Πώς να αποδείξετε ότι οι ευθείες γραμμές τέμνονται στο χώρο. Διασχίζοντας τις γραμμές

Σε αυτό το άρθρο, θα ορίσουμε πρώτα τη γωνία μεταξύ των γραμμών διέλευσης και θα παρέχουμε μια γραφική απεικόνιση. Στη συνέχεια, θα απαντήσουμε στην ερώτηση: "Πώς να βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών διέλευσης εάν είναι γνωστές οι συντεταγμένες των διανυσμάτων κατεύθυνσης αυτών των γραμμών σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων"; Συμπερασματικά, θα εξασκηθούμε στην εύρεση της γωνίας μεταξύ τεμνόμενων γραμμών κατά την επίλυση παραδειγμάτων και προβλημάτων.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Γωνία μεταξύ τεμνόμενων ευθειών - ορισμός.

Θα προσεγγίσουμε τον προσδιορισμό της γωνίας μεταξύ των τεμνόμενων ευθειών σταδιακά.

Αρχικά, ας θυμηθούμε τον ορισμό των λοξών γραμμών: δύο γραμμές σε τρισδιάστατο χώρο ονομάζονται διασταύρωση, εάν δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Από αυτόν τον ορισμό προκύπτει ότι οι τεμνόμενες γραμμές δεν τέμνονται, δεν είναι παράλληλες και, επιπλέον, δεν συμπίπτουν, διαφορετικά θα βρίσκονταν και οι δύο σε ένα ορισμένο επίπεδο.

Ας δώσουμε περαιτέρω επικουρικό σκεπτικό.

Έστω δύο τεμνόμενες ευθείες a και b σε τρισδιάστατο χώρο. Ας κατασκευάσουμε ευθείες a 1 και b 1 έτσι ώστε να είναι παράλληλες με τις λοξές ευθείες a και b, αντίστοιχα, και να περνούν από κάποιο σημείο του χώρου M 1 . Έτσι, παίρνουμε δύο τεμνόμενες ευθείες a 1 και b 1. Έστω η γωνία μεταξύ των τεμνόμενων γραμμών a 1 και b 1 ίση με τη γωνία . Τώρα ας κατασκευάσουμε τις ευθείες a 2 και b 2, παράλληλες με τις λοξές γραμμές a και b, αντίστοιχα, που διέρχονται από ένα σημείο M 2, διαφορετικό από το σημείο M 1. Η γωνία μεταξύ των τεμνόμενων γραμμών a 2 και b 2 θα είναι επίσης ίση με τη γωνία. Αυτή η δήλωση είναι αληθής, αφού οι ευθείες a 1 και b 1 θα συμπίπτουν με τις ευθείες a 2 και b 2, αντίστοιχα, εάν πραγματοποιηθεί παράλληλη μεταφορά, στην οποία το σημείο M 1 μετακινείται στο σημείο M 2. Έτσι, το μέτρο της γωνίας μεταξύ δύο ευθειών που τέμνονται σε ένα σημείο Μ, αντίστοιχα παράλληλες προς τις δεδομένες τεμνόμενες ευθείες, δεν εξαρτάται από την επιλογή του σημείου Μ.

Τώρα είμαστε έτοιμοι να ορίσουμε τη γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών.

Ορισμός.

Γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμώνείναι η γωνία μεταξύ δύο τεμνόμενων ευθειών που είναι αντίστοιχα παράλληλες με τις δεδομένες τεμνόμενες ευθείες.

Από τον ορισμό προκύπτει ότι η γωνία μεταξύ των γραμμών διέλευσης δεν θα εξαρτάται επίσης από την επιλογή του σημείου M. Επομένως, ως σημείο Μ μπορούμε να πάρουμε οποιοδήποτε σημείο που ανήκει σε μία από τις τεμνόμενες ευθείες.

Ας δώσουμε μια απεικόνιση του προσδιορισμού της γωνίας μεταξύ τεμνόμενων γραμμών.

Εύρεση της γωνίας μεταξύ τεμνόμενων γραμμών.

Εφόσον η γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών καθορίζεται μέσω της γωνίας μεταξύ τεμνόμενων γραμμών, η εύρεση της γωνίας μεταξύ τεμνόμενων γραμμών μειώνεται στην εύρεση της γωνίας μεταξύ των αντίστοιχων τεμνόμενων γραμμών στον τρισδιάστατο χώρο.

