Метод гауса зворотний перебіг. Метод Гауса (послідовного виключення невідомих)

Вирішення систем лінійних рівнянь методом Гаусса.Нехай нам потрібно знайти рішення системи з nлінійних рівнянь з nневідомими змінними
визначник основної матриці якої відмінний від нуля.

Суть методу Гаусаполягає у послідовному виключенні невідомих змінних: спочатку виключається x 1з усіх рівнянь системи, починаючи з другого, далі виключається x 2з усіх рівнянь, починаючи з третього, і так далі, поки в останньому рівнянні залишиться лише невідома змінна x n. Такий процес перетворення рівнянь системи для послідовного виключення невідомих змінних називається прямим ходом методу Гауса. Після завершення прямого ходу методу Гауса з останнього рівняння перебуває x n, за допомогою цього значення з передостаннього рівняння обчислюється x n-1, і так далі, з першого рівняння знаходиться x 1. Процес обчислення невідомих змінних під час руху від останнього рівняння системи до першого називається зворотним ходом методу Гауса.

Коротко опишемо алгоритм виключення невідомих змінних.

Вважатимемо, що , оскільки ми можемо цього домогтися перестановкою місцями рівнянь системи. Виключимо невідому змінну x 1із усіх рівнянь системи, починаючи з другого. Для цього до другого рівняння системи додамо перше, помножене на , до третього рівняння додамо перше, помножене на , і так далі, до n-омурівняння додамо перше, помножене на . Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду

де , а .

До такого ж результату ми дійшли б, якби висловили x 1через інші невідомі змінні у першому рівнянні системи та отриманий вираз підставили у всі інші рівняння. Таким чином, змінна x 1виключена зі всіх рівнянь, починаючи з другого.

Далі діємо аналогічно, але лише з частиною отриманої системи, яка зазначена на малюнку

Для цього до третього рівняння системи додамо друге, помножене на , до четвертого рівняння додамо друге, помножене на , і так далі, до n-омурівняння додамо друге, помножене на . Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду

де , а . Таким чином, змінна x 2виключена зі всіх рівнянь, починаючи з третього.

Далі приступаємо до виключення невідомої x 3, при цьому діємо аналогічно із зазначеною на малюнку частиною системи

Так продовжуємо прямий хід методу Гаусса доки система не набуде вигляду

З цього моменту починаємо зворотний хід методу Гауса: обчислюємо x nз останнього рівняння як , за допомогою отриманого значення x nзнаходимо x n-1з передостаннього рівняння, і так далі знаходимо x 1з першого рівняння.

приклад.

Розв'яжіть систему лінійних рівнянь методом Гауса.

Ще з початку XVI-XVIII століть математики посилено почали вивчати функції, завдяки яким так багато в нашому житті змінилося. Комп'ютерна техніка без цих знань просто не існувала. Для вирішення складних завдань, лінійних рівнянь та функцій були створені різні концепції, теореми та методики розв'язання. Одним з таких універсальних та раціональних способів та методик розв'язання лінійних рівнянь та їх систем став і метод Гаусса. Матриці, їхній ранг, детермінант - все можна порахувати, не використовуючи складних операцій.

Що являє собою СЛАУ

У математиці існує поняття СЛАУ - система лінійних рівнянь алгебри. Що ж вона є? Це набір m рівнянь з шуканими n невідомими величинами, які зазвичай позначаються як x, y, z, або x 1 , x 2 … x n, або іншими символами. Вирішити методом Гауса цю систему - означає знайти всі шукані невідомі. Якщо система має однакову кількість невідомих і рівнянь, вона називається системою n-го порядку.

Найбільш популярні методи вирішення СЛАУ

У навчальних закладах середньої освіти вивчають різноманітні методики вирішення таких систем. Найчастіше це прості рівняння, що складаються із двох невідомих, тому будь-який існуючий метод для пошуку відповіді на них не забере багато часу. Це може бути як метод підстановки, коли з одного рівняння виводиться інше та підставляється у початкове. Або метод почленного віднімання та додавання. Але найлегшим та універсальним вважається метод Гауса. Він дозволяє вирішувати рівняння з будь-якою кількістю невідомих. Чому саме ця методика вважається раціональною? Все просто. Матричний спосіб хороший тим, що тут не потрібно кілька разів переписувати непотрібні символи у вигляді невідомих, достатньо зробити арифметичні операції над коефіцієнтами - і вийде достовірний результат.

