Знайти мінімум функції за умови. Найбільше та найменше значення функції у замкнутій області
Визначення1: Кажуть, що функція має в точці локальний максимум, якщо існує така околиця точки, для якої для будь-якої точки Mз координатами (x, y)виконується нерівність: . При цьому, тобто збільшення функції< 0.
Визначення2: Кажуть, що функція має в точці локальний мінімум, якщо існує така околиця точки, для якої для будь-якої точки Mз координатами (x, y)виконується нерівність: . При цьому, тобто збільшення функції > 0.
Визначення 3: Точки локальних мінімуму та максимуму називаються точками екстремуму.
Умовні екстремуми
При відшуканні екстремумів функції багатьох змінних часто виникають завдання, пов'язані з так званим умовним екстремумом.Це можна пояснити з прикладу функції двох змінних.
Нехай задані функція та лінія Lна площині 0xy. Завдання полягає в тому, щоб на лінії Lзнайти таку точку P(x, y),в якій значення функції є найбільшим або найменшим у порівнянні зі значеннями цієї функції у точках лінії L, що знаходяться поблизу точки P. Такі точки Pназиваються точками умовного екстремумуфункції на лінії L. На відміну від звичайної точки екстремуму значення функції у точці умовного екстремуму порівнюється зі значеннями функції не у всіх точках деякої її околиці, а лише в тих, що лежать на лінії L.
Цілком ясно, що точка звичайного екстремуму (кажуть також безумовного екстремуму) є точкою умовного екстремуму для будь-якої лінії, що проходить через цю точку. Зворотне ж, зрозуміло, не так: точка умовного екстремуму може і не бути точкою звичайного екстремуму. Поясню сказане звичайним прикладом. Графіком функції є верхня напівсфера (Додаток 3 (Рис 3)).
Ця функція має максимум на початку координат; йому відповідає вершина Mпівсфери. Якщо лінія Lє пряма, що проходить через крапки Аі У(її рівняння x+y-1=0), то геометрично ясно, що для точок цієї лінії найбільше значення функції досягається в точці, що лежить посередині між точками Аі Ст.Це і є точка умовного екстремуму (максимуму) функції даної лінії; їй відповідає точка M 1 на півсфері, і з малюнка видно, що ні про який звичайний екстремум тут не може бути мови.
Зазначимо, що у заключній частині завдання знайти найбільшого і найменшого значень функції у замкнутої області нам доводиться знаходити екстремальні значення функції межі цієї області, тобто. на якійсь лінії, і тим самим вирішувати завдання умовного екстремуму.
Приступимо тепер до практичного відшукання точок умовного екстремуму функції Z = f (x, y) за умови, що змінні x і y пов'язані рівнянням (x, y) = 0. Це співвідношення називатимемо рівняння зв'язку. Якщо рівняння зв'язку y можна виразити явно через х: y=(x), ми отримаємо функцію однієї змінної Z= f(x, (x)) = Ф(х).
Знайшовши значення х, при яких ця функція досягає екстремуму, і визначивши потім рівняння зв'язку відповідні їм значення у, ми отримаємо шукані точки умовного екстремуму.
Так, у наведеному вище прикладі з рівняння зв'язку x+y-1=0 маємо y=1-х. Звідси
Легко перевірити, що z досягає максимуму за х = 0,5; але тоді з рівняння зв'язку y=0,5, і ми отримуємо якраз точку P, знайдену з геометричних міркувань.
Дуже легко вирішується завдання умовний екстремум і тоді, коли рівняння зв'язку можна представити параметричними рівняннями х=х(t), y=y(t). Підставляючи вирази для х і у цю функцію, знову приходимо до завдання відшукання екстремуму функції однієї змінної.
Якщо рівняння зв'язку має складніший вигляд і не вдається ні явно висловити одну змінну через іншу, ні замінити його параметричними рівняннями, то завдання відшукання умовного екстремуму стає складнішим. Будемо, як і раніше, вважати, що у вираженні функції z=f(x, y) змінна (x, y) = 0. Повна похідна від функції z=f(x, y) дорівнює:
Де похідна y`, знайдена за правилом диференціювання неявної функції. У точках умовного екстремуму знайдена повна похідна повинна дорівнювати нулю; це дає одне рівняння, що зв'язує х та у. Оскільки вони повинні задовольняти ще й рівняння зв'язку, ми отримуємо систему двох рівнянь із двома невідомими
Перетворимо цю систему до більш зручної, записавши перше рівняння у вигляді пропорції і ввівши нову допоміжну невідому:
(Знак мінус перед поставлений для зручності). Від цих рівностей легко перейти до наступної системи:
f ` x = (x, y) + ` x (x, y) = 0, f ` y (x, y) + ` y (x, y) = 0 (*),
яка разом із рівнянням зв'язку (x, y) = 0 утворює систему трьох рівнянь з невідомими х, у в.
Ці рівняння (*) найлегше запам'ятати за допомогою наступного правила: для того, щоб знайти точки, які можуть бути точками умовного екстремуму функції
Z= f(x, y) при рівнянні зв'язку (x, y) = 0, потрібно утворити допоміжну функцію
Ф(х,у)=f(x,y)+(x,y)
Де - деяка стала, і скласти рівняння для відшукання точок екстремуму цієї функції.
