Чому дорівнює нід взаємно простих чисел. Найбільший спільний дільник

Натуральні числа a та b називають взаємно простимиякщо їх найбільший спільний дільник дорівнює 1 (НОД(a ; b ) = 1). Інакше кажучи, якщо числа a і b немає жодних спільних дільників, крім 1, всі вони взаємно прості.

Приклади пар взаємно простих чисел: 2 і 5, 13 і 16, 35 і 88 тощо. Можна вказати кілька взаємно простих чисел, наприклад, числа 7, 9, 16 – взаємно прості.

Часто взаємно прості числа позначають так: (a, b) = 1. Наприклад, (23, 30) = 1. Цей запис як би є скороченим записом позначення найбільшого загального дільника двох чисел (НД(23, 30) = 1), і свідчить, що й найбільший загальний дільник дорівнює 1.

Два сусідні натуральні числа завжди будуть взаємно прості.Наприклад, 15 і 16 - пара взаємно простих чисел, також як 16 і 17. Це легко зрозуміти, якщо взяти до уваги «правило» про те, що якщо два натуральні числа a і b діляться на одне і те ж натуральне число більше 1 ( n > 1), те й їхня різниця також має ділиться цього число n (тут мають на увазі, що a , b та його різниця діляться націло, т. е. кратні числу n ). Але якщо a і b два сусідні числа (нехай a< b ), то b – a = 1; но 1 делится только на 1 (из ряда натуральных чисел). Следовательно, a и b не имеют других общих делителей, кроме 1.

З визначення взаємно простих чисел і простих чисел також випливає, що різні прості числа завжди виявляються взаємно простими. Адже дільниками будь-якого простого числа є лише воно саме і одне.

Властивості взаємно простих чисел

• Найменше загальне кратне (НОК) пари взаємно простих чисел і їх твору.Наприклад, (3, 8) = 1 (це означає взаємно прості), отже їх НОК дорівнює 3 × 8 = 24 (НОК(3, 8) = 24). Дійсно, ви не знайдете менше, ніж 24, яке було б кратним і 3 і 8.
• Якщо числа a і b взаємно прості і число c кратне як a , і b , це число буде кратно і добутку ab . Це можна записати так: якщо з a і c b, то c ab. Наприклад, (3, 10) = 1, число 60 кратно як 3, і 10, і навіть кратно 30 (3 × 10).
• Якщо числа a і b взаємно прості і взято число c кратне b (c b ), то добуток ac також буде кратним b (ac b ). Наприклад, (2, 17) = 1, нехай c = 34. Число 34 кратне b = 17, тоді ac = 2 × 34 = 68. Перевіряємо: 68 ÷ 17 = 4, тобто ділиться націло, а значить 68 кратно 17.

Зазвичай виділяють більше властивостей, ніж тут. Крім того, властивості взаємно простих чисел формулюються по-різному. Також буває потрібно довести ці властивості (у разі докази не наводяться).

Найбільший спільний дільник взаємно простих чисел – це завжди одиниця.

Приклади нід взаємно простих чисел.

НОД чисел 11 та 7

Числа 11 і 7 є взаємно простими і одночасно простими.

Числа 11 і 7 не мають інших спільних дільників крім 1.

НОД(11, 7) = 1

НОД чисел 11 та 15

Числа 11 та 15 є взаємно простими. У цьому 11 є просте число, а 15 - складове.

Дільники числа 11 є 1 та 11.

Дільники числа 15 є 1, 3, 5, 15.

Як видно, єдиний загальний множник чисел 11 та 15 є число 1. Одиниця, таким чином, і є НОД чисел 11 та 15:

НОД(11, 15) = 1

НОД чисел 10 та 21

Числа 10 та 21 є взаємно простими. При цьому число 10 і число 21 є складовими.

Численні числа 10 є 1, 2, 5, 10.

Численні числа 21 є 1, 3, 7, 21.

Як видно, єдиний загальний множник чисел 10 та 21 є число 1. Одиниця, таким чином, і є НОД чисел 10 та 21:

НОД(21, 10) = 1

НОД чисел 16 та 23

Числа 16 та 23 є взаємно простими. При цьому 23 є простим числом, а 16 - складовим.

Завдання: Знайдіть НОД та НОК чисел найбільш зручним способом:

а) 12 та 40; б) 9 та 40; в) 12 та 72 .

На завдання подається 5 хв.

Яким способом зручніше вирішувати кожну вправу?

Розбір слайдів.

а) Зручніше вирішувати методом розкладання на прості множники

12 = 2 · 2 · 3; 40 = 2 · 2 · 2 · 5

НОД(12; 40) = 2 · 2 = 4; НОК(12; 40) = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 120

б) чи є спільні дільники у чисел 9 та 40? (Є, 1.)

Як називаються ці числа ? (взаємно прості.)

Чому дорівнює НОД цих чисел ? (НД(9; 40) = 1)

Чому дорівнює НОК цих чисел ? (НОК (9; 40) = 9 · 40 = 360.)

