Probar la hipótesis de que la media poblacional es igual a algún valor dado. Probar hipótesis estadísticas sobre la igualdad de medias.

A veces resulta que el resultado promedio de la serie principal de experimentos difiere del resultado promedio de otra serie de experimentos. Es necesario determinar si esta diferencia es accidental o no, es decir ¿Podemos considerar que el resultado del experimento representa una muestra de dos poblaciones independientes con las mismas medias, o las medias de estas poblaciones no son iguales?

La formulación formal de este problema es la siguiente: se estudian dos variables aleatorias distribuidas según una ley normal:

, Dónde σ – desviación estándar.

Se supone que se conocen las varianzas, pero se desconocen las expectativas matemáticas.

Sean dos series de observaciones de las cantidades Χ y Υ.

Χ: x 1, x 2, ..., x n 1.

Υ: y 1, y 2,…, y n 2.

Planteamos la siguiente hipótesis de que m x = m y. A partir de las observaciones, es necesario confirmar o refutar esta hipótesis. Si se confirma la hipótesis nula, entonces podemos decir que las diferencias entre los valores medios de las dos muestras son estadísticamente insignificantes, es decir explicado como un error aleatorio.

Se utiliza una prueba z para probar esta hipótesis. Para ello se calcula

Prueba z (estadística z), que se define de la siguiente manera:

Media aritmética de la serie. norte observaciones.

La prueba z tiene una distribución normal con expectativa matemática cero y varianza unitaria.

H1: m x ≠ m y

La hipótesis nula de que las medias son iguales: H0: =

La hipótesis alternativa de que las medias no son iguales es la siguiente : H 1: ≠.

Con una hipótesis alternativa, las siguientes opciones son posibles: o< , либо >. En consecuencia, debemos aplicar una prueba bilateral. Así, hay dos puntos críticos: y.

Estos puntos se seleccionan de la condición:

(1) Р(-∞

(2) P(

Por valor determinamos los puntos críticos izquierdo y derecho.

,

donde F(z) es la función de distribución acumulativa de la variable aleatoria Z, y F -1 (...) es la función inversa.

Definición: Dejemos que la función y = f(x) esté definida en el segmento , y sea el conjunto de valores de esta función el segmento [α, β]. Sea, además, cada y del segmento [α, β] corresponde a sólo un valor x del segmento para el cual f(x) = y. Luego sobre el segmento [α, β] podemos definir la función x = f -1 (y), asignando a cada y de [α, β] el valor x a partir del cual f(x) = y. La función x = f -1 (y) se llama inversa de la función y = f(x).

Los valores de los puntos críticos se pueden encontrar usando la función: =NORMSINV, especificando el valor de probabilidad () en el cuadro de diálogo (para encontrar el valor, o el valor (1 -) - para encontrar el valor).

Magnitud z, normalmente distribuido con parámetros Z=N(0;1), distribuido simétricamente:

0,05

Interpretación geométrica: la probabilidad de caer en el área donde se rechaza la hipótesis es igual a la suma de las áreas sombreadas.

Secuencia de prueba:

1. Calcular estadísticas Z.

2. Establecemos el nivel de significancia.

3. Determinamos los puntos críticos en base a las condiciones (1) y (2).

4. Compare el valor calculado en el paso 1. z con el valor de los puntos críticos:

si el valor Z- estadística será mayor en valor absoluto que el valor del punto crítico, entonces la hipótesis nula se rechaza en este nivel de significancia. Esto significa que las dos poblaciones de las que se extrae la muestra son diferentes y, por tanto, las medias y expectativas para estas muestras no son iguales. En caso contrario, se acepta la hipótesis de igualdad de medias, y las dos poblaciones pueden considerarse como una en común con el mismo valor matemático.

Existe una herramienta de análisis en EXCEL llamada “dos muestras z-prueba de promedios" (Servicio - análisis de datos - dos muestras Z- prueba de promedios). Sirve para probar la hipótesis sobre la diferencia entre las medias (expectativas matemáticas) de dos distribuciones normales con varianzas conocidas.

Cuando se llama a esta herramienta, aparece un cuadro de diálogo en el que se configuran los siguientes parámetros:

*Diferencia de medias hipotética: Se ingresa el número de la diferencia esperada entre las medias para la secuencia general que se está estudiando. Para probar la hipótesis de igualdad de medias, se debe ingresar el valor cero.

* Varianza de la variable 1 (conocida): Se introduce un valor conocido de la varianza de la variable aleatoria X.

