Таблиця інтегральної функції лапласу. Обчислення функції Лапласа у Microsoft Excel

Функція Лапласа є неелементарною функцією і найчастіше використовується як у теорії диференціальних рівнянь і теорії ймовірностей, так і в статистиці. Функція Лапласа вимагає певного набору знань та підготовки, адже дозволяє вирішувати різні завдання у галузі прикладного та теоретичного застосування.

Функція Лапласа часто використовується на вирішення диференціальних рівнянь і часто називається інтегралом ймовірності. Давайте подивимося, як у Excel можна застосовувати цю функцію і як вона функціонує.

Інтегралом ймовірності або функцією Лапласа Excel відповідає оператор «НОРМСТРАСП», який має синтаксис: «=НОРМСТРАСП(z). У новіших версіях програми оператор також має назву «НОРМ.СТ.РАСП.» і трохи видозмінений синтаксис «НОРМ.СТ.РАСП(z; інтегральна).

Аргумент «Z» відповідає за числове значення розподілу. Аргумент "Інтегральна" - повертає два значення - "1" - інтегральну функцію розподілу, "0" - вагову функцію розподілу.

З теорією розібралися. Перейдемо до практики. Розглянемо використання функції Лапласа Excel.

1. Запишемо в комірку значення, до сусідньої вставимо функцію.

2. Запишемо функцію вручну «НОРМ.СТ.РАСП(В4;1).

3. Або використовуємо майстра вставки функцій – перейдемо в категорію «Статичні» та вкажемо «Повний алфавітний перелік.

4. У вікні аргументів функції, що з'явилося, вкажемо на вихідні значення. За змінну «Z» відповідатиме наш вихідний осередок, а в «Інтегральний» вставимо «1». Наша функція повертатиме інтегральну функцію розподілу.

5. Отримуємо готове рішення стандартного нормального інтегрального розподілу цієї функції «НОРМ.СТ.РАСП». Але це ще не все, нашою метою було знайти функцію Лапласа або інтеграл ймовірності, тому виконаємо ще кілька кроків.

6. Функція Лапласа передбачає, що значення отриманої функції необхідно відібрати «0,5». Дописуємо необхідну операцію у функцію. Натискаємо «Введення» та отримуємо підсумкове рішення. Шукане значення правильно і швидко знайдено.

Excel з легкістю прораховує цю функцію для будь-якого значення осередку, діапазону осередків або посилань на осередки. Функція «НОРМ.СТ.РАСП» є стандартним оператором для пошуку інтеграла ймовірності або як його ще називають – функції Лапласа.

Формула Бейєса

Події 1 ,2 ,…,n є несумісними і утворюють повну групу, тобто. Р(У 1)+ Р(У 2)+…+ Р(У n)=1. І нехай подія А може наступити лише при появі однієї з подій 1, 2, ..., В n. Тоді ймовірність події А знаходиться за формулою ймовірності.

Нехай подія вже відбулася. Тоді ймовірності гіпотез В 1, В 2, ..., В n можуть бути переоцінені за формулою Бейєса:

Формула Бернуллі

Нехай проводиться n незалежних випробувань, у кожному з яких подія А може наступити або не наступити. Імовірність настання (не настання) події А та сама і дорівнює p (q=1-p).

Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях подія А настане рівно до разів (по фіг, в якій послідовності), знаходиться за формулою Бернуллі:

Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях подія настане:

а). Менш раз P n (0)+P n (1)+…+P n (k-1).

б). Більше раз P n (k+1)+P n (k+2)+…+P n (n).

в). не менше разів P n (k)+P n (k+1)+…+P n (n).

г). не більше разів P n (0)+P n (1)+…+P n (k).

Локальна та інтегральна теореми Лапласа.

Цими теоремами ми користуємося у разі, коли n досить велике.

Локальна теорема Лапласа

Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях подія настане рівно до разів, приблизно одно:

Таблиця функцій для позитивних значень (х) наведена у задачнику Гмурмана у Додатку 1, стор.324-325.

Так як парна (), то для негативних значень (х) користуємося тією самою таблицею.

Інтегральна теорема Лапласа.

Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях подія настане не менш як раз, приблизно однаково:

Функція Лапласа

Таблиця функцій для позитивних значень наведено задачнику Гмурмана в Додатку 2, стр.326-327. Для значень великих 5 вважаємо Ф(х)=0,5.

