Рівняння прямої калькулятор, що проходить через дві точки. Загальне рівняння прямої на площині

Визначення.Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку

Ах + Ву + С = 0,

причому постійні А, не рівні нулю одночасно. Це рівняння першого порядку називають загальним рівнянням прямої.Залежно від значень постійних А, В і С можливі такі окремі випадки:

C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – пряма проходить через початок координат

А = 0, В ≠0, С ≠0 (By + C = 0) - пряма паралельна осі Ох

В = 0, А ≠0, С ≠ 0 (Ax + C = 0) – пряма паралельна осі Оу

В = С = 0, А ≠0 – пряма збігається з віссю Оу

А = С = 0, В ≠0 – пряма збігається з віссю Ох

Рівняння прямий може бути представлено у різному вигляді залежно від якихось заданих початкових умов.

Рівняння прямої за точкою та вектором нормалі

Визначення.У декартовій прямокутній системі координат вектор з компонентами (А, В) перпендикулярний до прямої, заданої рівнянням Ах + Ву + С = 0.

приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку А(1, 2) перпендикулярно (3, -1).

Рішення. Складемо при А = 3 і В = -1 рівняння прямої: 3х - у + С = 0. Для знаходження коефіцієнта С підставимо в отриманий вираз координати заданої точки А. Отримуємо: 3 - 2 + C = 0, отже, С = -1 . Разом: шукане рівняння: 3х - у - 1 = 0.

Рівняння пряме, що проходить через дві точки

Нехай у просторі задані дві точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) і M 2 (x 2 , y 2 , z 2), тоді рівняння прямої, що проходить через ці точки:

Якщо якийсь із знаменників дорівнює нулю, слід прирівняти нулю відповідний чисельник.

якщо х 1 ≠ х 2 і х = х 1 якщо х 1 = х 2 .

Дроб = k називається кутовим коефіцієнтомпрямий.

приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точки А(1, 2) та В(3, 4).

Рішення.Застосовуючи записану вище формулу, отримуємо:

Рівняння прямої за точкою та кутовим коефіцієнтом

Якщо загальне Ах + Ву + С = 0 привести до вигляду:

та позначити , то отримане рівняння називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтомk.

Рівняння прямої по точці та напрямному вектору

За аналогією з пунктом, що розглядає рівняння прямої через вектор нормалі, можна ввести завдання прямої через точку і напрямний вектор прямої.

Визначення.Кожен ненульовий вектор (α 1 , α 2), компоненти якого задовольняють умові А α 1 + В α 2 = 0 називається напрямним вектором прямої

Ах + Ву + З = 0.

приклад. Знайти рівняння прямої з напрямним вектором (1, -1) і проходить через точку А(1, 2).

Рішення.Рівняння шуканої прямої будемо шукати у вигляді: Ax + By + C = 0. Відповідно до визначення, коефіцієнти повинні задовольняти умови:

1 * A + (-1) * B = 0, тобто. А = В.

Тоді рівняння прямої має вигляд: Ax + Ay + C = 0, або x + y + C / A = 0. при х = 1, у = 2 отримуємо С/A = -3, тобто. шукане рівняння:

Рівняння прямої у відрізках

Якщо в загальному рівнянні прямий Ах + Ву + С = 0 С 0, то, розділивши на -С, отримаємо: або

Геометричний сенс коефіцієнтів у тому, що коефіцієнт ає координатою точки перетину прямої з віссю Ох, а b- Координацією точки перетину прямої з віссю Оу.

приклад.Задано загальне рівняння прямої х – у + 1 = 0. Знайти рівняння цієї прямої у відрізках.

С = 1, а = -1, b = 1.

Нормальне рівняння прямої

Якщо обидві частини рівняння Ах + Ву + С = 0 помножити на число , Яке називається нормуючим множником, то отримаємо

xcosφ + ysinφ - p = 0 -

нормальне рівняння прямої. Знак ± нормуючого множника треба вибирати так, щоб μ*С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

приклад. Дано загальне рівняння прямої 12х - 5у - 65 = 0. Потрібно написати різні типи рівнянь цієї прямої.

рівняння цієї прямої у відрізках:

рівняння цієї прямої з кутовим коефіцієнтом: (ділимо на 5)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Слід зазначити, що не кожну пряму можна уявити рівнянням у відрізках, наприклад, прямі, паралельні осям або проходять через початок координат.

приклад. Пряма відсікає на координатних осях рівні позитивні відрізки. Скласти рівняння прямої, якщо площа трикутника, утвореного цими відрізками, дорівнює 8 см 2 .

Рішення.Рівняння прямої має вигляд: , ab/2 = 8; ab=16; a = 4, a = -4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

приклад. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку А(-2, -3) та початок координат.

Рішення. Рівняння прямої має вигляд: де х 1 = у 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Кут між прямими на площині

Визначення.Якщо задані дві прямі y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 то гострий кут між цими прямими визначатиметься як

.

Дві прямі паралельні, якщо k1 = k2. Дві прямі перпендикулярні, якщо k1 = -1/k2.

Теорема.Прямі Ах + Ву + С = 0 і А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 паралельні, коли пропорційні коефіцієнти А 1 = λА, 1 = λВ. Якщо ще й С1 = С, то прямі збігаються. Координати точки перетину двох прямих перебувають як розв'язання системи рівнянь цих прямих.

Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно даній прямій

Визначення.Пряма, що проходить через точку М 1 (х 1, у 1) і перпендикулярна до прямої у = kx + b представляється рівнянням:

Відстань від точки до прямої

Теорема.Якщо задана точка М (х 0, у 0), то відстань до прямої Ах + Ву + С = 0 визначається як

.

