Angle entre les vecteurs dans la formule spatiale. Produit scalaire des vecteurs

La longueur d'un vecteur, l'angle entre les vecteurs - ces concepts sont naturellement applicables et intuitifs lors de la définition d'un vecteur comme segment d'une certaine direction. Ci-dessous, nous apprendrons comment déterminer l'angle entre les vecteurs dans l'espace tridimensionnel, son cosinus, et considérerons la théorie à l'aide d'exemples.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pour considérer la notion d'angle entre vecteurs, tournons-nous vers une illustration graphique : définissons deux vecteurs a → et b → sur un plan ou dans un espace tridimensionnel, qui sont non nuls. Fixons également un point arbitraire O et traçons les vecteurs O A → = b → et O B → = b → à partir de celui-ci

Définition 1

Angle entre les vecteurs a → et b → est l'angle entre les rayons O A et O B.

Nous désignerons l'angle résultant comme suit : a → , b → ^

Évidemment, l'angle peut prendre des valeurs de 0 à π ou de 0 à 180 degrés.

a → , b → ^ = 0 lorsque les vecteurs sont codirectionnels et a → , b → ^ = π lorsque les vecteurs sont de direction opposée.

Définition 2

Les vecteurs sont appelés perpendiculaire, si l'angle entre eux est de 90 degrés ou π 2 radians.

Si au moins un des vecteurs est nul, alors l'angle a → , b → ^ n'est pas défini.

Le cosinus de l'angle entre deux vecteurs, et donc l'angle lui-même, peut généralement être déterminé soit en utilisant le produit scalaire de vecteurs, soit en utilisant le théorème du cosinus pour un triangle construit à partir de deux vecteurs donnés.

Selon la définition, le produit scalaire est a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Si les vecteurs donnés a → et b → sont non nuls, alors nous pouvons diviser les côtés droit et gauche de l'égalité par le produit des longueurs de ces vecteurs, obtenant ainsi une formule pour trouver le cosinus de l'angle entre non- vecteurs nuls :

cos une → , b → ^ = une → , b → une → b →

Cette formule est utilisée lorsque les données sources incluent les longueurs des vecteurs et leur produit scalaire.

Exemple 1

Données initiales : vecteurs a → et b →. Leurs longueurs sont respectivement 3 et 6 et leur produit scalaire est - 9. Il faut calculer le cosinus de l'angle entre les vecteurs et trouver l'angle lui-même.

Solution

Les données initiales sont suffisantes pour appliquer la formule obtenue ci-dessus, alors cos a → , b → ^ = - 9 3 6 = - 1 2 ,

Déterminons maintenant l'angle entre les vecteurs : a → , b → ^ = a r c cos (- 1 2) = 3 π 4

Réponse : cos a → , b → ^ = - 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Le plus souvent, des problèmes surviennent lorsque les vecteurs sont spécifiés par des coordonnées dans un système de coordonnées rectangulaires. Pour de tels cas, il est nécessaire de dériver la même formule, mais sous forme de coordonnées.

La longueur d'un vecteur est définie comme la racine carrée de la somme des carrés de ses coordonnées, et le produit scalaire des vecteurs est égal à la somme des produits des coordonnées correspondantes. Ensuite, la formule pour trouver le cosinus de l'angle entre les vecteurs sur le plan a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) ressemble à ceci :

cos a → , b → ^ = a x b x + a y b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Et la formule pour trouver le cosinus de l'angle entre les vecteurs dans l'espace tridimensionnel a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) ressemblera à : cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Exemple 2

Données initiales : vecteurs a → = (2, 0, - 1), b → = (1, 2, 3) dans un système de coordonnées rectangulaires. Il est nécessaire de déterminer l'angle entre eux.

