Формула об'єму піраміди через трикутний кут. Формули об'єму правильної трикутної піраміди

Однією з найпростіших об'ємних фігур є трикутна піраміда, оскільки вона складається з найменшого числа граней, з якого можна утворити фігуру у просторі. У статті розглянемо формули, з допомогою яких можна знайти обсяг трикутної правильної піраміди.

Трикутна піраміда

Згідно з загальним визначенням піраміда є багатокутником, всі вершини якого з'єднані з однією точкою, не розташованою в площині цього багатокутника. Якщо останній є трикутником, то вся фігура називається трикутною пірамідою.

Розглянута піраміда складається з основи (трикутника) та трьох бічних граней (трикутників). Крапка, в якій з'єднані три бічні грані, називається вершиною фігури. Опущений основу перпендикуляр з цієї вершини є висотою піраміди. Якщо точка перетину перпендикуляра з основою збігається з точкою перетину медіан трикутника в основі, тоді говорять про правильну піраміду. В іншому випадку вона буде похилою.

Як було сказано, основа трикутної піраміди може бути трикутником загального типу. Однак якщо він є рівностороннім, а сама піраміда пряма, тоді говорять про правильну об'ємну фігуру.

Будь-яка має 4 грані, 6 ребер та 4 вершини. Якщо довжини всіх ребер дорівнюють між собою, тоді така фігура називається тетраедром.

загального типу

Перш ніж записати правильну трикутну піраміду, наведемо вираз цієї фізичної величини для піраміди загального типу. Цей вираз має вигляд:

Тут S o – площа основи, h – висота фігури. Ця рівність буде справедливою для будь-якого типу основи багатокутника піраміди, а також для конуса. Якщо ж у підставі знаходиться трикутник, що має довжину сторони a і висоту h o опущену на неї, тоді формула для об'єму запишеться так:

Формули об'єму правильної трикутної піраміди

Трикутна має рівносторонній трикутник у підставі. Відомо, що висота цього трикутника пов'язана з довжиною його боку рівністю:

Підставляючи цей вираз у формулу для обсягу трикутної піраміди, записану в попередньому пункті, отримуємо:

V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.

Об'єм правильної піраміди з трикутною основою є функцією довжини сторони основи та висоти фігури.

Оскільки будь-який правильний багатокутник можна вписати в коло, радіус якого однозначно визначить довжину сторони багатокутника, тоді цю формулу можна записати через відповідний радіус r:

Цю формулу легко отримати з попередньої, якщо врахувати, що радіус r описаного кола через довжину сторони трикутника визначається виразом:

Завдання визначення обсягу тетраедра

Покажемо, як використовувати наведені вище формули під час вирішення конкретних задач геометрії.

Відомо, що тетраедр має довжину ребра 7 см. Знайдіть об'єм правильної трикутної піраміди-тетраедра.

Нагадаємо, що тетраедр є правильною трикутною пірамідою, в якій всі основи рівні між собою. Щоб скористатися формулою об'єму правильної трикутної піраміди, необхідно обчислити дві величини:

• довжину сторони трикутника;
• висоту фігури.

Перша величина відома з умови завдання:

Щоб визначити висоту, розглянемо фігуру, зображену малюнку.

Зазначений трикутник ABC є прямокутним, де кут ABC дорівнює 90 o . Сторона AC – це гіпотенуза, довжина якої дорівнює a. Шляхом нескладних геометричних міркувань можна показати, що сторона BC має довжину:

Зауважимо, що довжина BC є радіусом описаного навколо трикутника кола.

h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2 /3) = a*√(2/3).

Тепер можна h і a підставити у відповідну формулу для обсягу:

V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .

Таким чином, ми одержали формулу обсягу тетраедра. Видно, що обсяг залежить лише від довжини ребра. Якщо вираз підставити значення з умови завдання, тоді отримуємо відповідь:

V = √2/12*7 3 ≈ 40,42 см 3 .

Якщо порівняти цю величину з об'ємом куба, що має таке ж ребро, то отримаємо, що об'єм тетраедра в 8,5 разів менше. Це свідчить про те, що тетраедр є компактною фігурою, що реалізується у деяких природних речовинах. Наприклад, молекула метану має тетраедричну форму, а кожен атом вуглецю в алмазі з'єднаний з чотирма іншими атомами, що утворюють тетраедр.

