Решение задач линейного программирования графическим методом.
Найти графическим методом максимум целевой функции
F = 2x 1 + 3x 2 ® max
При ограничениях
Решение с помощью таблиц Excel
Вначале построим на листе Excel решение системы неравенств.
Рассмотрим первое неравенство .
Построим граничную прямую по двум точкам. Прямую обозначим (L1)(или Ряд1). Координаты х 2 считаем по формулам:
Для построения выбираем точечную диаграмму
Выбираем данные для прямой
Изменяем название прямой:
Выбираем макет диаграммы. Изменяем название осей координат:
Прямая (L1) на графике:
Решение строгого неравенства можно найти с помощью единственной пробной точки, не принадлежащей прямой (L1). Например, с помощью точки (0; 0)Ï(L1).
0 + 3×0 < 18 или 0 < 18 .
Неравенство является верным, следовательно решением неравенства (1) будет та полуплоскость, в которой пробная точка расположена (на рисунке ниже прямой L1).
Затем решаем неравенство (2) .
Построим граничную прямую 2 по двум точкам. Прямую обозначим (L2).
Прямая (L2) на графике:
Решение строгого неравенства 2 можно найти с помощью единственной пробной точки, не принадлежащей прямой (L2). Например, с помощью точки (0; 0)Ï(L2).
При подстановке координат точки (0; 0), получаем неравенство
2×0 + 0 < 16 или 0 < 16 .
Неравенство является верным, следовательно решением неравенства (2) будет та полуплоскость, в которой пробная точка расположена (на рисунке ниже прямой L2).
Затем решаем неравенство (3) .
Построим граничную прямую по двум точкам. Прямую обозначим (L3).
Прямая (L3) на графике:
Решение строгого неравенства 2 можно найти с помощью единственной пробной точки, не принадлежащей прямой (L3). Например, с помощью точки (0; 0)Ï(L3).
При подстановке координат точки (0; 0), получаем неравенство
Неравенство является верным, следовательно решением неравенства (3) будет та полуплоскость, в которой пробная точка расположена (на рисунке ниже прямой L3).
Затем решаем неравенство (4) .
Построим граничную прямую по двум точкам. Прямую обозначим (L4).
На листе Excel добавляем данные
Прямая (L4) на графике:
Решение строгого неравенства 3х 1 < 21 можно найти с помощью единственной пробной точки, не принадлежащей прямой (L4). Например, с помощью точки (0; 0)Ï(L4).
При подстановке координат точки (0; 0), получаем неравенство
Неравенство является верным, следовательно, решением неравенства (4) будет та полуплоскость, в которой пробная точка расположена (на рисунке левее прямой L4).
Решением двух неравенств (5) и (6)
является 1-ая четверть, ограниченная координатными прямыми и .
Система неравенств решена. Решением системы неравенств (1) – (6) в данном примере является выпуклый многоугольник в левом нижнем углу рисунка, ограниченный прямыми L1, L2, L3, L4 и координатными прямыми и . Убедиться, что многоугольник выбран правильно, можно подстановкой пробной точки, например (1; 1) в каждое неравенство исходной системы. При подстановке точки (1; 1) получаем, что все неравенства, в том числе естественные ограничения, верные.
Рассмотрим теперь целевую функцию
F = 2x 1 + 3x 2 .
Построим линии уровня для значений функции F = 0 и F = 12 (числовые значения выбраны произвольно). На листе Excel добавляем данные
Линии уровней на графике:
Построим вектор направлений (или градиент) {2; 3}. Координаты вектора совпадают с коэффициентами целевой функции F .
Государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Омский государственный технический университет»
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА
по дисциплине « ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ »
на тему « МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ »
вариант 7
Выполнил:
студент заочного отделения
4-го курса группы ЗА-419
ФИО: Кужелев С. А.
Проверила:
Девятерикова М. В.
Омск – 2012 г.
^
Задание 1. Графический метод решения задач линейного программирования.
| 7) 7x 1 + 6x 2 → max 20x 1 + 6x 2 ≤ 15 16x 1 − 2x 2 ≤ 18 8x 1 + 4x 2 ≤ 20 13x 1 + 3x 2 ≤ 4 x 1 , x 2 ≥ 0. |
Шаг 1. Построение допустимой области
Условия неотрицательности переменных и квадратов ограничивают область их допустимых значений первым квадрантом. Каждому из оставшихся четырех ограничений-неравенств модели соответствует некоторая полуплоскость. Пересечение этих полуплоскостей с первым квадрантом образует множество допустимых решений задачи.