Так як функція Лапласа непарна Ф(-х)=-Ф(х), то для негативних значень (х) користуємося тією ж таблицею, тільки значення функції беремо зі знаком мінус.

Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини

Біномінальний закон розподілу.

Дискретна- Випадкова величина, можливі значення якої є окремі ізольовані числа, які ця величина приймає з певними ймовірностями. Іншими словами, можливі значення дискретної випадкової величини можна пронумерувати.

Число можливих значень дискретної випадкової величини може бути кінцевим або нескінченним.

Дискретні випадкові величини позначаються великими літерами Х, які можливі значення - маленькими х1, х2, х3…

Наприклад.

Х - число очок, що випали на гральній кістці; Х приймає шість можливих значень: х1=1, х2=1, х3=3, х4=4, х5=5, х6=6 з ймовірностями р1=1/6, р2=1/6, р3=1/6... р6 =1/6.

Законом розподілу дискретної випадкової величининазивають перелік її можливих значень та відповідних їм ймовірностей.

Закон розподілу може бути заданий:

1. як таблиці.

2. Аналітично – у вигляді формули.

3. графічно. І тут у прямокутної системі координат ХОР будуються точки М1(х1,р1), М2(х2,р2), … Мn(хn,рn). Ці точки з'єднують відрізками прямих. Отриману фігуру називають багатокутником розподілу.

Для написання закону розподілу дискретної випадкової величини (х) треба перерахувати всі її можливі значення і знайти відповідні їм ймовірності.

Якщо відповідні їм ймовірності перебувають за формулою Бернуллі, такий закон розподілу називається биномиальным.

Приклад №168, 167, 171, 123, 173, 174, 175.

Числові значення дискретних випадкових величин

Математичне очікування, дисперсія та середнє квадратичне відхилення.

Характеристикою середнього значення дискретної випадкової величини є математичне очікування.

Математичним очікуваннямдискретної випадкової величини називається сума творів її можливих значень з їхньої ймовірності. Тобто. якщо заданий закон розподілу, то математичне очікування

Якщо кількість можливих значень дискретної випадкової величини нескінченна, то

Причому ряд, що стоїть у правій частині рівності, сходиться абсолютно, і сума всіх ймовірностей рi дорівнює одиниці.

Властивості математичного очікування.

1. М(С)=З, З=пост.

2. М(Сх) = СМ(х)

3. М(х1+х2+…+хn)=М(х1)+М(х2)+…+М(хn)

4. М(х1*х2*…*хn)=М(х1)*М(х2)*…*М(хn).

5. Для біномінального закону розподілу математичне очікування знаходиться за такою формулою:

Характеристикою розсіювання можливих значень випадково величини навколо математичного очікування є дисперсія та середнє квадратичне відхилення.

Дисперсієюдискретної випадкової величини (х) називають математичне очікування відхилення квадрата. Д(х)=М(х-М(х)) 2 .

Дисперсію зручно обчислювати за такою формулою: Д(х)=М(х 2)-(М(х)) 2 .

Властивості дисперсії.

1. Д(С)=0, С=пост.

2. Д(Сх)=З 2 Д(х)

3. Д(х1+х2+…+хn)=Д(х1)+Д(х2)+…+Д(хn)

4. Дисперсія біномінального закону розподілу

Середнім квадратичним відхиленнямвипадкової величини називають квадратний корінь із дисперсії.

приклади. 191, 193, 194, 209, д/з.

Інтегральна функція розподілу (ІФР, ФР) імовірності безперервної випадкової величини (НСВ). Безперервна- величина, яка може набувати всіх значень з деякого кінцевого або нескінченного проміжку. Число можливих значень НСВ є його неможливо перенумерувати.

Наприклад.

Відстань, що пролітає снаряд під час пострілу, є НСВ.

ІФР називають функцію F(x), що визначає для кожного значення х ймовірність того, що НСВ Х прийме значення Х<х, т.е. F(x)=Р(X

Часто замість ІФР кажуть ФР.

Геометрично, рівність F(x)=Р(X

Властивості ІФ.

1. Значення ІФ належить проміжку, тобто. F(x).

2. ІФ є незменшуюча функція, тобто. х2>х1,.

Наслідок 1. Імовірність того, що НСВ Х набуде значення, укладеного в інтервалі (а; в), дорівнює збільшенню інтегральної функції цьому інтервалі, тобто.

P(a

Наслідок 2. Імовірність те, що НСВ Х набуде одне певне значення, наприклад, х1=0, дорівнює 0, тобто. Р(х = х1) = 0.