Завдання з гомотетичними пірамідами

Розв'яжемо одну цікаву геометричну задачу. Припустимо, що є правильна трикутна піраміда з деяким об'ємом V 1 . У скільки разів слід зменшити розміри цієї фігури, щоб отримати гомотетичну їй піраміду з об'ємом, втричі меншим за вихідний?

Завдання почнемо вирішувати із запису формули для вихідної правильної піраміди:

V 1 = √3/12*a 1 2 *h 1 .

Нехай необхідний за умовою завдання обсяг фігури вийде, якщо помножити параметри на коефіцієнт k. Маємо:

V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .

Оскільки з умови відоме відношення обсягів фігур, то отримуємо значення коефіцієнта k:

k = ∛(V 2 /V 1) = ∛(1/3) ≈ 0,693.

Зазначимо, що аналогічне значення коефіцієнта k ми отримали б для піраміди довільного типу, а не тільки для правильної трикутної.

Визначення. Бічна грань- це трикутник, у якого один кут лежить у вершині піраміди, а протилежна сторона збігається зі стороною основи (багатокутника).

Визначення. Бічні ребра- це спільні сторони бічних граней. У піраміди стільки ребер, скільки кутів у багатокутника.

Визначення. Висота піраміди- Це перпендикуляр, опущений з вершини на основу піраміди.

Визначення. Апофема- Це перпендикуляр бічної грані піраміди, опущений з вершини піраміди до сторони основи.

Визначення. Діагональний переріз- це переріз піраміди площиною, що проходить через вершину піраміди та діагональ основи.

Визначення. Правильна піраміда- це піраміда, в якій основою є правильний багатокутник, а висота опускається до центру основи.

Об'єм та площа поверхні піраміди

Формули. Об'єм пірамідичерез площу основи та висоту:

Властивості піраміди

Якщо всі бічні ребра рівні, навколо основи піраміди можна описати коло, а центр основи збігається з центром кола. Також перпендикуляр, опущений із вершини, проходить через центр основи (кола).

Якщо бічні ребра рівні, всі вони нахилені до площині підстави під однаковими кутами.

Бічні ребра рівні тоді, коли вони утворюють із площиною основи рівні кути або якщо навколо основи піраміди можна описати коло.

Якщо бічні грані нахилені до площини основи під одним кутом, то в основу піраміди можна вписати коло, а вершина піраміди проектується до її центру.

Якщо бічні грані нахилені до поверхні підстави під одним кутом, то апофеми бічних граней рівні.

Властивості правильної піраміди

1. Вершина піраміди рівновіддалена від усіх кутів основи.

2. Усі бічні ребра рівні.

3. Усі бічні ребра нахилені під однаковими кутами до основи.

4. Апофеми всіх бічних граней рівні.

5. Площі всіх бічних граней рівні.

6. Усі грані мають однакові двогранні (плоські) кути.

7. Навколо піраміди можна описати сферу. Центром описаної сфери буде точка перетину перпендикулярів, що проходять через середину ребер.

8. До піраміди можна вписати сферу. Центром вписаної сфери буде точка перетину бісектрис, що виходять із кута між ребром і основою.

9. Якщо центр вписаної сфери збігається з центром описаної сфери, то сума плоских кутів при вершині дорівнює π або навпаки один кут дорівнює π/n , де n - це кількість кутів в основі піраміди.

Зв'язок піраміди зі сферою

Навколо піраміди можна описати сферу тоді, коли в основі піраміди лежить багатогранник навколо якого можна описати коло (необхідна та достатня умова). Центром сфери буде точка перетину площин, що проходять перпендикулярно через середини бічних ребер піраміди.

Навколо будь-якої трикутної чи правильної піраміди можна описати сферу.

У піраміду можна вписати сферу, якщо бісекторні площини внутрішніх двогранних кутів піраміди перетинаються в одній точці (необхідна та достатня умова). Ця точка буде осередком сфери.

Зв'язок піраміди з конусом

Конус називається вписаним у піраміду, якщо їх вершини збігаються, а основа конуса вписана в основу піраміди.

Конус можна вписати до піраміди, якщо апофеми піраміди рівні між собою.

Конус називається описаним навколо піраміди, якщо їх вершини збігаються, а основа конуса описана навколо основи піраміди.

Конус можна описати навколо піраміди, якщо всі бічні ребра піраміди рівні між собою.

