Порахуйте найраціональнішим способом. Раціональні способи обчислень

Нинішній рівень розвитку засобів автоматизації обчислень створив у багатьох ілюзію у тому, що розвивати обчислювальні навички не обов'язково. Це позначилося на підготовленості школярів. За відсутності калькулятора навіть нескладні завдання обчислювального плану для багатьох стають проблемою.

У той же час, екзаменаційні завдання та матеріали з ЄДІ містять багато завдань, вирішення яких вимагає від випробуваних умінь раціональної організації обчислень.

У статті розглянемо деякі способи оптимізації обчислень та його застосування до завдань конкурсного характеру.

Найчастіше способи оптимізації обчислень пов'язані із застосуванням основних законів виконання арифметичних дій.

Наприклад:

125 · 24 = 125 · 8 · 3 = 1000 · 3 = 3000; або

98 · 16 (100 - 2) · 16 = 100 · 16 - 2 · 16 = 1600 - 32 = 1568 і т.д.

Інший напрямок – використання формул скороченого множення.

96 · 104 = (100 - 4) · (100 + 4) = 100 2 - 4 2 = 10000 - 16 = 9984; або

115 2 = (100 + 15) 2 = 10000 + 2 · 15 · 100 + 225 = 10525.

Цікавим для обчислень є приклад.

Обчислити:

(197 · 203 + 298 · 302 + 13) / (1999 · 2001 + 2993 · 3007 + 50) =
= ((200 – 3) · (200 + 3) + (300 – 2) · (300 + 2) + 13) / ((2000 – 1) · (2000 + 1) + (3000 – 7) · (3000 + 7) + 50) =
= (200 2 – 3 2 + 300 2 – 2 2 + 13) / (2000 2 – 1 2 + 3000 2 – 7 2 – 50) =
= 130000 / 13000000 = 0,01

Це практично стандартні способи оптимізації обчислень. Іноді пропонуються і екзотичніші. Як приклад розглянемо спосіб множення двоцифрових чисел, сума одиниць у яких дорівнює 10.

54 · 26 = 50 · 30 + 4 · (26 - 50) = 1500 - 96 = 1404 або

43 · 87 = 40 · 90 + 3 · (87 - 40) = 3600 + 141 = 3741.

Схему множення можна зрозуміти з малюнка.

Звідки виходить така схема множення?

Наші числа мають вигляд: M = 10m + n, K = 10k + (10 – n). Складемо твір:

M · K = (10m + n) (10k + (10 - n)) =
= 100mk + 100m - 10mn + 10nk + 10n - n 2 =
= m(k + 1) · 100 + n(10k + 10 - n) =
= (10m) · (10 · (k + 1)) + n · (K - 10m) та спосіб обґрунтований.

Можна навести безліч хитромудрих способів перетворення досить складних обчислень на усні завдання. Але не можна думати, що всім необхідно запам'ятовувати ці та ще купу інших хитромудрих способів спрощення обчислень. Важливо лише засвоїти деякі базові їх. Розбір інших має сенс лише вироблення навичок застосування базових методів. Саме їхнє творче застосування і дає можливість досить швидко і правильно вирішувати завдання обчислювального характеру.

Іноді при вирішенні прикладів на обчислення зручно перейти від перетворення виразу з числами перетворення багаточленів. Розглянемо наступний приклад.

Обчислити найбільш раціональним способом:

3 1 / 117 · 4 1 / 110 -1 110 / 117 · 5 118 / 119 - 5 / 119

Рішення.

Нехай а = 1/117 і b = 1/119. Тоді 3 1 / 117 = 3 + а, 4 1 / 119 = 4 + b, 1116 / 117 = 2 - а, 5118 / 119 = 6 - b.

Таким чином, заданий вираз можна записати у вигляді (3 + а) · (4 + b) – (2 – а) · (6 – b) – 5b.

Виконавши нескладні перетворення многочлена, отримаємо 10a або 10/117.

Тут ми отримали, що значення нашого вираження залежить від b. І це означає, що ми обчислили як значення даного висловлювання, а й будь-якого іншого, отриманого з (3 + а) · (4 + b) – (2 – а) · (6 – b) – 5b шляхом підстановки значень a і b. Якщо, наприклад, a = 5/329, то у відповіді отримаємо 50 / 329 яким би не було b.

Розглянемо ще один приклад, рішення якого за допомогою калькулятора практично неможливе, а відповідь досить проста, якщо знаєш підхід до вирішення прикладів такого типу

Обчислити

1 / 6 · 7 1024 - (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) · (7 7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 2 + 1) · (7 + 1)

Рішення.

Перетворимо умову

1/6 · 7 1024 - 1 / 6 · (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 +1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) · (7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 2 + 1) · (7 + 1) · (7 - 1) =

1 / 6 · 7 1024 - 1 / 6 (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) ) · (7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 2 + 1) · (7 2 - 1) =

1 / 6 · 7 1024 - 1 / 6 (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) ) · (7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 4 - 1) =

1 / 6 · 7 1024 - 1 / 6 (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) ) · (7 8 + 1) · (7 8 - 1) =

1 / 6 · 7 1024 - 1 / 6 (7 512 + 1) · (7 256 +1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) ) · (7 16 - 1) = ... =

1 / 6 · 7 1024 - 1 / 6 (7 512 + 1) · (7 512 - 1) = 1 / 6 · 7 1024 - 1 / 6 · (7 1024 - 1) = 1 / 6

Розглянемо один із прикладів, що вже став хрестоматійним в екзаменаційних матеріалах за курс базової школи

Обчислити суму:

1/2 + 1 / (2 · 3) + 1 / (3 · 4) + 1 / (4 · 5) + … + 1 / (120 · 121) =

= (1 – 1/2) + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + (1/4 – 1/5) + … + (1/120 – 1/121) =

= 1 – 1/121 = 120/121.

Тобто вирішити це завдання дозволив спосіб заміни кожного дробу різницею двох дробів. У сумі виявилися пари протилежних чисел усім, крім першого та останнього.

Але цей приклад можна узагальнити. Розглянемо суму:

k/(n · (n + k)) + k/((n + k) · (n + 2k)) + k/((n + 2k) · (n + 3k)) + … + k/(( n + (m – 1) k) · (n + mk))

Для неї справедливі ті самі міркування, які проведені в попередньому прикладі. Справді:

1/n – 1/(n + k) = k/(n · (n + k));

1/((n + k) – 1/(n + 2k) = k/((n + k) · (n + 2k)) і т.д.

Тоді відповідь збудуємо за тією ж схемою: 1/n – 1/(n + mk) = mk/(n · (n + mk))

І ще про «довгі» суми.

суму

Х = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/1024

можна обчислити як суму 11 членів геометричної прогресії зі знаменником 1/2 та першим членом 1. Але цю ж суму може обчислити і учень 5 класу, який не має уявлення про прогресії. Для цього досить успішно підібрати число, яке додамо до суми Х. Таким числом тут виявиться 1/1024.

