग करके, हमें तालिका मिलती है। 10.5.

मूल योजना तैयार कर ली गई है। इसकी ख़ासियत यह है कि इसमें केवल छह, आठ नहीं, गैर-शून्य परिवहन शामिल हैं। इसका मतलब है कि कुछ बुनियादी परिवहन, जो शून्य के बराबर होना चाहिए था।

यह देखना आसान है कि ऐसा क्यों हुआ: गंतव्यों पर आपूर्ति वितरित करते समय, कुछ मामलों में शेष राशि शून्य हो गई और संबंधित सेल में नहीं आई।

"अध: पतन" के ऐसे मामले न केवल एक संदर्भ योजना बनाते समय उत्पन्न हो सकते हैं, बल्कि इसे परिवर्तित और अनुकूलित करते समय भी उत्पन्न हो सकते हैं।

भविष्य में, परिवहन तालिका में हमेशा बेस सेल रखना हमारे लिए सुविधाजनक होगा, हालांकि उनमें से कुछ में शून्य परिवहन मान हो सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आप इन्वेंट्री या ऑर्डर को मामूली रूप से बदल सकते हैं, ताकि समग्र संतुलन बाधित न हो, और अतिरिक्त, "मध्यवर्ती" शेष नष्ट हो जाएं। यह स्टॉक या अनुरोधों को सही स्थानों पर बदलने के लिए पर्याप्त है, उदाहरण के लिए, मूल्य के आधार पर, और इष्टतम समाधान खोजने के बाद, डाल दें

आइए तालिका के उदाहरण का उपयोग करके दिखाएं कि एक पतित योजना से एक गैर-अपक्षयी योजना में कैसे जाएं। 10.5. आइए पहली पंक्ति में स्टॉक को थोड़ा बदलें और उन्हें बराबर सेट करें। इसके अलावा, हम रिजर्व को तीसरी पंक्ति में रखेंगे। "शेष राशि को कम करने" के लिए, चौथी पंक्ति में हम रिजर्व 20 - 2e डालते हैं (तालिका 10.6 देखें)। इस तालिका के लिए, हम उत्तर-पश्चिमी कोने की विधि का उपयोग करके एक संदर्भ योजना बनाते हैं।

तालिका में 10.6 में पहले से ही आवश्यकतानुसार कई बुनियादी चर शामिल हैं:। भविष्य में योजना को अनुकूलित कर लगाना संभव हो सकेगा।

पृष्ठ 1

यदि सभी एवी गैर-नकारात्मक हैं तो विचाराधीन आधार के अनुरूप संदर्भ डिजाइन इष्टतम है।

यदि समर्थन योजना में एम सकारात्मक घटक शामिल हैं तो समर्थन योजना गैर-पतित होगी, अन्यथा समर्थन योजना को पतित कहा जाता है।

बस्ती क्षेत्र की मूल योजना बस्ती क्षेत्र में वास्तविक शहरी नियोजन और पर्यावरणीय स्थितियों का एक कार्टोग्राफिक प्रतिनिधित्व है।

पहली संदर्भ योजना प्राप्त करने के बाद, आपको इसकी इष्टतमता की जांच करनी चाहिए और यदि आवश्यक हो, तो उद्देश्य फ़ंक्शन Z के सर्वोत्तम मूल्य के साथ एक नई संदर्भ योजना पर जाएं। इसके लिए, संभावित विधि का उपयोग किया जाता है।

आइए अब पहली सहायता योजना मिल जाए। इष्टतमता के लिए शीर्ष निर्देशांक की जाँच करने के लिए कई विधियाँ हैं।

विस्तारित समस्या की संदर्भ योजना खोजें।

समर्थन योजना के आधार को मैट्रिक्स ए के एम कॉलम की एक मनमाना रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली कहा जाएगा, जिसमें समर्थन योजना के गैर-शून्य निर्देशांक के अनुरूप सभी कॉलम शामिल हैं।