Αναμφίβολα, οι μέθοδοι που μελετώνται στα μαθήματα γεωμετρίας στο λύκειο είναι κατάλληλες για την εύρεση της γωνίας μεταξύ τεμνόμενων γραμμών. Δηλαδή, έχοντας ολοκληρώσει τις απαραίτητες κατασκευές, μπορείτε να συνδέσετε την επιθυμητή γωνία με οποιαδήποτε γωνία γνωστή από τη συνθήκη, με βάση την ισότητα ή την ομοιότητα των σχημάτων, σε ορισμένες περιπτώσεις θα βοηθήσει θεώρημα συνημιτόνου, και μερικές φορές οδηγεί στο αποτέλεσμα ορισμός ημιτόνου, συνημίτονος και εφαπτομένης γωνίαςορθογώνιο τρίγωνο.

Ωστόσο, είναι πολύ βολικό να λυθεί το πρόβλημα της εύρεσης της γωνίας μεταξύ των γραμμών διέλευσης χρησιμοποιώντας τη μέθοδο συντεταγμένων. Αυτό θα εξετάσουμε.

Αφήστε το Oxyz να εισαχθεί στον τρισδιάστατο χώρο (αν και σε πολλά προβλήματα πρέπει να το εισάγετε μόνοι σας).

Ας θέσουμε έναν στόχο: να βρούμε τη γωνία μεταξύ των γραμμών διασταύρωσης a και b, που αντιστοιχούν σε ορισμένες εξισώσεις μιας ευθείας στο διάστημα στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyz.

Ας το λύσουμε.

Ας πάρουμε ένα αυθαίρετο σημείο στον τρισδιάστατο χώρο M και ας υποθέσουμε ότι διέρχονται από αυτό ευθείες a 1 και b 1, παράλληλες με τις διασταυρούμενες ευθείες a και b, αντίστοιχα. Τότε η απαιτούμενη γωνία μεταξύ των τεμνόμενων γραμμών a και b είναι εξ ορισμού ίση με τη γωνία μεταξύ των τεμνόμενων γραμμών a 1 και b 1.

Έτσι, πρέπει απλώς να βρούμε τη γωνία μεταξύ των τεμνόμενων γραμμών a 1 και b 1. Για να εφαρμόσουμε τον τύπο για την εύρεση της γωνίας μεταξύ δύο τεμνόμενων γραμμών στο διάστημα, πρέπει να γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων κατεύθυνσης των ευθειών a 1 και b 1.

Πώς μπορούμε να τα αποκτήσουμε; Και είναι πολύ απλό. Ο ορισμός του διανύσματος κατεύθυνσης μιας ευθείας γραμμής μας επιτρέπει να ισχυριστούμε ότι τα σύνολα των διανυσμάτων κατεύθυνσης των παράλληλων ευθειών συμπίπτουν. Επομένως, τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών a 1 και b 1 μπορούν να ληφθούν ως διανύσματα κατεύθυνσης Και ευθείες α και β αντίστοιχα.

Ετσι, Η γωνία μεταξύ δύο τεμνόμενων ευθειών a και b υπολογίζεται από τον τύπο
, Οπου Και είναι τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών a και b, αντίστοιχα.

Τύπος εύρεσης του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ των γραμμών διέλευσηςα και β έχουν τη μορφή .

Σας επιτρέπει να βρείτε το ημίτονο της γωνίας μεταξύ των γραμμών διέλευσης εάν το συνημίτονο είναι γνωστό: .

Μένει να αναλύσουμε τις λύσεις στα παραδείγματα.

Παράδειγμα.

Βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών διασταύρωσης a και b, οι οποίες ορίζονται στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyz από τις εξισώσεις Και .

Λύση.

Οι κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής στο χώρο σας επιτρέπουν να προσδιορίσετε αμέσως τις συντεταγμένες του κατευθυντικού διανύσματος αυτής της ευθείας γραμμής - δίνονται από τους αριθμούς στους παρονομαστές των κλασμάτων, δηλαδή, . Οι παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής στο χώρο καθιστούν επίσης δυνατή την άμεση καταγραφή των συντεταγμένων του διανύσματος κατεύθυνσης - είναι ίσες με τους συντελεστές μπροστά από την παράμετρο, δηλαδή, - άμεσο διάνυσμα . Έτσι, έχουμε όλα τα απαραίτητα δεδομένα για να εφαρμόσουμε τον τύπο με τον οποίο υπολογίζεται η γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών:

Απάντηση:

Η γωνία μεταξύ των δεδομένων τεμνόμενων γραμμών είναι ίση με .