Де використовуються СЛАУ на практиці

Рішенням СЛАУ є точки перетину прямих графіків функцій. У наш високотехнологічний комп'ютерний вік людям, які тісно пов'язані з розробкою ігор та інших програм, необхідно знати, як вирішувати такі системи, що вони представляють і як перевірити правильність результату. Найчастіше програмісти розробляють спеціальні програми-обчислювачі лінійної алгебри, сюди входить і система лінійних рівнянь. Метод Гауса дозволяє вирахувати всі існуючі рішення. Також використовуються й інші спрощені формули та методики.

Критерій сумісності СЛАУ

Таку систему можна вирішити лише у тому випадку, якщо вона сумісна. Для зрозумілості представимо СЛАУ як Ax=b. Вона має рішення, якщо rang(A) дорівнює rang(A,b). І тут (A,b) - це матриця розширеного виду, яку можна одержати з матриці А, переписавши її з вільними членами. Виходить, що розв'язати лінійні рівняння методом Гауса досить легко.

Можливо, деякі позначення не зовсім зрозумілі, тому треба розглянути все на прикладі. Допустимо, є система: x + y = 1; 2x-3y = 6. Вона складається з двох рівнянь, у яких 2 невідомі. Система матиме рішення тільки в тому випадку, якщо ранг її матриці дорівнюватиме рангу розширеної матриці. Що таке ранг? Це число незалежних рядків системи. У нашому випадку ранг матриці 2. Матриця А складатиметься з коефіцієнтів, що знаходяться біля невідомих, а в розширену матрицю вписуються і коефіцієнти, що перебувають за знаком «=».

Чому СЛАУ можна уявити в матричному вигляді

Виходячи з критерію сумісності по доведеній теоремі Кронекера-Капеллі, систему лінійних рівнянь алгебри можна представити в матричному вигляді. Застосовуючи каскадний метод Гауса, можна вирішити матрицю та отримати єдину достовірну відповідь на всю систему. Якщо ранг звичайної матриці дорівнює рангу її розширеної матриці, але при цьому менше від кількості невідомих, тоді система має нескінченну кількість відповідей.

Перетворення матриць

Перш ніж переходити до рішення матриць, необхідно знати, які дії можна проводити над їх елементами. Існує кілька елементарних перетворень:

• Переписуючи систему в матричний вигляд і здійснюючи її рішення, можна множити всі елементи ряду на той самий коефіцієнт.
• Для того щоб перетворити матрицю на канонічний вигляд, можна міняти місцями два паралельні ряди. Канонічний вигляд має на увазі, що всі елементи матриці, які розташовані по головній діагоналі, стають одиницями, а решта - нулями.
• Відповідні елементи паралельних рядів матриці можна додавати один до одного.

Метод Жордана-Гаусса

Суть розв'язання систем лінійних однорідних і неоднорідних рівнянь методом Гауса у тому, щоб поступово виключити невідомі. Припустимо, у нас є система із двох рівнянь, у яких дві невідомі. Щоб їх знайти, необхідно перевірити систему на сумісність. Рівняння методом Гауса вирішується дуже просто. Необхідно виписати коефіцієнти, що знаходяться біля кожного невідомого у матричний вигляд. Для вирішення системи потрібно виписати розширену матрицю. Якщо одне з рівнянь містить меншу кількість невідомих, тоді місце пропущеного елемента необхідно поставити «0». До матриці застосовуються всі відомі методи перетворення: множення, розподіл на число, додавання відповідних елементів рядів один до одного та інші. Виходить, що у кожному ряду потрібно залишити одну змінну зі значенням «1», інші призвести до нульового вигляду. Для більш точного розуміння слід розглянути метод Гаусса на прикладах.

