Екстремуми, найбільші та найменші значення функцій. Мітки: локальний екстремум

$E \subset \mathbb(R)^(n)$. Кажуть, що $f$ має локальний максимуму точці $x_(0) \in E$, якщо існує така околиця $U$ точки $x_(0)$, що для всіх $x \in U$ виконується нерівність $f\left(x\right) \leqslant f \left(x_(0)\right)$.

Локальний максимум називається суворим , якщо околиця $U$ можна вибрати так, щоб для всіх $x \in U$, відмінних від $x_(0)$, було $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Визначення
Нехай $f$ – дійсна функція на відкритій множині $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Кажуть, що $f$ має локальний мінімуму точці $x_(0) \in E$, якщо існує така околиця $U$ точки $x_(0)$, що для всіх $x \in U$ виконується нерівність $f\left(x\right) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

Локальний мінімум називається строгим, якщо околиця $U$ можна вибрати так, щоб для всіх $x \in U$, відмінних від $x_(0)$, було $f\left(x\right) > f\left(x_( 0) \ right) $.

Локальний екстремум поєднує поняття локального мінімуму та локального максимуму.

Теорема (необхідна умова екстремуму функції, що диференціюється)
Нехай $f$ – дійсна функція на відкритій множині $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Якщо в точці $x_(0) \in E$ функція $f$ має локальний екстремум і в цій точці, то $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ Рівність нулю диференціала рівносильно з того що всі рівні нулю, тобто. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

У разі це – . Позначимо $ \ phi \ left (t \ right) = f \ left (x_ (0) + th \ right) $, де $ h $ - довільний вектор. Функція $\phi$ визначена за досить малих за модулем значень $t$. Крім того, , вона диференційована, і $(\phi)' \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Нехай $f$ має локальний максимум у точці x$0$. Отже, функція $\phi$ за $t = 0$ має локальний максимум і, за теоремою Ферма, $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Отже, отримали, що $df \left(x_(0)\right) = 0$, тобто. функції $f$ у точці $x_(0)$ дорівнює нулю будь-якому векторі $h$.

Визначення
Крапки, у яких диференціал дорівнює нулю, тобто. такі, у яких усі приватні похідні дорівнюють нулю, називаються стаціонарними . Критичними точкамиФункції $f$ називаються такі точки, в яких $f$ не диференційована, або її дорівнює нулю. Якщо точка стаціонарна, то ще не випливає, що в цій точці функція має екстремум.

приклад 1.
Нехай $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Тоді $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, так що $\left(0,0\right)$ - стаціонарна точка, але в цій точці у функції немає екстремуму. Дійсно, $f \left(0,0\right) = 0$, але легко бачити, що в будь-якій околиці точки $\left(0,0\right)$ функція набуває як позитивних, так і негативних значень.

приклад 2.
Функція $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ початок координат – стаціонарна точка, але ясно, що екстремуму в цій точці немає.

Теорема (достатня умова екстремуму).
Нехай функція $f$ двічі безперервно диференційована на відкритій множині $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Нехай $x_(0) \in E$ – стаціонарна точка і $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$$ Тоді

1. якщо $Q_(x_(0))$ – , то функція $f$ у точці $x_(0)$ має локальний екстремум, саме, мінімум, якщо форма позитивновизначена, і максимум, якщо форма негативноопределенная;
2. якщо квадратична форма $Q_(x_(0))$ невизначена, то функція $f$ у точці $x_(0)$ немає екстремуму.

Скористаємося розкладанням за формулою Тейлора (12.7 стор. 292). Враховуючи, що приватні похідні першого порядку в точці $x_(0)$ дорівнюють нулю, отримаємо $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\right) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ де $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, а $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$, то права частина буде позитивною за будь-якого вектора $h$ досить малої довжини.
Отже, ми дійшли того, що в деякій околиці точки $x_(0)$ виконано нерівність $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$, якщо тільки $x \neq x_ (0)$ (ми поклали $x=x_(0)+h$\right). Це означає, що в точці $x_(0)$ функція має суворий локальний мінімум, і тим самим доведено першу частину нашої теореми.
Припустимо тепер, що $Q_(x_(0))$ – невизначена форма. Тоді знайдуться вектори $h_(1)$, $h_(2)$, такі, що $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ (x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$. Тоді отримаємо $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ При досить малих $t>0$ права частина позитивна. Це означає, що у будь-якій околиці точки $x_(0)$ функція $f$ приймає значення $f \left(x\right)$, більші, ніж $f \left(x_(0)\right)$.
Аналогічно отримаємо, що в будь-якій околиці точки $x_(0)$ функція $f$ приймає значення, менші ніж $f \left(x_(0)\right)$. Це, разом із попереднім, означає, що у точці $x_(0)$ функція $f$ не має екстремуму.