Зазначена система рівнянь доставляє, зазвичай, лише необхідні умови, тобто. не кожна пара значень х і у, що задовольняє цій системі, обов'язково є точкою умовного екстремуму. Достатні умови для точок умовного екстремуму я наводити не стану; Найчастіше конкретний зміст завдання саме підказує, чим є знайдена точка. Описаний прийом розв'язання задач на умовний екстремум називається методом множників Лагранжа.
Достатня умова екстремуму функції двох змінних
1. Нехай функція безперервно диференційована в околиці точки і має безперервні приватні похідні другого порядку (чисті та змішані).
2. Позначимо за визначник другого порядку
екстремум змінна лекційна функція
Теорема
Якщо точка з координатами є стаціонарною точкою для функції, то:
А) При цьому вона є точкою локального екстремуму і, при локального максимуму, - локального мінімуму;
В) при точку не є точкою локального екстремуму;
С) якщо, можливо і те, й інше.
Доведення
Запишемо формулу Тейлора для функції, обмежившись двома членами:
Оскільки за умовою теореми точка є стаціонарною, то приватні похідні другого порядку дорівнюють нулю, тобто. в. Тоді
Позначимо
Тоді збільшення функції набуде вигляду:
Через безперервність приватних похідних другого порядку (чистих і змішаних) за умовою теореми в точці можна записати:
Де чи; ,
1. Нехай і, тобто. або.
2. Збільшення функції помножимо і розділимо на, отримаємо:
3. Доповнимо вираз у фігурних дужках до повного квадрата суми:
4. Вираз у фігурних дужках невід'ємний, оскільки
5. Тому якщо отже, і, отже, відповідно до визначення, точка є точкою локального мінімуму.
6. Якщо отже, і, то, згідно з визначенням точка з координатами - точка локального максимуму.
2. Розглянемо квадратний тричлен, його дискримінант, .
3. Якщо, то існують такі точки, що багаточлен
4. Повне збільшення функції в точці відповідно до виразу, отриманого в I, запишемо у вигляді:
5. Через безперервність приватних похідних другого порядку за умовою теореми в точці можна записати, що
отже, існує - околиця точки, що для будь-якої точки квадратний тричлен більше нуля:
6. Розглянемо - околиця точки.
Виберемо будь-яке значення, тож точка. Вважаючи, що у формулі збільшення функції
Що, отримаємо:
7. Тому що.
8. Розмірковуючи аналогічно для кореня, отримаємо, що в будь-якій точки точки існує точка для якої, отже, в околиці точки не зберігає знак, отже в точці екстремуму немає.
Умовний екстремум функції двох змінних
При пошуку екстремумів функції двох змінних часто виникають завдання, пов'язані з так званим умовним екстремумом. Це можна пояснити з прикладу функції двох змінних.
Нехай задані функція та лінія L на площині 0xy. Завдання полягає в тому, щоб на лінії L знайти таку точку P (x, y), в якій значення функції є найбільшим або найменшим у порівнянні зі значеннями цієї функції в точках лінії L, що знаходяться поблизу точки P. Такі точки P називають точками умовного екстремуму функції на лінії L. На відміну від звичайної точки екстремуму значення функції у точці умовного екстремуму порівнюється зі значеннями функції не у всіх точках деякої її околиці, а лише тих, які лежать на лінії L.
Цілком ясно, що точка звичайного екстремуму (говорять також безумовного екстремуму) є і точкою умовного екстремуму для будь-якої лінії, що проходить через цю точку. Зворотне ж, зрозуміло, не так: точка умовного екстремуму може і не бути точкою звичайного екстремуму. Проілюструємо сказане з прикладу.
Приклад №1. p align="justify"> Графіком функції є верхня півсфера (рис. 2).
Мал. 2.
Ця функція має максимум на початку координат; йому відповідає вершина M півсфери. Якщо лінія L є пряма, що проходить через точки А та В (її рівняння), то геометрично ясно, що для точок цієї лінії найбільше значення функції досягається в точці, що лежить посередині між точками А і В. Це і є точка умовного екстремуму (максимуму) функції цієї лінії; їй відповідає точка M 1 на півсфері, і з малюнка видно, що ні про який звичайний екстремум тут не може бути мови.
Зазначимо, що у заключній частині завдання знайти найбільшого і найменшого значень функції у замкнутої області доводиться шукати екстремальні значення функції межі цієї області, тобто. на якийсь лінії, і цим вирішувати завдання умовний екстремум.
Визначення 1.Кажуть, що, де має в точці, яка задовольняє рівняння, умовний або відносний максимум (мінімум): якщо для будь-якої, яка задовольняє рівняння, виконується нерівність
Визначення 2.Рівняння виду називається рівнянням зв'язку.
Теорема
Якщо функції і безперервно диференційовані в околиці точки, і похідна, і точка є точкою умовного екстремуму функції щодо рівняння зв'язку, то визначник другого порядку дорівнює нулю:
Доведення
1. Так як за умовою теореми приватна похідна, а значення функції, то в деякому прямокутнику
визначено неявну функцію
Складна функція двох змінних у точці буде мати локальний екстремум, отже, або.
2. Дійсно, згідно з властивістю інваріантності формули диференціала першого порядку
3. Рівняння зв'язку можна уявити у такому вигляді, значить
4. Помножимо рівняння (2) на, а (3) на і складемо їх
Отже, при
довільному. ч.т.д.
Слідство
Пошук точок умовного екстремуму функції двох змінних практично здійснюється шляхом вирішення системи рівнянь
Так, у наведеному вище прикладі №1 з рівняння зв'язку маємо. Звідси легко перевірити, що досягає максимуму при. Але тоді із рівняння зв'язку. Отримуємо точку P, знайдену геометрично.
