Розрахунок адх вка кліпера методом ньютона. Чисельні методи розв'язання нелінійних рівнянь

Метод Ньютона (метод дотичних)

Нехай корінь рівняння f(x)=0 відокремлений на відрізку , причому перша та друга похідні f'(x) і f""(x)безперервні та знакопостійні при хÎ.

Нехай на деякому етапі уточнення кореня отримано (вибрано) чергове наближення до кореня х n . Тоді припустимо, що наступне наближення отримане за допомогою поправки h n , приводить до точного значення кореня

x = х n + h n. (1.2.3-6)

Вважаючи h nмалою величиною, представимо f(х n + h n) у вигляді ряду Тейлора, обмежуючись лінійними доданками

f(хn+hn)» f(хn) + hnf'(хn). (1.2.3-7)

Враховуючи, що f(x) = f(xn + hn) = 0, отримаємо f(xn) + hnf '(xn) »0.

Звідси h n» - f(х n)/f'(х n). Підставимо значення h nв (1.2.3-6) і замість точного значення кореня xотримаємо чергове наближення

Формула (1.2.3-8) дозволяє отримати послідовність наближень x,тобто

Геометрична інтерпретація методу Ньютонаполягає в наступному
(Рис.1.2.3-6). Приймемо за початкове наближення x 0 правий кінець відрізка b і у відповідній точці 0 на графіку функції y = f(x) побудуємо дотичну. Точка перетину дотичної з віссю абсцис приймається за нове точніше наближення х 1 . Багаторазове повторення цієї процедури дозволяє отримати послідовність наближень х 0 х 1 х 2 , . . ., яка прагне точного значення кореня x.

Розрахункова формула методу Ньютона (1.2.3-8) можна отримати з геометричного побудови. Так у прямокутному трикутнику х 0 В 0 х 1 катет
х 0 х 1 = х 0 0 /tga. Враховуючи, що точка 0 знаходиться на графіку функції f(x),а гіпотенуза утворена дотичною до графіка f(x) у точці В 0 отримаємо

(1.2.3-9)

(1.2.3-10)

Ця формула збігається з (1.2.3-8) для n-го наближення.

З рис.1.2.3-6 видно, що вибір як початкового наближення точки а може призвести до того, що наступне наближення х 1 виявиться поза відрізком , на якому відокремлений корінь x. І тут збіжність процесу не гарантована. У загальному випадку вибір початкового наближення здійснюється відповідно до наступного правила: за початкове наближення слід прийняти таку точку х 0 Î, у якій f(х 0)×f''(х 0)>0, тобто знаки функції та її другий похідний збігаються.

Умови збіжності методу Ньютона сформульовані у наступній теоремі.

Якщо корінь рівняння відокремлений на відрізку, причому f'(х 0)і f''(х) відмінні від нуля і зберігають свої знаки прихÎ, то, якщо вибрати як початкове наближення таку точкух 0 Î , що f(х 0).f¢¢(х 0)>0 , то корінь рівняння f(x)=0 може бути обчислений з будь-яким ступенем точності.

Оцінка похибки методу Ньютона визначається так:

(1.2.3-11)

де - найменше значення при

Найбільше значення при

Процес обчислень припиняється, якщо ,

де - задана точність.

Крім того, умовою досягнення заданої точності при уточненні кореня методом Ньютона можуть бути такі вирази:

Схема алгоритму методу Ньютона наведено на рис. 1.2.3-7.

Ліва частина вихідного рівняння f(x) та її похідна f'(x) в алгоритмі оформлені у вигляді окремих програмних модулів.

Мал. 1.2.3-7. Схема алгоритму методу Ньютона

Приклад 1.2.3-3. Уточнити методом Ньютона корені рівняння x-ln(x+2) = 0 за умови, що коріння цього рівняння відокремлено на відрізках x 1 Î[-1.9;-1.1] та x 2 Î [-0.9;2 ].

Перша похідна f'(x) = 1 – 1/(x+2) зберігає свій знак кожному з відрізків:

f’(x)<0 при хÎ [-1.9; -1.1],

f’(x)>0 при хÎ [-0.9; 2].

Друга похідна f"(x) = 1/(x+2) 2 > 0 за будь-яких х.

Отже, умови збіжності виконуються. Оскільки f""(x)>0на всій області допустимих значень, то для уточнення кореня за початкове наближення x 1виберемо х 0 =-1,9 (оскільки f(-1,9)×f”(-1.9)>0). Отримаємо послідовність наближень:

Продовжуючи обчислення, отримаємо наступну послідовність перших чотирьох наближень: -1.9; -1.8552, -1.8421; -1.8414 . Значення функції f(x) у точці x=-1.8414 дорівнює f(-1.8414)=-0.00003 .

Для уточнення кореня x 2 Î[-0.9;2] виберемо як початкове наближення 0 =2 (f(2)×f”(2)>0). З х 0 = 2, отримаємо послідовність наближень: 2.0;1.1817; 1.1462; 1.1461. Значення функції f(x) у точці x=1.1461 дорівнює f(1.1461)=-0.00006.

Метод Ньютона має високу швидкість збіжності, проте кожному кроці він вимагає обчислення як значення функції, а й її похідної.

Метод хорд

Геометрична інтерпретація методу хордполягає в наступному
(Рис.1.2.3-8).

Проведемо відрізок прямої через точки A та B. Чергове наближення x 1 є абсцисою точки перетину хорди з віссю 0х. Побудуємо рівняння відрізка прямої:

Покладемо y=0і знайдемо значення х=х 1 (чергове наближення):

Повторимо процес обчислень для отримання чергового наближення до кореня - х 2 :

У разі (рис.1.2.11) і розрахункова формула методу хорд матиме вигляд

Ця формула справедлива, коли за нерухому точку приймається точка b, а як початкове наближення виступає точка a.

