افزایش قدرت به قدرتی با توان منفی. چگونه یک عدد را به توان منفی برسانیم - مثال هایی با توضیحات در اکسل

فرمول های مدرکدر فرآیند کاهش و ساده سازی عبارات پیچیده، در حل معادلات و نابرابری ها استفاده می شود.

عدد جاست n-ام قدرت یک عدد آچه زمانی:

عملیات با درجه.

1. با ضرب درجات در پایه یکسان، شاخص های آنها جمع می شود:

صبح·a n = a m + n .

2. هنگام تقسیم درجه با پایه یکسان، توان آنها کم می شود:

3. درجه حاصلضرب 2 یا چند عامل برابر است با حاصل ضرب درجات این عوامل:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. درجه کسری برابر است با نسبت درجات سود تقسیمی و مقسوم:

(a/b) n = a n /b n .

5. با افزایش توان به توان، نماها ضرب می شوند:

(a m) n = a m n .

هر فرمول بالا در جهت های چپ به راست و بالعکس صادق است.

مثلا. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

عملیات با ریشه

1. ریشه حاصلضرب چند عامل برابر است با حاصل ضرب ریشه این عوامل:

2. ریشه یک نسبت برابر است با نسبت سود و مقسوم علیه ریشه:

3. هنگام بالا بردن ریشه به توان کافی است عدد رادیکال را به این توان برسانید:

4. اگر درجه ریشه در را افزایش دهید nیک بار و در همان زمان ساخت به nتوان th یک عدد رادیکال است، سپس مقدار ریشه تغییر نخواهد کرد:

5. اگر درجه ریشه در را کاهش دهید nریشه را همزمان استخراج کنید n-ام توان یک عدد رادیکال، آنگاه مقدار ریشه تغییر نخواهد کرد:

درجه ای با ضریب منفی.توان یک عدد معین با یک نما غیر مثبت (عدد صحیح) به صورت تقسیم بر توان همان عدد با توانی برابر با قدر مطلق نمایی غیر مثبت تعریف می شود:

فرمول صبح:a n =a m - nرا می توان نه تنها برای متر> n، بلکه با متر< n.

مثلا. آ4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

به فرمول صبح:a n =a m - nزمانی عادلانه شد m=n، وجود درجه صفر الزامی است.

مدرک با شاخص صفر.توان هر عددی که مساوی صفر نباشد با توان صفر برابر با یک است.

مثلا. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

درجه با توان کسری.برای بالا بردن یک عدد واقعی آبه درجه m/n، باید ریشه را استخراج کنید nدرجه ام متر-ام قدرت این عدد آ.

بالا بردن توان منفی یکی از عناصر اساسی ریاضیات است و اغلب در حل مسائل جبری با آن مواجه می‌شویم. در زیر دستورالعمل های دقیق آمده است.

چگونه به یک قدرت منفی برسیم - نظریه

وقتی عددی را به توان معمولی برسانیم، مقدار آن را چندین برابر می کنیم. به عنوان مثال، 3 3 = 3×3×3 = 27. با کسر منفی برعکس آن صادق است. شکل کلی فرمول به صورت زیر خواهد بود: a -n = 1/a n. بنابراین، برای افزایش یک عدد به توان منفی، باید یک را بر عدد داده شده تقسیم کنید، اما به توان مثبت.

چگونه به توان منفی برسیم - مثال هایی روی اعداد معمولی

با در نظر گرفتن قانون فوق، اجازه دهید چند مثال را حل کنیم.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
جواب: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
پاسخ -4 -2 = 1/16.

اما چرا پاسخ های مثال اول و دوم یکسان است؟ واقعیت این است که وقتی یک عدد منفی به توان زوج (2، 4، 6 و غیره) می‌رسد، علامت مثبت می‌شود. اگر درجه زوج بود، منفی باقی می ماند:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

چگونه اعداد را از 0 به 1 به توان منفی برسانیم

به یاد بیاورید که وقتی عددی بین 0 و 1 به توان مثبت افزایش می یابد، با افزایش توان، مقدار کاهش می یابد. به عنوان مثال، 0.5 2 = 0.25. 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

مثال 3: 0.5 -2 را محاسبه کنید
راه حل: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
پاسخ: 0.5 -2 = 4

تجزیه و تحلیل (توالی اقدامات):

• کسر اعشاری 0.5 را به کسر کسری 1/2 تبدیل کنید. اینجوری راحت تره
  1/2 را به توان منفی برسانید. 1/(2) -2. 1 را بر 1/(2) 2 تقسیم کنید، 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4 بدست می آید

مثال 4: 0.5 -3 را محاسبه کنید
راه حل: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

مثال 5: -0.5 -3 را محاسبه کنید
راه حل: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
پاسخ: -0.5 -3 = -8

بر اساس مثال های چهارم و پنجم، می توان چندین نتیجه گرفت:

• برای یک عدد مثبت در محدوده 0 تا 1 (مثال 4) که به توان منفی افزایش یافته است، زوج یا فرد بودن توان آن مهم نیست، مقدار عبارت مثبت خواهد بود. علاوه بر این، هر چه درجه بیشتر باشد، ارزش بیشتری دارد.
• برای یک عدد منفی در محدوده 0 تا 1 (مثال 5) که به توان منفی افزایش یافته است، زوج یا فرد بودن توان آن مهم نیست، مقدار عبارت منفی خواهد بود. در این حالت، هر چه درجه بالاتر باشد، مقدار آن کمتر است.

چگونه به توان منفی برسیم - توانی به شکل یک عدد کسری

عبارات این نوع شکل زیر را دارند: a -m/n که a یک عدد منظم است، m صورت‌گر درجه، n مخرج درجه است.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:
محاسبه کنید: 8 -1/3

راه حل (توالی اقدامات):

• بیایید قانون افزایش یک عدد به توان منفی را به خاطر بسپاریم. دریافت می کنیم: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• توجه کنید که مخرج عدد 8 را در توان کسری دارد. شکل کلی محاسبه توان کسری به شرح زیر است: a m/n = n √8 m.
• بنابراین، 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). ریشه مکعب هشت را می گیریم که برابر با 2 است. از اینجا 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2 است.
• پاسخ: 8 -1/3 = 2

بدیهی است که اعداد دارای توان را می توان مانند مقادیر دیگر اضافه کرد ، با اضافه کردن آنها یکی پس از دیگری با نشانه هایشان.

بنابراین، مجموع a 3 و b 2 یک 3 + b 2 است.
مجموع a 3 - b n و h 5 -d 4 a 3 - b n + h 5 - d 4 است.

شانس قدرت برابر متغیرهای یکسانرا می توان اضافه یا کم کرد.

پس مجموع 2a 2 و 3a 2 برابر با 5a 2 است.

همچنین واضح است که اگر دو مربع a یا سه مربع a یا پنج مربع a بگیرید.

اما درجات متغیرهای مختلفو درجات مختلف متغیرهای یکسان، باید با اضافه کردن آنها با علائم آنها ترکیب شود.

بنابراین، مجموع 2 و 3 حاصل جمع 2 + a 3 است.

بدیهی است که مربع a و مکعب a برابر با دو برابر مربع a نیست، بلکه برابر با دو برابر مکعب a است.

مجموع a 3 b n و 3a 5 b 6 a 3 b n + 3a 5 b 6 است.

