Якщо показники однакові, а підстави різні. Урок "множення та поділ ступенів"

Кожна арифметична операція часом стає занадто громіздкою для запису і намагаються спростити. Колись так було і з операцією додавання. Людям було необхідно проводити багаторазове однотипне складання, наприклад, порахувати вартість ста перських килимів, вартість якого становить 3 золоті монети за кожен. 3+3+3+…+3 = 300. Через громіздкість було придумано скоротити запис до 3 * 100 = 300. Фактично запис «три помножити на сто» означає, що потрібно взяти сто трійок і скласти між собою. Множення прижилося, набуло загальної популярності. Але світ не стоїть на місці, і в середньовіччі виникла необхідність проводити багаторазове однотипне множення. Згадується стара індійська загадка про мудреця, який попросив у нагороду за виконану роботу пшеничних зерен у такій кількості: за першу клітку шахівниці він просив одне зерно, за другу – два, третю – чотири, п'яту – вісім і так далі. Так з'явилося перше множення ступенів, адже кількість зерен дорівнювала двійці в ступені номера клітини. Наприклад, на останній клітині було б 2*2*2*…*2 = 2^63 зерен, що дорівнює числу завдовжки 18 знаків, у чому, власне, і криється сенс загадки.

Операція зведення в ступінь прижилася досить швидко, також швидко виникла необхідність проводити додавання, віднімання, розподіл і множення ступенів. Останнє і варто розглянути докладніше. Формули для складання ступенів прості і легко запам'ятовуються. До того ж, легко зрозуміти, звідки вони беруться, якщо операцію ступеня замінити множенням. Але спочатку слід розібратися в елементарній термінології. Вираз a^b (читається «а ступеня b») означає, що число a слід помножити саме він b раз, причому «a» називається основою ступеня, а «b» - статечним показником. Якщо підстави ступенів однакові, то формули виводяться дуже просто. Конкретний приклад: визначити значення виразу 2^3 * 2^4. Щоб знати, що має вийти, слід перед початком рішення дізнатися відповідь на комп'ютері. Забивши цей вираз у будь-який онлайн-калькулятор, пошуковик, набравши "множення ступенів з різними підставами і однаковими" або математичний пакет, на виході вийде 128. Тепер розпишемо цей вислів: 2^3 = 2*2*2, а 2^4 = 2 *2*2*2. Виходить, що 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Виходить, що добуток ступенів з однаковою основою дорівнює підставі, зведеній у ступінь, що дорівнює сумі двох попередніх ступенів.

Можна подумати, що це випадковість, але ні: будь-який інший приклад зможе лише підтвердити це правило. Отже, у вигляді формула виглядає так: a^n * a^m = a^(n+m) . Також існує правило, що будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці. Тут слід згадати правило негативних ступенів: a^(-n) = 1/a^n. Тобто якщо 2^3 = 8, то 2^(-3) = 1/8. Використовуючи це можна довести справедливість рівності a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^ (n) можна скоротити та залишається одиниця. Звідси виводиться і те правило, що приватне ступенів з однаковими основами дорівнює цій підставі в ступені, що дорівнює приватному показнику дільника і дільника: a^n: a^m = a^(n-m) . Приклад: спростити вираз 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Множення є комутативною операцією, отже спочатку слід зробити додавання показників множення: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. Далі слід розібратися з розподілом на негативний ступінь. Необхідно відняти показник дільника з показника ділимого: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Виявляється, операція поділу на негативну ступінь тотожна операції множення на аналогічний позитивний показник. Таким чином, остаточна відповідь дорівнює 8.

Існують приклади, де є не канонічне множення ступенів. Перемножити ступені з різними підставами дуже часто буває набагато складніше, а часом взагалі неможливо. Слід навести кілька прикладів різних можливих прийомів. Приклад: спростити вираз 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Очевидно, має місце множення ступенів з різними основами. Але, слід зазначити, що всі підстави є різними ступенями трійки. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Використовуючи правило (a^n) ^m = a^(n*m) , слід переписати вираз у зручнішому вигляді: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7-4+12 -10 +6) = 3 ^ (11) . Відповідь: 3^11. У випадках, коли різні підстави, на рівні показники працює правило a n * b n = (a b) n. Наприклад, 3^3 * 7^3 = 21^3. В іншому, коли різні підстави та показники, зробити повне множення не можна. Іноді можна частково спростити або вдатися до допомоги обчислювальної техніки.

Формули ступеніввикористовують у процесі скорочення та спрощення складних виразів, у вирішенні рівнянь та нерівностей.

Число cє n-ний ступенем числа aколи:

Операції зі ступенями.

1. Помножуючи ступеня з однаковою основою їх показники складаються:

a m· a n = a m + n.

2. У розподілі ступенів з однаковою основою їх показники віднімаються:

3. Ступінь праці 2-х чи більшої кількості множників дорівнює добутку ступенів цих співмножників:

(abc ...) n = a n · b n · c n ...

4. Ступінь дробу дорівнює відношенню ступенів діленого та дільника:

(a/b) n = n / b n .