Розглянемо інший випадок (рис. 1.2.3-9), коли .

Рівняння прямої для цього випадку має вигляд

Чергове наближення х 1 за y = 0

Тоді рекурентна формула методу хорд для цього випадку має вигляд

Слід зазначити, що за нерухому точку методу хорд вибирають той кінець відрізка , для якого виконується умова f (x)∙f¢¢ (x)>0.

Таким чином, якщо за нерухому точку прийняли точку а , то як початкове наближення виступає х 0 = b, і навпаки.

Достатні умови, які забезпечують обчислення кореня рівняння f(x)=0 за формулою хорд, будуть тими самими, що й методу дотичних (метод Ньютона), тільки замість початкового наближення вибирається нерухома точка. Метод хорд є модифікацією методу Ньютона. Різниця полягає в тому, що як чергове наближення в методі Ньютона виступає точка перетину дотичної з віссю 0Х, а в методі хорд - точка перетину хорди з віссю 0Х - наближення сходяться до кореня з різних сторін.

Оцінка похибки методу хорд визначається виразом

(1.2.3-15)

Умова закінчення процесу ітерацій за методом хорд

(1.2.3-16)

Якщо M 1<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n -x n -1 |£e.

Приклад 1.2.3-4. Уточнити корінь рівняння e x - 3x = 0, відокремлений на відрізку з точністю 10 -4.

Перевіримо умову збіжності:

Отже, за нерухому точку слід вибрати а=0, а як початкове наближення прийняти х 0 =1, оскільки f(0)=1>0 і f(0)*f"(0)>0.

2. Метод Ньютона розв'язання систем нелінійних рівнянь.

Цей метод має набагато швидшу збіжність, ніж метод простої ітерації. В основі методу Ньютона системи рівнянь (1.1) лежить використання розкладання функцій

, де
(2.1)

до ряду Тейлора, причому члени, що містять другі та вищі порядки похідних, відкидаються. Такий підхід дозволяє вирішення однієї нелінійної системи (1.1) замінити рішенням низки лінійних систем.

Отже, систему (1.1) вирішуватимемо методом Ньютона. В області D виберемо будь-яку точку
і назвемо її нульовим наближенням до точного рішення вихідної системи. Тепер функції (2.1) розкладемо в ряд Тейлора на околиці точки . Будемо мати

Т.к. ліві частини (2.2) повинні звертатися у нуль згідно з (1.1), то й праві частини (2.2) теж повинні звертатися у нуль. Тому з (2.2) маємо

Усі приватні похідні (2.3) повинні бути обчислені в точці .

(2.3) є система лінійних рівнянь алгебри щодо невідомих Цю систему можна вирішити методом Крамера, якщо її основний визначник буде відмінний від нуля і знайти величини

Тепер можна уточнити нульове наближення, побудувавши перше наближення з координатами

тобто.
. (2.6)

З'ясуємо, чи наближення (2.6) отримано з достатнім ступенем точності. Для цього перевіримо умову

,
(2.7)

де наперед задане мале позитивне число (точність, з якою має бути вирішена система (1.1)). Якщо умова (2.7) буде виконано, то за наближене рішення системи (1.1) виберемо (2.6) та закінчимо обчислення. Якщо ж умова (2.7) не виконуватиметься, то виконаємо таку дію. У системі (2.3) замість
візьмемо уточнені значення

, (2.8)

тобто. виконаємо такі дії

. (2.9)

Після цього система (2.3) буде системою лінійних рівнянь алгебри щодо величин Визначивши ці величини, наступне друге наближення
до розв'язання системи (1.1) знайдемо за формулами

Тепер перевіримо умову (2.7)

Якщо ця умова виконується, то закінчуємо обчислення, взявши за наближене рішення системи (1.1) друге наближення
. Якщо ж ця умова не виконується, то продовжуємо будувати наступне наближення, прийнявши (2.3)
Будувати наближення потрібно доти, доки умова не буде виконана.

Робочі формули методу Ньютона на вирішення системи (1.1) можна записати як.

Обчислити послідовність

Тут
є рішенням системи

Сформулюємо алгоритм обчислень за формулами (2.11)-(2.13).

1. Виберемо нульове наближення, що належить області D.

2. У системі лінійних рівнянь алгебри (2.13) покладемо
,а.

3. Розв'яжемо систему (2.13) і знайдемо величини
.

4. У формулах (2.12) покладемо
і обчислимо компоненти наступного наближення.

5. Перевіримо умову (2.7) на : (Див. алгоритм обчислення максимуму кількох величин.)

6. Якщо ця умова виконується, то закінчуємо обчислення, вибравши наближене рішення системи (1.1) наближення . Якщо це умова не виконується, то перейдемо до п.7.

7. Покладемо
для всіх .

8. Виконаємо п.3, поклавши
.

Геометрично цей алгоритм можна записати як.

Алгоритм. Обчислення максимуму кількох величин.

приклад. Розглянемо використання методу Ньютона на вирішення системи двох рівнянь.

Методом Ньютона з точністю вирішити наступну систему нелінійних рівнянь

, (2.14)

тут
. Виберемо нульове наближення
, Що належить області D. Побудуємо систему лінійних рівнянь алгебри (2.3). Вона матиме вигляд

(2.15)

Позначимо

Вирішимо систему (2.15) щодо невідомих
наприклад методом Крамера. Формули Крамера запишемо у вигляді

(2.17)

де основний визначник системи (2.15)

(2.18)

а допоміжні визначники системи (2.15) мають вигляд

.

Знайдені значення підставимо (2.16) і знайдемо компоненти першого наближення
до вирішення системи (2.15).