منها کردنقدرت‌ها به همان روش جمع انجام می‌شوند، با این تفاوت که علائم فرعی باید بر این اساس تغییر کند.

یا:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

ضرب قدرت

اعداد دارای توان را می توان مانند سایر کمیت ها با نوشتن پشت سر هم با علامت ضرب یا بدون علامت ضرب کرد.

بنابراین، حاصل ضرب a 3 در b 2 a 3 b 2 یا aaabb است.

یا:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

نتیجه در مثال آخر را می توان با اضافه کردن متغیرهای یکسان مرتب کرد.
این عبارت به شکل a 5 b 5 y 3 خواهد بود.

با مقایسه چندین عدد (متغیر) با توان ها، می بینیم که اگر هر دو از آنها ضرب شوند، نتیجه یک عدد (متغیر) با توانی برابر با میزاندرجات اصطلاحات

بنابراین، a 2.a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.

در اینجا 5 توان حاصل ضرب است، برابر با 2 + 3، مجموع توان های جمله ها.

بنابراین، a n .a m = a m+n.

برای a n، a به عنوان ضریب به اندازه توان n در نظر گرفته می شود.

و m به تعداد دفعاتی که درجه m برابر است به عنوان ضریب در نظر گرفته می شود.

از همین رو، توان های با پایه های یکسان را می توان با جمع توان های توان ها ضرب کرد.

بنابراین، a 2.a 6 = a 2+6 = a 8. و x 3.x 2.x = x 3+2+1 = x 6.

یا:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

ضرب (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
پاسخ: x 4 - y 4.
ضرب (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

این قاعده برای اعدادی که توان آنها هستند نیز صادق است منفی.

1. بنابراین، a -2 .a -3 = a -5. این را می توان به صورت (1/aa) نوشت.(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m.

3. a -n .a m = a m-n.

اگر a + b در a - b ضرب شود، نتیجه a 2 - b 2 خواهد بود: یعنی

حاصل ضرب مجموع یا تفاضل دو عدد برابر است با مجموع یا اختلاف مجذورهای آنها.

اگر مجموع و تفاضل دو عدد افزایش یافته را در ضرب کنید مربع، نتیجه برابر با مجموع یا اختلاف این اعداد در خواهد بود چهارمدرجه.

بنابراین، (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

تقسیم درجات

اعداد دارای توان را می توان مانند سایر اعداد با تفریق از سود تقسیمی یا با قرار دادن آنها به صورت کسری تقسیم کرد.

بنابراین، a 3 b 2 تقسیم بر b 2 برابر با a 3 است.

یا:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

نوشتن 5 تقسیم بر 3 شبیه $\frac(a^5)(a^3)$ است. اما این برابر با 2 است. در یک سری اعداد
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
هر عددی را می توان بر عدد دیگری تقسیم کرد و توان آن برابر خواهد بود تفاوتشاخص های اعداد بخش پذیر

هنگام تقسیم درجه با پایه یکسان، توان آنها کم می شود..

بنابراین، y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. یعنی $\frac(yyy)(yy) = y$.

و a n+1:a = a n+1-1 = a n. یعنی $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

یا:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b +y) n-3

این قانون برای اعداد با نیز صادق است منفیمقادیر درجه
حاصل تقسیم 5- بر 3 -2 می شود.
همچنین، $\frac(1)(aaaa): \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1) (aa) $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 یا $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

لازم است که ضرب و تقسیم توان ها را به خوبی تسلط داشت، زیرا چنین عملیاتی در جبر بسیار استفاده می شود.

نمونه هایی از حل مثال با کسرهای حاوی اعداد با توان

1. نماها را با $\frac(5a^4)(3a^2)$ کاهش دهید پاسخ: $\frac(5a^2)(3)$.

2. نماها را با $\frac(6x^6)(3x^5)$ کاهش دهید. پاسخ: $\frac(2x)(1)$ یا 2x.

3. توان های a 2 /a 3 و a -3 /a -4 را کاهش دهید و به یک مخرج مشترک بیاورید.
a 2 .a -4 عدد اول -2 است.
a 3 .a -3 یک عدد 0 = 1، دومین عدد است.
a 3 .a -4 یک -1 است، عدد مشترک.
پس از ساده سازی: a -2 /a -1 و 1/a -1 .

4. توان 2a 4 /5a 3 و 2 /a 4 را کاهش دهید و به یک مخرج مشترک بیاورید.
پاسخ: 2a 3 /5a 7 و 5a 5 /5a 7 یا 2a 3 /5a 2 و 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4 را در (a - b)/3 ضرب کنید.

6. (a 5 + 1)/x 2 را در (b 2 - 1)/(x + a) ضرب کنید.

7. b 4 /a -2 را در h -3 /x و a n /y -3 ضرب کنید.

8. 4 /y 3 را بر 3 /y 2 تقسیم کنید. پاسخ: یک

9. (h 3 - 1)/d 4 را بر (d n + 1)/h تقسیم کنید.

سطح اول

درجه و خواص آن راهنمای جامع (2019)

چرا مدرک لازم است؟ کجا به آنها نیاز خواهید داشت؟ چرا باید برای مطالعه آنها وقت بگذارید؟

برای یادگیری همه چیز در مورد مدارک تحصیلی، آنچه به آنها نیاز است و نحوه استفاده از دانش خود در زندگی روزمره، این مقاله را بخوانید.

و البته، دانش مدارک شما را به گذراندن موفقیت آمیز آزمون دولتی یکپارچه یا آزمون یکپارچه دولتی و ورود به دانشگاه رویاهایتان نزدیک می کند.

بیا بریم... (بریم!)

یادداشت مهم! اگر به جای فرمول ها gobbledygook را می بینید، حافظه پنهان خود را پاک کنید. برای انجام این کار، CTRL+F5 (در ویندوز) یا Cmd+R (در مک) را فشار دهید.

سطح اول

توان یک عملیات ریاضی مانند جمع، تفریق، ضرب یا تقسیم است.

اکنون همه چیز را با استفاده از مثال های بسیار ساده به زبان انسان توضیح خواهم داد. مراقب باش. مثال ها ابتدایی هستند، اما چیزهای مهم را توضیح می دهند.

بیایید با اضافه شروع کنیم.

اینجا چیزی برای توضیح نیست. شما از قبل همه چیز را می دانید: ما هشت نفر هستیم. هر کسی دو بطری کولا دارد. کولا چقدر است؟ درست است - 16 بطری.

حالا ضرب.

مثال مشابه با کولا را می توان متفاوت نوشت: . ریاضیدانان افرادی حیله گر و تنبل هستند. آنها ابتدا متوجه برخی الگوها می شوند و سپس راهی برای "شمارش" سریعتر آنها پیدا می کنند. در مورد ما، آنها متوجه شدند که هر یک از هشت نفر به همان تعداد بطری کولا دارند و تکنیکی به نام ضرب را ارائه کردند. موافقم، آسانتر و سریعتر از آن در نظر گرفته می شود.

بنابراین، برای شمارش سریع تر، آسان تر و بدون خطا، فقط باید به خاطر بسپارید جدول ضرب. البته، شما می توانید همه چیز را آهسته تر، سخت تر و با اشتباه انجام دهید! ولی…

اینجا جدول ضرب است. تکرار.