Solution

1. Pour résoudre le problème, on peut immédiatement appliquer la formule :

cos a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 1 2 + 2 2 + 3 2 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos (- 1 70) = - a r c cos 1 70

1. Vous pouvez également déterminer l'angle à l'aide de la formule :

cos une → , b → ^ = (une → , b →) une → b → ,

mais calculez d'abord les longueurs des vecteurs et le produit scalaire par coordonnées : a → = 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 = - 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = - 1 5 14 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = - a r c cos 1 70

Réponse : a → , b → ^ = - a r c cos 1 70

Les tâches sont également courantes lorsque les coordonnées de trois points sont données dans un système de coordonnées rectangulaires et qu'il est nécessaire de déterminer un angle. Et puis, afin de déterminer l'angle entre les vecteurs avec des coordonnées de points données, il est nécessaire de calculer les coordonnées des vecteurs comme la différence entre les points correspondants du début et de la fin du vecteur.

Exemple 3

Données initiales : les points A (2, - 1), B (3, 2), C (7, - 2) sont donnés sur le plan dans un repère rectangulaire. Il faut déterminer le cosinus de l'angle entre les vecteurs A C → et B C →.

Solution

Trouvons les coordonnées des vecteurs à partir des coordonnées des points donnés A C → = (7 - 2, - 2 - (- 1)) = (5, - 1) B C → = (7 - 3, - 2 - 2) = (4, - 4)

Nous utilisons maintenant la formule pour déterminer le cosinus de l'angle entre les vecteurs sur un plan en coordonnées : cos A C → , B C → ^ = (A C → , B C →) A C → · B C → = 5 · 4 + (- 1) · (- 4) 5 2 + (- 1) 2 4 2 + (- 4) 2 = 24 26 32 = 3 13

Réponse : cos A C → , B C → ^ = 3 13

L'angle entre les vecteurs peut être déterminé à l'aide du théorème du cosinus. Laissons de côté les vecteurs O A → = a → et O B → = b → du point O, alors, d'après le théorème du cosinus dans le triangle O A B, l'égalité sera vraie :

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) ,

ce qui équivaut à :

b → - a → 2 = a → + b → - 2 a → b → cos (a → , b →) ^

et de là nous dérivons la formule du cosinus de l'angle :

cos (a → , b →) ^ = 1 2 a → 2 + b → 2 - b → - a → 2 a → b →

Pour appliquer la formule résultante, nous avons besoin des longueurs des vecteurs, qui peuvent être facilement déterminées à partir de leurs coordonnées.

Bien que cette méthode ait lieu, la formule est encore plus souvent utilisée :

cos (une → , b →) ^ = une → , b → une → b →

Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez la surligner et appuyer sur Ctrl+Entrée

Produit scalaire de vecteurs (ci-après dénommé SP). Chers amis! L'examen de mathématiques comprend un groupe de problèmes sur la résolution de vecteurs. Nous avons déjà examiné certains problèmes. Vous pouvez les voir dans la catégorie « Vecteurs ». En général, la théorie des vecteurs n'est pas compliquée, l'essentiel est de l'étudier de manière cohérente. Les calculs et les opérations avec des vecteurs dans le cours de mathématiques à l'école sont simples, les formules ne sont pas compliquées. Jeter un coup d'œil à. Dans cet article, nous analyserons les problèmes sur SP des vecteurs (inclus dans l'examen d'État unifié). Maintenant « immersion » dans la théorie :

H Pour trouver les coordonnées d'un vecteur, il faut soustraire des coordonnées de sa finles coordonnées correspondantes de son origine

Et plus loin:

*La longueur du vecteur (module) est déterminée comme suit :

Il faut retenir ces formules !!!

Montrons l'angle entre les vecteurs :

Il est clair qu'il peut varier de 0 à 180 0(ou en radians de 0 à Pi).

On peut tirer quelques conclusions sur le signe du produit scalaire. Les longueurs des vecteurs ont une valeur positive, cela est évident. Cela signifie que le signe du produit scalaire dépend de la valeur du cosinus de l'angle entre les vecteurs.

Cas possibles :

1. Si l'angle entre les vecteurs est aigu (de 0 0 à 90 0), alors le cosinus de l'angle aura une valeur positive.

2. Si l'angle entre les vecteurs est obtus (de 90 0 à 180 0), alors le cosinus de l'angle aura une valeur négative.

*À zéro degré, c'est-à-dire lorsque les vecteurs ont la même direction, le cosinus est égal à un et, par conséquent, le résultat sera positif.

A 180°, c'est-à-dire lorsque les vecteurs ont des directions opposées, le cosinus est égal à moins un,et par conséquent le résultat sera négatif.

