Se da la ley de distribución de la variable aleatoria x. Variable aleatoria discreta y su función de distribución.

aleatorio discreto Las variables son variables aleatorias que toman sólo valores distantes entre sí y que se pueden enumerar de antemano.
Ley de distribución
La ley de distribución de una variable aleatoria es una relación que establece una conexión entre los posibles valores de una variable aleatoria y sus correspondientes probabilidades.
La serie de distribución de una variable aleatoria discreta es la lista de sus posibles valores y las probabilidades correspondientes.
La función de distribución de una variable aleatoria discreta es la función:
,
determinando para cada valor del argumento x la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor menor que este x.

Expectativa de una variable aleatoria discreta
,
¿Dónde está el valor de una variable aleatoria discreta? - la probabilidad de que una variable aleatoria acepte valores X.
Si una variable aleatoria toma un conjunto contable de valores posibles, entonces:
.
Expectativa matemática del número de ocurrencias de un evento en n ensayos independientes:
,

Dispersión y desviación estándar de una variable aleatoria discreta.
Dispersión de una variable aleatoria discreta:
o .
Varianza del número de ocurrencias de un evento en n ensayos independientes
,
donde p es la probabilidad de que ocurra el evento.
Desviación estándar de una variable aleatoria discreta:
.

Ejemplo 1
Elaborar una ley de distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta (DRV) X: el número de k apariciones de al menos un "seis" en n = 8 lanzamientos de un par de dados. Construya un polígono de distribución. Encuentre las características numéricas de la distribución (modo de distribución, expectativa matemática M(X), dispersión D(X), desviación estándar s(X)). Solución: Introduzcamos la notación: evento A – “al lanzar un par de dados, apareció un seis al menos una vez”. Para encontrar la probabilidad P(A) = p del evento A, es más conveniente encontrar primero la probabilidad P(Ā) = q del evento opuesto Ā - “al lanzar un par de dados, nunca apareció un seis”.
Dado que la probabilidad de que no aparezca un "seis" al lanzar un dado es 5/6, entonces, de acuerdo con el teorema de la multiplicación de probabilidades
P(Ā) = q = = .
Respectivamente,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Las pruebas del problema siguen el esquema de Bernoulli, por lo que d.s.v. magnitud X- número k la aparición de al menos un seis al lanzar dos dados obedece a la ley binomial de la distribución de probabilidad:

donde = es el número de combinaciones de norte Por k.

Los cálculos realizados para este problema se pueden presentar convenientemente en forma de tabla:
Distribución de probabilidad d.s.v. X º k (norte = 8; pag = ; q = )

k
pn(k)

Polígono (polígono) de distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta. X mostrado en la figura:

Arroz. Polígono de distribución de probabilidad d.s.v. X=k.
La línea vertical muestra la expectativa matemática de la distribución. METRO(X).

Encontremos las características numéricas de la distribución de probabilidad de d.s.v. X. El modo de distribución es 2 (aquí PAG 8(2) = 0,2932 máximo). La expectativa matemática por definición es igual a:
METRO(X) = = 2,4444,
Dónde xk = k– valor tomado por d.s.v. X. Diferencia D(X) encontramos la distribución usando la fórmula:
D(X) = = 4,8097.
Desviación estándar (RMS):
s( X) = = 2,1931.

Ejemplo2
Variable aleatoria discreta X dado por la ley de distribución

Encuentre la función de distribución F(x) y grácela.

Solución. Si, entonces (tercera propiedad).
Si entonces. En realidad, X puede tomar el valor 1 con probabilidad 0,3.
Si entonces. De hecho, si satisface la desigualdad
, entonces es igual a la probabilidad de un evento que puede ocurrir cuando X tomará el valor 1 (la probabilidad de este evento es 0,3) o el valor 4 (la probabilidad de este evento es 0,1). Dado que estos dos eventos son incompatibles, según el teorema de la suma, la probabilidad de un evento es igual a la suma de las probabilidades 0,3 + 0,1 = 0,4. Si entonces. De hecho, el evento es cierto, por lo tanto su probabilidad es igual a uno. Entonces, la función de distribución se puede escribir analíticamente de la siguiente manera:

Gráfica de esta función:
Encontremos las probabilidades correspondientes a estos valores. Por condición, las probabilidades de falla de los dispositivos son iguales: entonces las probabilidades de que los dispositivos funcionen durante el período de garantía son iguales:




La ley de distribución tiene la forma:

Definición 2.3. Una variable aleatoria, denotada por X, se llama discreta si toma un conjunto finito o contable de valores, es decir conjunto: un conjunto finito o contable.