و یکی دیگر زیباتر:

ریاضیدانان تنبل چه ترفندهای هوشمندانه دیگری برای شمارش ارائه کرده اند؟ درست - افزایش یک عدد به توان.

افزایش یک عدد به توان

اگر لازم است یک عدد را در خودش پنج برابر ضرب کنید، ریاضیدانان می گویند که باید آن عدد را به توان پنجم برسانید. مثلا، . ریاضیدانان به یاد دارند که دو به توان پنجم ... و آنها چنین مشکلاتی را در سر خود حل می کنند - سریع تر، آسان تر و بدون اشتباه.

تنها کاری که باید انجام دهید این است آنچه را که در جدول قدرت اعداد با رنگ مشخص شده است به خاطر بسپارید. باور کنید این کار زندگی شما را بسیار آسان تر می کند.

راستی چرا بهش میگن درجه دو؟ مربعاعداد، و سوم - مکعب? چه مفهومی داره؟ سوال خیلی خوبیه حالا هم مربع و هم مکعب خواهید داشت.

مثال زندگی واقعی شماره 1

بیایید با مربع یا توان دوم عدد شروع کنیم.

یک استخر مربعی به ابعاد یک متر در یک متر را تصور کنید. استخر در خانه شما است. هوا گرم است و من واقعاً می خواهم شنا کنم. اما... استخر ته ندارد! باید کف استخر را با کاشی بپوشانید. چند تا کاشی نیاز دارید؟ برای تعیین این موضوع، باید قسمت پایین استخر را بدانید.

به سادگی می توانید با اشاره انگشت خود محاسبه کنید که کف استخر از مکعب های متر به متر تشکیل شده است. اگر کاشی یک متر در یک متر دارید، به قطعات نیاز دارید. آسان است... اما چنین کاشی هایی را کجا دیده اید؟ کاشی به احتمال زیاد سانتی متر در سانتی متر خواهد بود و سپس با "شمارش با انگشت خود" شکنجه خواهید شد. سپس شما باید ضرب کنید. بنابراین، در یک طرف کف استخر کاشی ها (تکه ها) و در طرف دیگر نیز کاشی ها قرار می دهیم. ضرب در و شما کاشی ().

آیا توجه کرده اید که برای تعیین مساحت کف استخر همان عدد را در خودش ضرب کردیم؟ چه مفهومی داره؟ از آنجایی که عدد مشابهی را ضرب می کنیم، می توانیم از تکنیک "توان سازی" استفاده کنیم. (البته وقتی فقط دو عدد دارید، باز هم باید آنها را ضرب کنید یا به توان برسانید. اما اگر تعداد آنها زیاد باشد، افزایش آنها به توان بسیار آسانتر است و همچنین خطاهای کمتری در محاسبات وجود دارد. برای آزمون یکپارچه دولتی، این بسیار مهم است).
بنابراین، سی به توان دوم () خواهد بود. یا می توان گفت که سی مربع خواهد بود. به عبارت دیگر، توان دوم یک عدد را همیشه می توان به صورت مربع نشان داد. و برعکس، اگر مربعی را دیدید، همیشه توان دوم فلان عدد است. مربع تصویری از توان دوم یک عدد است.

مثال زندگی واقعی شماره 2

در اینجا یک کار برای شما وجود دارد: با استفاده از مربع عدد چند مربع روی صفحه شطرنج وجود دارد ... در یک طرف سلول ها و در طرف دیگر نیز. برای محاسبه تعداد آنها باید هشت را در هشت ضرب کنید یا ... اگر متوجه شدید که یک صفحه شطرنج یک مربع با یک ضلع است، می توانید هشت را مربع کنید. سلول ها را دریافت خواهید کرد. () بنابراین؟

مثال زندگی واقعی شماره 3

حالا مکعب یا توان سوم یک عدد. همون استخر اما اکنون باید دریابید که چقدر آب باید در این استخر ریخته شود. شما باید حجم را محاسبه کنید. (حجم ها و مایعات، اتفاقاً با متر مکعب اندازه گیری می شوند. غیرمنتظره، درست است؟) یک استخر بکشید: اندازه کف آن یک متر و عمق آن یک متر است و سعی کنید تعداد مکعب هایی را که یک متر در متر اندازه گیری می کنند، بشمارید. در استخر شما قرار بگیرد

فقط انگشت خود را نشان دهید و بشمارید! یک، دو، سه، چهار...بیست و دو، بیست و سه...چند گرفتی؟ گم نشده؟ آیا شمردن با انگشت سخت است؟ به طوری که! از ریاضیدانان مثال بزنید. آنها تنبل هستند، بنابراین متوجه شدند که برای محاسبه حجم استخر، باید طول، عرض و ارتفاع آن را در یکدیگر ضرب کنید. در مورد ما حجم استخر برابر با مکعب خواهد بود... راحت تر، درسته؟

حالا تصور کنید که ریاضیدانان چقدر تنبل و حیله گر هستند اگر این را هم ساده کنند. همه چیز را به یک اقدام تقلیل دادیم. آنها متوجه شدند که طول و عرض و ارتفاع برابر است و همان عدد در خودش ضرب می شود ... این یعنی چه؟ این بدان معنی است که شما می توانید از مزایای مدرک استفاده کنید. بنابراین، آنچه را که یک بار با انگشت خود می شمردید، آنها در یک عمل انجام می دهند: سه مکعب برابر است. اینگونه نوشته شده است: .

تنها چیزی که باقی می ماند این است جدول درجات را به خاطر بسپار. مگر اینکه شما به اندازه ریاضیدانان تنبل و حیله گر باشید. اگر دوست دارید سخت کار کنید و اشتباه کنید، می توانید به شمارش با انگشت خود ادامه دهید.

خوب، برای اینکه در نهایت شما را متقاعد کنم که مدرک تحصیلی توسط افراد حیله گر و ترک اختراع شده است تا مشکلات زندگی خود را حل کنند و نه برای ایجاد مشکل، در اینجا چند نمونه دیگر از زندگی آورده شده است.

مثال زندگی واقعی شماره 4

شما یک میلیون روبل دارید. در ابتدای هر سال، به ازای هر میلیونی که بسازید، یک میلیون دیگر به دست می آورید. یعنی هر میلیون شما در ابتدای هر سال دو برابر می شود. چند سال دیگر چقدر پول خواهید داشت؟ اگر الان نشسته‌اید و «با انگشتتان می‌شمارید»، پس آدم بسیار سخت‌کوشی و... احمقی هستید. اما به احتمال زیاد در عرض چند ثانیه جواب می دهید، زیرا شما باهوش هستید! پس در سال اول - دو ضرب در دو ... در سال دوم - چه شد، در دو دیگر، در سال سوم ... بس کنید! متوجه شدید که این عدد در خودش ضرب می شود. پس دو تا توان پنجم یک میلیون است! حالا تصور کنید که یک مسابقه دارید و کسی که سریع‌ترین تعداد را می‌تواند بشمارد این میلیون‌ها را به دست می‌آورد... ارزش این را دارد که قدرت اعداد را به خاطر بسپارید، فکر نمی‌کنید؟

مثال زندگی واقعی شماره 5

شما یک میلیون دارید. در ابتدای هر سال، به ازای هر میلیونی که به دست می آورید، دو نفر دیگر درآمد کسب می کنید. عالی نیست؟ هر میلیون سه برابر می شود. در یک سال چقدر پول خواهید داشت؟ بیا بشماریم. سال اول - ضرب در، سپس نتیجه در دیگری... این در حال حاضر خسته کننده است، زیرا شما قبلاً همه چیز را فهمیده اید: سه در خودش ضرب می شود. پس به توان چهارم برابر با یک میلیون است. فقط باید به یاد داشته باشید که توان سه به چهارم یا است.