Доказ.Нехай точка М 1 (х 1, у 1) - основа перпендикуляра, опущеного з точки М на задану пряму. Тоді відстань між точками М та М 1:

(1)

Координати x 1 і 1 можуть бути знайдені як рішення системи рівнянь:

Друге рівняння системи - це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно заданої прямої. Якщо перетворити перше рівняння системи на вигляд:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, вирішуючи, отримаємо:

Підставляючи ці вирази рівняння (1), знаходимо:

Теорему доведено.

приклад. Визначити кут між прямими: y = -3 x + 7; y = 2 x +1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ = π /4.

приклад. Показати, що прямі 3х - 5у + 7 = 0 і 10х + 6у - 3 = 0 перпендикулярні.

Рішення. Знаходимо: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, отже, прямі перпендикулярні.

приклад. Дано вершини трикутника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Знайти рівняння висоти, проведеної з вершини З.

Рішення. Знаходимо рівняння сторони АВ: ; 4 x = 6 y - 6;

2 x - 3 y + 3 = 0;

Шукане рівняння висоти має вигляд: Ax + By + C = 0 або y = kx + b. k =. Тоді y =. Т.к. висота проходить через точку С, її координати задовольняють даному рівнянню: звідки b = 17. Разом: .

Відповідь: 3 x + 2 y - 34 = 0.

Урок із серії «Геометричні алгоритми»

Здрастуйте, дорогий читачу!

Сьогодні ми почнемо вивчати алгоритми, пов'язані із геометрією. Справа в тому, що олімпіадних завдань з інформатики, пов'язаних з обчислювальною геометрією, досить багато і вирішення таких завдань часто спричиняє труднощі.

За кілька уроків ми розглянемо ряд елементарних підзавдань, куди спирається вирішення більшості завдань обчислювальної геометрії.

На цьому уроці ми складемо програму для знаходження рівняння прямої, що проходить через задані дві точки. Для вирішення геометричних завдань нам знадобляться деякі знання з обчислювальної геометрії. Частину уроку ми присвятимо знайомству з ними.

Відомості з обчислювальної геометрії

Обчислювальна геометрія – це розділ інформатики, що вивчає алгоритми розв'язання геометричних завдань.

Вихідними даними для таких завдань можуть бути безліч точок на площині, набір відрізків, багатокутник (заданий, наприклад, списком своїх вершин у порядку руху за годинниковою стрілкою) і т.п.

Результатом може бути або відповідь на якесь питання (типу належить чи точка відрізка, чи перетинаються два відрізки, …), або якийсь геометричний об'єкт (наприклад, найменший опуклий багатокутник, що з'єднує задані точки, площа багатокутника, тощо) .

Ми розглядатимемо завдання обчислювальної геометрії тільки на площині і тільки в декартовій системі координат.

Вектори та координати

Щоб застосовувати методи обчислювальної геометрії, необхідно геометричні образи перекласти мовою чисел. Вважатимемо, що у площині задана декартова система координат, у якій напрямок повороту проти годинникової стрілки називається позитивним.

Тепер геометричні об'єкти набувають аналітичного виразу. Так, щоб задати точку, досить зазначити її координати: пару чисел (x; y). Відрізок можна задати, вказавши координати його кінців, можна задати пряму, вказавши координати пари її точок.

Але основним інструментом у вирішенні завдань у нас будуть вектори. Нагадаю тому деякі відомості про них.

Відрізок АВ, у якого точку Авважають початком (точкою програми), а точку У– кінцем, називають вектором АВі позначають або , або жирною малою літерою, наприклад а .

Для позначення довжини вектора (тобто довжини відповідного відрізка) користуватимемося символом модуля (наприклад, ).

Довільний вектор матиме координати, рівні різниці відповідних координат його кінця та початку:

,

тут крапки Aі B мають координати відповідно.

Для обчислень ми будемо використовувати поняття орієнтованого кута, тобто кута, що враховує взаємне розташування векторів.

Орієнтований кут між векторами a і b позитивний, якщо поворот від вектора a до вектору b відбувається в позитивному напрямку (проти годинникової стрілки) і негативний - в іншому випадку. Див рис.1а, рис.1б. Говорять також, що пара векторів a і b позитивно (негативно) орієнтована.

Таким чином, величина орієнтованого кута залежить від порядку перерахування векторів і може набувати значення в інтервалі .

Багато завдань обчислювальної геометрії використовують поняття векторного (косого чи псевдоскалярного) творів векторів.

Векторним твором векторів a і b називатимемо добуток довжин цих векторів на синус кута між ними:

.

Векторний добуток векторів у координатах:

Вираз праворуч – визначник другого порядку:

На відміну від визначення, яке дається в аналітичній геометрії, це скаляр.

Знак векторного твору визначає положення векторів один щодо одного:

a і b позитивно орієнтована.

Якщо величина, то пара векторів a і b негативно орієнтована.

Векторний добуток ненульових векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні ( ). Це означає, що вони лежать на одній прямій або паралельних прямих.

Розглянемо кілька найпростіших завдань, необхідні під час вирішення складніших.

Визначимо рівняння прямої за координатами двох точок.

Рівняння прямої, що проходить через дві різні точки, задані своїми координатами.

Нехай на прямій задані дві точки, що не збігаються: з координатами (x1; y1) і з координатами (x2; y2). Відповідно вектор з початком у точці та кінцем у точці має координати (x2-x1, y2-y1). Якщо P(x, y) – довільна точка нашої прямої, то координати вектора рівні (x-x1, y – y1).