Обчислимо

Х + 1/1024 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + (1/1024 + 1 / 1024) =
= 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/512 =
=1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/256 = … = 1 + 1/2 + 1/2 = 2.

Тепер очевидно, що Х = 2 – 1/1024 = 1 1023 / 1024 .

Другий спосіб не менш перспективний. З його допомогою можна обчислити суму:

S = 9 + 99 + 999 + 9999 + … + 99999999999.

Тут "вдале" число 11. Додаючи його до S і розподілимо рівномірно між усіма 11 доданками. Кожному з них тоді дістанеться по 1. Тоді маємо:

S + 11 = 9 + 1 + 99 + 1 + 999 + 1 + 9999 + 1 + … + 99 999 999 999 + 1 =
= 10 + 100 + 1000 + 10000 + ... + 100 000 000 000 = 111 111 111 110;

Отже, S = 111 111 111 110 – 11 = 111 111 111 099.

1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 1 111 111 111?

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

У далекому минулому, коли ще не було придумано систему обчислення, люди підраховували все на пальцях. З появою арифметики та основ математики стало набагато простіше та практичніше вести облік товарів, продуктів, а також побутових предметів. Проте як виглядає сучасна система обчислення: які види діляться існуючі числа і що означає " раціональний вид чисел " ? Давайте розберемося.

Скільки різновидів чисел існує у математиці?

Саме поняття "число" означає якусь одиницю будь-якого предмета, яка характеризує його кількісні, порівняльні чи порядкові показники. Щоб правильно підрахувати кількість певних речей чи провести деякі математичні операції з числами (скласти, помножити та інших.), насамперед слід ознайомитися з різновидами цих чисел.

Отже, існуючі числа можна розділити за такими категоріями:

1. Натуральні - це числа, якими ми підраховуємо кількість предметів (найменше натуральне число одно 1, логічно, що ряд натуральних чисел нескінченний, т. е. немає найбільшого натурального числа). Безліч натуральних чисел прийнято позначати літерою N.
2. Цілі числа. До цієї множини відносяться всі при цьому до нього додаються і негативні значення, включаючи число "нуль". Позначення множини цілих чисел записують у вигляді латинської літери Z.
3. Раціональні числа - це, які ми подумки можемо перетворити на дріб, чисельник якої належатиме безлічі цілих чисел, а знаменник - натуральних. Трохи нижче ми розберемо докладніше, що означає раціональне число, і наведемо кілька прикладів.
4. - множина, в яку входять всі раціональні і позначається дана множина буквою R.
5. Комплексні числа містять у собі частину дійсного та частину змінного числа. Використовуються у вирішенні різних кубічних рівнянь, які, у свою чергу, можуть мати у формулах під негативний вираз (i 2 = -1).

Що означає "раціональний": розбираємо на прикладах

Якщо раціональними вважаються ті числа, які ми можемо подати у вигляді звичайного дробу, то виходить, що всі позитивні та негативні цілі числа також входять до множини раціональних. Адже будь-яке ціле число, наприклад 3 або 15, можна подати у вигляді дробу, де в знаменнику буде одиниця.

Дроби: -9/3; 7/5, 6/55 – ось приклади раціональних чисел.

Що означає "раціональний вираз"?

Йдемо далі. Ми вже розібрали, що означає раціональний вигляд чисел. Давайте тепер уявімо собі математичний вираз, який складається з суми, різниці, твору чи приватного різних чисел та змінних. Ось приклад: дріб, у чисельнику якої сума двох чи кількох цілих чисел, а знаменник містить у собі як ціле число, і якусь змінну. Саме такий вираз і називають раціональним. З правила " на нуль ділити не можна " можна здогадатися, що значення цієї змінної може бути таким, щоб значення знаменника зверталося в нуль. Тому при рішенні раціонального виразу слід спочатку визначити область значення змінної. Наприклад, якщо в знаменнику такий вираз: x+5-2, то виходить, що "x" не може дорівнювати -3. Адже в такому випадку весь вираз перетворюється на нуль, тому при вирішенні необхідно виключити ціле число -3 для цієї змінної.

Як правильно вирішувати раціональні рівняння?

Раціональні вирази можуть містити в собі досить-таки велику кількість чисел і навіть 2 змінні, тому часом їхнє рішення стає скрутним. Для полегшення рішення такого висловлювання рекомендується зробити деякі операції раціональним шляхом. Отже, що означає "раціональним способом" та які правила необхідно застосовувати при вирішенні?

1. Перший вид, коли достатньо лише спростити вираз. Для цього можна вдатися до операції скорочення чисельника та знаменника до нескорочуваної величини. Наприклад, якщо в чисельнику є вираз 18x, а в знаменнику 9х, то скорочуючи обидва показники на 9x, отримуємо просто ціле число, що дорівнює 2.
2. Другий спосіб практичний тоді, як у чисельнику маємо одночлен, а знаменнику - многочлен. Розберемо з прикладу: у чисельнику маємо 5x, а знаменнику - 5x + 20x 2 . У такому разі найкраще винести змінну у знаменнику за дужки, отримаємо наступний вид знаменника: 5x(1+4x). А тепер можна скористатися першим правилом і спростити вираз, скоротивши 5x у чисельнику та у знаменнику. У результаті отримаємо дріб типу 1/1+4x.

Які дії можна виконувати з раціональними числами?

Безліч раціональних чисел має низку своїх особливостей. Багато з них дуже схожі з характеристикою, що присутня у цілих і натуральних чисел, тому що останні завжди входять у безліч раціональних. Ось кілька властивостей раціональних чисел, знаючи які, можна легко вирішити будь-який раціональний вираз.

1. Властивість комутативності дозволяє підсумовувати два або кілька чисел, незалежно від їхньої черговості. Простіше кажучи, від зміни місць доданків сума не змінюється.
2. Властивість дистрибутивності дозволяє вирішувати завдання з допомогою розподільчого закону.
3. І, нарешті, операції складання та віднімання.

Навіть школярі знають, що означає "раціональний вид чисел" і як вирішувати завдання на основі таких виразів, тому дорослій освіченій людині просто необхідно згадати хоча б ази безлічі раціональних чисел.

У цій статті ми почнемо вивчати раціональні числа. Тут ми дамо визначення раціональних чисел, дамо необхідні пояснення та наведемо приклади раціональних чисел. Після цього зупинимося на тому, як визначити, чи є дане число раціональним чи ні.

Навігація на сторінці.

Визначення та приклади раціональних чисел

У цьому вся пункті ми дамо кілька визначень раціональних чисел. Незважаючи на відмінності у формулюваннях, всі ці визначення мають єдиний зміст: раціональні числа об'єднують цілі числа та дробові числа, подібно до того, як цілі числа поєднують натуральні числа, протилежні їм числа та число нуль. Іншими словами, раціональні числа узагальнюють цілі та дробові числа.