اکنون می دانید که با افزایش یک عدد به یک قدرت، زندگی خود را بسیار آسان تر خواهید کرد. بیایید نگاهی بیشتر به کارهایی که می توانید با مدرک انجام دهید و آنچه باید در مورد آنها بدانید بیاندازیم.

اصطلاحات و مفاهیم ... تا دچار سردرگمی نشوید

بنابراین، ابتدا اجازه دهید مفاهیم را تعریف کنیم. شما چی فکر میکنید، نما چیست? این بسیار ساده است - این عددی است که "در بالای" قدرت عدد است. علمی نیست، اما واضح و به راحتی قابل یادآوری است...

خوب، در همان زمان، چه چنین پایه مدرک? حتی ساده تر - این عددی است که در زیر، در پایه قرار دارد.

در اینجا یک نقاشی برای اندازه گیری خوب است.

خوب به طور کلی برای تعمیم و به خاطر سپردن بهتر... یک درجه با پایه ” ” و یک توان ” ” به درجه خوانده می شود و نوشته می شود. به روش زیر:

توان یک عدد با توان طبیعی

احتمالاً قبلاً حدس زده اید: زیرا توان یک عدد طبیعی است. بله، اما آن چیست عدد طبیعی? ابتدایی! اعداد طبیعی آن دسته از اعدادی هستند که هنگام فهرست کردن اشیا در شمارش استفاده می‌شوند: یک، دو، سه... وقتی اشیاء را می‌شماریم، نمی‌گوییم: منهای پنج، منهای شش، منهای هفت. همچنین نمی گوییم: «یک سوم» یا «نقطه صفر پنج». اینها اعداد طبیعی نیستند. به نظر شما اینها چه اعدادی هستند؟

اعدادی مانند «منهای پنج»، «منهای شش»، «منهای هفت» اشاره دارند تمام اعداد.به طور کلی، اعداد صحیح شامل همه اعداد طبیعی، اعداد مخالف اعداد طبیعی (یعنی با علامت منفی گرفته شده) و عدد هستند. درک صفر آسان است - زمانی است که هیچ چیز وجود ندارد. اعداد منفی ("منهای") به چه معناست؟ اما آنها در درجه اول برای نشان دادن بدهی ها اختراع شده اند: اگر موجودی تلفن خود را به روبل داشته باشید، به این معنی است که به روبل اپراتور بدهکار هستید.

همه کسرها اعداد گویا هستند. به نظر شما چگونه به وجود آمدند؟ بسیار ساده. چندین هزار سال پیش، اجداد ما کشف کردند که فاقد اعداد طبیعی برای اندازه گیری طول، وزن، مساحت و غیره هستند. و به این نتیجه رسیدند اعداد گویا... جالبه، نه؟

اعداد غیر منطقی نیز وجود دارد. این اعداد چیست؟ به طور خلاصه، این یک کسر اعشاری نامتناهی است. به عنوان مثال، اگر محیط یک دایره را بر قطر آن تقسیم کنید، یک عدد غیر منطقی به دست می آید.

خلاصه:

اجازه دهید مفهوم درجه ای را تعریف کنیم که توان آن یک عدد طبیعی است (یعنی عدد صحیح و مثبت).

1. هر عدد به توان اول با خودش برابر است:
2. مربع کردن یک عدد یعنی ضرب آن در خودش:
3. مکعب کردن یک عدد به این معنی است که آن را در خودش سه برابر کنیم:

تعریف.افزایش یک عدد به توان طبیعی به معنای ضرب کردن عدد در خودش است:
.

خواص درجات

این خواص از کجا آمده است؟ الان بهت نشون میدم

بیایید ببینیم: چیست؟ و ?

الف مقدماتی:

در کل چند ضریب وجود دارد؟

خیلی ساده است: ما ضریب هایی را به فاکتورها اضافه کردیم و نتیجه چند برابر است.

اما طبق تعریف، این توان یک عدد با توان است، یعنی: که باید ثابت شود.

مثال: بیان را ساده کنید.

راه حل:

مثال:بیان را ساده کنید.

راه حل:توجه به این نکته ضروری است که در قاعده ما لزوماباید همین دلایل وجود داشته باشد!
بنابراین، ما قدرت ها را با پایه ترکیب می کنیم، اما یک عامل جداگانه باقی می ماند:

فقط برای محصول قدرت ها!

تحت هیچ شرایطی نمی توانید آن را بنویسید.

2. همین توان یک عدد

درست مانند ویژگی قبلی، اجازه دهید به تعریف درجه بپردازیم:

معلوم می شود که عبارت در خودش ضرب می شود، یعنی طبق تعریف، این توان دهم عدد است:

در اصل، این را می توان "درآوردن نشانگر از پرانتز" نامید. اما شما هرگز نمی توانید این کار را در کل انجام دهید:

بیایید فرمول های ضرب اختصاری را به یاد بیاوریم: چند بار می خواستیم بنویسیم؟

اما بالاخره این درست نیست.

قدرت با پایه منفی

تا اینجا ما فقط بحث کرده ایم که توان چه چیزی باید باشد.

اما مبنای چه چیزی باید باشد؟

در اختیارات شاخص طبیعیاساس ممکن است هر عددی. در واقع، ما می توانیم هر عددی را در یکدیگر ضرب کنیم، اعم از مثبت، منفی یا زوج.

بیایید فکر کنیم که کدام نشانه ها ("" یا "") دارای قدرت اعداد مثبت و منفی خواهند بود؟

مثلا عدد مثبت است یا منفی؟ آ؟ ? با اولی همه چیز مشخص است: مهم نیست که چند عدد مثبت را در یکدیگر ضرب کنیم، نتیجه مثبت خواهد بود.

اما موارد منفی کمی جالب تر هستند. این قانون ساده را از کلاس ششم به یاد می آوریم: "منهای برای منهای یک مثبت می دهد." یعنی یا. اما اگر در آن ضرب کنیم کار می کند.

خودتان مشخص کنید که عبارات زیر چه علامتی خواهند داشت:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

توانستی مدیریت کنی؟

در اینجا پاسخ ها آمده است: در چهار مثال اول، امیدوارم همه چیز روشن باشد؟ ما به سادگی به مبنا و توان نگاه می کنیم و قانون مناسب را اعمال می کنیم.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

در مثال 5) همه چیز به همان اندازه که به نظر می رسد ترسناک نیست: از این گذشته ، مهم نیست که پایه با چه چیزی برابر است - درجه یکنواخت است ، به این معنی که نتیجه همیشه مثبت خواهد بود.

خوب، به جز زمانی که پایه صفر باشد. پایه برابر نیست، درست است؟ بدیهی است که نه، زیرا (زیرا).

مثال 6) دیگر چندان ساده نیست!

