Вирішити диференціальне рівняння 1 порядку. Диференціальні рівняння першого порядку

Диференціальне рівняння - це рівняння, до якого входять функція та одна або кілька її похідних. У більшості практичних завдань функції є фізичними величинами, похідні відповідають швидкостям зміни цих величин, а рівняння визначає зв'язок між ними.

У цій статті розглянуто методи розв'язання деяких типів звичайних диференціальних рівнянь, рішення яких можуть бути записані у вигляді елементарних функцій, тобто поліноміальних, експоненціальних, логарифмічних та тригонометричних, а також зворотних їм функцій. Багато з цих рівнянь зустрічаються в реальному житті, хоча більшість інших диференціальних рівнянь не можна вирішити цими методами, і для них відповідь записується у вигляді спеціальних функцій або статечних рядів, або перебуває чисельними методами.

Для розуміння цієї статті необхідно володіти диференціальним та інтегральним обчисленням, а також мати деяке уявлення про приватні похідні. Рекомендується також знати основи лінійної алгебри щодо диференціальних рівнянь, особливо до диференціальних рівнянь другого порядку, хоча для їх вирішення достатньо знання диференціального та інтегрального обчислення.

Попередні відомості

• Диференціальні рівняння мають велику класифікацію. У цій статті розповідається про звичайних диференціальних рівнянняхтобто про рівняння, в які входить функція однієї змінної та її похідні. Звичайні диференціальні рівняння набагато легше зрозуміти та вирішити, ніж диференціальні рівняння у приватних похідних, які включають функції декількох змінних. У цій статті не розглядаються диференціальні рівняння у приватних похідних, оскільки методи розв'язання цих рівнянь зазвичай визначаються їх конкретним видом.
  • Нижче наведено кілька прикладів звичайних диференціальних рівнянь.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • Нижче наведено кілька прикладів диференціальних рівнянь у приватних похідних.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\partial y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t)))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^ (2))) = 0)
• Порядокдиференціального рівняння визначається по порядку старшої похідної, що входить до цього рівняння. Перше наведених вище звичайних диференціальних рівнянь має перший порядок, тоді як друге належить до рівнянь другого порядку. ступенемДиференціального рівняння називається найвищий ступінь, в який зводиться один із членів цього рівняння.
  • Наприклад, наведене нижче рівняння має третій порядок та другий ступінь.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ right)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• Диференціальне рівняння є лінійним диференціальним рівнянняму тому випадку, якщо функція та всі її похідні стоять у першому ступені. В іншому випадку рівняння є нелінійним диференціальним рівнянням. Лінійні диференціальні рівняння примітні тим, що з їх рішень можна скласти лінійні комбінації, які будуть рішеннями даного рівняння.
  • Нижче наведено кілька прикладів лінійних диференціальних рівнянь.
  • Нижче наведено кілька прикладів нелінійних диференціальних рівнянь. Перше рівняння є нелінійним через доданок із синусом.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Загальне рішеннязвичайного диференціального рівняння не є єдиним, воно включає в себе довільні постійні інтегрування. Найчастіше число довільних постійних дорівнює порядку рівняння. Насправді значення цих констант визначаються по заданим початковим умовам, тобто за значеннями функції та її похідних при x = 0. (Displaystyle x = 0.)Число початкових умов, які необхідні для знаходження приватного рішеннядиференціального рівняння, в більшості випадків також дорівнює порядку даного рівняння.
  • Наприклад, у цій статті буде розглянуто рішення наведеного нижче рівняння. Це лінійне диференціальне рівняння другого порядку. Його загальне рішення містить дві довільні постійні. Для знаходження цих постійних необхідно знати початкові умови при x (0) (\displaystyle x(0))і x ′ (0). (\displaystyle x"(0).)Зазвичай початкові умови задаються у точці x = 0 (\displaystyle x=0,), хоч це і не обов'язково. У цій статті буде розглянуто також, як знайти приватні рішення за заданих початкових умов.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 ) x = 0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Кроки

Частина 1

Рівняння першого порядку

При використанні цього сервісу деяка інформація може бути надана YouTube.

1. Лінійні рівняння першого ладу.У цьому розділі розглянуто методи вирішення лінійних диференціальних рівнянь першого порядку у загальних та спеціальних випадках, коли деякі члени дорівнюють нулю. Припустимо, що y = y(x) , (\displaystyle y=y(x),) p(x) (\displaystyle p(x))і q (x) (\displaystyle q(x))є функціями x. (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
   

   P(x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.)Відповідно до однієї з основних теорем математичного аналізу, інтеграл від похідної функції також є функцією. Таким чином, досить просто інтегрувати рівняння, щоб знайти його рішення. У цьому слід врахувати, що з обчисленні невизначеного інтеграла утворюється довільна стала.

   • y (x) = q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q(x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.)Використовуємо метод поділу змінних. При цьому різні змінні переносяться в різні боки рівняння. Наприклад, можна перенести всі члени з y (\displaystyle y)в одну, а всі члени з x (\displaystyle x)в інший бік рівняння. Можна також переносити члени d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x)і d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), які входять у висловлювання похідних, проте слід пам'ятати, що це лише умовне позначення, яке зручне при диференціювання складної функції. Обговорення цих членів, які називаються диференціалами, За межі цієї статті.

   • По-перше, необхідно перенести змінні з різних боків знака рівності.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Проінтегруємо обидві сторони рівняння. Після інтегрування з обох сторін з'являться довільні постійні, які можна перенести на праву частину рівняння.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y(x) = e − ∫ p(x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm(d) )x))
   • приклад 1.1.На останньому кроці ми використали правило e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))та замінили e C (\displaystyle e^(C))на C (\displaystyle C)оскільки це також довільна постійна інтеграція.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x (\displaystyle (\begin(aligned )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\ln y&=-2\cos x+C\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(aligned)))

   P (x) ≠ 0, q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.)Для знаходження спільного рішення ми запровадили інтегруючий множнику вигляді функції від x (\displaystyle x), щоб звести ліву частину до загальної похідної і таким чином вирішити рівняння.

   • Помножимо обидві сторони на μ(x) (\displaystyle \mu(x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • Щоб звести ліву частину до загальної похідної необхідно зробити такі перетворення:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • Остання рівність означає, що d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Це інтегруючий множник, якого достатньо рішення будь-якого лінійного рівняння першого порядку. Тепер можна вивести формулу розв'язання даного рівняння щодо μ , (\displaystyle \mu ,)хоча для тренування корисно зробити всі проміжні обчислення.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x) = e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • приклад 1.2.У цьому прикладі розглянуто, як знайти приватне рішення диференціального рівняння із заданими початковими умовами.
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) , \ Quad y (2) = 3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x) = e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (displaystyle (begin(aligned)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(aligned)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y(t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac(1)(4))t^(2)+(\frac(8)(t^(2)) ))
   
   Вирішення лінійних рівнянь першого порядку (запис Інтуїту – національного відкритого університету).

2. Нелінійні рівняння першого порядку. У цьому розділі розглянуто методи розв'язання деяких нелінійних диференціальних рівнянь першого порядку. Хоча не існує загального методу розв'язання таких рівнянь, деякі з них можна вирішити за допомогою наведених нижче методів.

   D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y). (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).)Якщо функцію f(x, y) = h(x) g(y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y))можна розділити на функції однієї змінної, таке рівняння називається диференціальним рівнянням з змінними, що розділяються. В цьому випадку можна скористатися наведеним вище методом:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
   • приклад 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ begin(aligned)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+Cend(aligned)))

   D y d x = g (x, y) h (x, y). (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y)))).Припустимо, що g (x, y) (\displaystyle g(x, y))і h (x, y) (\displaystyle h(x,y))є функціями x (\displaystyle x)і y. (\displaystyle y.)Тоді однорідним диференціальним рівняннямназивається таке рівняння, в якому g (\displaystyle g)і h (\displaystyle h)є однорідними функціямиоднакового ступеня. Тобто функції повинні задовольняти умову g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alphaде k (\displaystyle k)називається ступенем однорідності. Будь-яке однорідне диференціальне рівняння можна шляхом відповідної заміни змінних (v = y / x (\displaystyle v = y/x)або v = x / y (\displaystyle v = x/y)) перетворити на рівняння з змінними, що розділяються.

   • приклад 1.4.Наведений вище опис однорідності може здатися неясним. Розглянемо це поняття з прикладу.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x))))
     • Для початку слід зазначити, що це рівняння нелінійне щодо y. (\displaystyle y.)Також бачимо, що у разі не можна розділити змінні. Водночас це диференціальне рівняння є однорідним, оскільки і чисельник, і знаменник однорідні зі ступенем 3. Отже, ми можемо зробити заміну змінних v = y/x. (Displaystyle v = y / x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2)))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm) (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).)В результаті ми маємо рівняння для v (\displaystyle v)з змінними, що розділяються.
     • v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).)Це диференціальне рівняння Бернуллі- особливий вид нелінійного рівняння першого ступеня, рішення якого можна записати з допомогою елементарних функций.

