Παραγοντοποίηση. Παραδείγματα

Οποιοσδήποτε σύνθετος αριθμός μπορεί να εκφραστεί ως το γινόμενο των πρώτων διαιρετών του:

28 = 2 2 7

Τα σωστά μέρη των ισοτήτων που λαμβάνονται ονομάζονται πρωταρχική παραγοντοποίησηαριθμούς 15 και 28.

Το να συνυπολογίσουμε έναν δεδομένο σύνθετο αριθμό σε πρώτους παράγοντες σημαίνει να αναπαραστήσουμε αυτόν τον αριθμό ως γινόμενο των πρώτων διαιρετών του.

Η αποσύνθεση ενός δεδομένου αριθμού σε πρώτους παράγοντες γίνεται ως εξής:

1. Πρώτα πρέπει να επιλέξετε τον μικρότερο πρώτο αριθμό από τον πίνακα των πρώτων αριθμών, με τον οποίο αυτός ο σύνθετος αριθμός διαιρείται χωρίς υπόλοιπο, και να εκτελέσετε τη διαίρεση.
2. Στη συνέχεια, πρέπει να επιλέξετε ξανά τον μικρότερο πρώτο αριθμό με τον οποίο θα διαιρεθεί το ήδη ληφθέν πηλίκο χωρίς υπόλοιπο.
3. Η εκτέλεση της δεύτερης ενέργειας επαναλαμβάνεται μέχρι να ληφθεί η μονάδα στο πηλίκο.

Για παράδειγμα, ας παραγοντοποιήσουμε τον αριθμό 940. Βρείτε τον μικρότερο πρώτο αριθμό που διαιρεί το 940. Αυτός ο αριθμός είναι 2:

Τώρα επιλέγουμε τον μικρότερο πρώτο αριθμό με τον οποίο διαιρείται το 470. Αυτός ο αριθμός είναι πάλι 2:

Ο μικρότερος πρώτος αριθμός με τον οποίο διαιρείται το 235 είναι 5:

Ο αριθμός 47 είναι πρώτος, επομένως ο μικρότερος πρώτος αριθμός με τον οποίο διαιρείται το 47 είναι ο ίδιος ο αριθμός:

Έτσι, παίρνουμε τον αριθμό 940, που διασπάται σε πρώτους παράγοντες:

940 = 2 470 = 2 2 235 = 2 2 5 47

Εάν η αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες είχε ως αποτέλεσμα αρκετούς πανομοιότυπους παράγοντες, τότε για συντομία, μπορούν να γραφτούν ως βαθμός:

940 = 2 2 5 47

Είναι πιο βολικό να γράψουμε την αποσύνθεση σε πρώτους παράγοντες ως εξής: πρώτα, γράφουμε τον δεδομένο σύνθετο αριθμό και σχεδιάζουμε μια κάθετη γραμμή στα δεξιά του:

Στα δεξιά της γραμμής, γράφουμε τον μικρότερο απλό διαιρέτη με τον οποίο διαιρείται ο δεδομένος σύνθετος αριθμός:

Εκτελούμε τη διαίρεση και γράφουμε το πηλίκο που προκύπτει κάτω από το μέρισμα:

Με ένα πηλίκο κάνουμε το ίδιο όπως με έναν δεδομένο σύνθετο αριθμό, δηλαδή επιλέγουμε τον μικρότερο πρώτο αριθμό με τον οποίο διαιρείται χωρίς υπόλοιπο και κάνουμε διαίρεση. Και έτσι επαναλαμβάνουμε μέχρι να ληφθεί η μονάδα στο πηλίκο:

Λάβετε υπόψη ότι μερικές φορές είναι αρκετά δύσκολο να γίνει η αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες, καθώς κατά τη διάρκεια της αποσύνθεσης μπορεί να συναντήσουμε έναν μεγάλο αριθμό που είναι δύσκολο να προσδιοριστεί εν κινήσει αν είναι πρώτος ή σύνθετος. Και αν είναι σύνθετος, τότε δεν είναι πάντα εύκολο να βρεθεί ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του.