6 مثال برای تمرین

تجزیه و تحلیل راه حل 6 مثال

اگر قدرت هشتم را نادیده بگیریم، در اینجا چه می بینیم؟ برنامه کلاس هفتم را به یاد بیاوریم. پس یادت هست؟ این فرمول ضرب اختصاری است، یعنی اختلاف مربع ها! ما گرفتیم:

بیایید با دقت به مخرج نگاه کنیم. به نظر بسیار شبیه یکی از فاکتورهای شمارنده است، اما چه اشکالی دارد؟ ترتیب اصطلاحات اشتباه است. اگر آنها معکوس شوند، این قانون می تواند اعمال شود.

اما چگونه این کار را انجام دهیم؟ معلوم می شود که بسیار آسان است: درجه زوج مخرج در اینجا به ما کمک می کند.

به طور جادویی این اصطلاحات جای خود را تغییر دادند. این "پدیده" برای هر عبارتی به میزان یکنواخت صدق می کند: ما به راحتی می توانیم علائم داخل پرانتز را تغییر دهیم.

اما مهم است که به یاد داشته باشید: همه علائم به طور همزمان تغییر می کنند!

بیایید به مثال برگردیم:

و دوباره فرمول:

کلما اعداد طبیعی، متضاد آنها (یعنی گرفته شده با علامت " ") و عدد را می نامیم.

عدد صحیح مثبت، و هیچ تفاوتی با طبیعی ندارد، پس همه چیز دقیقاً مانند بخش قبل به نظر می رسد.

حالا بیایید به موارد جدید نگاه کنیم. بیایید با یک اندیکاتور برابر شروع کنیم.

هر عدد به توان صفر برابر با یک است:

مثل همیشه از خود بپرسیم: چرا اینطور است؟

بیایید مدرکی را با پایه در نظر بگیریم. برای مثال در نظر بگیرید و ضرب کنید:

بنابراین، ما عدد را در ضرب کردیم، و همان چیزی را به دست آوردیم که بود - . در چه عددی باید ضرب کرد تا چیزی تغییر نکند؟ درست است، در به معنای.

ما می توانیم همین کار را با یک عدد دلخواه انجام دهیم:

بیایید این قانون را تکرار کنیم:

هر عدد به توان صفر برابر با یک است.

اما برای بسیاری از قوانین استثنا وجود دارد. و اینجا نیز آنجاست - این یک عدد (به عنوان پایه) است.

از یک طرف، باید با هر درجه ای برابر باشد - مهم نیست که چقدر صفر را در خودش ضرب کنید، باز هم صفر خواهید شد، این واضح است. اما از طرف دیگر مانند هر عددی به توان صفر باید برابر باشد. پس چقدر از اینها درست است؟ ریاضیدانان تصمیم گرفتند که درگیر نشوند و از رساندن صفر به توان صفر خودداری کردند. یعنی اکنون نه تنها نمی توانیم بر صفر تقسیم کنیم، بلکه آن را به توان صفر نیز برسانیم.

بیایید ادامه دهیم. اعداد صحیح علاوه بر اعداد و اعداد طبیعی شامل اعداد منفی نیز می شوند. برای اینکه بفهمیم یک توان منفی چیست، بیایید مانند دفعه قبل عمل کنیم: یک عدد معمولی را در همان عدد به توان منفی ضرب کنیم:

از اینجا به راحتی می توان آنچه را که به دنبال آن هستید بیان کرد:

حال اجازه دهید قانون حاصل را به یک درجه دلخواه گسترش دهیم:

بنابراین، بیایید یک قانون تنظیم کنیم:

عددی با توان منفی، متقابل همان عدد با توان مثبت است. اما در عین حال پایه نمی تواند null باشد:(چون شما نمی توانید تقسیم بر).

بیایید خلاصه کنیم:

I. عبارت در مورد تعریف نشده است. اگر پس از آن.

II. هر عددی به توان صفر برابر است با یک: .

III. عددی که برابر صفر با توان منفی نیست، معکوس همان عدد با توان مثبت است: .

وظایف برای راه حل مستقل:

خوب، طبق معمول، نمونه هایی برای راه حل های مستقل:

تجزیه و تحلیل مسائل برای حل مستقل:

می دانم، می دانم، اعداد ترسناک هستند، اما در آزمون یکپارچه دولتی باید برای هر چیزی آماده باشید! اگر نتوانستید این مثال ها را حل کنید یا راه حل های آنها را تجزیه و تحلیل کنید و یاد می گیرید که در امتحان به راحتی با آنها کنار بیایید!

اجازه دهید به گسترش دامنه اعداد "مناسب" به عنوان یک توان ادامه دهیم.

حالا بیایید در نظر بگیریم اعداد گویا.به چه اعدادی گویا می گویند؟

پاسخ: هر چیزی که می تواند به عنوان یک کسری نشان داده شود، جایی که و اعداد صحیح هستند، و.

تا بفهمی چیه "درجه کسری"، کسری را در نظر بگیرید:

بیایید هر دو طرف معادله را به توان برسانیم:

حالا بیایید قانون مربوط به آن را به یاد بیاوریم "درجه به درجه":

برای بدست آوردن چه عددی باید به توان افزایش داد؟

این فرمول تعریف ریشه درجه هفتم است.

یادآوری می‌کنم: ریشه توان دهم یک عدد () عددی است که وقتی به توان بالا می‌رود، برابر است.

یعنی ریشه th توان عمل معکوس افزایش به توان است: .

معلوم می شود که. بدیهی است که این مورد خاص قابل گسترش است: .

حالا عدد را اضافه می کنیم: چیست؟ با استفاده از قانون قدرت به قدرت می توان پاسخ را آسان به دست آورد:

اما آیا پایه می تواند هر عددی باشد؟ از این گذشته ، ریشه را نمی توان از همه اعداد استخراج کرد.

هیچ یک!

بیایید این قانون را به خاطر بسپاریم: هر عددی که به توان زوج افزایش یابد یک عدد مثبت است. یعنی از اعداد منفی نمی توان حتی ریشه را استخراج کرد!

این بدان معنی است که چنین اعدادی را نمی توان به توان کسری با مخرج زوج رساند، یعنی عبارت معنی ندارد.

در مورد بیان چطور؟

اما اینجا یک مشکل پیش می آید.

عدد را می توان به شکل کسرهای کاهش پذیر دیگر، به عنوان مثال، یا.

و معلوم می شود که وجود دارد، اما وجود ندارد، اما اینها فقط دو رکورد متفاوت از یک عدد هستند.

یا مثال دیگری: یک بار، سپس می توانید آن را یادداشت کنید. اما اگر اندیکاتور را طور دیگری بنویسیم، دوباره به مشکل می خوریم: (یعنی نتیجه کاملاً متفاوتی گرفتیم!).

برای جلوگیری از چنین پارادوکس هایی، در نظر می گیریم فقط نما پایه مثبت با توان کسری.

بنابراین اگر:

• - عدد طبیعی؛
• - عدد صحیح؛

مثال ها:

نماهای گویا برای تبدیل عبارات با ریشه بسیار مفید هستند، به عنوان مثال:

5 مثال برای تمرین

تجزیه و تحلیل 5 مثال برای آموزش

خب، حالا سخت ترین قسمت فرا می رسد. حالا ما آن را کشف خواهیم کرد درجه با توان غیر منطقی.