   • Помножимо обидві сторони рівняння на (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Використовуємо з лівого боку правило диференціювання складної функції та перетворюємо рівняння на лінійне рівняння щодо y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),)яке можна вирішити наведеними вище методами.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm(d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x, y) + N (x, y) d y d x = 0. (d) )x))=0.)Це рівняння у повних диференціалах. Необхідно знайти так звану потенційну функцію φ (x, y), (\displaystyle \varphi(x,y),), яка задовольняє умову d φ d x = 0.

   • Для виконання цієї умови потрібна наявність повної похідної. Повна похідна враховує залежність від інших змінних. Щоб обчислити повну похідну φ (\displaystyle \varphi)по x , (\displaystyle x,)ми припускаємо, що y (\displaystyle y)може також залежати від x. (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi) )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • Порівняння доданків дає нам M (x, y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\partial x))і N (x , y) = ∂ φ ∂ y . (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).)Це типовий результат для рівнянь з декількома змінними, при якому змішані похідні гладких функцій дорівнюють один одному. Іноді такий випадок називають теорема Клеро. У цьому випадку диференціальне рівняння є рівнянням у повних диференціалах, якщо виконується така умова:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x))))
   • Метод вирішення рівнянь у повних диференціалах аналогічний до знаходження потенційних функцій за наявності кількох похідних, на чому ми коротко зупинимося. Спочатку проінтегруємо M (\displaystyle M)по x. (\displaystyle x.)Оскільки M (\displaystyle M)є функцією та x (\displaystyle x), і y , (\displaystyle y,)при інтегруванні ми отримаємо неповну функцію φ, (\displaystyle \varphi,)позначену як φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi))). У результат входить також залежна від y (\displaystyle y)постійне інтегрування.
     • φ (x, y) = ∫ M (x, y) d x = φ ~ (x, y) + c (y) (\displaystyle \varphi(x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi))(x,y)+c(y))
   • Після цього для отримання c (y) (\displaystyle c(y))можна взяти приватну похідну отриманої функції за y , (\displaystyle y,)прирівняти результат N (x, y) (\displaystyle N(x, y))та проінтегрувати. Можна також спочатку проінтегрувати N (\displaystyle N), а потім взяти приватну похідну по x (\displaystyle x)що дозволить знайти довільну функцію d(x) . (\displaystyle d(x).)Підходять обидва методи, і зазвичай для інтегрування вибирається простіша функція.
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ? partial (\tilde (\varphi)))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))))
   • приклад 1.5.Можна взяти приватні похідні і переконатися, що наведене нижче рівняння є рівнянням у повних диференціалах.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ? &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial) \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(aligned)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • Якщо диференціальне рівняння не є рівнянням у повних диференціалах, у деяких випадках можна знайти інтегруючий множник, який дозволить перетворити його на рівняння у повних диференціалах. Однак подібні рівняння рідко застосовуються на практиці, і хоча інтегруючий множник існуєзнайти його буває не просто, тому ці рівняння не розглядаються у цій статті.

Частина 2

Рівняння другого порядку

1. Однорідні лінійні диференціальні рівняння із постійними коефіцієнтами.Ці рівняння широко використовуються практично, тому їх вирішення має першочергове значення. В даному випадку йдеться не про однорідні функції, а про те, що в правій частині рівняння стоїть 0. У наступному розділі буде показано, як вирішуються відповідні неодноріднідиференційне рівняння. Нижче a (\displaystyle a)і b (\displaystyle b)є константами.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Характеристичне рівняння. Дане диференціальне рівняння примітне тим, що його можна дуже легко вирішити, якщо звернути увагу на те, якими властивостями повинні мати його рішення. З рівняння видно, що y (\displaystyle y)та його похідні пропорційні один одному. З попередніх прикладів, які були розглянуті в розділі про рівняння першого порядку, ми знаємо, що така властивість має лише експоненційна функція. Отже, можна висунути анзац(обґрунтоване припущення) про те, яким буде розв'язання цього рівняння.

   • Рішення матиме вигляд експоненційної функції e r x , (\displaystyle e^(rx),)де r (\displaystyle r)- Постійна, значення якої слід знайти. Підставимо цю функцію в рівняння та отримаємо такий вираз
     • e r x (r 2 + r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Це рівняння свідчить про те, що добуток експоненційної функції та полінома має дорівнювати нулю. Відомо, що експонента не може дорівнювати нулю за жодних значень ступеня. Звідси укладаємо, що нулю дорівнює поліном. Таким чином, ми звели завдання розв'язання диференціального рівняння до набагато простішого завдання розв'язання рівня алгебри, яке називається характеристичним рівнянням для даного диференціального рівняння.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Ми отримали два корені. Оскільки дане диференціальне рівняння є лінійним, його загальне рішення є лінійною комбінацією приватних рішень. Оскільки це рівняння другого порядку, ми знаємо, що це справдізагальне рішення та інших не існує. Суворіше обґрунтування цього полягає в теоремах про існування та єдиність рішення, які можна знайти в підручниках.
   • Корисний спосіб перевірити, чи є два рішення лінійно незалежними, полягає у обчисленні вронскіана. Вронскіан W (\displaystyle W)- це визначник матриці, у колонках якої стоять функції та його послідовні похідні. Теорема лінійної алгебри свідчить, що входять до вронскіан функції лінійно залежні, якщо вронскіан дорівнює нулю. У цьому розділі ми можемо перевірити, чи є два рішення лінійно незалежними - для цього необхідно переконатися, що вронскіан не дорівнює нулю. Вронскіан важливий при вирішенні неоднорідних диференціальних рівнянь із постійними коефіцієнтами методом варіації параметрів.
     • W = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • У термінах лінійної алгебри багато всіх рішень даного диференціального рівняння утворює векторний простір, розмірність якого дорівнює порядку диференціального рівняння. У цьому просторі можна вибрати базис з лінійно незалежниходин від одного рішень. Це можливо завдяки тому, що на функцію y(x) (\displaystyle y(x))діє лінійний оператор. Похідна єлінійним оператором, оскільки вона перетворює простір функцій, що диференціюються в простір всіх функцій. Рівняння називаються однорідними у тих випадках, коли для якогось лінійного оператора L (\displaystyle L)потрібно знайти рішення рівняння L [y] = 0. (\displaystyle L[y] = 0.)

   Тепер перейдемо до розгляду кількох конкретних прикладів. Випадок кратного коріння характеристичного рівняння розглянемо трохи пізніше, у розділі про зниження порядку.

   Якщо коріння r ± (\displaystyle r_(\pm ))є різними дійсними числами, диференціальне рівняння має наступне рішення

   • y(x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   Два комплексні корені.З основної теореми алгебри випливає, що розв'язання розв'язання поліноміальних рівнянь з дійсними коефіцієнтами мають коріння, яке речове або утворює сполучені пари. Отже, якщо комплексне число r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta)є коренем характеристичного рівняння, тоді r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta )також є коренем цього рівняння. Таким чином, можна записати рішення у вигляді c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α - i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),)проте це комплексне число, і воно небажане під час вирішення практичних завдань.

   • Натомість можна використовувати формулу Ейлера e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x)яка дозволяє записати рішення у вигляді тригонометричних функцій:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Тепер можна замість постійної c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2))записати c 1 (\displaystyle c_(1)), а вираз i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2)))замінити на з 2 . (\displaystyle c_(2).)Після цього отримуємо таке рішення:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin \beta x))
   • Є й інший спосіб записати рішення у вигляді амплітуди та фази, який найкраще підходить для фізичних завдань.
   • приклад 2.1.Знайдемо рішення наведеного нижче диференціального рівняння із заданими початковими умовами. Для цього необхідно взяти отримане рішення, а також його похідну, і підставити їх у початкові умови, що дозволить визначити довільні постійні.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ' (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) = 1, \ x "(0) = -1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )i)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x(0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac(3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(aligned)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   Вирішення диференціальних рівнянь n-го порядку з постійними коефіцієнтами (запис Інтуїту – національного відкритого університету).

2. Зниження порядку.Зниження порядку є спосіб розв'язання диференціальних рівнянь у разі, коли відоме одне лінійно незалежне рішення. Цей метод полягає у зниженні порядку рівняння на один, що дозволяє вирішити рівняння методами, які описані в попередньому розділі. Нехай відоме рішення. Основна ідея зниження порядку полягає у пошуку рішення у поданому нижче вигляді, де необхідно визначити функцію v (x) (\displaystyle v(x)), підстановці його в диференціальне рівняння та знаходження v (x). (\displaystyle v(x).)Розглянемо, як можна використовувати зниження порядку на вирішення диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами і кратним корінням.

   
   

   Коротке корінняоднорідного диференціального рівняння із постійними коефіцієнтами. Згадаймо про те, що рівняння другого порядку має мати два лінійно незалежні рішення. Якщо характеристичне рівняння має кратне коріння, безліч рішень неутворює простір, оскільки ці рішення є лінійно залежними. І тут необхідно використовувати зниження порядку, щоб знайти друге лінійно незалежне рішення.