Παράδειγμα.

Να βρείτε το ημίτονο και το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των γραμμών διέλευσης στις οποίες βρίσκονται οι ακμές AD και BC της πυραμίδας ABCD, αν είναι γνωστές οι συντεταγμένες των κορυφών της: .

Λύση.

Τα διανύσματα κατεύθυνσης των γραμμών διέλευσης AD και BC είναι τα διανύσματα και . Ας υπολογίσουμε τις συντεταγμένες τους ως τη διαφορά μεταξύ των αντίστοιχων συντεταγμένων των σημείων τέλους και αρχής του διανύσματος:

Σύμφωνα με τον τύπο μπορούμε να υπολογίσουμε το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των καθορισμένων γραμμών διέλευσης:

Τώρα ας υπολογίσουμε το ημίτονο της γωνίας μεταξύ των γραμμών διέλευσης:

Απάντηση:

Συμπερασματικά, θα εξετάσουμε τη λύση σε ένα πρόβλημα στο οποίο είναι απαραίτητο να βρεθεί η γωνία μεταξύ των γραμμών διέλευσης και το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων πρέπει να εισαχθεί ανεξάρτητα.

Παράδειγμα.

Δίνεται ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, το οποίο έχει AB = 3, AD = 2 και AA 1 = 7 μονάδες. Το σημείο Ε βρίσκεται στην άκρη ΑΑ 1 και το διαιρεί σε αναλογία 5 προς 2, μετρώντας από το σημείο Α. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών διέλευσης BE και A 1 C.

Λύση.

Δεδομένου ότι τα άκρα ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου σε μία κορυφή είναι αμοιβαία κάθετα, είναι βολικό να εισαχθεί ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και να προσδιοριστεί η γωνία μεταξύ των υποδεικνυόμενων γραμμών διέλευσης χρησιμοποιώντας τη μέθοδο συντεταγμένων μέσω της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσης αυτών των γραμμών.

Ας εισαγάγουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyz ως εξής: ας συμπίπτει η αρχή με την κορυφή A, ο άξονας Ox συμπίπτει με την ευθεία γραμμή AD, ο άξονας Oy με την ευθεία γραμμή AB και ο άξονας Oz με την ευθεία γραμμή AA 1.

Τότε το σημείο Β έχει συντεταγμένες, το σημείο Ε - (αν χρειάζεται, βλέπε το άρθρο), το σημείο Α 1 - και το σημείο Γ -. Από τις συντεταγμένες αυτών των σημείων μπορούμε να υπολογίσουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και . Εχουμε , .

Απομένει να εφαρμόσουμε τον τύπο για να βρούμε τη γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες των διανυσμάτων κατεύθυνσης:

Απάντηση:

Βιβλιογραφία.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Γεωμετρία. Εγχειρίδιο για τις τάξεις 10-11 της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης.
• Pogorelov A.V., Γεωμετρία. Εγχειρίδιο για τις τάξεις 7-11 σε ιδρύματα γενικής εκπαίδευσης.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Ανώτερα μαθηματικά. Τόμος πρώτος: στοιχεία γραμμικής άλγεβρας και αναλυτικής γεωμετρίας.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Αναλυτική γεωμετρία.

Οι γραμμές l1 και l2 ονομάζονται λοξές αν δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Έστω a και b τα διανύσματα κατεύθυνσης αυτών των γραμμών και έστω τα σημεία M1 και M2 ανήκουν στις ευθείες l1 και l2, αντίστοιχα

Τότε τα διανύσματα a, b, M1M2> δεν είναι συνεπίπεδα, και επομένως το μικτό γινόμενο τους δεν είναι ίσο με μηδέν, δηλ. (a, b, M1M2>) =/= 0. Η αντίστροφη πρόταση είναι επίσης αληθής: αν (a, b , M1M2> ) =/= 0, τότε τα διανύσματα a, b, M1M2> δεν είναι συνεπίπεδα και, επομένως, οι ευθείες l1 και l2 δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, δηλαδή τέμνονται.Έτσι, τέμνονται δύο ευθείες αν και μόνο αν συνθήκη(a, b, M1M2>) =/= 0, όπου a και b είναι τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών, και M1 και M2 είναι τα σημεία που ανήκουν, αντίστοιχα, σε αυτές τις ευθείες. Η συνθήκη (a, b, M1M2>) = 0 είναι απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για το γεγονός ότι οι ευθείες βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Αν οι ευθείες δίνονται από τις κανονικές τους εξισώσεις