Maintenant le POINT IMPORTANT !

A 90°, c'est-à-dire lorsque les vecteurs sont perpendiculaires entre eux, le cosinus est égal à zéro, et donc le SP est égal à zéro. Ce fait (conséquence, conclusion) est utilisé dans la résolution de nombreux problèmes où l'on parle de la position relative des vecteurs, y compris dans les problèmes inclus dans la banque ouverte de tâches mathématiques.

Formulons l'énoncé : le produit scalaire est égal à zéro si et seulement si ces vecteurs se trouvent sur des droites perpendiculaires.

Ainsi, les formules pour les vecteurs SP :

Si les coordonnées des vecteurs ou les coordonnées des points de leurs débuts et fins sont connues, alors on peut toujours trouver l'angle entre les vecteurs :

Considérons les tâches :

27724 Trouvez le produit scalaire des vecteurs a et b.

Nous pouvons trouver le produit scalaire des vecteurs en utilisant l’une des deux formules suivantes :

L'angle entre les vecteurs est inconnu, mais on peut facilement trouver les coordonnées des vecteurs et ensuite utiliser la première formule. Puisque les origines des deux vecteurs coïncident avec l'origine des coordonnées, les coordonnées de ces vecteurs sont égales aux coordonnées de leurs extrémités, c'est-à-dire

Comment trouver les coordonnées d'un vecteur est décrit dans.

On calcule :

Réponse : 40

Trouvons les coordonnées des vecteurs et utilisons la formule :

Pour trouver les coordonnées d'un vecteur, il faut soustraire les coordonnées correspondantes de son début des coordonnées de la fin du vecteur, ce qui signifie

On calcule le produit scalaire :

Réponse : 40

Trouvez l'angle entre les vecteurs a et b. Donnez votre réponse en degrés.

Soit les coordonnées des vecteurs sous la forme :

Pour trouver l'angle entre les vecteurs, nous utilisons la formule du produit scalaire des vecteurs :

Cosinus de l'angle entre vecteurs :

Ainsi:

Les coordonnées de ces vecteurs sont égales :

Remplaçons-les dans la formule :

L'angle entre les vecteurs est de 45 degrés.

Réponse : 45

Angle entre deux vecteurs , :

Si l'angle entre deux vecteurs est aigu, alors leur produit scalaire est positif ; si l'angle entre les vecteurs est obtus, alors le produit scalaire de ces vecteurs est négatif. Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls est égal à zéro si et seulement si ces vecteurs sont orthogonaux.

Exercice. Trouver l'angle entre les vecteurs et

Solution. Cosinus de l'angle souhaité

16. Calcul de l'angle entre les droites, la droite et le plan

Angle entre une droite et un plan, coupant cette ligne et non perpendiculaire à elle, est l'angle entre la ligne et sa projection sur ce plan.

Déterminer l'angle entre une droite et un plan permet de conclure que l'angle entre une droite et un plan est l'angle entre deux droites sécantes : la droite elle-même et sa projection sur le plan. L’angle entre une droite et un plan est donc un angle aigu.

L'angle entre une droite perpendiculaire et un plan est considéré comme égal à , et l'angle entre une droite parallèle et un plan est soit non déterminé du tout, soit considéré comme égal à .

§ 69. Calcul de l'angle entre droites.

Le problème du calcul de l'angle entre deux droites dans l'espace est résolu de la même manière que dans un plan (§ 32). Notons par φ la grandeur de l'angle entre les droites je 1 et je 2, et via ψ - la grandeur de l'angle entre les vecteurs directeurs UN Et b ces lignes droites.

Puis si

ψ 90° (Fig. 206.6), alors φ = 180° - ψ. Évidemment, dans les deux cas, l’égalité cos φ = |cos ψ| est vraie. Par formule (1) § 20 on a

ainsi,

Soit les droites données par leurs équations canoniques

Ensuite, l'angle φ entre les lignes est déterminé à l'aide de la formule

Si l'une des lignes (ou les deux) est donnée par des équations non canoniques, alors pour calculer l'angle, vous devez trouver les coordonnées des vecteurs directeurs de ces lignes, puis utiliser la formule (1).