Consideremos ejemplos de variables aleatorias discretas.

1. Se lanzan dos monedas una vez. El número de emblemas en este experimento es una variable aleatoria. X. Sus posibles valores son 0,1,2, es decir – un conjunto finito.

2. Se registra el número de llamadas de ambulancia en un período de tiempo determinado. Valor aleatorio X– número de llamadas. Sus valores posibles son 0, 1, 2, 3, ..., es decir =(0,1,2,3,...) es un conjunto contable.

3. Hay 25 estudiantes en el grupo. En un día determinado, se registra el número de estudiantes que vinieron a clase: una variable aleatoria X. Sus posibles valores: 0, 1, 2, 3, ...,25 es decir. =(0, 1, 2, 3, ..., 25).

Aunque las 25 personas del ejemplo 3 no pueden faltar a clases, la variable aleatoria X puede tomar este valor. Esto significa que los valores de una variable aleatoria tienen diferentes probabilidades.

Consideremos un modelo matemático de una variable aleatoria discreta.

Realicemos un experimento aleatorio, que corresponde a un espacio finito o contable de eventos elementales. Consideremos la aplicación de este espacio al conjunto de números reales, es decir, asignemos a cada evento elemental un cierto número real , . El conjunto de números puede ser finito o contable, es decir o

Un sistema de subconjuntos, que incluye cualquier subconjunto, incluido uno de un punto, forma un álgebra de un conjunto numérico ( – finito o contable).

Dado que cualquier evento elemental está asociado con ciertas probabilidades Pi(en el caso de todo finito), y , entonces cada valor de una variable aleatoria se puede asociar con una cierta probabilidad Pi, tal que .

Dejar X es un número real arbitrario. denotemos R X (x) la probabilidad de que la variable aleatoria X tomó un valor igual a X, es decir. PX(x)=P(X=x). Entonces la función R X (x) Puede tomar valores positivos solo para esos valores. X, que pertenecen a un conjunto finito o contable , y para todos los demás valores la probabilidad de este valor PX(x) = 0.

Entonces, hemos definido el conjunto de valores, -álgebra como un sistema de cualquier subconjunto y para cada evento ( X=x) comparó la probabilidad para cualquiera, es decir construyó un espacio de probabilidad.

Por ejemplo, el espacio de eventos elementales de un experimento que consiste en lanzar dos veces una moneda simétrica consta de cuatro eventos elementales: , donde

Cuando se lanzó la moneda dos veces, aparecieron dos cruces; al lanzar la moneda dos veces, cayeron dos escudos;

En el primer lanzamiento de la moneda salió un hash, y en el segundo, un escudo de armas;

En el primer lanzamiento de la moneda, apareció el escudo de armas y en el segundo, la almohadilla.

Deja que la variable aleatoria X– número de abandonos de rejilla. Se define en y el conjunto de sus valores. . Todos los subconjuntos posibles, incluidos los de un solo punto, forman un álgebra, es decir =(Ø, (1), (2), (0,1), (0,2), (1,2), (0,1,2)).

Probabilidad de un evento ( X=x yo}, і = 1,2,3, definimos como la probabilidad de ocurrencia de un evento que es su prototipo:

Así, en eventos elementales ( X = x yo) establecer una función numérica rx, Entonces .

Definición 2.4. La ley de distribución de una variable aleatoria discreta es un conjunto de pares de números (x i, р i), donde x i son los valores posibles de la variable aleatoria, y р i son las probabilidades con las que toma estos valores, y .

La forma más sencilla de especificar la ley de distribución de una variable aleatoria discreta es una tabla que enumera los posibles valores de la variable aleatoria y las probabilidades correspondientes:

			…		…
			…		…

Esta tabla se llama serie de distribución. Para darle un aspecto más visual a la serie de distribución, se representa gráficamente: en el eje Oh puntos xyo y dibujar perpendiculares de longitud a partir de ellas Pi. Los puntos resultantes se conectan y se obtiene un polígono, que es una de las formas de la ley de distribución (Fig. 2.1).

Por lo tanto, para especificar una variable aleatoria discreta, es necesario especificar sus valores y las probabilidades correspondientes.