   • Нехай характеристичне рівняння має кратне коріння r (\displaystyle r). Припустимо, що друге рішення можна записати у вигляді y(x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), і підставимо їх у диференціальне рівняння. При цьому більшість членів, за винятком доданку з другої похідної функції v , (\displaystyle v,)скоротяться.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • приклад 2.2.Нехай дано наведене нижче рівняння, яке має кратне коріння r = − 4. (\displaystyle r=-4.)При підстановці скорочується більшість членів.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v '(x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x) \ end (aligned)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(aligned )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(aligned)))
   • Подібно до нашого анзацу для диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами, в даному випадку нулю може дорівнювати лише друга похідна. Інтегруємо двічі і отримуємо шуканий вираз для v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Тоді загальне рішення диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами у разі, якщо характеристичне рівняння має кратне коріння, може бути записано у такому вигляді. Для зручності можна запам'ятати, що для отримання лінійної незалежності досить просто помножити другий доданок на x (\displaystyle x). Цей набір рішень є лінійно незалежним і таким чином ми знайшли всі рішення даного рівняння.
     • y(x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm(d) )y)((\mathrm(d) )x))+q(x)y=0.)Зниження порядку застосовується у тому випадку, якщо відоме рішення y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), що може бути знайдено чи дано за умови завдання.

   • Ми шукаємо рішення у вигляді y(x) = v(x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))і підставляємо його на дане рівняння:
     • v ' y 1 + 2 v ' y 1 ' + p (x) v ' y 1 + v (y 1 ' + p (x) y 1 ' + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Оскільки y 1 (\displaystyle y_(1))є рішенням диференціального рівняння, всі члени v (\displaystyle v)скорочуються. У результаті залишається лінійне рівняння першого порядку. Щоб ясніше побачити це, зробимо заміну змінних w(x) = v′(x) (\displaystyle w(x)=v”(x)):
     • y 1 w + (2 y 1 + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 '(x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\right))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Якщо інтеграли можуть бути обчислені, ми отримуємо загальне рішення як комбінації елементарних функцій. В іншому випадку рішення можна залишити в інтегральному вигляді.

3. Рівняння Коші-Ейлер.Рівняння Коші-Ейлера є прикладом диференціального рівняння другого порядку з зміннимикоефіцієнтами, що має точні рішення. Це рівняння застосовується практично, наприклад вирішення рівняння Лапласа в сферичних координатах.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Характеристичне рівняння.Як видно, в даному диференціальному рівнянні кожен член містить статечний множник, ступінь якого дорівнює порядку відповідної похідної.

   • Таким чином, можна спробувати шукати рішення у вигляді y(x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),)де необхідно визначити n (\displaystyle n), подібно до того, як ми шукали рішення у вигляді експоненційної функції для лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами. Після диференціювання та підстановки отримуємо
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • Щоб скористатися характеристичним рівнянням, слід припустити, що x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Крапка x = 0 (\displaystyle x = 0)називається регулярною особливою точкоюдиференціального рівняння. Такі точки важливі при вирішенні диференціальних рівнянь за допомогою статечних рядів. Дане рівняння має два корені, які можуть бути різними та дійсними, кратними або комплексно пов'язаними.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b)) )))(2)))

   Два різних дійсних кореня.Якщо коріння n ± (\displaystyle n_(\pm ))дійсні та різні, тоді рішення диференціального рівняння має такий вигляд:

   • y(x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   Два комплексні корені.Якщо характеристичне рівняння має коріння n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), Рішенням є комплексна функція.

   • Щоб перетворити рішення на дійсну функцію, зробимо заміну змінних x = e t (\displaystyle x = e ^ (t),)тобто t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,)та використовуємо формулу Ейлера. Такі дії виконували раніше щодо довільних постійних.
     • y(t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • Тоді загальне рішення можна записати у вигляді
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\) cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Коротке коріння.Щоб отримати друге лінійно незалежне рішення, потрібно знову провести зниження порядку.

   • Потрібно досить багато обчислень, але принцип залишається тим самим: ми підставляємо y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))до рівняння, першим рішенням якого є y 1 (\displaystyle y_(1)). Після скорочень виходить наступне рівняння:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Це лінійне рівняння першого порядку щодо v′ (x) . (\displaystyle v"(x).)Його рішенням є v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.)Таким чином, рішення можна записати у такому вигляді. Це досить просто запам'ятати - для отримання другого лінійно незалежного рішення просто потрібен додатковий член ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y(x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Неоднорідні лінійні диференціальні рівняння із постійними коефіцієнтами.Неоднорідні рівняння мають вигляд L[y(x)] = f(x), (\displaystyle L=f(x),)де f(x) (\displaystyle f(x))- так званий вільний член. Відповідно до теорії диференціальних рівнянь, загальне рішення даного рівняння є суперпозицією приватного рішення y p (x) (\displaystyle y_(p)(x))і додаткового рішення y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).)Проте у разі приватне рішення означає рішення, задане початковими умовами, а скоріш таке рішення, що з наявністю неоднорідності (вільним членом). Додаткове рішення - це рішення відповідного однорідного рівняння, в якому f(x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.)Загальне рішення є суперпозицією цих двох рішень, оскільки L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), а так як L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L = 0,)така суперпозиція справді є загальним рішенням.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   Метод невизначених коефіцієнтів.Метод невизначених коефіцієнтів застосовується в тих випадках, коли вільний член є комбінацією експоненційних, тригонометричних, гіперболічних або статечних функцій. Лише ці функції гарантовано мають кінцеву кількість лінійно незалежних похідних. У цьому розділі ми знайдемо окреме рішення рівняння.

   • Порівняємо члени в f(x) (\displaystyle f(x))з членами не звертаючи увагу на постійні множники. Можливі три випадки.
     • Нема однакових членів.У цьому випадку приватне рішення y p (\displaystyle y_(p))буде лінійною комбінацією членів з y p (\displaystyle y_(p))
     • f(x) (\displaystyle f(x)) містить член x n (\displaystyle x^(n)) та члена з y c , (\displaystyle y_(c),) де n (\displaystyle n) є нулем або позитивним цілим числом, причому цей член відповідає окремому кореню характеристичного рівняння.В цьому випадку y p (\displaystyle y_(p))складатиметься з комбінації функції x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),)її лінійно незалежних похідних, а також інших членів f(x) (\displaystyle f(x))та їх лінійно незалежних похідних.
     • f(x) (\displaystyle f(x)) містить член h (x) , (\displaystyle h(x),) який є твір x n (\displaystyle x^(n)) та члена з y c , (\displaystyle y_(c),) де n (\displaystyle n) дорівнює 0 або позитивному цілому числу, причому цей член відповідає кратномукореню характеристичного рівняння.В цьому випадку y p (\displaystyle y_(p))є лінійною комбінацією функції x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(де s (\displaystyle s)- кратність кореня) та її лінійно незалежних похідних, а також інших членів функції f(x) (\displaystyle f(x))та її лінійно незалежних похідних.
   • Запишемо y p (\displaystyle y_(p))у вигляді лінійної комбінації перелічених вище членів. Завдяки цим коефіцієнтам у лінійній комбінації цей метод отримав назву "методу невизначених коефіцієнтів". При появі містяться в y c (\displaystyle y_(c))членів їх можна відкинути з огляду на наявність довільних постійних y c. (\displaystyle y_(c).)Після цього підставляємо y p (\displaystyle y_(p))на рівняння і прирівнюємо схожі члени.
   • Визначаємо коефіцієнти. На даному етапі виходить система рівнянь алгебри, яку зазвичай можна вирішити без особливих проблем. Вирішення цієї системи дозволяє отримати y p (\displaystyle y_(p))і цим вирішити рівняння.
   • приклад 2.3.Розглянемо неоднорідне диференціальне рівняння, вільний член якого містить кінцеве число лінійно незалежних похідних. Приватне розв'язання такого рівняння можна знайти методом невизначених коефіцієнтів.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos 5 t + C sin 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(aligned)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A=2,&A=(dfrac (2)(15))-25B+6B=-1,B=(dfrac (1)(19))-25C+6C=0,C=0 \end(cases)))
     • y(t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Метод Лагранжа.Метод Лагранжа, або метод варіації довільних постійних, є більш загальним методом вирішення неоднорідних диференціальних рівнянь, особливо в тих випадках, коли вільний член не містить кінцевого числа лінійно незалежних похідних. Наприклад, при вільних членах tan ⁡ x (\displaystyle \tan x)або x − n (\displaystyle x^(-n))Для знаходження приватного рішення необхідно використовувати метод Лагранжа. Метод Лагранжа можна навіть використовувати для вирішення диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами, хоча в цьому випадку, за винятком рівняння Коші-Ейлера, він застосовується рідше, оскільки додаткове рішення зазвичай не виражається елементарними функціями.