5. Зводячи ступінь у ступінь, показники ступенів перемножують:

(a m) n = a m n .

Кожна вищенаведена формула вірна у напрямах зліва направо та навпаки.

Наприклад. (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4.

Операції з корінням.

1. Корінь із твору кількох співмножників дорівнює добутку коренів із цих співмножників:

2. Корінь із відношення дорівнює відношенню ділимого та дільника коренів:

3. При зведенні кореня на рівень досить звести на цей рівень підкорене число:

4. Якщо збільшити ступінь кореня в nраз і в той же час звести в n-у ступінь підкорене число, то значення кореня не зміниться:

5. Якщо зменшити ступінь кореня в nраз і в той же час витягти корінь n-ой ступеня з підкореного числа, то значення кореня не зміниться:

Ступінь із негативним показником.Ступінь деякого числа з непозитивним (цілим) показником визначають як одиницю, поділену на ступінь того ж числа з показником, що дорівнює абсолютній величині непозитивного показника:

Формулу a m:a n =a m - nможна використовувати не тільки при m> n, але і при m< n.

Наприклад. a4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Щоб формула a m:a n =a m - nстала справедливою при m=n, потрібна присутність нульового ступеня.

Ступінь із нульовим показником.Ступінь будь-якого числа, що не дорівнює нулю, з нульовим показником дорівнює одиниці.

Наприклад. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Ступінь із дробовим показником.Щоб звести дійсне число ау ступінь m/nнеобхідно вийняти корінь n-ого ступеня з m-ой ступеня цього числа а.

Поняття ступеня математики вводиться ще 7 класі під час уроку алгебри. І надалі протягом усього курсу вивчення математики це поняття активно використовується у різних своїх видах. Ступені – досить важка тема, що вимагає запам'ятовування значень та вміння правильно та швидко порахувати. Для більш швидкої та якісної роботи зі ступенями математики вигадали властивості ступеня. Вони допомагають скоротити великі обчислення, перетворити величезний приклад на одне число певною мірою. Властивостей не так багато, і всі вони легко запам'ятовуються і застосовуються на практиці. Тому в статті розглянуто основні властивості ступеня, а також те, де вони використовуються.

Властивості ступеня

Ми розглянемо 12 властивостей ступеня, у тому числі й властивості ступенів з однаковими основами, і до кожної властивості наведемо приклад. Кожна з цих властивостей допоможе вам швидше вирішувати завдання зі ступенями, а також врятує вас від численних помилок.

1-е властивість.

Про цю властивість багато хто дуже часто забуває, робить помилки, представляючи число в нульовому ступені як нуль.

2-ге властивість.

3-тє властивість.

Потрібно пам'ятати, що цю властивість можна застосовувати тільки при добутку чисел, при сумі воно не працює! І не можна забувати, що це і наступне властивості застосовуються тільки до ступенів з однаковими підставами.

4-та якість.

Якщо в знаменнику число зведено в негативний ступінь, то при відніманні ступінь знаменника береться до дужок для правильної заміни знака при подальших обчисленнях.

Властивість працює тільки при розподілі, при відніманні не застосовується!

5-та якість.

6-та якість.

Цю властивість можна застосувати і у зворотний бік. Одиниця поділена на число певною мірою є число в мінусовому ступені.

7-е якість.

Цю властивість не можна застосовувати до суми та різниці! При зведенні ступінь суми чи різниці використовуються формули скороченого множення, а чи не властивості ступеня.

8-е якість.

9-е якість.

Ця властивість працює для будь-якого дробового ступеня з чисельником, рівним одиниці, формула буде та ж, тільки ступінь кореня змінюватиметься в залежності від знаменника ступеня.

Також цю властивість часто використовують у зворотному порядку. Корінь будь-якого ступеня з числа можна уявити, як це число ступеня одиниця поділена на ступінь кореня. Ця властивість дуже корисна у випадках, якщо корінь із числа не вилучається.

10-е якість.

Ця властивість працює не лише з квадратним коренем та другим ступенем. Якщо ступінь кореня і ступінь, у якому зводять цей корінь, збігаються, то відповіддю буде підкорене вираз.

11-та якість.

Цю властивість потрібно вміти вчасно побачити при рішенні, щоб позбавити себе величезних обчислень.

12-те властивість.

Кожна з цих властивостей неодноразово зустрінеться вам у завданнях, вона може бути дано у чистому вигляді, а може вимагати деяких перетворень та застосування інших формул. Тому для правильного рішення мало знати лише характеристики, необхідно практикуватися і підключати інші математичні знання.

Застосування ступенів та їх властивостей

Вони активно застосовуються в алгебрі та геометрії. Ступені в математиці мають окреме, важливе місце. З їх допомогою вирішуються показові рівняння та нерівності, а так само ступенями часто ускладнюють рівняння та приклади, що належать до інших розділів математики. Ступені допомагають уникнути великих та довгих розрахунків, ступеня легше скорочувати та обчислювати. Але для роботи з великими ступенями або зі ступенями великих чисел потрібно знати не тільки властивості ступеня, а грамотно працювати і з підставами, вміти їх розкласти, щоб полегшити собі завдання. Для зручності слід знати ще й значення чисел, зведених у ступінь. Це скоротить ваш час під час вирішення, виключивши необхідність довгих обчислень.

Особливу роль поняття ступеня грає у логарифмах. Оскільки логарифм, власне, і є ступінь числа.

Формули скороченого множення – ще один приклад використання ступенів. Вони не можна застосовувати властивості ступенів, вони розкладаються за спеціальними правилами, але у кожній формулі скороченого множення незмінно присутні ступеня.

Так само ступеня активно використовуються у фізиці та інформатиці. Всі переклади в систему СІ виробляються за допомогою ступенів, а надалі при вирішенні завдань застосовуються властивості ступеня. В інформатиці активно використовуються ступені двійки, для зручності рахунку та спрощення сприйняття чисел. Подальші розрахунки з перекладів одиниць виміру чи розрахунки завдань, як і, як й у фізиці, відбуваються з допомогою властивостей ступеня.

Ще ступеня дуже корисні в астрономії, там рідко можна зустріти застосування властивостей ступеня, але самі ступеня активно використовуються для скорочення різних величин і відстаней.

Ступені застосовують і у звичайному житті, при розрахунках площ, обсягів, відстаней.

За допомогою ступенів записують дуже великі та дуже маленькі величини у будь-яких сферах науки.

Показові рівняння та нерівності

Особливе місце властивості ступеня посідають саме у показових рівняннях та нерівностях. Ці завдання дуже часто зустрічаються як у шкільному курсі, так і на іспитах. Усі вони вирішуються з допомогою застосування властивостей ступеня. Невідоме завжди знаходиться в самій мірі, тому знаючи всі властивості, вирішити таке рівняння чи нерівність не складе труднощів.

У минулому відеоуроці ми дізналися, що ступенем якоїсь підстави називається такий вираз, який є твір основи на самого себе, взятого в кількості, що дорівнює показнику ступеня. Вивчимо тепер деякі найважливіші властивості та операції ступенів.

Наприклад, помножимо два різні ступені з однаковою основою:

Представимо цей твір у повному вигляді:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Обчисливши значення цього виразу, ми отримаємо число 32. З іншого боку, як очевидно з цього прикладу, 32 можна як твори однієї й тієї підстави (двійки), взятого у кількості 5 раз. Якщо перерахувати, то:

Таким чином, можна з упевненістю дійти висновку, що:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Подібне правило успішно працює для будь-яких показників та будь-яких підстав. Ця властивість множення ступеня випливає із правила безпеки значення виразів при перетвореннях у творі. За будь-якої підстави а добуток двох виразів (а)х і (а)у дорівнює а(х + у). Інакше кажучи, при добутку будь-яких виразів з однаковою основою, підсумковий одночлен має сумарний ступінь, що утворюється додаванням ступеня першого та другого виразів.

Представлене правило чудово працює і при множенні кількох виразів. Головна умова - щоб підстави у всіх були однаковими. Наприклад:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Не можна складати ступеня, та й взагалі проводити якісь статечні спільні дії з двома елементами виразу, якщо підстави у них є різними.
Як показує наше відео, через схожість процесів множення та поділу правила складання ступенів при творі чудово передаються і на процедуру поділу. Розглянемо такий приклад:

Зробимо почленное перетворення висловлювання на повний вигляд і скоротимо однакові елементи в ділимо і дільнику:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Кінцевий результат цього прикладу не такий цікавий, адже вже в ході його рішення ясно, що значення виразу дорівнює квадрату двійки. І саме двійка виходить при відніманні ступеня другого виразу зі ступеня першого.

Щоб визначити ступінь приватного необхідно від діленого ступеня відняти ступінь дільника. Правило працює при однаковій підставі для всіх його значень та для всіх натуральних ступенів. У вигляді абстракції маємо:

(а) х / (а) у = (а) х - у

З правила поділу однакових підстав зі ступенями випливає визначення для нульового ступеня. Очевидно, що такий вираз має вигляд:

(а) х / (а) х = (а) (х - х) = (а) 0

З іншого боку, якщо ми зробимо поділ більш наочним способом, то отримаємо:

(а) 2 / (а) 2 = (а) (а) / (а) (а) = 1

При скороченні всіх видимих ​​елементів дробу завжди виходить вираз 1/1, тобто одиниця. Тому прийнято вважати, що будь-яка основа, зведена в нульовий ступінь, дорівнює одиниці:

Незалежно від значення а.

Однак буде абсурдно, якщо 0 (при будь-яких перемноженнях дає все одно 0) буде якимось чином дорівнює одиниці, тому вираз виду (0) 0 (нуль в нульовому ступені) просто не має сенсу, а до формули (а) 0 = 1 додають умову: «якщо не дорівнює 0».

Вирішимо вправу. Знайдемо значення виразу:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Так як підстава скрізь однакова і дорівнює 34, то підсумкове значення матиме таку ж підставу зі ступенем (відповідно до вищевказаних правил):

Інакше кажучи:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Відповідь: вираз дорівнює одиниці.