Ejemplo 2.2. La ranura para efectivo de la máquina se activa cada vez que se inserta una moneda con la probabilidad R. Una vez que se activa, las monedas no bajan. Dejar X– el número de monedas que se deben insertar antes de que se active la ranura de efectivo de la máquina. Construir una serie de distribución de una variable aleatoria discreta. X.

Solución. Posibles valores de una variable aleatoria X: x 1 = 1, x 2 = 2,..., x k = k, ... Encontremos las probabilidades de estos valores: página 1– la probabilidad de que el receptor de dinero funcione la primera vez que se baja, y pag 1 = pag; pág 2 – la probabilidad de que se realicen dos intentos. Para ello es necesario que: 1) el receptor de dinero no funcione en el primer intento; 2) en el segundo intento funcionó. La probabilidad de este evento es (1–р)р. Asimismo etcétera, . Rango de distribución X tomará la forma

	1	2	3	…	A	…
	R	qp	q 2p		q r -1 p

Tenga en cuenta que las probabilidades rk formar una progresión geométrica con el denominador: 1-p=q, q<1, por lo tanto esta distribución de probabilidad se llama geométrico.

Supongamos además que se ha construido un modelo matemático experimento descrito por una variable aleatoria discreta X y considere calcular las probabilidades de que ocurran eventos arbitrarios.

Deje que un evento arbitrario contenga un conjunto finito o contable de valores. xyo: A= {x 1, x 2,..., x i, ...) .Evento A se puede representar como una unión de eventos incompatibles de la forma: . Luego, usando el axioma 3 de Kolmogorov , obtenemos

ya que determinamos que las probabilidades de ocurrencia de eventos son iguales a las probabilidades de ocurrencia de eventos que son sus prototipos. Esto significa que la probabilidad de cualquier evento , , se puede calcular mediante la fórmula, ya que este evento se puede representar en forma de unión de eventos, donde .

Entonces la función de distribución F(x) = Р(–<Х<х) se encuentra mediante la fórmula. De ello se deduce que la función de distribución de una variable aleatoria discreta X es discontinua y aumenta en saltos, es decir, es una función escalonada (Fig. 2.2):

Si el conjunto es finito, entonces el número de términos de la fórmula es finito, pero si es contable, entonces el número de términos es contable.

Ejemplo 2.3. El dispositivo técnico consta de dos elementos que funcionan independientemente uno del otro. La probabilidad de falla del primer elemento durante el tiempo T es 0,2 y la probabilidad de falla del segundo elemento es 0,1. Valor aleatorio X– el número de elementos fallidos durante el tiempo T. Encuentre la función de distribución de la variable aleatoria y trace su gráfica.

Solución. El espacio de eventos elementales de un experimento que consiste en estudiar la confiabilidad de dos elementos de un dispositivo técnico está determinado por cuatro eventos elementales , , , : – ambos elementos son operativos; – el primer elemento funciona, el segundo está defectuoso; – el primer elemento está defectuoso, el segundo funciona; – ambos elementos están defectuosos. Cada uno de los eventos elementales se puede expresar a través de eventos elementales de espacios. Y , donde – el primer elemento está operativo; – el primer elemento ha fallado; – el segundo elemento está funcionando; – el segundo elemento ha fallado. Entonces, y dado que los elementos de un dispositivo técnico funcionan independientemente unos de otros, entonces

8. ¿Cuál es la probabilidad de que los valores de una variable aleatoria discreta pertenezcan al intervalo?

X; significado F(5); la probabilidad de que la variable aleatoria X Tomará valores del segmento. Construya un polígono de distribución.

1. Se conoce la función de distribución F(x) de una variable aleatoria discreta X:

Establecer la ley de distribución de una variable aleatoria. X en forma de mesa.

1. Se da la ley de distribución de una variable aleatoria. X:

X	–28	–20	–12	–4
pag	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

1. La probabilidad de que la tienda tenga certificados de calidad para toda la gama de productos es 0,7. La comisión comprobó la disponibilidad de certificados en cuatro tiendas de la zona. Elaborar una ley de distribución, calcular la expectativa matemática y la dispersión del número de tiendas en las que no se encontraron certificados de calidad durante la inspección.