τότε a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), M1 (x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2) και η συνθήκη (2) γράφεται ως εξής:

Απόσταση μεταξύ των γραμμών διέλευσης

Αυτή είναι η απόσταση μεταξύ μιας από τις τεμνόμενες ευθείες και ενός επιπέδου παράλληλου προς αυτήν, που διέρχεται από μια άλλη ευθεία. Η απόσταση μεταξύ τεμνόμενων γραμμών είναι η απόσταση από κάποιο σημείο μιας από τις τεμνόμενες ευθείες σε ένα επίπεδο που διέρχεται από μια άλλη ευθεία παράλληλη προς την πρώτη γραμμή.

26.Ορισμός έλλειψης, κανονική εξίσωση. Παραγωγή της κανονικής εξίσωσης. Ιδιότητες.

Έλειψη είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων σε ένα επίπεδο για τον οποίο το άθροισμα των αποστάσεων σε δύο εστιασμένα σημεία F1 και F2 αυτού του επιπέδου, που ονομάζονται εστίες, είναι σταθερή τιμή. Σε αυτήν την περίπτωση, η σύμπτωση των εστιών της έλλειψης είναι Δεν αποκλείεται. Εάν οι γεύσεις συμπίπτουν, τότε η έλλειψη είναι κύκλος. Για οποιαδήποτε έλλειψη, μπορείτε να βρείτε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε η έλλειψη να περιγράφεται από την εξίσωση (η κανονική εξίσωση της έλλειψης):

Περιγράφει μια έλλειψη με κέντρο την αρχή, της οποίας οι άξονες συμπίπτουν με τους άξονες συντεταγμένων.

Εάν στη δεξιά πλευρά υπάρχει μια μονάδα με πρόσημο μείον, τότε η εξίσωση που προκύπτει είναι:

περιγράφει μια φανταστική έλλειψη. Είναι αδύνατο να απεικονίσουμε μια τέτοια έλλειψη στο πραγματικό επίπεδο. Ας υποδηλώσουμε τις εστίες με F1 και F2 και την απόσταση μεταξύ τους με 2c και το άθροισμα των αποστάσεων από ένα αυθαίρετο σημείο της έλλειψης στις εστίες με 2a

Για να εξαγάγουμε την εξίσωση της έλλειψης, επιλέγουμε το σύστημα συντεταγμένων Oxy έτσι ώστε οι εστίες F1 και F2 να βρίσκονται στον άξονα Ox και η αρχή να συμπίπτει με το μέσο του τμήματος F1F2. Τότε οι εστίες θα έχουν τις ακόλουθες συντεταγμένες: και Έστω M(x;y) ένα αυθαίρετο σημείο της έλλειψης. Τότε, σύμφωνα με τον ορισμό της έλλειψης, δηλ.

Αυτή, στην ουσία, είναι η εξίσωση μιας έλλειψης.

27. Ορισμός υπερβολής, κανονική εξίσωση. Παραγωγή της κανονικής εξίσωσης. Ιδιότητες

Μια υπερβολή είναι ένας γεωμετρικός τόπος σημείων σε ένα επίπεδο για τον οποίο η απόλυτη τιμή της διαφοράς απόστασης από δύο σταθερά σημεία F1 και F2 αυτού του επιπέδου, που ονομάζονται εστίες, είναι μια σταθερή τιμή. Έστω M(x;y) αυθαίρετη σημείο της υπερβολής. Στη συνέχεια, σύμφωνα με τον ορισμό της υπερβολής |MF 1 – MF 2 |=2a ή MF 1 – MF 2 =±2a,

28. Ορισμός παραβολής, κανονική εξίσωση. Παραγωγή της κανονικής εξίσωσης. Ιδιότητες. Παραβολή είναι το HMT ενός επιπέδου για το οποίο η απόσταση από κάποιο σταθερό σημείο F αυτού του επιπέδου είναι ίση με την απόσταση από κάποια σταθερή ευθεία, που βρίσκεται επίσης στο υπό εξέταση επίπεδο. F – εστίαση της παραβολής. η σταθερή γραμμή είναι η ευθεία της παραβολής. r=d,

r=; d=x+p/2; (x-p/2) 2 +y 2 =(x+p/2) 2; x 2 -xp+p 2 /4+y 2 =x 2 +px+p 2 /4; y 2 =2 px;

Ιδιότητες: 1. Μια παραβολή έχει άξονα συμμετρίας (άξονας παραβολής). 2.Όλα

η παραβολή βρίσκεται στο δεξιό ημιεπίπεδο του επιπέδου Oxy στο p>0 και στο αριστερό

αν σελ<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.

