Вирішити рівняння з комплексними числами онлайн. Як вирішити комплексне рівняння з математики
Вирази, рівняння та системи рівнянь
з комплексними числами
Сьогодні на занятті ми відпрацюємо типові дії з комплексними числами, а також освоїмо техніку розв'язання виразів, рівнянь та систем рівнянь, які ці числа містять. Даний практикум є продовженням уроку, і тому якщо ви неважливо орієнтуєтеся в темі, будь ласка, пройдіть за вказаним вище посиланням. Ну а більш підготовленим читачам пропоную відразу розігрітися:
Приклад 1
Спростити вираз якщо . Подати результат у тригонометричній формі та зобразити його на комплексній площині.
Рішення: Отже, потрібно підставити в «страшний» дріб, провести спрощення, і перекласти отримане комплексне числов тригонометричну форму. Плюс креслення.
Як краще оформити рішення? З «навороченим» виразом алгебри вигідніше розбиратися поетапно. По-перше, менше розсіюється увага, і, по-друге, якщо завдання не зарахують, то буде набагато простіше відшукати помилку.
1) Спочатку спростимо чисельник. Підставимо в нього значення, розкриємо дужки і поправимо зачіску:
…Так, такий ось Квазімодо від комплексних чисел вийшов…
Нагадую, що в ході перетворень використовуються абсолютно нехитрі речі – правило множення багаточленів і рівність, що вже стала банальною. Головне, бути уважним і не заплутатися у знаках.
2) Тепер на черзі знаменник. Якщо , то:
Зауважте, в якій незвичній інтерпретації використано формула квадрата суми. Як варіант, тут можна виконати перестановку підформулу. Результати, звісно, збігатимуться.
3) І, нарешті, весь вираз. Якщо , то:
Щоб позбутися дробу, помножимо чисельник і знаменник на поєднане знаменнику вираз. При цьому з метою застосування формули різниці квадратівслід попередньо (і вже обов'язково!)поставити негативну дійсну частину на 2 місце:
А зараз ключове правило:
НІ В ЯКОМУ РАЗІ НЕ квапимося! Краще перестрахуватися та прописати зайвий крок.
У виразах, рівняннях та системах з комплексними числами самовпевнені усні обчислення загрожує, як ніколи!
На завершальному кроці відбулося гарне скорочення і це просто чудова ознака.
Примітка : Строго кажучи, тут відбувся розподіл комплексного числа на комплексне число 50 (згадуємо, що). Про цей нюанс я замовчував досі і про нього ми ще поговоримо трохи згодом.
Позначимо наше досягнення буквою
Представимо отриманий результат у тригонометричній формі. Взагалі кажучи, тут можна обійтися без креслення, але якщо потрібно, - трохи раціональніше виконати його прямо зараз:
Обчислимо модуль комплексного числа:
Якщо виконувати креслення у масштабі 1 од. = 1 см (2 зошити клітини), то отримане значення легко перевірити за допомогою звичайної лінійки.
Знайдемо аргумент. Так як число розташоване у 2-й координатній чверті, то:
Кут просто перевіряється транспортиром. Ось у чому полягає безперечний плюс креслення.
Таким чином: – число, що шукається в тригонометричній формі.
Виконаємо перевірку:
, у чому й потрібно переконатися.
Незнайомі значення синуса та косинуса зручно знаходити по тригонометричної таблиці.
Відповідь:
Аналогічний приклад для самостійного вирішення:
Приклад 2
Спростити вираз де . Зобразити отримане число на комплексній площині та записати його у показовій формі.
Намагайтеся не пропускати навчальні приклади. Здаються вони, можливо, і простими, але без тренування «сісти в калюжу» не просто легко, а дуже легко. Тому «набиваємо руку».
Нерідко завдання допускає не єдиний шлях розв'язання:
Приклад 3
Обчислити , якщо ,
Рішення: перш за все, звернемо увагу на оригінальну умову – одне число представлене в алгебраїчній, а інше – у тригонометричній формі, та ще й з градусами. Давайте відразу перепишемо його у більш звичному вигляді: .