Простий приклад вирішення системи 2х2

Для початку візьмемо просту систему алгебраїчних рівнянь, в якій буде 2 невідомих.

Перепишемо її у розширену матрицю.

Щоб вирішити цю систему лінійних рівнянь, потрібно зробити лише дві операції. Нам необхідно привести матрицю до канонічного вигляду, щоби по головній діагоналі стояли одиниці. Так, переводячи з матричного виду назад у систему, ми отримаємо рівняння: 1x+0y=b1 і 0x+1y=b2, де b1 і b2 - відповіді, що вийшли в процесі рішення.

1. Перша дія при вирішенні розширеної матриці буде такою: перший ряд необхідно помножити на -7 і додати відповідно відповідні елементи до другого рядка, щоб позбавитися одного невідомого в другому рівнянні.
2. Оскільки рішення рівнянь методом Гауса передбачає приведення матриці до канонічного виду, тоді необхідно і з першим рівнянням зробити ті ж операції і прибрати другу змінну. Для цього другий рядок віднімаємо від першого та отримуємо необхідну відповідь – рішення СЛАУ. Або, як показано на малюнку, другий рядок множимо на коефіцієнт -1 і додаємо до першого рядка елементи другого ряду. Це одне і теж.

Як бачимо, нашу систему вирішено методом Жордана-Гаусса. Переписуємо її у необхідну форму: x=-5, y=7.

Приклад рішення СЛАУ 3х3

Припустимо, що у нас є складніша система лінійних рівнянь. Метод Гауса дає можливість вирахувати відповідь навіть для самої, здавалося б, заплутаної системи. Тому, щоб глибше вникнути в методику розрахунку, можна переходити до складнішого прикладу з трьома невідомими.

Як і в колишньому прикладі, переписуємо систему у вигляді розширеної матриці і починаємо приводити її до канонічного вигляду.

Для вирішення цієї системи знадобиться зробити набагато більше дій, ніж у попередньому прикладі.

1. Спочатку потрібно створити в першому стовпці один одиничний елемент та інші нулі. Для цього множимо перше рівняння на -1 і додаємо до нього друге рівняння. Важливо запам'ятати, що перший рядок ми переписуємо у первісному вигляді, а другий - вже зміненому.
2. Далі прибираємо цю саму першу невідому з третього рівняння. Для цього елементи першого рядка множимо на -2 і додаємо їх до третього ряду. Тепер перший і другий рядки переписуються у первісному вигляді, а третій - вже із змінами. Як бачимо за результатом, ми отримали першу одиницю на початку головної діагоналі матриці та інші нулі. Ще кілька дій і система рівнянь методом Гауса буде достовірно вирішена.
3. Тепер необхідно виконати операції над іншими елементами рядів. Третя і четверта дія можна об'єднати в одну. Потрібно розділити другий і третій рядок на -1, щоб позбавитися від мінусових одиниць по діагоналі. Третій рядок ми вже привели до необхідного вигляду.
4. Далі наведемо до канонічного вигляду другий рядок. Для цього елементи третього ряду множимо на -3 і додаємо їх до другого рядка матриці. З результату видно, що другий рядок теж наведено до необхідної форми. Залишилося зробити ще кілька операцій та прибрати коефіцієнти невідомих із першого рядка.
5. Щоб з другого елемента рядка зробити 0, необхідно помножити третій рядок -3 і додати його до першого ряду.
6. Наступним вирішальним етапом буде додавання до першого рядка необхідні елементи другого ряду. Так ми отримуємо канонічний вид матриці, а відповідно і відповідь.

Як видно, розв'язання рівнянь методом Гауса досить просте.

Приклад розв'язання системи рівнянь 4х4

Деякі складніші системи рівнянь можна вирішити методом Гаусса за допомогою комп'ютерних програм. Необхідно вбити в існуючі порожні комірки коефіцієнти за невідомих, і програма сама покроково розрахує необхідний результат, докладно описуючи кожну дію.

Нижче описано покрокову інструкцію рішення такого прикладу.