1. Para determinar el tiempo medio de combustión de las lámparas eléctricas en un lote de 350 cajas idénticas, se tomó una lámpara eléctrica de cada caja para realizar pruebas. Calcule a continuación la probabilidad de que la duración promedio de combustión de las lámparas eléctricas seleccionadas difiera de la duración promedio de combustión de todo el lote en valor absoluto en menos de 7 horas, si se sabe que la desviación estándar de la duración de combustión de las lámparas eléctricas en cada caja dura menos de 9 horas.

1. En una central telefónica, se produce una conexión incorrecta con una probabilidad de 0,002. Encuentre la probabilidad de que entre 500 conexiones ocurra lo siguiente:

Encuentra la función de distribución de una variable aleatoria. X. Construir gráficas de funciones y . Calcular la expectativa matemática, la varianza, la moda y la mediana de una variable aleatoria. X.

1. Una máquina automática fabrica rodillos. Se cree que su diámetro es una variable aleatoria distribuida normalmente con un valor medio de 10 mm. ¿Cuál es la desviación estándar si, con una probabilidad de 0,99, el diámetro está en el rango de 9,7 mm a 10,3 mm?

Muestra A: 6 9 7 6 4 4

Muestra B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Opción 17.

1. De las 35 piezas, 7 no son estándar. Encuentre la probabilidad de que dos piezas tomadas al azar resulten ser estándar.

1. Se lanzan tres dados. Calcula la probabilidad de que la suma de los puntos de los lados caídos sea múltiplo de 9.

1. La palabra “AVENTURA” se compone de tarjetas, cada una con una letra escrita. Las cartas se barajan y se sacan una a la vez sin regresar. Calcula la probabilidad de que las letras extraídas en orden de aparición formen la palabra: a) AVENTURA; b) PRISIONERO.

1. Una urna contiene 6 bolas negras y 5 blancas. Se extraen 5 bolas al azar. Calcula la probabilidad de que entre ellos se encuentren:
1. 2 bolas blancas;
2. menos de 2 bolas blancas;
3. al menos una bola negra.

1. A en una prueba es igual a 0,4. Encuentre las probabilidades de los siguientes eventos:
1. evento A aparece 3 veces en una serie de 7 ensayos independientes;
2. evento A aparecerá no menos de 220 y no más de 235 veces en una serie de 400 ensayos.

1. La planta envió a la base 5.000 productos de buena calidad. La probabilidad de daño a cada producto en tránsito es 0.002. Calcula la probabilidad de que no más de 3 productos sufran daños durante el viaje.

1. La primera urna contiene 4 bolas blancas y 9 negras, y la segunda urna contiene 7 bolas blancas y 3 negras. Se extraen al azar 3 bolas de la primera urna y 4 de la segunda urna. Calcula la probabilidad de que todas las bolas extraídas sean del mismo color.

1. Se da la ley de distribución de una variable aleatoria. X:

Calcule su expectativa matemática y varianza.

1. Hay 10 lápices en la caja. Se extraen 4 lápices al azar. Valor aleatorio X– el número de lápices azules entre los seleccionados. Encuentre la ley de su distribución, los momentos inicial y central de segundo y tercer orden.

1. El departamento de control técnico comprueba 475 productos en busca de defectos. La probabilidad de que el producto esté defectuoso es 0,05. Encuentre, con probabilidad de 0,95, los límites dentro de los cuales estará contenido el número de productos defectuosos entre los probados.

1. En una central telefónica, se produce una conexión incorrecta con una probabilidad de 0,003. Encuentre la probabilidad de que entre 1000 conexiones ocurra lo siguiente:
1. al menos 4 conexiones incorrectas;
2. más de dos conexiones incorrectas.

1. La variable aleatoria está especificada por la función de densidad de distribución:

Encuentra la función de distribución de una variable aleatoria. X. Construir gráficas de funciones y . Calcule la expectativa matemática, la varianza, la moda y la mediana de la variable aleatoria X.

1. La variable aleatoria está especificada por la función de distribución:

1. Por muestra A resolver los siguientes problemas:
1. crear una serie de variaciones;

· promedio de la muestra;

· varianza de la muestra;

Moda y mediana;

Muestra A: 0 0 2 2 1 4

1. calcular las características numéricas de la serie de variación:

· promedio de la muestra;

· varianza de la muestra;

desviación estándar de la muestra;

· moda y mediana;

Muestra B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Opción 18.

1. De 10 billetes de lotería, 2 son ganadores. Calcula la probabilidad de que de cinco boletos tomados al azar, uno resulte ganador.