Приклад №2.Знайти точки умовного екстремуму функції щодо рівняння зв'язку.
Знайдемо приватні похідні заданої функції та рівняння зв'язку:
Складемо визначник другого порядку:
Запишемо систему рівнянь для відшукання точок умовного екстремуму:
отже, є чотири точки умовного екстремуму функції з координатами: .
Приклад №3.Знайти точки екстремуму функції.
Прирівнюючи приватні похідні до нуля: знаходимо одну стаціонарну точку - початок координат. Тут,. Отже, і точка (0, 0) не є точкою екстремуму. Рівняння є рівняння гіперболічного параболоїда (Рис. 3) на малюнку видно, що точка (0, 0) не є точкою екстремуму.
Мал. 3.
Найбільше та найменше значення функції у замкнутій області
1. Нехай функція визначена та безперервна в обмеженій замкнутій ділянці D.
2. Нехай у цій галузі функція має кінцеві приватні похідні, крім окремих точок області.
3. Відповідно до теореми Вейєрштраса в цій області знайдеться точка, в якій функція набуде найбільшого та найменшого значення.
4. Якщо ці точки будуть внутрішніми точками області D, то, очевидно, вони будуть максимум або мінімум.
5. У цьому випадку цікаві для нас точки знаходяться серед підозрілих точок на екстремум.
6. Однак, найбільше або найменше значення функція може приймати і на межі області D.
7. Для того, щоб знайти найбільше (найменше) значення функції в області D, потрібно знайти всі внутрішні точки підозрілі на екстремум, обчислити значення функції в них, потім порівняти зі значенням функції в прикордонних точках області, і найбільше знайдених значень буде найбільшим у замкнутій ділянці D.
8. Метод відшукання локального максимуму чи мінімуму розглядався раніше у п. 1.2. та 1.3.
9. Залишається розглянути спосіб пошуку максимального і меншого значення функції межі області.
10. У разі функції двох змінних область зазвичай виявляється обмеженою кривою або кількома кривими.
11. Уздовж такої кривої (або кількох кривих) змінні і або залежать одна від одної, або обидві залежать від одного параметра.
12. Таким чином, на кордоні функція виявляється залежною від однієї змінної.
13. Спосіб відшукання максимального значення функції однієї змінної було розглянуто раніше.
14. Нехай межа області D задана параметричними рівняннями:
Тоді на цій кривій функція двох змінних буде складною функцією від параметра: . Для такої функції найбільше та найменше значення визначається за методикою визначення найбільшого та найменшого значення для функції однієї змінної.
Нехай функція z - / (х, у) визначена в деякій ділянці D і нехай Мо (хо, Уо) - внутрішня точка цієї області. Визначення. Якщо існує таке число, що для всіх, що задовольняють умовам, вірна нерівність то точка Мо(хо, уо) називається точкою локального максимуму функції / (х, у); якщо для всіх Дх, Ду, що задовольняють умовам | то точка Мо(хо,уо) називається тонкою локального мінімуму. Іншими словами, точка М0(х0, у0) є точка максимуму або мінімуму функції /(х, у), якщо існує 6-околиця точки А/о(хо,уо) така, що у всіх точках М(х, у) цієї околиці збільшення функції зберігає знак. приклади. 1. Для функції точка – точка мінімуму (рис. 17). 2. Для функції точка 0(0,0) є точкою максимуму (рис.18). 3. Для функції точка 0(0,0) є точкою локального максимуму. 4 Насправді, існує околиця точки 0(0, 0), наприклад, коло радіусу j (див. рис. 19), у будь-якій точці якого, відмінної відточки 0(0,0), значення функції /(х,у) менше 1 = Ми будемо розглядати тільки точки строгдго максимуму і мінімуму функцій, коли сувора нерівність або сувора нерівність виконується для всіх точок М(х) у) з деякою проколотою 6-околиці точки Mq. Значення функції у точці максимуму називається максимумом, а значення функції у точці мінімуму - мінімумом цієї функції. Точки максимуму та точки мінімуму функції називаються точками екстремуму функції, а самі максимуми та мінімуми функції – її екстремумами. 18 Рис.20 іммт похідні які звертаються а нуль при. Але ця функція тонка на імват «страмума.< 0. Если же то в точке Мо(жо> Уо) екстремум функції f(x, у) лягає бути, може і не бути. І тут потрібно подальше дослідження. м Обмежимося доказом тверджень 1) та 2) теореми. Напишемо формулу Тейлора другого порядку для функції/(я, у): де. За умовою звідки видно, що знак збільшення Д/ визначається знаком тричлена в правій частині (1), тобто знаком другого диференціала d2f. Позначимо для стислості. Тоді рівність (l) можна записати так: Нехай у точці MQ(so, Уо) маємо. околиці точки M0 (s0, yo). Якщо виконано умову (у точці Л/0, і через безперервність похідна /,z(s,y) зберігатиме знак у певній околиці точки Af0. В області,де А Ф 0, маємо Звідси видно, що й ЛС - В2 > 0 в деякій околиці точки М0(х0) у0), то знак тричлена ААх2 -I- 2ВАхАу + СДу2 збігається зі знаком А в точці (so, Уо) (а також і зі знаком С, оскільки при АС - В2 > 0 А і Не можуть мати різні знаки). Так як знак суми AAs2 + 2ВАхАу + САу2 у точці (s0 + $ Ах, уо + 0 Ду) визначає знак різниці, то ми приходимо до наступного висновку: якщо для функції /(s,y) у стаціонарній точці (s0, Уо) виконано умова, то досить малих || виконуватиметься нерівність. Тим самим, у точці (sq, Уо) функція / (s, у) має максимум. Якщо ж стаціонарної точці (s0, уо) виконано умова), то всім досить малих |Дг| та |Ду| Правильно нерівність, отже, у точці (so,yo) функція /(s, у) має мінімум. приклади. 