समर्थन योजना का आधार मैट्रिक्स ए के एम कॉलम की एक मनमाना रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली है, जिसमें समर्थन योजना के गैर-शून्य निर्देशांक के अनुरूप सभी कॉलम शामिल हैं।

इस मूल योजना के अनुसार, प्रत्येक वस्तु (निर्माता या उपभोक्ता) एक नंबर से जुड़ी होती है। प्रारंभिक क्षमताएं स्थिति से निर्धारित होती हैं: बिंदुओं (निर्माता, उपभोक्ता) के बीच प्रारंभिक क्षमता में अंतर इन बिंदुओं के बीच उत्पाद की एक इकाई के परिवहन (एसपी) की लागत के बराबर है, यदि उन्हें जोड़ने वाला संचार मुख्य है। इसके बाद, प्रत्येक जोड़ी बिंदुओं (निर्माता और उपभोक्ता) के लिए, उत्पाद की एक इकाई के परिवहन की लागत की गणना की जाती है, जो इन बिंदुओं की प्रारंभिक क्षमता में अंतर के बराबर है। यदि परिवहन की लागत किसी भी जोड़ी बिंदु के लिए एसपी से अधिक नहीं है, तो मौजूदा योजना इष्टतम है, और प्रारंभिक संभावनाएं समस्या की संभावनाएं हैं। आइए मुख्य से बने एक गोल चक्कर मार्ग का उपयोग करके /- और निर्माता बिंदु को i-वें उपभोक्ता बिंदु से कनेक्ट करें।

इस संदर्भ योजना के अनुसार, प्रत्येक वस्तु (निर्माता या उपभोक्ता) एक संख्या या खांचे से जुड़ी होती है। प्रारंभिक क्षमताएं स्थिति से निर्धारित होती हैं: बिंदुओं (निर्माता, उपभोक्ता) के बीच प्रारंभिक क्षमता में अंतर इन बिंदुओं के बीच उत्पाद की एक इकाई के परिवहन (एसपी) की लागत के बराबर है, यदि उन्हें जोड़ने वाला संचार मुख्य है। इसके बाद, प्रत्येक जोड़ी बिंदुओं (निर्माता और उपभोक्ता) के लिए, उत्पाद की एक इकाई के परिवहन की लागत की गणना की जाती है, जो इन बिंदुओं की प्रारंभिक क्षमता में अंतर के बराबर है। किसी भी जोड़ी अंक के लिए एसपी, तो मौजूदा योजना इष्टतम है, और प्रारंभिक क्षमताएं समस्या की संभावनाएं हैं। मान लीजिए कि यह शर्त कुछ बिंदुओं के जोड़े के लिए पूरी नहीं होती है, जिनमें से एक में संख्या / और i वाले बिंदु शामिल हैं। आइए हम /- और उत्पादक बिंदु को एक अक्ष से बने एक गोल चक्कर मार्ग द्वारा i-वें उपभोक्ता बिंदु से जोड़ते हैं।

नई संदर्भ योजना के साथ, वही प्रक्रिया दोहराई जाती है जो पिछली थी। इनमें से एक मामला निश्चित रूप से चरणों की एक सीमित संख्या के बाद घटित होगा।

जब एक नया चर संदर्भ योजना में पेश किया जाता है, तो इसकी बुनियादीता को बनाए रखने के लिए, बुनियादी गैर-चर में से एक को इसमें से बाहर रखा जाना चाहिए। इस प्रकार, सिंप्लेक्स विधि के प्रत्येक पुनरावृत्ति पर, एक नया आर्क योजना में पेश किया जाता है, और मूल आर्क में से एक को बाहर रखा जाता है। योजना को बदलने के बाद, दोहरे गैर-चर के वर्तमान मूल्यों के लिए सभी असमानताओं (2) की पूर्ति की जाँच के बराबर गणना का उपयोग करके इष्टतमता स्थितियों के अनुपालन की जाँच की जाती है।