Почнемо з визначення раціональних чисел, що сприймається найбільш природно.

З озвученого визначення випливає, що раціональним числом є:

• Будь-яке натуральне число n. Справді, можна уявити будь-яке натуральне число у вигляді звичайного дробу, наприклад, 3=3/1.
• Будь-яке ціле число, зокрема число нуль. Насправді, будь-яке ціле число можна записати у вигляді або позитивного звичайного дробу, або у вигляді негативного звичайного дробу, або як нуль. Наприклад, 26=26/1 , .
• Будь-який звичайний дріб (позитивний або негативний). Це безпосередньо затверджується наведеним визначенням раціональних чисел.
• Будь-яке змішане число. Дійсно, завжди можна уявити змішане число у вигляді неправильного звичайного дробу. Наприклад, і .
• Будь - який кінцевий десятковий дріб або нескінченний періодичний дріб . Це так через те, що зазначені десяткові дроби перетворюються на звичайні дроби. Наприклад, , а 0, (3) = 1/3.

Також зрозуміло, що будь-яка нескінченна неперіодична десяткова дріб не є раціональним числом, так як вона не може бути представлена ​​у вигляді звичайного дробу.

Тепер ми можемо легко привести приклади раціональних чисел. Числа 4, 903, 100321 - це раціональні числа, так як вони натуральні. Цілі числа 58 , −72 , 0 , −833 333 333 також є прикладами раціональних чисел. Звичайні дроби 4/9 , 99/3 - це теж приклади раціональних чисел. Раціональними числами є і числа.

З наведених прикладів видно, що є і позитивні і негативні раціональні числа, а раціональне число нуль перестав бути ні позитивним, ні негативним.

Озвучене вище визначення раціональних чисел можна сформулювати коротшою формою.

Визначення.

Раціональними числаминазивають числа, які можна записати як дробу z/n , де z – ціле число, а n – натуральне число.

Доведемо, що це визначення раціональних чисел рівносильне попередньому визначенню. Ми знаємо, що можна розглядати межу дробу як знак розподілу , тоді з властивостей розподілу цілих чисел і правил розподілу цілих чисел слід справедливість наступних рівностей і . Отже, що і є доказом.

Наведемо приклади раціональних чисел, виходячи з даному визначенні. Числа −5 , 0 , 3 і є раціональними числами, оскільки вони можуть бути записані у вигляді дробів з цілим чисельником і натуральним знаменником виду і відповідно.

Визначення раціональних чисел можна дати і у наступному формулюванні.

Визначення.

Раціональні числа– це числа, які можуть бути записані у вигляді кінцевого або нескінченного періодичного десяткового дробу.

Це визначення також рівнозначне першому визначенню, так як будь-якому звичайному дробу відповідає кінцевий або періодичний десятковий дріб і назад, а будь-якому числу можна зіставити десятковий дріб з нулями після коми.

Наприклад, числа 5 , 0 , −13 , є прикладами раціональних чисел, оскільки їх можна записати у вигляді наступних десяткових дробів 5,0 , 0,0 , −13,0 , 0,8 і −7,(18) .

Закінчимо теорію цього пункту такими твердженнями:

• цілі та дробові числа (позитивні та негативні) становлять безліч раціональних чисел;
• кожне раціональне число може бути представлене у вигляді дробу з цілим чисельником і натуральним знаменником, а кожен такий дріб є деяким раціональним числом;
• кожне раціональне число може бути представлене у вигляді кінцевого або нескінченного періодичного десяткового дробу, а кожен такий дріб є деяким раціональним числом.

Чи є це число раціональним?

У попередньому пункті ми з'ясували, що будь-яке натуральне число, будь-яке ціле число, будь-який звичайний дріб, будь-яке змішане число, будь-який кінцевий десятковий дріб, а також будь-який періодичний десятковий дріб є раціональним числом. Це знання нам дозволяє «пізнавати» раціональні числа з множини написаних чисел.

Але як бути, якщо число задано у вигляді деякого , або як , і т.п., як відповісти на питання, чи є дане число раціональним? У багатьох випадках відповісти на нього дуже важко. Вкажемо деякі напрямки ходу думки.

Якщо число задано у вигляді числового виразу, який містить лише раціональні числа та знаки арифметичних дій (+, −, · і:), то значення цього виразу є раціональним числом. Це випливає з того, як визначено дії з раціональними числами. Наприклад, виконавши всі дії у виразі ми отримуємо раціональне число 18 .

Іноді, після спрощення виразів і складнішого виду, з'являється можливість визначити, чи раціонально задане число.

Ходімо далі. Число 2 є раціональним числом, оскільки будь-яке натуральне число є раціональним. А як щодо числа? Чи є воно раціональним? Виявляється, що ні, - не є раціональним числом, це ірраціональне число (доказ цього факту методом протилежного наведено в підручнику з алгебри за 8 клас, зазначеному нижче у списку літератури). Також доведено, що квадратний корінь з натурального числа є раціональним числом лише в тих випадках, коли під коренем знаходиться число, яке є повним квадратом деякого натурального числа. Наприклад, і - раціональні числа, оскільки 81=9 2 і 1024=32 2 , а числа і є раціональними, оскільки числа 7 і 199 є повними квадратами натуральних чисел.

А чисельність раціонально чи ні? У разі неважко помітити, що , отже, це число – раціональне. А чи є число раціональним? Доведено, що корінь k-ого ступеня з цілого числа є раціональним числом лише тоді, коли число під знаком кореня є k-им ступенем деякого цілого числа. Тому не є раціональним числом, тому що не існує цілого числа, п'ятий ступінь якого дорівнює 121 .

Метод протилежного дозволяє доводити, що логарифми деяких чисел з деяких підстав є раціональними числами. Наприклад доведемо, що - раціональне число.

Припустимо неприємне, тобто, припустимо, що - раціональне число і його можна записати у вигляді звичайного дробу m/n. І тоді дають такі рівності: . Остання рівність неможлива, тому що в лівій його частині знаходиться непарне число 5 n , а правої частини – парне число 2 m . Отже, наше припущення є невірним, таким чином, не є раціональним числом.

На закінчення варто особливо відзначити, що при з'ясуванні раціональності чи ірраціональності чисел слід утриматися від раптових висновків.

Наприклад, не варто відразу стверджувати, що добуток ірраціональних чисел π і e є ірраціональним числом, це «як очевидно», але не доведено. При цьому постає питання: «А з чого б твору бути раціональним числом»? А чому б і ні, адже можна навести приклад ірраціональних чисел, добуток яких дає раціональне число: .

Також невідомо, чи є числа та багато інших чисел раціональними чи не є такими. Наприклад, існують ірраціональні числа, ірраціональний ступінь яких є раціональним числом. Для ілюстрації наведемо ступінь виду , основу цього ступеня і показник ступеня є раціональними числами, але , а 3 – раціональне число.