За допомогою векторного твору умову колінеарності векторів можна записати так:

Тобто. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Останнє рівняння перепишемо так:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Отже, пряму можна встановити рівнянням виду (1).

Завдання 1. Задано координати двох точок. Знайти її уявлення як ax + by + c = 0.

На цьому уроці ми познайомились із деякими відомостями з обчислювальної геометрії. Вирішили завдання щодо знаходження рівняння лінії за координатами двох точок.

На наступному уроці складемо програму знаходження точки перетину двох ліній, заданих своїми рівняннями.

Властивості прямої в евклідовій геометрії.

Через будь-яку точку можна провести безліч прямих.

Через будь-які дві точки, що не збігаються, можна провести єдину пряму.

Дві несхожі прямі на площині або перетинаються в єдиній точці, або є

паралельними (випливає з попереднього).

У тривимірному просторі існують три варіанти взаємного розташування двох прямих:

• прямі перетинаються;

• прямі паралельні;

• прямі схрещуються.

Пряма лінія— крива алгебри першого порядку: в декартовій системі координат пряма лінія

задається на площині рівнянням першого ступеня (лінійне рівняння).

Загальне рівняння прямої.

Визначення. Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку

Ах + Ву + С = 0,

причому постійні А, Вне дорівнюють нулю одночасно. Це рівняння першого порядку називають загальним

рівнянням прямої.Залежно від значень постійних А, Ві Зможливі такі окремі випадки:

. C = 0, А ≠0, В ≠ 0- Пряма проходить через початок координат

. А = 0, В ≠0, С ≠0 ( By + C = 0)- Пряма паралельна осі Ох

. В = 0, А ≠ 0, С ≠ 0 (Ax + C = 0)- Пряма паралельна осі Оу

. В = С = 0, А ≠0- Пряма збігається з віссю Оу

. А = С = 0, В ≠0- Пряма збігається з віссю Ох

Рівняння прямої може бути представлене в різному вигляді залежно від будь-яких заданих

початкових умов.

Рівняння прямої за точкою та вектором нормалі.

Визначення. У декартовій системі прямокутної координат вектор з компонентами (А, В)

перпендикулярний до прямої, заданої рівнянням

Ах + Ву + З = 0.

приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку А(1, 2)перпендикулярно вектору (3, -1).

Рішення. Складемо при А = 3 і В = -1 рівняння прямої: 3х - у + С = 0. Для знаходження коефіцієнта С

підставимо в отриманий вираз координати заданої точки А. Отримуємо: 3 - 2 + C = 0, отже

З = -1. Разом: шукане рівняння: 3х - у - 1 = 0.

Рівняння пряме, що проходить через дві точки.

Нехай у просторі задані дві точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1)і M2 (x 2, y 2 , z 2),тоді рівняння прямої,

проходить через ці точки:

Якщо один із знаменників дорівнює нулю, слід прирівняти нулю відповідний чисельник. на

площині записане вище рівняння прямої спрощується:

якщо х 1 ≠ х 2і х = х 1, якщо х 1 = х 2 .

Дріб = kназивається кутовим коефіцієнтом прямий.

приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точки А(1, 2) та В(3, 4).

Рішення. Застосовуючи записану вище формулу, отримуємо:

Рівняння прямої за точкою та кутовим коефіцієнтом.

Якщо загальне рівняння прямої Ах + Ву + С = 0привести до вигляду:

та позначити , то отримане рівняння називається

рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом k.

Рівняння прямої по точці та напрямному вектору.

За аналогією з пунктом, що розглядає рівняння прямої через вектор нормалі, можна ввести завдання

прямий через точку та напрямний вектор прямий.

Визначення. Кожен ненульовий вектор (α 1 , α 2), компоненти якого задовольняють умові

Аα 1 + Вα 2 = 0називається напрямний вектор прямий.

Ах + Ву + З = 0.

приклад. Знайти рівняння прямої з напрямним вектором (1, -1) і проходить через точку А(1, 2).

Рішення. Рівняння шуканої прямої шукатимемо у вигляді: Ax+By+C=0.Відповідно до визначення,

коефіцієнти повинні задовольняти умови:

1 * A + (-1) * B = 0, тобто. А = Ст.

Тоді рівняння прямої має вигляд: Ax + Ay + C = 0,або x + y + C/A = 0.

при х = 1, у = 2отримуємо С/A = -3, тобто. шукане рівняння:

х + у - 3 = 0

Рівняння прямої у відрізках.

Якщо в загальному рівнянні прямий Ах + Ву + С = 0 С 0, то, розділивши на -С, отримаємо:

або , де

Геометричний зміст коефіцієнтів у тому, що коефіцієнт а є координатою точки перетину

прямий з віссю Ох,а b- координатою точки перетину прямої з віссю Оу.

приклад. Задано загальне рівняння прямої х – у + 1 = 0.Знайти рівняння цієї прямої у відрізках.

С = 1, а = -1, b = 1.

Нормальне рівняння прямої.

Якщо обидві частини рівняння Ах + Ву + С = 0розділити на число , Яке називається

нормуючим множником, то отримаємо

xcosφ + ysinφ - p = 0 -нормальне рівняння прямої.

Знак ± нормуючого множника треба вибирати так, щоб μ * С< 0.

р- Довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму,

а φ - Кут, утворений цим перпендикуляром з позитивним напрямом осі Ох.

приклад. Дано загальне рівняння прямої 12х - 5у - 65 = 0. Потрібно написати різні типи рівнянь

цієї прямої.