   • Припустимо, що рішення має такий вигляд. Його похідна наведена у другому рядку.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ' = v 1 ' y 1 + v 1 y 1 ' + v 2 ' y 2 + v 2 y 2 ' "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Оскільки передбачуване рішення містить двіневідомі величини, необхідно накласти додатковеумова. Виберемо цю додаткову умову у такому вигляді:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y = v 1 ' y 1 ' + v 1 y 1 ' + v 2 ' y 2 ' + v 2 y 2 ' y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Тепер ми можемо здобути друге рівняння. Після підстановки та перерозподілу членів можна згрупувати разом члени з v 1 (\displaystyle v_(1))і члени з v 2 (\displaystyle v_(2)). Ці члени скорочуються, оскільки y 1 (\displaystyle y_(1))і y 2 (\displaystyle y_(2))є рішеннями відповідного однорідного рівняння. В результаті отримуємо наступну систему рівнянь
     • v 1 ' y 1 + v 2 ' y 2 = 0 v 1 ' y 1 ' + v 2 ' y 2 ' = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(aligned)))
   • Цю систему можна перетворити на матричне рівняння виду A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),)рішенням якого є x = A − 1 b. (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).)Для матриці 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2)зворотна матриця знаходиться шляхом розподілу на визначник, перестановки діагональних елементів та зміною знака недіагональних елементів. Фактично, визначник цієї матриці є вронскіаном.
     • (v 1 ' v 2 ') = 1 W (y 2 ' − y 2 − y 1 ' y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\f(x)\end(pmatrix)))
   • Вирази для v 1 (\displaystyle v_(1))і v 2 (\displaystyle v_(2))наведено нижче. Як і методі зниження порядку, у разі при інтегруванні утворюється довільна стала, яка включає додаткове рішення у загальне рішення диференціального рівняння.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac(1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac(1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   Лекція національного відкритого університету Інтуїт під назвою "Лінійні диференціальні рівняння n-го порядку із постійними коефіцієнтами".

Практичне застосування

Диференціальні рівняння встановлюють зв'язок між функцією та однією або декількома її похідними. Оскільки подібні зв'язки надзвичайно поширені, диференціальні рівняння знайшли широке застосування в різних сферах, а так як ми живемо в чотирьох вимірах, ці рівняння часто являють собою диференціальні рівняння в приватнихпохідних. У цьому розділі розглянуто деякі з найважливіших рівнянь цього типу.

• Експоненційне зростання та розпад.Радіоактивний розпад. Складові відсотки. Швидкість хімічних реакцій. Концентрація ліків у крові. Необмежене зростання популяції. Закон Ньютона-Ріхмана. У реальному світі існує безліч систем, у яких швидкість зростання або розпаду в будь-який момент часу пропорційна кількості в даний час або може бути добре апроксимована моделлю. Це пояснюється тим, що розв'язання даного диференціального рівняння, експоненційна функція, є однією з найважливіших функцій у математиці та інших науках. У загальному разі при контрольованому зростанні популяції система може містити додаткові члени, які обмежують зростання. У наведеному нижче рівнянні постійна k (\displaystyle k)може бути як більше, і менше нуля.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Гармонійні коливання.І в класичній, і в квантовій механіці гармонійний осцилятор є однією з найважливіших фізичних систем завдяки своїй простоті та широкому застосуванню для апроксимації більш складних систем, таких як простий маятник. У класичній механіці гармонійні коливання описуються рівнянням, яке пов'язує положення матеріальної точки з її прискоренням у вигляді закону Гука. При цьому можна враховувати також демпфуючі та рушійні сили. У наведеному нижче виразі x ˙ (\displaystyle (\dot (x)))- похідна за часом від x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta )- параметр, який описує силу демпфування, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- Кутова частота системи, F(t) (\displaystyle F(t))- залежна від часу рушійна сила. Гармонічний осцилятор присутній також у електромагнітних коливальних контурах, де його можна реалізувати з більшою точністю, ніж у механічних системах.
  • x ? + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x)) =F(t))
• Рівняння Бесселя.Диференціальне рівняння Бесселя використовується в багатьох областях фізики, у тому числі для вирішення хвильового рівняння, рівняння Лапласа та рівняння Шредінгера, особливо за наявності циліндричної чи сферичної симетрії. Це диференціальне рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами перестав бути рівнянням Коши-Эйлера, тому його рішення неможливо знайти записані як елементарних функцій. Рішення рівняння Бесселя є функції Бесселя, які добре вивчені завдяки тому, що застосовуються в багатьох областях. У виразі нижче α (\displaystyle \alpha)- Константа, яка відповідає порядкуфункції Бесселя.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• Рівняння Максвелла.Поряд із силою Лоренца рівняння Максвелла становлять основу класичної електродинаміки. Це чотири диференціальних рівняння у приватних похідних для електричного E (r, t) (\displaystyle (\mathbf(E))та магнітного B (r, t) (\displaystyle (\mathbf (B))поля. У наведених нижче виразах ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf(r) ,t))- Щільність заряду, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J)) = (\mathbf (J))- Щільність струму, а ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0))і μ 0 (\displaystyle \mu _(0))- відповідно електрична та магнітна постійні.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(aligned (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(aligned)))
• Рівняння Шредінгера.У квантовій механіці рівняння Шредінгера є основним рівнянням руху, яке описує переміщення частинок відповідно до зміни хвильової функції Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ,t))з часом. Рівняння руху описується поведінкою гамільтоніана H^(\displaystyle(\hat(H))) - операторащо описує енергію системи. Одним із широко відомих прикладів рівняння Шредінгера у фізиці є рівняння для однієї нерелятивістської частки, на яку діє потенціал V (r, t) (\displaystyle V((\mathbf(r)),t)). Багато систем описуються залежним від часу рівнянням Шредінгера, причому в лівій частині рівняння стоїть E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,)де E (\displaystyle E)- Енергія частки. У виразах нижче ℏ (\displaystyle \hbar )- Наведена постійна Планка.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• Хвильове рівняння.Без хвиль не можна уявити фізику та техніку, вони є у всіх типах систем. У випадку хвилі описуються наведеним нижче рівнянням, у якому u = u (r , t)є шуканою функцією, а c (\displaystyle c)- Постійна експериментально обумовлена. Даламбер був першим, хто виявив, що для одновимірної нагоди рішенням хвильового рівняння є будь-якафункція з аргументом x − c t (\displaystyle x-ct), яка описує хвилю довільної форми, що розповсюджується праворуч. Загальне рішення для одновимірного випадку є лінійною комбінацією цієї функції з другою функцією з аргументом x + c t (\displaystyle x+ct), яка описує хвилю, що розповсюджується вліво. Це рішення подано у другому рядку.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t)
• Рівняння Навье-Стокса.Рівняння Навье-Стокса описують рух рідин. Оскільки рідини присутні практично в кожній галузі науки і техніки, ці рівняння є надзвичайно важливими для передбачення погоди, конструювання літаків, вивчення океанських течій та вирішення безлічі інших прикладних завдань. Рівняння Нав'є-Стокса є нелінійними диференціальними рівняннями в приватних похідних, і в більшості випадків вирішити їх дуже складно, оскільки нелінійність призводить до турбулентності, і для отримання сталого рішення чисельними методами необхідне розбиття на дуже дрібні осередки, що потребує значних обчислювальних потужностей. Для практичних цілей у гідродинаміці для моделювання турбулентних потоків використовують такі методи, як усереднення за часом. Складними завданнями є навіть більш основні питання, такі як існування та єдиність рішень для нелінійних рівнянь у приватних похідних, а доказ існування та єдиності рішення для рівнянь Нав'є-Стокса у трьох вимірах входить до математичних завдань тисячоліття. Нижче наведено рівняння потоку стисканої рідини та рівняння безперервності.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle(\frac(\partial(\mathbf) )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Багато диференціальних рівнянь просто неможливо вирішити наведеними вище методами, особливо згадані в останньому розділі. Це стосується тих випадків, коли рівняння містить змінні коефіцієнти і не є рівнянням Коші-Ейлера або коли рівняння є нелінійним, за винятком кількох дуже рідкісних випадків. Тим не менш, наведені вище методи дозволяють вирішити багато важливих диференціальних рівнянь, які часто зустрічаються в різних галузях науки.
• На відміну від диференціювання, що дозволяє знайти похідну будь-якої функції, інтеграл багатьох виразів не можна виразити в елементарних функціях. Тому не витрачайте час у спробах вирахувати інтеграл там, де це неможливо. Завітайте до таблиці інтегралів. Якщо рішення диференціального рівняння не можна виразити через елементарні функції, іноді його можна уявити в інтегральній формі, і в даному випадку неважливо, чи можна обчислити цей інтеграл аналітично.