Первое ограничение модели имеет вид 
. Заменив в нем знак ≤ на знак =, получаем уравнение
. На рис. 1.1 оно определяет прямую (1), которая разбивает плоскость на две полуплоскости, в данном случае выше линии и ниже нее. Чтобы выбрать, какая из них удовлетворяет неравенству , подставим в него координаты любой точки, не лежащей на данной прямой (например, начало координат х
1
= 0, х
2
= 0). Так как получаем верное выражение (20 0 + 6 0 = 0 ≤15), то неравенству удовлетворяет полуплоскость, содержащая начало координат (помечена стрелкой). В противном случае другая полуплоскость.
Аналогично поступаем с остальными ограничениями задачи. Пересечение всех построенных полуплоскостей с первым квадрантом образует ABCD
(см. рис. 1). Это и есть допустимая область задачи.
Шаг 2. Построение линии уровня Линия уровня целевой функции - это множество точек плоскости, в которых целевая функция принимает постоянное значение. Такое множество задается уравнением f ( x ) = const . Положим, например, const = 0 и построим линию у ровня f ( x ) = 0 , т.е. в нашем случае прямую 7x 1 + 6x 2 = 0.
Данная прямая проходит через начало координат и перпендикулярна вектору . Этот вектор является градиентом целевой функции в точке (0,0). Градиент функции - это вектор значений частных производных данной функции в рассматриваемой точке. В случае задачи ЛП частные производные целевой функции равны коэффициентам C i, j = 1 , ..., n .
Градиент показывает направление наискорейшего роста функции. Перемещая линию уровня целевой функции f ( x ) = const . перпендикулярно направлению градиента, найдем последнюю точку, в которой она пересекается с областью. В нашем случае это точка D, которая и будет точкой максимума целевой функции (см. рис. 2)
Она лежит на пересечении прямых (2 ) и (3 ) (см. рис. 1 ) и задает оптимальное решение.
^
Заметим, что если требуется найти минимальное значение целевой функции, линию уровня перемещают в направлении, противоположном направлению градиента.
^ Шаг 3. Определение координат точки максимума (минимума) и оптимального значения целевой функции
Чтобы найти координаты точки C, необходимо решить систему, состоящую из соответствующих прямым уравнений (в данном случае из уравнений 2 и 3 ):
16x 1 − 2x 2 ≤ 18
8x 1 + 4x 2 ≤ 20
Получим оптимальное решение = 1,33.
^ Оптимальное значение целевой функции f * = f (х*) = 7 * 0 + 6 * 1,33 = 7,8
Лабораторная работа № 1. Решение задач линейного программирования
Цель работы Получение навыка решения задач линейного программирования графическим, симплексным методом и средствамиExcel.
Задача линейного программирования заключается в изучении способов отыскания максимального или минимального значений линейной функции при наличии линейных ограничений. Целевой функцией называется функция, максимальное или минимальное значение которой находится. Совокупность значений переменных, при которых достигается максимальное или минимальное значения, называется оптимальным решением (оптимальным планом), всякая другая совокупность значений, удовлетворяющая ограничениям, называется допустимым решением (допустимым планом).
Геометрический метод решения задачи линейного программирования рассмотрим на примере.
Пример . Найти максимальное значение целевой функцииL =2x 1 +2x 2 при заданных ограничениях
Решение. Построим область решений системы ограничений, меняя знаки неравенств на знаки точных равенств:
l 1: 3x 1 -2x 2 +6=0,
l 2: 3x 1 +x 2 -3=0,
l 3:x 1 -3=0.
D С
2 0 1 3 х 1
(l 1) (l 3)
Прямая l 1 делит плоскостьх Оу на две полуплоскости, из которых нужно выбрать одну, удовлетворяющую первому неравенству в системе (3). Для этого возьмем т.О (0; 0) и подставим в неравенство. Если оно верно, то нужно заштриховать ту полуплоскость от прямой, в которой находится т.О (0; 0). Аналогично поступают с прямымиl 2 иl 3 . Областью решений неравенств (3) является многоугольникАВС D . Для каждой точки плоскости функцияL принимает фиксированное значениеL =L 1 . Множество всех токах точек есть прямаяL =c 1 x 1 +c 2 x 2 (в нашем случаеL =2x 1 +2x 2), перпендикулярная векторуС (с 1 ;с 2) (С (2; 2)), выходящему из начала координат. Если эту прямую передвигать в положительном направлении векторас , то целевая функцияL будет возрастать, в противоположном случае будет убывать. Таким образом, в нашем случае, прямая при выходе из многоугольникаАВС D решений пройдет через т.В (3; 7,5), а потому в т.В целевая функция принимает максимальное значение, т.е.L max =2ּ3+2ּ7,5=21. Аналогично определяется, что минимальное значение функция принимает в т.D (1; 0) иL min =2ּ1+2ּ0=2.
Алгоритм симплексного метода решения задачи линейного программирования состоит в следующем.
1. Общая задача линейного программирования сводится к канонической задаче (в ограничениях стоят знаки равенства) введением стольких вспомогательных переменных, сколько неравенств содержит система ограничений.
2. Функция цели выражается через базисные и вспомогательные переменные.
3. Составляется первая симплекс-таблица. В базис записываются переменные, относительно которых разрешена система ограничений (лучше всего за базисные принять вспомогательные переменные). В первой строке таблицы перечисляются все переменные, и отводится столбец для свободных членов. В последнюю строку таблицы записывают коэффициенты функции цели с противоположными знаками
4. Каждая симплекс-таблица дает решение задачи линейного программирования: свободные переменные равны нулю, базисные переменные равны соответственно свободным членам.
5. Критерием оптимальности является отсутствие отрицательных элементов в последней строке таблицы для решения задачи на максимум и положительных элементов на минимум.
6. Для улучшения решения необходимо от одной симплекс-таблица перейти к другой. Для этого в предыдущей таблице находят ключевой столбец, соответствующий наименьшему отрицательному элементу в последней строке таблицы в задаче на максимум и наибольший положительный коэффициент в задаче на минимум. Затем находят ключевую строку, соответствующую минимальному отношению свободных членов к соответствующим положительным элементам ключевого столбца. На пересечении ключевого столбца и ключевой строки находится ключевой элемент.
7. Заполнение следующей симплекс-таблицы начинаем с заполнения базиса: из базиса выводится переменная, соответствующая ключевой строке, и на ее место вводится переменная, соответствующая ключевому столбцу. Элементы бывшей ключевой строки получаются делением прежнего элемента на ключевой. Элементы бывшего ключевого столбца становятся нулями, кроме ключевого элемента, который равен единицы. Все остальные элементы вычисляются по правилу прямоугольника:
8. Преобразование симплекс-таблиц производят до тех пор, пока не получат оптимального плана.
Пример
. Найти максимальное значение
функции
,
если переменные
удовлетворяют системе ограничений:
Решение.
1. Вводим новые переменные
,
с помощью которых неравенства системы
преобразуем в уравнения:
У коэффициентов целевой функции меняем
знак или записываем ее в виде
.
Заполняем первую симплексную таблицу,
в нулевой строке записываемх
1 ,х
2 и
(свободные коэффициенты). В нулевом
столбце –х
3 ,х
4 ,х
5 иF
. Заполняем эту
таблицу по полученной системе уравнений
и преобразованной целевой функции.
|
|
|
|
|
|
| |||
|
| |||
|
| |||
|
|
Проверяем критерий оптимальности на нахождение максимального значения: в последней строке все коэффициенты должны быть положительными. Этот критерий не выполняется, переходим к составлению второй таблицы.
2. Находим разрешающий элемент первой
таблицы следующим образом. Среди
элементов последней строки выбираем
наибольший по модулю отрицательный
коэффициент (это -3) и второй столбец
принимаем как разрешающий. Если же все
коэффициенты столбца неположительные,
то
.
Для определения разрешающей строки
свободные коэффициенты делим на
соответствующие элементы разрешающего
столбца и выбираем минимальное
отношение, при этом отрицательные
коэффициенты не берем. Имеем
,
вторая строка является разрешающей.
Пересечение разрешающей строки и столбца
дает разрешающий элемент – это 3.
3. Заполняем вторую симплексную таблицу.
Переменные на пересечении которых
получаем разрешающий элемент, меняем
местами, т.е.
и
.
Разрешающий элемент заменяем ему
обратным, т.е. на.
Элементы разрешающей строки и столбца
(кроме разрешающего элемента) делим на
разрешающий элемент. При этом у
коэффициентов разрешающего столбца
меняем знак.
Остальные элементы второй таблицы получаем по правилу прямоугольника из элементов первой таблицы. Для заполняемой клетки и клетки с разрешающим элементом составляем прямоугольник. Затем из элемента для заполняемой клетки вычитаем произведение элементов двух других вершин, деленное на разрешающий элемент. Покажем расчеты по этому правилу для заполнения первой строки второй таблицы:
.
Заполнение таблиц по таким правилам продолжаем до тех пор, пока не будет выполнен критерий. Имеем для нашей задачи еще две таблицы.
|
х 1 |
х 4 |
х 3 |
х 2 | ||||||
|
х 3 |
х 1 |
| |||||||
|
х 2 |
|
х 2 |
|
|
|
||||
|
х 5 |
|
х 5 |
| ||||||
|
|
4. Результат выполнения этого алгоритма
записывают следующим образом. В
заключительной таблице элемент, стоящий
на пересечении строки
и столбцаb
, дает
максимальное значение целевой функции.
В нашем случае
.
Значения переменных по строкам равны
свободным коэффициентам. Для нашей
задачи имеем
.
Существуют и другие способы составления и заполнения симплексных таблиц. Например, для этапа 1 в нулевой строке таблицы записывают все переменные и свободные коэффициенты. После нахождения разрешающего элемента по тем же правилам в следующей таблице заменяем переменную в нулевом столбце, а в строке нет. Все элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент, и записываем в новой таблице. Для остальных элементов разрешающего столбца записываем нули. Далее выполняем указанный алгоритм с учетом этих правил.
При решении задачи линейного программирования на минимум в последней строке выбирают наибольший положительный коэффициент, и выполняют указанный алгоритм до тех пор, пока в последней строке не будет положительных коэффициентов.
Решение задач линейного программирования средствами Excelвыполняется следующим образом.
Для решения задач линейного программирования используется надстройка Поиск решения. Сначала необходимо убедиться, что эта надстройка присутствует на вкладке Данные в группе Анализ (для 2003 года смотреть Сервис). Если команда Поиск решения или группа Анализ отсутствует, необходимо загрузить эту надстройку.
Для этого щелкните Файл Microsoft Office (2010), далее щелкните кнопку Параметры Excel. В появившемся окне Параметры Excel выберите слева поле Надстройки. В правой части окна должно быть установлено значения поля Управление равным Надстройки Excel, нажмите кнопку «Перейти», которая находится рядом с этим полем. В окне Надстройки установите флажок рядом с пунктом Поиск решения и нажмите кнопку ОК. Далее можно работать с установленной надстройкой Поиск Решения.
До вызова Поиск Решения необходимо подготовить данные для решения задачи линейного программирования (из математической модели) на рабочем листе:
1) Определить ячейки, в которые будет помещен результат решения для этого, в первом строке вводим переменные и целевую функцию. Вторую строку не заполняем (изменяемые ячейки) в этих ячейках будет получен оптимальный результат. В следующую строку вести данные для целевой функции, а в следующие строки системы ограничений (коэффициенты при неизвестных). Правую часть ограничений (свободные коэффициенты) вводим, оставляя свободную ячейку после записи коэффициентов системы ограничений.
2) Ввести зависимость от изменяемых ячеек для целевой функции и зависимости от изменяемых ячеек для левых частей системы ограничений в оставленные свободные ячейки. Для введения формул зависимостей удобно пользоваться математической функцией СУММПРОИЗВ.
Далее необходимо воспользоваться надстройкой Поиск решения. На вкладке Данные в группе Анализ выберите команду Поиск решения. Появится диалоговое окно Поиск решения, которое необходимо заполнить следующим образом:
1) Указать ячейку, содержащую целевую функцию в поле «Оптимизировать целевую функцию» (эта ячейка должна содержать формулу для целевой функции). Выбираем вариант оптимизации значения целевой ячейки (максимизация, минимизация):
2) В поле «Изменяя ячейки переменных» вводим изменяемые ячейки. В следующем поле «В соответствии с ограничениями» вводим заданные ограничения с помощью кнопки «Добавить». В появившемся окне вводим ячейки, содержащие формулы системы ограничений, выбираем знак ограничения и значение ограничения (свободный коэффициент):
3) Ставим флажок в поле «Сделать переменные без ограничений неотрицательными». Выбрать метод решения «Поиск решения линейных задач симплекс-методом». После нажатия кнопки «Найти решение» запускается процесс решения задачи. В итоге появляется диалоговое окно «Результаты поиска решения» и исходная таблица с заполненными ячейками для значений переменных и оптимальным значением целевой функции.
Пример.
Решить, используя надстройку
«Поиск решения» Excel задачу линейного
программирования: найти максимальное
значение функции
при ограничениях
,
;
,
.
Решение. Для решения нашей задачи на рабочем листе Excel выполним указанный алгоритм. Вводим исходные данные в виде таблицы
Вводим зависимости для целевой функции и системы ограничений. Для этого в ячейку С2 вводим формулу =СУММПРОИЗВ(A2:B2;A3:B3). В ячейки С4 и С5 соответственно формулы: =СУММПРОИЗВ(A2:B2;A4:B4) и =СУММПРОИЗВ(A2:B2;A5:B5). В результате получаем таблицу.
Запускаем команду «Поиск решения» и заполняем появившееся окно Поиск решения следующим образом. В поле «Оптимизировать целевую функцию» вводим ячейку С2. Выбираем оптимизации значения целевой ячейки «Максимум».
В поле «Изменяя ячейки переменных» вводим изменяемые ячейки A2:B2. В поле «В соответствии с ограничениями» вводим заданные ограничения с помощью кнопки «Добавить». Ссылки на ячейку $C$4:$C$5 Ссылки на ограничения =$D$4:$D$5 между ними знак <= затем кнопку «ОК».
Ставим флажок в поле «Сделать переменные без ограничений неотрицательными». Выбрать метод решения «Поиск решения линейных задач симплекс-методом».
Нажатием кнопки «Найти решение» запускается процесс решения задачи. В итоге появляется диалоговое окно «Результаты поиска решения» и исходная таблица с заполненными ячейками для значений переменных и оптимальным значением целевой функции.
В диалоговом окне «Результаты поиска решения» сохраняем результат x1=0,75, x2=0,75 , F=1,5-равный максимальному значению целевой функции.
Задания для самостоятельной работы
Задание 1. Графическим, симплексным методами и средствами Excel найти максимальное и минимальное значение функцииF (x ) при заданной системе ограничений.
1. F (x )=10x 1 +5x 2 2. F (x )=3x 1 -2x 2
3. F (x )=3x 1 +5x 2 4. F (x )=3x 1 +3x 2
5. F (x )=4x 1 -3x 2 6. F (x )=2x 1 -x 2
7. F (x )=-2x 1 +4x 2 8. F (x )=4x 1 -3x 2
9. F (x )=5x 1 +10x 2 10. F (x )=2x 1 +x 2
11. F (x )=x 1 +x 2 12. F (x )=3x 1 +x 2
13. F (x )=4x 1 +5x 2 14. F (x )=3x 1 +2x 2
15. F (x )=-x 1 -x 2 16. F (x )=-3x 1 -5x 2
17. F (x )=2x 1 +3x 2 18. F (x )=4x 1 +3x 2
19. F (x )=-3x 1 -2x 2 20. F (x )=-3x 1 +4x 2
21. F (x )=5x 1 -2x 2 22. F (x )=-2x 1 +3x 3
23. F (x )=2x 1 +3x 2 24. F (x )=4x 1 +3x 2
25. F (x )=-3x 1 -2x 2 26. F (x )=-3x 1 +4x 2
27. F (x )=-2x 1 +4x 2 28. F (x )=4x 1 -3x 2
29. F (x )=-x 1 -x 2 30. F (x )=-3x 1 -5x 2
Контрольные вопросы.
1. Какие задачи называются задачами линейного программирования?
2. Приведите примеры задач линейного программирования.
3. Как решается задача линейного программирования графическим методом?
4. Опишите алгоритм симплекс-метода решения задач линейного программирования.
5. Опишите алгоритм решения задач линейного программирования средствами Excel.
Построим на плоскости множество допустимых решений системы линейных неравенств и геометрически найдём минимальное значение целевой функции.
Строим в системе координат х 1 ох 2 прямые
Находим полуплоскости, определяемые системой. Так как неравенства системы выполняется для любой точки из соответствующей полуплоскости, то их достаточно проверить для какой-либо одной точки. Используем точку (0;0). Подставим её координаты в первое неравенство системы. Т.к. , то неравенство определяет полуплоскость, не содержащую точку (0;0). Аналогично определяем остальные полуплоскости. Находим множество допустимых решений как общую часть полученных полуплоскостей - это заштрихованная область.
Строим вектор и перпендикулярно к нему прямую нулевого уровня.
Перемещая прямую (5) в направлении вектора и видим, что у области максимальная точка будет в точке А пересечения прямой (3) и прямой (2). Находим решение системы уравнений:
Значит, получили точку (13;11) и.
Перемещая прямую (5) в направлении вектора и видим, что у области минимальная точка будет в точке В пересечения прямой (1) и прямой (4). Находим решение системы уравнений:
Значит, получили точку (6;6) и.
2. Мебельная фирма производит комбинированные шкафы и компьютерные столики. Их производство ограничено наличием сырья (высококачественных досок, фурнитуры) и временем работы обрабатывающих их станков. Для каждого шкафа требуется 5 м2 досок, для стола - 2 м2. На один шкаф расходуется фурнитуры на 10$, на один столик также на 8$. Фирма может получать от своих поставщиков до 600 м2 досок в месяц и фурнитуры на 2000$. Для каждого шкафа требуется 7 часов работы станков, для стола - 3 часа. В месяц возможно использовать всего 840 часов работы станков.
Сколько комбинированных шкафов и компьютерных столиков фирме следует выпускать в месяц для получения максимальной прибыли, если один шкаф приносит 100$ прибыли, а каждый стол - 50$?
- 1. Составить математическую модель задачи и решить её симплексным методом.
- 2. Составить математическую модель двойственной задачи, записать её решение исходя из решения исходной.
- 3. Установить степень дефицитности используемых ресурсов и обосновать рентабельность оптимального плана.
- 4. Исследовать возможности дальнейшего увеличения выпуска продукции в зависимости от использования каждого вида ресурсов.
- 5. Оценить целесообразность введения нового вида продукции - книжных полок, если на изготовление одной полки расходуется 1 м 2 досок и фурнитуры на 5$,и требуется затратить 0,25 часа работы станков и прибыль от реализации одной полки составляет 20$.
- 1. Построим математическую модель для данной задачи:
Обозначим через x 1 - объём производства шкафов, а х 2 - объём производства столиков. Составим систему ограничений и функцию цели:
Задачу решаем симплекс-методом. Запишем её в каноническом виде:
Запишем данные задачи в виде таблицы:
Таблица 1
Т.к. теперь все дельта больше нуля, то дальнейшее увеличение значения функции цели f невозможно и мы получили оптимальный план.
Тесты для текущего контроля знаний
1. Любая экономико – математическая модель задачи линейного программирования состоит из:
A. целевой функции и системы ограничений
B. целевой функции, системы ограничений и условия неотрицательности переменных
C. системы ограничений и условия неотрицательности переменных
D. целевой функции и условия неотрицательности переменных
A. целевая функция
B. система уравнений
C. система неравенств
D. условие неотрицательности переменных
3. Оптимальное решение задачи математического программирования – это
A. допустимое решение системы ограничений
B. любое решение системы ограничений
C. допустимое решение системы ограничений, приводящее к максимуму или минимуму целевой функции
D. максимальное или минимальное решение системы ограничений
4. Система ограничений называется стандартной, если она содержит
A. все знаки
B. все знаки
C. все знаки
D. все знаки
5. Задача линейного программирования решается графическим способом, если в задаче
A. одна переменная
B. две переменные
C. три переменные
D. четыре переменные
6. Неравенство вида 
описывает
B. окружность
C. полуплоскость
D. плоскость
7. Максимум или минимум целевой функции находится
A. в начале координат
B. на сторонах выпуклого многоугольника решений
C. внутри выпуклого многоугольника решений
D. в вершинах выпуклого многоугольника решений
8. Каноническим видом ЗЛП называется такой ее вид, в котором система ограничений содержит знаки
