Розділити хрест на фігури із 5 клітин. Завдання на розрізання.docx - завдання на розрізання

1. Квадрат містить 16 клітин. Розділіть квадрат на дві рівні частини так, щоб лінія розрізу йшла на всі боки клітин. (Спосіб розрізання квадрата на дві частини вважатимемо різними, якщо частини квадрата, отримані при одному способі розрізання, не рівні частинам, отриманим при іншому способі.) Скільки всього рішень має завдання?
2. Прямокутник 3Х4 містить 12 клітин. Знайдіть п'ять способів розрізання прямокутника на дві рівні частини так, щоб лінія розрізу йшла по сторонах клітин (способи розрізання вважаються різними, якщо частини, отримані при одному способі розрізання, не дорівнюють частинам, отриманим при іншому способі).
3. Прямокутник 3Х5 містить 15 клітин і центральна клітина видалена. Знайдіть п'ять способів розрізання фігури, що залишилася, на дві рівні частини так, щоб лінія розрізу йшла по сторонах клітин.
4. Квадрат 6х6 розграфлено на 36 однакових квадратів. Знайдіть п'ять способів розрізання квадрата на дві рівні частини так, щоб лінія розрізу йшла на всі боки квадратів. Примітка: завдання має понад 200 рішень.
5. Розділіть квадрат 4×4 на чотири рівні частини так, щоб лінія розрізу йшла на всі боки клітин. Скільки різних способів розрізання ви знайдете?
6. Розділіть фігуру (рис.5) на три рівні частини так, щоб лінія розрізу йшла на всі боки квадратів.

7. Розділіть фігуру (рис.6) на чотири рівні частини так, щоб лінія розрізу йшла на всі боки квадратів.

8. Розділіть фігуру (рис.7) на чотири рівні частини так, щоб лінії розрізів йшли на всі боки квадратів. Знайдіть якнайбільше рішень.

9. Розділіть квадрат 5×5 клітин із вирізаною центральною клітиною на чотири рівні частини.

10. Розріжте фігури, зображені на рис.8, на дві рівні частини по лініях сітки, причому в кожній частині повинен бути кружок.

11. Фігури, зображені на рис.9, треба розрізати лініями сітки на чотири рівні частини так, щоб у кожній частині був кружок. Як це зробити?

12. Розріжте фігуру, зображену на рис.10, по лініях сітки на чотири рівні частини і складіть із них квадрат так, щоб кружечки та зірочки розташувалися симетрично щодо всіх осей симетрії квадрата.

13. Розріжте даний квадрат (рис.11) по сторонах клітин так, щоб усі частини були однакового розміру та форми і щоб кожна містила по одному кухлі та зірочці.

14. Розріжте квадрат 6×6 із картатого паперу, зображений на рис.12, на чотири однакові частини так, щоб кожна з них містила три зафарбовані клітини.

10. Квадратний лист картатого паперу розбитий на менші квадрати відрізками, що йдуть по сторонах клітин. Доведіть, що сума довжин цих відрізків ділиться на 4. (Довжина сторони клітини дорівнює 1).

Рішення: Нехай Q – квадратний аркуш паперу, L(Q) – сума довжин тих сторін клітин, які лежать усередині. Тоді L(Q) ділиться на 4, тому що всі сторони розбиваються на четвірки сторін, що виходять один з одного поворотами на 90 0 і 180 0 щодо центру квадрата.

Якщо квадрат Q поділений на квадрати Q 1 , …, Q n , то сума довжин відрізків розподілу дорівнює

L(Q) – L(Q1) – … – L(Qn). Зрозуміло, що це число ділиться на 4, оскільки числа L(Q), L(Q 1), …, L(Q n) поділяється на 4.

4. Інваріанти

11. Дана шахова дошка. Дозволяється перефарбовувати в інший колір відразу всі клітини будь-якої горизонталі або вертикалі. Чи може при цьому вийти дошка, яка має одну чорну клітку?

Рішення: При перефарбуванні горизонталі або вертикалі, що містить k чорних та 8-k білих клітин, вийде 8-k чорних та k білих клітин. Тому число чорних клітин зміниться (8-k)-k=8-2k, тобто. на парне число. Оскільки парність числа чорних клітин зберігається, з вихідних 32 чорних клітин ми зможемо отримати одну чорну клітину.

12. Дана шахова дошка. Дозволяється перефарбовувати в інший колір відразу всі клітини, розташовані всередині квадрата розміром 2 х 2. чи може при цьому залишитися на дошці рівно одна чорна клітина?

Рішення: При перефарбуванні квадрата 2 х 2, що містить k чорних та 4-k білих клітин, вийде 4-k чорних та k білих клітин. Тому число чорних клітин зміниться (4-k)-k=4-2k, тобто. на парне число. Оскільки парність числа чорних клітин зберігається, з вихідних 32 чорних клітин ми зможемо отримати одну чорну клітину.