1. Дослідити на екстремум функцію 4 Користуючись необхідними умовами екстремуму, розшукуємо стаціонарні точки функції. Для цього знаходимо приватні похідні, що прирівнюємо їх нулю. Отримуємо систему рівнянь, звідки - стаціонарна точка. Скористаємося тепер теоремою 12. Маємо Значить, у точці Мл екстремум є. Оскільки, то це – мінімум. Якщо перетворити функцію р на вигляд то неважко помітити, що права частина («) буде мінімальною, коли - абсолютний мінімум цієї функції. 2. Дослідити на екстремум функцію Знаходимо стаціонарні точки функції, для чого складаємо систему рівнянь Звідси так що точці – стаціонарна. Так як і через теорему 12 в точці М екстремуму немає. * 3. Дослідити на екстремум функцію Знаходимо стаціонарні точки функції. З системи рівнянь отримуємо, що, так що стаціонарною є точка. Далі маємо так що і теорема 12 не дає відповіді на питання про наявність чи відсутність екстремуму. Вчинимо тому так. Для функції про всі точки, відмінні відточки так що, за визначенням, а точці Л/о(0,0) функція г має абсолютний мінімум. Аналогічними розважаннями встановлюємо, що функція має в точці) максимум, а функція в точці екстремуму не має. Нехай функція п незалежних змінних диференційована в точці Точка Мо називається стаціонарною точкою функції якщо Теорема 13 (досить умовам екстремуму). Нехай функція визначена і має безперервні приватні похідні другого порядку в деякій околиці тонкі Мц(хі..., яка є стаціонарною тонкою функцією, якщо квадратинна форма (другий диференціал функції f у тонкому є позитивно визначеною (негативно визначеною), точкою мінімуму (відповідно) максимуму) функції f є тонкою Якщо ж квадратинна форма (4) є знакозмінною, то в тонкій ЛГ0 екстремуму немає. ) визначеності квадратичної форми. 15.2. Нехай функцію z = /(х, у) визначено в області D. Припустимо, що в цій області задана крива L, і потрібно знайти екстремуми функції f(x> у) тільки серед тих її значень, які відповідають точкам кривої L. Також екстремуми називають умовними екстремумами функції z = f(x) у) на кривій L. Визначення Кажуть, що в точці, що лежить на кривій L, функція /(ж, у) має умовний максимум (мінімум), якщо нерівність відповідно виконується у всіхточках М(s, у) кривої L, що належать деякому околиці точки М0(х0, Уо) і відмінних від точки М0 (Якщо крива L задана рівнянням, то задача про знаходження умовного екстремуму функції г - f(x,y) на кривій! може бути сформульована так: знайти екстремуми функції х = /(я, у) в області D за умови, що Таким чином, при знаходженні умовних екстремумів функції z = у) аргументи гну вже не можна розглядати як незалежні змінні: вони пов'язані між собою співвідношенням у ) = 0, яке називають рівнянням зв'язку. Щоб пояснити розрізнивши м'яз безумовним і умовним екстремумом, розглянемо такий приклад, безумовний максимум функції (рис. 23) рвеен одиниці і досягається в точці (0,0). Йому відповідає точів М - вершині пврвбо-лоїда, приєднаємо рівняння зв'язку у = j. Тоді умовний максимум буде, очевидно, він досягається а точці (о, |), і йому відверне вершині Afj пврвболи, що є лінією перетину пврвболоїда з площиною у = j . У разі безумовного мвксимумв ми маємо мвксимвальну аплікату серед усіх впліквт поверхні * = 1 - л;2 ~ у1; слумвв умовного - тільки серед влліквт точок пpабололоїдв, відвчввющих точці * прямий у = j не площині хОу. Один з способів пошуку умовного екстремуму функції при наявності і зв'язку полягає в наступному. Питання про існування та характер умовного екстремуму вирішується на підставі вивчення знака другого диференціалу функції Лагранжа для аналізованої системи значень x0, Уо, А, отриманої з (8) за умови, що Якщо, то в точці (х0, Уо) функція /(х,у ) має умовний максимум; якщо d2F > 0 – то умовний мінімум. Зокрема, якщо в стаціонарній точці (хо, J/o) визначник D для функції F(x, у) позитивний, то в точці (®о, Уо) є умовний максимум функції /(х, у), якщо і умовний мінімум функції /(ж, у), якщо Приклад. Знову звернемося до умов попереднього прикладу: знайти екстремум функції за умови, що х + у = 1. Розв'язуватимемо задачу методом множників Лагранжа. Функція Лагранжа у разі має вид Для відшукання стаціонарних точок складаємо систему З перших двох рівнянь системи отримуємо, що х = у. Потім із третього рівняння системи (рівняння зв'язку) знаходимо, що х – у = j – координати точки можливого екстремуму. При цьому (вказується, що А = -1. Таким чином, функція Лагранжа. є точка умовного мінімуму функції * = х2 + у2 за умови Відсутність безумовного екстремуму для функції Л агранжа. Р(х, у) ще не означає відсутності умовного екстремума для функції /(Ж, у) за наявності зв'язку Приклад. Знайти екстремум функції за умови у 4 Складаємо функцію Лагранжа і виписуємо систему для визначення А та координат можливих точок екстремуму: З перших двох рівнянь отримуємо х + у = 0 і приходимо до системи, звідки х = у = А = 0. Таким чином, відповідна функція Лагранжа має вигляд У точці (0,0) функція F(x, у; 0) не має безумовного екстремуму, проте умовний екстремум функції г = ху є. .