टिप्पणी। कंपनी शेड्यूल के रूप में संदर्भ योजना के उपयोग की अनुमति देती है। फॉर्म का चुनाव प्रोजेक्ट टीम के विवेक पर है। जब आप कोई संदर्भ योजना चुनते हैं, तो आपको प्रमुख कैलेंडर ईवेंट बनाए रखने होंगे।
नई समयरेखा का उपयोग करके संदर्भ योजना मानक अनुसूची से भिन्न होती है। एक कैलेंडर योजना में, समय बिंदु कैलेंडर पर कहीं भी स्थित हो सकते हैं। संदर्भ में
और कोई अविभाज्य समय खंड या अवधि पेश नहीं की गई है। आमतौर पर, एक सप्ताह, महीने या तिमाही को अवधि के रूप में चुना जाता है। क्वांटम सिद्धांत के आधार पर, वे कहते हैं, "कार्य अमुक-अमुक अवधि में शुरू होता है," लेकिन उस अवधि के ठीक भीतर जहां कार्य शुरू होता है, उस पर ध्यान नहीं दिया जाता है। कैलेंडर योजना में, इसके विपरीत, वे ठीक-ठीक कहते हैं " कार्य अमुक तारीख और महीने पर शुरू होता है। संदर्भ योजना में अपवाद केवल प्रमुख घटनाओं के लिए किया जाता है, और इन घटनाओं के बिंदुओं को संदर्भ योजना के अतिरिक्त संदर्भ के लिए दर्शाया जाता है।
एक नियम के रूप में, सभी अवधियों की लंबाई एक-दूसरे के बराबर होती है। हालाँकि, एकाधिक अवधियों का उपयोग करना संभव है। प्रत्येक अवधि को उसकी अपनी संख्या से या केवल आरंभ और समाप्ति तिथि को इंगित करके संदर्भित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 16 जनवरी से 22 जनवरी तक का सप्ताह।
अपघटन विधि का चुनाव कार्य के पदानुक्रमित अपघटन से भिन्न नहीं है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि संदर्भ योजना में प्राथमिक पदानुक्रमित सूची की तुलना में कम कार्य हो सकते हैं। तब तक विघटन जारी रहता है। जब सभी प्राथमिक समस्याओं को रैखिक या सशर्त रूप से रैखिक माना जा सकता है।
प्रत्येक कार्य में माप की एक प्राकृतिक इकाई होनी चाहिए। भौतिक कार्यों के लिए माप की एक इकाई चुनने में कोई समस्या नहीं है, उन्हें मापने की एक वस्तुनिष्ठ मौजूदा विधि के साथ। ऐसी इकाइयों के उदाहरण: एक सड़क को रैखिक मीटर में मापा जा सकता है; वर्ग मीटर में फर्श की पेंटिंग; घन मीटर में नींव रखना; चित्रों की संख्या में गैर-श्रमिक कार्य; पृष्ठों की संख्या में अनुवादक का कार्य; प्रोग्राम कोड की पंक्तियों की संख्या में कार्यशील प्रोग्राम; मानव-घंटे में परामर्श या प्रशिक्षण।
ऐसी समस्याएं हैं जिनके लिए, अपघटन विधि की परवाह किए बिना, स्पष्ट रूप से रैखिक उपसमस्याओं की पहचान करना असंभव है। ऐसे कार्यों में शामिल हैं: दस्तावेज़ अनुमोदन, एक जटिल इंजीनियरिंग प्रणाली की स्थापना। ऐसी समस्याओं को अविभाज्य कहा जाता है। इन कार्यों के लिए, माप की इकाई ही कार्य है, और माप की इकाई का एक नाम हो सकता है: टुकड़ा, कार्य, वस्तु, प्रणाली। तदनुसार, ऐसे कार्यों की कार्य मात्रा हमेशा 1 के बराबर होती है।
सभी कार्यों के लिए, पूर्ण किए गए कार्य या अर्जित मूल्य को मापने का एक तरीका होना चाहिए (इसलिए विधि का नाम)।