13. Доведіть, що опуклий багатокутник не можна розрізати на кінцеве число невипуклих чотирикутників.

Рішення: Припустимо, що опуклий багатокутник M розрізаний на непуклі чотирикутники M 1 ,…, M n . Кожному багатокутнику N поставимо у відповідність число f(N), що дорівнює різниці між сумою його внутрішніх кутів, менших 180, і сумою кутів, що доповнюють до 360 його кути, більше 180. Порівняємо числа А= f(М) і В=f(М 1) + ... + f (М n). Розглянемо при цьому всі точки, є вершинами чотирикутників М 1 …, М n . Їх можна розбити на чотири типи.

1. Вершини багатокутника М. Ці точки дають однакові вклади А і В.

2. Точки на сторонах багатокутника М або М 1 .Вклад кожної такої точки в

180 більше, ніж у А.

3. Внутрішні точки багатокутника, в яких сходяться кути чотирикутника,

менші 180. Вклад кожної такої точки в на 360 більше, ніж в А.

4. Внутрішні точки багатокутника М, в яких сходяться кути чотирикутників, причому один з них більший за 180. Такі точки дають нульові вклади в А і В.

У результаті отримуємо А<В. С другой стороны, А>0, а =0. Нерівність А >0 очевидно, а докази рівності В=0 досить перевірити, що й N-непуклий чотирикутник, то f(N)=0. Нехай кути N дорівнюють а>b>с>d. У будь-якого неопуклого чотирикутника рівно один кут більше 180, тому f(N)=b+c+d-(360-a)=a+b+c+d-360=0.

Отримано суперечність, тому опуклий багатокутник не можна розрізати на кінцеве число неопуклих чотирикутників.

14. У центрі кожної клітини шахівниці стоїть по фішці. Фішки переставили так, що попарні відстані між ними не зменшились. Доведіть, що насправді попарні відстані не змінились.

Рішення: Якщо хоча б одна з відстаней між фішками збільшилася б, то збільшилася б і сума всіх відстаней попарних між фішками, але сума всіх попарних відстаней між фішками не змінюється при будь-якій перестановці.

15. Квадратне поле розбите на 100 однакових квадратних ділянок, 9 з яких поросли бур'яном. Відомо, що бур'ян за рік поширюється на ті й ті ділянки, у яких не менше двох сусідніх (тобто мають спільну сторону) ділянок вже поросли бур'яном. Доведіть, що поле ніколи не заросте бур'яном повністю.

Рішення: Легко перевірити, що довжина кордону всього зарослого бур'яном ділянки (або кількох ділянок) не зросте. У початковий момент вона не перевищує 4 * 9 = 36, тому в кінцевий момент вона не може бути рівною 40.

Отже поле ніколи не заросте бур'яном повністю.

16. Даний опуклий 2m-кутник А1…А2m. Усередині його взято точку Р, що не лежить на жодній з діагоналей. Доведіть, що точка Р належить парному числу трикутників з вершинами в точках А 1 ,… А 2 m .

Рішення: Діагоналі розбивають багатокутник кілька частин. Будемо називати сусіднімиті з них, які мають спільну сторону. Зрозуміло, що з будь-якої внутрішньої точки багатокутника можна потрапити до будь-якої іншої, переходячи щоразу тільки з сусідньої частини до сусідньої. Частина площини, що лежить поза багатокутником, також можна вважати однією з цих частин. Число розглянутих трикутників для точок цієї частини дорівнює нулю, тому достатньо довести, що при переході із сусідньої частини до сусідньої парності числа трикутників зберігається.

Нехай загальний бік двох сусідніх частин лежить на діагоналі (або стороні) PQ. Тоді всім трикутникам, що розглядаються, крім трикутників зі стороною PQ, обидві ці частини одночасно або належать, або не належать. Тому при переході з однієї частини до іншої число трикутників змінюється на k 1 -k 2 де k 1 -число вершин багатокутника, що лежать по одну сторону від PQ. Оскільки k 1 +k 2 =2m-2, число k 1 -k 2 парне.

4. Допоміжні розмальовки у шаховому порядку

17. У кожній клітині дошки 5х5 клітин сидить жук. У якийсь момент усі жуки переповзають на сусідні (по горизонталі чи вертикалі) клітини. Чи обов'язково при цьому залишається порожня клітина?

Рішення: Оскільки загальна кількість клітин шахової дошки 5 х 5 клітин непарна, то чорних і білих клітин може бути порівну. Нехай для визначення чорних клітин буде більше. Тоді жуків, що сидять на білих клітинах, менше, ніж чорних клітин. Тому хоча б одна з чорних клітин залишається порожньою, тому що на чорні клітини переповзають лише жуки, що сидять на білих клітинах.