Попередження

• Зовнішній вигляддиференціального рівняння може бути оманливим. Наприклад, нижче наведено два диференціальні рівняння першого порядку. Перше рівняння легко вирішується за допомогою описаних у цій статті методів. На перший погляд незначна заміна y (\displaystyle y)на y 2 (\displaystyle y^(2))у другому рівнянні робить його нелінійним і його стає дуже складно вирішити.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

Першого порядку, що має стандартний вигляд $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$, де $P\left(x\right)$ - безперервна функція, називається лінійним однорідним. Назва "лінійне" пояснюється тим, що невідома функція $y$ та її перша похідна $y"$ входять до складу рівняння лінійно, тобто у першому ступені. Назва "однорідне" пояснюється тим, що у правій частині рівняння знаходиться нуль.

Таке диференціальне рівняння можна вирішити шляхом поділу змінних. Представимо його в стандартному вигляді методу: $y"=-P\left(x\right)\cdot y$, де $f_(1) \left(x\right)=-P\left(x\right)$ і $f_(2) \left(y\right)=y$.

Обчислимо інтеграл $I_(1) = \ int f_ (1) \ left (x \ right) \ cdot dx = - \ int P \ left (x \ right) \ cdot dx $.

Обчислимо інтеграл $I_(2) =\int \frac(dy)(f_(2) \left(y\right)) =\int \frac(dy)(y) =\ln \left|y\right|$ .

Запишемо загальне рішення у вигляді $\ln \left|y\right|+\int P\left(x\right)\cdot dx =\ln \left|C_(1) \right|$, де $\ln \left |C_(1) \right|$ -- довільна стала, взята у зручному подальших перетворень вигляді.

Виконаємо перетворення:

\[\ln \left|y\right|-\ln \left|C_(1) \right|=-\int P\left(x\right)\cdot dx ; \ln \frac(\left|y\right|)(\left|C_(1) \right|) =-\int P\left(x\right)\cdot dx .\]

Використовуючи визначення логарифму, отримаємо: $\left|y\right|=\left|C_(1) \right|\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $. Ця рівність, у свою чергу, еквівалентна рівності $y=\pm C_(1) \cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

Замінивши довільну постійну $C=\pm C_(1) $, отримаємо загальне рішення лінійного однорідного диференціального рівняння: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

Розв'язавши рівняння $f_(2) \left(y\right)=y=0$, знайдемо особливі рішення. Традиційною перевіркою переконуємося, що функція $y=0$ є спеціальним рішенням даного диференціального рівняння.

Однак це ж рішення можна отримати із загального рішення $ y = C \ cdot e ^ (- \ int P \ left (x \ right) \ cdot dx ) $, поклавши в ньому $ C = 0 $.

Таким чином, остаточний результат: $ y = C \ cdot e ^ (- \ int P \ left (x \ right) \ cdot dx) $.

Загальний метод розв'язання лінійного однорідного диференціального рівняння першого порядку можна подати у вигляді наступного алгоритму:

1. Для вирішення даного рівняння його спочатку слід представити в стандартному вигляді методу $ y "+ P \ left (x \ right) \ cdot y = 0 $. Якщо досягти цього не вдалося, то дане диференціальне рівняння має вирішуватися іншим способом.
2. Обчислюємо інтеграл $I = \ int P \ left (x \ right) \ cdot dx $.
3. Записуємо загальне рішення як $y=C\cdot e^(-I) $ і за необхідності виконуємо спрощують перетворення.

Завдання 1

Знайти загальне рішення диференціального рівняння $ y "+3 \ cdot x ^ (2) \ cdot y = 0 $.

Маємо лінійне однорідне рівняння першого порядку в стандартному вигляді, для якого $ P \ left (x \ right) = 3 \ cdot x ^ (2) $.

Обчислюємо інтеграл $I=\int 3cdot x^(2) \cdot dx =x^(3) $.

Загальне рішення має вигляд: $ y = C \ cdot e ^ (-x ^ (3)) $.

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння першого порядку

Визначення

Диференціальне рівняння першого порядку, яке можна представити в стандартному вигляді $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$, де $P\left(x\right)$ і $ Q \ left (x \ right) $ - відомі безперервні функції, називається лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням.

Вирішення одного складного лінійного неоднорідного диференціального рівняння може бути зведено до вирішення двох більш простих диференціальних рівнянь. Для цього потрібну функцію $y$ слід замінити добутком двох допоміжних функцій $u$ і $v$, тобто покласти $y=u\cdot v$.

Виконуємо диференціювання прийнятої заміни: $ frac (dy) (dx) = frac (du) (dx) \ cdot v + u \ cdot \ frac (dv) (dx) $. Підставляємо отриманий вираз у дане диференціальне рівняння: $ frac (du) (dx) \ cdot v + u \ cdot \ frac (dv) (dx) + P \ left (x \ right) \ cdot u \ cdot v = Q \ left(x\right)$ або $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \left[\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v\right] = Q \ left (x \ right) $.

Зазначимо, що й прийнято $y=u\cdot v$, то складі твори $u\cdot v$ одну з допоміжних функцій можна вибирати довільно. Виберемо допоміжну функцію $v$ так, щоб вираз у квадратних дужках перетворився на нуль. Для цього достатньо вирішити диференціальне рівняння $ \ frac (dv) (dx) + P \ left (x \ right) \ cdot v = 0 $ щодо функції $ v $ і вибрати для неї найпростіше приватне рішення $ v = v \ left (x \right)$, відмінне від нуля. Це диференціальне рівняння є лінійним однорідним і вирішується воно розглянутим вище методом.

Отримане рішення $v=v\left(x\right)$ підставляємо в дане диференціальне рівняння з урахуванням того, що тепер вираз у квадратних дужках дорівнює нулю, і отримуємо ще одне диференціальне рівняння, але тепер щодо допоміжної функції $u$: $\ frac(du)(dx) \cdot v\left(x\right)=Q\left(x\right)$. Це диференціальне рівняння можна представити у вигляді $ \ frac (du) (dx) = \ frac (Q \ left (x \ right)) (v \ left (x \ right)) $, після чого стає очевидно, що воно допускає безпосереднє інтегрування. Для цього диференціального рівняння необхідно знайти загальне рішення у вигляді $u = u \ left (x, \; C \ right) $.

Тепер можна знайти загальне рішення даного лінійного неоднорідного диференціального рівняння першого порядку у вигляді $y = u \ left (x, C \ right) \ cdot v \ left (x \ right) $.

Загальний метод розв'язання лінійного неоднорідного диференціального рівняння першого порядку можна подати у вигляді наступного алгоритму:

1. Для вирішення даного рівняння його спочатку слід представити в стандартному вигляді методу $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$. Якщо досягти цього не вдалося, то дане диференціальне рівняння має вирішуватися іншим способом.
2. Обчислюємо інтеграл $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx $, записуємо приватне рішення у вигляді $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $, виконуємо спрощують перетворення і вибираємо для $v \ left (x \ right) $ найпростіший ненульовий варіант.
3. Обчислюємо інтеграл $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $, після чого записуємо вираз у вигляді $u\left(x, Cright) = I_ (2) + C $.
4. Записуємо загальне рішення даного лінійного неоднорідного диференціального рівняння у вигляді $ y = u \ left (x, C \ right) \ cdot v \ left (x \ right) $ і при необхідності виконуємо спрощують перетворення.

Завдання 2

Знайти загальне рішення диференціального рівняння $y"-\frac(y)(x) =3\cdot x$.

Маємо лінійне неоднорідне рівняння першого порядку в стандартному вигляді, для якого $ P \ left (x \ right) = - \ frac (1) (x) $ і $ Q \ left (x \ right) = 3 \ cdot x $.

Обчислюємо інтеграл $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx =-\int \frac(1)(x) \cdot dx=-\ln \left|x\right| $.

Записуємо приватне рішення у вигляді $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $ і виконуємо спрощувальні перетворення: $v\left(x\right)=e^(\ln \left|x\ right|) $; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v \ left (x \ right) = \ left | x \ right | $. Вибираємо для $v \ left (x \ right) $ найпростіший ненульовий варіант: $ v \ left (x \ right) = x $.

Обчислюємо інтеграл $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx =\int \frac(3\cdot x)(x) \ cdot dx = 3 \ cdot x $.

Записуємо вираз $u \ left (x, C \ right) = I_ (2) + C = 3 \ cdot x + C $.

Остаточно записуємо загальне рішення даного лінійного неоднорідного диференціального рівняння у вигляді $y = u \ left (x, C \ right) \ cdot v \ left (x \ right) $, тобто $ y = \ left (3 \ cdot x + C \right)\cdot x$.

Думаю, що нам варто почати з історії такого славетного математичного інструменту як диференціальні рівняння. Як і всі диференціальні та інтегральні обчислення, ці рівняння були винайдені Ньютоном наприкінці 17 століття. Він вважав саме це своє відкриття настільки важливим, що навіть зашифрував послання, яке сьогодні можна перекласти приблизно так: Усі закони природи описуються диференціальними рівняннями. Це може здатися перебільшенням, але так і є. Будь-який закон фізики, хімії, біології можна описати цими рівняннями.