Перевіримо умову

, (2.19)

якщо це умова виконується, то закінчуємо обчислення, прийнявши за наближене рішення системи (2.15) перше наближення, тобто.
. Якщо умова (2.19) не виконується, то покладемо
,
і побудуємо нову систему лінійних рівнянь алгебри (2.15). Вирішивши її, знайдемо друге наближення
. Перевіримо його на . Якщо ця умова виконуватиметься, то за наближене рішення системи (2.15) виберемо
. Якщо умова не виконуватиметься, покладемо
,
та побудуємо наступну систему (2.15) для знаходження
і т.д.

Завдання

У всіх завданнях потрібно:

Скласти програму чисельної реалізації методу згідно із запропонованим алгоритмом.

Отримати результати обчислень.

Перевірити отримані результати.

Задано систему двох нелінійних рівнянь.

1.
2.

3.
4.

5.
6.

7.
8.

9.
10.

11.
12.

13.
14.

15.
.

Глава 3. Чисельні методи розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ).

Мета роботи. Знайомство з деякими наближеними методами рішення СЛАУ та їх чисельною реалізацією на ПК.

Попередні зауваження.Усі методи рішення СЛАУ зазвичай поділяють на великі групи. До першої групи належать методи, які називають точними. Ці методи дозволяють будь-яких систем знайти точні значення невідомих після кінцевого числа арифметичних операцій, кожна з яких виконується точно.

До другої групи відносяться всі методи, які не є точними. Їх називають ітераційними, чи чисельними, чи наближеними. Точне рішення при використанні таких методів виходить в результаті нескінченного процесу наближень. Привабливою рисою таких методів є їхня самовиправність і простота реалізації на ПК.

Розглянемо деякі наближені методи рішення СЛАУ та побудуємо алгоритми їх чисельної реалізації. Наближене рішення СЛАУ будемо отримувати з точністю до , де дуже маленьке позитивне число.

1. Метод ітерації.

Нехай СЛАУ задана у вигляді

(1.1)

Цю систему можна записати у матричному вигляді

, (1.2)

де
- матриця коефіцієнтів при невідомих у системі (1.1),
- стовпець вільних членів,
- Стовпець невідомих системи (1.1).

. (1.3)

Розв'яжемо систему (1.1) методом ітерації. Для цього виконаємо такі дії.

По перше. Виберемо нульове наближення

(1.4)

до точного рішення (1.3) системи (1.1). Компонентами нульового наближення можуть бути будь-які числа. Але зручніше компоненти нульового наближення взяти чи нулі
, чи вільні члени системи (1.1)

По-друге. Компоненти нульового наближення підставимо у праву частину системи (1.1) та обчислимо

(1.5)

Величини, що стоять зліва (1.5) є компонентами першого наближення
Дії, у яких вийшло перше наближення, називаються ітерацією.

По-третє. Перевіримо нульове та перше наближення на

(1.6)

Якщо умови (1.6) виконуються, то за наближене рішення системи (1.1) виберемо, або , або однаково, т.к. вони відрізняються один від одного не більше ніж на і закінчимо обчислення. Якщо хоча б одну з умов (1.6) не буде виконано, то перейдемо до наступної дії.

По-четверте. Виконаємо таку ітерацію, тобто. у праву частину системи (1.1) підставимо компоненти першого наближення та обчислимо компоненти другого наближення
, де

У п'ятих. Перевіримо
і , тобто. перевіримо умову (1.6) цих наближень. Якщо умови (1.6) будуть виконані, то за наближене рішення системи (1.1) виберемо, або , або однаково, т.к. вони відрізняються один від одного не більше ніж на . В іншому випадку будуватимемо наступну ітерацію, підставивши компоненти другого наближення в праву частину системи (1.1).

Ітерації потрібно будувати доти, доки два сусідні наближення
і відрізнятимуться один від одного не більше, ніж на .

Робочу формулу методу ітерації рішення системи (1.1) можна записати як

Алгоритм чисельної реалізації формули (1.7) може бути таким.

Достатні умови збіжності методу ітерації для системи (1.1) мають вигляд

1.
, .

2.
,
.

3.

2. Метод простої ітерації.

Нехай система лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ) задана у вигляді

(2.1)

Щоб систему (2.1) вирішити методом простої ітерації, спочатку треба привести до виду

(2.2)

У системі (2.2) -ое рівняння є -ое рівняння системи (2.1), дозволене щодо -ой невідомої (
).

Метод розв'язання системи (2.1), що полягає у зведенні її до системи (2.2) з наступним рішенням системи (2.2) методом ітерації, називається методом простої ітерації для системи (2.1).

Таким чином, робочі формули методу простої ітерації рішення системи (2.1) матимуть вигляд

(2.3)

Формули (2.3) можна записати у вигляді

Алгоритм чисельної реалізації методу простої ітерації для системи (2.1) за формулами (2.4) може бути таким.

Цей алгоритм можна записати геометрично.

Достатні умови збіжності методу простої ітерації для системи (2.1) мають вигляд

1.
, .

2.
,
.

3.

3. Стаціонарний метод Зейделя.

Метод Зейделя рішення СЛАУ відрізняється від методу ітерації тим, що знайшовши якесь наближення для тієї компоненти, ми відразу ж використовуємо його для відшукання наступних
,
, …, -ий компонент. Такий підхід дозволяє забезпечити вищу швидкість збіжності методу Зейделя проти методом ітерації.

Нехай СЛАУ задана у вигляді

(3.1)

Нехай
- нульове наближення до точного рішення
Системи (3.1). І нехай знайдено -е наближення
. Визначимо компоненти
-ого наближення за формулами

(3.2)

Формули (3.2) можна записати у компактному вигляді

,
,
(3.3)

Алгоритм чисельної реалізації методу Зейделя рішення системи (3.1) за формулами (3.3) може бути таким.