У першій дії в порожні комірки вписуються вільні коефіцієнти та числа при невідомих. Таким чином, виходить така сама розширена матриця, яку ми пишемо вручну.

І виконуються всі необхідні арифметичні операції, щоб привести розширену матрицю до канонічного вигляду. Необхідно розуміти, що не завжди відповідь на систему рівнянь – це цілі числа. Іноді рішення може бути із дробових чисел.

Перевірка правильності рішення

Метод Жордана-Гаусса передбачає перевірку правильності результату. Для того щоб дізнатися, чи правильно пораховані коефіцієнти, необхідно всього лише підставити результат у початкову систему рівнянь. Ліва сторона рівняння повинна відповідати правій стороні, яка перебуває за знаком "рівно". Якщо відповіді не збігаються, тоді необхідно перераховувати заново систему або спробувати застосувати до неї інший відомий вам метод рішення СЛАУ, такий як підстановка або почленное віднімання та додавання. Адже математика – це наука, яка має величезну кількість різних методик розв'язання. Але пам'ятайте: результат повинен бути завжди той самий, незалежно від того, який метод рішення ви використовували.

Метод Гауса: найпоширеніші помилки при вирішенні СЛАУ

Під час розв'язання лінійних систем рівнянь найчастіше виникають такі помилки, як неправильне перенесення коефіцієнтів у матричний вигляд. Бувають системи, в яких відсутні в одному з рівнянь деякі невідомі, тоді переносячи дані в розширену матрицю, їх можна втратити. У результаті під час вирішення цієї системи результат може відповідати дійсному.

Ще однією з головних помилок може бути неправильне виписування кінцевого результату. Потрібно чітко розуміти, що перший коефіцієнт відповідатиме першому невідомому із системи, другий - другому і так далі.

Метод Гаусса докладно визначає рішення лінійних рівнянь. Завдяки йому легко зробити необхідні операції та знайти правильний результат. Крім того, це універсальний засіб для пошуку достовірної відповіді на рівняння будь-якої складності. Можливо, тому його часто використовують при вирішенні СЛАУ.

Визначення та опис методу Гауса

Метод перетворень Гаусса (також відомий як перетворення методом послідовного виключення невідомих змінних із рівняння або матриці) для вирішення систем лінійних рівнянь є класичний методом розв'язання системи рівнянь алгебри (СЛАУ). Також цей класичний метод використовують для вирішення таких завдань як отримання матриць зворотних і визначення ранговості матриці.

Перетворення за допомогою методу Гауса полягає у скоєнні невеликих (елементарних) послідовних змін системи лінійних рівнянь алгебри, що призводять до виключення змінних з неї зверху вниз з утворенням нової трикутної системи рівнянь, що є рівносильною вихідної.

Визначення 1

Ця частина рішення зветься прямого ходу рішення Гауса, оскільки весь процес здійснюється зверху вниз.

Після приведення вихідної системи рівнянь до трикутної здійснюється знаходження всіх змінних системи знизу вгору (тобто перші знайдені змінні займають саме на останніх рядках системи або матриці). Ця частина рішення відома також як зворотний перебіг рішення методом Гаусса. Полягає його алгоритм у наступному: спочатку обчислюється змінні, що знаходяться ближче до низу системи рівнянь або матриці, потім отримані значення підставляються вище і таким чином знаходиться ще одна змінна і так далі.

Опис алгоритму методу Гауса

Послідовність дій для загального розв'язання системи рівняння методом Гаусса полягає у почерговому застосуванні прямого та зворотного ходу до матриці на основі СЛАУ. Нехай вихідна система рівнянь має такий вигляд:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(cases)$

Щоб вирішити СЛАУ методом Гауса, необхідно записати вихідну систему рівнянь як матриці:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \dots \\ b_m \end(pmatrix)$

Матриця $A$ називається основною матрицею і є записані по порядку коефіцієнти при змінних, а $b$ називається стовпцем її вільних членів. Матриця $A$, записана через межу зі стовпцем вільних членів називається розширеною матрицею:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