19. Доведіть, що дошку розміром 10 х 10 клітин не можна розрізати на фігурки у формі букви Т, що складаються з чотирьох клітин.

Рішення: Припустимо, що дошка 10х10 клітин розбита на такі фігурки. Кожна фігурка містить або 1 або 3 чорні клітини, тобто. завжди непарне число. Самих фігурок має бути 100/4=25 штук. Тому вони містять непарне число чорних клітин, а чорних клітин всього 100/2=50 штук. Отримано протиріччя.

5. Завдання про розмальовки

20. Площина розфарбована у два кольори. Доведіть, що знайдуться дві точки одного кольору, відстань між якими дорівнює 1.

Розв'язання: Розглянемо правильний трикутник зі стороною 1.

Транскрипт

1 М. А. Єкімова, Г. П. Кукін МЦНМО Москва, 2002

2 УДК ББК Е45 Е45 Єкімова М. А., Кукін Г. П. Завдання на розрізання. М: МЦНМО, с.: іл. Серія: "Секрети викладання математики". Ця книга є першою книгою серії «Секрети викладання математики», покликаної викласти та узагальнити накопичений досвід у галузі математичної освіти. Ця збірка є однією з частин курсу «Розвиваюча логіка в 5 7 класах». До всіх завдань, наведених у книзі, подано рішення чи вказівки. Книжка рекомендується для позакласної роботи з математики. ББК ISBN з Кукін Р. П., Єкімова М. А., з МЦНМО, 2002.

3 Введение В даний час традиційний погляд на склад предметів, що вивчаються школярами, переглядається та уточнюється. У шкільну програму запроваджуються різні нові предмети. Одним із таких предметів є логіка. Вивчення логіки сприяє розумінню краси та витонченості міркувань, вмінню міркувати, творчому розвитку особистості, естетичному вихованню людини. Кожна культурна людина має бути знайома з логічними завданнями, головоломками, іграми, відомими вже кілька століть або навіть тисячоліть у багатьох країнах світу. Розвиток кмітливості, кмітливості та самостійності мислення необхідно будь-якій людині, якщо вона бажає процвітати і досягти гармонії життя. Наш досвід показує, що систематичне вивчення формальної логіки чи фрагментів математичної логіки слід відкласти старші класи середньої школи. Разом з тим, розвивати логічне мислення необхідно якомога раніше. Фактично, щодо навчальних предметів у школі міркування і докази з'являються лише 7 класі (коли починається систематичний курс геометрії). Для багатьох учнів різкий перехід (не було міркувань стало багато міркувань) дуже важкий. У курсі розвиваючої логіки для 5-7 класів цілком можна навчити школярів міркувати, доводити, знаходити закономірності. Наприклад, при вирішенні математичних ребусів треба не тільки вгадати (підібрати) кілька відповідей, а й довести, що отримано повний перелік можливих відповідей. Це цілком сильно п'ятикласнику. Але в процесі викладання логіки в 5-7 класах середніх шкіл вчителі стикаються з певними труднощами: відсутність підручників, дидактичних матеріалів, посібників, наочних матеріалів. Все це доводиться складати, писати та малювати самому вчителю. Одна з цілей цієї збірки полегшити вчителю підготовку та проведення занять. Дамо деякі рекомендації щодо проведення уроків перед роботою зі збіркою.

4 4 Введение Починати навчати школярів логіці бажано з п'ятого класу, можливо, і раніше. Викладання логіки має вестися невимушено, майже імпровізаційному стилі. Ця видима легкість насправді вимагає від вчителя великої та серйозної підготовки. Неприйнятно, наприклад, вичитувати цікаве та цікаве завдання з товстого рукописного зошита, як іноді роблять вчителі. Рекомендуємо проводити заняття у нестандартній формі. Необхідно використовувати на уроках якнайбільше наочного матеріалу: різних карток, картинок, наборів фігур, ілюстрацій до вирішення завдань, схем. Не варто займатися з молодшими школярами однією темою протягом багато часу. При розборі теми потрібно намагатися виділяти основні логічні віхи та домагатися розуміння (а не зазубрювання) цих моментів. Потрібно постійно повертатися до пройденого матеріалу. Це можна робити на самостійних роботах, командних змаганнях (під час уроків), заліках наприкінці чверті, усних та письмових олімпіадах, матбоях (в позаурочний час). Необхідно також використовувати на заняттях розважальні та жартівливі завдання, іноді корисно змінити напрямок діяльності. Ця збірка є однією з частин курсу «Розвиваюча логіка в 5 7 класах» «Завдання на розрізання». Ця частина апробувалася під час уроків логіки в 5 7 класах школи-ліцею 74 р. Омська. Завданнями на розрізання захоплювалися багато вчених з найдавніших часів. Вирішення багатьох простих завдань на розрізання було знайдено ще давніми греками, китайцями, але перший систематичний трактат на цю тему належить перу Абул-Вефа, знаменитого перського астронома Х століття, який жив у Багдаді. Геометри всерйоз зайнялися розв'язанням завдань на розрізання фігур найменше частин і подальше складання їх тієї чи іншої нової постаті лише на початку ХХ століття. Одним із основоположників цього захоплюючого розділу геометрії був знаменитий упорядник головоломок Генрі