Зв'язок піраміди з циліндром

Піраміда називається вписаною в циліндр, якщо вершина піраміди лежить на одній основі циліндра, а основа піраміди вписана в іншу основу циліндра.

Циліндр можна описати навколо піраміди, якщо навколо основи піраміди можна описати коло.

Визначення. Усічена піраміда (пірамідальна призма)- це багатогранник, який знаходиться між основою піраміди та площиною перерізу, паралельною основі. Таким чином піраміда має більшу основу і меншу основу, яка подібна до більшої. Бічні грані є трапецією.

Визначення. Трикутна піраміда (чотиригранник)- це піраміда в якій три грані та основа є довільними трикутниками.

У чотиригранник чотири грані та чотири вершини та шість ребер, де будь-які два ребра не мають спільних вершин але не стикаються.

Кожна вершина складається з трьох граней та ребер, які утворюють тригранний кут.

Відрізок, що з'єднує вершину чотиригранника із центром протилежної грані називається медіаною чотиригранника(GM).

Бімедіаноюназивається відрізок, що з'єднує середини протилежних ребер, які не стикаються (KL).

Усі бімедіани та медіани чотиригранника перетинаються в одній точці (S). При цьому бімедіани діляться навпіл, а медіани щодо 3:1, починаючи з вершини.

Визначення. Похила піраміда- це піраміда в якій одне з ребер утворює тупий кут (β) з основою.

Визначення. Прямокутна піраміда- це піраміда в якій одна з бічних граней перпендикулярна до основи.

Визначення. Гострокутна піраміда- це піраміда в якій апофема більше половини довжини сторони основи.

Визначення. Тупокутна піраміда- це піраміда в якій апофема менше половини довжини сторони основи.

Визначення. Правильний тетраедр- чотиригранник, у якого всі чотири грані - рівносторонні трикутники. Він є одним із п'яти правильних багатокутників. У правильного тетраедра всі двогранні кути (між гранями) та тригранні кути (при вершині) рівні.

Визначення. Прямокутний тетраедрназивається чотиригранник у якого прямий кут між трьома ребрами при вершині (ребра перпендикулярні). Три грані утворюють прямокутний трикутний куті грані є прямокутними трикутниками, а основа є довільним трикутником. Апофема будь-якої межі дорівнює половині боку основи, яку падає апофема.

Визначення. Рівногранний тетраедрназивається чотиригранник у якого бічні грані рівні між собою, а основа – правильний трикутник. У такого тетраедра грані це рівнобедрені трикутники.

Визначення. Ортоцентричний тетраедрназивається чотиригранник, у якого всі висоти (перпендикуляри), що опущені з вершини до протилежної грані, перетинаються в одній точці.

Визначення. Зіркова піраміданазивається багатогранник, у якого основою є зірка.

Визначення. Біпіраміда- багатогранник, що складається із двох різних пірамід (також можуть бути зрізані піраміди), що мають загальну основу, а вершини лежать по різні боки від площини основи.

Щоб знайти обсяг піраміди, потрібно знати кілька формул. Розглянемо їх.

Як визначити обсяг піраміди - перший метод

Об'єм піраміди можна дізнатися за допомогою висоти та площі її основи. V = 1/3 * S * h. Так, наприклад, якщо висота піраміди 10 см, а площа її основи 25 см 2 то обсяг буде дорівнює V = 1/3*25*10 = 1/3*250 = 83.3 см 3

Як визначити обсяг піраміди - другий метод

Якщо в основі піраміди лежить правильний багатокутник, то знайти її об'єм можна за такою формулою: V = na 2 h/12*tg(180/n), де а – сторона, що лежить в основі багатокутника, а n – кількість його сторін. Наприклад: В основі лежить правильний шестикутник, тобто n = 6. Так як він правильний, всі його сторони однакові, тобто всі рівні. Скажімо a = 10, а h – 15. Вставляємо числа у формулу та отримуємо приблизну відповідь – 1299 см 3

Як визначити обсяг піраміди - третій метод

Якщо у підставі піраміди лежить рівносторонній трикутник, її об'єм можна знайти за такою формулою: V = ha 2 /4√3, де а – сторона рівностороннього трикутника. Наприклад: висота піраміди – 10 см, сторона основи – 5 см. Об'єм дорівнюватиме V = 10*25/4√3 = 250/4√3. Зазвичай те, що вийшло у знаменнику не обчислюють і залишають у такому ж вигляді. Можна також помножити і чисельник, і знаменник на 4 3. Отримаємо 1000 3/48. Скоротивши отримаємо 125√3/6 см 3 .