3. Якщо всі можливі значення НСХ належать (а;в), то F(x)=0 при x<а, и F(x)=1 при х>в.

Наслідок 3. Справедливі такі граничні відносини.

Диференціальна функція розподілу (ДФР) ймовірностей безперервної випадкової величини (НСВ) (щільність ймовірності).

ДФ f(x)розподілу ймовірностей НСВ називають першу похідну від ІФР:

Часто замість ФДР кажуть густина ймовірності (ПВ).

З визначення слідує, що, знаючи ІФ F(x) можна знайти ДФ f(x). Але виконується зворотне перетворення: знаючи ДФ f(x), можна знайти ІФ F(x).

Імовірність того, НСВ Х набуде значення, що належить (а;в), знаходиться:

А). Якщо задана ІФ – слідство 1.

б). Якщо задана ДФ

Властивості ДФ.

1. ДФ – не негативна, тобто. .

2. невласний інтеграл від ДФ не більше (), дорівнює 1, тобто. .

Наслідок 1. Якщо всі можливі значення НСП Х належать (а;в), то.

приклади. №263, 265, 266, 268, 1111, 272, д/з.

Числові характеристики НСП.

1. Математичне очікування (МО) НСВ Х, можливі значення якої належать всій осі ОХ, визначається за такою формулою:

Якщо всі можливі значення НСВ Х належать (а; в), МО визначається за формулою:

Усі властивості МО, зазначені для дискретних величин, зберігаються й у безперервних величин.

2. Дисперсія НСВ Х, можливі значення якої належать до всієї осі ОХ, визначається за формулою:

Якщо всі можливі значення НСВ Х належать (а; в), то дисперсія визначається за такою формулою:

Усі властивості дисперсії, зазначені для дискретних величин, зберігаються й у безперервних величин.

3. Середнє квадратичне відхилення НСВ Х визначається так само, як і для дискретних величин:

приклади. №276, 279, Х, д/з.

Операційні обчислення (ОІ).

ОІ являє собою метод, що дозволяє звести операції диференціювання та інтегрування функцій до більш простих дій: множення та поділ на аргумент так званих зображень цих функцій.

Використання ОІ полегшує вирішення багатьох завдань. Зокрема, задач інтегрування ЛДУ з постійними коефіцієнтами та систем таких рівнянь, зводячи їх до лінійних алгебраїчних.

Оригінали та зображення. Перетворення Лапласу.

f(t)-оригінал; F(p)-зображення.

Перехід f(t)F(p) називається перетворення Лапласа.

Перетворення за Лапласом функції f(t) називається F(p), яка залежить від комплексної змінної та визначається формулою:

Цей інтеграл називається інтегралом Лапласа. Для збіжності цього невласного інтеграла досить припустити, що у проміжку f(t) шматково безперервна і за деяких постійних М>0 і задовольняє нерівності

Функція f(t), що має такі властивості, називається оригіналом, а перехід від оригіналу до його зображення називається перетворенням Лапласа.

Властивості перетворення Лапласа.

Безпосереднє визначення зображень за формулою (2) зазвичай утруднене і може бути суттєво полегшене використанням властивостей перетворення Лапласа.

Нехай F(p) та G(p) є зображеннями оригіналів f(t) та g(t) відповідно. Тоді мають місце такі властивості-співвідношення:

1. З * f (t) З * F (p), З = const-властивість однорідності.

2. f(t)+g(t)F(p)+G(p) -властивість адитивності.

3. f(t)F(p-) -теорема усунення.

перехід n-ої похідної оригіналу зображення (теорема диференціювання оригіналу).

Локальна та інтегральна теореми Лапласа

Ця стаття є природним продовженням уроку про незалежних випробуваннях, на якому ми познайомилися з формулою Бернулліта відпрацювали типові приклади на тему. Локальна та інтегральна теореми Лапласа (Муавра-Лапласа) вирішують аналогічне завдання з тією відмінністю, що вони застосовні до досить великої кількості незалежних випробувань. Не треба гасати слів «локальна», «інтегральна», «теореми» – матеріал освоюється з тією ж легкістю, з якою Лаплас потріпав кучеряву голову Наполеона. Тому без будь-яких комплексів та попередніх зауважень одразу ж розглянемо демонстраційний приклад:

Монета підкидається 400 разів. Знайти ймовірність того, що орел випаде 200 разів.