Величезний внесок у розвиток та створення теорії диференціальних рівнянь зробили математики Ейлер та Лагранж. Вже у 18-му столітті вони відкрили та розвинули те, що зараз вивчають на старших курсах університетів.

Нова віха у вивченні диференціальних рівнянь почалася завдяки Анрі Пуанкаре. Він створив «якісну теорію диференціальних рівнянь», яка у поєднанні з теорією функцій комплексного змінного внесла значний внесок у основу топології – науки про простір та його властивості.

Що таке диференціальні рівняння?

Багато хто боїться одного словосполучення Однак у цій статті ми докладно викладемо всю суть цього дуже корисного математичного апарату, який насправді не такий складний, як здається з назви. Щоб почати розповідати про диференціальні рівняння першого порядку, слід спочатку ознайомитися з основними поняттями, які невід'ємно пов'язані з цим визначенням. І почнемо ми з диференціалу.

Диференціал

Багато хто знає це поняття ще зі школи. Проте все ж таки зупинимося на ньому детальніше. Уявіть графік функції. Ми можемо збільшити його настільки, що будь-який його відрізок набуде вигляду прямої лінії. На ній візьмемо дві точки, що знаходяться нескінченно близько одна до одної. Різниця їх координат (x чи y) буде нескінченно малою величиною. Її називають диференціалом і позначають знаками dy (диференціал від y) і dx (диференціал від x). Дуже важливо розуміти, що диференціал не є кінцевою величиною, і в цьому полягає його зміст та основна функція.

А тепер необхідно розглянути наступний елемент, який стане в нагоді при поясненні поняття диференціального рівняння. Це – похідна.

Похідна

Всі ми, напевно, чули в школі і це поняття. Кажуть, що похідна - це швидкість зростання чи зменшення функції. Однак із цього визначення багато стає незрозумілим. Спробуємо пояснити похідну через диференціали. Повернімося до нескінченно малого відрізка функції з двома точками, які знаходяться на мінімальній відстані один від одного. Але навіть за цю відстань функція встигає змінитися якусь величину. І щоб описати цю зміну і вигадали похідну, яку інакше можна записати як відношення диференціалів: f(x)"=df/dx.

Тепер варто розглянути основні властивості похідної. Їх лише три:

1. Похідну суми або різниці можна представити як суму або різницю похідних: (a+b)"=a"+b" та (a-b)"=a"-b".
2. Друга властивість пов'язана з множенням. Похідна твори - це сума творів однієї функції похідну інший: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Похідну різниці записати можна у вигляді наступної рівності: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Всі ці характеристики нам знадобляться для знаходження рішень диференціальних рівнянь першого порядку.

Також бувають приватні похідні. Допустимо, у нас є функція z, яка залежить від змінних x та y. Щоб обчислити приватну похідну цієї функції, скажімо, по x нам необхідно прийняти змінну y за постійну і просто продиференціювати.

Інтеграл

Інше важливе поняття – інтеграл. По суті, це пряма протилежність похідної. Інтеграли бувають декількох видів, але для вирішення найпростіших диференціальних рівнянь нам знадобляться найтривіальніші

Отже, Припустимо, ми маємо деяку залежність f від x. Ми візьмемо від неї інтеграл і отримаємо функцію F(x) (часто її називають первісною), похідна від якої дорівнює початковій функції. Таким чином F(x)"=f(x). Звідси випливає також, що інтеграл від похідної дорівнює початковій функції.

При розв'язанні диференціальних рівнянь дуже важливо розуміти сенс і функцію інтеграла, тому що доведеться часто їх брати для знаходження рішення.

Рівняння бувають різними залежно від власної природи. У наступному розділі ми розглянемо види диференціальних рівнянь першого порядку, та був і навчимося їх вирішувати.

Класи диференціальних рівнянь

"Дифури" діляться по порядку похідних, що у них. Таким чином, буває перший, другий, третій і більш порядок. Їх також можна розділити на кілька класів: прості і в приватних похідних.

У статті ми розглянемо прості диференціальні рівняння першого порядку. Приклади та способи їх вирішення ми також обговоримо у наступних розділах. Розглянемо тільки ОДУ, тому що це найпоширеніші види рівнянь. Звичайні діляться на підвиди: з змінними, що розділяються, однорідні і неоднорідні. Далі ви дізнаєтеся, чим вони відрізняються один від одного, і навчитеся їх вирішувати.

Крім того, ці рівняння можна поєднувати, щоб після нас вийшла система диференціальних рівнянь першого порядку. Такі системи ми також розглянемо та навчимося вирішувати.

Чому ми розглядаємо лише перший порядок? Тому що потрібно починати з простого, а описати все, що пов'язане з диференціальними рівняннями, в одній статті просто неможливо.

Рівняння з змінними, що розділяються

Це, мабуть, найпростіші диференціальні рівняння першого ладу. До них відносяться приклади, які можна записати так: y"=f(x)*f(y). Для вирішення цього рівняння нам знадобиться формула подання похідної як відношення диференціалів: y"=dy/dx. З її допомогою отримуємо таке рівняння: dy/dx=f(x)*f(y). Тепер ми можемо звернутися до методу вирішення стандартних прикладів: розділимо змінні частинами, тобто перенесемо все зі змінною y в частину, де знаходиться dy, і так само зробимо зі змінною x. Отримаємо рівняння виду: dy/f(y)=f(x)dx, яке вирішується взяттям інтегралів з обох частин. Не слід забувати і про константу, яку потрібно ставити після взяття інтегралу.

Рішення будь-якого "дифуру" - це функція залежності x від y (у нашому випадку) або, якщо є чисельна умова, то відповідь у вигляді числа. Розберемо на конкретному прикладі весь перебіг рішення:

Переносимо змінні в різні боки:

Тепер беремо інтеграли. Усі їх можна знайти у спеціальній таблиці інтегралів. І отримуємо:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Якщо потрібно, ми можемо виразити "гравець" як функцію від "ікс". Тепер можна сказати, що наше диференціальне рівняння вирішено, якщо не задано умову. Можлива умова, наприклад, y(п/2)=e. Тоді ми просто підставляємо значення цих змінних у розв'язання та знаходимо значення постійної. У нашому прикладі воно одно 1.

Однорідні диференціальні рівняння першого порядку

Тепер переходимо до складнішої частини. p align="justify"> Однорідні диференціальні рівняння першого порядку можна записати в загальному вигляді так: y" = z (x, y). Слід зауважити, що права функція від двох змінних однорідна, і її не можна розділити на дві залежності: z від x і z від y. Перевірити , чи є рівняння однорідним чи ні, досить просто: ми робимо заміну x = k * x і y = k * y. Тепер скорочуємо всі k. Якщо всі ці літери скоротилися, значить рівняння однорідне і можна сміливо приступати до його вирішення. , Скажімо: принцип вирішення цих прикладів теж дуже простий.

Нам потрібно зробити заміну: y = t (x) * x, де t - якась функція, яка теж залежить від x. Тоді ми можемо висловити похідну: y"=t"(x)*x+t. Підставляючи все це в наше вихідне рівняння і спрощуючи його, ми отримуємо приклад з змінними t і x, що розділяються. Вирішуємо його та отримуємо залежність t(x). Коли ми її отримали, то просто підставляємо нашу попередню заміну y=t(x)*x. Тоді одержуємо залежність y від x.

Щоб було зрозуміліше, розберемо приклад: x*y"=y-x*e y/x.

Під час перевірки із заміною все скорочується. Отже, рівняння справді однорідне. Тепер робимо іншу заміну, про яку ми говорили: y=t(x)*x та y"=t"(x)*x+t(x). Після спрощення отримуємо наступне рівняння: t"(x)*x=-e t . Вирішуємо приклад з розділеними змінними і отримуємо: e -t =ln(C*x). Нам залишилося тільки замінити t на y/x (адже якщо y =t*x, то t=y/x), ми отримуємо відповідь: e -y/x =ln(x*С).

Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

Настав час розглянути ще одну велику тему. Ми розберемо неоднорідні диференціальні рівняння першого порядку. Чим вони відрізняються від попередніх двох? Давайте розберемося. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку загалом можна записати такою рівністю: y" + g(x)*y=z(x). Варто уточнити, що z(x) і g(x) можуть бути постійними величинами.

Тепер приклад: y" - y*x=x 2 .

Існує два способи рішення, і ми по порядку розберемо обидва. Перший – метод варіації довільних констант.

Для того щоб вирішити рівняння цим способом, необхідно спочатку прирівняти праву частину до нуля і вирішити рівняння, що вийшло, яке після перенесення частин набуде вигляду:

ln | y | = x 2 /2 + C;

y=e x2/2 *у С = C 1 *e x2/2 .

Тепер треба замінити константу C 1 на функцію v (x), яку ми повинні знайти.