1. Se lanzan tres dados. Calcula la probabilidad de que la suma de los puntos rodados sea mayor que 15.

1. La palabra “PERÍMETRO” se compone de tarjetas, cada una de las cuales tiene escrita una letra. Las cartas se barajan y se sacan una a la vez sin regresar. Encuentre la probabilidad de que las letras extraídas formen la palabra: a) PERÍMETRO; b) MEDIDOR.

1. Una urna contiene 5 bolas negras y 7 blancas. Se extraen 5 bolas al azar. Calcula la probabilidad de que entre ellos se encuentren:
1. 4 bolas blancas;
2. menos de 2 bolas blancas;
3. al menos una bola negra.

1. Probabilidad de que ocurra un evento A en un ensayo es igual a 0,55. Encuentre las probabilidades de los siguientes eventos:
1. evento A aparecerá 3 veces en una serie de 5 desafíos;
2. evento A aparecerá no menos de 130 y no más de 200 veces en una serie de 300 ensayos.

1. La probabilidad de que una lata de conservas se rompa es 0,0005. Encuentre la probabilidad de que entre 2000 latas, dos tengan una fuga.

1. La primera urna contiene 4 bolas blancas y 8 negras, y la segunda urna contiene 7 bolas blancas y 4 negras. Se extraen al azar dos bolas de la primera urna y tres bolas de la segunda urna. Calcula la probabilidad de que todas las bolas extraídas sean del mismo color.

1. Entre las piezas que llegan para su montaje, el 0,1% son defectuosas de la primera máquina, el 0,2% de la segunda, el 0,25% de la tercera y el 0,5% de la cuarta. Los ratios de productividad de la máquina son respectivamente 4:3:2:1. La pieza tomada al azar resultó ser estándar. Encuentre la probabilidad de que la pieza se haya fabricado en la primera máquina.

1. Se da la ley de distribución de una variable aleatoria. X:

Calcule su expectativa matemática y varianza.

1. Un electricista tiene tres bombillas, cada una de las cuales tiene un defecto con una probabilidad de 0,1. Las bombillas se enroscan en el casquillo y se enciende la corriente. Cuando se enciende la corriente, la bombilla defectuosa se quema inmediatamente y es reemplazada por otra. Encuentre la ley de distribución, la expectativa matemática y la dispersión del número de bombillas probadas.

1. La probabilidad de dar en el blanco es de 0,3 por cada uno de los 900 disparos independientes. Utilizando la desigualdad de Chebyshev, estime la probabilidad de que el objetivo sea alcanzado al menos 240 veces y como máximo 300 veces.

1. En una central telefónica, se produce una conexión incorrecta con una probabilidad de 0,002. Encuentre la probabilidad de que entre 800 conexiones ocurra lo siguiente:
1. al menos tres conexiones incorrectas;
2. más de cuatro conexiones incorrectas.

1. La variable aleatoria está especificada por la función de densidad de distribución:

Encuentra la función de distribución de la variable aleatoria X. Dibuja gráficas de las funciones y . Calcular la expectativa matemática, la varianza, la moda y la mediana de una variable aleatoria. X.

1. La variable aleatoria está especificada por la función de distribución:

1. Por muestra A resolver los siguientes problemas:
1. crear una serie de variaciones;
2. calcular frecuencias relativas y acumuladas;
3. compilar una función de distribución empírica y trazarla;
4. calcular las características numéricas de la serie de variación:

· promedio de la muestra;

· varianza de la muestra;

desviación estándar de la muestra;

· moda y mediana;

Muestra A: 4 7 6 3 3 4

1. Usando el ejemplo B, resuelva los siguientes problemas:
1. crear una serie de variaciones agrupadas;
2. construir un histograma y un polígono de frecuencia;
3. calcular las características numéricas de la serie de variación:

· promedio de la muestra;

· varianza de la muestra;

desviación estándar de la muestra;

· moda y mediana;

Muestra B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Opción 19.

1. Hay 16 mujeres y 5 hombres trabajando en el sitio. Se seleccionaron 3 personas al azar utilizando sus números de personal. Encuentre la probabilidad de que todas las personas seleccionadas sean hombres.

2. Se lanzan cuatro monedas. Encuentre la probabilidad de que sólo dos monedas tengan un "escudo de armas".

3. La palabra “PSICOLOGÍA” se compone de tarjetas, cada una de las cuales tiene escrita una letra. Las cartas se barajan y se sacan una a la vez sin regresar. Calcula la probabilidad de que las letras extraídas formen una palabra: a) PSICOLOGÍA; b) PERSONAL.

4. La urna contiene 6 bolas negras y 7 blancas. Se extraen 5 bolas al azar. Calcula la probabilidad de que entre ellos se encuentren:

a. 3 bolas blancas;

b. menos de 3 bolas blancas;

C. al menos una bola blanca.

5. Probabilidad de que ocurra un evento A en un ensayo es igual a 0,5. Encuentre las probabilidades de los siguientes eventos:

a. evento A aparece 3 veces en una serie de 5 ensayos independientes;

b. evento A Aparecerá al menos 30 y no más de 40 veces en una serie de 50 ensayos.

6. Hay 100 máquinas de la misma potencia, que funcionan independientemente entre sí en el mismo modo, en las que su accionamiento está encendido durante 0,8 horas de trabajo. ¿Cuál es la probabilidad de que en un momento dado se enciendan entre 70 y 86 máquinas?

7. La primera urna contiene 4 bolas blancas y 7 negras, y la segunda urna contiene 8 bolas blancas y 3 negras. Se extraen al azar 4 bolas de la primera urna y 1 bola de la segunda. Calcula la probabilidad de que entre las bolas extraídas solo haya 4 bolas negras.

8. El salón de ventas de automóviles recibe diariamente en volumen automóviles de tres marcas: “Moskvich” – 40%; "Ok" - 20%; "Volga": el 40% de todos los coches importados. Entre los coches Moskvich, el 0,5% tiene dispositivo antirrobo, el Oka, el 0,01%, el Volga, el 0,1%. Encuentre la probabilidad de que el automóvil llevado a inspección tenga un dispositivo antirrobo.

9. Los números y se eligen al azar en el segmento. Encuentra la probabilidad de que estos números satisfagan las desigualdades.

10. Se da la ley de distribución de una variable aleatoria. X:

X
pag	0,1	0,2	0,3	0,4

Encuentra la función de distribución de una variable aleatoria. X; significado F(2); la probabilidad de que la variable aleatoria X Tomará valores del intervalo. Construya un polígono de distribución.

LEY DE DISTRIBUCIÓN Y CARACTERÍSTICAS

VARIABLES ALEATORIAS

Variables aleatorias, su clasificación y métodos de descripción.

Una cantidad aleatoria es una cantidad que, como resultado de un experimento, puede tomar uno u otro valor, pero que no se conoce de antemano. Por lo tanto, para una variable aleatoria sólo se pueden especificar valores, uno de los cuales definitivamente se tomará como resultado del experimento. En lo que sigue llamaremos a estos valores valores posibles de la variable aleatoria. Dado que una variable aleatoria caracteriza cuantitativamente el resultado aleatorio de un experimento, puede considerarse como una característica cuantitativa de un evento aleatorio.

Las variables aleatorias generalmente se indican con letras mayúsculas del alfabeto latino, por ejemplo, X..Y..Z, y sus posibles valores con las correspondientes letras minúsculas.

Hay tres tipos de variables aleatorias:

Discreto; Continuo; Mezclado.

Discreto es una variable aleatoria cuyo número de valores posibles forma un conjunto contable. A su vez, se llama contable a un conjunto cuyos elementos pueden numerarse. La palabra "discreto" proviene del latín discretus, que significa "discontinuo, que consta de partes separadas".

Ejemplo 1. Una variable aleatoria discreta es el número de piezas defectuosas X en un lote de nproductos. En efecto, los valores posibles de esta variable aleatoria son una serie de números enteros del 0 al n.

Ejemplo 2. Una variable aleatoria discreta es el número de disparos antes del primer impacto en el objetivo. Aquí, como en el Ejemplo 1, los valores posibles se pueden numerar, aunque en el caso límite el valor posible es un número infinitamente grande.

Continuo es una variable aleatoria cuyos posibles valores llenan continuamente un determinado intervalo del eje numérico, a veces llamado intervalo de existencia de esta variable aleatoria. Por tanto, en cualquier intervalo finito de existencia, el número de valores posibles de una variable aleatoria continua es infinitamente grande.

Ejemplo 3. Una variable aleatoria continua es el consumo mensual de electricidad de una empresa.