تمام قواعد و خصوصیات درجات در اینجا دقیقاً مشابه درجه ای با توان گویا است، به استثنای

از این گذشته، طبق تعریف، اعداد غیر منطقی اعدادی هستند که نمی‌توان آنها را به صورت کسری نشان داد، جایی که اعداد صحیح هستند (یعنی اعداد غیر منطقی همه اعداد حقیقی هستند به جز اعداد گویا).

هنگام مطالعه درجات با شارحهای طبیعی، اعداد صحیح و گویا، هر بار یک "تصویر"، "قیاس" یا توصیف خاصی را با عبارات آشناتر ایجاد می کنیم.

برای مثال، درجه ای با توان طبیعی، عددی است که در خودش چند برابر شود.

...عدد به توان صفر- این همان طور که بود، عددی است که یک بار در خودش ضرب شده است، یعنی آنها هنوز شروع به ضرب نکرده اند، به این معنی که خود عدد هنوز ظاهر نشده است - بنابراین نتیجه فقط یک "عدد خالی" معین است. ، یعنی یک عدد؛

...درجه عدد صحیح منفی- انگار "فرآیند معکوس" اتفاق افتاده است، یعنی عدد در خودش ضرب نشده، بلکه تقسیم شده است.

به هر حال، در علم اغلب از درجه ای با توان مختلط استفاده می شود، یعنی توان حتی یک عدد واقعی نیست.

اما در مدرسه ما به چنین مشکلاتی فکر نمی کنیم؛ شما این فرصت را خواهید داشت که این مفاهیم جدید را در موسسه درک کنید.

جایی که ما مطمئن هستیم که خواهی رفت! (اگر حل چنین مثال هایی را یاد بگیرید :))

مثلا:

خودتان تصمیم بگیرید:

تجزیه و تحلیل راه حل ها:

1. بیایید با قانون معمول برای بالا بردن یک قدرت به یک قدرت شروع کنیم:

حالا به نشانگر نگاه کنید. او چیزی را به شما یادآوری نمی کند؟ بیایید فرمول ضرب اختصاری اختلاف مربع ها را به یاد بیاوریم:

در این مورد،

معلوم می شود که:

پاسخ: .

2. کسرها را در توان به یک شکل کاهش می دهیم: هر دو اعشار یا هر دو اعشار معمولی. به عنوان مثال دریافت می کنیم:

جواب: 16

3. چیز خاصی نیست، ما از خواص معمول درجه استفاده می کنیم:

سطح پیشرفته

تعیین مدرک تحصیلی

درجه عبارتی از شکل: , که در آن:

• — پایه درجه؛
• - توان

درجه با شاخص طبیعی (n = 1، 2، 3،...)

افزایش یک عدد به توان طبیعی n یعنی ضرب عدد در خودش:

درجه با توان عدد صحیح (0, ±1, ±2,...)

اگر توان است عدد صحیح مثبتعدد:

ساخت و ساز به درجه صفر:

عبارت نامشخص است، زیرا از یک سو به هر درجه ای این است و از سوی دیگر هر عددی به درجه هفتم این است.

اگر توان است عدد صحیح منفیعدد:

(چون شما نمی توانید تقسیم بر).

یک بار دیگر در مورد صفر: عبارت در مورد تعریف نشده است. اگر پس از آن.

مثال ها:

قدرت با توان منطقی

• - عدد طبیعی؛
• - عدد صحیح؛

مثال ها:

خواص درجات

برای آسان‌تر کردن حل مشکلات، بیایید سعی کنیم بفهمیم: این ویژگی‌ها از کجا آمده‌اند؟ بیایید آنها را ثابت کنیم.

بیایید ببینیم: چیست و؟

الف مقدماتی:

بنابراین، در سمت راست این عبارت، محصول زیر را دریافت می کنیم:

اما طبق تعریف، توان یک عدد با توان است، یعنی:

Q.E.D.

مثال : بیان را ساده کنید.

راه حل : .

مثال : بیان را ساده کنید.

راه حل : توجه به این نکته ضروری است که در قاعده ما لزوماباید همین دلایل وجود داشته باشد بنابراین، ما قدرت ها را با پایه ترکیب می کنیم، اما یک عامل جداگانه باقی می ماند:

نکته مهم دیگر: این قانون - فقط برای محصول قدرت!

تحت هیچ شرایطی نمی توانید آن را بنویسید.

درست مانند ویژگی قبلی، اجازه دهید به تعریف درجه بپردازیم:

بیایید این کار را به صورت زیر دسته بندی کنیم:

معلوم می شود که عبارت در خودش ضرب می شود، یعنی طبق تعریف، این توان دهم عدد است:

در اصل، این را می توان "درآوردن نشانگر از پرانتز" نامید. اما شما هرگز نمی توانید این کار را در کل انجام دهید: !

بیایید فرمول های ضرب اختصاری را به یاد بیاوریم: چند بار می خواستیم بنویسیم؟ اما بالاخره این درست نیست.

قدرت با پایه منفی.

تا اینجا ما فقط بحث کرده ایم که چگونه باید باشد فهرست مطالبدرجه. اما مبنای چه چیزی باید باشد؟ در اختیارات طبیعی نشانگر اساس ممکن است هر عددی .

در واقع، ما می توانیم هر عددی را در یکدیگر ضرب کنیم، اعم از مثبت، منفی یا زوج. بیایید فکر کنیم که کدام نشانه ها ("" یا "") دارای قدرت اعداد مثبت و منفی خواهند بود؟

مثلا عدد مثبت است یا منفی؟ آ؟ ?

با اولی همه چیز مشخص است: مهم نیست که چند عدد مثبت را در یکدیگر ضرب کنیم، نتیجه مثبت خواهد بود.

اما موارد منفی کمی جالب تر هستند. این قانون ساده را از کلاس ششم به یاد می آوریم: "منهای برای منهای یک مثبت می دهد." یعنی یا. اما اگر در (() ضرب کنیم به - .

و به همین ترتیب ad infinitum: با هر ضرب بعدی علامت تغییر می کند. قوانین ساده زیر را می توان فرموله کرد:

1. زوجدرجه، - شماره مثبت.
2. عدد منفی به فرددرجه، - شماره منفی.
3. عدد مثبت به هر درجه ای عدد مثبت است.
4. صفر به هر توانی برابر با صفر است.

خودتان مشخص کنید که عبارات زیر چه علامتی خواهند داشت:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

توانستی مدیریت کنی؟ در اینجا پاسخ ها آمده است:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

در چهار مثال اول، امیدوارم همه چیز روشن باشد؟ ما به سادگی به مبنا و توان نگاه می کنیم و قانون مناسب را اعمال می کنیم.

در مثال 5) همه چیز به همان اندازه که به نظر می رسد ترسناک نیست: از این گذشته ، مهم نیست که پایه با چه چیزی برابر است - درجه یکنواخت است ، به این معنی که نتیجه همیشه مثبت خواهد بود. خوب، به جز زمانی که پایه صفر باشد. پایه برابر نیست، درست است؟ بدیهی است که نه، زیرا (زیرا).

مثال 6) دیگر چندان ساده نیست. در اینجا باید دریابید که کدام کمتر است: یا؟ اگر آن را به خاطر بسپاریم، مشخص می شود که یعنی پایه کمتر از صفر است. یعنی قانون 2 را اعمال می کنیم: نتیجه منفی خواهد بود.