Проведемо заміну похідної:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

І підставимо ці висловлювання у вихідне рівняння:

v"*e x2/2 - x * v * e x2/2 + x * v * e x2/2 = x 2 .

Можна бачити, що в лівій частині скорочуються два доданки. Якщо в якомусь прикладі цього не сталося, то ви щось зробили не так. Продовжимо:

v"*e x2/2 = x 2 .

Тепер вирішуємо нормальне рівняння, в якому потрібно розділити змінні:

dv/dx=x 2 /e x2/2;

dv = x 2 * e - x2/2 dx.

Щоб отримати інтеграл, нам доведеться застосувати тут інтегрування частинами. Однак, це не тема нашої статті. Якщо вам цікаво, ви можете самостійно навчитися виконувати такі дії. Це не складно, і за достатньої навички та уважності не забирає багато часу.

Звернемося до другого способу розв'язання неоднорідних рівнянь: методу Бернуллі. Який підхід швидше та простіше – вирішувати тільки вам.

Отже, при розв'язанні рівняння цим методом необхідно зробити заміну: y=k*n. Тут k і n – деякі залежні від x функції. Тоді похідна виглядатиме так: y"=k"*n+k*n". Підставляємо обидві заміни до рівняння:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Групуємо:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Тепер треба прирівняти до нуля те, що знаходиться у дужках. Тепер, якщо об'єднати два рівняння, що виходять, виходить система диференціальних рівнянь першого порядку, яку потрібно вирішити:

Першу рівність вирішуємо як звичайне рівняння. Для цього потрібно розділити змінні:

Беремо інтеграл та отримуємо: ln(n)=x 2 /2. Тоді, якщо виразити n:

Тепер підставляємо рівність, що вийшла, в друге рівняння системи:

k"*e x2/2 = x 2 .

І перетворюючи, отримуємо таку ж рівність, що й у першому методі:

dk = x 2 /e x2/2.

Ми також не розбиратимемо подальших дій. Спершу рішення диференціальних рівнянь першого порядку викликає суттєві труднощі. Однак при глибшому зануренні в тему це починає виходити все краще та краще.

Де застосовуються диференціальні рівняння?

Дуже активно диференціальні рівняння застосовуються у фізиці, тому що майже всі основні закони записуються в диференціальній формі, а ті формули, які ми бачимо – розв'язання цих рівнянь. У хімії вони використовують із тієї ж причини: основні закони виводяться з допомогою. У біології диференціальні рівняння застосовуються для моделювання поведінки систем, наприклад хижак - жертва. Вони також можуть використовуватися для створення моделей розмноження, наприклад, колонії мікроорганізмів.

Як диференціальні рівняння допоможуть у житті?

Відповідь на це запитання проста: ніяк. Якщо ви не вчений або інженер, то навряд чи вам вони знадобляться. Однак для загального розвитку не завадить знати, що таке диференціальне рівняння та як воно вирішується. І тоді питання сина чи доньки "що таке диференціальне рівняння?" не поставить вас у глухий кут. Ну а якщо ви вчений чи інженер, то й самі розумієте важливість цієї теми у будь-якій науці. Але найголовніше, що тепер питанням "як вирішити диференціальне рівняння першого порядку?" ви завжди зможете дати відповідь. Погодьтеся, завжди приємно, коли розумієш те, що люди навіть бояться розібратися.

Основні проблеми щодо

Основною проблемою у розумінні цієї теми є погана навичка інтегрування та диференціювання функцій. Якщо ви погано берете похідні та інтеграли, то, напевно, варто ще повчитися, освоїти різні методи інтегрування та диференціювання, і лише потім приступати до вивчення того матеріалу, що був описаний у статті.

Деякі люди дивуються, коли дізнаються, що dx можна переносити, адже раніше (у школі) стверджувалося, що дріб dy/dx неподільний. Тут слід почитати літературу по похідної і зрозуміти, що вона є ставленням нескінченно малих величин, якими можна маніпулювати під час вирішення рівнянь.

Багато хто не відразу усвідомлює, що вирішення диференціальних рівнянь першого порядку - це найчастіше функція або інтеграл, що не береться, і ця помилка завдає їм чимало турбот.

Що ще можна вивчити для кращого розуміння?

Найкраще розпочати подальше занурення у світ диференціального обчислення зі спеціалізованих підручників, наприклад, з математичного аналізу для студентів нематематичних спеціальностей. Потім можна переходити до більш спеціалізованої літератури.

Варто сказати, що, крім диференціальних, є ще інтегральні рівняння, тому вам завжди буде чого прагнути і що вивчати.

Висновок

Сподіваємося, що після прочитання цієї статті у вас з'явилося уявлення про те, що таке диференціальні рівняння та як правильно їх вирішувати.

У будь-якому випадку математика якимось чином стане нам у нагоді в житті. Вона розвиває логіку та увагу, без яких кожна людина як без рук.

Рівняння першого порядку виду a 1 (x) y" + a 0 (x) y = b (x) називається лінійним диференціальним рівнянням. Якщо b (x) ≡ 0 то рівняння називається однорідним, інакше - неоднорідним. Для лінійного диференціального рівняння теорема існування та єдиності має конкретніший вид.

Призначення сервісу. Онлайн калькулятор можна використовувати для перевірки рішення однорідних та неоднорідних лінійних диференціальних рівняньвиду y"+y=b(x) .

=

Використовувати заміну змінних y=u*v
Використовувати метод варіації довільної постійної
Знаходити приватне рішення при y( ) = .

Для отримання рішення вихідний вираз необхідно привести до вигляду: a 1 (x) y" + a 0 (x) y = b (x) . Наприклад, для y"-exp (x) = 2 * y це буде y"-2 * y = exp (x) .

Теорема. Нехай a 1 (x) , a 0 (x) , b(x) безперервні на відрізку [α,β], a 1 ≠0 для ∀x∈[α,β]. Тоді для будь-якої точки (x 0 , y 0), x 0 ∈[α,β] існує єдине рішення рівняння, що задовольняє умові y(x 0) = y 0 і визначене на всьому інтервалі [α,β].
Розглянемо однорідне лінійне диференціальне рівняння a 1 (x) y "+ a 0 (x) y = 0".
Розділяючи змінні, отримуємо , або, інтегруючи обидві частини, Останнє співвідношення, з урахуванням позначення exp(x) = e x записується у формі

Спробуємо тепер знайти рішення рівняння у вказаному вигляді, в якому замість константи C підставлена ​​функція C(x), тобто у вигляді

Підставивши це рішення у вихідне, після необхідних перетворень отримуємо Інтегруючи останнє, маємо

де C1 - деяка нова константа. Підставляючи отриманий вираз для C(x), одержуємо остаточно рішення вихідного лінійного рівняння
.

Приклад. Розв'язати рівняння y" + 2y = 4x . Розглянемо відповідне однорідне рівняння y" + 2y = 0 . Вирішуючи його, отримуємо y = Ce -2 x. Шукаємо тепер рішення вихідного рівняння як y = C(x)e -2 x . Підставляючи y та y" = C"(x)e -2 x - 2C(x)e -2 x у вихідне рівняння, маємо C"(x) = 4xe 2 x , звідки C(x) = 2xe 2 x - e 2 x + C 1 і y(x) = (2xe 2 x - e 2 x + C 1)e -2 x = 2x - 1 + C 1 e -2 x - загальне рішення вихідного рівняння. x) = 2x-1 - рух об'єкта під дією сили b(x) = 4x, y 2 (x) = C 1 e -2 x -власний рух об'єкта.

Приклад №2. Знайти загальне рішення диференціального рівняння першого порядку y +3 ytan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x.
Це неоднорідне рівняння. Зробимо заміну змінних: y=u v, y" = u"v + uv".
3u v tg(3x)+u v"+u" v = 2cos(3x)/sin 2 2x або u(3v tg(3x)+v") + u" v= 2cos(3x)/sin 2 2x
Рішення складається з двох етапів:
1. u(3v tg(3x)+v") = 0
2. u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
1. Прирівнюємо u=0, знаходимо рішення для 3v tg(3x)+v" = 0
Подаємо у вигляді: v" = -3v tg(3x)

Інтегуючи, отримуємо:

ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. Знаючи v, знаходимо u з умови: u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" = 2/sin 2 2x
Інтегуючи, отримуємо:
З умови y=u v отримуємо:
y = u v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) або y = C cos(3x)-cos(2x) ctg(3x)

Установа освіти «Білоруська державна

сільськогосподарська академія»

Кафедра вищої математики

ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

Конспект лекції для студентів бухгалтерського факультету

заочної форми здобуття освіти (НІСПО)

Гірки, 2013

Диференціальні рівняння першого порядку

Поняття диференціального рівняння. Загальне та приватне рішення

При вивченні різних явищ часто не вдається знайти закон, який безпосередньо пов'язує незалежну змінну та шукану функцію, але можна встановити зв'язок між функцією, що шукається, і її похідними.