Дійсно, в цьому випадку г = х2. Звідси видно, що в точці (0,0) є умовний мінімум. А|, Аз,..., А„, - невизначені постійні множники. Прирівнюючи нулю всі окремі похідні першого порядку від функції F і приєднуючи до отриманих рівнянь рівняння зв'язку (9), отримаємо систему n + m рівнянь, з яких визначаємо Аь А3|... Ат і координати х\) х2) . »хп можливих точок умовного екстремуму. Питання, чи є знайдені за методом Лагранжа точки справді точками умовного екстремуму найчастіше може бути вирішено виходячи з міркувань фізичного чи геометричного характеру. 15.3. Найбільше та найменше значення безперервних функцій Нехай потрібно знайти найбільше (найменше) значення функції z = /(х, у), безперервної в деякій обмеженій області D. По теоремі 3 у цій галузі знайдеться точка (хо, Уо), в якій функція набуває найбільшого (найменше) значення. Якщо точка (хо, у0) лежить всередині області D, то в ній функція / має максимум (мінімум), так що в цьому випадку точка, що цікавить нас, міститься серед критичних точок функції / (х, у). Проте свого найбільшого (найменшого) значення функція /(х, у) може досягати і межі області. Тому, щоб знайти найбільше (найменше) значення, що приймається функцією z = /(х, у) в обмеженій замкнутій області 2), потрібно знайти всі максимуми (мінімуми) функції, що досягаються всередині цієї області, а також найбільше (найменше) значення функції на межі цієї галузі. Найбільше (найменше) з усіх цих чисел і буде шуканим найбільшим (найменшим) значенням функції z = /(х,у) в області 27. Покажемо, як це робиться у випадку функції, що диференціюється. Прммр. Знайти найбільше та найменше значення функції області 4 Знаходимо критичні точки функції всередині області D. Для цього складаємо систему рівнянь Звідси отримуємо х = у «0, так що точка 0(0,0) – критична точка функції х. Так як знайдемо тепер найбільше і найменше значення функції на межі Г області D. На частині кордону маємо так що у = 0 - критична точка, і тому що = то в цій точці функція z = 1 + у2 має мінімум, що дорівнює одиниці. На кінцях відрізка Г», у точках (, маємо. Користуючись міркуваннями симетрії, ті ж результати отримуємо для інших частин кордону. Остаточно отримуємо: найменше значення функції z = х2+у2 в області "Б дорівнює нулю і досягається воно у внутрішній точці 0( 0, 0) області, а найбільше значення цієї функції, що дорівнює двом, досягається в чотирьох точках кордону (рис.25) Рис.25 Вправи Знайдіть область визначення функцій: Побудуйте лінії рівня функцій: 9 Знайдіть поверхні рівня функцій трьох незалежних змінних: Обчисліть межі функцій: Знайдіть приватні похідні функцій та їх повні диференціали: Знайдіть похідні складних функцій: 3 Знайдіть J. Екстремум функції декількох змінних Поняття екстремуму функції декількох змінних. двох змінних, знайдіть функцій: 35. Використовуючи формулу похідної складної функції двох змінних, знайдіть |J і функцій: Знайдіть jj функцій, заданих неявно: 40. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної кривої в точці перетину її з прямою х = 3. 41. Знайдіть точки, в яких дотична крива х паралельна осі Ох. . У наступних задачах знайдіть і Ц: Напишіть рівняння дотичної площини та нормалі поверхні: 49. Складіть рівняння дотичних площин поверхні х2 + 2у2 + Зг2 = 21, паралельних площині х + 4у + 6z = 0. Знайдіть три-чотири перші члени розкладання за формулою : 50. у околиці точки (0, 0).
УМОВНИЙ ЕКСТРЕМУМ
Мінімальне або максимальне значення, що досягається даною функцією (або функціоналом) за умови, що деякі інші функції (функціонали) приймають значення із заданої допустимої множини. Якщо умов, що обмежують у зазначеному сенсі зміни незалежних змінних (функцій), відсутні, то говорять про безумовний екстремум.
Класич. завданням на У. е. є завдання визначення мінімуму функції багатьох змінних
За умови, що деякі інші функції приймають задані значення:
У цій задачі G, до-рому повинні належати значення вектор-функції g=(g 1, ..., g m),
що входить у додаткові умови (2), є фіксована точка c=(C 1 , ..., з т)в m-мірному евклідовому просторі
Якщо (2) поряд зі знаком рівності допускаються знаки нерівності
Це призводить до завдання нелінійного програмування(1), (3). У задачі (1), (3) безліч Gдопустимих значень вектор-функції gє нек-рий криволінійний , що належить (n-m 1)-мірної гіперповерхні, що задається т 1 1
1 нерівностей, що входять до (3). Окремим випадком завдання (1), (3) на У. в. є завданнядо якої всі розглядаються функції f і g iє лінійними по x l , ..., х п.У задачі лінійного програмування безліч Gдопустимих значень вектор-функції g,входить до умов, що обмежують область зміни змінних x 1 , .....x n ,являє собою , що належить (п-т 1)-мірної гіперплощини, що задається m 1 умовами типу рівності (3).
