Факторизация. Примери

Всяко съставно число може да бъде представено като произведение на неговите прости делители:

28 = 2 2 7

Десните части на получените равенства се наричат разлагане на прости множителиномера 15 и 28.

Да разложим дадено съставно число на прости множители означава да представим това число като произведение на неговите прости множители.

Разлагането на дадено число на прости множители се извършва по следния начин:

1. Първо трябва да изберете най-малкото просто число от таблицата с прости числа, което дели даденото съставно число без остатък и да извършите делението.
2. След това трябва отново да изберете най-малкото просто число, на което вече полученото частно ще бъде разделено без остатък.
3. Второто действие се повтаря, докато се получи единица в частното.

Като пример, нека разложим на прости множители числото 940. Намерете най-малкото просто число, което дели 940. Това число е 2:

Сега избираме най-малкото просто число, което се дели на 470. Това число отново е 2:

Най-малкото просто число, което се дели на 235 е 5:

Числото 47 е просто, което означава, че най-малкото просто число, което може да бъде разделено на 47, е самото число:

Така получаваме числото 940, разложено на прости множители:

940 = 2 470 = 2 2 235 = 2 2 5 47

Ако разлагането на число на прости множители доведе до няколко идентични множители, тогава за краткост те могат да бъдат записани под формата на степен:

940 = 2 2 5 47

Най-удобно е да напишем разлагане на прости множители, както следва: първо записваме това съставно число и начертаваме вертикална линия вдясно от него:

Отдясно на реда записваме най-малкия прост делител, на който се дели даденото съставно число:

Извършваме разделянето и записваме полученото частно под дивидента:

С частното действаме по същия начин, както с даденото съставно число, т.е. избираме най-малкото просто число, на което то се дели без остатък и извършваме делението. И повтаряме това, докато получим единица в частното:

Моля, обърнете внимание, че понякога може да бъде доста трудно да разложим число на прости множители, тъй като по време на разлагането на множители може да срещнем голямо число, което е трудно веднага да определим дали е просто или съставно. И ако е съставен, тогава не винаги е лесно да се намери най-малкият му прост делител.

Нека се опитаме например да разложим числото 5106 на прости множители:

След достигане на частното 851 е трудно веднага да се определи най-малкият му делител. Обръщаме се към таблицата на простите числа. Ако в него има число, което ни затруднява, то то се дели само на себе си и на единица. Числото 851 не е в таблицата на простите числа, което означава, че е съставно. Остава само да го разделим чрез последователно търсене на прости числа: 3, 7, 11, 13, ... и така нататък, докато намерим подходящ прост делител. Чрез груба сила откриваме, че 851 се дели на числото 23.

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Какво означава факторинг? Как да го направим? Какво можете да научите от разлагането на число на прости множители? Отговорите на тези въпроси са илюстрирани с конкретни примери.

Дефиниции:

Число, което има точно два различни делителя, се нарича просто.

Число, което има повече от два делителя, се нарича съставно.

Да разложим естествено число означава да го представим като произведение на естествени числа.

Да разложим естествено число на прости множители означава да го представим като произведение на прости числа.

Бележки:

• При разлагането на просто число единият множител е равен на единица, а другият е равен на самото число.
• Няма смисъл да говорим за факторизиращо единство.
• Едно съставно число може да бъде разложено на фактори, всеки от които е различен от 1.

	Нека разложим числото 150 на множители. Например 150 е 15 по 10. 15 е съставно число. Може да се разложи на прости множители от 5 и 3. 10 е съставно число. Може да се разложи на прости множители от 5 и 2. Като записахме техните разложения на прости множители вместо на 15 и 10, получихме разлагането на числото 150.
	Числото 150 може да се разложи на множители по друг начин. Например 150 е произведението на числата 5 и 30. 5 е просто число. 30 е съставно число. Може да се разглежда като произведение на 10 и 3. 10 е съставно число. Може да се разложи на прости множители от 5 и 2. Получихме разлагането на 150 на прости множители по различен начин.
	Имайте предвид, че първото и второто разширение са еднакви. Те се различават само по реда на факторите. Прието е факторите да се записват във възходящ ред.
Всяко съставно число може да бъде разложено на прости множители по уникален начин до реда на множителите.