Співвідношення, що пов'язує незалежну змінну, шукану функцію та її похідні, називається диференціальним рівнянням :

Тут x- незалежна змінна, y- Шукана функція,
- похідні функції, що шукається. При цьому у співвідношенні (1) обов'язкова наявність хоча б однієї похідної.

Порядок диференціального рівняння називається порядок старшої похідної, що входить до рівняння.

Розглянемо диференціальне рівняння

. (2)

Так до цього рівняння входить похідна тільки першого порядку, то воно зв ється диференціальним рівнянням першого порядку.

Якщо рівняння (2) можна дозволити щодо похідної та записати у вигляді

, (3)

то таке рівняння називається диференціальним рівнянням першого порядку у нормальній формі.

У багатьох випадках доцільно розглядати рівняння виду

яке називається диференціальним рівнянням першого порядку, записаним у диференційній формі.

Так як
, то рівняння (3) можна записати у вигляді
або
де можна вважати
і
. Це означає, що рівняння (3) перетворено на рівняння (4).

Запишемо рівняння (4) у вигляді
. Тоді
,
,
де можна вважати
, тобто. отримано рівняння виду (3). Таким чином, рівняння (3) та (4) рівносильні.

Рішенням диференціального рівняння (2) або (3) називається будь-яка функція
, Яка при підстановці її в рівняння (2) або (3) звертає його в тотожність:

або
.

Процес знаходження всіх рішень диференціального рівняння називається його інтегруванням , а графік рішення
диференціального рівняння називається інтегральної кривої цього рівняння.

Якщо рішення диференціального рівняння отримано у неявному вигляді
, то воно називається інтегралом даного диференціального рівняння.

Загальним рішенням диференціального рівняння першого порядку називається сімейство функцій виду
, що залежить від довільної постійної З, кожна з яких є рішенням даного диференціального рівняння при будь-якому допустимому значенні довільної постійної З. Таким чином, диференціальне рівняння має безліч рішень.

Приватним рішенням диференціального рівняння називається рішення, одержуване з формули загального рішення при конкретному значенні довільної постійної З, включаючи
.

Завдання Коші та її геометрична інтерпретація

Рівняння (2) має безліч рішень. Щоб із цієї множини виділити одне рішення, яке називається приватним, потрібно задати деякі додаткові умови.

Завдання пошуку приватного рішення рівняння (2) за заданих умов називається завданням Коші . Це є однією з найважливіших теорії диференціальних рівнянь.

Формулюється завдання Коші так: серед усіх розв'язків рівняння (2) знайти таке рішення
, в якому функція
приймає задане числове значення , якщо незалежна змінна x приймає задане числове значення , тобто.

,
, (5)

де D- Область визначення функції
.

Значення називається початковим значенням функції , а – початковим значенням незалежної змінної . Умова (5) називається початковою умовою або умовою Коші .

З геометричного погляду завдання Коші для диференціального рівняння (2) можна сформулювати так: з безлічі інтегральних кривих рівняння (2) виділити ту, що проходить через задану точку
.

Диференціальні рівняння з змінними, що розділяються.

Одним з найпростіших видів диференціальних рівнянь є диференціальне рівняння першого порядку, що не містить функції, що шукається:

. (6)

Враховуючи що
, запишемо рівняння у вигляді
або
. Інтегруючи обидві частини останнього рівняння, отримаємо:
або

. (7)

Отже, (7) є загальним рішенням рівняння (6).

Приклад 1 . Знайти загальне рішення диференціального рівняння
.

Рішення . Запишемо рівняння у вигляді
або
. Проінтегруємо обидві частини отриманого рівняння:
,
. Остаточно запишемо
.

Приклад 2 . Знайти рішення рівняння
за умови
.

Рішення . Знайдемо загальне рішення рівняння:
,
,
,
. За умовою
,
. Підставимо у загальне рішення:
або
. Знайдене значення довільної постійної підставимо у формулу загального рішення:
. Це і є окреме рішення диференціального рівняння, що задовольняє задану умову.

Рівняння

(8)

Називається диференціальним рівнянням першого порядку, що не містить незалежної змінної . Запишемо його у вигляді
або
. Проінтегруємо обидві частини останнього рівняння:
або
- загальне рішення рівняння (8).

приклад . Знайти загальне рішення рівняння
.

Рішення . Запишемо це рівняння у вигляді:
або
. Тоді
,
,
,
. Таким чином,
- Загальне рішення даного рівняння.

Рівняння виду

(9)

інтегрується за допомогою поділу змінних. Для цього рівняння запишемо у вигляді
, а потім за допомогою операцій множення та поділу наводимо його до такої форми, щоб в одну частину входила тільки функція від хта диференціал dx, а в другу частину – функція від ута диференціал dy. Для цього обидві частини рівняння потрібно помножити на dxта розділити на
. В результаті отримаємо рівняння

, (10)

в якому змінні хі урозділені. Проінтегруємо обидві частини рівняння (10):
. Отримане співвідношення є загальним інтегралом рівняння (9).

Приклад 3 . Проінтегрувати рівняння
.

Рішення . Перетворимо рівняння та розділимо змінні:
,
. Проінтегруємо:
,
або – загальний інтеграл цього рівняння.
.

Нехай рівняння задано у вигляді

Таке рівняння називається диференціальним рівнянням першого порядку з змінними, що розділяються. у симетричній формі.

Для поділу змінних потрібно обидві частини рівняння поділити на
:

. (12)

Отримане рівняння називається диференціальним рівнянням з розділеними змінними . Проінтегруємо рівняння (12):

.(13)

Співвідношення (13) є загальним інтегралом диференціального рівняння (11).

Приклад 4 . Проінтегрувати диференціальне рівняння.

Рішення . Запишемо рівняння у вигляді

і розділимо обидві його частини на
,
. Отримане рівняння:
є рівнянням із розділеними змінними. Проінтегруємо його:

,
,

,
. Остання рівність є загальним інтегралом даного диференціального рівняння.

Приклад 5 . Знайти окреме рішення диференціального рівняння
, що задовольняє умову
.

Рішення . Враховуючи що
, запишемо рівняння у вигляді
або
. Розділимо змінні:
. Проінтегруємо це рівняння:
,
,
. Отримане співвідношення є загальним інтегралом рівняння. За умовою
. Підставимо в загальний інтеграл і знайдемо З:
,З=1. Тоді вираз
є окремим рішенням даного диференціального рівняння, записаним як приватного інтеграла.

Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

Рівняння

(14)

називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку . Невідома функція
та її похідна входять до цього рівняння лінійно, а функції
і
безперервні.

Якщо
, то рівняння

(15)

називається лінійним однорідним . Якщо
, то рівняння (14) називається лінійним неоднорідним .

Для знаходження рішення рівняння (14) зазвичай використовують метод підстановки (Бернуллі) , Суть якого в наступному.

Рішення рівняння (14) будемо шукати у вигляді виконання двох функцій

, (16)

де
і
- Деякі безперервні функції. Підставимо
та похідну
рівняння (14):

функцію vбудемо підбирати таким чином, щоб виконувалася умова
. Тоді
. Отже, знаходження рішення рівняння (14) потрібно вирішити систему диференціальних рівнянь

Перше рівняння системи є однорідним лінійним рівнянням і вирішити його можна методом поділу змінних:
,
,
,
,
. Як функція
можна взяти одне з окремих рішень однорідного рівняння, тобто. при З=1:
. Підставимо у друге рівняння системи:
або
. Тоді
. Таким чином, загальне рішення лінійного диференціального рівняння першого порядку має вигляд
.

Приклад 6 . Вирішити рівняння
.

Рішення . Рішення рівняння будемо шукати у вигляді
. Тоді
. Підставимо до рівняння:

або
. функцію vвиберемо таким чином, щоб виконувалася рівність
. Тоді
. Вирішимо перше з цих рівнянь методом поділу змінних:
,
,
,
,. функцію vпідставимо у друге рівняння:
,
,
,
. Загальним рішенням цього рівняння є
.

Запитання для самоконтролю знань

Що називається диференціальним рівнянням?

Що називається порядком диференціального рівняння?

Яке диференціальне рівняння називається диференціальним рівнянням першого порядку?

Як записується диференціальне рівняння першого порядку у диференційній формі?

Що називається розв'язком диференціального рівняння?

Що називається інтегральною кривою?

Що називається загальним рішенням диференціального рівняння першого ладу?

Що називається приватним розв'язком диференціального рівняння?

Як формулюється завдання Коші для диференціального рівняння першого порядку?

Якою є геометрична інтерпретація задачі Коші?

Як записується диференціальне рівняння з змінними, що розділяються, в симетричній формі?

Яке рівняння називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку?

Яким способом можна розв'язати лінійне диференціальне рівняння першого ладу й у чому суть цього?

Завдання для самостійної роботи

Розв'язати диференціальні рівняння з змінними, що розділяються:

а)
; б)
;

в)
; г)
.

2. Вирішити лінійні диференціальні рівняння першого порядку:

а)
; б)
; в)
;

г)
; д)
.