Список літератури.

• Математика. 6 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Н. Я. Віленкін та ін.]. - 22-ге вид., Випр. – К.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

Кожінова Анастасія

МУНІЦИПАЛЬНЕ НЕТИПОВЕ БЮДЖЕТНЕ

ЗАГАЛЬНООСВІТНЯ УСТАНОВА

«ЛІЦЕЙ №76»

У ЧОМУ СЕКРЕТ РАЦІОНАЛЬНОГО РАХУНКУ?

Виконала:

Учениця 5 «В» класу

Кожінова Анастасія

Керівник:

Вчитель математики

Щикліна Тетяна

Миколаївна

Новокузнецьк 2013

Вступ………………………………………………………… 3

Основна частина....……………………………………….......... 5-13

Висновок і висновки………………………………............... 13-14

Список литературы……………………………………….................. 15

Додатки……………………………………………………. 16-31

I. Вступ

Проблема: знаходження значень числових виразів

Мета роботи:пошук, вивчення існуючих методів та прийомів раціонального рахунку, застосування їх на практиці.

Завдання:

1. Провести міні дослідження у формі анкетування серед паралельних класів.

2. Проаналізувати на тему дослідження: літературу, наявну у шкільній бібліотеці, інформацію у вченому посібнику з математики для 5 класу, у мережі Інтернет.

3.Вибрати найбільш ефективні методи та засоби раціонального рахунку.

4. Провести класифікацію існуючих прийомів швидкого усного та письмового рахунку.

5. Створити пам'ятки, що містять прийоми раціонального рахунку для використання в паралелі 5 класів.

Об'єкт дослідження: раціональний рахунок.

Предмет дослідження: методи оптимального рахунки.

Для ефективності дослідницької роботи використала такі методики: аналіз інформації, отриманої з різних ресурсів, синтез, узагальнення; соцопитування у формі анкетування. Анкета була мною розроблена відповідно до мети та завдань дослідження, віку респондентів та представлена ​​в основній частині роботи.

У ході дослідницької роботи було розглянуто питання, що стосуються способів та прийомів раціонального рахунку, та надано рекомендації щодо усунення проблем з обчислювальними навичками, щодо формування обчислювальної культури.

II. Основна частина

Формування обчислювальної культури учнів

5-6 класів.

Очевидно, що прийоми раціонального рахунку є необхідним елементом обчислювальної культури в житті кожної людини, насамперед силу своєї практичної значущості, а тим, хто навчається, вона необхідна практично на кожному уроці.

Обчислювальна культура є фундаментом вивчення математики та інших навчальних дисциплін, оскільки крім того, що обчислення активізують пам'ять, увагу, допомагають раціонально організувати діяльність і істотно впливають на розвиток людини.

У повсякденному житті, на навчальних заняттях, коли цінується кожна хвилина, дуже важливо швидко та раціонально провести усні та письмові обчислення, не припустившись при цьому помилок і не використовуючи при цьому жодних додаткових обчислювальних засобів.

Ми, школярі, стикаємося з такою проблемою повсюдно: на уроках, у домашніх умовах, у магазині тощо. Крім цього після 9 та 11 класів нам доведеться складати іспити у формі ІГА та ЄДІ, де не допускається використання мікрокалькулятора. Тому вкрай важливим стає проблема формування кожної людини обчислювальної культури, елементом якої є оволодіння прийомами раціонального рахунки.

Особливо потрібне освоєння прийомів раціонального рахунку

у вивченні таких предметів, як - математика, історія, технологія, інформатика і т. д., тобто раціональний рахунок допомагає освоювати суміжні предмети, краще орієнтуватися в матеріалі, що вивчається, в життєвих ситуаціях. То чого ж ми чекаємо? Вирушаємо у світ таємниць Раціональних прийомів рахунку!

Які проблеми виникають у тих, хто навчається при виконанні обчислень?

Часто у однолітків мого віку виникають проблеми при виконанні різних завдань, у яких треба зробити обчислення швидко та зручним способом . Чому?

Ось деякі припущення:

1. Учень погано засвоїв тему вивчену тему

2. Учень не повторює матеріал

3. Учень має погані навички рахунку

4. Учень не хоче вивчати цю тему

5. Учень вважає, що це не знадобиться.

Всі ці припущення я взяла зі свого досвіду та досвіду моїх однокласників та однолітків. Однак у вправах обчислювального характеру важливу роль відіграють навички раціонального рахунку, тому я вивчила, застосовую і хочу представити деякі прийоми раціонального рахунку.

Раціональні методи усних та письмових обчислень.

У роботі та побуті завжди виникає необхідність різного роду обчислень. Використання найпростіших методів усного рахунку знижує стомлюваність, розвиває увагу та пам'ять. Застосування раціональних методів обчислень необхідне підвищення праці, точності та швидкості підрахунків. Швидкість та точність обчислень можуть бути досягнуті тільки при раціональному використанні методів та засобів механізації обчислень, а також при правильному використанні способів усного рахунку.

I. Прийоми спрощеного складання чисел

Відомо чотири способи додавання, що дозволяють прискорити підрахунки.

Спосіб послідовного порозрядного додавання використовується при усних обчисленнях, оскільки він спрощує та прискорює підсумовування доданків. При використанні цього способу додавання починається з вищих розрядів: до першого доданку додаються відповідні розряди другого доданку.

приклад. Знайдемо суму чисел 5287 та 3564, використовуючи спосіб послідовного порозрядного складання.

Рішення. Розрахунок зробимо в такій послідовності:

5 287 + 3 000 = 8 287;

8 287 + 500 = 8 787;

8 787 + 60 = 8 847;

8 847 + 4 = 8 851.

Відповідь: 8 851. (Сполучно-переміщувальний закон)

Інший спосіб послідовного порозрядного додавання полягає в тому, що до вищого розряду першого доданку додається вищий розряд другого доданку, потім до наступного розряду доданку додається наступний розряд другого доданку і т.д.

Розглянемо цей варіант рішення на наведеному прикладі, отримаємо:

5 000 + 3 000 = 8 000;

200 + 500 = 700;

Відповідь: 8851.

Спосіб круглого числа . Число, що має одну значну цифру і закінчується одним або декількома нулями, називається круглим числом. Цей спосіб застосовується, коли з двох або більше доданків можна вибрати такі, які можна доповнити до круглого числа. Різниця між круглим і заданим за умови обчислень числами називається доповненням. Наприклад, 1000 – 978 = 22. У цьому випадку число 22 є арифметичним доповненням числа 978 до 1000.

Щоб зробити додавання способом круглого числа, необхідно одне або кілька доданків, близьких до круглих чисел, округлити, виконати додавання круглих чисел і від отриманої суми відняти арифметичні доповнення.

приклад. Знайдемо суму чисел 1238 і 193, використовуючи спосіб круглого числа.