Когато разлагате големи числа на прости множители, използвайте означение в колона:

	Най-малкото просто число, което се дели на 216 е 2. Разделяме 216 на 2. Получаваме 108.
	Полученото число 108 се дели на 2. Да направим разделянето. Резултатът е 54.
	Според теста за делимост на 2 числото 54 се дели на 2. След разделянето получаваме 27.
	Числото 27 завършва с нечетната цифра 7. То Не се дели на 2. Следващото просто число е 3. Разделяме 27 на 3. Получаваме 9. Най-малко просто число Числото, на което 9 се дели, е 3. Самото три е просто число, то се дели на себе си и на едно. Нека разделим 3 на себе си. В крайна сметка получихме 1.

• Едно число се дели само на тези прости числа, които са част от неговото разлагане.
• Едно число се дели само на онези съставни числа, чието разлагане на прости множители се съдържа изцяло в него.

Нека да разгледаме примери:

	4900 се дели на простите числа 2, 5 и 7 (те са включени в разширението на числото 4900), но не се дели на например 13.
	11 550 75. Това е така, защото разлагането на числото 75 се съдържа изцяло в разлагането на числото 11550. Резултатът от делението ще бъде произведението на множителите 2, 7 и 11. 11550 не се дели на 4, защото има допълнително две в разширението на четири.

Намерете частното от деленето на числото a на числото b, ако тези числа се разложат на прости множители, както следва: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

	Разлагането на числото b се съдържа изцяло в разлагането на числото a.
	Резултатът от разделянето на a на b е произведението на трите числа, останали в разгръщането на a. Така че отговорът е: 30.

Библиография

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонски В.В., Якир М.С. Математика 6 клас. - Физкултурен салон. 2006 г.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. Зад страниците на учебник по математика. - М.: Образование, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковски И.В. Задачи за курса по математика за 5-6 клас. - М .: ZSh MEPhI, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковски К.Г. Математика 5-6. Ръководство за ученици от 6 клас в задочната школа на МИФИ. - М .: ZSh MEPhI, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-беседник за 5-6 клас на СОУ. - М.: Образование, Библиотека на учителя по математика, 1989.

1. Интернет портал Matematika-na.ru ().
2. Интернет портал Math-portal.ru ().

Домашна работа

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012. № 127, № 129, № 141.
2. Други задачи: No133, No144.

Тази статия дава отговори на въпроса за разлагането на число върху лист. Нека да разгледаме общата идея за разлагане с примери. Нека анализираме каноничната форма на разширението и неговия алгоритъм. Всички алтернативни методи ще бъдат разгледани с помощта на знаци за делимост и таблици за умножение.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Какво означава да разложим число на прости множители?

Нека да разгледаме концепцията за простите множители. Известно е, че всеки прост множител е просто число. В произведение от формата 2 · 7 · 7 · 23 имаме, че имаме 4 прости множителя във формата 2, 7, 7, 23.

Факторизирането включва представянето му под формата на произведения на прости числа. Ако трябва да разложим числото 30, тогава ще получим 2, 3, 5. Записът ще приеме формата 30 = 2 · 3 · 5. Възможно е множителите да се повторят. Число като 144 има 144 = 2 2 2 2 3 3.

Не всички числа са склонни да се разпадат. Числата, които са по-големи от 1 и са цели числа, могат да бъдат факторизирани. Простите числа, когато са разложени на множители, се делят само на 1 и на себе си, така че е невъзможно да се представят тези числа като продукт.