За характерними ознаками тут слід застосувати формулу Бернуллі . Згадаймо зміст цих букв:

- Імовірність того, що в незалежних випробуваннях випадкова подія настане рівно раз;
– біноміальний коефіцієнт;
- ймовірність появи події у кожному випробуванні;

Стосовно нашого завдання:
– загальна кількість випробувань;
– кількість кидків, у яких має випасти орел;

Таким чином, ймовірність того, що в результаті 400 кидків монети орел випаде рівно 200 разів: … Стоп, що робити далі? Мікрокалькулятор (принаймні, мій) не впорався з 400-м ступенем і капітулював перед факторіалами. А рахувати через твір щось не захотілося =) Скористаємось стандартною функцією Екселюяка зуміла обробити монстра: .

Загострюю вашу увагу, що отримано точнезначення і таке рішення начебто ідеальне. На перший погляд. Перерахуємо значні контраргументи:

– по-перше, програмне забезпечення може опинитися під рукою;
– і по-друге, рішення виглядатиме нестандартно (З чималою ймовірністю доведеться вирішувати);

Тому, шановні читачі, у найближчому майбутньому на нас чекає:

Локальна теорема Лапласа

Якщо ймовірність появи випадкової події у кожному випробуванні постійна, то ймовірність того, що у випробуваннях подія настане рівно раз, приблизно дорівнює:
де .

При цьому, чим більше, тим розрахована ймовірність краще наближати точне значення, отримане (хоча б гіпотетично)за формулою Бернуллі. Мінімальна кількість випробувань, що рекомендується, - приблизно 50-100, в іншому випадку результат може виявитися далеким від істини. Крім того, локальна теорема Лапласа працює тим краще, чим ймовірність ближче до 0,5, і навпаки - дає істотну похибку при значеннях, близьких до нуля або одиниці. З цієї причини ще одним критерієм ефективного використання формули є виконання нерівності () .

Так, наприклад, якщо те і застосування теореми Лапласа для 50 випробувань виправдане. Але якщо і , то і наближення (До точного значення)буде поганим.

Про те, чому і про особливу функцію ми поговоримо на уроці про нормальному розподілі ймовірностей, А поки нам буде потрібно формально-обчислювальна сторона питання. Зокрема, важливим фактом є парністьцієї функції: .

Оформимо офіційні відносини з нашим прикладом:

Завдання 1

Монета підкидається 400 разів. Знайти ймовірність того, що орел випаде рівно:

а) 200 разів;
б) 225 разів.

З чого почати Рішення? Спочатку розпишемо відомі величини, щоб вони були перед очима:

– загальна кількість незалежних випробувань;
- можливість випадання орла у кожному кидку;
- Можливість випадання решки.

а) Знайдемо ймовірність того, що в серії з 400 кидків орел випаде рівно разів. Через велику кількість випробувань використовуємо локальну теорему Лапласа: , де .

На першому кроці обчислимо необхідне значення аргументу:

Далі знаходимо відповідне значення функції: . Це можна зробити кількома способами. Насамперед, звичайно ж, напрошуються безпосередні обчислення:

Округлення проводять, як правило, до 4 знаків після коми.

Недолік прямого обчислення полягає в тому, що експоненту перетравлює далеко не кожен мікрокалькулятор, крім того, розрахунки не надто приємні і забирають час. Навіщо так мучитися? Використовуйте калькулятор за тервером (Пункт 4)та отримуйте значення моментально!

Крім того, існує таблиця значень функції, яка є практично в будь-якій книзі з теорії ймовірностей, зокрема, у навчальному посібнику В.Є. Гмурмана. Закачайте, хто ще не закачав - там взагалі багато корисного; І обов'язково навчитеся користуватись таблицею (прямо зараз!)- Підходящої обчислювальної техніки завжди може не опинитися під рукою!

На заключному етапі застосуємо формулу :
- Імовірність того, що при 400 кидках монети орел випаде рівно 200 разів.

Як бачите, отриманий результат дуже близький до точного значення, обчисленого за формулі Бернуллі.

б) Знайдемо ймовірність того, що в серії із 400 випробувань орел випаде рівно раз. Використовуємо локальну теорему Лапласа. Раз, два, три – і готово:

- Шукана ймовірність.

Відповідь:

Наступний приклад, як багато хто здогадався, присвячений дітонародженню - і це вам для самостійного вирішення:)

Завдання 2

Імовірність народження хлопчика дорівнює 0,52. Знайти ймовірність того, що серед 100 новонароджених виявиться рівно: а) 40 хлопчиків; б) 50 хлопчиків; в) 30 дівчаток.