अर्जित मूल्य को मापने के तीन तरीके हैं। . एक वस्तुनिष्ठ इकाई के साथ, पूरी की गई इकाइयों की संख्या को आसानी से मापा जाता है। तो, एक सड़क के लिए आप "इतने मीटर बनाए गए" 5 का संकेत दे सकते हैं। . यदि कार्य अविभाज्य है और कोई आंतरिक अनुमान नहीं है, तो विशेषज्ञ विधि का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, आप कह सकते हैं "अनुमोदन 40% पूर्ण है।" यदि एक समान कार्य कई अवधियों तक जारी रहता है, तो हम सशर्त रूप से यह मान सकते हैं कि विकास अवधियों में समान रूप से वितरित होता है। . यदि कार्य अविभाज्य है, लेकिन कार्य का नियोजित अनुमान है, तो पूरा होने का प्रतिशत अनुमान के अनुसार गणना की जाती है (इसलिए विधि का पुराना नाम - "प्रतिशत")। विकास के प्रतिशत की गणना का एक उदाहरण तालिका 3 में दिखाया गया है। तालिका में प्रयुक्त "विकास का प्रतिशत" कॉलम का उपयोग नहीं किया जा सकता है; "विकास की मात्रा" कॉलम पूरे कार्य के लिए विकास के प्रतिशत की गणना करने के लिए पर्याप्त है।
थाई लुकिंग 3. चाय के अनुमान में महारत हासिल करना
परिवर्तन और अतिरिक्त कार्य को ध्यान में रखे बिना, नियोजित अनुमान के अनुसार विकास के प्रतिशत की गणना करना आवश्यक है।
अर्जित मूल्य पद्धति में, सामान्य नियम लागू होता है: मध्यवर्ती लागत विकास के प्रतिशत के बराबर होती है। यह नियम नियोजित लागतों और वास्तविक लागतों दोनों पर लागू होता है, जो समस्या की रैखिकता का परिणाम है। विशेष रूप से, आंतरिक अनुमानों में विकास के प्रतिशत की गणना करते समय, यह नियम स्वचालित रूप से लागू होता है। इस नियम का अर्थ है कि सभी कार्यों के लिए एक ही दर लागू है: रूबल/पूर्णता का प्रति प्रतिशत।
बेसलाइन योजना तैयार करना और पूर्वानुमान गणना करना तालिका 4 में दिए गए एकल फॉर्म का उपयोग करके किया जाता है। बेसलाइन योजना तैयार करना और पूर्वानुमान की गणना करना
नोट 1. यदि आपके पास पर्याप्त कौशल है, तो आपको प्रतिशत महारत को एक पंक्ति के रूप में उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है। ऐसे में आपको सावधान रहना चाहिए कि विकास की गणना में गलती न हो जाए.

तालिका 4. संदर्भ योजना और पूर्वानुमान गणना का रूप

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								अवधि संख्या
कोड कार्य	कार्य/स्थिति, टिप्पणियाँ	विकास, खर्च	कुल	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
		नियोजित विकास	100° ओ	30° ओ	40° ओ	30° ओ
	समस्या ए.	वास्तविक विकास	100° ओ	0°ओ	30°ओ	30°ओ	40° ओ
	प्रोजेक्ट की शुरुआत में प्रदर्शन किया गया	शेष का विकास किया जाना है	0°ओ
1		नियोजित लागत	100	30	40	30
	निमी और अर्थव्यवस्था के साथ	वास्तविक लागत	60		18	18	24
		खर्चों का संतुलन	0
		नियोजित विकास	100° ओ				30°ओ	30° ओ	40° ओ
	समस्या बी. के बाद निष्पादित किया गया	वास्तविक विकास	20° ओ				5%	15%
2		शेष का विकास किया जाना है	80° ओ						30° ओ	30° ओ	20° ओ
	कार्य ए आंशिक रूप से पूरा	नियोजित लागत	300				90	90	120
		वास्तविक लागत	80				20	60
		खर्चों का संतुलन	320						120	120	80
		नियोजित विकास	100° ओ							50° ओ	50° ओ
	समस्या बी.	वास्तविक विकास	0°ओ
3	कार्य बी के बाद प्रदर्शन प्रारंभ नहीं हुआ मूल्य अद्यतन किया गया	शेष का विकास किया जाना है	100° ओ									50°ओ	50° ओ
		नियोजित लागत	200							100	100
		वास्तविक लागत	0
		खर्चों का संतुलन	280		1			1				140	140
		अवधि के अनुसार कुल
		नियोजित लागत	600	30	40	30	90	90	120	100	100
		वास्तविक लागत	140	0	18	18	44	60
		खर्चों का संतुलन	600						120	120	80	140	140
		अवधि के अनुसार संचयी कुल
		नियोजित लागत		30	70	100	190	280	400	500	600
		वास्तविक लागत		0	18	36	80	140
		खर्चों का संतुलन						140	260	380	460	600	740

नोट 2. वास्तव में, संदर्भ योजना प्रपत्र एक स्प्रेडशीट की तरह भरा जाता है। सबसे अधिक संभावना है, तालिका को A4 प्रारूप में रखना संभव नहीं होगा। अधिकांश परियोजनाओं के लिए एलजेड प्रारूप का उपयोग पर्याप्त होगा।
यहां सारणीबद्ध रूप की कोशिकाओं के लिए टिप्पणियाँ दी गई हैं। . अवधि संख्या. वे सभी अवधियाँ सूचीबद्ध हैं जिनमें परियोजना जीवन चक्र को विभाजित किया गया है। संख्याओं के स्थान पर या उनके अतिरिक्त, आप "16.01 से 22.01 तक" लिख सकते हैं। कार्य कोड। मूल योजना के कार्यों की कोडिंग कार्य के पदानुक्रमित टूटने की कोडिंग के समान ही की जाती है। कार्य/स्थिति, टिप्पणियाँ . कार्य का नाम इंगित किया गया है। यदि कार्य की शुरुआत पिछले कार्य के पूरा होने से जुड़ी हुई है, तो पिछले कार्य की संख्या इंगित की गई है। इसके अतिरिक्त संकेत दिया गया है; अंतराल या अग्रिम, अनुमानित मूल्यों में परिवर्तन, कार्यान्वयन की स्थिति। नियोजित विकास। नियोजित विकास हमेशा 100% के बराबर होता है। अवधियों में 100% का वितरण संदर्भ विकास योजना निर्धारित करता है। वास्तविक विकास। ऊपर दिए गए अनुसार, महारत हासिल मात्रा को मापने की विधि का उपयोग करके, विकास का प्रतिशत दर्शाया गया है प्रत्येक अवधि। "टोटल" सेल में, पूर्ण वास्तविक विकास दर्शाया गया है। पूरा होना बाकी है। "टोटल" सेल के लिए एक स्पष्ट सूत्र है:
(पूरा होना बाकी है) - 100% - (वास्तविक विकास)।
परिणामी मूल्य को अवधियों में वितरित किया जाना चाहिए। यदि निष्पादन योजना के अनुसार होता है, तो वितरण बस योजना को दोहराता है। यदि कोई अंतराल या बढ़त है, विशेष रूप से पिछले कार्य में बदलाव के कारण, तो कार्य की महारत को समायोजित किया जाना चाहिए। इसके अलावा, शायद कुछ बदलाव हुए हैं परियोजना में ऐसा हुआ जिसमें अवधियों द्वारा वितरण को बदलना शामिल है। नियोजित लागत। "कुल" सेल में, समग्र रूप से कार्य की नियोजित लागत /मौद्रिक इकाइयों में इंगित की गई है। इस मान को बदलने की अनुमति नहीं है। अवधियों द्वारा वितरण किया जाता है नियोजित विकास के अनुपात में (योजनाबद्ध लागत विकास के प्रतिशत से गुणा की जाती है)।
. वास्तविक लागत. "कुल" सेल में, मौद्रिक इकाइयों में किए गए सभी वास्तविक लागतों को कुल में दर्शाया गया है। विश्लेषण प्रदर्शन किए गए कार्य के आधार पर लागू किया जाना चाहिए, न कि वास्तविक भुगतान पर। भले ही प्रदर्शन किए गए कार्य के अधिनियम पर हस्ताक्षर नहीं किए गए हों और अनुमोदित किया जा रहा हो , अधिनियम से रकम)7 को वास्तविक लागतों में जोड़ा जाना चाहिए वास्तविक लागतें सभी लागतों को ध्यान में रखती हैं: अतिरिक्त लागत, बहिष्कृत कार्य, आदि। अवधियों में वितरण वास्तविक विकास के अनुपात में किया जाता है। वास्तविक लागतों का उपयोग करके, आप निर्धारित कर सकते हैं सूत्र का उपयोग करके नई इकाई कीमत:
(विकास के प्रति प्रतिशत रूबल) - (वास्तविक लागत) /
(वास्तविक विकास).
जब कोई कार्य योजना के अनुसार पूरा हो जाता है, तो नई कीमत नियोजित कीमत के साथ मेल खाएगी।
अर्जित मूल्य पद्धति के उपयोग के आंकड़े बताते हैं कि कार्य पर कुल काम का 20% पूरा होने के बाद नई कीमत वास्तविक प्रवृत्ति को दर्शाएगी। शेष खर्च. "कुल" सेल को भरने के लिए, दो तरीकों में से एक या उनके संयोजन का उपयोग करने की अनुमति है: सूत्र के अनुसार:
(खर्चों का संतुलन) - (शेष प्रतिशत के रूप में खर्च किया जाना है) *
(प्रति प्रतिशत रूबल में नई दर)। अनुमान के विश्लेषण के आधार पर, उदाहरण के लिए, गैर-पुनर्निर्माण अनुबंध की कीमतें।
अवधियों में वितरण विकास के शेष7 के अनुपात में प्रतिशत के रूप में किया जाता है। . सारांश डेटा. सबसे पहले, मौद्रिक मापदंडों को एक अवधि के भीतर सारांशित किया जाता है, और फिर अवधियों के लिए एक संचयी कुल बनाया जाता है।
संचयी परिणामों के आधार पर, संबंधित एस-वक्र का निर्माण किया जाता है।
उदाहरण
तालिका 4 में व्याख्यात्मक संख्यात्मक डेटा शामिल है। मूल योजना के कार्यान्वयन का विश्लेषण अवधि संख्या 5 के अंत तक किया गया था। उनके आधार पर, एस-वक्र का निर्माण किया गया, चित्र। 3.
चित्र 3 एक शक्तिशाली डिज़ाइन विश्लेषण उपकरण का एक उदाहरण प्रदान करता है। चित्रों पर एक संक्षिप्त नज़र और वक्रों की प्रकृति का एक छोटा सा विश्लेषण गेम प्रोजेक्ट की स्थिति के बारे में बहुत सारे निष्कर्ष निकालने के लिए पर्याप्त है।
टिप्पणी। यदि प्रोजेक्ट टीम ने अर्जित मूल्य पद्धति का उपयोग करके पूर्वानुमान तैयार किया है, तो एस-वक्र ग्राफ़ को प्रोजेक्ट प्रदर्शन रिपोर्ट से जोड़ा जाना चाहिए।

चित्र 3. अर्जित मूल्य पद्धति का उपयोग करके परियोजना विश्लेषण, प्रमुख संकेतकों का पूर्वानुमान
प्रमुख संकेतकों में संभावित भविष्य के परिवर्तनों का विश्लेषण पूर्वानुमान कैलेंडर और वित्तीय योजनाओं के आधार पर किया जाता है।
यदि, पूर्वानुमान परिणामों के आधार पर, मुख्य संकेतक नहीं बदलते हैं, तो प्रोजेक्ट टीम हमेशा की तरह प्रोजेक्ट का प्रबंधन करना जारी रखती है। परियोजना प्रदर्शन रिपोर्ट इंगित करती है कि पूर्वानुमान परिणाम नियोजित संकेतकों के कार्यान्वयन की पुष्टि करते हैं।
यदि पूर्वानुमान के परिणाम प्रमुख संकेतकों में भविष्य में बदलाव का संकेत देते हैं, तो परियोजना टीम को कंपनी की परियोजना प्रबंधन प्रणाली के मानदंडों के अनुसार कार्य करना चाहिए। परियोजना निष्पादन रिपोर्ट इंगित करती है: पूर्वानुमान परिणाम, समस्याओं की घटना, और समस्याओं को खत्म करने के लिए परियोजना टीम के प्रस्ताव। गतिशील प्रबंधन सिद्धांत के अनुसार, परियोजना योजना का एक नया संस्करण तैयार करना आवश्यक हो सकता है।

ग्राफ़िक विधि.

जीएम में दो चरण होते हैं।

2) सभी समाधानों के बीच, एक ऐसा समाधान खोजना आवश्यक है जिसमें Z अपने अधिकतम या न्यूनतम तक पहुँच जाए।

ग्रैड फ़ंक्शन की सबसे तेज़ वृद्धि दिखाता है। (सी - गुणांक) (स्तर रेखाएं)

संभावित मामले

1. समस्या का एक अनोखा समाधान है।

2. समस्या के अनंत रूप से कई समाधान हैं।

3. समस्या का कोई समाधान नहीं है a) कोई ODD नहीं है b) ऐसे मामलों में जहां zmax एक फ़ंक्शन है जो लेवल लाइन द्वारा ऊपर से सीमित नहीं है और इसके विपरीत।

यदि केवल दो चर हैं तो ग्राफ़िकल विधि का उपयोग किया जा सकता है या दो चर वाली समस्या के समतुल्य परिवर्तनों का उपयोग करके समस्या को कम किया जा सकता है।

स्वीकार्य योजनाओं के गुण.

1) बिंदुओं का उत्तल रैखिक संयोजन। x1 x2 ...xk फॉर्म α1x1+ α2x2+ ...+ αkxk का योग है, जहां αi =1 (αi>=0 αi रैखिक संयोजन का गुणांक है)।

2) उत्तल समुच्चय समतल पर ऐसा समुच्चय आदि है, जब किन्हीं दो बिंदुओं X1є D के साथ मिलकर; X2 є D समुच्चय D से संबंधित है। उनका उत्तल L.K. भी इसी से संबंधित है। x=tx1+(1-t)x2 є D 0<=t<=1

3) उत्तल समुच्चय के एक चरम बिंदु - m.X को चरम कहा जाता है यदि इसे उत्तल L.K के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। इस सेट के कोई भी दो बिंदु (n=2)

संदर्भ समाधान- यह एक स्वीकार्य मूल समाधान है जिसमें m से अधिक सकारात्मक तत्व नहीं हैं, और मैट्रिक्स कॉलम के वेक्टर, वेक्टर के सकारात्मक निर्देशांक के अनुरूप, रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

स्वीकार्य योजनाओं के गुण.

प्रमेय संख्या 1

Z.L.P की स्वीकार्य योजनाओं का सेट यदि यह खाली नहीं है तो उत्तल।

दिया गया है: D- एक खाली सेट नहीं है - ODR

सिद्ध कीजिए कि JD एक उत्तल समुच्चय है।

Х1 єД; X2 єД, तो यह Z.L.P में प्रतिबंधों की प्रणाली को संतुष्ट करता है। Z=cx->अधिकतम Ax=b X>=0

एक्स1=बी 0<=t<=1

Ax2=b (1-t) => tAx1+(1-t)Ax2=bt+b(1-t) = A=b

x1; x2>=0 => x>=0

Ax=b X समस्या का समाधान है।

एक्स = tx1+(1-t)x2 0<=t<=1, согласно опр. Имеем выпуклое множество – Д, т.к. с любыми двумя точками ему принадлежит и их выпуклая Л.К.