Тепер необхідно за допомогою елементарних перетворень над системою рівнянь (або над матрицею, тому що це зручніше) привести її до наступного виду:

$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(cases)$ (1)

Матриця, отримана з коефіцієнтів перетвореної системи рівняння (1) називається ступінчастою, так зазвичай виглядають ступінчасті матриці:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) a_(33) & b_3 \end(array)$

Для цих матриць характерний наступний набір властивостей:

1. Усі її нульові рядки стоять після ненульових
2. Якщо деякий рядок матриці з номером $k$ ненульовий, то в попередньому рядку цієї матриці нулів менше, ніж у цій, що володіє номером $k$.

Після отримання ступінчастої матриці необхідно підставити отримані змінні в рівняння, що залишилися (починаючи з кінця) і отримати значення змінних, що залишилися.

Основні правила та дозволені перетворення при використанні методу Гауса

У разі спрощення матриці або системи рівнянь цим методом потрібно використовувати лише елементарні перетворення.

Такими перетвореннями вважаються операції, які можна застосовувати до матриці або системи рівнянь без зміни її сенсу:

• перестановка кількох рядків місцями,
• додавання або віднімання з одного рядка матриці іншого рядка з неї,
• множення чи розподіл рядки на константу, не рівну нулю,
• рядок, що складається з одних нулів, отриману в процесі обчислення та спрощення системи, потрібно видалити,
• Також потрібно видалити зайві пропорційні рядки, обравши для системи єдину з них з більш підходящими та зручними для подальших обчислень коефіцієнтами.

Усі елементарні перетворення є оборотними.

Розбір трьох основних випадків, що виникають при вирішенні лінійних рівнянь, використовуючи метод простих перетворень Гауса

Розрізняють три випадки, що виникають при використанні методу Гауса для вирішення систем:

1. Коли система несумісна, тобто вона не має жодних рішень
2. Система рівнянь має рішення, причому єдине, а кількість ненульових рядків і стовпців у матриці дорівнює між собою.
3. Система має кілька чи безліч можливих рішень, а кількість рядків у ній менше, ніж кількість стовпців.

Вихід рішення з несумісною системою

Для цього варіанта при розв'язанні матричного рівняння методом Гауса характерне отримання якогось рядка з неможливістю виконання рівності. Тому при виникненні хоча б однієї неправильної рівності отримана та вихідна системи не мають рішень незалежно від інших рівнянь, які вони містять. Приклад несумісної матриці:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

В останньому рядку виникла рівність, що не виконується: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Система рівнянь, яка має лише одне рішення

Дані системи після приведення до ступінчастої матриці та видалення рядків з нулями мають однакову кількість рядків та стовпців в основній матриці. Ось найпростіший приклад такої системи:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$

Запишемо її у вигляді матриці:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

Щоб привести перший осередок другого рядка до нуля, домножимо верхній рядок на $-2$ і віднімемо його з нижнього рядка матриці, а верхній рядок залишимо у вихідному вигляді, в результаті маємо таке:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

Цей приклад можна записати у вигляді системи:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$

З нижнього рівняння виходить таке значення $x$: $x_2 = 3 \ frac (1) (3) $. Підставимо це значення у верхнє рівняння: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, отримуємо $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Система, що має безліч можливих варіантів рішень

Для цієї системи характерно менше значущих рядків, ніж кількість стовпців у ній (враховуються рядки основної матриці).

Змінні у такій системі діляться на два види: базисні та вільні. При перетворенні такої системи основні змінні, що містяться в ній, необхідно залишити в лівій області до знака “=”, а інші змінні перенести у праву частину рівності.

Така система має лише якесь загальне рішення.

Розберемо таку систему рівнянь:

$\begin(cases) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(cases)$

Запишемо її у вигляді матриці:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$

Наше завдання – знайти загальне рішення системи. Для цієї матриці базовими змінними будуть $y_1$ і $y_3$ (для $y_1$ - оскільки він стоїть першому місці, а разі $y_3$ - розташовується після нулів).

Як базисні змінні вибираємо саме ті, які перші в рядку не дорівнюють нулю.