Рішення. Округлимо число 193 до 200 і зробимо додавання наступним чином: 1238 + 193 = (1238 + 200) - 7 = 1431. (Сполучний закон)

Спосіб угруповання доданків . Цей спосіб застосовують у тому випадку, коли доданки при їх групуванні в сумі дають круглі числа, які потім складають між собою.

приклад. Знайдемо суму чисел 74, 32, 67, 48, 33 та 26.

Рішення. Підсумовуємо числа, що згруповані наступним чином: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

(Сполучно-переміщувальний закон)

або, коли при групуванні чисел виходять однакові суми:

Приклад: 1+2+3+4+5+…+97+98+99+100= (1+100)+(2+99)+(3+98)+…=101х50=5050

(Сполучно-переміщувальний закон)

II. Прийоми спрощеного віднімання чисел

Спосіб послідовного порозрядного віднімання. Цим способом проводиться послідовне віднімання кожного розряду, що віднімається зі зменшуваного. Він застосовується, коли числа не можна заокруглити.

приклад. Знайдемо різницю чисел 721 та 398.

Рішення. Виконаємо дії для знаходження різниці заданих чисел у наступній послідовності:

представимо число 398 у вигляді суми: 300 + 90 + 8 = 398;

виконаємо порозрядне віднімання:

721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

Спосіб круглого числа . Цей спосіб застосовують, коли віднімається близько до круглого числа. Для розрахунку необхідно зменшуваного відняти віднімається, взяте круглим числом, і до отриманої різниці додати арифметичне доповнення.

приклад. Обчислимо різницю чисел 235 і 197, використовуючи спосіб круглого числа.

Рішення. 235 – 197 = 235 – 200 + 3 = 38.

III. Прийоми спрощеного множення чисел

Множення на одиницю з наступними нулями. При множенні числа на число, що включає одиницю з наступними нулями (10; 100; 1000 і т.д.), до нього приписують праворуч стільки нулів, скільки в множнику після одиниці.

приклад. Знайдемо добуток чисел 568 та 100.

Рішення. 568 x 100 = 56800.

Спосіб послідовного порозрядного множення . Цей спосіб застосовується при множенні числа будь-яке однозначне число. Якщо потрібно помножити двозначне (три-, чотиризначне і т.д.) число на однозначне, то спочатку однозначний множник множать на десятки іншого співмножника, потім на його одиниці та отримані твори підсумовують.

приклад. Знайдемо добуток чисел 39 та 7.

Рішення. 39 x 7 = (30+9) х 7 =(30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273. (розподільний закон множення щодо додавання)

Спосіб круглого числа . Застосовують цей спосіб тільки коли один із співмножників близький до круглого числа. Багато множать на кругле число, а потім на арифметичне доповнення і в кінці з першого твору віднімають друге.

приклад. Знайдемо добуток чисел 174 та 69.

174 х 69 = 174 х (70-1) = 174 х 70 - 174 х 1 = 12 180 - 174 = 12 006. (розподільчий закон множення щодо віднімання)

Спосіб розкладання одного із співмножників. У цьому способі спочатку розкладають на частини (доданки) один із співмножників, потім по черзі множать другий співмножник на кожну частину першого співмножника та отримані добутки підсумовують.

приклад. Знайдемо добуток чисел 13 та 325.

Розкладемо число 13 на доданки: 13 = 10 + 3. Помножимо кожне з отриманих доданків на 325: 10 x 325 = 3 250; 3 x 325 = 975. Підсумовуємо отримані твори: 3250 + 975 = 4225

Засвоєння навичок раціонального усного рахунку дозволить зробити вашу роботу ефективнішою. Це можливо тільки при хорошому оволодінні всіма арифметичними діями. Застосування раціональних прийомів рахунку прискорює обчислення, що забезпечує необхідну точність. Але не лише треба вміти обчислювати, а ще й треба знати таблицю множення, закони арифметичних дій, класи та розряди.

Існують системи усного рахунку, що дозволяють вважати усно швидко та раціонально. Ми розглянемо деякі, що найчастіше застосовуються, прийоми.

1. Розмноження двозначного числа на 11.

Ми вивчали цей метод, але ми не вивчили його до кінця Секрет цього в тому, що його можна вважати законами арифметичних дій.

Приклади:

23х11 = 23х (10 +1) = 23х10 + 23х1 = 253 (розподільчий закон множення щодо додавання)

23х11=(20+3)х 11= 20х11+3х11=253 (розподільний закон та спосіб круглого числа)

Ми вивчали цей метод, але ми не знали ще одного секрет множення двоцифрових чисел на 11.

Спостерігаючи за результатами, отриманими при множенні двоцифрових чисел на 11, я помітила, що можна отримати відповідь зручнішим способом : при множенні двоцифрового числа на 11 цифри цього числа розсувають і в середину ставлять суму цих цифр.

а) 23 11 = 253, т. К. 2 +3 = 5;

б) 45 11 = 495, тому що 4 +5 = 9;

в) 57 11 = 627, т.к. 5+7=12, двійку поставили до серединки, а одиницю додали до розряду сотень;

г) 78 11=858, т. до. 7+8=15, то число десятків дорівнюватиме 5, а цифра сотень збільшиться на одиницю і дорівнюватиме 8.

Підтвердження цього я знайшла в мережі Інтернет.

2) Добуток двоцифрових чисел, які мають однакове число десятків, а сума одиниць становить 10, тобто 23 27; 34 36; 52 58 і т.д.

Правило: цифру десятків множать на наступну в натуральному ряду цифру, записують результат і приписують до нього добуток одиниць.

а) 23 27 = 621. Як отримали 621? Цифру 2 множимо на 3 (за "двійкою" йде "трійка"), буде 6, і поруч припишемо добуток одиниць: 3 7 = 21, виходить 621.

б) 34 36=1224, т. до. 3 4=12, до 12 приписуємо 24, це добуток одиниць даних чисел: 4 6.

в) 52 58 = 3016, тому що цифру десятків 5 множимо на 6, буде 30, приписуємо добуток 2 і 8, тобто 16.

г) 6169 = 4209. Зрозуміло, що 6 помножили на 7 та отримали 42. А звідки нуль? Одиниці перемножили та отримали: 1 9=9, але результат має бути двозначним, тому беремо 09.

3) Розподіл тризначних чисел, що складаються з однакових цифр, на число 37. Результат дорівнює сумі цих однакових цифр тризначного числа (або числу, що дорівнює потрійній цифрі тризначного числа).

Приклади: а) 222:37 = 6. Це сума 2+2+2=6; б) 333:37 = 9, тому що 3 +3 +3 = 9.

в) 777: 37 = 21, т. До 7 +7 +7 = 21.

г) 888:37 = 24, т. К. 8 +8 +8 = 24.

Принимаем до уваги те, що 888:24=37.