* Varianza de la variable 2 (conocida): Se introduce un valor conocido de la varianza de la variable aleatoria Y.

* Etiquetas: si se activa, la primera línea se percibe como un encabezado y no se cuenta.

* Alfa: el nivel de significancia se establece igual a la probabilidad de cometer un error de tipo I.

EJERCICIO 1:

Se conocen algunos datos sobre el diámetro de los rodillos en milímetros producidos por las máquinas 1 y 2.

Dispersión para la máquina 1: = 5 mm 2.

Dispersión para la máquina 2: =7 mm 2.

Nivel de significancia = 0,05.

1.Usando dos muestras Z- prueba de promedios verifique la hipótesis de igualdad de valores promedio para su opción.

2. Verifique la misma hipótesis utilizando fórmulas de cálculo.

La homogeneidad de dos muestras se comprueba mediante la prueba de Student (o t– criterio). Consideremos la formulación del problema de comprobar la homogeneidad de dos muestras. Se dejan dos muestras de volumen y se hace. Es necesario probar la hipótesis nula de que las medias generales de las dos muestras son iguales. Eso es, y. n 1

Antes de considerar la metodología para resolver el problema, consideremos algunos principios teóricos utilizados para resolver el problema. El famoso matemático W.S. Gosset (que publicó varios de sus trabajos bajo el seudónimo de Student) demostró que la estadística t(6.4) obedece a una determinada ley de distribución, que más tarde se denominó ley de distribución de Student (el segundo nombre de la ley es “ t- distribución").

Valor promedio de una variable aleatoria X;

Expectativa de una variable aleatoria X;

Desviación estándar del volumen de muestra promedio norte.

La estimación de la desviación estándar del promedio se calcula mediante la fórmula (6.5):

Desviación estándar de una variable aleatoria X.

La distribución de Student tiene un parámetro: el número de grados de libertad.

Ahora volvamos a la formulación original del problema con dos muestras y consideremos una variable aleatoria igual a la diferencia entre las medias de dos muestras (6.6):

(6.6)

Siempre que se cumpla la hipótesis sobre la igualdad de las medias generales, (6.7) se cumple:

(6.7)

Reescribamos la relación (6.4) en relación con nuestro caso:

La estimación de la desviación estándar se puede expresar en términos de la estimación de la desviación estándar de la población combinada (6.9):

(6.9)

Una estimación de la varianza de la población agrupada se puede expresar en términos de estimaciones de la varianza calculadas a partir de dos muestras y:

(6.10)

Teniendo en cuenta la fórmula (6.10), la relación (6.9) se puede reescribir como (6.11). La relación (6.9) es la fórmula de cálculo principal para el problema de comparar promedios:

Al sustituir el valor en la fórmula (6.8), tendremos un valor de muestra t-criterios. Según tablas de distribución de Student con el número de grados de libertad. y se puede determinar un determinado nivel de significancia. Ahora bien, si , entonces se rechaza la hipótesis sobre la igualdad de las dos medias.

Veamos un ejemplo de cómo realizar cálculos para probar la hipótesis de la igualdad de dos promedios en EXCEL. Creemos una tabla de datos (Fig. 6.22). Generaremos los datos usando el programa de generación de números aleatorios del paquete Análisis de Datos:

Muestra X1 de distribución normal con parámetros volumen;

Muestra X2 de una distribución normal con parámetros de volumen;

Muestra X3 de distribución normal con parámetros volumen;

Muestra X4 de distribución normal con parámetros volumen.

Comprobemos la hipótesis de igualdad de dos medias (X1-X2), (X1-X3), (X1-X4). Primero, calculemos los parámetros de las muestras de características X1-X4 (Fig. 6.23). Luego calculamos el valor t- criterios. Los cálculos se realizarán utilizando las fórmulas (6.6) – (6.9) en EXCEL. Resumimos los resultados del cálculo en una tabla (Fig. 6.24).

Arroz. 6.22. Tabla de datos

Arroz. 6.23. Parámetros de muestras de características X1-X4

Arroz. 6.24. Tabla resumen para calcular valores t– criterios para pares de características (X1-X2), (X1-X3), (X1-X4)

Según los resultados mostrados en la tabla de la Fig. 6.24 podemos concluir que para un par de signos (X1-X2) se rechaza la hipótesis de igualdad de las medias de dos signos, y para pares de signos (X1-X3), (X1-X4) la hipótesis se puede considerar válida .

Se pueden obtener los mismos resultados utilizando el programa Two-Sample. t-prueba con varianzas iguales” del paquete de Análisis de Datos. La interfaz del programa se muestra en la Fig. 6.25.

