कतारबद्ध प्रणालियों की समस्याओं को हल करने के उदाहरण. परिभाषाओं और सूत्रों की विफलताओं के साथ एसएमओ

कतारबद्ध प्रणालियों की समस्याओं को हल करने के उदाहरण

आपको समस्याएँ 1-3 हल करनी होंगी। प्रारंभिक डेटा तालिका में दिया गया है। 2-4.

सूत्रों के लिए कतार सिद्धांत में प्रयुक्त कुछ नोटेशन:

n - क्यूएस में चैनलों की संख्या;

λ - अनुरोधों के आने वाले प्रवाह की तीव्रता पी में;

वी - अनुरोधों के आउटगोइंग प्रवाह की तीव्रता पी आउट;

μ - सेवा प्रवाह की तीव्रता पी ओब;

ρ - सिस्टम लोड संकेतक (यातायात);

एम - कतार में स्थानों की अधिकतम संख्या, आवेदनों की कतार की लंबाई को सीमित करना;

मैं - आवेदन स्रोतों की संख्या;

पी के - सिस्टम की केथ स्थिति की संभावना;

पी ओ - पूरे सिस्टम की निष्क्रियता की संभावना, यानी सभी चैनलों के मुफ़्त होने की संभावना;

पी सिस्टम - सिस्टम में किसी एप्लिकेशन की स्वीकृति की संभावना;

पी अस्वीकार - किसी आवेदन को सिस्टम में स्वीकार किए जाने से इनकार करने की संभावना;

पी ओबी - संभावना है कि आवेदन की सेवा की जाएगी;

ए सिस्टम की पूर्ण क्षमता है;

क्यू - सापेक्ष प्रणाली क्षमता;

ओच - कतार में आवेदनों की औसत संख्या;

के बारे में - सेवा के अंतर्गत अनुरोधों की औसत संख्या;

सिस्टम - सिस्टम में अनुप्रयोगों की औसत संख्या;

ओच - कतार में किसी आवेदन के लिए औसत प्रतीक्षा समय;

के बारे में - किसी एप्लिकेशन की सर्विसिंग का औसत समय, केवल सेवित एप्लिकेशन से संबंधित;

Sys वह औसत समय है जब कोई एप्लिकेशन सिस्टम में रहता है;

Ож - कतार में किसी आवेदन की प्रतीक्षा में लगने वाला औसत समय;

- कब्जे वाले चैनलों की औसत संख्या।

क्यूएस ए का पूर्ण थ्रूपुट उन अनुरोधों की औसत संख्या है जो सिस्टम प्रति यूनिट समय में सेवा दे सकता है।

QS Q की सापेक्ष क्षमता, समय की प्रति इकाई प्रणाली द्वारा दिए गए अनुप्रयोगों की औसत संख्या और इस दौरान प्राप्त आवेदनों की औसत संख्या का अनुपात है।

कतारबद्ध समस्याओं को हल करते समय, आपको निम्नलिखित क्रम का पालन करना होगा:

1) तालिका के अनुसार क्यूएस के प्रकार का निर्धारण। 4.1;

2) क्यूएस के प्रकार के अनुसार सूत्रों का चयन;

3) समस्या समाधान;

4) समस्या पर निष्कर्ष तैयार करना।

1. मृत्यु और प्रजनन की योजना।हम जानते हैं कि, एक लेबल किए गए राज्य ग्राफ को देखते हुए, हम आसानी से राज्य संभावनाओं के लिए कोलमोगोरोव समीकरण लिख सकते हैं, और अंतिम संभावनाओं के लिए बीजगणितीय समीकरण भी लिख सकते हैं और हल कर सकते हैं। कुछ मामलों के लिए अंतिम समीकरण संभव हैं

पत्र के रूप में पहले से निर्णय लें। विशेष रूप से, यह तब किया जा सकता है यदि सिस्टम का राज्य ग्राफ एक तथाकथित "मृत्यु और प्रजनन योजना" है।

मृत्यु और प्रजनन योजना के लिए राज्य ग्राफ का रूप चित्र में दिखाया गया है। 19.1. इस ग्राफ़ की ख़ासियत यह है कि सिस्टम के सभी राज्यों को एक श्रृंखला में खींचा जा सकता है, जिसमें प्रत्येक औसत राज्य ( एस 1 ,एस 2 ,…,एस n-1) प्रत्येक पड़ोसी राज्य - दाएं और बाएं, और चरम राज्यों के साथ एक सीधे और उल्टे तीर द्वारा जुड़ा हुआ है (एस 0 ,एस n) - केवल एक पड़ोसी राज्य के साथ। शब्द "मृत्यु और प्रजनन की योजना" की उत्पत्ति जैविक समस्याओं से हुई है, जहां एक समान योजना जनसंख्या के आकार में परिवर्तन का वर्णन करती है।

मृत्यु और प्रजनन की योजना अक्सर विभिन्न व्यावहारिक समस्याओं में पाई जाती है, विशेष रूप से कतार सिद्धांत में, इसलिए इसके लिए राज्यों की अंतिम संभावनाओं को ढूंढना हमेशा के लिए उपयोगी होता है।

आइए मान लें कि सिस्टम को ग्राफ़ के तीरों के साथ स्थानांतरित करने वाले सभी घटना प्रवाह सबसे सरल हैं (संक्षिप्तता के लिए, हम सिस्टम को भी कहेंगे एसऔर इसमें होने वाली प्रक्रियाएँ सबसे सरल हैं)।

चित्र में ग्राफ़ का उपयोग करना। 19.1, हम राज्य की अंतिम संभावनाओं के लिए बीजगणितीय समीकरण बनाएंगे और हल करेंगे), अस्तित्व इस तथ्य से चलता है कि प्रत्येक राज्य से एक दूसरे में, राज्यों की एक सीमित संख्या में जा सकता है)। पहले राज्य के लिए एस 0 हमारे पास है:

(19.1)

दूसरे राज्य के लिए एस1:

(19.1) के आधार पर, अंतिम समानता को रूप में घटा दिया गया है

कहाँ क 0 से लेकर सभी मान स्वीकार करता है पी।तो, अंतिम संभावनाएँ पी 0 , पी 1 ,..., p n समीकरणों को संतुष्ट करें

(19.2)

इसके अलावा, सामान्यीकरण की स्थिति को ध्यान में रखना आवश्यक है

पी 0 + पी 1 + पी 2 +…+ पीएन =1. (19.3)

आइए समीकरणों की इस प्रणाली को हल करें। पहले समीकरण (19.2) से हम व्यक्त करते हैं पी 1 के माध्यम से आर 0 :

पी 1 = पी 0. (19.4)

दूसरे से, (19.4) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

(19.5)

तीसरे से, (19.5) को ध्यान में रखते हुए,

(19.6)

और सामान्य तौर पर, किसी के लिए भी क(1 से एन):

(19.7)

आइए सूत्र (19.7) पर ध्यान दें। अंश बाएं से दाएं (शुरुआत से दी गई स्थिति तक) जाने वाले तीरों पर खड़े सभी तीव्रताओं का उत्पाद है एस k), और हर में - दाएं से बाएं (शुरुआत से) की ओर जाने वाले तीरों पर खड़े सभी तीव्रताओं का उत्पाद एस के).

इस प्रकार, सभी राज्य संभावनाएँ आर 0 , पी 1 , ..., पी एनउनमें से एक के माध्यम से व्यक्त किया गया ( आर 0). आइए हम इन अभिव्यक्तियों को सामान्यीकरण स्थिति (19.3) में प्रतिस्थापित करें। हम इसे कोष्ठक से बाहर निकालते हुए प्राप्त करते हैं आर 0:

यहाँ से हमें के लिए अभिव्यक्ति मिलती है आर 0 :

(हमने कोष्ठक को घात -1 तक बढ़ा दिया ताकि दो-मंजिला भिन्न न लिखें)। अन्य सभी सम्भावनाएँ के माध्यम से व्यक्त की जाती हैं आर 0 (सूत्र देखें (19.4) - (19.7))। ध्यान दें कि गुणांक के लिए आरउनमें से प्रत्येक में 0 सूत्र (19.8) में एक के बाद श्रृंखला के क्रमिक पदों से अधिक कुछ नहीं है। तो, गणना आर 0 , हम ये सभी गुणांक पहले ही पा चुके हैं।

परिणामी सूत्र कतार सिद्धांत की सबसे सरल समस्याओं को हल करने में बहुत उपयोगी हैं।

^2.लिटिल का सूत्र.अब हम अनुप्रयोगों की औसत संख्या (सीमित, स्थिर मोड के लिए) से संबंधित एक महत्वपूर्ण सूत्र प्राप्त करेंगे एलकतार प्रणाली में स्थित सिस्टम (यानी, सेवा दी जा रही है या कतार में खड़ा है), और सिस्टम में अनुरोध रहने का औसत समय डब्ल्यूसिस्ट.

आइए किसी भी क्यूएस (एकल-चैनल, मल्टी-चैनल, मार्कोव, गैर-मार्कोव, असीमित या सीमित कतार के साथ) और उससे जुड़े घटनाओं के दो प्रवाह पर विचार करें: क्यूएस पर आने वाले अनुरोधों का प्रवाह, और जाने वाले अनुरोधों का प्रवाह क्यूएस. यदि सिस्टम में एक सीमित, स्थिर मोड स्थापित किया गया है, तो प्रति यूनिट समय क्यूएस पर आने वाले अनुप्रयोगों की औसत संख्या इसे छोड़ने वाले अनुप्रयोगों की औसत संख्या के बराबर है: दोनों प्रवाहों की तीव्रता समान है λ।

आइए निरूपित करें: एक्स(टी) -इस समय तक क्यूएस पर आने वाले आवेदनों की संख्या टी। वाई(टी) - सीएमओ से निकले आवेदनों की संख्या

क्षण तक टी।दोनों कार्य यादृच्छिक हैं और ऑर्डर आने पर अचानक बदल जाते हैं (एक की वृद्धि)। (एक्स(टी)) और आवेदनों की वापसी (वाई(टी)).कार्यों का प्रकार एक्स(टी) और वाई(टी)चित्र में दिखाया गया है 19.2; दोनों पंक्तियाँ चरणबद्ध हैं, शीर्ष एक है एक्स(टी),निचला- वाई(टी).जाहिर है, किसी भी क्षण के लिए टीउनका अंतर जेड(टी)= एक्स(टी) - वाई(टी)यह सीएमओ में आवेदनों की संख्या से अधिक कुछ नहीं है। जब पंक्तियाँ एक्स(टी)और वाई(टी)मर्ज हो गए हैं, सिस्टम में कोई एप्लिकेशन नहीं हैं।

समय की एक बहुत लंबी अवधि पर विचार करें टी(मानसिक रूप से ग्राफ़ को ड्राइंग से बहुत आगे तक जारी रखें) और इसके लिए क्यूएस में आवेदनों की औसत संख्या की गणना करें। यह फ़ंक्शन के अभिन्न अंग के बराबर होगा जेड(टी)इस अंतराल को अंतराल की लंबाई से विभाजित किया जाता है टी:

एलसिस्ट. = . (19.9)ओ

लेकिन यह समाकलन चित्र में छायांकित आकृति के क्षेत्रफल से अधिक कुछ नहीं है। 19.2. आइए इस चित्र पर एक नज़र डालें। आकृति में आयतें हैं, जिनमें से प्रत्येक की ऊंचाई एक के बराबर है और आधार सिस्टम में संबंधित अनुरोध (पहला, दूसरा, आदि) के समय के बराबर है। आइए इन समयों को नामित करें टी 1, टी 2,...सच है, अंतराल के अंत में टीकुछ आयतें छायांकित आकृति में पूरी तरह से नहीं, बल्कि आंशिक रूप से, लेकिन पर्याप्त रूप से बड़े आकार में प्रवेश करेंगी टीये छोटी-छोटी बातें मायने नहीं रखेंगी. इस प्रकार, हम यह मान सकते हैं

(19.10)

जहां यह राशि उस समय के दौरान प्राप्त सभी आवेदनों पर लागू होती है टी।

दाएं और बाएं पक्षों (.19.10) को अंतराल की लंबाई से विभाजित करें टी।हम (19.9) को ध्यान में रखते हुए प्राप्त करते हैं,

एलसिस्ट. = . (11/19)

(19.11) के दाएँ पक्ष को तीव्रता X से विभाजित करें और गुणा करें:

एलसिस्ट. = .

लेकिन परिमाण टीλसमय के साथ प्राप्त आवेदनों की औसत संख्या से अधिक कुछ नहीं है ^ टी.यदि हम सभी समयों के योग को विभाजित करें टी मैंएप्लिकेशन की औसत संख्या से, हमें किसी एप्लिकेशन के सिस्टम में रहने का औसत समय मिलता है डब्ल्यूसिस्ट. इसलिए,

एलसिस्ट. = λ डब्ल्यूसिस्ट. ,

डब्ल्यूसिस्ट. = . (19.12)

यह लिटिल का अद्भुत सूत्र है: किसी भी क्यूएस के लिए, अनुरोधों के प्रवाह की किसी भी प्रकृति के लिए, सेवा समय के किसी भी वितरण के लिए, किसी भी सेवा अनुशासन के लिए किसी एप्लिकेशन के सिस्टम में रहने का औसत समय सिस्टम में एप्लिकेशन की औसत संख्या को एप्लिकेशन प्रवाह की तीव्रता से विभाजित करने के बराबर होता है।

बिल्कुल उसी तरह, लिटिल का दूसरा सूत्र निकाला गया है, जो किसी एप्लिकेशन के कतार में रहने के औसत समय से संबंधित है ^डब्ल्यू बहुत अच्छाऔर कतार में आवेदनों की औसत संख्या एलअंक:

डब्ल्यूओह = . (19.13)

आउटपुट के लिए यह चित्र में निचली रेखा के बजाय पर्याप्त है। 19.2 कार्य करें यू(टी)- पहले बचे आवेदनों की संख्या टीसिस्टम से नहीं, बल्कि कतार से (यदि सिस्टम में आने वाला कोई एप्लिकेशन कतार में नहीं आता है, लेकिन तुरंत सेवा में चला जाता है, तो हम अभी भी मान सकते हैं कि यह कतार में आ जाता है, लेकिन इसमें शून्य समय खर्च होता है)।

लिटिल के सूत्र (19.12) और (19.13) कतार के सिद्धांत में एक बड़ी भूमिका निभाते हैं। दुर्भाग्य से, अधिकांश मौजूदा मैनुअल में ये सूत्र (अपेक्षाकृत हाल ही में सामान्य रूप में सिद्ध) नहीं दिए गए हैं 1)।

§ 20. सबसे सरल कतार प्रणाली और उनकी विशेषताएं

इस अनुभाग में हम कुछ सरलतम क्यूएस को देखेंगे और उनकी विशेषताओं (प्रदर्शन संकेतक) के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करेंगे। साथ ही, हम कतारबद्धता के प्राथमिक, "मार्कोव" सिद्धांत की विशेषता वाली मुख्य कार्यप्रणाली तकनीकों का प्रदर्शन करेंगे। हम क्यूएस नमूनों की संख्या का पीछा नहीं करेंगे जिनके लिए विशेषताओं की अंतिम अभिव्यक्ति प्राप्त की जाएगी; यह पुस्तक कतारबद्धता के सिद्धांत पर एक संदर्भ पुस्तक नहीं है (यह भूमिका विशेष मैनुअल द्वारा बहुत बेहतर ढंग से पूरी की जाती है)। हमारा लक्ष्य पाठक को कुछ "छोटी युक्तियों" से परिचित कराना है जो कतार के सिद्धांत के माध्यम से रास्ता आसान बनाती हैं, जो कई मौजूदा (यहां तक ​​​​कि लोकप्रिय होने का दिखावा करने वाली) पुस्तकों में उदाहरणों के एक असंगत सेट की तरह लग सकती हैं।

इस खंड में, हम घटनाओं के उन सभी प्रवाहों पर विचार करेंगे जो क्यूएस को एक राज्य से दूसरे राज्य में सबसे सरल तरीके से स्थानांतरित करते हैं (हर बार इसे विशेष रूप से निर्धारित किए बिना)। उनमें से तथाकथित "सेवा प्रवाह" होगा। यह एक लगातार व्यस्त चैनल द्वारा दिए गए अनुरोधों के प्रवाह को संदर्भित करता है। इस प्रवाह में, घटनाओं के बीच का अंतराल, हमेशा की तरह सबसे सरल प्रवाह में, एक घातांकीय वितरण होता है (कई मैनुअल में वे इसके बजाय कहते हैं: "सेवा समय घातीय है"; हम स्वयं भविष्य में इस शब्द का उपयोग करेंगे)।

1) एक लोकप्रिय पुस्तक में, उपरोक्त की तुलना में लिटिल के सूत्र की थोड़ी अलग व्युत्पत्ति दी गई है। सामान्य तौर पर, कतारबद्धता के सिद्धांत से प्रारंभिक परिचय के लिए इस पुस्तक ("दूसरी बातचीत") से परिचित होना उपयोगी है।

इस खंड में, सेवा समय का घातीय वितरण हमेशा की तरह "सरलतम" प्रणाली के लिए बिना कहे ही चलेगा।

जैसे-जैसे हम आगे बढ़ेंगे, हम विचाराधीन क्यूएस की प्रदर्शन विशेषताओं का परिचय देंगे।

^ 1. पी-विफलताओं के साथ चैनल कतार प्रणाली(एरलांग समस्या)। यहां हम कतारबद्ध सिद्धांत की पहली, "शास्त्रीय" समस्याओं में से एक पर विचार करेंगे;

यह समस्या टेलीफोनी की व्यावहारिक आवश्यकताओं से उत्पन्न हुई और इस सदी की शुरुआत में डेनिश गणितज्ञ एर्लांट द्वारा हल की गई थी। समस्या इस प्रकार बताई गई है: वहाँ है पीचैनल (संचार लाइनें) जो तीव्रता λ के साथ अनुरोधों का प्रवाह प्राप्त करते हैं। सेवा प्रवाह की तीव्रता μ (औसत सेवा समय का व्युत्क्रम) है टीके बारे में)। क्यूएस राज्यों की अंतिम संभावनाओं के साथ-साथ इसकी प्रभावशीलता की विशेषताओं का पता लगाएं:

^ए -पूर्ण थ्रूपुट, यानी समय की प्रति इकाई सेवा प्राप्त अनुप्रयोगों की औसत संख्या;

क्यू-सापेक्ष थ्रूपुट, यानी सिस्टम द्वारा प्रदत्त आने वाले अनुप्रयोगों का औसत हिस्सा;

^ पी खुला- इनकार की संभावना, यानी, कि आवेदन क्यूएस को बिना सेवा के छोड़ देगा;

क-व्यस्त चैनलों की औसत संख्या.

समाधान। सिस्टम बताता है ^एस(एसएमओ) को सिस्टम में अनुरोधों की संख्या के अनुसार क्रमांकित किया जाएगा (इस मामले में यह कब्जे वाले चैनलों की संख्या के साथ मेल खाता है):

एस 0 -सीएमओ में एक भी आवेदन नहीं

एस 1 - QS में एक अनुरोध है (एक चैनल पर कब्जा है, बाकी मुफ़्त हैं),

एस के -एसएमओ में स्थित है कअनुप्रयोग ( कचैनल व्यस्त हैं, बाकी मुफ़्त हैं),

एस एन -एसएमओ में स्थित है पीअनुप्रयोग (सभी) एनचैनल व्यस्त हैं)।

एसएमओ का राज्य ग्राफ प्रजनन के दौरान मृत्यु के पैटर्न से मेल खाता है (चित्र 20.1)। आइए इस ग्राफ़ को चिह्नित करें - तीरों के बगल में घटना प्रवाह की तीव्रता को चिह्नित करें। से एस 0 इंच एस 1सिस्टम को तीव्रता λ के साथ अनुरोधों के प्रवाह द्वारा स्थानांतरित किया जाता है (जैसे ही कोई अनुरोध आता है, सिस्टम कूद जाता है स 0वी एस 1).अनुप्रयोगों का वही प्रवाह अनुवाद करता है

सिस्टम किसी भी बाएं राज्य से पड़ोसी दाएं राज्य तक (चित्र 20.1 में ऊपरी तीर देखें)।

आइए तीव्रताओं को निचले तीरों पर रखें। राज्य में व्यवस्था बनी रहे ^एस 1 (एक चैनल काम करता है)। यह प्रति यूनिट समय में μ सेवा उत्पन्न करता है। इसे तीर पर रखें एस 1 →एस 0 तीव्रता μ. अब कल्पना करें कि सिस्टम एक स्थिति में है एस 2(दो चैनल काम करते हैं)। ताकि वह जा सके एस1,यह आवश्यक है कि या तो पहला चैनल या दूसरा चैनल सर्विसिंग समाप्त कर दे; उनके सेवा प्रवाह की कुल तीव्रता 2μ है; हम इसे संबंधित तीर के बगल में रखते हैं। तीन चैनलों द्वारा प्रदान किए गए कुल सेवा प्रवाह की तीव्रता 3μ है, कचैनल - kμ.हम इन तीव्रताओं को चित्र में निचले तीरों पर चिह्नित करते हैं। 20.1.

और अब, सभी तीव्रताओं को जानते हुए, हम मृत्यु और प्रजनन की योजना में अंतिम संभावनाओं के लिए तैयार सूत्रों (19.7), (19.8) का उपयोग करेंगे। सूत्र (19.8) का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं:

विस्तार की शर्तें के लिए गुणांक होंगे प 0के लिए भावों में पी 1

ध्यान दें कि सूत्र (20.1), (20.2) में तीव्रताएं λ और μ अलग-अलग शामिल नहीं हैं, बल्कि केवल अनुपात λ/μ के रूप में शामिल हैं। चलो निरूपित करें

λ/μ = ρ (20.3)

और हम मान p को "अनुप्रयोगों के प्रवाह की कम तीव्रता" कहेंगे। इसका अर्थ एक अनुरोध को पूरा करने के औसत समय के दौरान प्राप्त अनुरोधों की औसत संख्या है। इस अंकन का उपयोग करते हुए, हम सूत्र (20.1), (20.2) को इस रूप में फिर से लिखते हैं:

राज्यों की अंतिम संभावनाओं के लिए सूत्र (20.4), (20.5) को कतार सिद्धांत के संस्थापक के सम्मान में एर्लांग सूत्र कहा जाता है। इस सिद्धांत के अधिकांश अन्य सूत्र (आज जंगल में मशरूम की तुलना में इनकी संख्या अधिक है) का कोई विशेष नाम नहीं है।

इस प्रकार, अंतिम संभावनाएँ मिल गई हैं। उनका उपयोग करके, हम QS की प्रदर्शन विशेषताओं की गणना करेंगे। पहले हम ढूंढेंगे ^ पी खुला. - संभावना है कि आने वाला आवेदन अस्वीकार कर दिया जाएगा (सेवा नहीं दी जाएगी)। इसके लिए जरूरी है कि सबकुछ पीचैनल व्यस्त थे, मतलब

आरखुला = आरएन = . (20.6)

यहां से हम सापेक्ष थ्रूपुट पाते हैं - संभावना है कि अनुरोध पूरा किया जाएगा:

क्यू = 1 - पीखुला = 1 - (20.7)

हम अनुरोधों के प्रवाह की तीव्रता को λ से गुणा करके पूर्ण थ्रूपुट प्राप्त करते हैं क्यू:

ए = λQ = λ . (20.8)

जो कुछ बचा है वह कब्जे वाले चैनलों की औसत संख्या ज्ञात करना है क।यह मान "सीधे" पाया जा सकता है, संभावित मान 0, 1, ... के साथ एक अलग यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के रूप में। पीऔर इन मूल्यों की संभावनाएँ р 0 р 1 , ..., р n:

क = 0 · पी0+ 1 · पी 1+ 2 · पी 2 + ... + पी · पी.एन.

यहाँ भाव (20.5) को प्रतिस्थापित कर रहा हूँ आरक, (के = 0, 1, ..., पी)और उचित परिवर्तन करते हुए, हम अंततः इसके लिए सही सूत्र प्राप्त करेंगे क।लेकिन हम इसे और अधिक सरलता से प्राप्त करेंगे (यहां यह "छोटी युक्तियों" में से एक है!) वास्तव में, हम पूर्ण थ्रूपुट जानते हैं एक।यह सिस्टम द्वारा प्रदत्त अनुप्रयोगों के प्रवाह की तीव्रता से अधिक कुछ नहीं है। प्रत्येक व्यस्त i.sal समय की प्रति इकाई औसतन |l अनुरोधों को पूरा करता है। इसका मतलब है कि कब्जे वाले चैनलों की औसत संख्या है

के = ए/μ, (20.9)

या, (20.8) को ध्यान में रखते हुए,

क = (20.10)

हम अनुशंसा करते हैं कि पाठक स्वयं उदाहरण हल करें। तीन चैनलों वाला एक संचार स्टेशन है ( एन= 3), अनुप्रयोगों के प्रवाह की तीव्रता λ = 1.5 (प्रति मिनट अनुप्रयोग); एक अनुरोध को पूरा करने का औसत समय टीरेव = 2 (न्यूनतम), घटनाओं के सभी प्रवाह (जैसा कि इस पूरे पैराग्राफ में है) सबसे सरल हैं। राज्यों की अंतिम संभावनाओं और क्यूएस की प्रभावशीलता की विशेषताओं का पता लगाएं: ए, क्यू, पीखुला, क।बस मामले में, यहाँ उत्तर हैं: पी 0 = 1/13, पी 1 = 3/13, पी 2 = 9/26, पी 3 = 9/26 ≈ 0,346,

ए≈ 0,981, क्यू ≈ 0,654, पीओटीके ≈ 0.346, क ≈ 1,96.

वैसे, उत्तरों से यह स्पष्ट है कि हमारा क्यूएस काफी हद तक अतिभारित है: तीन चैनलों में से, औसतन, लगभग दो पर कब्जा कर लिया गया है, और आने वाले अनुप्रयोगों में से, लगभग 35% असेवित रह गए हैं। हम पाठक को, यदि वह उत्सुक है और आलसी नहीं है, यह पता लगाने के लिए आमंत्रित करते हैं: आने वाले अनुरोधों के कम से कम 80% को पूरा करने के लिए कितने चैनलों की आवश्यकता होगी? और किस अनुपात में चैनल निष्क्रिय रहेंगे?

इसका कुछ संकेत पहले से ही है अनुकूलन.वास्तव में, समय की प्रति इकाई प्रत्येक चैनल के रखरखाव पर एक निश्चित राशि खर्च होती है। साथ ही, प्रत्येक सेवित एप्लिकेशन कुछ आय उत्पन्न करता है। इस आय को आवेदनों की औसत संख्या से गुणा करना ए,समय की प्रति इकाई सेवा प्रदान करने पर, हमें समय की प्रति इकाई सीएमओ से औसत आय प्राप्त होगी। स्वाभाविक रूप से, जैसे-जैसे चैनलों की संख्या बढ़ती है, यह आय बढ़ती है, लेकिन चैनलों के रखरखाव से जुड़ी लागत भी बढ़ती है। क्या भारी पड़ेगा - आय में वृद्धि या व्यय में? यह ऑपरेशन की शर्तों, "एप्लिकेशन की सर्विसिंग के लिए शुल्क" और चैनल को बनाए रखने की लागत पर निर्भर करता है। इन मूल्यों को जानकर, आप चैनलों की इष्टतम संख्या, सबसे अधिक लागत प्रभावी पा सकते हैं। हम ऐसी समस्या का समाधान नहीं करेंगे, इसे उसी "गैर-आलसी और जिज्ञासु पाठक" पर छोड़ देंगे कि वह एक उदाहरण लेकर आएं और इसे हल करें। सामान्य तौर पर, किसी व्यक्ति द्वारा पहले से प्रस्तुत समस्याओं को हल करने की तुलना में समस्याओं का आविष्कार करना अधिक विकसित होता है।

^ 2. असीमित कतार के साथ एकल-चैनल क्यूएस।व्यवहार में, कतार के साथ एकल-चैनल चिकित्सा सेवाएं (मरीज़ों की सेवा करने वाला एक डॉक्टर; एक बूथ के साथ एक भुगतान फ़ोन; उपयोगकर्ता के आदेशों को निष्पादित करने वाला कंप्यूटर) मिलना काफी आम है। कतारबद्ध सिद्धांत में, कतार के साथ एकल-चैनल क्यूएस भी एक विशेष स्थान रखता है (गैर-मार्कोव प्रणालियों के लिए अब तक प्राप्त अधिकांश विश्लेषणात्मक सूत्र ऐसे क्यूएस से संबंधित हैं)। इसलिए, हम कतार के साथ एकल-चैनल क्यूएस पर विशेष ध्यान देंगे।

मान लीजिए कि कतार के साथ एकल-चैनल क्यूएस है जिस पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया गया है (न तो कतार की लंबाई पर, न ही प्रतीक्षा समय पर)। यह QS तीव्रता λ के साथ अनुरोधों का प्रवाह प्राप्त करता है ; सर्विसिंग प्रवाह की तीव्रता μ है, जो औसत अनुरोध सर्विसिंग समय के विपरीत है टीके बारे में। क्यूएस राज्यों की अंतिम संभावनाओं के साथ-साथ इसकी प्रभावशीलता की विशेषताओं को खोजना आवश्यक है:

एलसिस्ट. - सिस्टम में अनुप्रयोगों की औसत संख्या,

डब्ल्यूसिस्ट. - किसी एप्लिकेशन के सिस्टम में रहने का औसत समय,

^ एल ओह- कतार में आवेदनों की औसत संख्या,

डब्ल्यूबहुत अच्छा - किसी एप्लिकेशन द्वारा कतार में बिताया गया औसत समय,

पीज़ान - संभावना है कि चैनल व्यस्त है (चैनल लोड)।

निरपेक्ष थ्रूपुट के संबंध में एऔर रिश्तेदार क्यू,तो फिर उनकी गणना करने की कोई आवश्यकता नहीं है:

इस तथ्य के कारण कि कतार असीमित है, प्रत्येक एप्लिकेशन को जल्दी या बाद में सेवा प्रदान की जाएगी ए = λ,इसी कारण से क्यू= 1.

समाधान। पहले की तरह, हम QS में अनुप्रयोगों की संख्या के अनुसार सिस्टम की स्थिति को क्रमांकित करेंगे:

एस 0 - चैनल मुफ़्त है,

एस 1 - चैनल व्यस्त है (अनुरोध परोस रहा है), कोई कतार नहीं है,

एस 2 - चैनल व्यस्त है, एक अनुरोध कतार में है,

एसके - चैनल व्यस्त है, क- 1 आवेदन कतार में हैं,

सैद्धांतिक रूप से राज्यों की संख्या असीमित (अनंत) है। राज्य ग्राफ का रूप चित्र में दिखाया गया है। 20.2. यह मृत्यु और पुनरुत्पादन की एक योजना है, लेकिन अनंत संख्या में अवस्थाओं के साथ। सभी तीरों के साथ, तीव्रता λ के साथ अनुरोधों का प्रवाह सिस्टम को बाएं से दाएं और दाएं से बाएं ओर ले जाता है - तीव्रता μ के साथ सेवा का प्रवाह।

सबसे पहले, आइए अपने आप से पूछें कि क्या इस मामले में अंतिम संभावनाएँ हैं? आख़िरकार, सिस्टम की अवस्थाओं की संख्या अनंत है, और, सिद्धांत रूप में, कब टी → ∞कतार अनिश्चित काल तक बढ़ सकती है! हां, यह ऐसा ही है: ऐसे क्यूएस के लिए अंतिम संभावनाएं हमेशा मौजूद नहीं होती हैं, लेकिन केवल तब जब सिस्टम अतिभारित न हो। यह साबित किया जा सकता है कि यदि ρ सख्ती से एक (ρ) से कम है< 1), то финальные вероятности существуют, а при ρ ≥ 1 очередь при टी→ ∞ बिना किसी सीमा के बढ़ता है। यह तथ्य विशेष रूप से "समझ से बाहर" लगता है जब ρ = 1। ऐसा प्रतीत होता है कि सिस्टम पर कोई असंभव आवश्यकताएं नहीं लगाई गई हैं: एक अनुरोध की सेवा के समय, औसतन एक अनुरोध आता है, और सब कुछ क्रम में होना चाहिए, लेकिन वास्तव में एसा नही है। जब ρ = 1, क्यूएस अनुरोधों के प्रवाह से तभी निपटता है जब यह प्रवाह नियमित हो, और सेवा समय भी यादृच्छिक नहीं है, अनुरोधों के बीच के अंतराल के बराबर है। इस "आदर्श" मामले में, कोई कतार नहीं होगी, चैनल लगातार व्यस्त रहेगा और नियमित रूप से सर्विस्ड अनुरोध जारी करेगा। लेकिन जैसे ही अनुप्रयोगों का प्रवाह या सेवा का प्रवाह थोड़ा सा भी यादृच्छिक हो जाएगा, कतार अनिश्चित काल तक बढ़ती जाएगी। व्यवहार में, ऐसा केवल इसलिए नहीं होता क्योंकि "कतार में अनुप्रयोगों की अनंत संख्या" एक अमूर्तता है। ये बड़ी त्रुटियां हैं जो यादृच्छिक चर को उनकी गणितीय अपेक्षाओं के साथ बदलने से उत्पन्न हो सकती हैं!

लेकिन आइए असीमित कतार के साथ अपने एकल-चैनल क्यूएस पर वापस लौटें। कड़ाई से बोलते हुए, हमने केवल सीमित संख्या में राज्यों के मामले में मृत्यु और प्रजनन की योजना में अंतिम संभावनाओं के सूत्र निकाले, लेकिन आइए हम उन्हें अनंत संख्या में राज्यों के लिए उपयोग करने की स्वतंत्रता लें। आइए सूत्रों (19.8), (19.7) का उपयोग करके राज्यों की अंतिम संभावनाओं की गणना करें। हमारे मामले में, सूत्र (19.8) में पदों की संख्या अनंत होगी। हमें इसके लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त होती है पी 0:

पी 0 = -1 =

= (1 + р + р 2 + ... + р k +...) -1 . (20.11)

सूत्र (20.11) में श्रृंखला एक ज्यामितीय प्रगति है। हम इसे ρ के लिए जानते हैं< 1 ряд сходится - это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем р. При р ≥ 1 ряд расходится (что является косвенным, хотя и не строгим доказательством того, что финальные вероятности состояний पी 0 , पी 1 , ..., पी के , ...केवल पी पर मौजूद है<1). Теперь предположим, что это условие выполнено, и ρ <1. Суммируя прогрессию в (20.11), имеем

1 + ρ + ρ 2 + ... + ρ k + ... = ,

पी 0 = 1 - ρ. (20.12)

संभावनाओं आर 1, आर 2, ..., आर के,... सूत्रों का उपयोग करके पाया जाएगा:

पी 1 = ρ प0 , प 2= ρ 2 पी 0 ,…,पी के = ρ प 0, ...,

जहाँ से, (20.12) को ध्यान में रखते हुए, हम अंततः पाते हैं:

पी 1= ρ (1 - ρ), पी2= ρ 2 (1 - ρ), . . . , पी के =ρ क(1 - ρ), . . .(20.13)

जैसा कि आप देख सकते हैं, संभावनाएँ प 0, पी 1, ..., पीके,...हर पी के साथ एक ज्यामितीय प्रगति बनाएं। अजीब बात है, उनमें से अधिकतम पी 0 -संभावना है कि चैनल पूरी तरह से मुफ़्त होगा। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि सिस्टम कतार से कितना भरा हुआ है, अगर यह अनुरोधों के प्रवाह का सामना कर सकता है (ρ<1), самое вероятное число заявок в системе будет 0.

आइए सीएमओ को आवेदनों की औसत संख्या ज्ञात करें ^ एल सिस्ट. . यहां आपको थोड़ा टिंकर करना होगा। यादृच्छिक मूल्य Z-सिस्टम में अनुप्रयोगों की संख्या - संभावित मान 0, 1, 2, .... हैं क, ...संभावनाओं के साथ प 0, पी 1, पी 2, ..., पी के, ...इसकी गणितीय अपेक्षा है

एलसिस्ट = 0 · पी0+ 1 · पी 1+2 पी 2 +…+क · पीके +…= (20.14)

(योग 0 से ∞ तक नहीं, बल्कि 1 से ∞ तक लिया जाता है, क्योंकि शून्य पद शून्य के बराबर होता है)।

आइए सूत्र (20.14) में अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करें पी के (20.13):

एलसिस्ट. =

आइए अब योग चिह्न में से ρ (1-ρ) निकालें:

एलसिस्ट. = ρ (1-ρ)

यहां हम फिर से एक "छोटी सी तरकीब" का उपयोग करेंगे: कρ क-1 अभिव्यक्ति ρ से ρ के संबंध में व्युत्पन्न से अधिक कुछ नहीं है क; मतलब,

एलसिस्ट. = ρ (1-ρ)

विभेदन और योग की संक्रियाओं को उलटने पर, हम प्राप्त करते हैं:

एलसिस्ट. = ρ (1-ρ) (20.15)

लेकिन सूत्र (20.15) में योग पहले पद ρ और हर ρ के साथ अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग से अधिक कुछ नहीं है; यह राशि

के बराबर है, और इसका व्युत्पन्न है। इस अभिव्यक्ति को (20.15) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

एलसिस्ट = . (20.16)

खैर, अब हम लिटिल का फॉर्मूला (19.12) लागू करते हैं और किसी एप्लिकेशन के सिस्टम में रहने का औसत समय पाते हैं:

डब्ल्यूसिस्ट = (20.17)

आइए कतार में आवेदनों की औसत संख्या ज्ञात करें एलबहुत अच्छा हम इस तरह तर्क देंगे: कतार में आवेदनों की संख्या सिस्टम में आवेदनों की संख्या घटाकर सेवा के तहत आवेदनों की संख्या के बराबर है। इसका मतलब है (गणितीय अपेक्षाओं को जोड़ने के नियम के अनुसार), कतार में आवेदनों की औसत संख्या एलओच सिस्टम में अनुरोधों की औसत संख्या के बराबर है एलसिस्टम में सेवा के अंतर्गत अनुरोधों की औसत संख्या को घटा दिया गया है। सेवा के अंतर्गत अनुरोधों की संख्या या तो शून्य हो सकती है (यदि चैनल मुफ़्त है) या एक (यदि यह व्यस्त है)। ऐसे यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा इस संभावना के बराबर है कि चैनल व्यस्त है (हमने इसे दर्शाया है)। आरज़ैन)। ज़ाहिर तौर से, आरज़ान एक शून्य संभावना के बराबर है प 0कि चैनल मुफ़्त है:

आरज़ैन = 1 - आर 0 = ρ. (20.18)

इसलिए, सेवा के अंतर्गत अनुरोधों की औसत संख्या है

^एल के बारे में= ρ, (20.19)

एलओह = एलसिस्ट - ρ =

और अंत में

एलओच = (20.20)

लिटिल के सूत्र (19.13) का उपयोग करके, हम किसी एप्लिकेशन के कतार में रहने का औसत समय ज्ञात करते हैं:

(20.21)

इस प्रकार, क्यूएस की प्रभावशीलता की सभी विशेषताएं पाई गई हैं।

हम पाठक को स्वयं एक उदाहरण हल करने के लिए आमंत्रित करते हैं: एकल-चैनल क्यूएस एक रेलवे मार्शलिंग स्टेशन है, जो λ = 2 (प्रति घंटे ट्रेनें) की तीव्रता के साथ ट्रेनों का सबसे सरल प्रवाह प्राप्त करता है। सेवा (विघटन)

रचना औसत मान के साथ यादृच्छिक (सांकेतिक) समय तक चलती है टी रेव = 20(मिन.). स्टेशन के आगमन पार्क में दो ट्रैक हैं जिन पर आने वाली ट्रेनें सेवा के लिए प्रतीक्षा कर सकती हैं; यदि दोनों ट्रैक व्यस्त हैं, तो ट्रेनों को बाहरी ट्रैक पर इंतजार करने के लिए मजबूर होना पड़ता है। इसे (स्टेशन के सीमित, स्थिर संचालन मोड के लिए) खोजना आवश्यक है: औसत, ट्रेनों की संख्या एलस्टेशन से जुड़ी प्रणालियाँ, औसत समय डब्ल्यूस्टेशन पर ट्रेन की उपस्थिति की प्रणाली (आंतरिक ट्रैक पर, बाहरी ट्रैक पर और रखरखाव के तहत), औसत संख्या एलविघटन के लिए लाइन में प्रतीक्षा कर रही ट्रेनों का पीटी (कोई फर्क नहीं पड़ता कि किस ट्रैक पर), औसत समय डब्ल्यूपीटी ट्रेन का लाइन में रुकना. साथ ही, बाहरी पटरियों पर प्रतीक्षारत ट्रेनों की औसत संख्या जानने का प्रयास करें एलइस प्रतीक्षा का बाहरी और औसत समय डब्ल्यू ext (अंतिम दो मात्राएँ लिटिल के सूत्र से संबंधित हैं)। अंत में, कुल दैनिक जुर्माना ज्ञात करें जो स्टेशन को बाहरी पटरियों पर ट्रेन के डाउनटाइम के लिए भुगतान करना होगा, यदि स्टेशन एक ट्रेन के डाउनटाइम के एक घंटे के लिए जुर्माना (रूबल) का भुगतान करता है। बस मामले में, यहाँ उत्तर हैं: एलसिस्ट. = 2 (रचना), डब्ल्यूसिस्ट. = 1 (घंटा), एलओच = 4/3 (रचना), डब्ल्यूओच = 2/3 (घंटे), एलपाठ = 16/27 (रचना), डब्ल्यूपाठ = 8/27 ≈ 0.297 (घंटे)। बाहरी पटरियों पर ट्रेनों की प्रतीक्षा के लिए औसत दैनिक जुर्माना प्रतिदिन स्टेशन पर आने वाली ट्रेनों की औसत संख्या, बाहरी पटरियों पर ट्रेनों के औसत प्रतीक्षा समय और प्रति घंटा जुर्माने को गुणा करके प्राप्त किया जाता है। ए: डब्ल्यू ≈ 14.2 ए.

^ 3. असीमित कतार के साथ क्यूएस को पुनः चैनल करें।समस्या 2 के समान, लेकिन थोड़ी अधिक जटिल, समस्या एनअसीमित कतार के साथ -चैनल क्यूएस। राज्यों की संख्या प्रणाली में अनुप्रयोगों की संख्या पर आधारित है:

स 0- एसएमओ में कोई अनुरोध नहीं हैं (सभी चैनल निःशुल्क हैं),

एस 1 -एक चैनल पर कब्जा है, बाकी मुफ़्त हैं,

एस 2 -दो चैनल व्यस्त हैं, बाकी मुफ़्त हैं,

एस के- व्यस्त कचैनल, बाकी मुफ़्त हैं,

एस एन- हर कोई व्यस्त है पीचैनल (कोई कतार नहीं),

एस एन+1- हर कोई व्यस्त है एनचैनल, एक आवेदन कतार में है,

एस एन+आर -व्यस्त वजन पीचैनल, आरआवेदन कतार में हैं,

राज्य का ग्राफ चित्र में दिखाया गया है। 20.3. हम पाठक को स्वयं सोचने और तीरों द्वारा इंगित तीव्रता के मूल्यों को सही ठहराने के लिए आमंत्रित करते हैं। ग्राफ चित्र. 20.3

λ λ λ λ λ λ λ λ λ

μ 2μ kμ (k+1)μ nμ nμ nμ nμ nμ

मृत्यु और प्रजनन का एक पैटर्न है, लेकिन अनंत संख्या में अवस्थाओं के साथ। आइए बिना प्रमाण के अंतिम संभावनाओं के अस्तित्व की प्राकृतिक स्थिति की रिपोर्ट करें: ρ/ एन<1. Если ρ/एन≥ 1, कतार अनंत तक बढ़ती है।

आइए मान लें कि स्थिति ρ/ एन < 1 выполнено, и финальные вероятности существуют. Применяя все те же формулы (19.8), (19.7) для схемы гибели и размножения, найдем эти финальные вероятности. В выражении для प 0इसमें भाज्य युक्त पदों की एक श्रृंखला होगी, साथ ही हर के साथ अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग भी होगा ρ/ एन. इसे सारांशित करने पर, हम पाते हैं

(20.22)

आइए अब QS की प्रदर्शन विशेषताओं का पता लगाएं। व्यस्त चैनलों की औसत संख्या ज्ञात करने का सबसे आसान तरीका है क== λ/μ, = ρ (यह आम तौर पर असीमित कतार वाले किसी भी क्यूएस के लिए सच है)। आइए सिस्टम में अनुप्रयोगों की औसत संख्या ज्ञात करें एलसिस्टम और कतार में आवेदनों की औसत संख्या एलबहुत अच्छा इनमें से, सूत्र का उपयोग करके दूसरे की गणना करना आसान है

एलओह =

कार्य 2 के उदाहरण के अनुसार उचित परिवर्तन करना

(श्रृंखला के विभेदन के साथ), हमें मिलता है:

एलओह = (20.23)

इसमें सेवा के अंतर्गत अनुरोधों की औसत संख्या जोड़ना (यह अधिग्रहीत चैनलों की औसत संख्या भी है) क =ρ, हमें मिलता है:

एलसिस्ट = एलओच + ρ. (20.24)

के लिए भावों का विभाजन एलबहुत अच्छा एलλ पर सिस्टम , लिटिल के सूत्र का उपयोग करके, हम एक एप्लिकेशन के कतार और सिस्टम में रहने का औसत समय प्राप्त करते हैं:

(20.25)