و دوباره از تعریف درجه استفاده می کنیم:

همه چیز طبق معمول است - ما تعریف درجه ها را می نویسیم و آنها را با یکدیگر تقسیم می کنیم، آنها را به جفت تقسیم می کنیم و به دست می آوریم:

قبل از اینکه به قانون آخر نگاه کنیم، اجازه دهید چند مثال را حل کنیم.

عبارات را محاسبه کنید:

راه حل ها :

اگر قدرت هشتم را نادیده بگیریم، در اینجا چه می بینیم؟ برنامه کلاس هفتم را به یاد بیاوریم. پس یادت هست؟ این فرمول ضرب اختصاری است، یعنی اختلاف مربع ها!

ما گرفتیم:

بیایید با دقت به مخرج نگاه کنیم. به نظر بسیار شبیه یکی از فاکتورهای شمارنده است، اما چه اشکالی دارد؟ ترتیب اصطلاحات اشتباه است. اگر آنها معکوس شوند، قانون 3 می تواند اعمال شود. اما چگونه؟ معلوم می شود که بسیار آسان است: درجه زوج مخرج در اینجا به ما کمک می کند.

اگر آن را در ضرب کنید، چیزی تغییر نمی کند، درست است؟ اما الان اینطور معلوم میشه:

به طور جادویی این اصطلاحات جای خود را تغییر دادند. این "پدیده" برای هر عبارتی به میزان یکنواخت صدق می کند: ما به راحتی می توانیم علائم داخل پرانتز را تغییر دهیم. اما مهم است که به یاد داشته باشید: همه نشانه ها در یک زمان تغییر می کنند!شما نمی توانید آن را با تغییر تنها یک نقطه ضعف که ما دوست نداریم جایگزین کنید!

بیایید به مثال برگردیم:

و دوباره فرمول:

خب حالا آخرین قانون:

چگونه آن را ثابت خواهیم کرد؟ البته، طبق معمول: بیایید مفهوم مدرک را گسترش دهیم و آن را ساده کنیم:

خب حالا بیایید پرانتزها را باز کنیم. در کل چند حرف وجود دارد؟ بار توسط ضرب - این شما را به یاد چه چیزی می اندازد؟ این چیزی بیش از تعریف یک عملیات نیست ضرب: اونجا فقط ضریب وجود داشت. یعنی این، طبق تعریف، توان یک عدد با توان است:

مثال:

درجه با توان غیرمنطقی

علاوه بر اطلاعات در مورد درجه برای سطح متوسط، درجه را با یک توان غیر منطقی تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. تمام قواعد و ویژگی های درجه ها در اینجا دقیقاً مشابه درجه ای با توان گویا است، به استثنای - در نهایت، طبق تعریف، اعداد غیر منطقی اعدادی هستند که نمی توانند به صورت کسری نمایش داده شوند، جایی که اعداد صحیح هستند (یعنی ، اعداد غیر منطقی همه اعداد حقیقی هستند به جز اعداد گویا).

هنگام مطالعه درجات با شارحهای طبیعی، اعداد صحیح و گویا، هر بار یک "تصویر"، "قیاس" یا توصیف خاصی را با عبارات آشناتر ایجاد می کنیم. برای مثال، درجه ای با توان طبیعی، عددی است که در خودش چند برابر شود. یک عدد به توان صفر، همانطور که بود، عددی است که یک بار در خودش ضرب می شود، یعنی هنوز شروع به ضرب نکرده اند، به این معنی که خود عدد هنوز ظاهر نشده است - بنابراین نتیجه فقط مشخص است. «عدد خالی»، یعنی یک عدد؛ یک درجه با توان منفی عدد صحیح - انگار "فرآیند معکوس" اتفاق افتاده است، یعنی عدد در خودش ضرب نشده، بلکه تقسیم شده است.

تصور درجه ای با توان غیرمنطقی بسیار دشوار است (همانطور که تصور یک فضای 4 بعدی دشوار است). این یک شیء صرفاً ریاضی است که ریاضیدانان برای گسترش مفهوم درجه به کل فضای اعداد ایجاد کردند.

به هر حال، در علم اغلب از درجه ای با توان مختلط استفاده می شود، یعنی توان حتی یک عدد واقعی نیست. اما در مدرسه ما به چنین مشکلاتی فکر نمی کنیم؛ شما این فرصت را خواهید داشت که این مفاهیم جدید را در موسسه درک کنید.

پس اگر یک توان غیر منطقی ببینیم چه کنیم؟ ما تمام تلاش خود را می کنیم تا از شر آن خلاص شویم! :)

مثلا:

خودتان تصمیم بگیرید:

1)

2)

3)

پاسخ ها:

1. بیایید تفاوت فرمول مربع ها را به خاطر بسپاریم. پاسخ: .
2. کسرها را به یک شکل کاهش می دهیم: هر دو اعشاری یا هر دو معمولی. به عنوان مثال دریافت می کنیم: .
3. چیز خاصی نیست، ما از خواص معمول درجه ها استفاده می کنیم:

خلاصه بخش و فرمول های اساسی

درجهیک عبارت از فرم نامیده می شود: ، جایی که:

درجه با توان عدد صحیح

درجه ای که توان آن یک عدد طبیعی است (یعنی عدد صحیح و مثبت).

قدرت با توان منطقی

درجه که توان آن اعداد منفی و کسری است.

درجه با توان غیرمنطقی

درجه ای که توان آن یک کسر اعشاری یا ریشه نامتناهی است.

خواص درجات

ویژگی های درجه.

• عدد منفی به زوجدرجه، - شماره مثبت.
• عدد منفی به فرددرجه، - شماره منفی.
• عدد مثبت به هر درجه ای عدد مثبت است.
• صفر برابر هر توانی است.
• هر عددی به توان صفر برابر است.

حالا شما کلمه را دارید ...

مقاله را چگونه دوست دارید؟ در زیر در نظرات بنویسید که آیا آن را دوست داشتید یا نه.

در مورد تجربه خود در استفاده از ویژگی های درجه به ما بگویید.

شاید شما سوالاتی داشته باشید. یا پیشنهادات

در نظرات بنویسید.

و در امتحانات موفق باشید!

توان برای ساده کردن عملیات ضرب یک عدد در خودش استفاده می شود. مثلا به جای نوشتن می توانید بنویسید 4 5 (\displaystyle 4^(5))(توضیحاتی برای این انتقال در بخش اول این مقاله ارائه شده است). درجه ها نوشتن عبارات یا معادلات طولانی یا پیچیده را آسان تر می کند. توان ها نیز به راحتی قابل جمع و تفریق هستند و در نتیجه یک عبارت یا معادله ساده شده ایجاد می شود (به عنوان مثال، 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

توجه داشته باشید:اگر نیاز به حل یک معادله نمایی دارید (در چنین معادله ای مجهول در توان است)، بخوانید.

مراحل

حل مسائل ساده با درجه

پایه توان را در خودش چند برابر توان ضرب کنید.اگر می‌خواهید یک مسئله توان را با دست حل کنید، توان را به عنوان یک عملیات ضرب بازنویسی کنید، جایی که پایه توان در خودش ضرب می‌شود. مثلا با دادن مدرک 3 4 (\displaystyle 3^(4)). در این حالت، پایه توان 3 باید در خود 4 برابر شود: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). در اینجا نمونه های دیگری وجود دارد:

ابتدا دو عدد اول را ضرب کنید.مثلا، 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). نگران نباشید - فرآیند محاسبه آنقدرها که در نگاه اول به نظر می رسد پیچیده نیست. ابتدا دو چهار تای اول را ضرب کرده و سپس آنها را با نتیجه جایگزین کنید. مثل این:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. نتیجه (در مثال ما 16) را در عدد بعدی ضرب کنید.هر نتیجه بعدی به نسبت افزایش می یابد. در مثال ما، 16 را در 4 ضرب کنید.