Як визначити обсяг піраміди - 4-ий спосіб

Якщо підставі піраміди лежить квадрат, її об'єм можна знайти за такою формулою: V = 1/3*h*a 2 , де a – сторін квадрата. Наприклад: висота – 5 см, сторона квадрата – 3 см. V = 1/3*5*9 = 15 см 3

Як знайти об'єм піраміди – п'ятий спосіб

Якщо піраміда є тетраедром, тобто у неї всі грані – рівносторонні трикутники, знайти об'єм піраміди можна за такою формулою: V = a 3 √2/12, де a – ребро тетраедра. Наприклад: ребро тетраедра = 7. V = 7*7*7√2/12 = 343 см 3

Слово «піраміда» мимоволі асоціюється з величними велетнями в Єгипті, що вірно зберігають спокій фараонів. Можливо тому піраміду як безпомилково дізнаються всі, навіть діти.

Проте спробуємо дати їй геометричне визначення. Представимо на площині кілька точок (А1, А2, ..., Ап) і ще одну (Е), що не належала їй. Так от, якщо точку Е (вершину) з'єднати з вершинами багатокутника, утвореного точками А1, А2,..., Ап (основа), вийде багатогранник, який і називають пірамідою. Очевидно, що вершин у багатокутника в основі піраміди може бути скільки завгодно, і в залежності від їх кількості піраміду можна назвати трикутною та чотирикутною, п'ятикутною тощо.

Якщо уважно придивитися до піраміди, то стане ясно, чому її визначають ще й по-іншому - як геометричну фігуру, що має в основі багатокутник, а як бічні грані - трикутники, об'єднані загальною вершиною.

Оскільки піраміда - просторова фігура, то й у неї є така кількісна характеристика, як обчислюють за добре відомою рівною третиною твори підстави піраміди на її висоту:

Об'єм піраміди при виведенні формули спочатку розраховується для трикутної, взявши за основу постійне співвідношення, що зв'язує цю величину з обсягом трикутної призми, що має ту саму основу і висоту, яка, як виявляється, втричі перевищує цей обсяг.

А оскільки будь-яка піраміда розбивається на трикутні, і її обсяг не залежить від побудов, що виконуються при доказі, правомірність наведеної формули обсягу - очевидна.

Особняком серед усіх пірамід стоять правильні, у яких в основі лежить Що ж до , то вона повинна «закінчуватися» в центрі основи.

У разі неправильного багатокутника у підставі для обчислення площі основи потрібно:

• розбити його на трикутники та квадрати;

• підрахувати площу кожного з них;

• скласти отримані дані.

У разі правильного багатокутника на основі піраміди, його площу розраховують за готовими формулами, тому обсяг правильної піраміди обчислюється дуже просто.

Наприклад, щоб обчислити об'єм чотирикутної піраміди, якщо вона правильна, зводять довжину сторони правильного чотирикутника (квадрату) в основі квадрат і, помноживши на висоту піраміди, ділять отриманий добуток на три.

Обсяг піраміди можна обчислити, використовуючи інші параметри:

• як третина добутку радіусу кулі, вписаної в піраміду, на площу її повної поверхні;

• як дві третини твору відстані між двома довільно взятими ребрами, що схрещуються, і площі паралелограма, який утворюють середини решти чотирьох ребер.

Об'єм піраміди обчислюється просто і у разі, коли його висота збігається з одним з бічних ребер, тобто у разі прямокутної піраміди.

Говорячи про піраміди, не можна залишити без уваги також усічені піраміди, отримані перетином піраміди паралельної основи площиною. Їх обсяг практично дорівнює різниці обсягів цілої піраміди та відсіченої вершини.

Першим обсяг піраміди, щоправда не зовсім у його сучасному вигляді, однак рівним 1/3 обсягу відомої нам призми, виявив Демокріт. Його метод підрахунку Архімед назвав «без доказу», оскільки Демокріт підходив до піраміди, як до фігури, складеної з нескінченно тонких, подібних до пластинок.

До питання знаходження обсягу піраміди «звернулась» і векторна алгебра, використовуючи при цьому координати її вершин. Піраміда, побудована на трійці векторів a,b,c, дорівнює одній шостій від модуля змішаного добутку заданих векторів.

Тут розберемо приклади, пов'язані з поняттям обсягу. Для вирішення подібних завдань обов'язково потрібно знати формулу обсягу піраміди:

S

h – висота піраміди

Підставою може бути будь-який багатокутник. Але в більшості завдань на ЄДІ мова в умові, як правило, йде про правильні піраміди. Нагадаю одну з її властивостей:

Вершина правильної піраміди проектується до центру її заснування

Подивіться на проекцію правильної трикутної, чотирикутної та шестикутної пірамід (ВИД Зверху):

Можете на блозі, де розбиралися завдання, пов'язані зі знаходженням обсягу піраміди.Розглянемо завдання:

27087. Знайдіть об'єм правильної трикутної піраміди, сторони основи якої дорівнюють 1, а висота дорівнює кореню з трьох.

S– площа основи піраміди

h- Висота піраміди

Знайдемо площу основи піраміди, це правильний трикутник. Скористаємося формулою – площа трикутника дорівнює половині добутку сусідніх сторін на синус кута між ними, отже:

Відповідь: 0,25

27088. Знайдіть висоту правильної трикутної піраміди, сторони основи якої дорівнюють 2, а об'єм дорівнює кореню з трьох.

Такі поняття як висота піраміди та характеристики її основи пов'язані формулою об'єму:

S– площа основи піраміди

h- Висота піраміди

Сам обсяг нам відомий, площу основи можемо знайти, оскільки відомі сторони трикутника, який є основою. Знаючи зазначені величини легко знайдемо висоту.

Для знаходження площі основи скористаємося формулою – площа трикутника дорівнює половині добутку сусідніх сторін на синус кута між ними, отже:

Таким чином, підставивши дані значення формулу обсягу можемо обчислити висоту піраміди:

Висота дорівнює трьом.

Відповідь: 3

27109. У правильній чотирикутній піраміді висота дорівнює 6, бічне ребро дорівнює 10. Знайдіть її об'єм.

Обсяг піраміди обчислюється за такою формулою:

S– площа основи піраміди

h- Висота піраміди

Висота нам відома. Необхідно знайти площу основи. Нагадаю, що вершина правильної піраміди проектується до центру її заснування. Підставою правильної чотирикутної піраміди є квадрат. Ми можемо знайти його діагональ. Розглянемо прямокутний трикутник (виділений синім):

Відрізок з'єднує центр квадрата з точкою Це катет, який дорівнює половині діагоналі квадрата. Цей катет можемо вирахувати за теоремою Піфагора:

Значить BD = 16. Обчислимо площу квадрата, скориставшись формулою площі чотирикутника:

Отже:

Таким чином, обсяг піраміди дорівнює:

Відповідь: 256

27178. У правильній чотирикутній піраміді висота дорівнює 12, об'єм дорівнює 200. Знайдіть бічне ребро цієї піраміди.

Висота піраміди та її та обсяг відомі, значить можемо знайти площу квадрата, який є основою. Знаючи площу квадрата, ми зможемо знайти його діагональ. Далі розглянувши прямокутний трикутник по теоремі Піфагора обчислимо бічне ребро:

Знайдемо площу квадрата (підстави піраміди):

Обчислимо діагональ квадрата. Так як його площа дорівнює 50, то сторона дорівнюватиме кореню з п'ятдесяти і за теоремою Піфагора:

Точка О поділяє діагональ BD навпіл, отже катет прямокутного трикутника ОВ = 5.

Таким чином, можемо обчислити чому одно бічне ребро піраміди:

Відповідь: 13

245353. Знайдіть об'єм піраміди, зображеної на малюнку. Її основою є багатокутник, сусідні сторони якого перпендикулярні, а одне з бічних ребер перпендикулярно площині основи і 3.

Як неодноразово було сказано – обсяг піраміди обчислюється по формуле:

S– площа основи піраміди

h- Висота піраміди

Бокове ребро перпендикулярне до основи дорівнює трьом, це означає, що висота піраміди дорівнює трьом. Основи піраміди – це багатокутник, площа якого дорівнює:

Таким чином:

Відповідь: 27

27086. Основою піраміди є прямокутник зі сторонами 3 та 4. Її об'єм дорівнює 16. Знайдіть висоту цієї піраміди.