Ας προσπαθήσουμε, για παράδειγμα, να αποσυνθέσουμε τον αριθμό 5106 σε πρώτους παράγοντες:

Έχοντας φτάσει στο πηλίκο 851, είναι δύσκολο να προσδιοριστεί αμέσως ο μικρότερος διαιρέτης του. Περνάμε στον πίνακα των πρώτων αριθμών. Αν υπάρχει ένας αριθμός σε αυτόν που μας βάζει σε δυσκολία, τότε διαιρείται μόνο με τον εαυτό του και με το ένα. Ο αριθμός 851 δεν βρίσκεται στον πίνακα των πρώτων αριθμών, που σημαίνει ότι είναι σύνθετος. Μένει μόνο να το διαιρέσουμε σε πρώτους αριθμούς με τη μέθοδο της διαδοχικής απαρίθμησης: 3, 7, 11, 13, ..., και ούτω καθεξής μέχρι να βρούμε έναν κατάλληλο πρώτο διαιρέτη. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της απαρίθμησης, βρίσκουμε ότι το 851 διαιρείται με τον αριθμό 23.

Προστασία της ιδιωτικής ζωής σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε την πολιτική απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Τα παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε για μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να σας στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και μηνύματα.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετάσχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοιο κίνητρο, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Σε περίπτωση που είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική τάξη, σε δικαστικές διαδικασίες και / ή με βάση δημόσια αιτήματα ή αιτήματα από κρατικούς φορείς στην επικράτεια της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι μια τέτοια αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους λόγους δημοσίου συμφέροντος.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Διατήρηση του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε πρακτικές απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.

Τι σημαίνει παραγοντοποίηση; Πως να το κάνεις? Τι μπορούμε να μάθουμε από την αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες; Οι απαντήσεις σε αυτές τις ερωτήσεις επεξηγούνται με συγκεκριμένα παραδείγματα.

Ορισμοί:

Πρώτος αριθμός είναι ένας αριθμός που έχει ακριβώς δύο διακριτούς διαιρέτες.

Ένας σύνθετος αριθμός είναι ένας αριθμός που έχει περισσότερους από δύο διαιρέτες.

Η παραγοντοποίηση ενός φυσικού αριθμού σημαίνει ότι τον αναπαριστάνουμε ως γινόμενο φυσικών αριθμών.

Το να συνυπολογίσουμε έναν φυσικό αριθμό σε πρώτους παράγοντες σημαίνει να τον αναπαραστήσουμε ως γινόμενο πρώτων αριθμών.

Σημειώσεις:

• Στην επέκταση ενός πρώτου αριθμού, ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με έναν και ο άλλος είναι ίσος με αυτόν τον ίδιο τον αριθμό.
• Δεν έχει νόημα να μιλάμε για αποσύνθεση της ενότητας σε παράγοντες.
• Ένας σύνθετος αριθμός μπορεί να αποσυντεθεί σε παράγοντες, καθένας από τους οποίους είναι διαφορετικός από το 1.

	Ας παραγοντοποιήσουμε τον αριθμό 150. Για παράδειγμα, το 150 είναι 15 επί 10. Το 15 είναι ένας σύνθετος αριθμός. Μπορεί να διασπαστεί σε πρώτους παράγοντες των 5 και 3. Το 10 είναι ένας σύνθετος αριθμός. Μπορεί να διασπαστεί σε πρώτους παράγοντες των 5 και 2. Έχοντας καταγράψει τις επεκτάσεις τους σε πρώτους παράγοντες αντί για 15 και 10, λάβαμε μια αποσύνθεση του αριθμού 150.
	Ο αριθμός 150 μπορεί να υπολογιστεί με άλλο τρόπο. Για παράδειγμα, το 150 είναι το γινόμενο των αριθμών 5 και 30. Το 5 είναι πρώτος αριθμός. Το 30 είναι ένας σύνθετος αριθμός. Μπορεί να αναπαρασταθεί ως το γινόμενο του 10 και του 3. Το 10 είναι ένας σύνθετος αριθμός. Μπορεί να διασπαστεί σε πρώτους παράγοντες των 5 και 2. Πήραμε την αποσύνθεση του αριθμού 150 σε πρώτους παράγοντες με διαφορετικό τρόπο.
	Σημειώστε ότι η πρώτη και η δεύτερη επέκταση είναι ίδια. Διαφέρουν μόνο ως προς τη σειρά των πολλαπλασιαστών. Συνηθίζεται να γράφονται οι παράγοντες σε αύξουσα σειρά.
Οποιοσδήποτε σύνθετος αριθμός μπορεί να αποσυντεθεί σε πρώτους παράγοντες με μοναδικό τρόπο μέχρι την τάξη των παραγόντων.