в) Що ви можете сказати про числа 12 і 72 ? (72 ділитися на 12) Як правило ми знаємо? (якщо одне число ділиться інше, то НОД = найменшому числу, а НОК - найбільшому)

НОД(12; 72) = 12; НОК(12; 72) = 72

Звірте дані, які ви отримали, з еталоном який лежить на вчительському столі.

Оцінюють себе за критеріями, написаними в аркуші еталона. Поставивши навпроти критерію галочку.

7 галочок - високий рівень

6-4 галочки – середній рівень

1-3 галочки – низький рівень

Фізхвилинка

Швидко встали, посміхнулися,

Вище-вище підтяглися.

Ану плечі розпряміть,

Підніміть, опустіть.

Вправо, вліво поверніть,

Рук колінами торкніться.

Сіли, встали, сіли, встали,

І на місці побігли.

Питання вчителя: Де ми вже використовуємо наші знання НОДу та НОКу чисел?

Під час вирішення завдань.

Перед ними на вчительському столі знаходиться «Ромашка завдань», що складається з 21 пелюстки.

Червона пелюстка – завдання рівня С.

Жовта пелюстка – завдання рівня В.

Зелена пелюстка – завдання рівня А.

	Маша для Ведмедя купила у магазині яйця. Дорогою до лісу вона зрозуміла, що кількість яєць ділиться на 2,3,5,10 і 15. Скільки яєць купила Маша?
	З 210 бордових, 126 білих, 294 червоних троянд зібрали букети, причому в кожному букеті кількість троянд одного кольору порівну. Яку найбільшу кількість букетів зробили з цих троянд та скільки троянд кожного кольору в одному букеті?
	Аркуш картону має форму прямокутника, довжина якого 48 см., а ширина 40 см. Цей лист треба розрізати без відходів на рівні квадрати. Які найбільші квадрати можна отримати з цього листа та скільки?
	Скільки солдатів марширують на плацу, якщо вони маршируватимуть строєм по 12 осіб у шерензі і перебудовуватимуться в колону по 18 осіб у шерензі?
	У портовому місті починаються три туристські теплохідні рейси, перший з яких триває 15 діб, другий – 20 та третій – 12 діб. Повернувшись у порт, теплоходи цього ж дня знову вирушають у рейс. Сьогодні з порту вийшли теплоходи всіма трьома маршрутами. Через скільки діб вони вперше знову разом підуть у плавання?Яку кількість рейсів зробить кожен теплохід?
	Камін у кімнаті необхідно викласти оздоблювальною плиткою у формі квадрата. Скільки плиток знадобиться для каміна розміром 195 - 156 см і які найбільші розміри плитки?
	Крок Володі 75 см, а крок Каті 60 см. На якій найменшій відстані вони обидва зроблять за цілою кількістю кроків?
	Для новорічних подарунків купили 180 яблук, 90 апельсин та 900 цукерок. Усі діти отримали однакові подарунки. Яка найбільша кількість однакових подарунків була складена з цих фруктів та цукерок?
	Садову ділянку розміром 54-48 м по периметру необхідно огородити парканом, для цього через рівні проміжки треба поставити бетонні стовпи. Скільки стовпів необхідно привезти для ділянки, і на якій максимальній відстані стоятимуть один від одного стовпи?
	Знайти: НОК (360; 252).
	Для новорічних подарунків закупили 78 плиток шоколаду, 156 пряників, 52 пачки печива, 104 апельсини та 130 яблук. Яку найбільшу кількість однакових подарунків можна зібрати?
	Потрібно виготовити ящик із квадратним дном для укладання коробок розміром 16 - 20 см. Яка має бути найменша довжина сторони квадратного дна, щоб помістити коробки в шухляду впритул?
	Обчислити НОД(720,216), НОК(720,216).
	Чому дорівнює ставлення НОК (308,264) до НОД (308,264)?
	Для влаштування ялинки купили горіхів, цукерок та пряників – всього 760 штук. Горіхів взяли на 80 штук більше, ніж цукерок, а пряників на 120 штук менше, ніж горіхів. Яка найбільша кількість однакових подарунків для дітей можна зробити з цього запасу?
	Знайти НОК(84,160,96),
	Знайти приватне від поділу НОК(24, 2004) на НОД тих чисел.
	Знайдіть найменше натуральне число, яке кратне 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
	Знайти НОД (56, 72).
	На столі лежать книги, число яких менше, ніж 100. Скільки лежить книг, якщо відомо, що їх можна пов'язувати пачки по 3, 4 і 5 штук?
	До магазину привезли менше ніж 600, але більше 500 тарілок. Коли почали розкладати їх десятками, то не вистачило 3 тарілок до десятків, а коли почали розкладати дюжинами (по 12 тарілок), то залишилося 7 тарілок. Скільки тарілок привезли до магазину?

ФО:Переважна кількість пелюсток червоного кольору показує високий рівень засвоєння, жовтого кольору – середній рівень засвоєння та зеленого кольору – низького рівня засвоєння.