आइए अब एक दिलचस्प उदाहरण हल करें। दो खिड़कियों वाला एक रेलवे टिकट कार्यालय एक दो-चैनल क्यूएस है जिसमें एक साथ दो खिड़कियों पर असीमित कतार होती है (यदि एक खिड़की खाली हो जाती है, तो लाइन में निकटतम यात्री इसे लेता है)। बॉक्स ऑफिस दो बिंदुओं पर टिकट बेचता है: ए और में।दोनों बिंदुओं के लिए आवेदनों के प्रवाह की तीव्रता (टिकट खरीदने के इच्छुक यात्री)। ए और बीसमान है: λ A = λ B = 0.45 (प्रति मिनट यात्री), और कुल मिलाकर वे तीव्रता λ A के साथ अनुरोधों का कुल प्रवाह बनाते हैं + λ बी = 0.9. एक कैशियर एक यात्री की सेवा में औसतन दो मिनट खर्च करता है। अनुभव से पता चलता है कि टिकट कार्यालय पर कतारें जमा हो जाती हैं, यात्री सेवा की धीमी गति के बारे में शिकायत करते हैं। एक युक्तिकरण प्रस्ताव प्राप्त हुआ है: एक टिकट कार्यालय के बजाय टिकट बेचने और एऔर में में,दो विशेष टिकट कार्यालय बनाएं (प्रत्येक में एक खिड़की), टिकट बेचें, एक - केवल बिंदु तक ए, दूसरा - केवल मुद्दे तक में।इस प्रस्ताव की समझदारी विवादास्पद है - कुछ लोगों का तर्क है कि कतारें वैसी ही रहेंगी। गणना द्वारा प्रस्ताव की उपयोगिता की जाँच करना आवश्यक है। चूँकि हम केवल सबसे सरल QS के लिए विशेषताओं की गणना कर सकते हैं, आइए मान लें कि घटनाओं के सभी प्रवाह सबसे सरल हैं (यह निष्कर्ष के गुणात्मक पक्ष को प्रभावित नहीं करेगा)।

खैर, चलिए काम पर आते हैं। आइए टिकट बिक्री के आयोजन के लिए दो विकल्पों पर विचार करें - मौजूदा और प्रस्तावित।

विकल्प I (मौजूदा)। दो-चैनल QS तीव्रता λ = 0.9 के साथ अनुरोधों का प्रवाह प्राप्त करता है; सेवा प्रवाह तीव्रता μ = 1/2 = 0.5; ρ = λ/μ = एल.8. चूँकि ρ/2 = 0.9<1, финальные вероятности существуют. По первой формуле (20.22) находим р 0 ≈ 0.0525. कतार में आवेदनों की औसत संख्या सूत्र (20.23) का उपयोग करके पाई जाती है: एल और ≈ 7.68; कतार में किसी एप्लिकेशन द्वारा बिताया गया औसत समय (सूत्रों में से पहले (20.25) के अनुसार) के बराबर है डब्ल्यूऔर ≈ 8.54 (मिनट)।

विकल्प II (प्रस्तावित)। दो एकल-चैनल क्यूएस (दो विशेष विंडो) पर विचार करना आवश्यक है; प्रत्येक को तीव्रता λ = 0.45 के साथ अनुप्रयोगों का प्रवाह प्राप्त होता है; μ . अभी भी 0.5 के बराबर है; ρ = λ/μ = 0.9<1; финальные вероятности существуют. По формуле (20.20) находим среднюю длину очереди (к одному окошку) एलओच = 8.1.

आपके लिए बहुत कुछ! यह पता चला कि कतार की लंबाई न केवल घटी, बल्कि बढ़ी भी! शायद लाइन में प्रतीक्षा का औसत समय कम हो गया है? चलो देखते हैं। शेयरिंग एलऔर λ = 0.45 पर, हमें मिलता है डब्ल्यूबहुत ≈ 18 (मिनट)।

युक्तिकरण के लिए बहुत कुछ! कतार की औसत लंबाई और उसमें प्रतीक्षा का औसत समय दोनों ही कम होने के बजाय बढ़ गये!

आइए अंदाजा लगाने की कोशिश करें कि ऐसा क्यों हुआ? इसके बारे में विचार करने के बाद, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे: ऐसा इसलिए हुआ क्योंकि पहले विकल्प (दो-चैनल क्यूएस) में दो कैशियरों में से प्रत्येक के निष्क्रिय रहने का औसत अनुपात कम है: यदि वह एक यात्री को सामान खरीदने में व्यस्त नहीं है बिंदु तक टिकट ए,वह एक बिंदु तक टिकट खरीदने वाले यात्री की सेवा में संलग्न हो सकता है में,और इसके विपरीत। दूसरे विकल्प में, ऐसी कोई अदला-बदली नहीं है: खाली कैशियर बस हाथ जोड़कर बैठा रहता है...

कुंआ , ठीक है," पाठक सहमत होने के लिए तैयार है, "वृद्धि को समझाया जा सकता है, लेकिन यह इतना महत्वपूर्ण क्यों है? क्या यहां गणना में कोई त्रुटि है?

और हम इस सवाल का जवाब देंगे. कोई त्रुटि नहीं है. बात यह है कि , हमारे उदाहरण में दोनों क्यूएस अपनी क्षमताओं की सीमा पर काम कर रहे हैं; जैसे ही आप सेवा समय को थोड़ा बढ़ाते हैं (यानी, μ कम करते हैं), वे अब यात्रियों के प्रवाह का सामना नहीं करेंगे, और कतार असीमित रूप से बढ़ने लगेगी। और कैशियर का "अतिरिक्त डाउनटाइम" कुछ अर्थों में उसकी उत्पादकता μ में कमी के बराबर है।

इस प्रकार, गणना का परिणाम, जो पहले विरोधाभासी (या यहां तक ​​कि गलत) लगता है, सही और समझाने योग्य हो जाता है।

कतारबद्धता का सिद्धांत ऐसे विरोधाभासी निष्कर्षों से समृद्ध है, जिसका कारण किसी भी तरह से स्पष्ट नहीं है। गणना के परिणामों से लेखक स्वयं बार-बार "आश्चर्यचकित" हुआ, जो बाद में सही निकला।

अंतिम समस्या पर विचार करते हुए, पाठक इस प्रकार प्रश्न पूछ सकता है: आखिरकार, यदि बॉक्स ऑफिस केवल एक बिंदु पर टिकट बेचता है, तो, स्वाभाविक रूप से, सेवा समय कम होना चाहिए, ठीक है, आधे से नहीं, लेकिन कम से कम कुछ हद तक, लेकिन हमने सोचा कि यह अभी भी औसत 2 (मिनट) है। हम ऐसे चुनिंदा पाठक को इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए आमंत्रित करते हैं: "तर्कसंगत प्रस्ताव" को लाभदायक बनाने के लिए इसे कितना कम किया जाना चाहिए? फिर से हमारा सामना होता है, यद्यपि एक प्राथमिक, लेकिन फिर भी एक अनुकूलन समस्या। अनुमानित गणनाओं की सहायता से, यहां तक ​​कि सबसे सरल मार्कोव मॉडल पर भी, घटना के गुणात्मक पक्ष को स्पष्ट करना संभव है - यह कैसे कार्य करना लाभदायक है, और यह कैसे लाभहीन है। अगले भाग में हम कुछ प्राथमिक गैर-मार्कोव मॉडल पेश करेंगे जो हमारी क्षमताओं का और विस्तार करेंगे।

जब पाठक सरलतम क्यूएस के लिए राज्यों की अंतिम संभावनाओं और दक्षता विशेषताओं की गणना करने के तरीकों से परिचित हो जाता है (उसने मृत्यु और प्रजनन की योजना और लिटिल के सूत्र में महारत हासिल कर ली है), तो उसे स्वतंत्र विचार के लिए दो और सरल क्यूएस की पेशकश की जा सकती है।

^ 4. सीमित कतार के साथ एकल-चैनल क्यूएस।समस्या समस्या 2 से केवल इस मायने में भिन्न है कि कतार में अनुरोधों की संख्या सीमित है (एक निश्चित निर्दिष्ट से अधिक नहीं हो सकती)। टी)।यदि कोई नया एप्लिकेशन ऐसे समय में आता है जब कतार में सभी स्थानों पर कब्जा हो जाता है, तो यह क्यूएस को असेवित (अस्वीकार प्राप्त) छोड़ देता है।

हमें राज्यों की अंतिम संभावनाओं को खोजने की जरूरत है (वैसे, इस समस्या में वे किसी भी ρ के लिए मौजूद हैं - आखिरकार, राज्यों की संख्या सीमित है), विफलता की संभावना आरखुला, पूर्ण थ्रूपुट ए,संभावना है कि चैनल व्यस्त है आरव्यस्त, औसत कतार की लंबाई एलबहुत अच्छी, सीएमओ को आवेदनों की औसत संख्या एलबहन , कतार में औसत प्रतीक्षा समय डब्ल्यूबहुत अच्छा , किसी एप्लिकेशन के सीएमओ में रहने का औसत समय डब्ल्यूसिस्ट. कतार की विशेषताओं की गणना करते समय, आप उसी तकनीक का उपयोग कर सकते हैं जिसका उपयोग हमने समस्या 2 में किया था, इस अंतर के साथ कि आपको एक अनंत प्रगति नहीं, बल्कि एक सीमित प्रगति का योग करना होगा।

^ 5. एक चैनल के साथ बंद क्यूएस और एमअनुप्रयोगों के स्रोत.विशिष्ट होने के लिए, आइए समस्या को निम्नलिखित रूप में प्रस्तुत करें: एक कार्यकर्ता कार्य करता है टीमशीनें, जिनमें से प्रत्येक को समय-समय पर समायोजन (सुधार) की आवश्यकता होती है। प्रत्येक ऑपरेटिंग मशीन की मांग प्रवाह तीव्रता λ है . यदि किसी कर्मचारी के खाली रहने के दौरान कोई मशीन खराब हो जाती है, तो वह तुरंत सेवा में लग जाती है। यदि कर्मचारी के व्यस्त होने पर यह विफल हो जाता है, तो यह लाइन में लग जाता है और कर्मचारी के मुक्त होने का इंतजार करता है। औसत मशीन सेटअप समय टीरेव = 1/μ. कार्यकर्ता के पास आने वाले अनुरोधों के प्रवाह की तीव्रता इस बात पर निर्भर करती है कि कितनी मशीनें काम कर रही हैं। अगर यह काम करता है कमशीनें, यह बराबर है कλ. अंतिम स्थिति की संभावनाएं, काम करने वाली मशीनों की औसत संख्या और एक कर्मचारी के व्यस्त होने की संभावना का पता लगाएं।

ध्यान दें कि इस QS में अंतिम संभावनाएँ हैं

λ और μ = 1/ के किसी भी मान के लिए मौजूद रहेगा टीचूँकि सिस्टम की अवस्थाओं की संख्या सीमित है।

कार्य 1।नियंत्रण कक्ष को अनुरोधों की एक स्ट्रीम प्राप्त होती है, जो दूसरे क्रम की एर्लैंग स्ट्रीम है। अनुप्रयोगों के प्रवाह की तीव्रता प्रति घंटे 6 अनुप्रयोग है। यदि डिस्पैचर गलती से रिमोट कंट्रोल छोड़ देता है, तो पहले अगले अनुरोध पर उसे रिमोट कंट्रोल पर वापस लौटना होगा। अगले आवेदन के लिए प्रतीक्षा समय का वितरण घनत्व ज्ञात करें और उसका ग्राफ बनाएं। इस संभावना की गणना करें कि डिस्पैचर 10 से 20 मिनट तक अनुपस्थित रहेगा। समाधान. चूंकि दूसरे क्रम का एरलांग प्रवाह सीमित प्रभाव वाला एक स्थिर प्रवाह है, तो पाम का सूत्र इसके लिए मान्य है