Когато z се отнася за цели числа, то се представя като произведение на a и b, където z е разделено на a и b. Съставните числа се разлагат на множители с помощта на основната теорема на аритметиката. Ако числото е по-голямо от 1, тогава разлагането му на множители p 1, p 2, ..., p n приема формата a = p 1 , p 2 , … , p n . Приема се, че декомпозицията е в един единствен вариант.

Канонично разлагане на число на прости множители

По време на разширяването факторите могат да се повтарят. Те се записват компактно с помощта на градуси. Ако при разлагането на числото a имаме фактор p 1, който се среща s 1 пъти и така нататък p n – s n пъти. Така разширяването ще приеме формата a=p 1 s 1 · a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n. Този запис се нарича канонично разлагане на число на прости множители.

Когато разширим числото 609840, получаваме, че 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, каноничната му форма ще бъде 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2. Използвайки канонично разширение, можете да намерите всички делители на число и техния брой.

За да разложите правилно на множители, трябва да имате разбиране за прости и съставни числа. Въпросът е да се получи пореден брой делители от вида p 1, p 2, ..., p n числа a , a 1 , a 2 , … , a n - 1, това прави възможно получаването a = p 1 a 1, където a 1 = a: p 1 , a = p 1 · a 1 = p 1 · p 2 · a 2 , където a 2 = a 1: p 2 , … , a = p 1 · p 2 · … · p n · a n , където a n = a n - 1: p n. При получаване a n = 1, тогава равенството a = p 1 · p 2 · … · p nполучаваме необходимото разлагане на числото a на прости множители. забележи това p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n.

За да намерите най-малко общи множители, трябва да използвате таблица с прости числа. Това се прави с помощта на примера за намиране на най-малкия прост делител на числото z. Когато вземем прости числа 2, 3, 5, 11 и т.н. и разделим числото z на тях. Тъй като z не е просто число, трябва да се има предвид, че най-малкият прост делител няма да бъде по-голям от z. Вижда се, че няма делители на z, тогава е ясно, че z е просто число.

Пример 1

Нека да разгледаме примера с числото 87. Когато се раздели на 2, имаме това 87: 2 = 43 с остатък 1. От това следва, че 2 не може да бъде делител; делението трябва да се извърши изцяло. Когато се раздели на 3, получаваме, че 87: 3 = 29. Оттук заключението е, че 3 е най-малкият прост делител на числото 87.

Когато разлагате на прости множители, трябва да използвате таблица с прости числа, където a. Когато разлагате 95, трябва да използвате около 10 прости числа, а когато разлагате 846653, около 1000.

Нека разгледаме алгоритъма за разлагане на прости множители:

• намиране на най-малкия множител на делителя p 1 на число апо формулата a 1 = a: p 1, когато a 1 = 1, тогава a е просто число и се включва в факторизацията, когато не е равно на 1, тогава a = p 1 · a 1 и следвайте до точката по-долу;
• намиране на простия делител p 2 на число a 1 чрез последователно изброяване на прости числа, използвайки a 2 = a 1: p 2 , когато 2 = 1 , тогава разширението ще приеме формата a = p 1 p 2 , когато a 2 = 1, тогава a = p 1 p 2 a 2 , и преминаваме към следващата стъпка;
• търсене сред прости числа и намиране на прост делител стр. 3числа а 2по формулата a 3 = a 2: p 3, когато a 3 = 1 , тогава получаваме, че a = p 1 p 2 p 3 , когато не е равно на 1, тогава a = p 1 p 2 p 3 a 3 и преминете към следващата стъпка;
• основният делител е намерен p nчисла a n - 1чрез изброяване на прости числа с pn - 1, и a n = a n - 1: p n, където a n = 1, стъпката е крайна, като резултат получаваме, че a = p 1 · p 2 · … · p n .

Резултатът от алгоритъма се записва под формата на таблица с разложените фактори с вертикална лента последователно в колона. Разгледайте фигурата по-долу.

Полученият алгоритъм може да се приложи чрез разлагане на числа на прости множители.