"

Η σχετική θέση δύο γραμμών στο χώρο.

Η σχετική θέση δύο γραμμών στο χώρο χαρακτηρίζεται από τις ακόλουθες τρεις δυνατότητες.

Οι ευθείες βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινά σημεία - παράλληλες ευθείες.

Οι ευθείες βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και έχουν ένα κοινό σημείο - οι ευθείες τέμνονται.

Στο διάστημα, δύο ευθείες γραμμές μπορούν επίσης να βρίσκονται με τέτοιο τρόπο ώστε να μην βρίσκονται σε κανένα επίπεδο. Τέτοιες γραμμές ονομάζονται λοξές (δεν τέμνονται ή είναι παράλληλες).

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ:

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 434 Το τρίγωνο ABC βρίσκεται σε ένα επίπεδο, α

Το τρίγωνο ABC βρίσκεται στο επίπεδο, αλλά το σημείο D δεν βρίσκεται σε αυτό το επίπεδο. Τα σημεία M, N και K είναι αντίστοιχα τα μέσα των τμημάτων DA, DB και DC

Θεώρημα.Εάν μία από τις δύο ευθείες βρίσκεται σε ένα συγκεκριμένο επίπεδο και η άλλη τέμνει αυτό το επίπεδο σε ένα σημείο που δεν βρίσκεται στην πρώτη γραμμή, τότε αυτές οι ευθείες τέμνονται.

Στο Σχ. 26 Η ευθεία a βρίσκεται στο επίπεδο και η ευθεία c τέμνεται στο σημείο N. Οι ευθείες a και c τέμνονται.

Θεώρημα.Μέσα από κάθε μία από τις δύο τεμνόμενες ευθείες διέρχεται μόνο ένα επίπεδο παράλληλο στην άλλη ευθεία.

Στο Σχ. 26 ευθείες α και β τέμνονται. Τραβιέται μια ευθεία γραμμή και ένα επίπεδο (άλφα) || b (στο επίπεδο Β (βήτα) υποδεικνύεται η ευθεία a1 || b).

Θεώρημα 3.2.

Δύο ευθείες παράλληλες σε μια τρίτη είναι παράλληλες.

Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται μεταβατικότηταπαραλληλισμός γραμμών.

Απόδειξη

Έστω οι ευθείες a και b είναι ταυτόχρονα παράλληλες με την ευθεία c. Ας υποθέσουμε ότι το a δεν είναι παράλληλο με το b, τότε η ευθεία a τέμνει την ευθεία b σε κάποιο σημείο Α, το οποίο δεν βρίσκεται στην ευθεία c κατά συνθήκη. Κατά συνέπεια, έχουμε δύο ευθείες a και b, που διέρχονται από ένα σημείο Α, που δεν βρίσκονται σε μια δεδομένη ευθεία c, και ταυτόχρονα είναι παράλληλες με αυτό. Αυτό έρχεται σε αντίθεση με το αξίωμα 3.1. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Θεώρημα 3.3.

Μέσα από ένα σημείο που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία, μπορεί να σχεδιαστεί μία και μόνο ευθεία παράλληλη προς τη δεδομένη.

Απόδειξη

Έστω (AB) μια δεδομένη ευθεία, C ένα σημείο που δεν βρίσκεται πάνω της. Η γραμμή AC διαιρεί το επίπεδο σε δύο ημιεπίπεδα. Το σημείο Β βρίσκεται σε ένα από αυτά. Σύμφωνα με το αξίωμα 3.2, είναι δυνατή η απόθεση μιας γωνίας (ACD) από την ακτίνα C A ίση με τη γωνία (CAB) σε ένα άλλο ημιεπίπεδο. Το ACD και το CAB είναι ίσα εσωτερικά εγκάρσια με τις ευθείες AB και CD και τη διατομή (AC) Στη συνέχεια, από το Θεώρημα 3.1 (AB) || (CD). Λαμβάνοντας υπόψη το αξίωμα 3.1. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Η ιδιότητα των παράλληλων ευθειών δίνεται από το ακόλουθο θεώρημα, σε αντίθεση με το Θεώρημα 3.1.