Розглянемо окремий випадок цієї теореми для функції $f \left(x,y\right)$ двох змінних, визначеної в деякій околиці точки $\left(x_(0),y_(0)\right)$ і має безперервні в цій околиці приватні похідні першого та другого порядків. Припустимо, що $\left(x_(0),y_(0)\right)$ – стаціонарна точка, і позначимо $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^(2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0), y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ).$$ Тоді попередня теорема набуде наступного вигляду.

Теорема
Нехай $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Тоді:

1. якщо $\Delta>0$, то функція $f$ має в точці $\left(x_(0),y_(0)\right)$ локальний екстремум, а саме мінімум, якщо $a_(11)>0$ і максимум, якщо $a_(11)<0$;
2. якщо $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Приклади розв'язання задач

Алгоритм знаходження екстремуму функції багатьох змінних:

1. Знаходимо стаціонарні точки;
2. Знаходимо диференціал 2-го порядку у всіх стаціонарних точках
3. Користуючись достатньою умовою екстремуму функції багатьох змінних, розглядаємо диференціал 2-го порядку в кожній стаціонарній точці

1. Дослідити функцію на екстремум $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x - 30 \cdot y$.
   Рішення

   Знайдемо приватні похідні 1-го порядку: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Складемо і вирішимо систему: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ З 2-го рівняння виразимо $x=4 \cdot y^(2)$ - підставимо в 1-е рівняння: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) - 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) - y = 0$$ $$y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ В результаті отримано 2 стаціонарні точки:
   1) $ y = 0 \ Rightarrow x = 0, M_ (1) = \ left (0, 0 \ right) $;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
   Перевіримо виконання достатньої умови екстремуму:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) Для точки $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) Для точки $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, отже, в точці $M_(2)$ існує екстремум, і оскільки $A_(2)>0$, то це мінімум.
   Відповідь: Точка $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ є точкою мінімуму функції $f$.
   

2. Дослідити функцію на екстремум $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Рішення

   Знайдемо стаціонарні точки: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4; $$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x - 2.$$
   Складемо і вирішимо систему: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \ Rightarrow \begin(cases)2 \cdot y - 4 = 0 \\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\y + x = 1\end(cases) \Rightarrow x = -1$$
   $ M_(0) \ left (-1, 2 \ right) $ - Стаціонарна точка.
   Перевіримо виконання достатньої умови екстремуму: $ $ \ displaystyle A = \ frac ( \ partial ^ (2) f) ( \ partial x ^ (2)) \ left (-1,2 \ right) = 0; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Відповідь: екстремуми відсутні.
   

Ліміт часу: 0

Навігація (тільки номери завдань)

0 із 4 завдань закінчено

Інформація

Пройдіть цей тест, щоб перевірити свої знання на тему «Локальні екстремуми функцій багатьох змінних».

Ви вже проходили тест раніше. Ви не можете запустити його знову.

Тест завантажується...

Ви повинні увійти або зареєструватися, щоб почати тест.

Ви повинні закінчити наступні тести, щоб почати це:

Результати

Правильних відповідей: 0 з 4

Ваш час:

Час вийшов

Ви набрали 0 з 0 балів (0 )

Ваш результат був записаний у таблицю лідерів

1. З відповіддю
2. З позначкою про перегляд

Завдання 1 із 4

1 .

Кількість балів: 1

Дослідити функцію $f$ на екстремуми: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

Правильно


Неправильно


1. Завдання 2 з 4

   2 .

   Кількість балів: 1

   Чи існує екстремум функції $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$

>> Екстремуми

Екстремум функції

Визначення екстремуму

Функція y = f (x) називається зростаючою (спадаючою) у деякому інтервалі, якщо при x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f(x2)).