5 Вступ 5 Еге. Дьюдені. Особливо велика кількість існуючих рекордів по розрізанню фігур побив експерт австралійського патентного бюро Гаррі Ліндгрен. Він є провідним фахівцем у галузі розрізання фігур. У наші дні любителі головоломок захоплюються вирішенням завдань на розрізання насамперед тому, що універсального методу розв'язання таких завдань не існує, і кожен, хто береться за їх вирішення, може повною мірою виявити свою кмітливість, інтуїцію та здатність до творчого мислення. Оскільки тут не потрібне глибоке знання геометрії, то любителі іноді можуть навіть перевершити професіоналів-математиків. Разом з тим, завдання на розрізання не є несерйозними або марними, вони не такі вже й далекі від серйозних математичних завдань. З завдань на розрізання народилася теорема Бойаї Гервіна про те, що будь-які два рівновеликі багатокутники рівноскладені (зворотне очевидно), а потім і третя проблема Гільберта: чи правильне аналогічне твердження для багатогранників? Завдання на розрізання допомагають якомога раніше формувати геометричні уявлення у школярів на різноманітному матеріалі. При вирішенні таких завдань виникає відчуття краси, закону та порядку у природі. Збірка «Завдання на розрізання» розбита на два розділи. При вирішенні завдань з першого розділу учням не знадобиться знання основ планиметрії, а буде потрібна саме кмітливість, геометрична уява та досить прості геометричні відомості, які відомі всім. Другий розділ – це факультативні завдання. Сюди увійшли завдання, для вирішення яких знадобиться знання основних геометричних відомостей про фігури, їх властивості та ознаки, знання деяких теорем. Кожен розділ розбитий на параграфи, у яких постаралися об'єднати завдання однією тему, які, своєю чергою, розбиті на уроки, містять кожен однорідні завдання порядку зростання їх труднощі. До першого розділу входить вісім параграфів. 1. Завдання на папері. У цьому параграфі зібрані завдання, в яких розрізання фігур (переважно це квадрати та прямокутники) йде по сторонах клітин. Параграф містить 4 уроки, рекомендуємо їх для вивчення учнями 5 класів.

6 6 Вступ 2. Пентаміно. У цьому параграфі зібрано завдання, пов'язані з фігурами пентаміно, тому для проведення цих уроків бажано роздати дітям набори цих фігур. Тут два уроки, рекомендуємо їх вивчення учнями 5 6-х класів. 3. Важкі завдання розрізання. Тут зібрані завдання на розрізання фігур складнішої форми, наприклад, з межами, що є дугами, і складніші завдання на розрізання. У цьому параграфі два уроки, які ми рекомендуємо проводити у 7-х класах. 4. Розбиття площини. Тут зібрані завдання, в яких потрібно знаходити суцільні розбиття прямокутників на плитки прямокутної форми, задачі на складання паркетів, завдання про найбільш щільне укладання фігур прямокутника або квадрата. Рекомендуємо цей параграф вивчати у 6 7-х класах. 5. Танграм. Тут зібрані завдання, пов'язані із давньою китайською головоломкою «Танграм». Для проведення цього уроку бажано мати цю головоломку, хоч би зроблену з картону. Цей параграф рекомендуємо для вивчення у 5-х класах. 6. Завдання на розрізання у просторі. Тут учнів знайомлять із розгортками куба, трикутної піраміди, проводяться паралелі і показуються різницю між фігурами на площині і об'ємними тілами, отже розбіжності у вирішенні завдань. Параграф містить один урок, який рекомендуємо для вивчення учнями 6 класів. 7. Завдання на розмальовку. Тут показано, як забарвлення фігури допомагає вирішувати завдання. Довести, що розв'язання задачі на розрізання будь-якої фігури на частини можливо, неважко, достатньо надати якийсь спосіб розрізання. А ось довести, що розрізання неможливе, важче. Зробити це нам допомагає забарвлення фігури. У параграфі три уроки. Їх рекомендуємо вивчення учнями 7-х класів. 8. Завдання з розфарбуванням за умови. Тут зібрані завдання, в яких потрібно розфарбувати фігуру певним чином, відповісти на запитання: скільки кольорів знадобиться для такого розфарбування (найменша чи найбільша кількість) тощо. У параграфі сім уроків. Їх ми рекомендуємо вивчення учнями 7-х класів. До другого розділу входять завдання, які можна вирішувати на додаткових заняттях. Він містить три параграфи.