Κατά την αποσύνθεση μεγάλων αριθμών σε πρώτους παράγοντες, χρησιμοποιείται μια καταχώρηση στήλης:

	Ο μικρότερος πρώτος αριθμός με τον οποίο διαιρείται το 216 είναι το 2. Διαιρέστε το 216 με το 2. Παίρνουμε 108.
	Ο αριθμός 108 που προκύπτει διαιρείται με το 2. Ας κάνουμε τη διαίρεση. Ως αποτέλεσμα παίρνουμε 54.
	Σύμφωνα με το τεστ διαιρετότητας με το 2, ο αριθμός 54 διαιρείται με το 2. Μετά τη διαίρεση, παίρνουμε 27.
	Ο αριθμός 27 τελειώνει με περιττό αριθμό 7. Το Δεν διαιρείται με το 2. Ο επόμενος πρώτος αριθμός είναι το 3. Διαιρέστε το 27 με το 3. Παίρνουμε 9. Ο μικρότερος πρώτος Ο αριθμός με τον οποίο διαιρείται το 9 είναι 3. Το τρία είναι από μόνο του πρώτος αριθμός, διαιρούμενος από τον εαυτό του και με το ένα. Ας διαιρέσουμε το 3 μόνοι μας. Ως αποτέλεσμα, πήραμε 1.

• Ένας αριθμός διαιρείται μόνο με εκείνους τους πρώτους αριθμούς που αποτελούν μέρος της επέκτασής του.
• Ένας αριθμός διαιρείται μόνο με εκείνους τους σύνθετους αριθμούς, η αποσύνθεση των οποίων σε πρώτους παράγοντες περιέχεται πλήρως σε αυτόν.

Εξετάστε παραδείγματα:

	Το 4900 διαιρείται με τους πρώτους αριθμούς 2, 5 και 7 (περιλαμβάνονται στην επέκταση του αριθμού 4900), αλλά δεν διαιρείται, για παράδειγμα, με το 13.
	11 550 75. Αυτό συμβαίνει επειδή η επέκταση του αριθμού 75 περιέχεται πλήρως στην επέκταση του αριθμού 11550. Το αποτέλεσμα της διαίρεσης θα είναι το γινόμενο των παραγόντων 2, 7 και 11. Το 11550 δεν διαιρείται με το 4 γιατί υπάρχει ένα επιπλέον 2 στην επέκταση του 4.

Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του αριθμού a με τον αριθμό b, αν αυτοί οι αριθμοί διασπαστούν σε πρώτους παράγοντες ως εξής a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

	Η αποσύνθεση του αριθμού b περιέχεται πλήρως στην αποσύνθεση του αριθμού α.
	Το αποτέλεσμα της διαίρεσης του a με το b είναι το γινόμενο των τριών αριθμών που απομένουν στη διαστολή του a. Η απάντηση λοιπόν είναι: 30.

Βιβλιογραφία

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Μαθηματικά 6. - Μ.: Μνημοσύνη, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Μαθηματικά ΣΤ τάξης. - Γυμνάσιο. 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Πίσω από τις σελίδες ενός σχολικού βιβλίου μαθηματικών. - Μ.: Διαφωτισμός, 1989.
4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Εργασίες για το μάθημα των μαθηματικών τάξης 5-6. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Μαθηματικά 5-6. Εγχειρίδιο για μαθητές της ΣΤ τάξης του σχολείου αλληλογραφίας MEPhI. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Μαθηματικά: Βιβλίο-συνομιλητής για 5-6 τάξεις του λυκείου. - Μ .: Εκπαίδευση, Βιβλιοθήκη Καθηγητών Μαθηματικών, 1989.

1. Διαδικτυακή πύλη Matematika-na.ru ().
2. Διαδικτυακή πύλη Math-portal.ru ().