Arroz. 6.25. Opciones de programa de dos muestras t- prueba con varianzas iguales”

Los resultados de los cálculos para probar las hipótesis de igualdad de dos pares promedio de características (X1-X2), (X1-X3), (X1-X4), obtenidos utilizando el programa, se muestran en la Fig. 6.26-6.28.

Arroz. 6.26. Cálculo del valor t– criterio para un par de características (X1-X2)

Arroz. 6.27. Cálculo del valor t– criterio para un par de características (X1-X3)

Arroz. 6.28. Cálculo del valor t– criterio para un par de características (X1-X4)

Dos muestras t-La prueba con varianzas iguales también se llama t-prueba con muestras independientes. También recibió una amplia distribución. t- prueba de muestras dependientes. La situación en la que es necesario aplicar este criterio surge cuando la misma variable aleatoria se mide dos veces. El número de observaciones en ambos casos es el mismo. Introduzcamos la notación para dos medidas sucesivas de alguna propiedad de los mismos objetos, y denotemos la diferencia de dos medidas sucesivas:

En este caso, la fórmula para el valor muestral del criterio toma la forma:

, (6.13)

(6.15)

En este caso, el número de grados de libertad es . La prueba de hipótesis se puede realizar utilizando el programa Paired Two-Sample. t-test” paquete de análisis de datos (Fig. 6.29).

Arroz. 6.29. Parámetros del programa “Dos muestras emparejadas” t-prueba"

6.5. Análisis de varianza – clasificación según un criterio (F - criterio)

En el análisis de varianza se prueba una hipótesis, que es una generalización de la hipótesis de igualdad de dos medias al caso en que se prueba simultáneamente la hipótesis de igualdad de varias medias. El análisis de varianza examina el grado de influencia de una o más características de los factores sobre la característica resultante. La idea del análisis de varianza pertenece a R. Fischer. Lo utilizó para procesar los resultados de experimentos agronómicos. El análisis de varianza se utiliza para establecer la importancia de la influencia de factores cualitativos sobre el valor en estudio. El nombre abreviado en inglés para análisis de varianza es ANOVA (variación de análisis).

La forma general de presentación de datos con clasificación según un criterio se presenta en la Tabla 6.1.

Tabla 6.1. Formulario de presentación de datos con clasificación según una característica.

Comprobar si el promedio es igual a un valor determinado.

Las muestras se extraen de una población que tiene una distribución normal y los datos son independientes.

El valor del criterio se calcula mediante la fórmula:

donde N es el tamaño de la muestra;

S 2 - varianza de la muestra empírica;

A es el valor esperado del valor promedio;

X es el valor promedio.

El número de grados de libertad para la prueba t es V = n-1.

Cero tu hipótesis

N 0: X = A versus N A: X≠A. La hipótesis nula de igualdad de medias se rechaza si, en valor absoluto, el valor del criterio es mayor que el punto superior α/2% de la distribución t tomada con V grados de libertad, es decir, cuando │t│> t vα /2.

H 0: X< А против Н А: X >A. La hipótesis nula se rechaza si el valor del criterio es mayor que el punto α% superior de la distribución t tomada con V grados de libertad, es decir, cuando │t│>t vα.

H 0: X>A frente a H A: X< А. Нулевая гипотеза отвергается, если критериальное значение меньше нижней α% точки t-распределения, взятого с V степенями свободы.

El criterio es estable para pequeñas desviaciones de la distribución normal.

Ejemplo

Consideremos el ejemplo presentado en la Fig. 5.10. Digamos que necesitamos probar la hipótesis de que la media de la muestra (celdas 123:130) es igual a 0,012.

Primero, encontramos la media muestral (=PROMEDIO(123:130) en I31) y la varianza (=VARIANCIA(I23:I30) en I32). Después de esto, calculamos el criterio (=(131-0.012)*ROOT(133)/132) y los valores críticos (=STUDISCOVER(0.025,133-1)). Dado que el valor criterio (24,64) es mayor que el valor crítico (2,84), se rechaza la hipótesis de que la media es igual a 0,012.

Figura 5.10 Comparando el valor promedio con una constante

1. probar hipótesis sobre medias y varianzas utilizando las pruebas paramétricas de Fisher y Cochran (Tabla 5.4);

2. probar la hipótesis sobre la igualdad de medias con varianzas muestrales desiguales (para hacer esto, elimine 1 o 2 valores en una de las muestras de su variante) (Tabla 5.4);

3. Verifique la hipótesis de que el promedio es igual al valor dado A (Tabla 5.5) y los datos de la primera columna para la opción.