7 Вступ 7 9. Перетворення фігур. У ньому зібрані завдання, у яких одна фігура розрізається на частини, з яких складається інша фігура. У цьому параграфі три уроки, першому розглядається «перетворення» різних постатей (тут зібрані досить легкі завдання), але в другому уроці розглядається геометрія перетворення квадрата. 10. Різні завдання розрізання. Сюди входять різні завдання розрізання, які вирішуються різними методами. У цьому параграфі три уроки. 11. Площа постатей. У цьому параграфі два уроки. На першому уроці розглядаються завдання, при вирішенні яких потрібно розрізати фігури на частини, а потім доводити, що фігури рівноскладені, на другому уроці задачі, при вирішенні яких потрібно використовувати властивості площ фігур.

8 Розділ 1 1. Завдання на картонному папері Урок 1.1 Тема: Завдання на розрізання на папері. Мета: Розвивати комбінаторні навички (розглянути різні способи побудови лінії розрізу фігур, правила, що дозволяють при побудові цієї лінії не втрачати рішення), розвивати уявлення про симетрію. Завдання вирішуємо на уроці, завдання 1.5 додому Квадрат містить 16 клітин. Розділіть квадрат на дві рівні частини так, щоб лінія розрізу йшла на всі боки клітин. (Спосіб розрізання квадрата на дві частини вважатимемо різними, якщо частини квадрата, отримані при одному способі розрізання, не рівні частинам, отриманим при іншому способі.) Скільки всього рішень має завдання? Вказівка. Знайти кілька рішень цього завдання не так вже й складно. На рис. 1 деякі з них показані, причому рішення б) та в) однакові, так як отримані в них фігури можна поєднати накладенням (якщо повернути квадрат в) на 90 градусів). Мал. 1 Але знайти всі рішення і жодне рішення не втратити вже складніше. Зауважимо, що ламана, що ділить квадрат на дві рівні частини, симетрична щодо центру квадрата.

9 Урок за кроком малювати ламану з двох кінців. Наприклад, якщо початок ламаної у точці A, то кінець її буде у точці B (рис. 2). Переконайтеся, що для цього завдання початок і кінець ламаної можна намалювати двома способами, показаними на рис. 2. При побудові ламаної, щоб не втратити будь-яке рішення, можна дотримуватись такого правила. Якщо наступну ланку ламаною можна намалювати двома способами, то спочатку потрібно заготовити другий такий самий малюнок і виконати цей крок на одному малюнку першим, а на другому другим способом (на рис. 3 показано два продовження рис. 2 (а)). Аналогічно потрібно чинити, коли способів не два, а три (на рис. 4 показано три продовження рис. 2 (б)). Зазначений порядок дій допомагає знайти усі рішення. Мал. 2 Мал. 3 Рис Прямокутник 3 4 містить 12 клітин. Знайдіть п'ять способів розрізання прямокутника на дві рівні частини так, щоб лінія розрізу йшла по сторонах клітин (способи розрізання вважаються різними, якщо частини, отримані при одному способі розрізання, не рівні частинам, отриманим при іншому способі) Прямокутник містить 3 15 клітин і центральна клітка видалена. Знайдіть п'ять способів розрізання решти фігу-

10 10 1. Завдання на картатому папері ри на дві рівні частини так, щоб лінія розрізу йшла по сторонах клітин Квадрат 6 6 розграфлений на 36 однакових квадратів. Знайдіть п'ять способів розрізання квадрата на дві рівні частини так, щоб лінія розрізу йшла на всі боки квадратів Завдання 1.4 має більше 200 рішень. Знайдіть хоча б 15 із них. Урок 1.2 Тема: Завдання на розрізання на папері. Мета: Продовжувати розвивати ставлення до симетрії, підготовка до теми «Пентаміно» (розгляд різних фігурок, які можна побудувати з п'яти клітинок). Чи можна квадрат 5 5 клітин розрізати на дві рівні частини так, щоб лінія розрізу йшла по сторонах клітин? Відповідь обґрунтуйте Розділіть квадрат 4 4 на чотири рівні частини так, щоб лінія розрізу йшла на всі боки клітин. Скільки різних способів розрізання ви знайдете? 1.8. Розділіть фігуру (рис. 5) на три рівні частини так, щоб лінія розрізу йшла на всі боки квадратів. Мал. 5 Мал. 6 Рис Розділіть фігуру (рис. 6) на чотири рівні частини так, щоб лінія розрізу йшла по сторонах квадратів Розділіть фігуру (рис. 7) на чотири рівні частини так, щоб лінії розрізів йшли по сторонах квадратів. Знайдіть якнайбільше рішень.