Результати заокруглити до 4 знаків після коми.

…Цікаво тут звучить словосполучення «незалежні випробування» =) До речі, реальна статистична ймовірністьнародження хлопчика у багатьох регіонах світу коливається не більше від 0,51 до 0,52.

Зразок оформлення завдання наприкінці уроку.

Всі помітили, що числа виходять досить малими, і це не повинно вводити в оману - адже йдеться про ймовірності окремо взятих, локальнихзначеннях (звідси і назва теореми). А таких значень багато, і, образно кажучи, можливості «має вистачити усім». Щоправда, багато подій будуть практично неможливими.

Поясню сказане вище на прикладі з монетами: у серії з чотирьохсот випробувань орел теоретично може випасти від 0 до 400 разів, і дані події утворюють повну групу:

Проте більша частина цих значень є сущим мізером, так, наприклад, ймовірність того, що орел випаде 250 разів – вже одна десятимільйонна: . Про значення на кшталт тактовно замовчимо =)

З іншого боку, не слід недооцінювати і скромні результати: якщо складає всього близько, то ймовірність того, що орел випаде, скажімо, від 220 до 250 разів, буде дуже помітна.

А тепер замислимося: як вирахувати цю ймовірність? Не рахувати ж по теореми складання ймовірностей несумісних подійсуму:

Набагато простіше ці значення об'єднати. А об'єднання чогось, як ви знаєте, називається інтегруванням:

Інтегральна теорема Лапласа

Якщо ймовірність появи випадкової події у кожному випробуванні постійна, то ймовірність того, що у випробуваннях подія настане не менше і не більше разів (від разів включно), приблизно дорівнює:

При цьому кількість випробувань, зрозуміло, теж має бути досить великою і ймовірність не дуже мала / велика (орієнтовно), інакше наближення буде поганим чи поганим.

Функція називається функцією Лапласа, та її значення знову ж таки зведені в стандартну таблицю ( знайдіть і навчитеся з нею працювати!!). Мікрокалькулятор тут не допоможе, оскільки інтеграл є таким, що не береться. Але в Екселі є відповідний функціонал – використовуйте пункт 5 розрахункового макета.

Насправді найчастіше зустрічаються такі значения:
- Перепишіть до себе в зошит.
Починаючи з , можна вважати, що , або якщо записати суворіше:

Крім того, функція Лапласа непарна: , і ця властивість активно експлуатується у завданнях, які нас вже зачекалися:

Завдання 3

Імовірність ураження стрільцем мішені дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що при 100 пострілах мішень буде вражена від 65 до 80 разів.

Я підібрав найбільш реалістичний приклад, а то в мене тут знайшлося кілька завдань, в яких стрілець робить тисячі пострілів.

Рішення: у цій задачі йдеться про повторних незалежних випробуваннях, причому їх кількість досить велика. За умовою потрібно визначити можливість, що мета буде вражена щонайменше 65, а й трохи більше 80 раз, отже, необхідно використовувати інтегральну теорему Лапласа: , де

Для зручності перепишемо вихідні дані у стовпчик:
- всього пострілів;
- Мінімальна кількість попадань;
– максимальна кількість влучень;
- Можливість попадання в ціль при кожному пострілі;
- Імовірність промаху при кожному пострілі.

Отже, теорема Лапласа надасть гарне наближення.

Обчислимо значення аргументів:

Звертаю вашу увагу, що твір зовсім не повинен повністю витягуватися з-під кореня (як люблять «підганяти» числа авторів завдань)- Без тіні сумніву витягаємо корінь і округляємо результат; я звик залишати 4 знаки після коми. А ось отримані значення зазвичай округляють до 2 знаків після коми – ця традиція йде з таблиці значень функціїде аргументи представлені саме в такому вигляді.

Використовуємо вказану вище таблицю або розрахунковий макет по терверу (Пункт 5).
Як письмовий коментар раджу поставити таку фразу: значення функції знайдемо за відповідною таблицею:

- Можливість того, що при 100 пострілах мета буде вражена від 65 до 80 разів.

Обов'язково користуємося непарністю функції!Про всяк випадок розпишу докладно:

Справа в тому що таблиця значень функціїмістить лише позитивні «ікс», а ми працюємо (принаймні, по «легенді»)з таблицею!

Відповідь:

Результат найчастіше округляють до 4 знаків після коми (Знову ж таки відповідно до формату таблиці).