17. Lignes parallèles, Théorèmes sur les lignes parallèles

Définition. Deux droites dans un plan s'appellent parallèle, s'ils n'ont pas de points communs.

Deux lignes dans un espace tridimensionnel sont appelées parallèle, s'ils se trouvent dans le même plan et n'ont pas de points communs.

L'angle entre deux vecteurs.

D'après la définition du produit scalaire :

.

Condition d'orthogonalité de deux vecteurs:

Condition de colinéarité de deux vecteurs :

.

Cela découle de la définition 5- . En effet, de la définition du produit d'un vecteur et d'un nombre, il découle. Par conséquent, en nous basant sur la règle d’égalité des vecteurs, nous écrivons , , , ce qui implique . Mais le vecteur résultant de la multiplication du vecteur par le nombre est colinéaire au vecteur.

Projection de vecteur sur vecteur :

.

Exemple 4. Compte tenu des points , , , .

Trouvez le produit scalaire.

Solution. on trouve en utilisant la formule du produit scalaire des vecteurs spécifiés par leurs coordonnées. Parce que le

, ,

Exemple 5. Compte tenu des points , , , .

Trouvez la projection.

Solution. Parce que le

, ,

Sur la base de la formule de projection, nous avons

.

Exemple 6. Compte tenu des points , , , .

Trouvez l'angle entre les vecteurs et .

Solution. Notez que les vecteurs

, ,

ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles :

.

Ces vecteurs ne sont pas non plus perpendiculaires, puisque leur produit scalaire est .

Allons trouver

Coin on trouve à partir de la formule :

.

Exemple 7. Déterminer à quels vecteurs et colinéaire.

Solution. En cas de colinéarité, les coordonnées correspondantes des vecteurs et doit être proportionnel, c'est-à-dire :

.

D'où et.

Exemple 8. Déterminer à quelle valeur du vecteur Et perpendiculaire.

Solution. Vecteur et sont perpendiculaires si leur produit scalaire est nul. De cette condition on obtient : . C'est, .

Exemple 9. Trouver , Si , , .

Solution. Grâce aux propriétés du produit scalaire, on a :

Exemple 10. Trouver l'angle entre les vecteurs et , où et - vecteurs unitaires et l'angle entre les vecteurs et est égal à 120°.

Solution. Nous avons: , ,

Finalement nous avons : .

5B. Oeuvre vectorielle.

Définition 21.Oeuvre vectorielle vecteur par vecteur est appelé vecteur, ou, défini par les trois conditions suivantes :

1) Le module du vecteur est égal à , où est l'angle entre les vecteurs et , c'est-à-dire .

Il s'ensuit que le module du produit vectoriel est numériquement égal à l'aire d'un parallélogramme construit sur les vecteurs et les deux côtés.

2) Le vecteur est perpendiculaire à chacun des vecteurs et ( ; ), c'est-à-dire perpendiculaire au plan d'un parallélogramme construit sur les vecteurs et .

3) Le vecteur est dirigé de telle manière que, vu de son extrémité, le tour le plus court d'un vecteur à l'autre se ferait dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (les vecteurs , , forment un triplet droitier).

Comment calculer les angles entre vecteurs ?

Lors de l'étude de la géométrie, de nombreuses questions se posent au sujet des vecteurs. L'élève éprouve des difficultés particulières lorsqu'il s'agit de trouver les angles entre vecteurs.

Termes de base

Avant d’examiner les angles entre vecteurs, vous devez vous familiariser avec la définition d’un vecteur et le concept d’angle entre vecteurs.

Un vecteur est un segment qui a une direction, c'est-à-dire un segment pour lequel son début et sa fin sont définis.

L'angle entre deux vecteurs sur un plan qui ont une origine commune est le plus petit des angles de la quantité dont l'un des vecteurs doit être déplacé autour du point commun jusqu'à ce que leurs directions coïncident.

Formule de solution

Une fois que vous avez compris ce qu'est un vecteur et comment son angle est déterminé, vous pouvez calculer l'angle entre les vecteurs. La formule de solution pour cela est assez simple et le résultat de son application sera la valeur du cosinus de l'angle. Selon la définition, il est égal au quotient du produit scalaire des vecteurs et du produit de leurs longueurs.