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • نتیجه دو عدد اول را در عدد بعدی ضرب کنید تا به جواب نهایی خود برسید. برای انجام این کار، دو عدد اول را ضرب کنید و سپس نتیجه حاصل را در عدد بعدی در دنباله ضرب کنید. این روش برای هر مدرکی معتبر است. در مثال ما باید دریافت کنید: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. مشکلات زیر را حل کنید.با استفاده از ماشین حساب پاسخ خود را بررسی کنید.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. در ماشین حساب خود به دنبال کلید با برچسب "exp" یا " x n (\displaystyle x^(n))"، یا "^".با استفاده از این کلید یک عدد را به یک توان افزایش می دهید. تقریباً غیرممکن است که یک درجه را با یک نشانگر بزرگ به صورت دستی محاسبه کنید (مثلاً مدرک 9 15 (\displaystyle 9^(15))، اما ماشین حساب می تواند به راحتی با این کار کنار بیاید. در ویندوز 7، ماشین حساب استاندارد را می توان به حالت مهندسی تغییر داد. برای انجام این کار، روی "View" -> "Engineering" کلیک کنید. برای تغییر حالت عادی، روی "View" -> "Normal" کلیک کنید.

   • پاسخ دریافتی را با استفاده از موتور جستجو (Google یا Yandex) بررسی کنید.. با استفاده از کلید "^" روی صفحه کلید رایانه خود، عبارت را در موتور جستجو وارد کنید، که بلافاصله پاسخ صحیح را نشان می دهد (و احتمالاً عبارات مشابهی را برای مطالعه به شما پیشنهاد می دهد).

   جمع، تفریق، ضرب قوا

   1. فقط در صورتی می توانید درجه ها را جمع و تفریق کنید که پایه های یکسانی داشته باشند.اگر نیاز به اضافه کردن توان ها با پایه ها و توان های یکسان دارید، می توانید عملیات جمع را با عملیات ضرب جایگزین کنید. به عنوان مثال، با توجه به عبارت 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). به یاد داشته باشید که مدرک 4 5 (\displaystyle 4^(5))را می توان در فرم نشان داد 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); بدین ترتیب، 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(که در آن 1 +1 = 2). یعنی تعداد درجات مشابه را بشمارید و سپس آن درجه و این عدد را ضرب کنید. در مثال ما، 4 را به توان پنجم برسانید و سپس نتیجه حاصل را در 2 ضرب کنید. به یاد داشته باشید که عمل جمع را می توان با عملیات ضرب جایگزین کرد، به عنوان مثال 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). در اینجا نمونه های دیگری وجود دارد:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. هنگام ضرب توان ها با پایه یکسان، توان آنها اضافه می شود (پایه تغییر نمی کند).به عنوان مثال، با توجه به عبارت x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). در این مورد، شما فقط باید نشانگرها را اضافه کنید و پایه را بدون تغییر رها کنید. بدین ترتیب، x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). در اینجا توضیح تصویری این قانون آورده شده است:

      هنگام افزایش توان به توان، توان ها ضرب می شوند.مثلا مدرک داده می شود. از آنجایی که توان ها ضرب می شوند، پس (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). نکته این قانون این است که شما در توان ها ضرب می کنید (x 2) (\displaystyle (x^(2)))پنج بار روی خودش مثل این:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • از آنجایی که پایه یکسان است، توان ها به سادگی جمع می شوند: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. توانی با توان منفی باید به کسری (قدرت معکوس) تبدیل شود.اگر نمی دانید مدرک متقابل چیست، مهم نیست. اگر مدرکی با توان منفی به شما داده شود، به عنوان مثال. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2))، این درجه را در مخرج کسری بنویسید (در عدد 1 قرار دهید) و توان را مثبت کنید. در مثال ما: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). در اینجا نمونه های دیگری وجود دارد:

      هنگام تقسیم درجه ها با پایه یکسان، توان آنها کم می شود (مبنا تغییر نمی کند).عمل تقسیم برعکس عمل ضرب است. به عنوان مثال، با توجه به عبارت 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). توان در مخرج را از توان در صورت کم کنید (پایه را تغییر ندهید). بدین ترتیب، 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • توان در مخرج را می توان به صورت زیر نوشت: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 - 2 (\displaystyle 4^(-2)). به یاد داشته باشید که کسر یک عدد (قدرت، بیان) با توان منفی است.

   4. در زیر برخی از عبارات وجود دارد که به شما کمک می کند تا حل مسائل با توان را یاد بگیرید.عبارات داده شده مطالب ارائه شده در این بخش را پوشش می دهد. برای دیدن پاسخ کافیست فضای خالی بعد از علامت مساوی را انتخاب کنید.

   حل مسائل با توان کسری

   توانی با توان کسری (مثلاً ) به عملیات ریشه تبدیل می شود.در مثال ما: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). در اینجا مهم نیست که چه عددی در مخرج کسری باشد. مثلا، x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- ریشه چهارم "x" است، یعنی x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. اگر توان کسری نامناسب باشد، می توان آن را به دو توان تجزیه کرد تا حل مسئله ساده شود. هیچ چیز پیچیده ای در این مورد وجود ندارد - فقط قانون ضرب قدرت را به خاطر بسپارید. مثلا مدرک داده می شود. چنین توانی را به ریشه ای تبدیل کنید که توان آن برابر با مخرج کسری باشد و سپس این ریشه را به توانی برابر با عدد ضریب کسری برسانید. برای انجام این کار، آن را به خاطر بسپارید 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3))*5). در مثال ما:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. برخی از ماشین‌حساب‌ها دکمه‌ای برای محاسبه توان دارند (ابتدا باید پایه را وارد کنید، سپس دکمه را فشار دهید و سپس نما را وارد کنید). به صورت ^ یا x^y نشان داده می شود.
   3. به یاد داشته باشید که هر عددی به توان اول برابر با خودش است، برای مثال، 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.)علاوه بر این، هر عددی که در یک ضرب یا تقسیم شود با خودش مساوی است، به عنوان مثال. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5)و 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. بدانید که توان 0 0 وجود ندارد (چنین توانی راه حلی ندارد). اگر بخواهید چنین مدرکی را در ماشین حساب یا کامپیوتر حل کنید، با خطا مواجه خواهید شد. اما به یاد داشته باشید که برای مثال هر عددی به توان صفر 1 است، 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. در ریاضیات عالی که با اعداد خیالی عمل می کند: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax)، جایی که i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e یک ثابت تقریبا برابر با 2.7 است. a یک ثابت دلخواه است. اثبات این برابری را می توان در هر کتاب درسی ریاضیات عالی یافت.

   هشدارها

   • با افزایش نما، مقدار آن به شدت افزایش می یابد. بنابراین اگر پاسخ به نظر شما اشتباه است، ممکن است در واقع درست باشد. می توانید این را با ترسیم هر تابع نمایی مانند 2 x آزمایش کنید.