При разлагане на прости множители трябва да се следва основният алгоритъм.

Пример 2

Разложете числото 78 на прости множители.

Решение

За да намерите най-малкия прост делител, трябва да преминете през всички прости числа в 78. Това е 78: 2 = 39. Деление без остатък означава, че това е първият прост делител, който обозначаваме като p 1. Получаваме, че a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39. Стигнахме до равенство от вида a = p 1 · a 1 , където 78 = 2 39. Тогава a 1 = 39, тоест трябва да преминем към следващата стъпка.

Нека се съсредоточим върху намирането на основния делител p2числа а 1 = 39. Трябва да преминете през простите числа, тоест 39: 2 = 19 (остава 1). Тъй като деление с остатък, 2 не е делител. Когато избираме числото 3, получаваме, че 39: 3 = 13. Това означава, че p 2 = 3 е най-малкият прост делител на 39 на a 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13. Получаваме равенство на формата a = p 1 p 2 a 2във формата 78 = 2 3 13. Имаме, че a 2 = 13 не е равно на 1, тогава трябва да продължим.

Най-малкият прост делител на числото a 2 = 13 се намира чрез търсене в числа, започвайки с 3. Получаваме, че 13: 3 = 4 (остава 1). Оттук можем да видим, че 13 не се дели на 5, 7, 11, защото 13: 5 = 2 (ост. 3), 13: 7 = 1 (ост. 6) и 13: 11 = 1 (ост. 2) . Вижда се, че 13 е просто число. Според формулата изглежда така: a 3 = a 2: p 3 = 13: 13 = 1. Установихме, че 3 = 1, което означава завършване на алгоритъма. Сега множителите са записани като 78 = 2 · 3 · 13 (a = p 1 · p 2 · p 3) .

Отговор: 78 = 2 3 13.

Пример 3

Разложете числото 83 006 на прости множители.

Решение

Първата стъпка включва факторинг p 1 = 2И a 1 = a: p 1 = 83 006: 2 = 41 503, където 83 006 = 2 · 41 503.

Втората стъпка предполага, че 2, 3 и 5 не са прости делители за числото a 1 = 41 503, но 7 е прост делител, защото 41 503: 7 = 5 929. Получаваме, че p 2 = 7, a 2 = a 1: p 2 = 41,503: 7 = 5,929. Очевидно 83 006 = 2 7 5 929.

Намирането на най-малкия прост делител на p 4 на числото a 3 = 847 е 7. Може да се види, че a 4 = a 3: p 4 = 847: 7 = 121, така че 83 006 = 2 7 7 7 121.

За да намерим простия делител на числото a 4 = 121, използваме числото 11, тоест p 5 = 11. Тогава получаваме израз на формата a 5 = a 4: p 5 = 121: 11 = 11и 83 006 = 2 7 7 7 11 11.

За номер а 5 = 11номер p 6 = 11е най-малкият прост делител. Следователно a 6 = a 5: p 6 = 11: 11 = 1. Тогава 6 = 1. Това показва завършването на алгоритъма. Коефициентите ще бъдат записани като 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11.

Каноничната нотация на отговора ще приеме формата 83 006 = 2 · 7 3 · 11 2.

Отговор: 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2.

Пример 4

Разложете на множители числото 897,924,289.

Решение

За да намерите първия прост множител, потърсете сред простите числа, като започнете с 2. Краят на търсенето настъпва на номер 937. Тогава p 1 = 937, a 1 = a: p 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 и 897 924 289 = 937 958 297.

Втората стъпка на алгоритъма е итерация върху по-малки прости числа. Тоест започваме с числото 937. Числото 967 може да се счита за просто, защото е прост делител на числото a 1 = 958 297. От тук получаваме, че p 2 = 967, след това a 2 = a 1: p 1 = 958 297: 967 = 991 и 897 924 289 = 937 967 991.