Ejemplo 4. Una variable aleatoria continua es el error al medir la altura con un altímetro. Del principio de funcionamiento del altímetro se sabe que el error está en el rango de 0 a 2 m, por lo tanto, el intervalo de existencia de esta variable aleatoria es el intervalo de 0 a 2 m.

Ley de distribución de variables aleatorias.

Una variable aleatoria se considera completamente especificada si en el eje numérico se indican sus posibles valores y se establece la ley de distribución.

Ley de distribución de una variable aleatoria. es una relación que establece una conexión entre los valores posibles de una variable aleatoria y las probabilidades correspondientes.

Se dice que una variable aleatoria está distribuida según una ley determinada o sujeta a una ley de distribución determinada. Como leyes de distribución se utilizan varias probabilidades, funciones de distribución, densidad de probabilidad y funciones características.

La ley de distribución da una descripción probable completa de una variable aleatoria. Según la ley de distribución, se puede juzgar antes del experimento qué posibles valores de una variable aleatoria aparecerán con más frecuencia y cuáles con menos frecuencia.

Para una variable aleatoria discreta, la ley de distribución se puede especificar en forma de tabla, analíticamente (en forma de fórmula) y gráficamente.

La forma más sencilla de especificar la ley de distribución de una variable aleatoria discreta es una tabla (matriz), que enumera en orden ascendente todos los valores posibles de la variable aleatoria y sus probabilidades correspondientes, es decir,

Esta tabla se denomina serie de distribución de una variable aleatoria discreta. 1

Los eventos X 1, X 2,..., X n, consistentes en que como resultado de la prueba, la variable aleatoria X tomará los valores x 1, x 2,... x n, respectivamente, son inconsistentes y los únicos posibles (ya que la tabla enumera todos los valores posibles de una variable aleatoria), es decir formar un grupo completo. Por tanto, la suma de sus probabilidades es igual a 1. Por tanto, para cualquier variable aleatoria discreta

(Esta unidad se distribuye de alguna manera entre los valores de la variable aleatoria, de ahí el término "distribución").

La serie de distribución se puede representar gráficamente si los valores de la variable aleatoria se trazan a lo largo del eje de abscisas y sus probabilidades correspondientes se trazan a lo largo del eje de ordenadas. La conexión de los puntos obtenidos forma una línea discontinua llamada polígono o polígono de distribución de probabilidad (Fig. 1).

Ejemplo El sorteo incluye: un coche valorado en 5.000 den. Unidades, 4 televisores con un costo de 250 den. Unidades, 5 videograbadoras por valor de 200 den. unidades Se venden un total de 1000 entradas durante 7 días. unidades Redacte una ley de distribución de las ganancias netas recibidas por un participante de la lotería que compró un boleto.

Solución. Los valores posibles de la variable aleatoria X (las ganancias netas por boleto) son iguales a 0-7 = -7 dinero. unidades (si el boleto no ganó), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. unidades (si el boleto tiene ganancias de una videograbadora, un televisor o un automóvil, respectivamente). Teniendo en cuenta que de 1000 billetes el número de no ganadores es 990, y las ganancias indicadas son 5, 4 y 1, respectivamente, y utilizando la definición clásica de probabilidad, obtenemos.

En esta página hemos recopilado ejemplos de soluciones educativas. problemas sobre variables aleatorias discretas. Esta es una sección bastante extensa: se estudian varias leyes de distribución (binomial, geométrica, hipergeométrica, Poisson y otras), propiedades y características numéricas, para cada serie de distribución se pueden construir representaciones gráficas: polígono (polígono) de probabilidades, función de distribución.

A continuación encontrará ejemplos de decisiones sobre variables aleatorias discretas, en las que deberá aplicar el conocimiento de las secciones anteriores de la teoría de la probabilidad para elaborar una ley de distribución y luego calcular la expectativa matemática, la dispersión, la desviación estándar, construir una función de distribución, responder. preguntas sobre el DSV, etc. P.

Ejemplos de leyes populares de distribución de probabilidad:

Calculadoras para características DSV

• Cálculo de expectativa matemática, dispersión y desviación estándar de DSV.

Problemas resueltos sobre DSV

Distribuciones cercanas a las geométricas.

Tarea 1. Hay 4 semáforos a lo largo del camino del vehículo, cada uno de los cuales prohíbe el movimiento adicional del vehículo con una probabilidad de 0,5. Encuentre la serie de distribución del número de semáforos que pasó el automóvil antes de la primera parada. ¿Cuáles son la expectativa matemática y la varianza de esta variable aleatoria?