Εργασία για το σπίτι

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Μαθηματικά 6. - Μ.: Mnemozina, 2012. No 127, No. 129, No. 141.
2. Άλλες εργασίες: Νο. 133, Νο. 144.

Αυτό το άρθρο δίνει απαντήσεις στην ερώτηση σχετικά με την παραγοντοποίηση ενός αριθμού σε φύλλα. Εξετάστε μια γενική ιδέα της αποσύνθεσης με παραδείγματα. Ας αναλύσουμε την κανονική μορφή της αποσύνθεσης και τον αλγόριθμό της. Όλες οι εναλλακτικές μέθοδοι θα εξεταστούν χρησιμοποιώντας τα σημάδια διαιρετότητας και τον πίνακα πολλαπλασιασμού.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Τι σημαίνει να συνυπολογίζουμε έναν αριθμό σε πρώτους παράγοντες;

Ας ρίξουμε μια ματιά στην έννοια των πρώτων παραγόντων. Είναι γνωστό ότι κάθε πρώτος παράγοντας είναι πρώτος αριθμός. Σε ένα γινόμενο της μορφής 2 7 7 23 έχουμε ότι έχουμε 4 πρώτους παράγοντες στη μορφή 2 , 7 , 7 , 23 .

Το Factoring περιλαμβάνει την αναπαράστασή του ως προϊόντα πρώτων. Εάν πρέπει να αποσυνθέσετε τον αριθμό 30, τότε παίρνουμε 2, 3, 5. Η καταχώρηση θα έχει τη μορφή 30 = 2 3 5 . Είναι πιθανό ότι οι πολλαπλασιαστές μπορούν να επαναληφθούν. Ένας αριθμός όπως το 144 έχει 144 = 2 2 2 2 3 3 .

Δεν είναι όλοι οι αριθμοί επιρρεπείς σε αποσύνθεση. Αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι από 1 και είναι ακέραιοι μπορούν να συνυπολογιστούν. Οι πρώτοι αριθμοί διαιρούνται μόνο με το 1 και τον εαυτό τους όταν αποσυντίθενται, επομένως είναι αδύνατο να αναπαραστήσουμε αυτούς τους αριθμούς ως γινόμενο.

Όταν το z αναφέρεται σε ακέραιους αριθμούς, αναπαρίσταται ως γινόμενο των a και b, όπου το z διαιρείται με το a και το b. Οι σύνθετοι αριθμοί διασπώνται σε πρώτους παράγοντες χρησιμοποιώντας το βασικό θεώρημα της αριθμητικής. Αν ο αριθμός είναι μεγαλύτερος από 1, τότε η παραγοντοποίησή του p 1 , p 2 , … , p n παίρνει τη μορφή a = p 1 , p 2 , … , p n . Η αποσύνθεση υποτίθεται σε μία μόνο παραλλαγή.

Κανονική αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες

Οι παράγοντες μπορούν να επαναληφθούν κατά την αποσύνθεση. Είναι γραμμένα συμπαγή χρησιμοποιώντας πτυχίο. Αν, κατά την αποσύνθεση του αριθμού a, έχουμε έναν παράγοντα p 1 , ο οποίος εμφανίζεται s 1 φορές και ούτω καθεξής p n - s n φορές. Έτσι, η αποσύνθεση παίρνει τη μορφή a=p 1 s 1 a = p 1 s 1 p 2 s 2 … p n s n. Αυτό το λήμμα ονομάζεται κανονική αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες.

Κατά την αποσύνθεση του αριθμού 609840, παίρνουμε ότι 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11 , η κανονική του μορφή θα είναι 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2 . Χρησιμοποιώντας την κανονική επέκταση, μπορείτε να βρείτε όλους τους διαιρέτες ενός αριθμού και τον αριθμό τους.

Για να παραγοντοποιήσετε σωστά, πρέπει να κατανοήσετε τους πρώτους και τους σύνθετους αριθμούς. Το θέμα είναι να λάβουμε έναν διαδοχικό αριθμό διαιρετών της μορφής p 1 , p 2 , ... , p n αριθμοί a , a 1 , a 2 , ... , a n - 1, αυτό καθιστά δυνατή την απόκτηση a = p 1 a 1, όπου a 1 \u003d a: p 1, a \u003d p 1 a 1 \u003d p 1 p 2 a 2, όπου a 2 \u003d a 1: p 2, ..., a \u003d p 1 p 2 . .. ... p n a n , όπου a n = a n - 1: p n. Κατά την παραλαβή a n = 1, μετά η ισότητα a = p 1 p 2 … p nλαμβάνουμε την απαιτούμενη αποσύνθεση του αριθμού α σε πρώτους παράγοντες. σημειώσε ότι p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n.