Рівняння цієї прямої у відрізках:

Рівняння цієї прямої з кутовим коефіцієнтом: (ділимо на 5)

Рівняння прямої:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Слід зазначити, що не кожну пряму можна уявити рівнянням у відрізках, наприклад, прямі,

паралельні осям або проходять через початок координат.

Кут між прямими на площині.

Визначення. Якщо задані дві прямі y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, то гострий кут між цими прямими

визначатиметься як

Дві прямі паралельні, якщо k 1 = k 2. Дві прямі перпендикулярні,

якщо k 1 = -1/ k 2 .

Теорема.

Прямі Ах + Ву + С = 0і А 1 х + В 1 у + С 1 = 0паралельні, коли пропорційні коефіцієнти

А 1 = λА, 1 = λВ. Якщо ще й З 1 = λС, То прямі збігаються. Координати точки перетину двох прямих

перебувають як розв'язання системи рівнянь цих прямих.

Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно даної прямої.

Визначення. Пряма, що проходить через точку М 1 (х 1, у 1)і перпендикулярна до прямої у = kx + b

є рівнянням:

Відстань від точки до прямої.

Теорема. Якщо задана точка М(х 0 у 0),та відстань до прямої Ах + Ву + С = 0визначається як:

Доказ. Нехай крапка М 1 (х 1, у 1)- основа перпендикуляра, опущеного з точки Мна задану

пряму. Тоді відстань між точками Мі М 1:

(1)

Координати x 1і у 1можуть бути знайдені як розв'язання системи рівнянь:

Друге рівняння системи - це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно

заданої прямої. Якщо перетворити перше рівняння системи на вигляд:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, вирішуючи, отримаємо:

Підставляючи ці вирази рівняння (1), знаходимо:

Теорему доведено.

Ця стаття розкриває отримання рівняння прямої, що проходить через дві задані точки прямокутної системі координат, розташованої на площині. Виведемо рівняння прямої, що проходить через дві задані точки у прямокутній системі координат. Наочно покажемо і вирішимо кілька прикладів щодо пройденого матеріалу.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Перед отриманням рівняння прямої, що проходить через дві задані точки, необхідно звернути увагу на деякі факти. Існує аксіома, яка говорить про те, що через дві точки, що не збігаються, на площині можливо провести пряму і тільки одну. Інакше висловлюючись, дві задані точки площини визначаються прямою лінією, що проходить через ці точки.

Якщо площина задана прямокутною системою координат Оху, то будь-яка зображена в ньому пряма буде відповідати рівнянню прямої на площині. Також є зв'язок з напрямним вектором прямої. Цих даних достатньо для того, щоб зробити складання рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

Розглянемо на прикладі розв'язання такого завдання. Необхідно скласти рівняння прямої a , що проходить через дві точки M 1 (x 1 , y 1) і M 2 (x 2 , y 2) , що знаходяться в декартовій системі координат.

У канонічному рівнянні прямої на площині, що має вигляд x - x 1 a x = y - y 1 a y , визначається прямокутна система координат О х у з прямою, яка перетинається з нею в точці з координатами M 1 (x 1 , y 1) з напрямним вектором a → = (a x , a y).

Необхідно скласти канонічне рівняння прямої a, яка пройде через дві точки з координатами M 1 (x 1, y 1) і M 2 (x 2, y 2).

Пряма а має напрямний вектор M 1 M 2 → з координатами (x 2 - x 1 , y 2 - y 1), оскільки перетинає точки М 1 і М 2 . Ми отримали необхідні дані для того, щоб перетворити канонічне рівняння з координатами напрямного вектора M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1) і координатами точках, що лежать на них, M 1 (x 1 , y 1) і M 2 (x 2, y 2). Отримаємо рівняння виду x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 або x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Розглянемо малюнок, наведений нижче.

Наслідуючи обчислення, запишемо параметричні рівняння прямої на площині, яке проходить через дві точки з координатами M 1 (x 1 , y 1) і M 2 (x 2 , y 2) . Отримаємо рівняння виду x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ або x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ.

Розглянемо докладніше на вирішенні кількох прикладів.

Приклад 1

Записати рівняння прямої, що проходить через 2 задані точки з координатами M 1 - 5 2 3 M 2 1 - 1 6 .

Рішення

Канонічним рівнянням для прямої, що перетинається у двох точках з координатами x 1 , y 1 і x 2 , y 2 набуває вигляду x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . За умовою завдання маємо, що x 1 = - 5 , y 1 = 2 3 x 2 = 1 , y 2 = - 1 6 . Необхідно підставити числові значення рівняння x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Звідси отримаємо, що канонічне рівняння набуде вигляду x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Відповідь: x + 5 6 = y – 2 3 – 5 6 .

При необхідності розв'язання задачі з іншим видом рівняння, то для початку можна перейти до канонічного, тому що з нього простіше дійти будь-якого іншого.

Приклад 2

Скласти загальне рівняння прямої, яка проходить через точки з координатами M 1 (1 , 1) і M 2 (4 , 2) у системі координат О х у.

Рішення

Для початку необхідно записати канонічний рівняння заданої прямої, яка проходить через задані дві точки. Отримаємо рівняння виду x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Наведемо канонічне рівняння до виду, тоді отримаємо:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 · x - 1 = 3 · y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Відповідь: x - 3 y + 2 = 0.