Le produit scalaire des vecteurs est calculé comme la somme des coordonnées correspondantes des vecteurs facteurs multipliées les unes par les autres. La longueur d'un vecteur, ou son module, est calculée comme la racine carrée de la somme des carrés de ses coordonnées.

Après avoir reçu la valeur du cosinus de l'angle, vous pouvez calculer la valeur de l'angle lui-même à l'aide d'une calculatrice ou d'une table trigonométrique.

Exemple

Une fois que vous aurez compris comment calculer l'angle entre les vecteurs, résoudre le problème correspondant deviendra simple et clair. À titre d'exemple, il convient de considérer le problème simple de trouver la valeur d'un angle.

Tout d'abord, il sera plus pratique de calculer les valeurs des longueurs de vecteurs et leur produit scalaire nécessaires à la solution. En utilisant la description présentée ci-dessus, nous obtenons :

En substituant les valeurs obtenues dans la formule, nous calculons la valeur du cosinus de l'angle souhaité :

Ce nombre ne fait pas partie des cinq valeurs communes du cosinus, donc pour obtenir l'angle, vous devrez utiliser une calculatrice ou la table trigonométrique de Bradis. Mais avant d’obtenir l’angle entre les vecteurs, la formule peut être simplifiée pour supprimer le signe négatif supplémentaire :

Pour maintenir la précision, la réponse finale peut être laissée telle quelle, ou vous pouvez calculer la valeur de l'angle en degrés. Selon le tableau Bradis, sa valeur sera d'environ 116 degrés et 70 minutes, et la calculatrice affichera une valeur de 116,57 degrés.

Calculer un angle dans un espace à n dimensions

Lorsqu’on considère deux vecteurs dans un espace tridimensionnel, il est beaucoup plus difficile de comprendre de quel angle on parle s’ils ne se trouvent pas dans le même plan. Pour simplifier la perception, vous pouvez dessiner deux segments sécants qui forment entre eux le plus petit angle, ce sera celui souhaité. Même s’il existe une troisième coordonnée dans le vecteur, le processus de calcul des angles entre les vecteurs ne changera pas. Calculer le produit scalaire et les modules des vecteurs ; l'arc cosinus de leur quotient sera la réponse à ce problème.

En géométrie, les espaces qui ont plus de trois dimensions posent souvent des problèmes. Mais pour eux, l’algorithme permettant de trouver la réponse semble similaire.

Différence entre 0 et 180 degrés

L'une des erreurs courantes lors de la rédaction d'une réponse à un problème conçu pour calculer l'angle entre des vecteurs est la décision d'écrire que les vecteurs sont parallèles, c'est-à-dire que l'angle souhaité est égal à 0 ou 180 degrés. Cette réponse est incorrecte.

Ayant reçu la valeur d'angle de 0 degré à la suite de la solution, la bonne réponse serait de désigner les vecteurs comme codirectionnels, c'est-à-dire que les vecteurs auront la même direction. Si 180 degrés sont obtenus, les vecteurs seront dirigés de manière opposée.

Vecteurs spécifiques

Après avoir trouvé les angles entre les vecteurs, vous pouvez trouver l'un des types spéciaux, en plus des types codirectionnels et opposés décrits ci-dessus.

• Plusieurs vecteurs parallèles à un même plan sont dits coplanaires.
• Les vecteurs de même longueur et de même direction sont appelés égaux.
• Les vecteurs qui se trouvent sur la même ligne droite, quelle que soit leur direction, sont appelés colinéaires.
• Si la longueur d'un vecteur est nulle, c'est-à-dire que son début et sa fin coïncident, alors il est appelé zéro, et s'il est un, alors unité.