11 Урок Розділіть квадрат 5 5 клітин із вирізаною центральною клітиною на чотири рівні частини. Урок 1.3 Тема: Завдання на розрізання на папері. Мета: Продовжувати розвивати уявлення про симетрію (осьову, центральну). Завдання Розріжте фігури, зображені на рис. 8 на дві рівні частини по лініях сітки, причому в кожній з частин повинен бути кружок. Мал. 8 Рис Фігури, зображені на рис. 9 треба розрізати по лініях сітки на чотири рівні частини так, щоб у кожній частині був кружок. Як це зробити? Розріжте фігуру, зображену на рис. 10, по лініях сітки на чотири рівні частини і складіть з них квадрат так, щоб кружечки та зірочки розташувалися симетрично щодо всіх осей симетрії квадрата. Мал. 10

12 12 1. Завдання на папері з клітками Розріжте цей квадрат (рис. 11) по сторонах клітин так, щоб усі частини були однакового розміру і форми і щоб кожна містила по одному кухлі та зірочці Розріжте квадрат 6 6 з картатого паперу, зображений на рис. 12 на чотири однакові частини так, щоб кожна з них містила три зафарбовані клітини. Урок 1.4 Мал. 11 Мал. 12 Тема: Завдання на розрізання на папері. Мета: Навчитися розрізати прямокутник на рівні частини, з яких можна скласти квадрат, інший прямокутник. Навчитися визначати, з яких прямокутників, розрізавши їх, можна скласти квадрат. Завдання Додатково задачі 1.23, 1.24 (ці завдання можна розглянути на початку уроку для розминки) Прямокутник 4 9 клітин розріжте по боках клітин на дві рівні частини так, щоб з них потім можна було скласти квадрат Чи можна прямокутник 4 8 клітин розрізати на дві частини по сторонам клітин так, щоб із них можна було скласти квадрат? З прямокутника 107 клітин вирізали прямокутник 16 клітин, як показано на рис. 13. Розріжте отриману фігуру на дві частини так, щоб з них можна було скласти квадрат. З прямокутника 8 9 клітин вирізали зафарбовані фігури, як показано на рис. 14. Розріжте отриману фігуру на дві рівні частини так, щоб з них можна було скласти прямокутник 6 10.

13 Урок Мал. 13 Рис На папері з клітками намальований квадрат розміром 5 5 клітин. Покажіть, як розрізати його з боків клітин на 7 різних прямокутників Розріжте квадрат на 5 прямокутників з боків клітин так, щоб усі десять чисел, що виражають довжини сторін прямокутників, були різними цілими числами Розділіть фігури, зображені на рис. 15 на дві рівні частини. (Розрізати можна не лише лініями клітин, а й їх діагоналям.) Рис. 15

14 14 2. Пентаміно Розріжте фігури, зображені на рис. 16, на чотири рівні частини. 2. Пентаміно Мал. 16 Урок 2.1 Тема: Пентаміно. Ціль: Розвиток комбінаторних навичок учнів. Завдання Фігури доміно, триміно, тетраміно (гру з такими фігурками називають тетріс), пентаміно складають із двох, трьох, чотирьох, п'яти квадратів так, щоб будь-який квадрат мав спільну сторону хоча б з одним квадратом. З двох однакових квадратів можна становити лише одну фігуру доміно (див. рис. 17). Фігури триміно можна отримати з єдиної фігури доміно, приставляючи до неї різними способами ще один квадрат. Вийде дві фігури триміно (рис. 18). Мал. 17 Рис Складіть всілякі фігури тетраміно (від грецьк. слова «тетра» чотири). Скільки їх вийшло? (Фігури, отримані поворотом або симетричним відображенням будь-яких інших, не вважаються новими).