कहाँ एफ1(θ)- पहली निकटतम घटना के प्रतीक्षा समय के लिए संभाव्यता वितरण घनत्व;
λ - प्रवाह की तीव्रता;
- प्रवाह क्रम;
(θ) - एरलांग प्रवाह की दो पड़ोसी घटनाओं के बीच के समय के लिए संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन - पहला क्रम (ई)।
यह ज्ञात है कि प्रवाह ई के लिए वितरण फ़ंक्शन का रूप है

. (2)

समस्या की स्थितियों के अनुसार, अनुरोधों का प्रवाह एर्लांग क्रम =2 है। फिर (1) और (2) से हमें प्राप्त होता है
.
λ=6 के लिए अंतिम संबंध से हमें प्राप्त होगा

एफ1(θ)=3e-6θ(1+6θ), θ≥0. (3)

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें एफ1(θ) . पर θ <0 हमारे पास है एफ1(θ) =0 . पर θ =0 , f1(0)=3. सीमा पर विचार करें

प्रकार की अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए सीमा की गणना करते समय, एल'हॉपिटल के नियम का उपयोग किया गया था। शोध परिणामों के आधार पर, हम फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाते हैं एफ1(θ) (चित्र .1)।

आइए समस्या के पाठ में समय के आयामों पर ध्यान दें: तीव्रता के लिए ये प्रति घंटे अनुरोध हैं, समय के लिए - मिनट। आइए एक समय इकाई पर चलते हैं: 10 मिनट = 1/6 घंटा, 20 मिनट = 1/3 घंटा। इन मूल्यों के लिए हम गणना कर सकते हैं एफ1(θ) और वक्र की प्रकृति स्पष्ट करें

ये निर्देशांक वक्र पर संगत बिंदुओं के ऊपर ग्राफ़ पर दर्शाए गए हैं।
संभाव्यता सिद्धांत पाठ्यक्रम से हम जानते हैं कि एक यादृच्छिक चर के टकराने की संभावना एक्सखंड में [α, β] संख्यात्मक रूप से संभाव्यता घनत्व वितरण वक्र के तहत क्षेत्र के बराबर है एफ(एक्स). यह क्षेत्र एक निश्चित समाकलन द्वारा व्यक्त किया जाता है

इसलिए, अभीष्ट प्रायिकता बराबर है

यदि हम कहें तो इस अभिन्न अंग की गणना भागों द्वारा आसानी से की जा सकती है
यू=1+6θऔर dV=е-6θdθ. तब डीयू=6dθऔर वी= .
सूत्र का उपयोग करना हम पाते हैं

उत्तर: डिस्पैचर के 10 से 20 मिनट तक अनुपस्थित रहने की प्रायिकता 0.28 है।

कार्य 2.डिस्प्ले रूम में 5 डिस्प्ले हैं। उपयोगकर्ता प्रवाह सरल है. प्रति दिन डिस्प्ले रूम में आने वाले उपयोगकर्ताओं की औसत संख्या 140 है। एक उपयोगकर्ता द्वारा एक डिस्प्ले पर जानकारी संसाधित करने का समय एक घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है और औसतन 40 मिनट होता है। निर्धारित करें कि हॉल के लिए कोई स्थिर संचालन मोड है या नहीं; संभावना है कि उपयोगकर्ता को सभी डिस्प्ले व्यस्त मिलेंगे; प्रदर्शन कक्ष में उपयोगकर्ताओं की औसत संख्या; कतार में उपयोगकर्ताओं की औसत संख्या; निःशुल्क प्रदर्शन के लिए औसत प्रतीक्षा समय; एक उपयोगकर्ता द्वारा डिस्प्ले रूम में बिताया गया औसत समय। समाधान।समस्या में माना गया क्यूएस असीमित कतार वाले मल्टी-चैनल सिस्टम के वर्ग से संबंधित है। चैनलों की संख्या =5. आइए अनुप्रयोगों के प्रवाह की λ-तीव्रता ज्ञात करें: कहाँ (घंटे) - आने वाले उपयोगकर्ता प्रवाह से लगातार दो अनुरोधों के बीच का औसत समय। तब उपयोगकर्ता/घंटा

आइए सेवा प्रवाह की तीव्रता ज्ञात करें: , जहां M[T serv.]=40 मिनट=0.67 घंटे एक डिस्प्ले के साथ एक उपयोगकर्ता को सेवा देने का औसत समय है,

तब उपयोगकर्ता/घंटा

इस प्रकार, इस प्रणाली के क्लासिफायरियर का रूप QS (5, ∞; 5.85; 1.49) है।
आइए QS के लोड फैक्टर की गणना करें . यह ज्ञात है कि इस वर्ग के क्यूएस के लिए, एक स्थिर मोड मौजूद होता है यदि सिस्टम लोड फैक्टर और चैनलों की संख्या का अनुपात एक से कम है। हमें यह संबंध मिलता है
.
इसलिए, एक स्थिर शासन मौजूद है। राज्यों की सीमित संभाव्यता वितरण की गणना सूत्रों का उपयोग करके की जाती है

चूँकि =5, हमारे पास है

आइए P* की गणना करें - संभावना है कि उपयोगकर्ता को सभी डिस्प्ले व्यस्त मिलेंगे। जाहिर है, यह ऐसी घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर है: सभी डिस्प्ले व्यस्त हैं, कोई कतार नहीं है (पी5); सभी डिस्प्ले व्यस्त हैं, एक उपयोगकर्ता कतार में है (पी6); सभी डिस्प्ले व्यस्त हैं, दो उपयोगकर्ता कतार में हैं (पी7) इत्यादि। चूँकि घटनाओं के एक पूरे समूह के लिए इन घटनाओं की संभावनाओं का योग एक के बराबर है, तो समानता सत्य है

पी*=पी5+पी6+पी7+…=1 - पीओ - ​​पी1 - पी2 - पी3 - पी4।

आइए इन संभावनाओं को खोजें: आरओ=0,014; पी1=3,93*0,014; पी2=7,72*0,014; पी 3=10,12*0,014; पी4=9,94*0,014.
कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालने पर, हम पाते हैं
पी*=1-0.0148*(1+3.93+7.72+10.12+9.94)=1-0.014*32.71=1-0.46=0.54।
प्रदर्शन संकेतकों की गणना के लिए सूत्रों का उपयोग करना? पता लगाते हैं:

• 1. कतार में उपयोगकर्ताओं की औसत संख्या

2. डिस्प्ले रूम में उपयोगकर्ताओं की औसत संख्या

3. निःशुल्क प्रदर्शन के लिए औसत प्रतीक्षा समय

4. उपयोगकर्ता द्वारा डिस्प्ले रूम में बिताया गया औसत समय

उत्तर: डिस्प्ले रूम के संचालन का एक स्थिर तरीका मौजूद है और निम्नलिखित संकेतकों द्वारा इसकी विशेषता है आर*=0.54; उपयोगकर्ता; उपयोगकर्ता; ; .

कार्य 3.विफलताओं के साथ एक दो-चैनल कतार प्रणाली (क्यूएस) को अनुरोधों का एक स्थिर पॉइसन प्रवाह प्राप्त होता है। दो लगातार अनुरोधों के आगमन के बीच का समय λ=5 अनुरोध प्रति मिनट पैरामीटर के साथ एक घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है। प्रत्येक अनुरोध को पूरा करने की अवधि 0.5 मिनट है। मोंटे कार्लो विधि का उपयोग करके, 4 मिनट के समय में दिए गए अनुरोधों की औसत संख्या ज्ञात करें। निर्देश: तीन परीक्षण करें। समाधान।आइए समय आरेखों का उपयोग करके किसी दिए गए QS के संचालन के सांख्यिकीय मॉडलिंग को चित्रित करें। आइए समय अक्षों के लिए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें:
में-आवेदनों का आवक प्रवाह, यहां ती- आवेदन प्राप्त होने के क्षण; ती- लगातार दो अनुप्रयोगों के बीच समय अंतराल। यह तो स्पष्ट है ती=ती-1 +टीमैं.
K1 पहला सेवा चैनल है;
K2-सेकेंड सर्विस चैनल; यहां समय अक्ष पर मोटी रेखाएं चैनल अधिभोग अंतराल को दर्शाती हैं। यदि दोनों चैनल मुफ़्त हैं, तो अनुरोध चैनल K1 में परोसा जाता है; यदि यह व्यस्त है, तो अनुरोध चैनल K2 द्वारा परोसा जाता है।
यदि दोनों चैनल व्यस्त हैं, तो अनुरोध क्यूएस को सेवाहीन कर देता है।
आउट ओबी - सेवित अनुरोधों का आउटगोइंग प्रवाह।
आउट पीटी - क्यूएस विफलताओं (दोनों चैनलों के अधिभोग का मामला) के कारण खोए गए अनुरोधों का आउटगोइंग प्रवाह।
समय अंतराल पर सांख्यिकीय परीक्षण जारी रहता है। जाहिर है, समय की कोई भी अधिकता tmaxअनुरोध को आउटगोइंग स्ट्रीम आउटपुट पीटी में डंप करना शामिल है। तो चित्र में. 3 एप्लीकेशन नंबर 10, जो इस वक्त सिस्टम में आई टी10, इस समय तक सेवा करने का समय नहीं है tmax, क्योंकि t10+Tol.>tmax. नतीजतन, इसे सेवा के लिए मुफ्त चैनल K1 द्वारा स्वीकार नहीं किया जाता है और इनकार प्राप्त होने पर इसे आउटपुट पीटी पर रीसेट कर दिया जाता है।

चावल। 3

समय आरेखों से यह स्पष्ट है कि अंतरालों को मॉडल करना सीखना आवश्यक है टीमैं. आइए व्युत्क्रम फलनों की विधि लागू करें। यादृच्छिक चर के बाद से तीपैरामीटर के साथ घातांकीय नियम के अनुसार वितरित λ =5, तो वितरण घनत्व का रूप है एफ(τ)=5е-5τ. फिर मूल्य एफ(तिवारी)संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन अभिन्न द्वारा निर्धारित किया जाता है

.