Приклади таких завдань було розглянуто у шкільних підручниках під час уроків алгебри. Шкільні завдання відрізнялися тим, що відомим було рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, що має вигляд y = k x + b. Якщо необхідно знайти значення кутового коефіцієнта k та числа b, при яких рівняння y = k x + b визначає лінію в системі О х у, яка проходить через точки M 1 (x 1 , y 1) та M 2 (x 2 , y 2) де x 1 ≠ x 2 . Коли x1 = x2 , Тоді кутовий коефіцієнт набуває значення нескінченності, а пряма М 1 М 2 визначена загальним неповним рівнянням виду x - x 1 = 0 .

Тому що точки М 1і М 2знаходяться на прямій, тоді їх координати задовольняють рівняння y 1 = k x 1 + b і y 2 = k x 2 + b. Слід вирішити систему рівнянь y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b щодо k і b.

Для цього знайдемо k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 1 або k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 2 .

З такими значеннями k і b рівняння прямої, що проходить через задані дві точки, набуває наступного вигляду y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 1 або y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 2 .

Запам'ятати відразу таку величезну кількість формул не вдасться. Для цього необхідно частішати кількість повторень у розв'язках задач.

Приклад 3

Записати рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, що проходить через точки з координатами M 2 (2 1) і y = k x + b .

Рішення

Для вирішення задачі застосовуємо формулу з кутовим коефіцієнтом, що має вигляд y = k x + b. Коефіцієнти k і b повинні набувати такого значення, щоб дане рівняння відповідало прямий, що проходить через дві точки з координатами M 1 (- 7 , - 5) і M 2 (2 , 1) .

Крапки М 1і М 2розташовуються на прямій, тоді їх координати повинні звертати рівняння y = k x + b правильну рівність. Звідси отримуємо, що - 5 = k · (- 7) + b та 1 = k · 2 + b . Об'єднаємо рівняння в систему - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b і розв'яжемо.

При підстановці отримуємо, що

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 · 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Тепер значення k = 2 3 і b = - 1 3 піддаються підстановці рівняння y = k x + b. Отримуємо, що шуканим рівнянням, що проходить через задані точки, буде рівняння, що має вигляд y = 23x - 13.

Такий спосіб вирішення визначає витрати великої кількості часу. Існує спосіб, у якому завдання вирішується буквально на дві дії.

Запишемо канонічне рівняння прямої, що проходить через M 2 (2 , 1) і M 1 (- 7 , - 5) , що має вигляд x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Тепер переходимо до рівняння у кутовому коефіцієнті. Отримуємо, що: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Відповідь: y = 2 3 x - 1 3 .

Якщо в тривимірному просторі є прямокутна система координат О х у z з двома заданими незбігаючими точками з координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) і M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , що проходить через них пряма M 1 M 2 необхідно отримати рівняння цієї прямої.

Маємо, що канонічні рівняння виду x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z та параметричні види x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ здатні задати лінію в системі координат О х у z , що проходить через точки, що мають координати (x 1 , y 1 , z 1) з напрямним вектором a → = (a x , a y , a z) .

Пряма M 1 M 2 має напрямний вектор виду M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , де пряма проходить через точку M 1 (x 1 , y 1 , z 1) та M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , звідси канонічне рівняння може бути виду x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 або x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1 , у свою чергу параметричні x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ z = z 1 + (z 2 - z 1) · λ або x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Розглянемо малюнок, на якому зображені 2 задані точки у просторі та рівняння прямої.

Приклад 4

Написати рівняння прямої, визначеної у прямокутній системі координат О х у z тривимірного простору, що проходить через задані дві точки з координатами M 1 (2 , - 3 , 0) та M 2 (1 , - 3 , - 5) .

Рішення

Потрібно знайти канонічне рівняння. Оскільки йдеться про тривимірний простір, значить при проходженні прямої через задані точки, шукане канонічне рівняння набуде вигляду x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

За умовою маємо, що x1 = 2, y1 = -3, z1 = 0, x2 = 1, y2 = -3, z2 = -5. Звідси випливає, що необхідні рівняння запишуться таким чином:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Відповідь: x – 2 – 1 = y + 3 0 = z – 5 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Рівняння прямої на площині.
Напрямний вектор прямий. Вектор нормалі

Пряма лінія на площині - це одна з найпростіших геометричних фігур, знайома вам ще з молодших класів, і сьогодні ми дізнаємося, як з нею справлятися методами аналітичної геометрії. Для освоєння матеріалу необхідно вміти будувати пряму; знати, яким рівнянням задається пряма, зокрема пряма, яка проходить через початок координат і прямі, паралельні координатним осям. Цю інформацію можна знайти у методичці Графіки та властивості елементарних функцій, Я її створював для матана, але розділ про лінійну функцію вийшов дуже вдалим і докладним. Тому, шановні чайники, спершу розігрійтеся там. Крім того, потрібно мати базові знання про векторах, інакше розуміння матеріалу буде неповним.

На цьому уроці ми розглянемо способи, за допомогою яких можна скласти рівняння прямої на площині. Рекомендую не нехтувати практичними прикладами (навіть якщо здається дуже просто), так як я буду постачати їх елементарними і важливими фактами, технічними прийомами, які будуть потрібні надалі, в тому числі і в інших розділах вищої математики.

• Як скласти рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом?
• Як?
• Як знайти напрямний вектор за загальним рівнянням прямої?
• Як скласти рівняння прямої за точкою та вектором нормалі?

і ми починаємо:

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Всім відомий «шкільний» вид рівняння прямої називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом. Наприклад, якщо пряма задана рівнянням , її кутовий коефіцієнт: . Розглянемо геометричний зміст даного коефіцієнта і те, як його значення впливає на розташування прямої:

У курсі геометрії доводиться, що кутовий коефіцієнт прямий дорівнює тангенсу кутаміж позитивним напрямом осіта даної прямої: , причому кут відкручується проти годинникової стрілки.