Аналогічно більшість завдань оптимізації функціоналів, що представляють нрактич. інтерес, зводиться до завдань на У. е. (Див. Ізопериметричне завдання, Кільця завдання, Лагранжа завдання, Манера завдання).
Так само, як і математич. програмування, основними завданнями варіаційного обчислення та теорії оптимального управління є завдання на У. е.
При вирішенні завдань на У. е., особливо при розгляді теоретич. питань, пов'язаних із завданнями на У. е., дуже корисним виявляється використання невизначених Лагранжа множників,що дозволяють звести завдання на У. е. до завдання на безумовний і спростити необхідні умови оптимальності. Використання множників Лагранжа лежить в основі більшості класич. методів вирішення завдань на У. е.
Літ.: Xедлі Дж., Нелінійне та, пров. з англ., М., 1967; Блісс Р. А., Лекції з варіаційного обчислення, пров. з англ., М., 1950; Понтрягін Л. С. [та ін], Математична оптимальних процесів, 2 видавництва, М., 1969.
І. Б. Вапнярський.
Математична енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія.
І. М. Виноградов.
1977-1985.
Дивитись що таке "УМОВНИЙ ЕКСТРЕМУМ" в інших словниках:
Відносний екстремум, екстремум функції f (x1,..., xn + m) від п + т змінних у припущенні, що ці змінні підпорядковані ще рівнянням зв'язку (умов): φk (x1,..., xn + m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (див. Екстремум). Нехай відкрите безліч і задані функції. Нехай. Ці рівняння називають рівняннями зв'язків (термінологія запозичена з механіки). Нехай на G визначено функцію … Вікіпедія
- (Від лат. extremum крайнє) значення безперервної функції f (x), що є або максимумом, або мінімумом. Точніше: безперервна в точці х0 функція f (x) має x0 максимум (мінімум), якщо існує околиця (x0 + δ, x0 δ) цієї точки, ... ...
Функція, що використовується під час вирішення завдань на умовний екстремум функцій багатьох змінних та функціоналів. За допомогою Л. ф. записуються необхідні умови оптимальності у завдання на умовний екстремум. При цьому не потрібно висловлювати одні перемінні. Математична енциклопедія
Математична дисципліна, присвячена пошуку екстремальних (найбільших і найменших) значень функціоналів змінних величин, що залежать від вибору однієї або декількох функцій. Ст і. є природним розвитком того розділу. Нехай відкрите безліч і задані функції. Нехай. Ці рівняння називають рівняннями зв'язків (термінологія запозичена з механіки). Нехай на G визначено функцію … Вікіпедія
Змінні, за допомогою яких будується Лагранжа функція при дослідженні завдань на умовний екстремум. Використання Л. м. та функції Лагранжа дозволяє одноманітним способом отримувати необхідні умови оптимальності у завданнях на умовний екстремум. Математична енциклопедія
Варіаційне обчислення - це розділ функціонального аналізу, в якому вивчаються варіації функціоналів. Найбільш типова задача варіаційного обчислення полягає в тому, щоб знайти функцію, на якій заданий функціонал досягає.
Розділ мате.матики, присвячений дослідженню методів відшукання екстремумів функціоналів, що залежать від вибору однієї або декількох функцій при різноманітних обмеженнях (фазових, диференціальних, інтегральних і т. п.), що накладаються на ці… Математична енциклопедія
Варіаційне літочислення це розділ математики, в якому вивчаються варіації функціоналів. Найбільш типова задача варіаційного обчислення у тому, щоб знайти функцію, де функціонал досягає екстремального значення. Методи… … Вікіпедія
Книги
- Лекції з теорії управління. Том 2. Оптимальне управління, В. Бос. Розглядається класична проблематика теорії оптимального управління. Виклад починається з базових понять оптимізації в кінцевих просторах: умовний і безумовний екстремум,…
Спочатку розглянемо випадок функції двох змінних. Умовним екстремумом функції $z=f(x,y)$ у точці $M_0(x_0;y_0)$ називається екстремум цієї функції, досягнутий за умови, що змінні $x$ і $y$ в околиці цієї точки задовольняють рівняння зв'язку $\ varphi (x, y) = 0 $.
Назва «умовний» екстремум пов'язана з тим, що на змінні накладено додаткову умову $ Varphi (x, y) = 0 $. Якщо з рівняння зв'язку можна виразити одну змінну через іншу, то завдання визначення умовного екстремуму зводиться до завдання на звичайний екстремум функції однієї змінної. Наприклад, якщо з рівняння зв'язку випливає $y=\psi(x)$, то підставивши $y=\psi(x)$ $z=f(x,y)$, отримаємо функцію однієї змінної $z=f\left (x, \ psi (x) \ right) $. У загальному випадку, однак, такий метод є малопридатним, тому потрібно введення нового алгоритму.
Метод множників Лагранжа для функцій двох змінних.