Comment trouver l’angle entre les vecteurs ?

aidez-moi s'il vous plaît ! Je connais la formule, mais je ne peux pas la calculer ((
vecteur a (8 ; 10 ; 4) vecteur b (5 ; -20 ; -10)

Alexandre Titov

L'angle entre les vecteurs spécifiés par leurs coordonnées est trouvé à l'aide d'un algorithme standard. Vous devez d'abord trouver le produit scalaire des vecteurs a et b : (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Nous substituons ici les coordonnées de ces vecteurs et calculons :
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Ensuite, nous déterminons les longueurs de chaque vecteur. La longueur ou module d'un vecteur est la racine carrée de la somme des carrés de ses coordonnées :
|une| = racine de (x1^2 + y1^2 + z1^2) = racine de (8^2 + 10^2 + 4^2) = racine de (64 + 100 + 16) = racine de 180 = 6 racines de 5
|b| = racine de (x2^2 + y2^2 + z2^2) = racine de (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = racine de (25 + 400 + 100) = racine sur 525 = 5 racines sur 21.
On multiplie ces longueurs. On obtient 30 racines sur 105.
Et enfin, on divise le produit scalaire des vecteurs par le produit des longueurs de ces vecteurs. On obtient -200/(30 racines de 105) ou
- (4 racines de 105) / 63. C'est le cosinus de l'angle entre les vecteurs. Et l'angle lui-même est égal à l'arc cosinus de ce nombre
f = arccos(-4 racines de 105) / 63.
Si j'avais tout compté correctement.

Comment calculer le sinus de l'angle entre les vecteurs en utilisant les coordonnées des vecteurs

Mikhaïl Tkatchev

Multiplions ces vecteurs. Leur produit scalaire est égal au produit des longueurs de ces vecteurs et du cosinus de l'angle qui les sépare.
L'angle nous est inconnu, mais les coordonnées sont connues.
Écrivons-le mathématiquement comme ceci.
Soit les vecteurs a(x1;y1) et b(x2;y2)
Alors

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Parlons.
a*b-produit scalaire des vecteurs est égal à la somme des produits des coordonnées correspondantes des coordonnées de ces vecteurs, c'est-à-dire égal à x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-produit des longueurs vectorielles est égal à √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Cela signifie que le cosinus de l'angle entre les vecteurs est égal à :

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Connaissant le cosinus d’un angle, on peut calculer son sinus. Voyons comment procéder :

Si le cosinus d'un angle est positif, alors cet angle se situe dans 1 ou 4 quadrants, ce qui signifie que son sinus est soit positif, soit négatif. Mais puisque l'angle entre les vecteurs est inférieur ou égal à 180 degrés, alors son sinus est positif. On raisonne de la même manière si le cosinus est négatif.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

C'est tout)))) bonne chance pour le comprendre)))

Dmitri Levichtchev

Le fait qu’il soit impossible de sinus directement n’est pas vrai.
En plus de la formule :
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Il y a aussi celui-ci :
||=|a|*|b|*péché A
Autrement dit, au lieu du produit scalaire, vous pouvez prendre le module du produit vectoriel.

Sections: Mathématiques

Type de cours : apprentissage de nouvelles matières.

Tâches pédagogiques :

– dériver une formule pour calculer l'angle entre deux vecteurs ;

– continuer à développer des compétences dans l’application de vecteurs à la résolution de problèmes ;

– continuer à développer son intérêt pour les mathématiques à travers la résolution de problèmes ;

– cultiver une attitude consciente envers le processus d'apprentissage, inculquer un sentiment de responsabilité quant à la qualité des connaissances, exercer la maîtrise de soi sur le processus de résolution et de conception des exercices.

Assurer des cours :

– tableau « Vecteurs dans le plan et dans l'espace » ;

– des fiches de tâches pour les interrogatoires individuels ;

– des fiches de tâches pour les travaux de test ;

- des microcalculateurs.

L'étudiant doit savoir :

– formule pour calculer l'angle entre les vecteurs.

L'étudiant doit être capable de :

– appliquer les connaissances acquises à la résolution de problèmes analytiques, géométriques et appliqués.

Motivation de l'activité cognitive des étudiants.

L'enseignant rapporte qu'aujourd'hui, en classe, les élèves apprendront à calculer l'angle entre les vecteurs et à appliquer les connaissances acquises pour résoudre des problèmes de mécanique technique et de physique. La plupart des problèmes de la discipline « Mécanique technique » sont résolus par la méthode vectorielle. Ainsi, lors de l'étude du thème « Système plan de forces convergentes », « Trouver la résultante de deux forces », la formule de calcul de l'angle entre deux vecteurs est utilisée.