III. Висновок

Для розгадки головного секрету в темі моєї роботи довелося попрацювати - шукати, аналізувати інформацію, анкетувати однокласників, повторити відомі ранні методи і знайти багато незнайомих способів раціонального рахунку, і, нарешті, зрозуміти, у чому його секрет? І я зрозуміла, головне – це знати та вміти застосовувати відомі, знаходити нові раціональні прийоми рахунку, таблицю множення, склад числа (класи та розряди), закони арифметичних дій. Крім цього,

шукати нові способи це:

- Прийоми спрощеного складання чисел: (спосіб послідовного порозрядного додавання; спосіб круглого числа; спосіб розкладання одного з співмножників на доданки);

-Прийоми спрощеного віднімання чисел(Спосіб послідовного порозрядного віднімання; спосіб круглого числа);

-Прийоми спрощеного множення чисел(множення на одиницю з наступними нулями; спосіб послідовного порозрядного множення; спосіб круглого числа; спосіб розкладання одного із співмножників ;

- Секрети швидкого усного рахунку(множення двозначного числа на 11:при множенні двозначного числа на 11 цифри цього числа розсувають і в середину ставлять суму цих цифр; добуток двоцифрових чисел, у яких однакове число десятків, а сума одиниць становить 10; Розподіл трицифрових чисел, що складаються з однакових цифр, на число 37. Напевно таких способів існує ще дуже багато, тому я продовжу працювати над цією темою наступного року.

IV. Список літератури

1. Савін А. П. Математичні мініатюри / А. П. Савін. - М.: Дитяча література, 1991

2. Зубарєва І.І., Математика, 5 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ/І.І.Зубарєва, А.Г. Мордкович. - М.: Мнемозіна, 2011

4. http://www. xreferat.ru

5. http://www. biografia.ru

6. http://www. Mathematics-репетиція. ru

V. Програми

Міні дослідження (опитування у формі анкетування)

Для виявлення знань учнів про раціональний рахунок, мною було проведено опитування у формі анкетування з наступних питань:

* Чи знаєш ти що таке раціональні прийоми рахунку?

* Якщо так, то звідки, а якщо ні, то чому?

* Скільки способів раціонального рахунку ти знаєш?

* Чи виникають у тебе труднощі в усному рахунку?

* Як ти навчаєшся з математики? а) на "5"; б) на "4"; в) на "3"

* Що тобі найбільше подобається з математики?

а) приклади; б) завдання; в) дроби

* Як ти думаєш, де може стати в нагоді усний рахунок, крім математики? * Чи пам'ятаєш ти закони арифметичних дій, якщо та які?

Провівши соцопитування, я зрозуміла, що мої однокласники недостатньо знають закони арифметичних дій, більшість з них мають проблеми з раціональним рахунком, багато учнів вважають повільно і з помилками і всі хочуть навчитися вважати швидко, вірно і зручним способом. Тому тема моєї дослідницької роботи є вкрай важливою для всіх учнів і не тільки.

1. Цікаві усні та письмові способи обчислень, які ми вивчили під час уроків математики, на прикладах підручника «математика, 5 клас»:

Ось деякі з них:

щоб швидко помножити число на 5, Досить помітити, що 5 = 10:2.

Наприклад, 43x5=(43х10):2=430:2=215;

48х5 = (48: 2) х10 = 24х10 = 240.

Щоб число помножити на 50 можна помножити його на 100 і розділити на 2.

Наприклад: 122х50 = (122х100): 2 = 12200: 2 = 6100

Щоб число помножити на 25 можна помножити його на 100 і розділити на 4,

Наприклад, 32х25=(32 х 100):4=3200:4=800

Щоб число помножити на 125 , можна помножити його на 1000 і розділити на 8

Наприклад: 192х125 = (192х1000): 8 = 192000: 8 = 24000

Щоб кругле число, в кінці якого два 0, розділити на 25 можна розділити його на 100 і помножити на 4.

Наприклад: 2400:25=(2400:100) х 4=24 х 4=96

Щоб кругле число поділити на 50 можна розділити на 100 і помножити на 2

Наприклад: 4500:50=(4500:100) х 2 =45 х 2 =90

Але не тільки треба вміти обчислювати, але ще й треба знати таблицю множення, закони арифметичних дій, склад числа (класи та розряди) та мати навички їх застосування

Закони арифметичних процесів.

a + b = b + a

Переміщувальний закон складання

(a + b) + c = a + (b + c)

Сполучний закон складання

a · b = b · a

Переміщувальний закон множення

(a · b) · c = a · (b · c)

Сполучний закон множення

(a = b) · c = a · c = b · c

Розподільний закон множення (щодо додавання)

Таблиця множення.

Що таке множення?

Це розумне додавання.

Адже розумніше помножити раз,

Чим складати всю годину.

Множення таблиця

Усім нам у житті нагоді.

І недарма названа

Помноженням вона!

Розряди та класи

Для того, щоб було зручно читати, а також запам'ятовувати числа з великими значеннями їх слід розбивати на так звані «класи»: починаючи праворуч, число поділяють пробілом на три цифри «перший клас», потім ще обирають три цифри, «другий клас» і так далі. Залежно від значення числа останній клас може закінчуватися як трьома, так і двома або однією цифрою.

Наприклад, число 35461298 записується так:

Це число розбите на класи:

482 – перший клас (клас одиниць)

630 – другий клас (клас тисяч)

35 – третій клас (клас мільйонів)

Розряд

Кожна з цифр, що входить до складу класу, називається його розрядом, відлік яких йде справа.

Наприклад, число 35630482 можна розкласти на класи і розряди:

482 – перший клас

2 – перший розряд (розряд одиниць)

8 – другий розряд (розряд десятків)

4 – третій розряд (розряд сотень)

630 – другий клас

0 – перший розряд (розряд одиниць тисяч)

3 – другий розряд (розряд десятків тисяч)

6 – третій розряд (розряд сотень тисяч)

35 – третій клас

5 – перший розряд (розряд одиниць мільйонів)

3 – другий розряд (розряд десятків мільйонів)

Число 35630482 читається:

Тридцять п'ять мільйонів шістсот тридцять тисяч чотириста вісімдесят два.

Проблеми з раціональним рахунком та як їх усунути

Раціональні прийоми запам'ятовування.

В результаті анкетування та спостережень з уроків я помітила, що частина учнів погано вирішують різні завдання та вправи тому, що не знайомі з раціональними прийомами обчислень.

1. Один із прийомів - приведення досліджуваного матеріалу в систему, зручну для запам'ятовування та збереження в пам'яті.

2. Щоб матеріал, що запам'ятовується, зберігався пам'яттю в певній системі, треба провести деяку роботу над його змістом.

3. Потім можна зайнятися засвоєнням кожної окремої частини тексту, перечитуючи її і намагаючись відразу відтворювати (повторювати про себе чи вголос) прочитане.