Щоб не захаращувати креслення, я намалював кути лише для двох прямих. Розглянемо «червону» пряму та її кутовий коефіцієнт. Згідно з вищесказаним: (кут «альфа» позначений зеленою дугою). Для "синьої" прямої з кутовим коефіцієнтом справедлива рівність (кут "бета" позначений коричневою дугою). А якщо відомий тангенс кута, то за необхідності легко знайти і сам кутза допомогою зворотної функції – Арктангенс. Як кажуть, тригонометрична таблиця або мікрокалькулятор до рук. Таким чином, кутовий коефіцієнт характеризує ступінь нахилу прямої до осі абсцис.

При цьому можливі такі випадки:

1) Якщо кутовий коефіцієнт негативний: то лінія, грубо кажучи, йде зверху вниз. Приклади – «синя» та «малинова» прямі на кресленні.

2) Якщо кутовий коефіцієнт позитивний: то лінія йде знизу вгору. Приклади - "чорна" і "червона" прямі на кресленні.

3) Якщо кутовий коефіцієнт дорівнює нулю: , то рівняння набуває вигляду , і відповідна пряма паралельна осі . Приклад - "жовта" пряма.

4) Для сімейства прямих, паралельних осі (на кресленні немає прикладу, крім самої осі), кутового коефіцієнта не існує (тангенс 90 градусів не визначено).

Чим більший кутовий коефіцієнт по модулю, тим крутіше йде графік прямий.

Наприклад, розглянемо дві прямі . Тут , тому пряма має більш крутий нахил. Нагадую, що модуль дозволяє не враховувати знак, нас цікавлять лише абсолютні значеннякутових коефіцієнтів

У свою чергу, пряма більш крута, ніж прямі .

Назад: що менше кутовий коефіцієнт по модулю, то пряміша є більш пологою.

Для прямих справедлива нерівність, таким чином, пряма більш полога. Дитяча гірка, щоб не насадити собі синців та шишок.

Для чого це потрібно?

Продовжити ваші муки Знання перелічених вище фактів дозволяє негайно побачити свої помилки, зокрема, помилки при побудові графіків – якщо на кресленні вийшло «явно щось не те». Бажано, щоб вам відразубуло зрозуміло, що, наприклад, пряма дуже крута і йде знизу вгору, а пряма дуже полога, близько притиснута до осі і йде зверху вниз.

У геометричних завданнях часто фігурують кілька прямих, тому їх зручно якось позначати.

Позначення: Прямі позначаються маленькими латинськими літерами: . Популярний варіант - позначення однією і тією ж літерою з натуральними підрядковими індексами. Наприклад, ті п'ять прямих, які ми щойно розглянули, можна позначити через .

Оскільки будь-яка пряма однозначно визначається двома точками, її можна позначати даними точками: і т.д. Позначення цілком очевидно має на увазі, що точки належать прямий .

Час трохи розім'ятися:

Як скласти рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом?

Якщо відома точка , що належить деякої прямої, і кутовий коефіцієнт цієї прямої, то рівняння цієї прямої виражається формулою :

Приклад 1

Скласти рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом , якщо відомо, що точка належить даної прямої.

Рішення: Рівняння прямої складемо за формулою . В даному випадку:

Відповідь:

Перевіркавиконується просто. По-перше, дивимося на отримане рівняння і переконуємось, що наш кутовий коефіцієнт на своєму місці. По-друге, координати точки повинні задовольняти даному рівнянню. Підставимо їх у рівняння:

Отримано правильну рівність, отже, точка задовольняє отримане рівняння.

Висновок: рівняння знайдено правильно

Хитріший приклад для самостійного вирішення:

Приклад 2

Скласти рівняння прямий, якщо відомо, що її кут нахилу до позитивного напрямку осі становить , і точка належить цій прямій.

Якщо виникли труднощі, перечитайте теоретичний матеріал. Точніше практичніший, багато доказів я пропускаю.

Продзвенів останній дзвінок, відгримів випускний бал, і за воротами рідної школи нас чекає, власне, аналітична геометрія. Жарти закінчилися. А може тільки починаються =)

Ностальгічно махаємо звичною ручкою і знайомимося із загальним рівнянням прямою. Оскільки в аналітичній геометрії в ході саме воно:

Загальне рівняння прямої має вигляд: , де - Деякі числа. При цьому коефіцієнти одночасноне рівні нулю, оскільки рівняння втрачає сенс.

Одягнемо в костюм і краватку рівняння з кутовим коефіцієнтом. Спочатку перенесемо всі складові в ліву частину:

Доданок з «ікс» потрібно поставити на перше місце:

У принципі, рівняння вже має вигляд , але за правилами математичного етикету коефіцієнт першого доданка (в даному випадку ) має бути позитивним. Змінюємо знаки:

Запам'ятайте цю технічну особливість!Перший коефіцієнт (найчастіше) робимо позитивним!

В аналітичній геометрії рівняння прямої майже завжди буде задано у загальній формі. Ну, а при необхідності його легко привести до «шкільного» вигляду з кутовим коефіцієнтом (за винятком прямих, паралельних до осі ординат).

Задамося питанням, що достатньознати, щоб збудувати пряму? Дві точки. Але про цей дитячий випадок пізніше зараз панують палички зі стрілочками. Кожна пряма має цілком певний нахил, до якого легко «пристосувати» вектор.