Метод множників Лагранжа полягає в тому, що для відшукання умовного екстремуму складають функцію Лагранжа: $F(x,y)=f(x,y)+lambda\varphi(x,y)$ (параметр $lambda$ називають множником Лагранжа ). Необхідні умови екстремуму задаються системою рівнянь, з якої визначаються стаціонарні точки:
$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x, y) = 0. \end(aligned) \right.
Достатньою умовою, з якої можна з'ясувати характер екстремуму, є знак $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Якщо стаціонарної точці $d^2F > 0$, то функція $z=f(x,y)$ має у цій точці умовний мінімум, якщо $d^2F< 0$, то условный максимум.
Є й інший спосіб визначення характеру екстремуму. З рівняння зв'язку отримуємо: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_ (y)^("))dx$, тому в будь-якій стаціонарній точці маємо:
$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \right)$$
Другий помножувач (розташований у дужці) можна представити у такій формі:
Червоним кольором виділено елементи визначника $ \ left | \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array) \right|$, який є гесіаном функції Лагранжа. Якщо $H > 0$, то $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0 $, тобто. маємо умовний мінімум функції $ z = f (x, y) $.
Примітка щодо форми запису визначника $H$. показати\сховати
$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(array) \right| $$
У цій ситуації сформульоване вище правило зміниться так: якщо $H > 0$, то функція має умовний мінімум, а при $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.
Алгоритм дослідження функції двох змінних на умовний екстремум
- Скласти функцію Лагранжа $F(x,y)=f(x,y)+lambda\varphi(x,y)$
- Вирішити систему $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x, y) = 0. \end(aligned) \right.$
- Визначити характер екстремуму у кожній із знайдених у попередньому пункті стаціонарних точок. Для цього застосувати будь-який із зазначених способів:
- Скласти визначник $H$ та з'ясувати його знак
- З урахуванням рівняння зв'язку обчислити знак $d^2F$
Метод множників Лагранжа для функцій n змінних
Допустимо, ми маємо функцію $n$ змінних $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ і $m$ рівнянь зв'язку ($n > m$):
$ $ \ Varphi_1 (x_1, x_2, \ ldots, x_n) = 0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$
Позначивши множники Лагранжа як $lambda_1, lambda_2, ldots, lambda_m $, складемо функцію Лагранжа:
$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$
Необхідні умови наявності умовного екстремуму задаються системою рівнянь, з якої знаходяться координати стаціонарних точок та значення множників Лагранжа:
$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$
З'ясувати, умовний мінімум чи умовний максимум має функція у знайденій точці, можна, як і раніше, за допомогою символу $d^2F$. Якщо знайденої точці $d^2F > 0$, то функція має умовний мінімум, якщо $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:
Визначник матриці $ \ left | \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$, виділеної в матриці $L$ червоним, є гессиан функції Лагранжа. Використовуємо таке правило:
- Якщо символи кутових мінорів $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ матриці $L$ збігаються зі знаком $(-1)^m$, то досліджувана стаціонарна точка є точкою умовного мінімуму функції $z=f(x_1,x_2 , x_3, \ ldots, x_n) $.
- Якщо символи кутових мінорів $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ чергуються, причому знак мінору $H_(2m+1)$ збігається зі знаком числа $(-1)^(m+1)$, то досліджувана стаціонарна точка є точкою умовного максимуму функції $ z = f (x_1, x_2, x_3, \ ldots, x_n) $.
Приклад №1
Знайти умовний екстремум функції $z(x,y)=x+3y$ за умови $x^2+y^2=10$.
Геометрична інтерпретація цього завдання така: потрібно знайти найбільше і найменше значення аплікати площини $z=x+3y$ для точок її перетину з циліндром $x^2+y^2=10$.
Виразити одну змінну через іншу з рівняння зв'язку і підставити її у функцію $z(x,y)=x+3y$ дещо важко, тому будемо використовувати метод Лагранжа.
Позначивши $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, складемо функцію Лагранжа:
$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$
Запишемо систему рівнянь визначення стаціонарних точок функції Лагранжа:
$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (aligned) \right.
Якщо припустити $\lambda=0$, перше рівняння стане таким: $1=0$. Отримане протиріччя свідчить, що $lambdaneq 0$. За умови $\lambda\neq 0$ з першого та другого рівнянь маємо: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda)$. Підставляючи отримані значення третє рівняння, отримаємо:
$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1) (4 lambda ^ 2) + frac (9) (4 lambda ^ 2) = 10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(aligned) $$
Отже, система має два рішення: $ x_1 = 1; \; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ і $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. З'ясуємо характер екстремуму у кожній стаціонарній точці: $M_1(1;3)$ і $M_2(-1;-3)$. І тому обчислимо визначник $H$ у кожному з точок.
$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$
У точці $ M_1 (1; 3) $ отримаємо: $ H = 8 \ cdot \ left | \begin(array) (ccc) 0 & x & y\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, тому в точці $M_1(1;3)$ функція $z(x,y)=x+3y$ має умовний максимум, $z_(\max)=z(1;3)=10$.
Аналогічно, у точці $M_2(-1;-3)$ знайдемо: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Оскільки $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.
Зазначу, що замість обчислення значення визначника $H$ у кожній точці набагато зручніше розкрити його в загальному вигляді. Щоб не захаращувати текст подробицями, цей спосіб приховую під примітку.