यह ज्ञात है कि वितरण फ़ंक्शन रेंज एफ(टी) एक खंड है. हम यादृच्छिक संख्याओं की तालिका से एक संख्या चुनते हैं और निर्धारित करते हैं टीमैंसमानता से, कहाँ से. हालांकि, यदि । इसलिए, आप यादृच्छिक संख्याओं की तालिका से तुरंत कार्यान्वयन प्राप्त कर सकते हैं। इस तरह,
ई-5टीमैं= री, या -5Tमैं= एलएनआरआई, कहाँ । गणना परिणामों को तालिका में दर्ज करना सुविधाजनक है।
परीक्षण संख्या 1 आयोजित करने के लिए, पहली पंक्ति के पहले नंबर से शुरू करके, परिशिष्ट 2 से यादृच्छिक संख्याएँ ली गईं। इसके बाद चयन पंक्तियों के आधार पर किया गया। चलो दो और परीक्षण करते हैं.
परिशिष्ट 2 में तालिका से यादृच्छिक संख्याओं के चयन पर ध्यान दें, यदि परीक्षण संख्या 1 में आवेदन संख्या 16 के लिए अंतिम यादृच्छिक संख्या 0.37 (दूसरी पंक्ति में पहली यादृच्छिक संख्या) थी, तो परीक्षण संख्या 2 शुरू होती है निम्नलिखित यादृच्छिक संख्या 0.54। परीक्षण 2 में अंतिम यादृच्छिक संख्या 0.53 (तीसरी पंक्ति में पाँचवीं संख्या) शामिल है। इसलिए, तीसरा परीक्षण 0.19 नंबर से शुरू होगा। सामान्य तौर पर, परीक्षणों की एक श्रृंखला के भीतर, तालिका से यादृच्छिक संख्याओं को एक निश्चित क्रम में अंतराल या सम्मिलन के बिना चुना जाता है, उदाहरण के लिए, पंक्तियों द्वारा।

तालिका 1. परीक्षण संख्या 1

आवेदन नहीं। मैं	क्र.सं. संख्या री		-एलएन री ती	आवेदन प्राप्ति का क्षण ति=ति-1+ति	सेवा समाप्ति का क्षण. टीआई+0.50		आवेदन काउंटर
					K1

तालिका 2 परीक्षण क्रमांक 2

आवेदन नहीं। मैं	क्र.सं. संख्या री		-एलएन री टीमैं	आवेदन प्राप्ति का क्षण ति=ति-1+ति	सेवा समाप्ति का क्षण. टीआई+0.50		आवेदन काउंटर

तालिका क्रमांक 3 परीक्षण क्रमांक 3

आवेदन नहीं। मैं		क्र.सं. संख्या री		-एलएन री टीमैं	आवेदन प्राप्ति का क्षण ति=ति-1+ति	सेवा समाप्ति का क्षण. टीआई+0.50		आवेदन काउंटर
						K1

इस प्रकार, तीन परीक्षणों के परिणामों के आधार पर, प्रस्तुत आवेदनों की संख्या क्रमशः थी: x1=9, x2=9, x3=8. आइए प्रस्तुत किए गए अनुरोधों की औसत संख्या ज्ञात करें:

उत्तर: QS द्वारा 4 मिनट में दिए गए आवेदनों की औसत संख्या 8.6(6) है।

नियंत्रण समस्याओं को हल करते समय, जिसमें सैनिकों की कमान और नियंत्रण भी शामिल है, कई समान समस्याएं अक्सर उत्पन्न होती हैं:

• संचार दिशा, रेलवे जंक्शन, अस्पताल, आदि की क्षमता का आकलन;
• मरम्मत आधार की प्रभावशीलता का आकलन;
• रेडियो नेटवर्क आदि के लिए आवृत्तियों की संख्या निर्धारित करना।

ये सभी कार्य इस अर्थ में समान हैं कि इनमें सेवा की भारी मांग शामिल है। तत्वों का एक निश्चित समूह इस मांग को पूरा करने में शामिल होता है, जिससे एक कतार प्रणाली (क्यूएस) बनती है (चित्र 2.9)।

QS के तत्व हैं:

• इनपुट (आने वाली) मांग प्रवाह(अनुरोध) सेवा के लिए;
• सेवा उपकरण (चैनल);
• सेवा की प्रतीक्षा में आवेदनों की कतार;
• छुट्टी का दिन ( आउटगोइंग) प्रवाहसंसाधित अनुप्रयोग;
• असेवित अनुप्रयोगों का प्रवाह;
• मुफ़्त चैनलों की कतार (मल्टी-चैनल क्यूएस के लिए)।

आवक प्रवाहसेवा अनुरोधों का एक संग्रह है. अक्सर एप्लिकेशन की पहचान उसके वाहक से की जाती है। उदाहरण के लिए, किसी एसोसिएशन की कार्यशाला में प्रवेश करने वाले दोषपूर्ण रेडियो उपकरण का प्रवाह इस क्यूएस में सेवा के लिए आवश्यकताओं - अनुरोधों के प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है।

एक नियम के रूप में, व्यवहार में हम तथाकथित आवर्ती प्रवाह से निपटते हैं - ऐसे प्रवाह जिनमें निम्नलिखित गुण होते हैं:

• स्थिरता;
• साधारण;
• सीमित परिणाम.

हमने पहले दो गुणों को पहले परिभाषित किया था। सीमित परिणाम के लिए, यह इस तथ्य में निहित है कि आने वाले अनुप्रयोगों के बीच अंतराल स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं।

कई आवर्ती सूत्र हैं. प्रत्येक अंतराल वितरण कानून अपना स्वयं का आवर्ती प्रवाह उत्पन्न करता है। आवर्ती प्रवाह को अन्यथा पाम प्रवाह कहा जाता है।

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, प्रभाव की पूर्ण अनुपस्थिति वाले प्रवाह को स्थिर पॉइसन कहा जाता है। आदेशों के बीच उनके यादृच्छिक अंतराल में एक घातांकीय वितरण होता है:

यहाँ प्रवाह तीव्रता है.

प्रवाह का नाम - पॉइसन - इस तथ्य से आता है कि इसके लिए प्रवाह संभावनाअंतराल के दौरान आदेशों की उपस्थिति पॉइसन के नियम द्वारा निर्धारित की जाती है:

इस प्रकार का प्रवाह, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, सबसे सरल भी कहा जाता है। यह बिल्कुल वही प्रवाह है जो डिज़ाइनर QS विकसित करते समय मानते हैं। ऐसा तीन कारणों से है.

पहले तोकतारबद्ध सिद्धांत में इस प्रकार का प्रवाह संभाव्यता सिद्धांत में सामान्य वितरण कानून के समान है, इस अर्थ में कि सबसे सरल प्रवाह एक प्रवाह की सीमा को पार करके प्राप्त किया जाता है जो कि अनंत वृद्धि के साथ मनमानी विशेषताओं वाले प्रवाह का योग है शर्तें और उनकी तीव्रता में कमी। अर्थात्, तीव्रता के साथ मनमाने ढंग से स्वतंत्र (प्रभुत्व के बिना) प्रवाह का योग तीव्रता के साथ सबसे सरल प्रवाह है

दूसरे, यदि सर्विंग चैनल (डिवाइस) को अनुरोधों के सबसे सरल प्रवाह के लिए डिज़ाइन किया गया है, तो अन्य प्रकार के प्रवाह (समान तीव्रता के साथ) की सर्विसिंग कम दक्षता के साथ प्रदान की जाएगी।

तीसरा, यह वास्तव में यह प्रवाह है जो सिस्टम में मार्कोव प्रक्रिया को निर्धारित करता है और, परिणामस्वरूप, सिस्टम के विश्लेषणात्मक विश्लेषण की सादगी को निर्धारित करता है। अन्य प्रवाहों के लिए, क्यूएस की कार्यप्रणाली का विश्लेषण जटिल है।

अक्सर ऐसी प्रणालियाँ होती हैं जिनमें इनपुट अनुरोधों का प्रवाह सेवित अनुरोधों की संख्या पर निर्भर करता है। ऐसे एसएमओ को बुलाया जाता है बंद किया हुआ(अन्यथा - खुला). उदाहरण के लिए, एसोसिएशन संचार कार्यशाला के कार्य को एक बंद-लूप क्यूएस मॉडल द्वारा दर्शाया जा सकता है। इस कार्यशाला का उद्देश्य एसोसिएशन में मौजूद रेडियो स्टेशनों की सेवा करना है। उनमें से प्रत्येक के पास है विफलता दर. विफल उपकरण के इनपुट प्रवाह में निम्नलिखित तीव्रता होगी:

मरम्मत के लिए वर्कशॉप में पहले से मौजूद रेडियो स्टेशनों की संख्या कहां है?

सेवा शुरू करने के लिए आवेदन में अलग-अलग पात्रता हो सकती है। इस मामले में उनका कहना है कि एप्लीकेशन विजातीय. दूसरों की तुलना में कुछ अनुप्रयोग प्रवाहों के लाभ प्राथमिकता पैमाने द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।

इनपुट स्ट्रीम की एक महत्वपूर्ण विशेषता है भिन्नता का गुणांक:

अंतराल की लंबाई की गणितीय अपेक्षा कहां है;

एक यादृच्छिक चर (अंतराल लंबाई) का मानक विचलन।

सरलतम प्रवाह के लिए

अधिकांश वास्तविक धागों के लिए.

जब प्रवाह नियमित, नियतात्मक हो.

भिन्नता का गुणांक- आवेदनों की प्राप्ति में असमानता की डिग्री को दर्शाने वाली एक विशेषता।

सेवा चैनल (उपकरण). QS में एक या अधिक सर्विसिंग डिवाइस (चैनल) हो सकते हैं। इसके अनुसार QS को सिंगल-चैनल या मल्टी-चैनल कहा जाता है।

मल्टी-चैनल QS में समान या विभिन्न प्रकार के उपकरण शामिल हो सकते हैं। सर्विसिंग उपकरण हो सकते हैं:

• संचार लाइनें;
• मरम्मत तकनीशियन;
• रनवे;
• वाहन;
• बर्थ;
• नाई, विक्रेता, आदि

किसी चैनल की मुख्य विशेषता सेवा समय है। एक नियम के रूप में, सेवा समय एक यादृच्छिक मूल्य है।

आमतौर पर, चिकित्सकों का मानना ​​है कि सेवा समय का एक घातीय वितरण कानून है:

सेवा की तीव्रता कहाँ है, ;

सेवा समय की गणितीय अपेक्षा.

अर्थात्, सेवा प्रक्रिया मार्कोवियन है, और यह, जैसा कि हम अब जानते हैं, विश्लेषणात्मक गणितीय मॉडलिंग में महत्वपूर्ण सुविधा प्रदान करती है।

घातीय वितरण के अलावा, एर्लांग वितरण, हाइपरएक्सपोनेंशियल वितरण, त्रिकोणीय वितरण और कुछ अन्य भी हैं। इससे हमें भ्रमित नहीं होना चाहिए, क्योंकि यह दिखाया गया है कि क्यूएस दक्षता मानदंड का मूल्य सेवा समय के लिए संभाव्यता वितरण कानून के प्रकार पर बहुत कम निर्भर करता है।

क्यूएस का अध्ययन करते समय, सेवा का सार विचार से गायब हो जाता है, सेवा की गुणवत्ता.

चैनल हो सकते हैं बिल्कुल विश्वसनीय, अर्थात असफल न होना। या यूं कहें कि रिसर्च के दौरान इस बात को स्वीकार किया जा सकता है. चैनल हो सकते हैं परम विश्वसनीयता. इस मामले में, क्यूएस मॉडल बहुत अधिक जटिल है।

आवेदन कतार. अनुरोधों और सर्विसिंग के प्रवाह की यादृच्छिक प्रकृति के कारण, आने वाले अनुरोध में चैनल पिछले अनुरोध की सर्विसिंग में व्यस्त हो सकता है। इस स्थिति में, यह या तो क्यूएस को बिना सेवा के छोड़ देगा या सिस्टम में बना रहेगा, इसकी सेवा शुरू होने की प्रतीक्षा में। इसके अनुसार, वे भेद करते हैं:

• विफलताओं के साथ क्यूएस;
• प्रत्याशा के साथ एसएमओ.

आशा सहित सी.एम.ओकतारों की उपस्थिति की विशेषता. एक कतार में सीमित या असीमित क्षमता हो सकती है: .

शोधकर्ता आमतौर पर कतार में अनुप्रयोगों के रहने से जुड़ी निम्नलिखित सांख्यिकीय विशेषताओं में रुचि रखते हैं:

• अध्ययन अंतराल के दौरान कतार में आवेदनों की औसत संख्या;
• कतार में किसी आवेदन के लिए बिताया गया औसत समय (प्रतीक्षा)। क्यूएस सीमित कतार क्षमता के साथमिश्रित प्रकार QS के रूप में जाना जाता है।

अक्सर ऐसे सीएमओ होते हैं जिनमें आवेदन होते हैं कतार में सीमित समयइसकी क्षमता की परवाह किए बिना. ऐसे QS को मिश्रित प्रकार के QS के रूप में भी वर्गीकृत किया जाता है।

आउटपुट स्ट्रीम QS से निकलने वाले सेवित अनुप्रयोगों का प्रवाह है।

ऐसे मामले हैं जब अनुरोध कई क्यूएस से गुजरते हैं: पारगमन संचार, उत्पादन कन्वेयर, आदि। इस मामले में, आउटगोइंग प्रवाह अगले क्यूएस के लिए आने वाला है। क्रमिक रूप से परस्पर जुड़े क्यूएस के एक सेट को कहा जाता है बहुचरण कतार प्रणालीया क्यूएस नेटवर्क.

पहले क्यूएस का आने वाला प्रवाह, बाद के क्यूएस से होकर गुजरता है, विकृत होता है और यह मॉडलिंग को जटिल बनाता है। हालाँकि, यह बात ध्यान में रखनी चाहिए सबसे सरल इनपुट स्ट्रीम और एक्सपोनेंशियल सर्विस (अर्थात, मार्कोव सिस्टम में) के साथ, आउटपुट स्ट्रीम भी सबसे सरल है. यदि सेवा समय में गैर-घातीय वितरण होता है, तो आउटगोइंग प्रवाह न केवल सबसे सरल होता है, बल्कि आवर्ती भी नहीं होता है।

ध्यान दें कि आउटगोइंग प्रवाह के अनुरोधों के बीच का अंतराल सेवा अंतराल के समान नहीं है। आखिरकार, यह पता चल सकता है कि अगली सेवा की समाप्ति के बाद, अनुप्रयोगों की कमी के कारण QS कुछ समय के लिए निष्क्रिय हो जाएगा। इस मामले में

यदि तीन शर्तें पूरी होती हैं तो ऑर्डर का प्रवाह पॉइसन है:

घटना प्रवाह तीव्रता () समय की प्रति इकाई घटनाओं की औसत संख्या है।

आइए इवेंट स्ट्रीम के कुछ गुणों (प्रकारों) पर नज़र डालें।

घटनाओं की धारा कहलाती है अचल, यदि इसकी संभाव्य विशेषताएँ समय पर निर्भर नहीं करतीं।

विशेषकर, स्थिर प्रवाह की तीव्रता स्थिर रहती है। घटनाओं के प्रवाह में अनिवार्य रूप से संक्षेपण या विरलन होते हैं, लेकिन वे नियमित प्रकृति के नहीं होते हैं, और समय की प्रति इकाई घटनाओं की औसत संख्या स्थिर होती है और समय पर निर्भर नहीं होती है।

घटनाओं की धारा कहलाती है परिणाम के बिना प्रवाह, यदि समय के किन्हीं दो गैर-अतिव्यापी खंडों के लिए और (चित्र 2 देखें) तो उनमें से एक पर पड़ने वाली घटनाओं की संख्या इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि दूसरे पर कितनी घटनाएं घटती हैं। दूसरे शब्दों में, इसका अर्थ यह है कि प्रवाह को बनाने वाली घटनाएँ समय के निश्चित बिंदुओं पर प्रकट होती हैं एक दूसरे से स्वतंत्रऔर प्रत्येक अपने स्वयं के कारणों से होता है।

घटनाओं की धारा कहलाती है साधारण, यदि घटनाएँ इसमें एक-एक करके दिखाई देती हैं, न कि एक साथ कई समूहों में।

घटनाओं की धारा कहलाती है सरलतम (या स्थिर पॉइसन),यदि इसमें एक साथ तीन गुण हैं:

थोड़े समय के अंतराल में किसी घटना (किसी एप्लिकेशन के आगमन) की संभावना इस अंतराल की लंबाई के समानुपाती होती है।

एक छोटे अंतराल पर 2 घटनाओं की संभावना नगण्य है।

यह विश्वास कि कोई आवेदन प्राप्त हुआ है, पिछली घटनाओं पर निर्भर नहीं करता है।

सबसे सरल प्रवाह में सबसे सरल गणितीय विवरण होता है। यह प्रवाह के बीच वही विशेष भूमिका निभाता है जो सामान्य वितरण का कानून अन्य वितरण कानूनों के बीच निभाता है। अर्थात्, जब पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में स्वतंत्र, स्थिर और साधारण प्रवाह (तीव्रता में एक दूसरे के तुलनीय) को सुपरइम्पोज़ किया जाता है, तो सबसे सरल के करीब एक प्रवाह प्राप्त होता है।

सबसे सरल क्यूएस और उनकी विशेषताएं। असीमित विलंबता वाले मल्टी-चैनल और एकल-चैनल दोषरहित सिस्टम और अनंत संख्या में मांगों वाला एक स्रोत। मल्टी-चैनल सिस्टम के लिए एक सीमित औसत कतार के अस्तित्व की शर्त।

कतारबद्ध प्रणालियों (क्यूएस) के उदाहरण: टेलीफोन एक्सचेंज, मरम्मत की दुकानें, टिकट कार्यालय, सूचना डेस्क, मशीन टूल्स और अन्य तकनीकी प्रणालियाँ, लचीली उत्पादन प्रणालियों की नियंत्रण प्रणालियाँ, आदि।

प्रत्येक QS में एक निश्चित संख्या में सेवा इकाइयाँ होती हैं, जिन्हें कहा जाता है सेवा चैनल(ये मशीनें, परिवहन गाड़ियाँ, रोबोट, संचार लाइनें, कैशियर, विक्रेता, आदि हैं)। प्रत्येक QS को किसी न किसी प्रकार की सेवा के लिए डिज़ाइन किया गया है अनुप्रयोगों का प्रवाह(आवश्यकताएँ) समय में कुछ यादृच्छिक क्षणों पर पहुँचना।

अनुरोध की सेवा कुछ, आम तौर पर यादृच्छिक समय के लिए जारी रहती है, जिसके बाद चैनल मुक्त हो जाता है और अगला अनुरोध प्राप्त करने के लिए तैयार हो जाता है। अनुप्रयोगों के प्रवाह और सेवा समय की यादृच्छिक प्रकृति इस तथ्य की ओर ले जाती है कि कुछ समय में क्यूएस के इनपुट पर अत्यधिक बड़ी संख्या में एप्लिकेशन जमा हो जाते हैं (वे या तो कतार में खड़े हो जाते हैं या क्यूएस को बिना सेवा के छोड़ देते हैं)। अन्य अवधियों में, सिस्टम अंडरलोड के साथ काम करेगा या पूरी तरह से निष्क्रिय रहेगा।

प्रतीक्षा के साथ सबसे सरल क्यूएस एक एकल-चैनल प्रणाली है जो एक विशिष्ट तीव्रता के साथ अनुरोधों का प्रवाह प्राप्त करती है। एक अनुरोध जो उस समय आता है जब चैनल व्यस्त होता है, कतारबद्ध होता है और सेवा की प्रतीक्षा करता है।

MCU का उपयोग कई समानांतर ऑपरेटिंग ऑब्जेक्ट को अनुकरण करने के लिए किया जाता है। एमसीयू को मॉडलिंग करना एक डिवाइस को मॉडलिंग करने के समान है: एक लेनदेन डिवाइस में प्रवेश करता है, एक निश्चित संख्या में चैनलों पर कब्जा करता है, कुछ समय के लिए सर्विस किया जाता है, और फिर एमसीयू को छोड़ देता है, जिससे उसके कब्जे वाले चैनल मुक्त हो जाते हैं।

मॉडल में उनके प्रतिनिधित्व के लिए एमकेयू का उपयोग करने के लिए आवश्यक वास्तविक वस्तु में स्थितियाँ:

ऑब्जेक्ट में समान सेवा समय वितरण फ़ंक्शन होना चाहिए

इस फ़ंक्शन के लिए समान पैरामीटर.

डिवाइस के विपरीत, बिल्ली की क्षमता हमेशा एक के बराबर होती है, एमकेयू डी.बी. की क्षमता। प्रोग्रामर द्वारा परिभाषित। ऐसा करने के लिए, एक विशेष कमांड स्टोरेज (DEFINE MCU) का उपयोग करें।

टीम का नाम स्टोरेज ए

CommandName फ़ील्ड MCU का प्रतीकात्मक नाम है, और फ़ील्ड A इसकी क्षमता (सेवा चैनलों की संख्या) है, ऑपरेंड A हो सकता है केवल एक धनात्मक पूर्णांक के रूप में निर्दिष्ट।

उदाहरण: MKU1 स्टोरेज 5 TRAKT स्टोरेज 30 (MKU1 नाम वाले MKU की क्षमता 5 के रूप में परिभाषित की गई है, TRAKT नाम वाले MKU की क्षमता 30 है)।

सेवा चैनलों के कब्जे से जुड़ी घटना को ENTER ब्लॉक द्वारा मॉडल किया गया है, और चैनलों की रिलीज़ से जुड़ी घटना को LEAVE ब्लॉक द्वारा मॉडल किया गया है।

ए एमकेयू का नाम है। बी - एमसीयू क्षमता की इकाइयों की संख्या जिसे बिल्ली को लेनदेन पर कब्जा (मुक्त) करना होगा। डिफ़ॉल्ट =1.

उदाहरण: 1) ब्लॉक3 दर्ज करें (ब्लॉक3 नाम से एमसीयू दर्ज करें);

2) लीव सीन्स,3 (सीन्स नाम से एमसीयू क्षमता की 3 इकाइयाँ जारी करें)।

ENTER और LEAVE ब्लॉक के बीच किसी भी संख्या में ब्लॉक हो सकते हैं। विशेष रूप से, MCU में सेवा समय के दौरान देरी को ADVANCE ब्लॉक का उपयोग करके सिम्युलेटेड किया जाता है।

यदि LEAVE ब्लॉक के ऑपरेंड बी द्वारा निर्दिष्ट क्षमता इकाइयों की संख्या वर्तमान में व्याप्त एमसीयू चैनलों की संख्या से अधिक है, तो दुभाषिया सिमुलेशन बंद कर देता है और एक त्रुटि संदेश प्रदर्शित करता है।

एमसीयू कब्जे की प्रतीक्षा कर रहे लेनदेन के लिए, "पहले पास के साथ मिलान करें" नियम लागू होता है।

जब कोई लेनदेन LEAVE ब्लॉक में प्रवेश करता है, तो दुभाषिया अपनी प्रगति को रोक देता है, जिससे इस MCU की विलंब श्रृंखला से अगले लेनदेन को ENTER ब्लॉक में प्रवेश करने की अनुमति मिलती है, और उसके बाद ही मॉडल में MCU छोड़ने वाले लेनदेन को आगे बढ़ाया जाता है। एमसीयू विलंब श्रृंखला को छोड़ने वाला लेनदेन डीटीएस में स्थानांतरित हो जाता है और इसकी प्राथमिकता वर्ग में अंतिम बन जाता है।

एमसीयू में निम्नलिखित एनएवी हैं: एस - एमसीयू की वर्तमान सामग्री; आर एमसीयू की निःशुल्क क्षमता है; एसआर - 1000 के अंशों में उपयोग दर; एसए - एमकेयू की औसत सामग्री का पूर्णांक भाग; एसएम - एमसीयू की अधिकतम सामग्री; एससी - एमकेयू कक्षाओं की संख्या; एसटी एमकेयू व्यवसाय के औसत समय का एक पूर्णांक हिस्सा है।

एकल-चैनल उपकरणों को डिज़ाइन करने के लिए जब्त और रिलीज़ ब्लॉक का उपयोग किया जाता है

जब्तए(कब्ज़ा) - लेन-देन द्वारा डिवाइस पर कब्ज़ा। ए- डिवाइस प्रवेश बिंदु का नाम.

मुक्त करनाए(मुक्त करना) – सेवा समय समाप्त होने के बाद लेनदेन द्वारा डिवाइस को जारी करना।