Θεώρημα 3.4.

Εάν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από μια τρίτη γραμμή, τότε οι τεμνόμενες εσωτερικές γωνίες είναι ίσες.

Απόδειξη

Έστω (AB) || (CD). Ας υποθέσουμε ότι ACD ≠ BAC. Μέσω του σημείου Α τραβάμε μια ευθεία ΑΕ έτσι ώστε ΑΗΚ = ΑΓΔ. Αλλά στη συνέχεια, από το Θεώρημα 3.1 (AE ) || (CD ), και κατά συνθήκη – (AB ) || (CD). Σύμφωνα με το Θεώρημα 3.2 (AE ) || (ΑΒ). Αυτό έρχεται σε αντίθεση με το Θεώρημα 3.3, σύμφωνα με το οποίο μέσω ενός σημείου Α που δεν βρίσκεται στην ευθεία CD, μπορεί κανείς να σχεδιάσει μια μοναδική ευθεία παράλληλη σε αυτό. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Εικόνα 3.3.1.

Με βάση αυτό το θεώρημα, οι ακόλουθες ιδιότητες μπορούν εύκολα να δικαιολογηθούν.

Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από μια τρίτη ευθεία, τότε οι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες.

Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από μια τρίτη ευθεία, τότε το άθροισμα των εσωτερικών μονόπλευρων γωνιών είναι 180°.

Συμπέρασμα 3.2.

Αν μια ευθεία είναι κάθετη σε μια από τις παράλληλες ευθείες, τότε είναι κάθετη και στην άλλη.

Η έννοια του παραλληλισμού μας επιτρέπει να εισαγάγουμε την ακόλουθη νέα έννοια, η οποία θα χρειαστεί αργότερα στο Κεφάλαιο 11.

Οι δύο ακτίνες λέγονται εξίσου σκηνοθετημένο, εάν υπάρχει μια γραμμή τέτοια ώστε, πρώτον, να είναι κάθετες σε αυτήν την ευθεία και, δεύτερον, οι ακτίνες βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο σε σχέση με αυτήν την ευθεία.

Οι δύο ακτίνες λέγονται αντίθετα κατευθυνόμενη, εάν καθένα από αυτά κατευθύνεται εξίσου με μια ακτίνα συμπληρωματική προς την άλλη.

Θα υποδηλώσουμε τις πανομοιότυπα κατευθυνόμενες ακτίνες AB και CD: και αντίθετα κατευθυνόμενες ακτίνες AB και CD -

Εικόνα 3.3.2.

Σημάδι των γραμμών διέλευσης.

Αν μία από τις δύο ευθείες βρίσκεται σε ένα συγκεκριμένο επίπεδο και η άλλη ευθεία τέμνει αυτό το επίπεδο σε σημείο που δεν βρίσκεται στην πρώτη γραμμή, τότε αυτές οι ευθείες τέμνονται.

Περιπτώσεις αμοιβαίας διάταξης γραμμών στο χώρο.

1. Υπάρχουν τέσσερις διαφορετικές περιπτώσεις διάταξης δύο γραμμών στο χώρο:

   
   

   – ευθεία διέλευση, δηλ. Μην ξαπλώνετε στο ίδιο επίπεδο.

   – οι ευθείες τέμνονται, δηλ. βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και έχουν ένα κοινό σημείο.

   – παράλληλες ευθείες, δηλ. να βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και να μην τέμνονται.

   - οι γραμμές συμπίπτουν.

   
   

   Ας πάρουμε τα χαρακτηριστικά αυτών των περιπτώσεων της σχετικής θέσης των ευθειών που δίνονται από τις κανονικές εξισώσεις

   
   
   Οπου — σημεία που ανήκουν σε γραμμέςΚαι αναλόγως, α— διανύσματα κατεύθυνσης (Εικ. 4.34). Ας υποδηλώσουμε μεένα διάνυσμα που συνδέει δεδομένα σημεία.
   
   

   Τα ακόλουθα χαρακτηριστικά αντιστοιχούν στις περιπτώσεις σχετικής θέσης των γραμμών που αναφέρονται παραπάνω:

   
   

   – τα ευθύγραμμα και διασταυρούμενα διανύσματα δεν είναι ομοεπίπεδα.