Tarea 2. El cazador dispara al juego hasta el primer golpe, pero no logra disparar más de cuatro tiros. Elabore una ley de distribución del número de fallos si la probabilidad de dar en el blanco con un solo disparo es 0,7. Encuentra la varianza de esta variable aleatoria.

Tarea 3. El tirador, que dispone de 3 cartuchos, dispara al objetivo hasta el primer impacto. Las probabilidades de acierto del primer, segundo y tercer disparo son 0,6, 0,5 y 0,4, respectivamente. SV $\xi$ - número de cartuchos restantes. Compile una serie de distribución de una variable aleatoria, encuentre la expectativa matemática, la varianza y la desviación estándar de la variable aleatoria, construya la función de distribución de la variable aleatoria, encuentre $P(|\xi-m| \le \sigma$.

Tarea 4. La caja contiene 7 piezas estándar y 3 defectuosas. Sacan las piezas secuencialmente hasta que aparece la estándar, sin devolverlas. $\xi$ es el número de piezas defectuosas recuperadas.
Elaborar una ley de distribución para una variable aleatoria discreta $\xi$, calcular su expectativa matemática, varianza, desviación estándar, dibujar un polígono de distribución y una gráfica de la función de distribución.

Tareas con eventos independientes.

Tarea 5. 3 estudiantes se presentaron al reexamen de teoría de la probabilidad. La probabilidad de que la primera persona apruebe el examen es de 0,8, la segunda de 0,7 y la tercera de 0,9. Encuentre la serie de distribución de la variable aleatoria $\xi$ del número de estudiantes que aprobaron el examen, grafique la función de distribución, encuentre $M(\xi), D(\xi)$.

Tarea 6. La probabilidad de dar en el blanco con un solo disparo es de 0,8 y disminuye con cada disparo en 0,1. Elabora una ley de distribución del número de impactos en un objetivo si se disparan tres tiros. Encuentre el valor esperado, la varianza y el S.K.O. esta variable aleatoria. Dibuja una gráfica de la función de distribución.

Tarea 7. Se disparan 4 tiros al objetivo. La probabilidad de acierto aumenta de la siguiente manera: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Encuentre la ley de distribución de la variable aleatoria $X$: el número de aciertos. Encuentre la probabilidad de que $X \ge 1$.

Tarea 8. Se lanzan dos monedas simétricas y se cuenta el número de escudos de armas en ambas caras superiores de las monedas. Consideramos una variable aleatoria discreta $X$: el número de escudos de armas en ambas monedas. Escriba la ley de distribución de la variable aleatoria $X$, encuentre su expectativa matemática.

Otros problemas y leyes de distribución de DSV.

Tarea 9. Dos jugadores de baloncesto hacen tres tiros a la canasta. La probabilidad de acertar para el primer jugador de baloncesto es 0,6, para el segundo – 0,7. Sea $X$ la diferencia entre el número de tiros exitosos del primer y segundo jugador de baloncesto. Encuentre la serie de distribución, la moda y la función de distribución de la variable aleatoria $X$. Construya un polígono de distribución y una gráfica de la función de distribución. Calcule el valor esperado, la varianza y la desviación estándar. Encuentra la probabilidad del evento $(-2 \lt X \le 1)$.

Problema 10. El número de barcos no residentes que llegan diariamente para cargar a un determinado puerto es una variable aleatoria $X$, dada de la siguiente manera:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
A) asegúrese de que se especifica la serie de distribución,
B) encuentre la función de distribución de la variable aleatoria $X$,
C) si llegan más de tres barcos en un día determinado, el puerto asume los costos debido a la necesidad de contratar conductores y cargadores adicionales. ¿Cuál es la probabilidad de que el puerto incurra en costos adicionales?
D) encuentre la expectativa matemática, la varianza y la desviación estándar de la variable aleatoria $X$.

Problema 11. Se lanzan 4 dados. Encuentra la expectativa matemática de la suma del número de puntos que aparecerán en todos los lados.

Problema 12. Los dos se turnan para lanzar una moneda hasta que aparece por primera vez el escudo de armas. El jugador que obtuvo el escudo de armas recibe 1 rublo del otro jugador. Encuentre la expectativa matemática de ganar para cada jugador.