Запис визначника $H$ у загальному вигляді. показати\сховати
$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\x&\lambda&0\y&0&lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$
У принципі, очевидно, який знак має $H$. Оскільки жодна з точок $M_1$ або $M_2$ не збігається з початком координат, $y^2+x^2>0$. Отже, знак $H$ протилежний символу $\lambda$. Можна і довести обчислення до кінця:
$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(aligned) $$
Питання характер екстремуму в стаціонарних точках $M_1(1;3)$ і $M_2(-1;-3)$ можна вирішити без використання визначника $H$. Знайдемо знак $d^2F$ у кожній стаціонарній точці:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$
Зазначу, що запис $dx^2$ означає саме $dx$, зведений на другий ступінь, тобто. $ \ left (dx \ right) ^ 2 $. Звідси маємо: $dx^2+dy^2>0$, тому при $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ отримаємо $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.
Відповідь: у точці $(-1;-3)$ функція має умовний мінімум, $z_(\min)=-10$. У точці $(1;3)$ функція має умовний максимум, $z_(\max)=10$
Приклад №2
Знайти умовний екстремум функції $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ за умови $x+y=0$.
Перший спосіб (метод множників Лагранжа)
Позначивши $\varphi(x,y)=x+y$ складемо функцію Лагранжа: $F(x,y)=z(x,y)+lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.
$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y) = 9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0.
Вирішивши систему, отримаємо: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ і $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9)$ , $ \ lambda_2 = -10 $. Маємо дві стаціонарні точки: $M_1(0;0)$ і $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. З'ясуємо характер екстремуму у кожній стаціонарній точці з використанням визначника $H$.
$ $ H = \ left | \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$
У точці $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, тому у цій точці функція має умовний максимум, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.
Досліджуємо характер екстремуму в кожній з точок іншим способом, ґрунтуючись на знаку $d^2F$:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy^2 $$
З рівняння зв'язку $x+y=0$ маємо: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.
$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$
Оскільки $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, то $M_1(0;0)$ є точкою умовного мінімуму функції $z(x,y)=3y^3+4x^ 2-xy$. Аналогічно $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.
Другий спосіб
З рівняння зв'язку $x+y=0$ отримаємо $y=-x$. Підставивши $y=-x$ у функцію $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, отримаємо деяку функцію змінної $x$. Позначимо цю функцію як $u(x)$:
$$u(x)=z(x,-x)=3cdot(-x)^3+4x^2-xcdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$
Таким чином, задачу про знаходження умовного екстремуму функції двох змінних ми звели до завдання визначення екстремуму функції однієї змінної.
$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\ -9x^2+10x=0; \;x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \\ ;y_1=-x_1=0;\x_2=\frac(10)(9);
Отримали точки $M_1(0;0)$ і $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Подальше дослідження відоме з курсу диференціального обчислення функцій однією зміною. Досліджуючи знак $u_(xx)^("")$ у кожній стаціонарній точці або перевіряючи зміну знака $u_(x)^(")$ у знайдених точках, отримаємо ті самі висновки, що і при вирішенні першим способом. Наприклад, перевіримо знак $u_(xx)^("")$:
$$u_(xx)^("")=-18x+10;\u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$
Оскільки $u_(xx)^("")(M_1)>0$, то $M_1$ - точка мінімуму функції $u(x)$, у своїй $u_(\min)=u(0)=0$ . Оскільки $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.
Значення функції $u(x)$ за заданої умови зв'язку збігаються зі значеннями функції $z(x,y)$, тобто. знайдені екстремуми функції $u(x)$ і є умовні екстремуми функції $z(x,y)$, що шукаються.
Відповідь: у точці $(0;0)$ функція має умовний мінімум, $z_(\min)=0$. У точці $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ функція має умовний максимум, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.
Розглянемо ще один приклад, у якому характер екстремуму з'ясуємо у вигляді визначення знака $d^2F$.
Приклад №3
Знайти найбільше та найменше значення функції $z=5xy-4$, якщо змінні $x$ і $y$ позитивні та задовольняють рівняння зв'язку $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2) -1 = 0 $.
Складемо функцію Лагранжа: $ F = 5xy-4 + lambda \ left (\ frac (x ^ 2) (8) + frac (y ^ 2) (2) -1 \ right) $. Знайдемо стаціонарні точки функції Лагранжа:
$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\x > 0; \y; 0. \end(aligned)
Усі подальші перетворення здійснюються з урахуванням $x>0; \; y > 0$ (це обумовлено за умови завдання). З другого рівняння виразимо $\lambda=-\frac(5x)(y)$ і підставимо знайдене значення в перше рівняння: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Підставляючи $x=2y$ у третє рівняння, отримаємо: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y = 1 $.
Оскільки $y=1$, то $x=2$, $\lambda=-10$. Характер екстремуму у точці $(2;1)$ визначимо, з знаку $d^2F$.
$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$
Оскільки $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, то:
$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$
В принципі, тут можна відразу підставити координати стаціонарної точки $x=2$, $y=1$ та параметра $\lambda=-10$, отримавши при цьому:
$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$
Однак в інших завданнях на умовний екстремум стаціонарних точок може бути декілька. У таких випадках краще $d^2F$ уявити в загальному вигляді, а потім підставляти в отриманий вираз координати кожної зі знайдених стаціонарних точок:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\=\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$
Підставляючи $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, отримаємо:
$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$
Оскільки $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.
Відповідь: у точці $(2;1)$ функція має умовний максимум, $z_(\max)=6$.
У наступній частині розглянемо застосування методу Лагранжа для функцій більшої кількості змінних.