Για να βρείτε τους λιγότερους κοινούς διαιρέτες, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα πρώτων αριθμών. Αυτό γίνεται χρησιμοποιώντας το παράδειγμα εύρεσης του μικρότερου πρώτου διαιρέτη του αριθμού z. Όταν παίρνουμε πρώτους αριθμούς 2, 3, 5, 11 και ούτω καθεξής, και διαιρούμε τον αριθμό z με αυτούς. Επειδή το z δεν είναι πρώτος αριθμός, να έχετε κατά νου ότι ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης δεν θα είναι μεγαλύτερος από το z. Μπορεί να φανεί ότι δεν υπάρχουν διαιρέτες του z , τότε είναι σαφές ότι το z είναι πρώτος αριθμός.

Παράδειγμα 1

Εξετάστε το παράδειγμα του αριθμού 87. Όταν διαιρεθεί με το 2, έχουμε το 87: 2 \u003d 43 με υπόλοιπο 1. Από αυτό προκύπτει ότι το 2 δεν μπορεί να είναι διαιρέτης, η διαίρεση πρέπει να γίνει εξ ολοκλήρου. Όταν διαιρεθεί με το 3, παίρνουμε ότι 87: 3 = 29. Εξ ου και το συμπέρασμα - το 3 είναι ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του αριθμού 87.

Κατά την αποσύνθεση σε πρώτους παράγοντες, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιείται πίνακας πρώτων αριθμών, όπου α. Κατά την αποσύνθεση του 95, θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν περίπου 10 πρώτοι, και κατά την αποσύνθεση του 846653, περίπου 1000.

Εξετάστε τον πρώτο αλγόριθμο παραγοντοποίησης:

• βρίσκοντας τον μικρότερο παράγοντα με διαιρέτη p 1 ενός αριθμού έναμε τον τύπο a 1 \u003d a: p 1, όταν a 1 \u003d 1, τότε το a είναι πρώτος αριθμός και περιλαμβάνεται στην παραγοντοποίηση, όταν δεν ισούται με 1, τότε a \u003d p 1 a 1 και ακολουθήστε το παρακάτω σημείο.
• βρίσκοντας τον πρώτο διαιρέτη p 2 του 1 με διαδοχική απαρίθμηση πρώτων αριθμών, χρησιμοποιώντας a 2 = a 1: p 2 , όταν a 2 = 1 , τότε η επέκταση παίρνει τη μορφή a = p 1 p 2 , όταν a 2 \u003d 1, τότε a \u003d p 1 p 2 a 2 , και κάνουμε τη μετάβαση στο επόμενο βήμα.
• επανάληψη πάνω από πρώτους αριθμούς και βρίσκοντας έναν πρώτο διαιρέτη σελ 3αριθμοί Α2σύμφωνα με τον τύπο a 3 \u003d a 2: p 3 όταν ένα 3 \u003d 1 , τότε παίρνουμε ότι a = p 1 p 2 p 3 , όταν δεν είναι ίσο με 1 τότε a = p 1 p 2 p 3 a 3 και προχωρήστε στο επόμενο βήμα.
• βρείτε πρώτο διαιρέτη p nαριθμοί α ν - 1με απαρίθμηση πρώτων αριθμών με p n - 1, καθώς a n = a n - 1: p n, όπου a n = 1 , το βήμα είναι τελικό, ως αποτέλεσμα παίρνουμε ότι a = p 1 p 2 ... p n .

Το αποτέλεσμα του αλγορίθμου γράφεται με τη μορφή πίνακα με αποσυντεθειμένους παράγοντες με κάθετη ράβδο διαδοχικά σε μια στήλη. Σκεφτείτε το παρακάτω σχήμα.

Ο αλγόριθμος που προκύπτει μπορεί να εφαρμοστεί με την αποσύνθεση των αριθμών σε πρώτους παράγοντες.