   
   

   – οι ευθείες γραμμές και τα διανύσματα που τέμνονται είναι ομοεπίπεδα, αλλά τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά.

   
   

   – τα άμεσα και τα παράλληλα διανύσματα είναι συγγραμμικά, αλλά τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά.

   
   

   – οι ευθείες γραμμές και τα συμπίπτοντα διανύσματα είναι συγγραμμικά.

   
   

   Αυτές οι συνθήκες μπορούν να γραφτούν χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες μικτών και διανυσματικών προϊόντων. Θυμηθείτε ότι το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων βρίσκεται με τον τύπο:

   
   
   και η ορίζουσα τέμνεται μηδέν, και η δεύτερη και η τρίτη σειρά του δεν είναι ανάλογες, δηλ.
   

   – ευθείες και παράλληλες δεύτερη και τρίτη γραμμή της ορίζουσας είναι ανάλογες, δηλ. και οι δύο πρώτες γραμμές δεν είναι αναλογικές, δηλ.

   
   

   – ευθείες και όλες οι ευθείες της ορίζουσας συμπίπτουν και είναι ανάλογες, δηλ.

Απόδειξη της δοκιμής λοξής γραμμής.

Αν μία από τις δύο ευθείες βρίσκεται σε ένα επίπεδο και η άλλη τέμνει αυτό το επίπεδο σε σημείο που δεν ανήκει στην πρώτη γραμμή, τότε αυτές οι δύο ευθείες τέμνονται.

Απόδειξη

Έστω το a ανήκει στο α, το b τέμνει το α = A, το A δεν ανήκει στο α (Σχέδιο 2.1.2). Ας υποθέσουμε ότι οι ευθείες a και b δεν διασταυρώνονται, δηλαδή τέμνονται. Τότε υπάρχει ένα επίπεδο β στο οποίο ανήκουν οι ευθείες a και b. Σε αυτό το επίπεδο β βρίσκονται μια ευθεία α και ένα σημείο Α. Εφόσον η ευθεία α και το σημείο Α έξω από αυτήν ορίζουν ένα μόνο επίπεδο, τότε β = α. Όμως το b οδηγεί το β και το b δεν ανήκει στο α, επομένως η ισότητα β = α είναι αδύνατη.

Θεώρημα. Αν μια ευθεία βρίσκεται σε ένα δεδομένο επίπεδο και μια άλλη ευθεία τέμνει αυτό το επίπεδο σε σημείο που δεν ανήκει στην πρώτη γραμμή, τότε αυτές οι δύο ευθείες τέμνονται. Πινακίδα διέλευσης γραμμών Απόδειξη. Έστω ευθεία μια ευθεία στο επίπεδο και η ευθεία β τέμνει το επίπεδο στο σημείο Β, το οποίο δεν ανήκει στην ευθεία a. Εάν οι ευθείες a και b βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, τότε το σημείο B θα βρίσκεται επίσης σε αυτό το επίπεδο. Εφόσον υπάρχει μόνο ένα επίπεδο που διέρχεται από την ευθεία και ένα σημείο εκτός αυτής της ευθείας, τότε αυτό το επίπεδο πρέπει να είναι επίπεδο. Αλλά τότε η ευθεία b θα βρίσκεται στο επίπεδο, κάτι που έρχεται σε αντίθεση με την συνθήκη. Κατά συνέπεια, οι ευθείες α και β δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, δηλ. διασταυρώ γένη.

Πόσα ζεύγη λοξών γραμμών υπάρχουν που περιέχουν τις ακμές ενός κανονικού τριγωνικού πρίσματος; Λύση: Για κάθε άκρη των βάσεων υπάρχουν τρεις ακμές που τέμνονται μαζί της. Για κάθε πλευρικό άκρο υπάρχουν δύο νευρώσεις που τέμνονται μαζί του. Επομένως, ο απαιτούμενος αριθμός ζευγών λοξών γραμμών είναι η Άσκηση 5

Πόσα ζεύγη λοξών γραμμών υπάρχουν που περιέχουν τις ακμές ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος; Λύση: Κάθε άκρη των βάσεων συμμετέχει σε 8 ζεύγη γραμμών διέλευσης. Κάθε πλευρικό άκρο συμμετέχει σε 8 ζεύγη γραμμών διέλευσης. Επομένως, ο απαιτούμενος αριθμός ζευγών λοξών γραμμών είναι η Άσκηση 6