Déroulement de la leçon.

I. Moment organisationnel.

II. Vérification des devoirs.

a) Enquête individuelle à l'aide de cartes.

Carte 1.

1. Écrivez les propriétés de l’addition de deux vecteurs.

2. A quelle valeur m vecteurs et seront-ils colinéaires ?

Carte 2.

1. Qu'appelle-t-on le produit d'un vecteur et d'un nombre ?

2. Les vecteurs et ?

Carte 3.

1. Formuler la définition du produit scalaire de deux vecteurs.

2. A quelle valeur de la longueur des vecteurs et seront-ils égaux ?

Carte 4.

1. Écrivez les formules pour calculer les coordonnées vectorielles et la longueur du vecteur ?

2. Les vecteurs et ?

b) Questions pour l'enquête frontale :

1. Quelles actions peuvent être effectuées sur les vecteurs étant donné leurs coordonnées ?
2. Quels vecteurs sont appelés colinéaires ?
3. Condition de colinéarité de deux vecteurs non nuls ?
4. Déterminer l'angle entre les vecteurs ?
5. Définition du produit scalaire de deux vecteurs non nuls ?
6. Condition nécessaire et suffisante pour que deux vecteurs soient perpendiculaires ?
7. Quelle est la signification physique du produit scalaire de deux vecteurs ?
8. Notez les formules pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs par leurs coordonnées dans le plan et dans l'espace.
9. Notez les formules pour calculer la longueur d'un vecteur dans le plan et dans l'espace.

III. Apprendre du nouveau matériel.

a) Dérivons une formule pour calculer l'angle entre les vecteurs dans le plan et dans l'espace. Par définition du produit scalaire de deux vecteurs non nuls :

parce que

Donc si et alors

le cosinus de l'angle entre vecteurs non nuls et est égal au produit scalaire de ces vecteurs divisé par le produit de leurs longueurs. Si les vecteurs sont spécifiés dans un système de coordonnées cartésiennes rectangulaires sur un plan, alors le cosinus de l'angle entre eux est calculé par la formule :

= (x 1 ; oui 1); = (x 2 ; y 2)

cos =

Dans l'espace : = (x 1 ; y 1 ; z 1) ; = (x 2 ; y 2 ​​​​​​; z 2)

cos =

Résoudre des problèmes:

Tache 1: Trouvez l'angle entre les vecteurs = (1; -2), = (-3; 1).

Arccos = 135°

Tâche 2 : Dans le triangle ABC, trouvez la taille de l'angle B si

A (0 ; 5 ; 0), B (4 ; 3 ; -8), C (-1 ; -3 ; -6).

cos = =

Tâche 3 : Trouver l'angle entre les vecteurs et si A (1 ; 6),

B (1 ; 0), C (-2 ; 3).

cos = = = –

IV. Application des connaissances à la résolution de problèmes typiques.

TÂCHES D'UN CARACTÈRE ANALYTIQUE.

Déterminer l'angle entre les vecteurs et si A (1; -3; -4),

B (-1 ; 0 ; 2), C (2 ; -4 ; -6), D (1 ; 1 ; 1).

Trouver le produit scalaire des vecteurs si , = 30°.

A quelles valeurs des longueurs vectorielles et seront-ils égaux ?

Calculer l'angle entre les vecteurs et

Calculer l'aire d'un parallélogramme construit à l'aide de vecteurs

Et .

TÂCHES APPLIQUÉES

Trouver la résultante de deux forces 1 et 2, si = 5H ; = 7H, angle entre eux = 60°.

° + .

Calculer le travail effectué par force = (6 ; 2), si son point d'application, se déplaçant rectilignement, passe de la position A (-1 ; 3) à la position B (3 ; 4).

Soit la vitesse du point matériel et soit la force agissant sur lui. Quelle est la puissance développée par la force si = 5H, = 3,5 m/s ;

VI. Résumer la leçon.

VII. Devoirs:

G.N. Yakovlev, Géométrie, §22, paragraphe 3, p.

N° 5.22, n° 5.27, p.