Κατά την παραγοντοποίηση σε πρώτους παράγοντες, θα πρέπει να ακολουθείται ο βασικός αλγόριθμος.

Παράδειγμα 2

Διασπάστε τον αριθμό 78 σε πρώτους παράγοντες.

Λύση

Για να βρεθεί ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης, είναι απαραίτητο να απαριθμήσουμε όλους τους πρώτους αριθμούς του 78 . Δηλαδή, 78: 2 = 39. Διαίρεση χωρίς υπόλοιπο, άρα αυτός είναι ο πρώτος πρώτος διαιρέτης, τον οποίο συμβολίζουμε ως p 1. Παίρνουμε ότι a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39. Καταλήξαμε σε μια ισότητα της μορφής a = p 1 a 1 , όπου 78 = 2 39 . Τότε a 1 = 39, δηλαδή, θα πρέπει να πάτε στο επόμενο βήμα.

Ας επικεντρωθούμε στην εύρεση ενός πρώτου διαιρέτη p2αριθμοί a 1 = 39. Θα πρέπει να ταξινομήσετε τους πρώτους αριθμούς, δηλαδή 39: 2 = 19 (υπόλοιπο 1). Εφόσον η διαίρεση έχει υπόλοιπο, το 2 δεν είναι διαιρέτης. Όταν επιλέγουμε τον αριθμό 3, παίρνουμε ότι 39: 3 = 13. Αυτό σημαίνει ότι ο p 2 = 3 είναι ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του 39 με ένα 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13 . Λαμβάνουμε μια ισότητα της μορφής a = p 1 p 2 a 2με τη μορφή 78 = 2 3 13 . Έχουμε ότι το 2 = 13 δεν είναι ίσο με 1, τότε θα πρέπει να προχωρήσουμε.

Ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του αριθμού a 2 = 13 βρίσκεται με απαρίθμηση αριθμών, ξεκινώντας από το 3. Παίρνουμε ότι 13: 3 = 4 (υπόλοιπο 1). Αυτό δείχνει ότι το 13 δεν διαιρείται με το 5, το 7, το 11, επειδή 13: 5 = 2 (υπόλοιπο 3), 13: 7 = 1 (υπόλοιπο 6) και 13: 11 = 1 (υπόλοιπο 2). Μπορεί να φανεί ότι το 13 είναι πρώτος αριθμός. Ο τύπος μοιάζει με αυτό: a 3 \u003d a 2: p 3 \u003d 13: 13 \u003d 1. Πήραμε ότι a 3 = 1, που σημαίνει το τέλος του αλγορίθμου. Τώρα οι συντελεστές γράφονται ως 78 = 2 3 13 (a = p 1 p 2 p 3) .

Απάντηση: 78 = 2 3 13 .

Παράδειγμα 3

Διασπάστε τον αριθμό 83.006 σε πρώτους παράγοντες.

Λύση

Το πρώτο βήμα περιλαμβάνει την παραγοντοποίηση p 1 = 2και a 1 \u003d a: p 1 \u003d 83 006: 2 \u003d 41 503, όπου 83 006 = 2 41 503 .

Το δεύτερο βήμα προϋποθέτει ότι το 2, το 3 και το 5 δεν είναι πρώτοι διαιρέτες για ένα 1 = 41503 αλλά το 7 είναι πρώτος διαιρέτης επειδή 41503: 7 = 5929. Παίρνουμε ότι p 2 \u003d 7, a 2 \u003d a 1: p 2 \u003d 41 503: 7 \u003d 5 929. Προφανώς, 83 006 = 2 7 5 929 .

Η εύρεση του μικρότερου πρώτου διαιρέτη p 4 στον αριθμό a 3 = 847 είναι 7 . Μπορεί να φανεί ότι ένα 4 \u003d a 3: p 4 \u003d 847: 7 \u003d 121, επομένως 83 006 \u003d 2 7 7 7 121.

Για να βρούμε τον πρώτο διαιρέτη του αριθμού a 4 = 121, χρησιμοποιούμε τον αριθμό 11, δηλαδή p 5 = 11. Τότε παίρνουμε μια έκφραση της φόρμας a 5 \u003d a 4: p 5 \u003d 121: 11 \u003d 11, και 83 006 = 2 7 7 7 11 11 .