1. Виберемо, наприклад,
,

2. Покладемо.

3. Для всіх обчислимо.

4. Для всіх перевіримо умови
.

5. Якщо всі умови п.4 будуть виконані, то за наближене рішення системи (3.1) виберемо або , або і закінчимо обчислення. Якщо хоча б одна умова у п.4 не буде виконана, перейдемо до п.6.

6. Покладемо та перейдемо до п.3.

Цей алгоритм можна записати геометрично.

Достатня умова збіжності методу Зейделя для системи (3.1) має вигляд
, .

4. Нестаціонарний метод Зейделя.

Цей метод рішення СЛАУ (3.1) забезпечує ще більшу швидкість збіжності методу Зейделя.

Нехай якимось чином для системи (3.1) знайдені компоненти -ого наближення і наближення.

Обчислимо вектор поправки

Підрахуємо величини

, (4.2)

Розташуємо величини
, у порядку їх спадання.

У такому порядку перепишемо рівняння в системі (3.1) і невідомі в цій системі. Лінійнаалгебраі нелінійні ... Керівництводлялабораторних робітпо ... методичнівказівки дляпрактичнихробітпо длястудентів ...

Навчальна література (природничі науки та технічні) 2000-2011 цикл опд – 10 років цикл сд – 5 років

Література

... Природнінаукив цілому 1. Астрономія [Текст]: посібник для ... Чисельніметоди: Лінійнаалгебраі нелінійні ... Керівництводлялабораторних робітпо ... методичнівказівки дляпрактичнихробітподисципліни "Економіка транспорту" длястудентів ...

- природничі науки (1)

Навчальний посібник

... керівництводлястудентівта викладачів, призначене длявикористання не лише при вивченні методівроботи... вироблення практичнихнавичок із використанням реальних даних. Методичнірекомендації повиконання залікової роботиподаному...

- природничі науки - фізико-математичні науки - хімічні науки - науки про землю (геодезичні геофізичні геологічні та географічні науки)

Документ

... длястудентівприродно- ... робітподисципліни "Генетика та селекція", присвячених актуальним проблемам цієї науки. Систематизовано самостійну роботастудентівпотеоретичному та практичному ... лінійного, нелінійного, динамічний. Усе методи ...

- природничі науки - фізико-математичні науки - хімічні науки - науки про землю (геодезичні геофізичні геологічні та географічні науки) (7)

Список підручників

Визначник Єрьоміна в лінійноїі нелінійноюалгебри : лінійнеі нелінійнепрограмування: новий метод/ Єрьомін, Михайло... Длястудентівта викладачів геологічних спеціальностей вузів. кх-1 1794549 99. Д3 П 693 Практичнекерівництвопо ...

p align="justify"> Метод Ньютона (також відомий як метод дотичних) - це ітераційний чисельний метод знаходження кореня (нуля) заданої функції. Метод був вперше запропонований англійським фізиком, математиком та астрономом Ісааком Ньютоном (1643-1727), під ім'ям якого і знайшов свою популярність.

Метод був описаний Ісааком Ньютоном у рукописі De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (лат .Про баналізі рівняннями нескінченних рядів), адресованої в 1669 Барроу, і в роботі De metodis fluxionum et serierum infinitarum (лат.Метод флюксій і нескінченні ряди) або Geometria analytica ( лат.аналітичнагеометрія) у зборах праць Ньютона, яка була написана у 1671 році. Проте опис методу суттєво відрізнявся від його нинішнього викладу: Ньютон застосовував свій метод виключно поліномам. Він обчислював не послідовні наближення xn, а послідовність поліномів і в результаті отримував наближене рішення x.

Вперше метод був опублікований в трактаті Алгебра Джона Валліса в 1685, на прохання якого він був коротко описаний самим Ньютоном. У 1690 році Джозеф Рафсон опублікував спрощений опис у роботі Analysis aequationum universalis (лат. Загальний аналіз рівнянь).Рафсон розглядав метод Ньютона як суто алгебраїчний і обмежив його застосування поліномами, проте при цьому він описав метод на основі послідовних наближень x n замість більш тяжкої для розуміння послідовності поліномів, використаної Ньютоном.

Нарешті, в 1740 метод Ньютона був описаний Томасом Сімпсоном як ітеративний метод першого порядку вирішення нелінійних рівнянь з використанням похідної в тому вигляді, в якому він викладається тут. У тій же публікації Сімпсон узагальнив метод на випадок системи з двох рівнянь і зазначив, що метод Ньютона також може бути застосований для вирішення задач оптимізації шляхом знаходження похідної нуля або градієнта.

Відповідно до даного методу завдання пошуку кореня функції зводиться до задачі пошуку точки перетину з віссю абсцис дотичної, побудованої до графіка функції .

Рис.1 . Графік зміни функції

Проведена в будь-якій точці дотична лінія до графіка функції визначається похідною цієї функції в точці, що розглядається, яка в свою чергу визначається тангенсом кута α (). Точка перетину дотичної з віссю абсцис визначається виходячи з наступного співвідношення прямокутного трикутника: тангенс кутау прямокутному трикутнику визначається ставленням протилежного катета до прилеглого катета трикутника. Таким чином, на кожному кроці будується дотична до графіка функції у точці чергового наближення . Крапка перетину дотичної з віссю Ox буде наступною точкою наближення. Відповідно до розглянутого методу розрахунок наближеного значення кореня наi-ітерації проводиться за формулою:

Нахил прямий підлаштовується на кожному кроці якнайкраще, проте слід звернути увагу на те, що алгоритм не враховує кривизну графіка і отже в процесі розрахунку залишається невідомо в який бік може відхилитися графік.

Умовою закінчення ітераційного процесу є виконання наступної умови:

де ˗ допустима похибка визначення кореня.