4. Велике значення для запам'ятовування має повторення матеріалу. Про це говорить і народне прислів'я: «Повторення – мати вчення». Але й повторювати треба розумно та правильно.

Роботу по повторенню треба пожвавлювати, залучаючи ілюстрації чи приклади, яких раніше не було або вони вже забули.

На основі сказаного можна коротко сформулювати такі рекомендації для успішного засвоєння навчального матеріалу:

1. Поставити завдання швидко і міцно запам'ятати навчальний матеріал на тривалий час.

2. Зосередити увагу, що треба засвоїти.

3. Добре зрозуміти навчальний матеріал.

4. Скласти план тексту, що запам'ятовується, виділивши в ньому основні думки, розбити текст на частини.

5. Якщо матеріал великий, послідовно засвоювати одну частину за іншою, а потім уже викладати все загалом.

6. Після прочитання матеріалу треба його відтворювати (розповідати прочитане).

7. Повторювати матеріал, доки він ще не забутий.

8. Розподіляти повторення більш тривалий час.

9. Використовувати при запам'ятовуванні різні види пам'яті (насамперед смислову) та деякі індивідуальні особливості своєї пам'яті (зорову, слухову чи рухову).

10. Важкий матеріал слід повторювати перед сном, а потім уранці, «на свіжу пам'ять».

11. Намагатися застосовувати отримані знання на ділі. Це найкращий спосіб їх збереження в пам'яті (недаремно кажуть: «Справжня мати вчення не повторення, а застосування»).

12. Треба більше набувати знань, дізнаватися, що щось нове.

Тепер ви дізналися як слід швидко і правильно запам'ятовувати вивчений матеріал.

Цікавий прийом множення деяких чисел на 9в поєднанні зі складанням послідовних натуральних чисел від 2 до 10

12345х9 +6 = 111111

123456х9 +7 = 1111111

1234567х9+8=11111111

12345678х9+9=111111111

123456789х9+10=1111111111

Цікава гра «Вгадай число»

Ви грали в гру «Вгадай число»? Це дуже проста гра. Скажімо, я загадую натуральне число, менше 100, записую його на папері (щоб не було можливості зіпсувати), а ви спробуєте його відгадати, ставлячи питання, на які можна лише відповідати «так» чи «ні». Потім ви загадуєте число, а я намагаюся його відгадати. Хто вгадає за меншу кількість питань, той виграв.

Скільки запитань вам знадобиться, щоби вгадати моє число? Не знаєте? Я беруся вгадати ваше число, поставивши всього сім запитань. Як? А ось, наприклад, як. Нехай ви загадали число. Я питаю: «Вона менша, ніж 64?» - "Так". – «Менше, ніж 32?» - "Так". – «Менше, ніж 16?» - "Так". – «Менше, ніж 8?» - "Ні". – «Менше, ніж 12?» - "Ні". – «Менше, ніж 14?» - "Так". – «Менше, ніж 13?» - "Ні". - «Задумане число 13».

Зрозуміло? Я поділяю набір можливих чисел навпіл, потім половину, що залишилася, знову навпіл і так далі, поки в частині, що залишилася, не виявиться одне число.

Якщо тобі сподобалася гра чи навпаки ти хочеш більшого, то зайди до бібліотеки та візьми книгу «А. П.Савін (Математичні мініатюри). У цій книзі ти знайдеш багато цікавого та захоплюючого. Зображення книги:

Дякую всім за увагу

І бажаю успіхів!

Завантажити:

Попередній перегляд:

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

У чому секрет раціонального рахунку?

Мета роботи: пошук інформації, вивчення існуючих методів та прийомів раціонального рахунку, застосування їх на практиці.

Завдання: 1. Провести міні дослідження у формі анкетування серед паралельних класів. 2.Проаналізувати на тему дослідження: літературу, наявну у шкільній бібліотеці, інформацію у вченому посібнику з математики для 5 класу, соціальній та мережі Інтернет. 3. Вибрати найбільш ефективні методи та засоби раціонального рахунку. 4. Провести класифікацію існуючих прийомів швидкого усного та письмового рахунку. 5. Створити Пам'ятки, що містять прийоми раціонального рахунку для використання в паралелі 5 класів.

Як я вже сказала тема раціонального рахунку, актуальна не лише учням, а й для кожної людини, щоб у цьому переконатися я провела соцопитування серед учнів 5 класу. Питання та відповіді анкетування Вам представлені у додатку.

Що таке раціональний рахунок? Раціональний рахунок – це зручний рахунок (слово раціональний – означає зручний, правильний)

Чому виникають труднощі в учнів?

Ось деякі припущення: Учень: 1. погано засвоїв вивчену тему; 2. не повторює матеріал; 3. має погані навички рахунку; 4 . вважає, що йому це не знадобиться.

Раціональні методи усних та письмових обчислень. У роботі та побуті завжди виникає необхідність різного роду обчислень. Використання найпростіших методів усного рахунку знижує стомлюваність, розвиває увагу та пам'ять.

Відомо чотири способи додавання, що дозволяють прискорити підрахунки. I. Прийоми спрощеного складання чисел

Спосіб послідовного порозрядного додавання використовується при усних обчисленнях, так як він спрощує і прискорює підсумовування доданків. При використанні цього способу додавання починається з вищих розрядів: до першого доданку додаються відповідні розряди другого доданку. приклад. Знайдемо суму чисел 5287 та 3564, використовуючи цей спосіб. Рішення. Розрахунок зробимо в такій послідовності: 5287 + 3000 = 8287; 8287 + 500 = 8787; 8787 + 60 = 8847; 8847 + 4 = 8851 . Відповідь: 8 851.

Інший спосіб послідовного порозрядного додавання полягає в тому, що до вищого розряду першого доданку додається вищий розряд другого доданку, потім до наступного розряду доданку додається наступний розряд другого доданку і т.д. Розглянемо цей варіант рішення на наведеному прикладі, отримаємо: 5000 + 3000 = 8000; 200 + 500 = 700; 80 + 60 = 140; 7+4=11 Відповідь: 8851.

Спосіб круглого числа. Число, що закінчується одним або декількома нулями, називається круглим числом. Цей спосіб застосовується, коли з двох або більше доданків можна вибрати такі, які можна доповнити до круглого числа. Різниця між круглим і заданим за умови обчислень числами називається доповненням. Наприклад, 1000 - 978 = 22. У цьому випадку число 22 є арифметичним доповненням числа 978 до 1000. Щоб зробити додавання способом круглого числа, необхідно одне або кілька доданків, близьких до круглих чисел, округлити, виконати додавання круглих чисел і від отриманої суми відняти арифметичні доповнення. приклад. Знайдемо суму чисел 1238 і 193, використовуючи спосіб круглого числа. Рішення. Округлимо число 193 до 200 і зробимо додавання наступним чином: 1238 + 193 = (1238 + 200) - 7 = 1431.