Для самостійного вирішення:

Завдання 4

У будівлі є 2500 ламп, можливість включення кожної з них у вечірній час дорівнює 0,5. Знайти ймовірність того, що ввечері буде включено щонайменше 1250 і не більше 1275 ламп.

Зразок чистового оформлення наприкінці уроку.

Слід зазначити, що ці завдання дуже часто зустрічаються в «знеособленому» вигляді, наприклад:

Виробляється деякий досвід, у якому випадкова подія може з'явитися з ймовірністю 0,5. Досвід повторюється у постійних умовах 2500 разів. Визначити ймовірність того, що у 2500 дослідах подія відбудеться від 1250 до 1275 разів

І подібних формулювань вище за дах. Через трафаретність завдань умова нерідко прагнуть завуалювати – це «єдиний шанс» хоч якось урізноманітнити і ускладнити рішення:

Завдання 5

В інституті навчається 1000 студентів. У їдальні є 105 посадочних місць. Кожен студент вирушає до їдальні на великій зміні з ймовірністю 0,1. Яка ймовірність того, що у звичайний навчальний день:

а) їдальня буде заповнена не більше ніж на дві третини;
б) посадкових місць усім не вистачить.

Звертаю увагу на суттєве застереження «Звичайний навчальний день» – воно забезпечує відносну незмінність ситуації. Після свят до інституту може прийти значно менше студентів, а на «День відкритих дверей» нагрянутиме голодна делегація =) Тобто, у «незвичайний» день ймовірності помітно відрізнятимуться.

Рішення: використовуємо інтегральну теорему Лапласа, де

У цій задачі:
- всього студентів в інституті;
- Імовірність того, що студент відправиться в їдальню на великій зміні;
- Імовірність протилежної події.

а) Обчислимо, скільки посадкових місць становлять дві третини від загальної кількості: місць

Знайдемо ймовірність того, що у звичайний навчальний день їдальня буде заповнена не більше ніж на дві третини. Що це означає? Це означає, що на великій перерві прийдуть від 0 до 70 осіб. Те, що ніхто не прийде або прийде лише кілька студентів – є події практично неможливіПроте з метою застосування інтегральної теореми Лапласа ці ймовірності все одно слід врахувати. Таким чином:

Обчислимо відповідні аргументи:

В результаті:

- Імовірність того, що у звичайний навчальний день їдальня буде заповнена не більше ніж на дві третини.

Нагадування : при функцію Лапласа вважаємо рівною.

Товкучка, проте =)

б) Подія «Посадкових місць на всіх не вистачить»полягає в тому, що в їдальню на великій перерві прийдуть обідати від 106 до 1000 осіб (Головне, добре ущільнити =)).Зрозуміло, що висока відвідуваність неймовірна, проте: .

Розраховуємо аргументи:

Таким чином, ймовірність того, що посадкових місць на всіх не вистачить:

Відповідь:

А тепер зупинимося на одному важливому нюансіметоду: коли ми проводимо обчислення на окремо взятому відрізку, то все "безхмарно" - вирішуйте за розглянутим шаблоном. Однак у разі розгляду повної групи подійслід виявити певну акуратність. Поясню цей момент на прикладі щойно розібраного завдання. У пункті «бе» ми знайшли ймовірність того, що посадкових місць на всіх не вистачить. Далі, за тією самою схемою розрахуємо:
- Імовірність того, що місць вистачить.

Оскільки ці події протилежні, то сума ймовірностей повинна дорівнювати одиниці:

В чому справа? - Начебто тут все логічно. Справа в тому, що функція Лапласа є безперервний, а ми не врахували інтервалвід 105 до 106. Ось тут і зник шматочок 0,0338. Тому за тією ж стандартною формулоюслід обчислити:

Ну, або ще простіше:

Виникає питання: а що, якщо ми СПОЧАТКУ знайшли ? Тоді буде інша версія рішення:

Але як це може бути?! - У двох способах виходять різні відповіді! Все просто: інтегральна теорема Лапласа – це метод наближеногообчислення, і тому прийнятні обидва шляхи.

Для більш точних розрахунків слід скористатися формулою Бернулліі, наприклад, екселевський функцією БІНОМРАСП. В результаті її застосуванняотримуємо:

І я висловлюю подяку одному із відвідувачів сайту, який звернув увагу на цю тонкість – вона випала з мого поля зору, оскільки дослідження повної групи подій рідко зустрічається на практиці. Бажаючі можуть ознайомитися з