A. все знаки
B. все знаки
C. все знаки
D. все знаки
9. Если ограничение задано со знаком «>=», то дополнительная переменная вводится в это ограничение с коэффициентом
B. -1
10. В целевую функцию дополнительные переменные вводятся с коэффициентами
C. 0
A. количество ресурса с номером i, необходимого для изготовления 1 единицы продукции j – го вида
B. неиспользованные ресурсы i - го вида
C. прибыль от реализации 1 единицы продукции j – го вида
D. количество продукции j – го вида
12. Разрешающий столбец при решении ЗЛП на max целевой функции выбирается исходя из условия
A. наибольшее положительное значение коэффициента Cj целевой функции
B. наименьшее положительное значение коэффициента Cj целевой функции
C. наибольшее отрицательное значение коэффициента Cj целевой функции
D. любой столбец коэффициентов при неизвестных
13. Значение целевой функции в таблице с оптимальным планом находится
A. на пересечении строки коэффициентов целевой функции со столбцом коэффициентов при х1
B. на пересечении строки коэффициентов целевой функции со столбцом b
C. в столбце коэффициентов при хn
D. на пересечении строки коэффициентов целевой функции со столбцом первоначального базиса
14. Искусственные переменные в систему ограничений в каноническом виде вводятся с коэффициентом
A. 1
15. Оптимальность плана в симплексной таблице определяется
A. по столбцу b
B. по строке значений целевой функции
C. по разрешающей строке
D. по разрешающему столбцу
16. Дана задача линейного программирования
B. 1
17. Дана задача линейного программирования
Количество искусственных переменных для этой задачи равно
C. 2
18. Если исходная ЗЛП имеет вид
тогда ограничения двойственной задачи
A. имеют вид
B. имеют вид
C. имеют вид 
D. имеют вид 
19. Если исходная ЗЛП имеет вид
A. имеют вид
B. имеют вид
C. имеют вид
D. имеют вид
20. Коэффициентами при неизвестных целевой функции двойственной задачи являются
A. коэффициенты при неизвестных целевой функции исходной задачи
B. свободные члены системы ограничений исходной задачи
C. неизвестные исходной задачи
D. коэффициенты при неизвестных системы ограничений исходной задачи
21. Если исходная ЗЛП была на максимум целевой функции, то двойственная задача будет
A. тоже на максимум
B. либо на максимум, либо на минимум
C. и на максимум, и на минимум
D. на минимум
22. Связь исходной и двойственной задач заключается в том, что
A. надо решать обе задачи
B. решение одной из них получается из решения другой
C. из решения двойственной задачи нельзя получить решения исходной
D. обе имеют одинаковые решения
23. Если исходная ЗЛП имеет вид
тогда целевая функция двойственной задачи
A. имеют вид
B. имеют вид
C. имеют вид
D. имеют вид
24. Если исходная ЗЛП имеет вид
то количество переменных в двойственной задаче равно
B. 2
25. Модель транспортной задачи закрытая,
A. если
26. Цикл в транспортной задаче – это
A. замкнутая прямоугольная ломаная линия, все вершины которой находятся в занятых клетках
B. замкнутая прямоугольная ломаная линия, все вершины которых находятся свободных клетках
C. замкнутая прямоугольная ломаная линия, одна вершина которой в занятой клетке, остальные в свободных клетках
D. замкнутая прямоугольная ломаная линия, одна вершина которой в свободной клетке, а остальные в занятых клетках
27. Потенциалами транспортной задачи размерности (m*n) называются m+n чисел ui и vj, для которых выполняются условия
A. ui+vj=cij для занятых клеток
B. ui+vj=cij для свободных клеток
C. ui+vj=cij для первых двух столбцов распределительной таблицы
D. ui+vj=cij для первых двух строк распределительной таблицы
28. Оценками транспортной задачи размерности (m+n) называются числа
yij=cij-ui-vj, которые вычисляются
A. для занятых клеток
B. для свободных клеток
C. для первых двух строк распределительной таблицы
D. для первых двух столбцов распределительной таблицы
29. При решении транспортной задачи значение целевой функции должно от итерации к итерации
A. увеличиваться
B. увеличиваться или не меняться
C. увеличиваться на величину любой оценки
D. уменьшаться или не меняться
30. Число занятых клеток невырожденного плана транспортной задачи должно быть равно
C. m+n-1
31. Экономический смысл целевой функции транспортной задачи
A. суммарный объем перевозок
B. суммарная стоимость перевозок
C. суммарные поставки
D. суммарные потребности