Вектор, який паралельний прямої, називається напрямним вектором даної прямої. Очевидно, що у будь-якої прямої нескінченно багато напрямних векторів, причому всі вони будуть колінеарні (соннаправлені чи ні – не важливо).

Напрямний вектор я позначатиму так: .

Але одного вектора недостатньо для побудови прямої, вектор є вільним і не прив'язаний до будь-якої точки площини. Тому додатково необхідно знати деяку точку, яка належить прямою.

Як скласти рівняння прямої по точці та напрямному вектору?

Якщо відома деяка точка , що належить прямий, і напрямний вектор цієї прямий, рівняння даної прямої можна скласти за формулою :

Іноді його називають канонічним рівнянням прямої .

Що робити, коли одна з координатдорівнює нулю, ми розберемося на практичних прикладах нижче. До речі, зауважте – відразу обидвікоординати що неспроможні дорівнювати нулю, оскільки нульовий вектор не задає конкретного напрями.

Приклад 3

Скласти рівняння прямої по точці та напрямному вектору

Рішення: Рівняння прямої складемо за формулою. В даному випадку:

За допомогою властивостей пропорції позбавляємося дробів:

І наводимо рівняння до загального вигляду:

Відповідь:

Креслення в таких прикладах, як правило, робити не потрібно, але заради розуміння:

На кресленні бачимо вихідну точку , вихідний напрямний вектор (його можна відкласти будь-якої точки площині) і побудовану пряму . До речі, у багатьох випадках побудову прямий найзручніше здійснювати саме за допомогою рівняння з кутовим коефіцієнтом. Наше рівняння легко перетворити на вигляд і без проблем підібрати ще одну точку для побудови прямої.

Як зазначалося на початку параграфа, у прямої нескінченно багато напрямних векторів, і всі вони колінеарні. Для прикладу я намалював три такі вектори: . Який би напрямний вектор ми не вибрали, в результаті завжди вийде одне й те саме рівняння прямої.

Складемо рівняння прямої по точці і напрямному вектору:

Розрулюємо пропорцію:

Ділимо обидві частини на -2 і отримуємо знайоме рівняння:

Бажаючі можуть аналогічним чином протестувати вектори або будь-який інший вектор колінеарний.

Тепер вирішимо зворотне завдання:

Як знайти напрямний вектор за загальним рівнянням прямої?

Дуже просто:

Якщо пряма задана загальним рівнянням прямокутної системі координат, то вектор є напрямним вектором даної прямої.

Приклади знаходження напрямних векторів прямих:

Твердження дозволяє знайти лише один напрямний вектор із незліченної множини, але нам більше і не потрібно. Хоча в ряді випадків координати напрямних векторів доцільно скоротити:

Так, рівняння задає пряму, яка паралельна осі та координати отриманого напрямного вектора зручно розділити на –2, отримуючи в точності базисний вектор як напрямний вектор. Логічно.

Аналогічно, рівняння задає пряму, паралельну осі і, розділивши координати вектора на 5, отримуємо в якості напрямного вектора орт .

Тепер виконаємо перевірку Прикладу 3. Приклад поїхав вгору, тому нагадую, що в ньому ми склали рівняння прямої по точці та напрямному вектору

По-перше, за рівнянням прямої відновлюємо її напрямний вектор: - все нормально, отримали вихідний вектор (у ряді випадків може вийти колінеарний вихідний вектор, і це зазвичай нескладно помітити за пропорційністю відповідних координат).

По-другекоординати точки повинні задовольняти рівняння. Підставляємо їх у рівняння:

Отримано правильну рівність, чому ми дуже раді.

Висновок: завдання виконане правильно.

Приклад 4

Скласти рівняння прямої по точці та напрямному вектору

Це приклад самостійного рішення. Рішення та відповідь наприкінці уроку. Вкрай бажано зробити перевірку за розглянутим алгоритмом. Намагайтеся завжди (якщо це можливо) виконувати перевірку на чернетці. Безглуздо допускати помилки там, де їх 100% можна уникнути.

У тому випадку, якщо одна з координат напрямного вектора нульова, надходять дуже просто:

Приклад 5

Рішення: Формула не годиться, тому що знаменник правої частини дорівнює нулю Вихід є! Використовуючи властивості пропорції, перепишемо формулу у вигляді і подальше покотилося по глибокій колії:

Відповідь:

Перевірка:

1) Відновимо напрямний вектор прямий:
– отриманий вектор колінеарен вихідному напрямному вектору.

2) Підставимо координати точки в рівняння:

Отримано правильну рівність

Висновок: завдання виконане правильно

Виникає питання, навіщо маятися з формулою, якщо існує універсальна версія, яка спрацює у будь-якому випадку? Причин дві. По-перше, формула у вигляді дробу набагато краще запам'ятовується. А по-друге, недолік універсальної формули полягає в тому, що помітно підвищується ризик заплутатисяпри підстановці координат.

Приклад 6

Скласти рівняння прямої по точці та напрямному вектору.

Це приклад самостійного рішення.

Повернімося до всюдисущих двох точок:

Як скласти рівняння прямої по двох точках?

Якщо відомі дві точки , то рівняння прямої, що проходить через ці точки, можна скласти за формулою:

Насправді це різновид формули і чому: якщо відомі дві точки , то вектор буде напрямним вектором даної прямої. На уроці Вектори для чайниківми розглядали найпростіше завдання – як знайти координати вектора по двох точках. Згідно з цим завданням, координати напрямного вектора:

Примітка : точки можна «поміняти ролями» та використовувати формулу . Таке рішення буде рівноцінним.

Приклад 7

Скласти рівняння прямої по двох точках .