Спосіб угруповання доданків. Цей спосіб застосовують у тому випадку, коли доданки при їх групуванні в сумі дають круглі числа, які потім складають між собою. приклад. Знайдемо суму чисел 74, 32, 67, 48, 33 та 26. Рішення. Підсумовуємо числа, що згруповані наступним чином: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

Спосіб додавання заснований на угрупованні доданків. Приклад: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…….+97+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)= 101х50 = 5050.

ІІ. Прийоми спрощеного віднімання чисел

Спосіб послідовного порозрядного віднімання. Цим способом проводиться послідовне віднімання кожного розряду, що віднімається зі зменшуваного. Він застосовується, коли числа не можна заокруглити. приклад. Знайдемо різницю чисел 721 та 398 . Виконаємо дії для знаходження різниці заданих чисел у наступній послідовності: представимо число 398 у вигляді суми: 300 + 90 + 8 = 398; виконаємо порозрядне віднімання: 721 - 300 = 421; 421 – 90 = 331; 331 – 8 = 323.

Спосіб круглого числа. Цей спосіб застосовують, коли віднімається близько до круглого числа. Для розрахунку необхідно зменшуваного відняти віднімається, взяте круглим числом, і до отриманої різниці додати арифметичне доповнення. приклад. Обчислимо різницю чисел 235 і 197, використовуючи спосіб круглого числа. Рішення. 235 – 197 = 235 – 200 + 3 = 38.

ІІІ. Прийоми спрощеного множення чисел

Множення на одиницю з наступними нулями. При множенні числа на число, що включає одиницю з наступними нулями (10; 100; 1000 і т.д.), до нього приписують праворуч стільки нулів, скільки в множнику після одиниці. приклад. Знайдемо добуток чисел 568 та 100. Рішення. 568 x 100 = 56800.

Спосіб послідовного порозрядного множення. Цей спосіб застосовується при множенні числа будь-яке однозначне число. Якщо потрібно помножити двозначне (три-, чотиризначне і т.д.) число на однозначне, то спочатку один із співмножників множать на десятки іншого співмножника, потім на його одиниці та отримані добутки підсумовують. приклад. Знайдемо добуток чисел 39 та 7 . Рішення. 39 x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273.

Спосіб круглого числа. Застосовують цей спосіб тільки коли один із співмножників близький до круглого числа. Багато множать на кругле число, а потім на арифметичне доповнення і в кінці з першого твору віднімають друге. приклад. Знайдемо добуток чисел 174 та 69 . Рішення. 174 x 69 = (174 x 70) - (174 x 1) = 12180 - 174 = 12006.

Спосіб розкладання одного із співмножників. У цьому способі спочатку розкладають на частини (доданки) один із співмножників, потім по черзі множать другий співмножник на кожну частину першого співмножника та отримані добутки підсумовують. приклад. Знайдемо добуток чисел 13 та 325 . Рішення. Розкладемо число на доданки: 13 = 10 + 3. Помножимо кожне з отриманих доданків на 325: 10 x 325 = 3 250; 3 x 325 = 975 Підсумовуємо отримані твори: 3250 + 975 = 4225.

Секрети швидкого усного рахунку. Існують системи усного рахунку, що дозволяють вважати усно швидко та раціонально. Ми розглянемо деякі, що найчастіше застосовуються, прийоми.

Збільшення двозначного числа на 11 .

Приклади: 23х11 = 23х (10 +1) = 23х10 + 23х1 = 253 (розподільчий закон множення щодо складання) але ми не знали ще одного секрету множення двозначних чисел на 11.

Спостерігаючи за результатами, отриманими при множенні двоцифрових чисел на 11, я помітила, що можна отримати відповідь більш зручним способом: при множенні двоцифрового числа на 11 цифри цього числа розсувають і в середину ставлять суму цих цифр. приклади. а) 23 11 = 253, т. К. 2 +3 = 5; б) 45 11 = 495, тому що 4 +5 = 9; в) 57 11 = 627, т.к. 5+7=12, двійку поставили до серединки, а одиницю додали до розряду сотень; Підтвердження цього я знайшла в мережі Інтернет.

2) Добуток двоцифрових чисел, у яких однакове число десятків, а сума одиниць становить 10, тобто 23 27; 34 36; 52 58 і т. д. Правило: цифру десятків множать на наступну в натуральному ряду цифру, записують результат і приписують до нього добуток одиниць. приклади. а) 23 27 = 621. Як отримали 621? Цифру 2 множимо на 3 (за "двійкою" йде "трійка"), буде 6, і поруч припишемо добуток одиниць: 3 7 = 21, виходить 621 . б) 34 36=1224, т. до. 3 4=12, до 12 приписуємо 24, це добуток одиниць даних чисел: 4 6.

3) Розподіл тризначних чисел, що складаються з однакових цифр, на число 37. Результат дорівнює сумі цих однакових цифр тризначного числа (або числу, що дорівнює потрійній цифрі тризначного числа). приклади. а) 222:37 = 6. Це сума 2+2+2=6. б) 333:37 = 9, т. К. 3 +3 +3 = 9 . в) 777:37 = 21, т. До 7 +7 +7 = 21 . г) 888:37 = 24, т. К. 8 +8 +8 = 24 . Принимаем до уваги те, що 888:24=37.

Засвоєння навичок раціонального усного рахунку дозволить зробити вашу роботу ефективнішою. Це можливо тільки при хорошому оволодінні всіма арифметичними діями. Застосування раціональних прийомів рахунку прискорює обчислення, що забезпечує необхідну точність.

Висновок Для розгадки головного секрету в темі моєї роботи довелося потрудитися - шукати, аналізувати інформацію, анкетувати однокласників, повторити відомі ранні методи і знайти багато незнайомих способів раціонального рахунку, і, нарешті, зрозуміти, в чому його секрет? І я зрозуміла, головне – це знати та вміти застосовувати відомі, знаходити нові раціональні прийоми рахунку, знати таблицю множення, склад числа (класи та розряди), закони арифметичних дій. Крім цього, шукати нові способи це:

Прийоми спрощеного додавання чисел: (спосіб послідовного порозрядного додавання; спосіб круглого числа; спосіб розкладання одного з співмножників на доданки); - прийоми спрощеного віднімання чисел (спосіб послідовного порозрядного віднімання; спосіб круглого числа); - Прийоми спрощеного множення чисел (множення на одиницю з наступними нулями; спосіб послідовного порозрядного множення; спосіб круглого числа; спосіб розкладання одного із співмножників; - Секрети швидкого усного рахунку (множення двозначного числа на 11: при множенні двозначного числа на 11 цифри цього числа розсувають) і в середину ставлять суму цих цифр, добуток двоцифрових чисел, у яких однакова кількість десятків, а сума одиниць становить 10; над цією темою наступного року.

На закінчення хочу закінчити свій виступ такими словами:

Дякуємо всім за увагу, бажаю успіхів!