У якій формі проводити обчислення? Вираз, очевидно, передбачає першочергове множення і подальше зведення в 10-у ступінь формулі Муавра, яка сформульована для тригонометричної форми комплексного числа Таким чином, видається більш логічним перетворити перше число. Знайдемо його модуль та аргумент:
Використовуємо правило множення комплексних чисел у тригонометричній формі:
якщо , то
Роблячи дріб правильним, приходимо до висновку, що можна «скрутити» 4 обороти (Рад.):
Другий спосіб вирішенняполягає в тому, щоб перевести 2-ге число в форму алгебри , виконати множення в формі алгебри, перевести результат в тригонометричну форму і скористатися формулою Муавра.
Як бачите, одна «зайва» дія. Бажаючі можуть довести рішення до кінця та переконатися, що результати збігаються.
В умові нічого не сказано про форму підсумкового комплексного числа, тому:
Відповідь:
Але «для краси» або на вимогу результат неважко уявити і в формі алгебри:
Самостійно:
Приклад 4
Спростити вираз
Тут слід згадати дії зі ступенями, хоча єдиного корисного правила методичці немає, ось воно: .
І ще одне важливе зауваження: приклад можна вирішити у двох стилях. Перший варіант – працювати з двомачислами та миритися з дробами. Другий варіант – уявити кожне число у вигляді приватного двох чисел: і позбавитися чотирьохповерхівості. З формальної точки зору не має значення, як вирішувати, але змістовна відмінність є! Будь ласка, добре осмисліть:
- Це комплексне число;
– це приватне двох комплексних чисел ( і ), проте залежно від контексту можна сказати і так: число , подане у вигляді приватного двох комплексних чисел.
Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку.
Вирази – добре, а рівняння – краще:
Рівняння з комплексними коефіцієнтами
Чим вони відрізняються від «звичайних» рівнянь? Коефіцієнтами =)
У світлі вищенаведеного зауваження почнемо з цього прикладу:
Приклад 5
Розв'язати рівняння
І негайна преамбула за «гарячими слідами»: спочаткуправа частина рівняння позиціонується, як приватне двох комплексних чисел ( і 13), і тому поганим тоном переписати умову з числом (хоча це і не спричинить помилки). Більш виразно дана відмінність, до речі, проглядається в дробі – якщо, умовно кажучи, то це значення в першу чергу розуміється як «повноцінний» комплексний корінь рівняння, а чи не як дільник числа , і більше – як частина числа !
Рішення, В принципі, теж можна оформити покроково, але в даному випадку шкурка вичинки не стоїть. Початкове завдання полягає в тому, щоб спростити все, що не містить невідомої «зет», внаслідок чого рівняння зведеться до вигляду:
Впевнено спрощуємо середній дріб:
Результат переносимо у праву частину та знаходимо різницю:
Примітка
: і знову звертаю вашу увагу на змістовний момент – тут ми не відняли з числа, а підвели дроби до спільного знаменника! Слід зазначити, що вже в ході рішення можна працювати і з числами: , правда, у прикладі такий стиль швидше шкідливий, ніж корисний =)
За правилом пропорції виражаємо «зет»:
Тепер можна знову розділити і помножити на сполучене вираз, але підозріло схожі числа чисельника та знаменника підказують наступний хід:
Відповідь:
З метою перевірки підставимо отримане значення у ліву частину вихідного рівняння та проведемо спрощення:
- Отримана права частина вихідного рівняння, таким чином, корінь знайдено правильно.
…Зараз-зараз… підберу вам щось цікавіше… тримайте:
Приклад 6
Розв'язати рівняння
Дане рівняння зводиться до вигляду, отже, є лінійним. Натяк, думаю, зрозумілий - дерзайте!
Звичайно ж… як можна без нього прожити:
Квадратне рівняння з комплексними коефіцієнтами
На уроці Комплексні числа для чайниківми дізналися, що квадратне рівняння з дійсними коефіцієнтами може мати пов'язане комплексне коріння, після чого виникає закономірне питання: а чому, власне, самі коефіцієнти не можуть бути комплексними? Сформулюю загальний випадок:
Квадратне рівняння з довільними комплексними коефіцієнтами (1 або 2 з яких або всі три можуть бути, зокрема, і дійсними)має два і лише двакомплексного кореня (Можливо один з яких або обидва дійсні). При цьому коріння (як дійсні, так і з ненульовою уявною частиною)можуть збігатися (бути кратними).