Рішення: Використовуємо формулу:

Зачісуємо знаменники:

І перетасовуємо колоду:

Саме зараз зручно позбутися дробових чисел. В даному випадку потрібно помножити обидві частини на 6:

Розкриваємо дужки і доводимо рівняння до пуття:

Відповідь:

Перевіркаочевидна – координати вихідних точок повинні задовольняти отримане рівняння:

1) Підставимо координати точки:

Вірна рівність.

2) Підставимо координати точки:

Вірна рівність.

Висновок: рівняння прямої складено правильно.

Якщо хоча б одназ точок не задовольняє рівняння, шукайте помилку.

Варто зазначити, що графічна перевірка в даному випадку є скрутною, оскільки побудувати пряму і подивитися, чи належать їй точки. , не так просто.

Зазначу ще кілька технічних моментів рішення. Можливо, у цій задачі вигідніше скористатися дзеркальною формулою і, за тими ж точками скласти рівняння:

Такі менших дробів. Якщо хочете, можете довести рішення до кінця, в результаті має вийти те саме рівняння.

Другий момент полягає в тому, щоб подивитися на підсумкову відповідь і прикинути, чи не можна її спростити? Наприклад, якщо вийшло рівняння, то тут доцільно скоротити на двійку: – рівняння задаватиме ту саму пряму. Втім, це вже тема розмови про взаємне розташування прямих.

Отримавши відповідь у Прикладі 7, я про всяк випадок, перевірив, чи не діляться ВСІ коефіцієнти рівняння на 2, 3 або 7. Хоча, найчастіше подібні скорочення здійснюються ще в процесі рішення.

Приклад 8

Скласти рівняння прямої, що проходить через точки .

Це приклад для самостійного рішення, який якраз дозволить краще зрозуміти та відпрацювати техніку обчислень.

Аналогічно попередньому параграфу: якщо у формулі один із знаменників (координата напрямного вектора) звертається в нуль, то переписуємо її у вигляді . І знову зауважте, як незграбно і заплутано вона стала виглядати. Не бачу особливого сенсу наводити практичні приклади, оскільки таке завдання ми фактично вже вирішували (див. № 5, 6).

Вектор нормалі прямий (нормальний вектор)

Що таке нормаль? Простими словами, нормаль – це перпендикуляр. Тобто вектор нормалі прямий перпендикулярний даній прямий. Очевидно, що в будь-якій прямій їх нескінченно багато (так само, як і напрямних векторів), причому всі вектори нормалі прямої будуть колінеарними (сонаправлені чи ні – без різниці).

Розбирання з ними буде навіть простіше, ніж з напрямними векторами:

Якщо пряма задана загальним рівнянням прямокутної системі координат, то вектор є вектором нормалі даної прямої.

Якщо координати напрямного вектора доводиться акуратно «витягувати» з рівняння, координати вектора нормалі досить просто «зняти».

Вектор нормалі завжди ортогональний напрямному вектору прямий. Переконаємося у ортогональності даних векторів за допомогою скалярного твору:

Наведу приклади з тими ж рівняннями, що й для напрямного вектора:

Чи можна скласти рівняння прямої, знаючи одну точку та вектор нормалі? Внутрішньою відчувається, можна. Якщо відомий вектор нормалі, то однозначно визначено напрям самої прямої – це «жорстка конструкція» з кутом в 90 градусів.

Як скласти рівняння прямої за точкою та вектором нормалі?

Якщо відома деяка точка , що належить прямої, і вектор нормалі цієї прямої, то рівняння цієї прямої виражається формулою :

Тут все обійшлося без дробів та інших несподіванок. Такий у нас нормальний вектор. Любіть його. І поважайте =)

Приклад 9

Скласти рівняння прямої за точкою та вектором нормалі. Знайти напрямний вектор прямий.

Рішення: Використовуємо формулу:

Загальне рівняння прямої отримано, виконаємо перевірку:

1) «Знімаємо» координати вектора нормалі з рівняння: - Так, дійсно, отриманий вихідний вектор з умови (або повинен вийти колінеарний вихідний вектор).

2) Перевіримо, чи задовольняє точка рівняння :

Вірна рівність.

Після того, як ми переконалися, що рівняння складено правильно, виконаємо другу, легшу частину завдання. Витягуємо напрямний вектор прямий:

Відповідь:

На кресленні ситуація виглядає так:

З метою тренування аналогічне завдання для самостійного вирішення:

Приклад 10

Скласти рівняння прямої по точці та нормальному вектору. Знайти напрямний вектор прямий.

Заключний розділ уроку буде присвячений менш поширеним, але також важливим видам рівнянь прямої на площині

Рівняння прямої у відрізках.
Рівняння прямої у параметричній формі

Рівняння прямої у відрізках має вигляд , де – ненульові константи. Деякі типи рівнянь не можна уявити в такому вигляді, наприклад, пряму пропорційність (оскільки вільний член дорівнює нулю і одиницю в правій частині ніяк не отримати).

Це, образно кажучи, "технічний" тип рівняння. Повсякденне завдання полягає в тому, щоб загальне рівняння прямої подати у вигляді рівняння прямої у відрізках . Чим воно зручне? Рівняння прямої у відрізках дозволяє швидко знайти точки перетину прямої з координатними осями, що дуже важливим у деяких завданнях вищої математики.

Знайдемо точку перетину прямої з віссю. Обнуляємо «ігрок», і рівняння набуває вигляду. Потрібна точка виходить автоматично: .

Аналогічно з віссю - Точка, в якій пряма перетинає вісь ординат.