15 Урок Складіть усі можливі фігури пентаміно (від грец. «Пента» п'ять). Скільки їх вийшло? 2.3. Складіть фігури, зображені на рис. 19, з фігурок пентаміно. Скільки розв'язків має завдання для кожної фігури? Рис Складіть прямокутник 3 5 із фігурок пентаміно. Скільки різних рішень у вас вийде? 2.5. Складіть фігури, зображені на рис. 20, з фігурок пентаміно. Мал. 20

16 16 2. Пентаміно Урок 2.2 Тема: Пентаміно. Ціль: Розвиток уявлень про симетрію. Завдання У задачі 2.2 ми становили всі можливі фігури пентаміно. Подивіться на рис. 21. Мал. 21 Фігура 1 має наступну властивість. Якщо її вирізати з паперу та перегнути по прямій a (рис. 22), то одна частина фігури збігається з іншою. Кажуть, що фігура симетрична щодо прямої осі симетрії. У фігури 12 теж є вісь симетрії, навіть це дві прямі b і c, а у фігури 2 осей симетрії немає. Скільки осей симетрії має кожна фігура пентаміно? 2.7. З усіх 12 фігур пентаміно складіть прямокутник Несиметричні шматки дозволяється перевертати Складіть із дванадцяти фігур пентаміно прямокутник 6 10, причому так, щоб кожен елемент торкався будь-якої сторони цього прямокутника.

17 Урок Розріжте прямокутник, зображений на рис. 23 (а), внутрішніми лініями на дві такі частини, з яких можна скласти фігуру з трьома квадратними отворами розміром в одну клітинку (рис. 23 (б)). Рис З фігурок пентаміно складіть квадрат 8 8 з вирізаним посередині квадратом 2 2. Знайдіть кілька розв'язків Дванадцять пентаміно покладені у прямокутник Відновіть межі фігур (рис. 24), якщо кожна зірочка потрапляє рівно в одне пентаміно. Мал. 24 Рис Дванадцять фігур пентаміно укладено в коробку 12 10, як показано на рис. 25. Спробуйте розмістити ще один комплект пентаміно на вільному полі, що залишилося.

18 18 3. Важкі завдання на розрізання 3. Важкі завдання на розрізання Урок 3.1 Тема: Завдання на розрізання фігур складнішої форми з межами, що є дугами. Мета: Навчитися розрізати фігури складнішої форми з межами, що є дугами, і складати з отриманих частин квадрат. Завдання На рис. 26 представлені 4 фігури. Одним розрізом поділіть кожну з них на дві частини та зробіть із них квадрат. Папір у клітинку полегшить вирішення завдання. Розрізавши квадрат 6 6 на частини, складіть із них фігури, зображені на рис. 27. Мал. 27

19 Урок На рис. 28 зображено частину фортечної стіни. Один із каменів має настільки химерну форму, що якщо витягнути його зі стіни і покласти інакше, то стіна стане рівною. На що піде більше фарби: на фарбування квадрата чи цього незвичайного кільця (рис. 29)? Мал. 28 Рис Розріжте вазу, зображену на рис. 30 на три частини, з яких можна скласти ромб. Мал. 30 Мал. 31 Мал. 32 Урок 3.2 Тема: Більш складні завдання розрізання. Мета: Попрактикуватися у вирішенні складніших завдань на розрізання. Завдання вирішуємо на уроці, задача 3.12 додому Розріжте фігуру (рис. 31) двома прямолінійними розрізами на такі частини, з яких можна скласти квадрат Розріжте зображену на рис. 32 фігуру на чотири рівні частини, з яких можна було б скласти квадрат Розріжте букву Е, зображену на рис. 33, на п'ять частин і складіть із них квадрат. Частини перевертати зворотним боком не

20 20 4. Розбиття площини дозволяється. Чи не можна обійтися чотирма частинами, якщо дозволити перевертати частини зворотним боком? 3.9. Хрест, складений з п'яти квадратів, потрібно розрізати на такі частини, з яких можна було б скласти один рівновеликий хресту (тобто рівний за площею) квадрат. Потрібно кожну з них розрізати на дві частини так, щоб з усіх отриманих чотирьох частин скласти нову шахівницю клітин У червонодеревника є шматок шахової дошки 7 7 клітин з дорогоцінного червоного дерева. Він хоче, не втрачаючи матеріалу і проводя Рис. 33 розрізи тільки по краях клітин, розпиляти дошку на 6 частин так, щоб з них зробити три нових квадрати, всі різних розмірів. Як це зробити? Чи можна розв'язати задачу 3.11, якщо кількість частин має дорівнювати 5, а загальна довжина розрізів 17? 4. Розбиття площини Урок 4.1 Тема: Суцільні розбиття прямокутників. Мета: Навчитися будувати суцільні розбиття прямокутників плитками прямокутної форми. Відповісти питанням, за яких умов прямокутник допускає таке розбиття площини. Завдання (а) вирішуємо на уроці. Завдання 4.5(б), 4.6, 4.7 можна залишити додому. Нехай у нас є необмежений запас прямокутних плиток розміром 2 1, і ми хочемо викласти ними підлогу прямокутної форми, причому ніякі дві плитки не повинні перекриватися. 2 1, то p q парно (оскільки площа ділиться на 2). І назад: якщо p q парно, підлогу можна викласти плитками 2 1.