Квадратне рівняння з комплексними коефіцієнтами вирішується за такою самою схемою, що і «шкільне» рівняння, з деякими відмінностями у техніці обчислень:
Приклад 7
Знайти коріння квадратного рівняння
Рішення: на першому місці розташована уявна одиниця, і, в принципі, її можна позбутися (помножуючи обидві частини на )Однак у цьому немає особливої потреби.
Для зручності випишемо коефіцієнти:
Не втрачаємо мінус у вільного члена! …Можливо не всім зрозуміло – перепишу рівняння у стандартному вигляді :
Обчислимо дискримінант:
А ось і головна перешкода:
Застосування загальної формули вилучення кореня (Див. останній параграф статті Комплексні числа для чайників)
ускладнюється серйозними труднощами, пов'язаними з аргументом підкореного комплексного числа (переконайтеся самі). Але є й інший, «алгебраїчний» шлях! Корінь будемо шукати у вигляді:
Зведемо обидві частини квадрат:
Два комплексні числа рівні, якщо рівні їх дійсні та їх уявні частини. Таким чином, отримуємо таку систему:
Систему простіше вирішити підбором (Грунтовніший шлях – висловити з 2-го рівняння – підставити в 1-е, отримати і вирішити біквадратне рівняння). Припускаючи, що автор завдання не викинув, висуваємо гіпотезу, що і цілі числа. З одного рівняння випливають, що «ікс» за модулембільше, ніж «ігрок». Крім того, позитивний твір повідомляє, що невідомі одного знака. Виходячи з вищесказаного, і орієнтуючись на 2-е рівняння, запишемо всі пари:
Очевидно, що 1-му рівнянню системи задовольняють дві останні пари, таким чином:
Не завадить проміжна перевірка:
що й потрібно перевірити.
Як «робочий» корінь можна вибрати будь-якезначення. Зрозуміло, що краще взяти версію без мінусів:
Знаходимо коріння, не забуваючи, до речі, що:
Відповідь:
Перевіримо, чи задовольняють знайдені корені рівняння :
1) Підставимо:
правильне рівність.
2) Підставимо:
правильне рівність.
Таким чином, рішення знайдено правильно.
За мотивами щойно розібраного завдання:
Приклад 8
Знайти коріння рівняння
Слід зазначити, що квадратний корінь з суто комплексногочисла чудово витягується і за допомогою загальної формули , де тому у зразку наведено обидва способи. Друге корисне зауваження стосується того, що попереднє вилучення кореня з константи не спрощує рішення.
А тепер можна розслабитися - у цьому прикладі ви відбудетеся легким переляком:)
Приклад 9
Вирішити рівняння та виконати перевірку
Рішення та відповіді наприкінці уроку.
Заключний параграф статті присвячений
системі рівнянь із комплексними числами
Розслабилися і… не напружуємося =) Розглянемо найпростіший випадок – систему двох лінійних рівнянь із двома невідомими:
Приклад 10
Розв'язати систему рівнянь. Відповідь подати в алгебраїчній та показовій формах, зобразити коріння на кресленні.
Рішення: вже сама умова підказує, що система має єдине рішення, тобто нам потрібно знайти два числа, які задовольняють кожномурівняння системи.
Систему реально вирішити «дитячим» способом (висловити одну змінну через іншу)
, проте набагато зручніше використовувати формули Крамера. Обчислимо головний визначниксистеми:
Отже, система має єдине рішення.
Повторюся, що краще не поспішати та прописувати кроки максимально докладно:
Домножуємо чисельник та знаменник на уявну одиницю і отримуємо 1-й корінь:
Аналогічно:
Отримано відповідні праві частини, ч.т.п.
Виконаємо креслення:
Представимо коріння у показовій формі. Для цього потрібно знайти їх модулі та аргументи:
1) - арктангенс "двійки" обчислюється "погано", тому так і залишаємо: