Побудова первісного опорного плану. Опорний план території, поселення
Припустимо, що канонічна завдання ЛП має зовсім спеціальний вид, наприклад, праві частини рівнянь системи обмежень може бути негативні.
Цей випадок виникає при вирішенні задачі про раціон. Канонічний вид завдання виглядає так:
F = 20 х 1 + 20х 2 + 10х 3 → min.
Запишемо завдання до симплекс-таблиці (табл. 1).
Таблиця 1 
Базисне рішення, що відповідає базису (x 4 , x 5 , x 6 ) і рівне (0; 0; 0; -33; 23; -12), не є допустимим через негативність х 4 < 0, x 5 < 0, x 6 < 0.
Сформулюємо правило знаходження допустимого опорного плану.
Якщо в стовпці вільних членів є негативні елементи, виберіть з них найбільший за модулем, а в рядку - будь-який негативний. Взявши цей елемент як роздільну здатність перерахуйте таблицю за колишніми правилами 2-5 .
Якщо отриманої таблиці все елементи стовпця вільних членів стали позитивні чи 0, то це базисне рішення можна як початкового опорного плана. . Якщо стовпці вільних членів в повному обсязі елементи неотрицательны, то вкотре скористатися цим правилом.
Проведемо цей крок для задачі про раціон. Як роздільна здатність рядка табл. 1 потрібно вибрати першу. А роздільним елементом виберемо, наприклад, елемент -4.
Таблиця 2
|
базисні |
вільні |
|||
Таблиця 2
|
базисні |
вільні |
|||
F = 20х 1 + 20х 2 + 10х 3 = 20 · 7 + 0 + 10 · = 140 + 25 = 165.
У цьому завдання довелося поліпшувати знайдений початковий опорний план, т.к. він виявився оптимальним. Інакше ми мали повернутися до III етапу.
Розв'язання задачі про план симплекс-методом
Завдання. Підприємство має у своєму розпорядженні три види сировини і має намір випускати чотири види продукції. Коефіцієнти в таблиці 3.12 вказують витрати відповідного виду сировини на одиницю певного виду продукції, а також прибуток від одиниці виробленої продукції та загальні запаси ресурсів. Завдання: знайти оптимальний план виробництва, у якому буде забезпечено максимальна прибуток.Таблиця 3
Складемо математичну модель. Нехай х 1 , х 2 , х 3 , х 4 - кількість продукції I, II, III, IV виду відповідно до плану. Тоді кількість використовуваної сировини та її запаси виражаються в нерівностях:
F = 3 x 1 + 5x 2 + 4x 3 + 5x 4 → max.
Цільова функція виражає собою загальний сумарний прибуток, отриманий від реалізації всієї планової продукції, а кожна з нерівностей виражає витрати певного виду продукції. Зрозуміло, що витрати не повинні перевищувати запаси сировини.
Наведемо завдання до канонічної форми і до спеціального вигляду, ввівши додаткові змінні х 5 х 6 х 7 у кожну з нерівностей.
Очевидно, що якщо перший ресурс необхідний для виробництва планової продукції 5 х 1 + 0,4х 2 + 2х 3 + 0,5х 4 , то х 5 позначає просто надлишки першого ресурсу як різницю між наявним запасом і необхідним виробництва. Аналогічно х 6 та х 7 . Отже, додаткові зміни завдання ЛП позначають надлишки сировини, часу, інших ресурсів, що залишаються у виробництві цього оптимального плану.
Запишемо завдання таблицю 4, попередньо виписавши її канонічну форму: 
І етап . Це завдання спеціального виду, базис складають змінні (х 5, х 6, х 7), праві частини рівнянь невід'ємні, план х= (0, 0, 0, 0, 400, 300, 100) – опорний. Він відповідає симплекс-таблиці.
Таблиця 4
|
базисні |
вільні |
||||
ІІ етап . Перевіримо план оптимальність. Так як в індексній F-рядку є негативні елементи, то план неоптимальний, переходимо до III етапу.
III етап
. Поліпшення опорного плану. Виберемо в якості роздільного стовпця четвертий, але могли вибрати і другий, т.к. в обох (-5). Зупинившись на четвертому, виберемо як роздільну здатність елемента 1, т.к. саме на ньому досягається мінімум співвідношень 
. З роздільним елементом 1 проводимо перетворення таблиці за правилами 2-5 (табл. 5).
Таблиця 5 
Отриманий план знову неоптимальний, т.к. у F-рядку є негативний елемент -5. цей стовпець вирішальний.
Як роздільний елемент вибираємо 5, т.к. 
.
Перелічуємо ще раз таблицю. Зауважимо, що перерахунок зручно розпочинати з індексного рядка, т.к. якщо в ній всі елементи невід'ємні, то план оптимальний, і щоб його виписати, достатньо перерахувати стовпець вільних членів, немає необхідності обчислювати "начинку" таблиці (табл. 6).
Таблиця 6
|
базисні |
вільні |
||||
IV етап . Базисні змінні (x 5 , x 2 , x 4 ) приймають значення зі стовпця вільних членів, а вільні змінні дорівнюють 0. Отже, оптимальний план х* = (0, 40, 0, 100, 334, 0, 0) та F* = 700. Справді, F = 3х 1 + 4х 3 + 5х 2 + 5х 4 = 5 · 40 + 5 · 100 = 700. Т. е. для отримання максимального прибутку в 700 руб. підприємство має випускати вироби II виду у кількості 40 штук, IV - виду у кількості 100 штук, вироби I та III виду виробляти невигідно. При цьому сировина другого та третього виду буде витрачена повністю, а сировини першого виду залишиться 334 одиниці ( х 5 = 334, х 6 = 0, х 7 = 0).
Рішення транспортної задачі, як і будь-якої задачі лінійного програмування, починається з знаходження опорного рішення, або, як ми говоримо, опорного плану. На відміну від загального випадку ОЗЛП з довільними обмеженнями та функцією, що мінімізується, рішення ТЗ завжди існує. Справді, з суто фізичних міркувань ясно, що хоч якийсь припустимий план існувати має. Серед допустимих планів обов'язково є оптимальний (можливо, не один), тому що лінійна функція L - вартість перевезень свідомо невід'ємна (обмежена знизу банкрутом). У цьому параграфі ми покажемо, як побудувати опорний план. Для цього існують різні способи, з яких ми зупинимося на найпростішому, так званому способі північно-західного кута. Пояснити його найпростіше буде на конкретному прикладі.
Приклад 1. Умови ТЗ задано транспортною таблицею (див. табл. 10.1).
Потрібно знайти опорне рішення ТЗ (побудувати опорний план).
Рішення. Перепишемо табл. 10.1 і будемо заповнювати її перевезеннями поступово, починаючи з лівого верхнього осередку (1,1) («північно-західного кута» таблиці). Розмірковуватимемо при цьому наступним чином. Пункт подав заявку на 18 одиниць вантажу. Задовольнимо цю заявку за рахунок запасу 48, що є в пункті і запишемо перевезення 18 у клітці (1,1). Після цього заявку пункту й задоволено, а в пункті залишилося ще 30 одиниць вантажу. Задовольнимо за рахунок них заявку пункту одиниць), запишемо 27 у клітці (1,2); 3 одиниці пункту, що залишилися, призначимо пункту . У складі заявки пункту залишились незадоволеними 39 одиниць.
Таблиця 10.1
З них 30 покриємо за рахунок пункту, чим його запас буде вичерпано, і ще 9 візьмемо з пункту. З 18 одиниць пункту, що залишилися, виділимо пункту 6 одиниць, що залишилися, призначимо пункту, що разом з усіма 20 одиницями пункту покриє його заявку (див. табл. 10.2).
На цьому розподіл запасів закінчено: кожен пункт призначення отримав вантаж відповідно до своєї заявки. Це виявляється у тому, що сума перевезень у кожному рядку дорівнює відповідному запасу, а стовпці - заявці.
Таким чином, нами відразу ж складено план перевезень, що задовольняє балансові умови. Отримане рішення не лише допустимим, а й опорним рішенням транспортної завдання.
Таблиця 10.2
Клітини таблиці, у яких стоять ненульові перевезення, є базисними, їх кількість задовольняє умові Інші клітини - вільні (порожні), у яких стоять ненульові перевезення, їх кількість одно Значить, наш план - опорний і завдання побудови опорного плану вирішена.
Постає питання: а чи є цей план оптимальним за вартістю? Зрозуміло, ні! Адже при його побудові ми зовсім не враховували вартості перевезень. Природно, план не вийшов оптимальним. Дійсно, вартість цього плану, яка знайдеться, якщо помножити кожне перевезення на відповідну вартість дорівнює .
Таблиця 10.3
Спробуємо поліпшити цей план, перенісши, наприклад, 18 одиниць із клітини (1,1) у клітину (2,1) і, щоб не порушити балансу, перенісши ті самі 18 одиниць із клітини (2,3) у клітину (1,3) ). Отримаємо новий план, наведений у табл. 10.3.
Неважко переконатися, що вартість нового плану дорівнює тобто на 126 одиниць менша від вартості плану, наведеного в табл. 10.3.
Таким чином, за рахунок циклічної перестановки 18 одиниць вантажу з одних клітин до інших нам вдалося знизити вартість плану. На цьому способі зменшення вартості в подальшому буде засновано алгоритм оптимізації плану перевезень.
Зупинимося однією особливості плану перевезень, що може зустрітися як із побудові опорного плану, і у його поліпшенні. Йдеться про так званий «вироджений» план, у якому деякі з базисних перевезень виявляються рівними нулю. Розглянемо конкретний приклад виникнення виродженого плану.
Приклад 2. Дана транспортна таблиця (без вартості перевезень, оскільки йдеться лише про побудову опорного плану) – див. табл. 10.4.
Таблиця 10.4
Таблиця 10.5
Таблиця 10.6
Скласти опорний план перевезень.
Рішення. Застосовуючи метод північно-західного кута, отримаємо табл. 10.5.
Опорний план складено. Особливістю його є те, що в ньому лише шість, а не вісім відмінних від нуля перевезень. Отже, деякі з базисних перевезень, які мають бути дорівнювали нулю.
Неважко помітити, чому це сталося: при розподілі запасів за пунктами призначення в деяких випадках залишки були рівними нулю і у відповідну клітину не потрапляли.
Такі випадки «виродження» можуть виникати не лише при складанні опорного плану, а й за його перетворення, оптимізації.
Надалі нам зручно завжди матиме в транспортній таблиці базисних клітин, хоча в деяких з них, можливо, стоятимуть і нульові значення перевезень. Для цього можна дуже мало змінити запаси або заявки, так щоб загальний баланс не порушився, а зайві, «проміжні» баланси знищилися. Достатньо у потрібних місцях змінити запаси або заявки, наприклад, на величину, а після знаходження оптимального рішення покласти
Покажемо, як перейти від виродженого плану до невиродженого з прикладу табл. 10.5. Змінимо трохи запаси в першому рядку і покладемо їх рівними. Крім того, у третьому рядку проставимо запаси. Щоб «звести баланс», у четвертому рядку ставимо запаси 20 – 2е (див. табл. 10.6). Для цієї таблиці будуємо опорний план методом північно-західного кута.
У табл. 10.6 міститься стільки базисних змінних, скільки потрібно: . Надалі після оптимізації плану можна буде покласти .
Сторінка 1
Опорний план, що відповідає базису, що розглядається, оптимальний, якщо всі AV неотрицательны.
Опорний план буде невиродженим, якщо він містить позитивний компонент, в іншому випадку опорний план називається виродженим.
Опорний план території поселення - картографічне відображення містобудівної та екологічної ситуацій, що фактично склалася на території поселення.
Отримавши перший опорний план, слід перевірити його оптимальність та, якщо потрібно, перейти до нового опорного плану з найкращим значенням цільової функції Z. Для цього застосовують метод потенціалів.
Нехай тепер першого опорного плану знайдено. Існує низка методів перевірки координат вершини на оптимальність.
Знаходять опорний план розширеного завдання.
Базисом опорного плану будемо називати довільну лінійно незалежну систему з т стовпців матриці А, що включає всі стовпці, відповідні ненульовим координатам опорного плану.
Базисом опорного плану називається довільна лінійно незалежна система з т стовпців матриці А, що включає всі стовпці, відповідні ненульовим координатам опорного плану.
За цим опорним планом кожному пункту (виробнику чи споживачеві) зіставляється число, зв. Попередить, потенціали визначаються за умови: різниця передує, потенціалів нари пунктів (виробник, споживач) дорівнює вартості перевезення (СП) одиниці продукту між цими пунктами, якщо їх комунікація є основною. Далі, кожної пари пунктів (виробник і споживач) обчислюється відносить, вартість перевезення одиниці товару, рівна різниці передує, потенціалів цих пунктів. Якщо відносить, вартість перевезення вбирається у СП будь-якої пари пунктів, то існуючий план оптимальний, а попередить, потенціали є потенціалами завдання. З'єднаємо / - та пункт-виробник з i - м пунктом-споживачем обхідним маршрутом, складеним з осн.
За цим опорним планом кожному пункту (виробнику чи споживачеві) зіставляється число, паз. Попередить, потенціали визначаються за умови: різниця передує, потенціалів нари пунктів (виробник, споживач) дорівнює вартості перевезення (СП) одиниці продукту між цими пунктами, якщо їх комунікація є основною. Далі, кожної пари пунктів (виробник і споживач) обчислюється відносить, вартість перевезення одиниці товару, рівна різниці передує, потенціалів цих пунктів. СП для будь-якої пари пунктів, то наявний план є оптимальним, а передує, потенціали є потенціалами завдання. Нехай ця умова не виконується для деяких пар пунктів, одна з яких містить пункти з номерами / і i. З'єднаємо / - та пункт-виробник з i - м пунктом-споживачем обхідним маршрутом, складеним з осі.
З новим опорним планом повторюється така сама процедура, як і з попереднім. Один із цих випадків обов'язково настане через кінцеве число кроків.
Коли в опорний план вводиться нова змінна, то для збереження його базпсності з нього повинна бути виключена одна з базових неременних. Таким чином, на кожній ітерації симплексного методу нова дуга вводиться у план, а з базисних дуг виключається. Після зміни плану він перевіряється дотримання умов оптимальності з допомогою розрахунків, рівноцінних перевірці виконання всіх нерівностей (2) при поточних значеннях двоїстих неременных.
Зауваження. Компанія допускає використання опорного плану як форми календарного плану. Вибір форми на розсуд проектної команди. При виборі опорного плану необхідно зберегти ключові події календаря.
Опорний план відрізняється про стандартного календарного плану використанням нової тимчасової шкали. У календарному плані точки часу можуть розташовуватись у будь-якому місці календаря. В опорному
і ярма не вводиться неподільний квант часу чи період. Зазвичай, як період вибираються тиждень, місяць або квартал. Виходячи з квантового принципу, і оголошують "завдання починається в гаком-ю періоді", а де саме всередині періоду починається завдання, не беруть до уваги. У календарному плані, навпаки, кажуть точно "завдання починається такого-то числа і місяця". Виняток в опорному плані / робиться тільки для ключових подій, причому точки цих подій вказуються додатково до опорного плану довідково.
Як правило, всі періоди рівні за тривалим га один одному. Тим не менш, можливе використання і неразових періодів. Кожен період може іменуватися своїм номером або просто вказівкою початкової та кінцевої дати. Наприклад, тиждень із 16 січня по 22 січня.
Вибір методу декомпозиції не відрізняється від ієрархічної декомпозиції робіт. Слід звернути увагу, що в опорному плані може бути менша кількість завдань, ніж у первинному ієрархічному переліку. Декомпозиція продовжується доти. коли всі елементарні завдання вважатимуться лінійними чи умовно лінійними.
Кожне завдання має мати натуральну одиницю виміру. Не виникає проблем із вибором одиниці виміру для матеріальних робіт, з об'єктивно існуючим способом їхнього виміру. Приклади таких одиниць: дорогу можна вимірювати в погонних метрах; фарбування підлог у квадратних метрах; укладання фундаменту в кубічних метрах; до не тру кторську роботу в кількості креслень; роботу перекладача у кількості сторінок; рабоїу проірамміс га у кількості рядків програмного коду; консалтинг або навчання в людино-годиннику.
Існують завдання, для яких незалежно від способу декомпозиції неможливо виділити явно лінійні підзавдання. До таких завдань належать: погодження документа, монтаж складної інженерної системи. Такі завдання називають нерозкладними. Для цих завдань одиницею виміру приймається сама задача, а одиниця виміру може мати назву: штука, завдання, об'єкт, система. Відповідно, обсяг роботи таких завдань завжди дорівнює 1.
Для всіх завдань повинен існувати спосіб виміру виконаних робіт або освоєного обсягу (звідси назва методу).
Існують три способи вимірювання освоєного обсягу. . За наявності об'єктивної одиниці легко вимірюється кількість виконаних одиниць. Так, для дороги можна вказати ''побудовано зголько метрів'5. . Якщо завдання нерозкладне і відсутня внутрішній кошторис, то застосовується експертний метод. Наприклад, можна говорити “узгодження виконано на 40%”. Якщо таке завдання триває кілька періодів, можна умовно прийняти, що освоєння розподіляється поступово за періодами. . Якщо завдання нерозкладне, але є плановий кошторис робіт, го відсоток виконання розраховується за кошторисом (звідси старе назва методу - “відсоток”). Приклад підрахунку відсотка освоєння показаний у таблиці 3. Використовувана в таблиці колонка "відсоток освоєння" може і не використовуватися, достатньо колонки "сума освоєння" для підрахунку відсотка освоєння по всьому завданню.
Тай 3. Освоєння кошторису чаї раї
Необхідно стимулювати розрахунок відсотка освоєння саме за плановим кошторисом, без урахування змін і додаткових робіт.
У методі освоєного обсягу застосовується загальне правило: проміжні витрати нроноріщональмьи відсотку освоєння. Це правило застосовується і до планових витрат, і до фактичних витрат, що є наслідком лінійності завдання. Зокрема, при підрахунку відсотка освоєння та внутрішнього кошторису це правило діє автоматично. Дія цього правила означає, що всім завдань застосовна єдина розцінка: рубль / на відсоток виконання.
Складання опорного плану та виконання прогнозних розрахунків проводиться за єдиною формою, наведеною в таблиці 4. Складання опорного плану та розрахунок прогнозів
Примітка 1. При достатніх навичках можна використовувати у формі рядки процентної освоєння. Слід бути в цьому випадку обережним, щоб не допустити помилок у розрахунках освоєння.
Таблиця 4. Форма опорного плану та прогнозних розрахунків
| | | Номер періоді | |
||||||||||
| Код завдання | Завдання/ статус, коментарі | Освоєння, витрати | ВСЬОГО | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| планове освоєння | 100° про | 30° про | 40° про | 30° про | |||||||||
| Завдання А. | фактичне освоєння | 100° про | 0° | 30° | 30° | 40° про | |||||||
| Виконується на початку проекту | залишок до освоєння | 0° | |||||||||||
| 1 | планові витрати | 100 | 30 | 40 | 30 | ||||||||
| ням та з економією | фактичні витрати | 60 | 18 | 18 | 24 | ||||||||
| залишок за витратами | 0 | ||||||||||||
| планове освоєння | 100° про | 30° | 30° про | 40° про | |||||||||
| Завдання Б. Виконується після | фактичне освоєння | 20° про | 5% | 15% | |||||||||
| 2 | залишок до освоєння | 80° про | 30° про | 30° про | 20° про | ||||||||
| завдання А Виконана частково | планові витрати | 300 | 90 | 90 | 120 | ||||||||
| фактичні витрати | 80 | 20 | 60 | ||||||||||
| залишок за витратами | 320 | 120 | 120 | 80 | |||||||||
| планове освоєння | 100° про | 50° про | 50° про | ||||||||||
| Завдання Ст. | фактичне освоєння | 0° | |||||||||||
| 3 | Виконується після завдання Б Не приступали Розцінка уточнена | залишок до освоєння | 100° про | 50° | 50° про | ||||||||
| планові витрати | 200 | 100 | 100 | ||||||||||
| фактичні витрати | 0 | ||||||||||||
| залишок за витратами | 280 | 1 | 1 | 140 | 140 | ||||||||
| РАЗОМ ПО ПЕРІОДАМ | |||||||||||||
| планові витрати | 600 | 30 | 40 | 30 | 90 | 90 | 120 | 100 | 100 | ||||
| фактичні витрати | 140 | 0 | 18 | 18 | 44 | 60 | |||||||
| залишок за витратами | 600 | 120 | 120 | 80 | 140 | 140 | |||||||
| НАКОПИЧНІ ПІДСУМКИ ЗА ПЕРІОДами |
|||||||||||||
| планові витрати | 30 | 70 | 100 | 190 | 280 | 400 | 500 | 600 | |||||
| фактичні витрати | 0 | 18 | 36 | 80 | 140 | ||||||||
| залишок за витратами | 140 | 260 | 380 | 460 | 600 | 740 | |||||||
Примітка 2. Реально форма опорного плану заповнюється як -електронна таблиця. Швидше за все, розмістити таблицю у форматі А4 не вдасться. Використання формату ЛЗ буде достатнім більшість проектів.
Наведемо коментарі до осередків табличної форми. . Номер періоду. Перераховуються всі періоди, куди розбито життєвий цикл проекту. Замість номерів або додатково до них можна писати "з 16.01 по 22.01”, . Код задачі. Кодування задач опорного плану виконується аналогічно з кодуванням ієрархічної декомпозиції робіт. . Завдання/статус, коментарі. , то номер попередньої задачі вказується на відставання або випередження, План виконання освоєння . вище методикою вимірювання освоєного об'єму, ігроцент освоєння вказується в кожному періоді.
(Залишок до виконання) - 100% - (фактичне освоєння).
Отримане значення слід розподілити за періодами. Якщо виконання йде за планом, то розподіл просто повторює план. Якщо є відставання або випередження, зокрема, викликане зрушенням попередньої задачі, слід відкоригувати освоєння завдання. Крім того, можливо, в проекті відбулися якісь зміни, які тягнуть за собою Зміна розподілу за періодами.Планові витрати.
. Фактичні витрати. У осередку “ВСЕГО" вказуються сумарно всі фактичні вироблені витрати у грошових одиницях. Слід застосовувати аналіз з виконаних робіт, а чи не за фактом платежів. Навіть якщо акт виконаних робіт не підписано і перебуває на погодженні, слід додати сум)7 з акта до фактичних витрат . Фактичні витрати враховують усі витрати: додаткові витрати, виключені роботи і т.д.
(рублів "відсоток освоєння) - (фактичні витрати) /
(фактичне освоєння).
При виконанні завдання за планом нова розцінка співпадатиме з плановою.
Статистика використання методу освоєного обсягу показує, що нова розцінка буде відображати реальну тенденцію після освоєння 20% від усього обсягу робіт та завдання. Залишок за витратами. Для заповнення осередку "ВСЕГО" допустимо використання одного з двох методів їх комбінації: за формулою:
(залишок за витратами) - (залишок до освоєння у відсотках) *
(Нова розцінка в рублях на відсоток). на підставі аналізу кошторису, наприклад, нересмоірені договірні розцінки.
Розподіл за періодами проводиться пропорційно залишку7 до освоєння у відсотках. . Підсумкові дані. Спочатку виробляється підсумовування фінансових властивостей усередині періоду, та був будується накопичувальний результат але періодам.
З накопичувальних результатів будуються відповідні S-кривые.
приклад
Таблиця 4 містить пояснювальні числові дані. Аналіз виконання опорного плану проведений станом на кінець періоду №5. На їх підставі збудовані S-криві, рис. 3.
Малюнок 3 є прикладом потужного інструменту для аналізу проекту. Досить недовтого погляду на малюнки та невеликого аналізу характеру кривих, щоб зробити масу висновків про стан ігроекту.
Зауваження. Якщо проектна команда підготувала прогноз методом освоєного обсягу, то графіки S-кривих повинні бути додані до звіту про виконання проекту.
Рисунок 3. Аналіз проекту методом освоєного обсягу Прогнозування ключових показників
Аналіз можливих майбутніх змін ключових показників виконується з урахуванням прогнозування календарного і фінансового планів.
Якщо за результатами прогнозування ключові показники не змінюються, проектна команда продовжує керувати проектом у стандартному режимі. У звіті про виконання проекту зазначається, що результати прогнозування підтверджують виконання планових показників.
Якщо результати прогнозування вказують на майбутню зміну ключових показників, проектна команда має діяти відповідно до норм системи управління проектами у компанії. У звіті про виконання проекту зазначаються: результати прогнозування, поява проблем, пропозиції проектної команди щодо усунення проблем. Відповідно до принципу динамічного управління, можливо, буде необхідно підготувати нову версію Плану проекту.
графічний метод.
ГМ і двох етапів.
2) Серед усіх рішень необхідно знайти таке рішення, при якому Z досягає свого або max або min.
Grad показує якнайшвидше зростання функції. (С – коефіцієнт) (лінії рівня)
Можливі випадки
1. Завдання має єдине рішення.
2. Завдання має – безліч рішень.
3. Завдання немає рішень а) немає ОДР б) у разі коли zmax - ф-ия не обмеженою зверху лінією рівня і навпаки.
Графічний метод можна застосовувати, якщо є тільки дві змінні або завдання може бути наведене за допомогою еквівалентних перетворень до задачі з двома змінними.
Властивості допустимих планів.
1) Випукла лінійна комбінація крапок. х1 х2 …хk сума виду α1х1+ α2х2+ ...+ αkxk , де αi =1 (αi>=0 αi – коефіцієнт лінійної комбінації).
2) Випуклою множиною називається така множина т. Д на площині, коли разом з будь-якими двома точками Х1є Д; Х2 є Д що належить множині Д. Йому належить та його опукла Л.К. х=tx1+(1-t)x2 є Д 0<=t<=1
3) Крайня точка – т.х опуклої множини називається крайньої якщо вона може бути представлена як опуклої Л.К. будь-яких двох точок цієї множини (n=2)
Опорне рішення– це допустиме базисне рішення має не більше ніж m позитивних елементів, причому вектори стовпця матриці відповідно позитивні координатам вектора лінійні незалежні.
Властивості допустимих планів.
Теорема №1
Безліч допустимих планів З.Л.П. випукла, якщо воно не порожнє.
Дано: Д-не є порожнім безліччю - ОДР
Довести Ж Д- опукле безліч.
Х1 єД; Х2 єД, воно задовольняє системі обмежень в З.Л.П. Z=cx->max Ax=b X>=0
Ax1=b 0<=t<=1
Ax2=b (1-t) => tAx1+(1-t)Ax2=bt+b(1-t) = A=b
x1; x2>=0 => x>=0
Ax = b X- вирішення задачі.
Х = tx1+(1-t)x2 0<=t<=1, согласно опр. Имеем выпуклое множество – Д, т.к. с любыми двумя точками ему принадлежит и их выпуклая Л.К.
Теорема №2
Якщо цільова функція має максимум на опуклому багатограннику рішень, то це максимум досягається у вершині багатогранника.
Дано: Zmax-> X 0 Док-ть X 0 - вершина.
Док-во: Даний багатогранник. А, В, С, Д, Е – вершини. (Док-во проведемо від протилежного)
X 0 - не вершина, тоді згідно з опр. Крайньої точки, X 0 - не крайня точка, і може бути представлена у вигляді опуклої Л.К. точок хi є ОДР
C X 0 >Cxi (т.к. З X 0 ->max)
X 0 = αiXi αi=1 αi>=0
Знайдемо значення функції Z=C X 0 =CαiXi=αiCXi<αiCX 0 =CX 0 αi=CX 0
У кожному доданку змінимо Xi на Х 0
СГ 0 Теорема №3 Про альтернативний оптимум. Якщо цільова функція досягає свого оптимального значення у кількох вершинах (т)х1 х2 хk , то вона досягає оптимального значення в їх опуклій лінійній комбінації. Дано: Док-ть: х = αiXi Xi , i:=1,k αi=1 αi>=0 CX=d Знайдемо Z=СХ=CαiXi=αiCXi=αid=dαi=d Теорема №4 Вектор Х є опорним рішенням тоді і лише тоді, коли він є вершиною багатогранника. Якщо змінних n>3 то кажуть гіперплощину, положення точок у т – мірному просторі. ІДЕЯ СИМПЛЕКС МЕТОДУ. Симплекс метод є універсальним. Симплекс метод – аналітичний метод. 1. Знаходяться початкове, опорне рішення. А) система обмежень має бути записана у вигляді рівностей (канонічна форма) Б) Перетворити щоб bi >=0 i=1,m С) Привести систему до одиничного базового виду з невід'ємною правою частиною. Тому за роздільну здатність елемент вибирається суворо позитивний елемент. Д)Прирівнюємо вільні до 0 , отримуємо початкове базове невід'ємне рішення, яке є опорним розв'язанням даної задачі та відповідає вершині. 2. Розглядаючи функцію мети з'ясовуємо, чи є отримане рішення оптимальним. 3. Якщо отримане рішення не є оптимальним, то необхідно перейти до наступної вершини (опорного рішення) Перехід здійснюється за певним правилом за яким: тільки одна з базисних змінних повинна перейти у вільну і тільки одна з вільних перейти до базисної. Алгебра симплекс методу.