Третата стъпка казва, че 991 е просто число, тъй като няма нито един прост множител, който да не надвишава 991. Приблизителната стойност на радикалния израз е 991< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . Това показва, че p 3 = 991 и a 3 = a 2: p 3 = 991: 991 = 1. Откриваме, че разлагането на числото 897 924 289 на прости множители се получава като 897 924 289 = 937 967 991.

Отговор: 897 924 289 = 937 967 991.

Използване на тестове за делимост за разлагане на прости фактори

За да разделите число на прости множители, трябва да следвате алгоритъм. Когато има малки числа, е допустимо да се използват таблицата за умножение и знаците за делимост. Нека да разгледаме това с примери.

Пример 5

Ако е необходимо да се разложи на множители 10, тогава таблицата показва: 2 · 5 = 10. Получените числа 2 и 5 са ​​прости числа, така че те са прости множители за числото 10.

Пример 6

Ако е необходимо да се разложи числото 48, тогава таблицата показва: 48 = 6 8. Но 6 и 8 не са прости множители, тъй като те също могат да бъдат разширени като 6 = 2 3 и 8 = 2 4. Тогава пълното разширение оттук се получава като 48 = 6 8 = 2 3 2 4. Каноничната нотация ще приеме формата 48 = 2 4 · 3.

Пример 7

Когато разлагате числото 3400, можете да използвате знаците за делимост. В този случай знаците за делимост на 10 и 100 са от значение. Оттук получаваме, че 3400 = 34 · 100, където 100 може да бъде разделено на 10, т.е. записано като 100 = 10 · 10, което означава, че 3400 = 34 · 10 · 10. Въз основа на теста за делимост намираме, че 3 400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5. Всички фактори са първични. Каноничното разширение приема формата 3 400 = 2 3 5 2 17.

Когато намираме прости множители, трябва да използваме тестове за делимост и таблици за умножение. Ако си представите числото 75 като произведение от фактори, тогава трябва да вземете предвид правилото за делимост на 5. Получаваме, че 75 = 5 15 и 15 = 3 5. Тоест, желаното разширение е пример за формата на продукта 75 = 5 · 3 · 5.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Всяко съставно число може да бъде разложено на прости множители. Може да има няколко метода за разлагане. И двата метода дават същия резултат.

Как да разделим число на прости множители по удобен начин? Нека да разгледаме как най-добре да направим това, използвайки конкретни примери.

Примери. 1) Разложете числото 1400 на прости множители.

1400 се дели на 2. 2 е просто число, няма нужда да се разлага на множители. Получаваме 700. Разделяме го на 2. Получаваме 350. Разделяме също 350 на 2. Полученото число 175 може да се раздели на 5. Резултатът е 35 - разделете отново на 5. Общо - 7. Може да се раздели само на 7. Получаваме 1, деление над.

Едно и също число може да бъде факторизирано по различен начин:

Удобно е да разделите 1400 на 10. 10 не е просто число, така че трябва да се разложи на прости множители: 10=2∙5. Резултатът е 140. Разделяме го отново на 10=2∙5. Получаваме 14. Ако 14 се раздели на 14, тогава то също трябва да се разложи на произведение от прости множители: 14=2∙7.

Така отново стигнахме до същото разлагане като в първия случай, но по-бързо.

Извод: когато разлагаме едно число, не е необходимо да го разделяме само на прости множители. Разделяме на това, което е по-удобно, например на 10. Просто трябва да запомните да разлагате съставните делители на прости множители.

2) Разложете числото 1620 на прости множители.

Най-удобният начин да разделим числото 1620 е на 10. Тъй като 10 не е просто число, ние го представяме като произведение на прости множители: 10=2∙5. Получихме 162. Удобно е да го разделим на 2. Резултатът е 81. Числото 81 може да се раздели на 3, но на 9 е по-удобно. Тъй като 9 не е просто число, ние го разширяваме като 9=3∙3. Получаваме 9. Разделяме го също на 9 и го разширяваме в произведението на простите множители.