Tabla 5.4

Opciones de tarea

Datos del experimento
Opción
2,3	2,6			2,2	2,1			2,5	2,6
1,20	1,42	17,3	23,5	2,37	2,85	35,2	26,1	2,1	2,6
5,63	5,62	26,1	27,0	5,67	2,67	35,9	25,8	5,1	5,63
2,34	2,37	23,9	23,3	2,35	2,34	33,6	23,8	2,34	2,38
7,71	7,90	28,0	25,2	2,59	2,58	35,7	26,0	7,63	7,6,1
1,2	1,6			1,7	2,6			1,9	2,8
1,13	1,15	21,6	21,2	2,13	2,16	31,7		1,12	1,12
1,45	1,47	24,7	24,8	2,45	2,47	34,8	24,5	1,49	1,45
3,57	3,59	25,9	25,7	2,55	2,59	36,0	25,7	3,58	3,58
3,3	3,6			2,5	2,4			3,4	3,5
Datos del experimento
Opción
7,3	7,6			12,2	12,1			3,5	4,6
6,20	6,42	217,3	230,5	12,37	12,85	75,2	86,1	3,1	4,6
7,63	5,62	264,1	278,0	15,67	14,67	75,9	75,8	5,1	5,63
6,34	5,37	233,9	236,3	12,35	12,34	73,6	73,8	3,34	4,38
7,71	7,90	281,0	255,2	12,59	12,58	85,7	86,0	3,63	4,6,1
6,2	6,6			11,7	12,6			3,9	4,8
4,13	4,15	251,6	261,2	12,13	12,16	71,7		5,12	4,12
5,45	6,47	244,7	247,8	12,45	12,47	74,8	84,5	3,49	4,45
5,57	5,59	250,9	255,7	12,55	12,59	86,0	85,7	3,58	3,58
5,3	5,6			12,5	12,4			3,4	3,5

Tabla 5.5

Valor A

Opciones
2,2		2,2		2,2	6,5		12,2		3,5

Puede utilizar sus propios datos experimentales como datos iniciales en la tarea.

El informe debe contener cálculos de características estadísticas.

Preguntas de control:

1. ¿Qué problemas estadísticos se resuelven al estudiar los procesos tecnológicos en la industria alimentaria?

2. ¿Cómo se comparan las características estadísticas de las variables aleatorias?

3. Nivel de significancia y probabilidad de confianza para la confiabilidad de la evaluación de datos experimentales.

4. ¿Cómo se prueban las hipótesis estadísticas mediante pruebas de bondad de ajuste?

5. ¿De qué depende el poder de la prueba de bondad de ajuste para analizar muestras experimentales?

6. ¿Cómo se realiza la selección de criterios para la resolución de problemas de análisis de procesos tecnológicos de producción de alimentos?

7. ¿Cómo se realiza la clasificación de los criterios de concertación para el análisis de muestras de resultados de investigaciones sobre procesos tecnológicos de producción de alimentos?

8. ¿Cuáles son los requisitos para muestrear los resultados de la investigación sobre procesos tecnológicos de producción de alimentos?

Ejemplo. Los ingresos de las farmacias en uno de los microdistritos de la ciudad durante un período determinado ascendieron a 128; 192; 223; 398; 205; 266; 219; 260; 264; 98 (unidades convencionales). En el microdistrito vecino, al mismo tiempo, eran 286; 240; 263; 266; 484; 223; 335.
Para ambas muestras, calcule la media, la varianza corregida y la desviación estándar. Encuentre el rango de variación, la desviación absoluta (lineal) promedio, el coeficiente de variación, el coeficiente de variación lineal, el coeficiente de oscilación.
Suponiendo que una variable aleatoria dada tiene una distribución normal, determine el intervalo de confianza para la media general (en ambos casos).
Utilizando el criterio de Fisher, verifique la hipótesis de igualdad de varianzas generales. Utilizando la prueba de Student, verifique la hipótesis sobre la igualdad de medias generales (la hipótesis alternativa es sobre su desigualdad).
En todos los cálculos, el nivel de significancia es α = 0,05.

Realizamos la solución utilizando la calculadora Probando la hipótesis de igualdad de varianzas.
1. Encuentre los indicadores de variación para la primera muestra..