Якщо функція, що диференціюється, y = f (x ) на відрізку зростає (зменшується), то її похідна на цьому відрізку f " (x)> 0

(f "(x)< 0).

Крапка x про називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції f (x ), якщо існує околиця точки x продля всіх точок якої правильна нерівність f (x )≤ f (x про) (f (x)≥ f (x про)).

Точки максимуму та мінімуму називаються точками екстремуму, а значення функції у цих точках - її екстремумами.

Крапки екстремуму

Необхідні умови екстремуму . Якщо точка x про є точкою екстремуму функції f (x ), або f " (x про) = 0, або f(x о) немає. Такі точки називають критичними,причому сама функція у критичній точці визначена. Екстремуми функції слід шукати серед її критичних точок.

Перша достатня умова. Нехай x про - Критична точка. Якщо f " (x) при переході через точку x про змінює знак плюс на мінус, то в точці x профункція має максимум, інакше - мінімум. Якщо під час переходу через критичну точку похідна не змінює знак, то точці x про екстремуму немає.

Друга достатня умова. Нехай функція f (x) має
f " (x) в околиці точки x про і другу похідну у самій точці x про. Якщо f "(x про) = 0, >0 ( <0), то точка x проє точкою локального мінімуму (максимуму) функції f(x). Якщо ж =0, потрібно або користуватися першою достатньою умовою, або залучати вищі .

На відрізку функція y = f(x) може досягати найменшого або найбільшого значення або в критичних точках, або на кінцях відрізка .

Приклад 3.22.

Рішення.Так як f " (

Завдання на знаходження екстремуму функції

Приклад 3.23. a

Рішення. xі y y
0 ≤ x≤
> 0, а при x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение функції кв. од).

Приклад 3.24. p ≈

Рішення. p p
S "
R = 2, Н = 16/4 = 4.

Приклад 3.22.Знайти екстремуми функції f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Рішення.Так як f " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​-2)(x - 3), то критичні точки функції x 1 = 2 і x 2 = 3. Екстремуми можуть бути тільки в цих точках. Оскільки при переході через точку x 1 = 2 похідна змінює знак плюс мінус, то цій точці функція має максимум. При переході через точку x 2 = 3 похідна змінює знак мінус плюс, тому в точці x 2 = 3 у функції мінімум. Обчисливши значення функції у точках
x 1 = 2 і x 2 = 3, знайдемо екстремуми функції: максимум f(2) = 14 і мінімум f(3) = 13.

Приклад 3.23.Потрібно побудувати прямокутний майданчик біля кам'яної стіни так, щоб з трьох боків вона була відгороджена дротяною сіткою, а четвертою стороною примикала до стіни. Для цього є aсітки погонних метрів. При якому співвідношенні сторін майданчик матиме найбільшу площу?

Рішення.Позначимо сторони майданчика через xі y. Площа майданчика дорівнює S = xy. Нехай y- Це довжина сторони, що примикає до стіни. Тоді за умовою має виконуватись рівність 2x + y = a. Тому y = a - 2x та S = x (a - 2x), де
0 ≤ x≤ a /2 (довжина та ширина майданчика не можуть бути негативними). S " = a - 4x, a - 4x = 0 при x = a/4, звідки
y = a - 2 × a/4 = a/2. Оскільки x = a /4 - єдина критична точка, перевіримо, чи змінюється знак похідної під час переходу цю точку. При x a /4 S "> 0, а при x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение функції S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. од). Оскільки S безперервна і її значення на кінцях S(0) і S(a /2) дорівнюють нулю, то знайдене значення буде найбільшим значенням функції. Таким чином, найбільш вигідним співвідношенням сторін майданчика за даних умов завдання є y = 2x.

Приклад 3.24.Потрібно виготовити закритий циліндричний бак місткістю V = 16 p ≈ 50 м3. Які мають бути розміри бака (радіус R і висота Н), щоб його виготовлення пішло найменшу кількість матеріалу?