Метод має квадратичну збіжність. Квадратична швидкість збіжності означає, що кількість вірних знаків у наближеному значенні подвоюється з кожною ітерацією.

Математичне обґрунтування

Нехай дана речова функція, яка визначена і безперервна на ділянці, що розглядається. Необхідно знайти речовий корінь розглянутої функції.

Висновок рівняння заснований на методі простих ітерацій, відповідно до якого рівняння призводять до еквівалентного рівняння за будь-якої функції . Введемо поняття стискаючого відображення, що визначається співвідношенням .

Для найкращої збіжності методу у точці чергового наближення має виконуватися умова. Ця вимога означає, що корінь функції повинен відповідати екстремуму функції .

Похідна стискаючого відображеннявизначається у такому вигляді:

Виразимо з цього вираз зміннуза умови прийнятого раніше твердження про те, що за умови необхідно забезпечити умову . В результаті отримаємо вираз для визначення змінної:

З урахуванням цього стискаюча функція прийому наступний вид:

Таким чином алгоритм знаходження чисельного рішення рівняння зводиться до ітераційної процедури обчислення:

Алгоритм знаходження кореня нелінійного рівняння методом

1. Задати початкову точку наближеного значення кореня функції, і навіть похибка розрахунку (мале позитивне число ) і початковий крок ітерації ().

2. Виконати розрахунок наближеного значення кореня функції відповідно до формули:

3. Перевіряємо наближене значення кореня щодо заданої точності, у разі:

Якщо різницю двох послідовних наближень стане менше заданої точності , то ітераційний процес закінчується.

Якщо різниця двох послідовних наближень не досягає необхідної точності, необхідно продовжити ітераційний процес і перейти до п.2 аналізованого алгоритму.

Приклад розв'язування рівнянь

за методомНьютона для рівняння з однією змінною

Як приклад, розглянемо рішення нелінійного рівняння методомНьютона для рівняння з однією змінною. Корінь необхідно знайти з точністю як перший наближення.

Варіант розв'язання нелінійного рівняння у програмному комплексіMathCADпредставлений малюнку 3.

Результати розрахунків, саме динаміка зміни наближеного значення кореня, і навіть похибки розрахунку кроку ітерації представлені у графічній формі (див. рис.2).

Рис.2. Результати розрахунку за методом Ньютона для рівняння з однією змінною

Для забезпечення заданої точності при пошуку наближеного значення кореня рівняння в діапазоні необхідно виконати 4 ітерації. На останньому етапі ітерації наближене значення кореня нелінійного рівняння визначатиметься значенням: .

Рис.3 . Лістинг програми вMathCad

Модифікації методу Ньютона для рівняння з однією змінною

Існує кілька модифікацій методу Ньютона, спрямованих спрощення обчислювального процесу.

Спрощений метод Ньютона

Відповідно до методу Ньютона потрібно обчислювати похідну функції f(x) на кожному кроці ітерації, що веде до збільшення обчислювальних витрат. Для зменшення витрат, пов'язаних з обчисленням похідної на кожному кроці розрахунку, можна провести заміну похідної f'(x n ) у точці x n у формулі на похідну f'(x 0) у точці x 0 . Відповідно до даного методу розрахунку наближене значення кореня визначається за такою формулою:Модифікований метод Ньютона

Різнисний метод Ньютона

У результаті наближене значення кореня функції f(x) визначатиметься виразом різницевого методу Ньютона:

Двох кроковий метод Ньютона

Відповідно до методу Ньютона потрібно обчислювати похідну функції f(x) кожному кроці ітерації, що завжди зручно, котрий іноді практично неможливо. Даний спосіб дозволяє похідну функції замінити різницевим ставленням (наближеним значенням):

В результаті наближене значення кореня функції f(x) визначатиметься таким виразом:

де

Рис.5 . Двох кроковий метод Ньютона

Метод січучих є дво кроковим, тобто нове наближеннявизначається двома попередніми ітераціямита . У методі необхідно задавати два початкові наближеннята . Швидкість збіжності методу буде лінійною.

• назад
• Вперед

Для того, щоб додати коментар до статті, будь ласка, зареєструйтесь на сайті.

Завдання про знаходження рішень системи з n нелінійних алгебраїчних або трансцендентних рівнянь з невідомими виду

	f 1(x 1, x 2, … x n ) = 0,
	f 2(x 1, x 2, … x n ) = 0,
	……………………
	f n (x 1, x 2, ... x n) = 0,

широко розглянута у обчислювальній практиці. Подібні системи рівнянь можуть виникати, наприклад, за чисельного моделювання нелінійних фізичних систем на етапі пошуку їх стаціонарних станів. У отруті випадків системи виду (6.1) виходять опосередковано, у процесі вирішення деякої іншої обчислювальної задачі. Наприклад, намагаючись мінімізувати функцію кількох змінних, можна шукати ті точки багатовимірного простору, де градієнт функції дорівнює нулю. У цьому доводиться вирішувати систему рівнянь (6.1) з лівими частинами – проекціями градієнта координатні осі.

У векторних позначеннях систему (6.1) можна записати у більш компактній формі

вектор стовпець функцій, символом () T позначена операція транспо-

Пошук рішень системи нелінійних рівнянь – це набагато складніша, ніж рішення одного нелінійного рівняння. Проте ряд ітераційних методів розв'язання нелінійних рівнянь може бути поширений і системи нелінійних рівнянь.

Метод простої ітерації

p align="justify"> Метод простої ітерації для систем нелінійних рівнянь по суті є узагальненням однойменного методу для одного рівняння. Він заснований на тому, що система рівнянь (6.1) наводиться до вигляду

x 1 = g 1 (x 1, x 2, …, x n), x 2 = g 2 (x 1, x 2, …, x n),

……………………

x n = g n (x 1, x 2, …, x n),

та ітерації проводяться за формулами

x 1 (k + 1) = g 1 (x 1 (k), x 2 (k), …, x n (k)), x 2 (k + 1) = g 2 (x 1 (k), x 2 (k), …, x n (k)),

……………………………

x n (k + 1) = g n (x 1 (k), x 2 (k), …, x n (k)).

Тут верхній індекс свідчить про номер наближення. Ітераційний процес (6.3) починається з деякого початкового наближення

(x 1 (0 ) ,x 2 (0 ) ,… ,x n (0 ) ) і продовжуються до тих пір, поки модулі прирощень

всіх аргументів після однієї k-ітерації не стануть меншими за задану величинуε :x i (k + 1 ) − x i (k )< ε дляi = 1,2,… ,n .

Хоча метод простої ітерації прямо веде до рішення і легко програмується, він має дві істотні недоліки. Один із них – повільна збіжність. Інший полягає в тому, що якщо початкове наближення вибрано далеко від істинного рішення (X 1, X 2, ..., X n), то збіжність

методу не гарантована. Зрозуміло, що проблема вибору початкового наближення, не проста навіть одного рівняння, для нелінійних систем стає дуже складною.

Розв'язати систему нелінійних рівнянь:

	(x ...		) =0
F n (x 1 ...		x n) = 0.

Немає прямих методів вирішення нелінійних систем загального виду. Лише окремих випадках систему (4.1) можна вирішити безпосередньо. Наприклад, для двох рівнянь іноді вдається висловити одне невідоме через інше і таким чином звести завдання до вирішення одного нелінійного рівняння щодо одного невідомого.

Для вирішення систем нелінійних рівнянь зазвичай застосовуються ітераційні методи.

Метод Ньютона

У разі одного рівняння F(x) = 0 алгоритм методу Ньютона був легко отриманий шляхом запису рівнянь, що стосується кривої y = F(x). В основі методу Ньютона для систем рівнянь лежить використання розкладання функцій F 1 (x 1 ... x n ) в ряд Тейлора, причому члени,

щі другі (і вищих порядків) похідні, відкидаються. Нехай наближені значення невідомих системи (4.1) рівні зі-

відповідально a 1 ,a 2 ,....,a n . Завдання полягає у знаходженні прирощень (по-

правок) до цих значень	x 1 ,x 2 ,...,	x n , завдяки яким рішення сис-
теми запишеться у вигляді:
x 1= a 1+ x 1,	x 2= a 2+	x 2, ...., x n = a n + x n.

Проведемо розкладання лівих частин рівнянь (4.1) з урахуванням розкладання до ряду Тейлора, обмежуючись лише лінійними членами віднос-

тельно прирощень:
F1 (x1 ... xn) ≈ F1 (a1 ... an) +	∂ F 1	x 1+		+ ∂ F 1		x n,
	∂x			∂x
F2 (x1 ... xn) ≈ F2 (a1 ... an) +	∂ F 2	x 1+			∂ F 2	x n,
	∂x				∂x
...................................
F n(x 1 ... x n) ≈ F n(a 1 ... a n) +	∂ F n	x 1+			∂ F n	xn.
	∂x				∂x

Підставляючи в систему (4.1), отримаємо наступну систему лінійних рівнянь алгебри щодо прирощень:

∂ F 1			∂ F 1			+ ∂ F 1			= −F ,
∂x			∂x			∂x
∂ F 2			∂ F 2				∂ F 2		= −F ,
∂x			∂x				∂x
..............................
∂ F n			∂ F n				∂ F n		= −F.
∂x			∂x				∂x
Значення F 1 ...				похідні				обчислюються при

x 2 = a 2 … x n = a n .

Визначником системи (4.3) є якобіан:

∂ F 1		∂ F 1
∂x		∂x
∂ F 2		∂ F 2
J = ∂ x		∂ x.

… … … …

∂ F n… … ∂ F n∂ x 1 ∂ x n

x 1 = a 1,

Для існування єдиного рішення системи якобіан може бути відмінний від нуля кожної ітерації.

Таким чином, ітераційний процес розв'язання системи рівнянь методом Ньютона полягає у визначенні прирощень x 1, x 2, ..., x n до значень невідомих на кожній ітерації шляхом розв'язання системи лінійних рівнянь алгебри (4.3). Рахунок припиняється, якщо всі збільшення стають малими за абсолютною величиною: maxx i< ε . В ме-

Тоді Ньютона також важливий зручний вибір початкового наближення для забезпечення оптимальної збіжності. Збіжність погіршується із збільшенням числа рівнянь системи.

Як приклад розглянемо використання методу Ньютона на вирішення системи двох рівнянь:

∂ ∂ F 1. x

Величини, що стоять у правій частині, обчислюються при x = a, y = b.

Якщо виконуються умови		y − b		< εи		x − a			при заданому M , то
виводяться значення x і y ,	в іншому випадку								відбувається висновок
x, y, M.



Ключові слова:

Мета роботи: вивчити методи розв'язання нелінійних рівнянь з одним невідомим та апробувати їх у дослідно-експериментальній роботі.

Завдання роботи:

1. Проаналізувати спеціальну літературу та вибрати найбільш раціональні способи вирішення нелінійних рівнянь, що дозволяють глибоко вивчити та засвоїти цю тему всім випускникам середньої школи.
2. Розробити деякі аспекти методики розв'язання нелінійних рівнянь із застосуванням ІКТ.
3. Вивчити методи розв'язання нелінійних рівнянь:

‒ Кроковий метод

‒ Метод поділу навпіл

‒ Метод Ньютона

Вступ.

Без математичної грамотності неможливе успішне освоєння методів вирішення завдань з фізики, хімії, біології та інших предметів. Весь комплекс природничих наук побудований та розвивається з урахуванням математичних знань. Наприклад, дослідження низки актуальних завдань математичної фізики призводить до необхідності розв'язання нелінійних рівнянь. Вирішення нелінійних рівнянь необхідне в нелінійній оптиці, фізиці плазми, теорії надпровідності та фізиці низьких температур. На цю тему є достатня кількість літератури, але у багатьох підручниках та статтях важко розібратися учневі середньої школи. У роботі розглянуті методи розв'язання нелінійних рівнянь, які можна використовувати під час вирішення прикладних завдань фізики, хімії. Цікавим видається аспект застосування інформаційних технологій до вирішення рівнянь та завдань з математики.

Кроковий метод.

Нехай потрібно розв'язати нелінійне рівняння виду рівняння F(x)=0. Припустимо, що нам заданий деякий інтервал пошуку . Потрібно знайти інтервал [а,b] довжиною h, що містить перший корінь рівняння, починаючи з лівої межі інтервалу пошуку.

Мал. 1. Кроковий метод

Вирішити таке завдання можна кількома способами. Кроковий метод є найпростішим із чисельних методів розв'язання нерівностей, але досягнення великої точності необхідно істотно зменшити крок, але це сильно збільшує час розрахунків. Алгоритм розв'язання рівнянь за допомогою цього методу складається з двох етапів.

Iетап. Відділення коріння.

На цьому етапі визначаються ділянки, на кожному з яких знаходиться лише один корінь рівняння. Є кілька варіантів реалізації цього етапу:

• Підставляємо значення X (бажано з якимось досить дрібним кроком) і дивимося, де функція змінить знак. Якщо функція змінила знак, це означає, що на ділянці між попереднім і поточним значенням X лежить корінь (якщо функція не змінює характеру зростання/зменшення, то можна стверджувати, що корінь на цьому інтервалі один).
• графічний метод. Будуємо графік та оцінюємо на яких інтервалах лежить один корінь.
• Досліджуємо властивості конкретної функції.

IIетап. Уточнення коріння.

На цьому етапі значення коренів рівняння, визначених раніше, уточнюється. Як правило, на цьому етапі використовуються ітераційні методи. Наприклад, метод половинного поділу (дихотомії) чи метод Ньютона.

Метод половинного поділу

Швидкий і досить простий чисельний метод розв'язання рівнянь, заснований на послідовному звуженні інтервалу, що містить єдиний корінь рівняння F(x)=0 доти, доки досягнуто задана точність Е. Даний метод зазвичай використовується під час вирішення квадратних рівнянь і рівнянь вищих ступенів. Однак у даного методу є істотний недолік - якщо на відрізку [а, b] міститься більше одного кореня, то за його допомогою не вдасться досягти добрих результатів.

Мал. 2. Метод дихотомії

Алгоритм цього методу наступний:

‒ Визначити нове наближення кореня х у середині відрізка [а;b]: х=(а+b)/2.

‒ Знайти значення функції в точках а та х: F(a) та F(x).

‒ Перевірити умову F(a)*F(x)

‒ Перейти до пункту 1 і поділити відрізок навпіл. Алгоритм продовжити доти, доки буде виконано умова |F(x)|

Метод Ньютона

Найточніший із чисельних методів рішення; підходить для вирішення дуже складних рівнянь, але ускладнюється необхідністю обчислення похідних на кожному кроці. полягає в тому, що якщо x n - деяке наближення до кореня рівняння , то наступне наближення визначається як корінь щодо функції f(x), проведеної в точці x n .

Рівняння щодо функції f(x) у точці x n має вигляд:

У рівнянні дотичної покладемо y = 0 і x = x n +1.

Тоді алгоритм послідовних обчислень у методі Ньютона полягає у наступному:

Збіжність методу дотичних квадратична, порядок збіжності дорівнює 2.

Отже, збіжність методу дотичних Ньютона дуже швидка.

Без змін метод узагальнюється на комплексний випадок. Якщо корінь xi є коренем другої кратності і вище, то порядок збіжності падає і стає лінійним.

До недоліків методу Ньютона слід віднести його локальність, оскільки він гарантовано сходиться при довільному стартовому наближенні, тільки якщо скрізь виконано умову , В противній ситуації збіжність є лише в деякій околиці кореня.

Метод Ньютона (метод дотичних) зазвичай застосовується у разі, якщо рівняння f(x) = 0має корінь і виконуються умови:

1) функція y= f(x)визначена і безперервна при ;

2) f(a)·f(b) (функція набуває значень різних знаків на кінцях відрізка [ a;b]);

3) похідні f"(x)і f""(x)зберігають знак на відрізку [ a;b] (тобто функція f(x)або збільшується, або зменшується на відрізку [ a;b], зберігаючи при цьому напрям опуклості);

Сенс методу полягає в наступному: на відрізку [ a;b] вибирається таке число x 0за якого f(x 0)має той самий знак, що й f""(x 0),тобто виконується умова f(x 0)·f""(x) > 0. Таким чином, вибирається крапка з абсцисою x 0, в якій стосується кривої y=f(x)на відрізку [ a;b] перетинає вісь Ox. За крапку x 0спочатку зручно вибирати один із кінців відрізка.

Розглянемо цей алгоритм на конкретному прикладі.

Нехай нам дано зростаюча функція y = f(x) = x 2-2,безперервна на відрізку (0;2) і має f "(x) = 2x> 0і f""(x) = 2> 0.

У нашому випадку рівняння дотичної має вигляд: y-y 0 = 2x 0 · (x-x 0).У як точка x 0 вибираємо точку B 1 (b; f(b)) = (2,2).Проводимо дотичну до функції y = f(x)у точці B 1 , і позначаємо точку перетину дотичної та осі Oxточкою x 1. Отримуємо рівняння першої дотичної: y-2 = 2 · 2 (x-2), y = 4x-6. Ox: x 1 =

Мал. 3. Побудова першої щодо графіку функції f(x)

y=f(x) Oxчерез точку x 1, отримуємо точку У 2 = (1.5; 0.25). Знову проводимо дотичну до функції y = f(x)в точці В 2 і позначаємо точку перетину дотичної і Oxточкою x 2.

Рівняння другої дотичної: y-2.25 = 2 * 1.5 (x-1.5), y = 3x - 4.25.Точка перетину дотичної та осі Ox: x 2 =.

Потім знаходимо точку перетину функції y=f(x)та перпендикуляра, проведеного до осі Oxчерез точку x 2 отримуємо точку В 3 і так далі.

Мал. 4. Побудова другої щодо графіку функції f(x)

Перше наближення кореня визначається за такою формулою:

= 1.5.

Друге наближення кореня визначається за такою формулою:

=

Третє наближення кореня визначається за такою формулою:

Таким чином , i-е наближення кореня визначається за такою формулою:

Обчислення ведуться доти, доки не буде досягнуто збігу десяткових знаків, які необхідні у відповіді, або заданої точності e - до виконання нерівності |xi-xi-1|

У нашому випадку порівняємо наближення, отримане на третьому кроці з реальною відповіддю. Як видно, вже на третьому кроці ми отримали похибку менше ніж 0.000002.

Рішення рівняння за допомогою САПРMathCAD

Для найпростіших рівнянь виду f(x) = 0 рішення в MathСAD знаходиться за допомогою функції root.

root(f (х 1 , x 2 , … ) х 1 , a, b ) - повертає значення х 1 , що належить відрізку [ a, b ] , при якому вираз чи функція f (х ) звертається до 0. Обидва аргументи цієї функції мають бути скалярами. Функція повертає скаляр.

Мал. 5. Вирішення нелінійного рівняння в MathCAD (функція root)

Якщо в результаті застосування цієї функції виникає помилка, то це може означати, що рівняння не має коріння, або коріння рівняння розташоване далеко від початкового наближення, вираз має локальні maxі minміж початковим наближенням та корінням.

Щоб встановити причину помилки, необхідно дослідити графік функції f(x). Він допоможе з'ясувати наявність коренів рівняння f(x) = 0 і якщо вони є, то визначити приблизно їх значення. Чим точніше вибрано початкове наближення кореня, то швидше буде знайдено його точне значення.

Якщо початкове наближення невідоме, доцільно використовувати функцію solve . При цьому, якщо рівняння містить кілька змінних, потрібно вказати після ключового слова solve список змінних, щодо яких вирішується рівняння.

Мал. 6. Вирішення нелінійного рівняння в MathCAD (функція solve)

Висновок

У ході дослідження було розглянуто як математичні методи, так і розв'язання рівнянь із використанням програмування в САПР MathCAD. Різні методи мають свої переваги та недоліки. Слід зазначити, що застосування тієї чи іншої методу залежить від початкових умов заданого рівняння. Ті рівняння, які добре вирішуються відомими в школі методами розкладання на множники тощо, не має сенсу вирішувати складнішими способами. Прикладні завдання математики, важливі для фізики, хімії та потребують складних обчислювальних операцій при вирішенні рівнянь, успішно вирішуються, наприклад, за допомогою програмування. Їх добре вирішувати методом Ньютона.

Для уточнення коренів можна застосовувати кілька методів розв'язання того самого рівняння. Саме це дослідження лягло в основу даної роботи. При цьому легко простежити, який метод найбільш вдалий при вирішенні кожного етапу рівняння, а який метод на цьому етапі краще не застосовувати.

Вивчений матеріал, з одного боку, сприяє розширенню та поглибленню математичних знань, прищепленню інтересу до математики. З іншого боку, завдання реальної математики важливо вміти вирішувати тим, хто має намір придбати професії технічного та інженерного спрямування. Тому ця робота має значення для подальшої освіти (наприклад, у вищому навчальному закладі).

Література:

1. Мітяков С. Н. Інформатика. Комплекс навчально-методичних матеріалів. - Н. Новгород: Нижегород. держ. техн. ун-т., 2006
2. Вайнберг М. М., Треногін В. А. Теорія розгалуження розв'язків нелінійних рівнянь. М.: Наука, 1969. – 527 с.
3. Бронштейн І. Н., Семендяєв К. А. Довідник з математики для інженерів та учнів ВТНЗ - М.: Наука, 1986.
4. Омельченко В. П., Курбатова Е. В. Математика: навчальний посібник. - Ростов н/Д.: Фенікс, 2005.
5. Савін А. П. Енциклопедичний словник молодого математика. - М: Педагогіка, 1989.
6. Корн Г., Корн Т. Довідник з математики для науковців та інженерів. - М: Наука, 1973.
7. Кір'янов Д. Mathcad 15/MathcadPrime 1.0. - С-Пб: БХВ-Петербург, 2012.
8. Черняк А., Черняк Ж., Доманова Ю. Вища математика з урахуванням Mathcad. Загальний курс - С-Пб.: БХВ-Петербург, 2004.
9. Поршнєв С., Беленкова І. Чисельні методи з урахуванням Mathcad. - С-Пб: БХВ-Петербург, 2012.

Ключові слова: нелінійні рівняння, прикладна математика, САПР MathCAD, метод Ньютона, кроковий метод, метод дихотомії..

Анотація: Стаття присвячена вивченню методів розв'язання нелінійних рівнянь, зокрема з використанням системи автоматизованого проектування MathCAD. Розглянуто кроковий метод, методи половинного поділу та Ньютона, наведено докладні алгоритми застосування даних методів, а також проведено порівняльний аналіз зазначених методів.