Змінні, що залишилися, називаються вільними, через них нам необхідно висловити базисні.

Використовуючи так званий зворотний хід, розбираємо систему знизу вгору, для цього спочатку виражаємо $y_3$ з нижнього рядка системи:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Тепер у верхнє рівняння системи $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ підставляємо виражене $y_3$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

Висловлюємо $y_1$ через вільні змінні $y_2$ і $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1.5x_2 - 0.1y_4 + 0.6 $

Рішення готове.

Приклад 1

Вирішити слау методом Гауса. приклади. Приклад розв'язання системи лінійних рівнянь заданих матрицею 3 на 3 використовуючи метод Гаусса

$\begin(cases) 4x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \end(cases)$

Запишемо нашу систему у вигляді розширеної матриці:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0 \\\end(array)$

Тепер для зручності та практичності потрібно перетворити матрицю так, щоб у верхньому кутку крайнього стовпця була $1$.

Для цього до першого рядка необхідно додаємо рядок з середини, помножену на $-1$, а самий середній рядок записуємо як є, виходить:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0 \\\end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3 \\end(array) $

Домножимо верхній та останній рядки на $-1$, а також поміняємо місцями останній та середній рядки:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\(array)$

І розділимо останній рядок на $3$:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\(end) $

Отримуємо наступну систему рівнянь, рівносильну вихідній:

$\begin(cases) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(cases)$

З верхнього рівняння виражаємо $x_1$:

$ x1 = 1 + x_3 - x_2 = 1 + 1 - 3 = -1 $.

Приклад 2

Приклад рішення системи, заданої за допомогою матриці 4 на 4 методом Гаусса

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\\end(array)$.

Спочатку міняємо місцями верхню досліджувальну за нею рядки, щоб отримати в лівому верхньому кутку $1$:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\\end(array)$.

Тепер помножимо верхній рядок на $-2$ і додамо до 2-го і до 3-го. До четвертого додаємо перший рядок, домножений на $-3 $:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(array)$

Тепер до рядка з номером 3 додаємо рядок 2, помножений на $4$, а до рядка 4 додаємо рядок 2, помножений на $-1$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(array)$

Домножуємо рядок 2 на $-1$, а рядок 4 ділимо на $3$ і ставимо місце рядка 3.

$\begin(array)(cccc|c) 1&3&2&1&11 \\0&1&0&1&2\\0&0&1&0&2\\0&0&5& 1 & 10 \\ \end(array)$

Тепер додаємо до останнього рядка передостанній, примножений на $-5$.

$\begin(array)(cccc|c) 1&3&2&1&11 \\0&1&0&1&2\\0&0&1&0&2\\0&0&0& 1 & 0 \\ \end(array)$

Вирішуємо отриману систему рівнянь:

$\begin(cases) m = 0 \\ g = 2\ y + m = 2\ x + 3y + 2g + m = 11\end(cases)$

1. Система лінійних рівнянь алгебри

1.1 Поняття системи лінійних рівнянь алгебри

Система рівнянь – це умова, яка полягає у одночасному виконанні кількох рівнянь щодо кількох змінних. Системою лінійних рівнянь алгебри (далі – СЛАУ), що містить m рівнянь і n невідомих, називається система виду:

де числа a ij називаються коефіцієнтами системи, числа b i – вільними членами, a ijі b i(i=1,…, m; b=1,…, n) є деякі відомі числа, а x 1 ,…, x n- Невідомі. У позначенні коефіцієнтів a ijперший індекс i означає номер рівняння, а другий j – номер невідомого, при якому стоїть цей коефіцієнт. Підлягають знаходженню числа xn. Таку систему зручно записувати у компактній матричній формі: AX=B.Тут А - матриця коефіцієнтів системи, яка називається основною матрицею;

- Вектор стовпець з невідомих xj.
– вектор-стовпець із вільних членів bi.

Добуток матриць А*Х визначено, оскільки у матриці А стовпців стільки ж, скільки рядків у матриці Х (n штук).

Розширеною матрицею системи називається матриця A системи, доповнена стовпцем вільних членів

1.2 Розв'язання системи лінійних рівнянь алгебри

Рішенням системи рівнянь називається впорядкований набір чисел (значень змінних), при підстановці яких замість змінних кожне із рівнянь системи перетворюється на правильну рівність.

Рішенням системи називається n значень невідомих х1 = c1, x2 = c2, ..., xn = cn, при підстановці яких усі рівняння системи звертаються у вірні рівності. Будь-яке рішення системи можна записати у вигляді матриці-стовпця

Система рівнянь називається спільною, якщо вона має хоча б одне рішення, і несумісною, якщо вона не має жодного рішення.

Спільна система називається певною, якщо вона має єдине рішення, та невизначеною, якщо вона має більше одного рішення. У разі кожне її рішення називається приватним рішенням системи. Сукупність всіх окремих рішень називається загальним рішенням.

Вирішити систему – це означає з'ясувати, спільна вона чи несовместна. Якщо система спільна, то знайти її загальне рішення.

Дві системи називаються еквівалентними (рівносильними), якщо вони мають те саме загальне рішення. Іншими словами, системи еквівалентні, якщо кожне рішення однієї з них є рішенням іншої, і навпаки.

Перетворення, застосування якого перетворює систему на нову систему, еквівалентну вихідної, називається еквівалентним або рівносильним перетворенням. Прикладами еквівалентних перетворень можуть бути такі перетворення: перестановка місцями двох рівнянь системи, перестановка місцями двох невідомих разом із коефіцієнтами в усіх рівнянь, множення обох частин будь-якого рівняння системи відмінне від нуля число.

Система лінійних рівнянь називається однорідною, якщо всі вільні члени дорівнюють нулю:

Однорідна система завжди спільна, тому що x1 = x2 = x3 = ... = xn = 0 є рішенням системи. Це рішення називається нульовим чи тривіальним.

2. Метод виключення Гауса

2.1 Сутність методу виключення Гауса

Класичним методом вирішення систем лінійних рівнянь алгебри є метод послідовного виключення невідомих – метод Гауса(його ще називають методом гаусових винятків). Це метод послідовного виключення змінних, коли за допомогою елементарних перетворень система рівнянь приводиться до рівносильної системи ступінчастого (або трикутного) виду, з якого послідовно, починаючи з останніх (за номером) змінних, знаходяться інші змінні.

Процес рішення за методом Гауса складається з двох етапів: прямий та зворотний ходи.

1. Прямий хід.

На першому етапі здійснюється так званий прямий хід, коли шляхом елементарних перетворень над рядками систему призводять до ступінчастої або трикутної форми або встановлюють, що система несумісна. А саме, серед елементів першого стовпця матриці вибирають ненульовий, переміщують його на крайнє верхнє положення перестановкою рядків і віднімають перший рядок, що вийшов після перестановки, з інших рядків, домноживши її на величину, рівну відношенню першого елемента кожного з цих рядків до першого елемента першого рядка, обнуляя цим стовпець під ним.

Після того, як зазначені перетворення були здійснені, перший рядок і перший стовпець подумки викреслюють і продовжують доки залишиться матриця нульового розміру. Якщо на якійсь із ітерацій серед елементів першого стовпця не знайшовся ненульовий, то переходять до наступного стовпця і роблять аналогічну операцію.

У першому етапі (прямий хід) система наводиться до ступінчастому (зокрема, трикутному) виду.

Наведена нижче система має ступінчастий вигляд:

,

Коефіцієнти aii називаються головними (провідними) елементами системи.

(якщо a11=0, переставимо рядки матриці так, щоб a 11 не дорівнював 0. Це завжди можливо, тому що в іншому випадку матриця містить нульовий стовпець, її визначник дорівнює нулю і система несумісна).

Перетворимо систему, виключивши невідоме х1 у всіх рівняннях, крім першого (використовуючи елементарні перетворення системи). Для цього помножимо обидві частини першого рівняння на

і складемо почленно з другим рівнянням системи (або другого рівняння почленно віднімемо перше, помножене на ). Потім помножимо обидві частини першого рівняння і складемо з третім рівнянням системи (або з третього почленно віднімемо перше, помножене на ). Таким чином, послідовно множимо перший рядок на число і додаємо до i-й рядку, для i= 2, 3, …,n.

Продовжуючи цей процес, отримаємо еквівалентну систему:

– нові значення коефіцієнтів при невідомих та вільні члени в останніх m-1 рівняннях системи, що визначаються формулами:

Таким чином, на першому кроці знищуються всі коефіцієнти, що лежать під провідним першим елементом a 11

0 на другому кроці знищуються елементи, що лежать під другим провідним елементом а 22 (1) (якщо a 22 (1) 0) і т.д. Продовжуючи цей процес і далі, ми нарешті на (m-1) кроці наведемо вихідну систему до трикутної системи.

Якщо процесі приведення системи до ступінчастому виду з'являться нульові рівняння, тобто. рівності виду 0=0 їх відкидають. Якщо ж з'явиться рівняння виду

то це свідчить про несумісність системи.

У цьому прямий хід методу Гаусса закінчується.

2. Зворотний перебіг.

На другому етапі здійснюється так званий зворотний хід, суть якого полягає в тому, щоб висловити всі базисні змінні через небазисні і побудувати фундаментальну систему рішень, або, якщо всі змінні є базисними, то висловити в чисельному вигляді єдине рішення системи лінійних рівнянь.

Ця процедура починається з останнього рівняння, з якого виражають відповідну базисну змінну (вона в ньому всього одна) і підставляють у попередні рівняння, і так далі, піднімаючись «сходинками» нагору.

Кожному рядку відповідає рівно одна базова змінна, тому на кожному кроці, крім останнього (найвищого), ситуація точно повторює випадок останнього рядка.

Примітка: практично зручніше працювати не з системою, а з розширеною її матрицею, виконуючи всі елементарні перетворення над її рядками. Зручно, щоб коефіцієнт a11 дорівнював 1 (рівняння переставити місцями, або розділити обидві частини рівняння на a11).

2.2 Приклади рішення СЛАУ методом Гаусса

У цьому розділі на трьох різних прикладах покажемо, як методом Гауса можна вирішити СЛАУ.

Приклад 1. Вирішити СЛАУ 3-го порядку.

Обнулили коефіцієнти при

у другому та третьому рядках. Для цього домножимо їх на 2/3 та 1 відповідно і складемо з першим рядком:

Тут ви зможете безкоштовно вирішити систему лінійних рівнянь методом Гауса онлайнвеликих розмірів у комплексних числах із дуже докладним рішенням. Наш калькулятор вміє вирішувати онлайн як звичайну певну, так і невизначену систему лінійних рівнянь методом Гаусса, яка має безліч рішень. І тут у відповіді ви отримаєте залежність одних змінних через інші, вільні. Також можна перевірити систему рівнянь на сумісність онлайн, використовуючи рішення методом Гаусса.

Розмір матриці: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 8 8 8 8 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 X 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3 4 3 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 8 8 8 8 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

Про метод

Під час вирішення системи лінійних рівнянь онлайн методом Гаусса виконуються такі кроки.

1. Записуємо розширену матрицю.
2. Фактично рішення поділяють на прямий та зворотний хід методу Гаусса. Прямим ходом методу Гаусса називається приведення матриці до ступінчастого вигляду. Зворотним ходом методу Гаусса називається приведення матриці до спеціального ступінчастого вигляду. Але на практиці зручніше відразу занулювати те, що знаходиться і зверху і знизу елемента, що розглядається. Наш калькулятор використовує цей підхід.
3. Важливо відзначити, що при вирішенні методом Гауса, наявність у матриці хоча б одного нульового рядка з ненульовою правою частиною (стовпець вільних членів) говорить про несумісність системи. Рішення лінійної системи у разі немає.

Щоб найкраще зрозуміти принцип роботи алгоритму Гауса онлайн, введіть будь-який приклад, виберіть "дуже докладне рішення" і перегляньте його рішення онлайн.