Рішення.Площа повної поверхні циліндра дорівнює S = 2 p R(R+Н). Ми знаємо об'єм циліндра V = p R 2 Н Þ Н = V/ p R 2 =16 p / p R 2 = 16/R 2 . Значить, S(R) = 2 p (R 2+16/R). Знаходимо похідну цієї функції:
S "(R) = 2p (2R-16/R2) = 4p (R-8/R2). S " (R) = 0 при R 3 = 8, отже,
R = 2, Н = 16/4 = 4.

МАКСИМУМУ І МІНІМУМУ ТОЧКИ

точки, в яких брало приймає найбільше або найменше значення на області визначення; такі точки зв. також точками абсолютного максимуму чи абсолютного мінімуму. Якщо f визначено на топологич. просторі X, то точка х 0зв. точкою локального максимуму (локального мінімуму), якщо існує така точка х 0що для звуження розглянутої функції на цій околиці точка х 0є точкою абсолютного максимуму (мінімуму). Розрізняють точки суворого і не суворого максимуму (мінімум) (як абсолютного, так і локального). наприклад, точка зв. точкою суворого (суворого) локального максимуму функції f, якщо існує така околиця точки х 0що всім виконується (відповідно f(х) x 0). )/

Для функцій, визначених на кінцевих областях, у термінах диференціального обчислення існують умови та ознаки того, щоб дана точка була точкою локального максимуму (мінімуму). Нехай функція f визначена в деякій околиці папки x 0 числової осі. Якщо x 0 -точка нестрогого локального максимуму (мінімуму) і в цій точці існує f "( x 0), то вона дорівнює нулю.

Якщо задана функція f диференційована на околиці точки x 0крім, можливо, самої цієї точки, в якій вона безперервна, і похідна f" по кожну сторону від точки x 0в цій околиці зберігає постійний знак, то для того щоб x 0була точкою суворого локального максимуму (локального мінімуму), необхідно і достатньо, щоб похідна змінювала знак із плюсу на мінус, тобто щоб f"(x)>0 при x<.x 0і f"(x)<0 при x>x 0(відповідно з мінусом на плюс: f"(х) <0 при x<x 0і f"(x)>0 при х>х 0). Однак не для будь-якої функції, що диференціюється в околиці точки x 0можна говорити про зміну похідної знака в цій точці. . "

Якщо функція має в точці х 0 тпохідних, причому те для того щоб х 0була точкою суворого локального максимуму, необхідно і достатньо, щоб вони були парними і щоб f (m) ( x 0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x 0)>0.

Нехай функція f( x 1 ..., х п]визначена в n-вимірній околиці точки і диференційована в цій точці. Якщо x (0) є точкою суворого локального максимуму (мінімуму), то функції f у цій точці дорівнює нулю. Це умова рівнозначно рівності нулю у цій точці всіх приватних похідних 1-го порядку функції f. Якщо функція має 2 безперервні приватні похідні в точці x (0) , всі її 1 похідні звертаються в x (0) в нуль, а диференціал 2-го порядку в точці x (0) являє собою негативну (позитивну) квадратичну форму, то x (0) є точкою суворого локального максимуму (мінімуму). Відомі умови для М. і м. т. функцій, що диференціюються, коли на зміни аргументів накладені певні обмеження: задовольняються рівняння зв'язку. Необхідні та достатні умовам максимуму (мінімуму) дійсної функції, який має більш складну структуру, вивчаються в спеціальних розділах математики: напр., в опуклому аналізі, математичному програмуванні(Див. також Максимізація та мінімізація функцій). М. та м. т. функцій, визначених на різноманіттях, вивчаються в варіаційному обчисленні в цілому,а М. і м. т. для функцій, заданих на функціональних просторах, тобто для функціоналів, варіаційному обчисленні.Існують також різні методи чисельного наближеного знаходження М. та м. т.

Літ.: І л ь ин В. А., Позняк Е. Г., Основи математичного аналізу, 3 видавництва, ч. 1, М., 1971; КудрявцевЛ. Л. Д. Кудрявцев.

Математична енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. І. М. Виноградов. 1977-1985.

Дивитися що таке "МАКСИМУМУ І МІНІМУМУ ТОЧКИ" в інших словниках:

Дискретний принцип максимуму Понтрягіна для дискретних процесів управління. Для такого процесу М. п. може не виконуватися, хоча для його безперервного аналога, що виходить заміною звичайно різницевого оператора на диференціальний ... Математична енциклопедія

Теорема, що виражає одну з основних властивостей модуля аналітич. функції. Нехай f(z) регулярна аналітична, або голоморфна, функція пкомплексних змінних в області Dкомплексного числового простору відмінна від константи, М. м. п. Математична енциклопедія

Найбільше і відповідно найменше значення функції, що набуває дійсних значень. Точку області визначення розглянутої функції, в якій вона приймає максимум або мінімум, зв. відповідно точкою максимуму або точкою мінімуму. Математична енциклопедія

Див. Максимум та мінімум функції, Максимуму та мінімуму точки … Математична енциклопедія

Значення безперервної функції, що є максимумом або мінімумом (див. Максимум та мінімум точки). Термін лЕ … Математична енциклопедія

Індикатор- (Indicator) Індикатор це інформаційна система, речовина, прилад, пристрій, що відображає зміни якогось параметра Індикатори графіків валютного ринку форекс, які вони бувають і де їх можна завантажити? Опис індикаторів MACD, … Енциклопедія інвестора

Цей термін має й інші значення, див. Екстремум (значення). Екстремум (лат. extremum крайній) у математиці максимальне або мінімальне значення функції на заданій множині. Точка, в якій досягається екстремум, ... Вікіпедія

Диференціальне обчислення розділ математичного аналізу, в якому вивчаються поняття похідної та диференціала та способи їх застосування до дослідження функцій. Зміст 1 Диференціальне обчислення функцій однієї змінної … Вікіпедія

Лемніската та її фокуси Лемніската Бернуллі плоска крива алгебри. Визначається як геометричне місце точок, твори … Вікіпедія

Дивергенція- (Divergence) Дивергенція як індикатор Торгова стратегія з MACD дивергенцією Зміст Зміст Розділ 1. в. Розділ 2. Дивергенція як. Дивергенція - це термін, що використовується в економіці для позначення руху по розбіжності. Енциклопедія інвестора

Зміна функції у певній точці і визначається як межа збільшення функції до збільшення аргументу, який прагне до нуля. Для знаходження скористайтеся таблицею похідних. Наприклад, похідна функції y = x3 дорівнюватиме y' = x2.

Прирівняйте цю похідну нанівець (у разі x2=0).

Знайдіть значення змінної даного. Це будуть ті значення, коли дана похідна дорівнюватиме 0. Для цього підставте у вираз довільні цифри замість x, при яких весь вираз стане нульовим. Наприклад:

2-2x2 = 0
(1-x)(1+x) = 0
x1 = 1, x2 = -1

Отримані значення нанесіть на координатну пряму і вирахуйте похідний знак для кожного з отриманих . На координатній прямій відзначаються точки, що приймаються за початок відліку. Щоб розрахувати значення на проміжках, підставте довільні значення, які відповідають критеріям. Наприклад, для попередньої функції до -1 можна вибрати -2. Від -1 до 1 можна вибрати 0, а для значень більше 1 виберіть 2. Підставте дані цифри у похідну і з'ясуйте знак похідної. У разі похідна з x = -2 дорівнюватиме -0,24, тобто. негативно і цьому проміжку буде знак мінус. Якщо x=0, то значення дорівнюватиме 2, а на даному проміжку ставиться знак. Якщо x=1, то похідна також дорівнюватиме -0,24 і ставиться мінус.

Якщо при проходженні через точку на координатній прямій похідна змінює свій знак з мінусу на плюс, то це точка мінімуму, а якщо з плюса на мінус, то точка максимуму.

Відео на тему

Корисна порада

Для знаходження похідної є онлайн-сервіси, які підраховують потрібні значення і виводять результат. На таких сайтах можна знайти похідну до 5 порядку.

Джерела:

• Один із сервісів обчислення похідних
• точку максимуму функції

Точки максимуму функції поряд із точками мінімуму називаються точками екстремуму. У цих точках функція змінює характер поведінки. Екстремуми визначаються на обмежених числових інтервалах і є локальними.

Інструкція

Процес знаходження локальних екстремумів називається функції та виконується шляхом аналізу першої та другої похідної функції. Перед початком дослідження переконайтеся, що заданий інтервал значень аргументу належить до допустимих значень. Наприклад, для функції F=1/x значення аргументу х=0 є неприпустимим. Або для функції Y=tg(x) аргумент може мати значення х=90°.