X	|x - x av |	(x - x promedio) 2
98	127.3	16205.29
128	97.3	9467.29
192	33.3	1108.89
205	20.3	412.09
219	6.3	39.69
223	2.3	5.29
260	34.7	1204.09
264	38.7	1497.69
266	40.7	1656.49
398	172.7	29825.29
2253	573.6	61422.1

.



Indicadores de variación.
.

R = X máx - X mín
R = 398 - 98 = 300
Desviación lineal promedio


Cada valor de la serie difiere del otro en un promedio de 57,36
Dispersión


Estimador de varianza insesgado


.

Cada valor de la serie difiere del valor medio de 225,3 en una media de 78,37
.

.

El coeficiente de variación.

Dado que v>30%, pero v o

Coeficiente de oscilación

.
.


Usando la tabla de Student encontramos:
Tabla T (n-1;α/2) = Tabla T (9;0,025) = 2,262

(225.3 - 59.09;225.3 + 59.09) = (166.21;284.39)

2. Encuentre los indicadores de variación para la segunda muestra..
Clasifiquemos la fila. Para ello, ordenamos sus valores en orden ascendente.
Tabla de cálculo de indicadores.

X	|x - x av |	(x - x promedio) 2
223	76.57	5863.18
240	59.57	3548.76
263	36.57	1337.47
266	33.57	1127.04
286	13.57	184.18
335	35.43	1255.18
484	184.43	34013.9
2097	439.71	47329.71

Para evaluar la serie de distribución, encontramos los siguientes indicadores:
Indicadores del centro de distribución.
media aritmética simple


Indicadores de variación.
variaciones absolutas.
El rango de variación es la diferencia entre los valores máximo y mínimo de la característica de la serie primaria.
R = X máx - X mín
R = 484 - 223 = 261
Desviación lineal promedio- calculado para tener en cuenta las diferencias de todas las unidades de la población en estudio.


Cada valor de la serie difiere del otro en un promedio de 62,82
Dispersión- caracteriza la medida de dispersión alrededor de su valor promedio (una medida de dispersión, es decir, desviación del promedio).


Estimador de varianza insesgado- estimación consistente de la varianza (varianza corregida).


Desviación Estándar.

Cada valor de la serie difiere del valor medio de 299,57 en una media de 82,23
Estimación de la desviación estándar.

Medidas de variación relativa.
Los indicadores relativos de variación incluyen: coeficiente de oscilación, coeficiente lineal de variación, desviación lineal relativa.
El coeficiente de variación.- una medida de la dispersión relativa de los valores de la población: muestra qué proporción del valor medio de este valor es su dispersión media.

Como v ≤ 30%, la población es homogénea y la variación es débil. Se puede confiar en los resultados obtenidos.
Coeficiente de variación lineal o Desviación lineal relativa- caracteriza la proporción del valor medio del signo de desviaciones absolutas del valor medio.

Coeficiente de oscilación- refleja la fluctuación relativa de los valores extremos de la característica alrededor del promedio.

Estimación por intervalos del centro de población..
Intervalo de confianza para la media general.

Determine el valor de t kp usando la tabla de distribución de Student
Usando la tabla de Student encontramos:
Tabla T (n-1;α/2) = Tabla T (6;0,025) = 2,447

(299.57 - 82.14;299.57 + 82.14) = (217.43;381.71)
Con una probabilidad de 0,95, se puede afirmar que el valor promedio con un tamaño de muestra mayor no quedará fuera del intervalo encontrado.
Probamos la hipótesis de igualdad de varianzas:
H 0: D x = D y ;
H 1: D x Encontremos el valor observado del criterio de Fisher:

Dado que s y 2 > s x 2, entonces s b 2 = s y 2, s m 2 = s x 2
Número de grados de libertad:
f 1 = norte y – 1 = 7 – 1 = 6
f 2 = norte x – 1 = 10 – 1 = 9
Utilizando la tabla de puntos críticos de la distribución de Fisher-Snedecor a un nivel de significancia de α = 0,05 y dados los números de grados de libertad, encontramos F cr (6;9) = 3,37
Porque F obs. Probamos la hipótesis sobre la igualdad de medias generales:


Encontremos el valor experimental del criterio de Student:


Número de grados de libertad f = n x + n y – 2 = 10 + 7 – 2 = 15
Determine el valor de t kp usando la tabla de distribución de Student
Usando la tabla de Student encontramos:
T tabla (f;α/2) = T tabla (15;0,025) = 2,131
Usando la tabla de puntos críticos de la distribución de Student a un nivel de significancia de α = 0,05 y un número dado de grados de libertad, encontramos t cr = 2,131
Porque obs.