Για τον αριθμό a 5 = 11αριθμός p6 = 11είναι ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης. Ως εκ τούτου, ένα 6 \u003d a 5: p 6 \u003d 11: 11 \u003d 1. Τότε a 6 = 1 . Αυτό υποδηλώνει το τέλος του αλγορίθμου. Οι πολλαπλασιαστές θα γραφτούν ως 83006 = 2 7 7 7 11 11 .

Ο κανονικός συμβολισμός της απάντησης θα έχει τη μορφή 83 006 = 2 7 3 11 2 .

Απάντηση: 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2 .

Παράδειγμα 4

Παραγοντοποιήστε τον αριθμό 897 924 289.

Λύση

Για να βρείτε τον πρώτο πρώτο παράγοντα, επαναλάβετε τους πρώτους αριθμούς, ξεκινώντας από το 2. Το τέλος της απαρίθμησης πέφτει στον αριθμό 937 . Τότε p 1 = 937, a 1 = a: p 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 και 897 924 289 = 937 958 297.

Το δεύτερο βήμα του αλγορίθμου είναι η απαρίθμηση μικρότερων πρώτων. Δηλαδή ξεκινάμε με τον αριθμό 937. Ο αριθμός 967 μπορεί να θεωρηθεί πρώτος, επειδή είναι πρώτος διαιρέτης του αριθμού a 1 = 958 297. Από εδώ παίρνουμε ότι p 2 \u003d 967, μετά a 2 \u003d a 1: p 1 \u003d 958 297: 967 \u003d 991 και 897 924 289 \u003d 937 967 991.

Το τρίτο βήμα λέει ότι το 991 είναι πρώτος αριθμός, αφού δεν έχει πρώτο διαιρέτη μικρότερο ή ίσο του 991. Η κατά προσέγγιση τιμή της έκφρασης ρίζας είναι 991< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . Από αυτό μπορεί να φανεί ότι p 3 \u003d 991 και a 3 \u003d a 2: p 3 \u003d 991: 991 \u003d 1. Παίρνουμε ότι η αποσύνθεση του αριθμού 897 924 289 σε πρώτους παράγοντες προκύπτει ως 897 924 289 \u003d 937 967 991.

Απάντηση: 897 924 289 = 937 967 991 .

Χρησιμοποιώντας Δοκιμές Διαιρετότητας για Πρωταρχική Παραγοντοποίηση

Για να αποσυνθέσετε έναν αριθμό σε πρώτους παράγοντες, πρέπει να ακολουθήσετε τον αλγόριθμο. Όταν υπάρχουν μικροί αριθμοί, επιτρέπεται η χρήση του πίνακα πολλαπλασιασμού και των σημάτων διαιρετότητας. Ας το δούμε αυτό με παραδείγματα.

Παράδειγμα 5

Εάν είναι απαραίτητο να παραγοντοποιήσετε το 10, τότε ο πίνακας δείχνει: 2 5 \u003d 10. Οι αριθμοί 2 και 5 που προκύπτουν είναι πρώτοι, επομένως είναι πρώτοι παράγοντες για τον αριθμό 10.

Παράδειγμα 6

Εάν είναι απαραίτητο να αποσυντεθεί ο αριθμός 48, τότε ο πίνακας δείχνει: 48 \u003d 6 8. Αλλά οι 6 και 8 δεν είναι πρώτοι παράγοντες, αφού μπορούν επίσης να αποσυντεθούν ως 6 = 2 3 και 8 = 2 4 . Τότε η πλήρης αποσύνθεση από εδώ προκύπτει ως 48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 · 4 . Ο κανονικός συμβολισμός θα έχει τη μορφή 48 = 2 4 3 .

Παράδειγμα 7

Κατά την αποσύνθεση του αριθμού 3400, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τα σημάδια της διαιρετότητας. Στην περίπτωση αυτή, τα πρόσημα της διαιρετότητας με το 10 και με το 100 είναι σχετικά. Από εδώ παίρνουμε ότι το 3400 \u003d 34 100, όπου το 100 μπορεί να διαιρεθεί με το 10, δηλαδή να γράφεται ως 100 \u003d 10 10, που σημαίνει ότι 3400 \u003d 34 10 10. Με βάση το πρόσημο της διαιρετότητας, παίρνουμε ότι 3400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5 . Όλοι οι παράγοντες είναι απλοί. Η κανονική επέκταση παίρνει τη μορφή 3400 = 2 3 5 2 17.