Переконайтеся, що функція Y диференційована на заданому відрізку. Знайдіть першу похідну Y". Очевидно, що до досягнення точки локального максимуму функція зростає, а при переході через максимум функція стає спадною. Перша похідна за своїм фізичним змістом характеризує швидкість зміни функції. Поки функція зростає, швидкість цього процесу є величиною позитивною. При переході через локальний максимум функція починає зменшуватися, і швидкість процесу зміни функції стає негативною.Переход швидкості зміни функції через нуль відбувається у точці локального максимуму.

Кажуть, що функція має у внутрішній точці
області D локальний максимум(мінімум), якщо існує така околиця точки
для кожної точки
якою виконується нерівність

Якщо функція має у точці
локальний максимум або локальний мінімум, то кажуть, що вона має у цій точці локальний екстремум(або просто екстремум).

Теорема (необхідна умова існування екстремуму). Якщо функція, що диференціюється, досягає екстремуму в точці
, то кожна приватна похідна першого порядку від функції у цій точці перетворюється на нуль.

Точки, в яких усі приватні похідні першого порядку перетворюються на нуль, називаються стаціонарними точками функції
. Координати цих точок можна знайти, вирішивши систему з рівнянь

.

Необхідна умова існування екстремуму у разі функції, що диференціюється, коротко можна сформулювати і так:

Трапляються випадки, коли в окремих точках деякі приватні похідні мають нескінченні значення або не існують (у той час як інші дорівнюють нулю). Такі точки називаються критичними точками функції.Ці точки теж потрібно розглядати як «підозрілі» на екстремум, як і стаціонарні.

У разі функції двох змінних необхідна умова екстремуму, а саме рівність нуля приватних похідних (диференціала) у точці екстремуму, має геометричну інтерпретацію: дотична площина до поверхні
у точці екстремуму має бути паралельна площині
.

20. Достатні умови існування екстремуму

Виконання в деякій точці необхідної умови існування екстремуму не гарантує наявності там екстремуму. Як приклад можна взяти функцію, що диференціюється всюди
. Обидві її приватні похідні та сама функція звертаються в нуль у точці
. Однак у будь-якій околиці цієї точки є як позитивні (великі
), і негативні (менші
) значення цієї функції. Отже, у цій точці, за визначенням, екстремуму немає. Тому необхідно знати достатні умови, за яких точка, підозріла екстремум, є точкою екстремуму досліджуваної функції.

Розглянемо випадок функції двох змінних. Припустимо, що функція
визначена, безперервна і має безперервні похідні приватні до другого порядку включно в околиці деякої точки
, яка є стаціонарною точкою функції
, тобто задовольняє умовам

,
.

Введемо позначення:

Теорема (достатні умови існування екстремуму). Нехай функція
задовольняє вищенаведеним умовам, а саме: диференційована в околиці стаціонарної точки
і двічі диференційована у самій точці
. Тоді, якщо

У разі якщо
то функція
у точці
досягає

локального максимумупри
і

локального мінімумупри
.

Загалом, для функції
достатньою умовою існування у точці
локальногомінімуму(максимуму) є позитивна(негативна) Визначеність другого диференціала.

Іншими словами, справедливе таке твердження.

Теорема . Якщо у точці
для функції

для будь-яких не рівних одночасно нулю
, то в цій точці функція має мінімум(аналогічно максимум, якщо
).

приклад 18.Знайти точки локального екстремуму функції

Рішення. Знайдемо приватні похідні функції та прирівнюємо їх до нуля:

Вирішуючи цю систему, знаходимо дві точки можливого екстремуму:

Знайдемо приватні похідні другого порядку для цієї функції:

У першій стаціонарній точці , отже, і
Тому для цієї точки потрібне додаткове дослідження. Значення функції
у цій точці дорівнює нулю:
Далі,

при

а

при

Отже, у будь-якій околиці точки
функція
приймає значення як великі
, так і менші
, і, отже, у точці
функція
, за визначенням, немає локального екстремуму.

У другій стаціонарній точці



отже,Тому, оскільки
то в точці
Функція має локальний максимум.