प्रमेय क्रमांक 2

यदि वस्तुनिष्ठ फलन का उत्तल विलयन बहुफलक पर अधिकतम होता है, तो यह अधिकतम बहुफलक के शीर्ष पर प्राप्त होता है।

दिया गया: Zmax->X 0 Doc X 0 - शीर्ष।

डॉक्टर: एक बहुफलक दिया गया है। ए, बी, सी, डी, ई - शीर्ष। (हम विरोधाभास द्वारा दस्तावेज़ को आगे बढ़ाएंगे)

परिभाषा के अनुसार, X 0 एक शीर्ष नहीं है। एक चरम बिंदु, X 0 एक चरम बिंदु नहीं है, और इसे उत्तल L.K के रूप में दर्शाया जा सकता है। अंक xi є ODR

सीएक्स 0 >सीएक्सआई (सीएक्स 0 ->अधिकतम के बाद से)

एक्स 0 = αiXi αi=1 αi>=0

आइए फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें Z=C X 0 =CαiXi=αiCXi<αiCX 0 =CX 0 αi=CX 0

प्रत्येक पद में हम Xi को X 0 से प्रतिस्थापित करते हैं

सीएक्स 0

प्रमेय क्रमांक 3

एक वैकल्पिक इष्टतम के बारे में.

यदि उद्देश्य फलन कई शीर्षों पर अपने इष्टतम मान तक पहुँच जाता है (t) x1 x2 xk, तो यह उनके उत्तल रैखिक संयोजन में इष्टतम मान तक पहुँच जाता है।

दिया गया: दस्तावेज़: x= αiXi

Xi , i:=1,k αi=1 αi>=0 CX=d

आइए Z=СХ=CαiXi=αiCXi=αid=dαi=d खोजें

प्रमेय संख्या 4

वेक्टर X एक समर्थन समाधान है यदि और केवल यदि यह पॉलीहेड्रॉन का शीर्ष है।

यदि n>3 चर हैं, तो वे एक हाइपरप्लेन कहते हैं, एम-आयामी अंतरिक्ष में बिंदुओं की स्थिति।

सरल विधि का विचार.

सिंप्लेक्स विधि सार्वभौमिक है.

सिम्पलेक्स विधि एक विश्लेषणात्मक विधि है।

1. प्रारंभिक, संदर्भ समाधान पाया जाता है। ए) प्रतिबंधों की प्रणाली को समानता के रूप में लिखा जाना चाहिए (विहित रूप)

बी) रूपांतरित करें ताकि bi >=0 i=1,m

सी) सिस्टम को गैर-नकारात्मक दाहिनी ओर के साथ इकाई आधार रूप में लाएँ।

इसलिए, एक पूर्णतः सकारात्मक तत्व को समाधान तत्व के रूप में चुना जाता है।

डी) हम मुक्त वाले को 0 के बराबर करते हैं, हमें प्रारंभिक बुनियादी गैर-नकारात्मक मिलता है

समाधान, जो इस समस्या का संदर्भ समाधान है और शीर्ष से मेल खाता है।

2. लक्ष्य फ़ंक्शन पर विचार करते हुए, हम यह पता लगाते हैं कि परिणामी समाधान इष्टतम है या नहीं।

3. यदि परिणामी समाधान इष्टतम नहीं है, तो अगले शीर्ष (संदर्भ समाधान) पर जाना आवश्यक है। संक्रमण एक निश्चित नियम के अनुसार किया जाता है जिसके अनुसार: मूल चर में से केवल एक को मुक्त में जाना चाहिए मुफ़्त में से केवल एक को ही मूल में जाना चाहिए।

सरल विधि का बीजगणित.