Όταν βρίσκουμε πρώτους παράγοντες, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσουμε τα πρόσημα της διαιρετότητας και τον πίνακα πολλαπλασιασμού. Εάν αντιπροσωπεύετε τον αριθμό 75 ως γινόμενο παραγόντων, τότε πρέπει να λάβετε υπόψη τον κανόνα της διαιρετότητας με το 5. Παίρνουμε ότι 75 = 5 15 και 15 = 3 5 . Δηλαδή, η επιθυμητή αποσύνθεση είναι ένα παράδειγμα της μορφής του προϊόντος 75 = 5 · 3 · 5 .

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Οποιοσδήποτε σύνθετος αριθμός μπορεί να αποσυντεθεί σε πρώτους παράγοντες. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι αποσύνθεσης. Οποιαδήποτε μέθοδος παράγει το ίδιο αποτέλεσμα.

Πώς να παραγοντοποιήσετε έναν αριθμό σε πρώτους παράγοντες βολικό τρόπο? Ας εξετάσουμε πώς να το κάνουμε καλύτερα, χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα παραδείγματα.

Παραδείγματα. 1) Διασπάστε τον αριθμό 1400 σε πρώτους παράγοντες.

Το 1400 διαιρείται με το 2. Το 2 είναι πρώτος αριθμός, δεν χρειάζεται να τον συνυπολογίσουμε. Παίρνουμε 700. Το διαιρούμε με το 2. Παίρνουμε 350. Διαιρούμε επίσης το 350 με το 2. Ο αριθμός 175 που προκύπτει μπορεί να διαιρεθεί με το 5. Το αποτέλεσμα είναι z5 - διαιρούμε ξανά με το 5. Σύνολο - 7. Μπορεί μόνο να είναι διαιρούμενο με το 7. Πήραμε 1, η διαίρεση τελείωσε.

Ο ίδιος αριθμός μπορεί να αποσυντεθεί σε πρώτους παράγοντες διαφορετικά:

Το 1400 διαιρείται εύκολα με το 10. Το 10 δεν είναι πρώτος αριθμός, επομένως πρέπει να συνυπολογιστεί σε πρώτους παράγοντες: 10=2∙5. Το αποτέλεσμα είναι 140. Το διαιρούμε πάλι με το 10=2∙5. Παίρνουμε 14. Αν το 14 διαιρεθεί με το 14, τότε θα πρέπει επίσης να αποσυντεθεί στο γινόμενο των πρώτων παραγόντων: 14=2∙7.

Έτσι, καταλήξαμε και πάλι στην ίδια αποσύνθεση όπως στην πρώτη περίπτωση, αλλά πιο γρήγορα.

Συμπέρασμα: κατά την αποσύνθεση ενός αριθμού, δεν είναι απαραίτητο να διαιρεθεί μόνο με πρώτους διαιρέτες. Διαιρούμε με ό,τι είναι πιο βολικό, για παράδειγμα, με το 10. Πρέπει μόνο να θυμόμαστε να αποσυνθέσουμε τους σύνθετους διαιρέτες σε απλούς παράγοντες.

2) Διασπάστε τον αριθμό 1620 σε πρώτους παράγοντες.

Ο αριθμός 1620 διαιρείται πιο εύκολα με το 10. Επειδή το 10 δεν είναι πρώτος αριθμός, τον αντιπροσωπεύουμε ως γινόμενο πρώτων παραγόντων: 10=2∙5. Πήραμε 162. Είναι βολικό να το διαιρέσουμε με το 2. Το αποτέλεσμα είναι 81. Ο αριθμός 81 μπορεί να διαιρεθεί με το 3, αλλά το 9 είναι πιο βολικό. Επειδή το 9 δεν είναι πρώτος αριθμός, τον αποσυνθέτουμε ως 9=3∙3. Πήραμε 9. Το διαιρούμε επίσης με το 9 και το αποσυνθέτουμε στο γινόμενο των πρώτων παραγόντων.