21 Урок Дійсно, у цьому випадку одне з чисел p або q має бути парним. Якщо, наприклад, p = 2r, підлогу можна викласти так, як показано на рис. 34. Але в таких паркетах є лінії розриву, які перетинають всю кімнату від стіни до стіни, але не перетинають плитки. На практиці використовуються паркети без таких ліній суцільні паркети. Викладіть плитками 2 1 суцільний паркет кімнати Спробуйте знайти суцільне розбиття на плитки 2 1 а) прямокутника 4 6; б) квадрата Викладіть плитками 2 1 суцільний паркет а) кімнати 5 8; б) кімнати 6 8. Природно постає питання, за яких p і q прямокутник p q допускає суцільне розбиття на плитки 2 1? Ми знаємо необхідні умови: 1) p q ділиться на 2, 2) (p, q) (6, 6) і (p, q) (4, 6). Також можна перевірити ще одну умову: 3) p 5, q 5. Виявляється, ці три умови виявляються достатніми. Плити інших розмірів Плитками 3 2 викладіть без розривів а) прямокутник 11 18; б) прямокутник Викладіть без розривів, якщо це можливо, квадрат плитками Чи можна, взявши квадрат картатого паперу розмірами 5 5 клітин, вирізати з нього 1 клітинку так, щоб частину, що залишилася, можна було розрізати на пластинки 1 3 клітини? Урок 4.2. Тема: Паркетажі.

22 22 4. Розбиття площини Мета: Навчитися покривати площину різними фігурами (причому паркетажі можуть бути з лініями розриву або суцільними), або доводити, що це неможливо. Завдання Одне з найважливіших питань теорії розбиття площини: «Які форми має бути плитка, щоб її копіями можна було покрити площину без пробілів і подвійних покриттів?» На думку відразу ж спадає досить багато очевидних форм. Можна довести, що існують лише три правильні багатокутники, якими можна покрити площину. Це рівносторонній трикутник, квадрат та шестикутник (див. рис. 35). Існує безліч неправильних багатокутників, якими можна покрити площину. Розділіть довільний тупокутний трикутник на чотири рівні і подібні до нього трикутники. У задачі 4.8 ми розбили трикутник на чотири рівні і подібні до нього трикутника. Кожен з чотирьох трикутників, що виходять, можна в свою чергу розбити на чотири рівних і подібних йому трикутника і т. д. Якщо рухатися у зворотному напрямку, тобто складати чотири рівних тупокутних трикутника так, щоб вийшов один подібний їм трикутник, але в чотири рази більшої площі , і т. д., такими трикутниками можна замостити площину. Площину можна покрити й іншими фігурами, наприклад, трапеціями, паралелограмами. Покрийте площину однаковими фігурами, зображеними на рис. 36.

23 Урок Замостить площину однаковими «дужками», зображеними на рис. 37. Мал. 36 Рис Є чотири квадратики зі стороною 1, вісім зі стороною 2, дванадцять зі стороною 3. Чи можна з них скласти один великий квадрат? Чи можна скласти квадрат будь-якого розміру з дерев'яних плиток, вказаного на рис. 38 види, використовуючи плитки обох видів? Урок 4.3 Тема: Завдання про найбільш щільне укладання. Мал. 38 Ціль: Сформувати поняття про оптимальне рішення. Завдання Яке найбільше число смужок розмірами 1 5 клітин можна викроїти з квадрата паперу 8 8 клітин? Майстер має лист жерсті розміром кв. дм. Майстер хоче вирізати з нього якнайбільше прямокутних заготовок розміром 3 5 кв. дм. Допоможіть йому Чи можна прямокутник клітини розрізати без залишку прямокутників розміром 5 7? Якщо можна, то як? Якщо ні, то чому? На аркуші картатого паперу розмірами клітин намітте розрізи, за допомогою яких можна отримати якнайбільше цілих фігур, зображених на рис. 39. Фігури, зображені на рис. 39 (б, г), можна перевертати.

24 24 5. Танграм Рис Танграм Урок 5.1 Тема: Танграм. Мета: Познайомити учнів із китайською головоломкою «Танграм». Попрактикуватись у геометричному дослідженні, конструюванні. Розвивати комбінаторні навички. Говорячи про завдання на розрізання, не можна не згадати про давню китайську головоломку «Танграм», що виникла в Китаї 4 тис. років тому. У Китаї її називають «чи тао ту», тобто розумова головоломка із семи частин. Методичні рекомендації. Для цього уроку бажано мати роздатковий матеріал: головоломку (яку можуть виготовити самі школярі), малюнки фігур, які потрібно буде скласти. Виконайте головоломку самі: переведіть на щільний папір квадрат, розділений на сім частин (рис. 40), і розріжте його Використовуючи всі сім частин головоломки, складіть фігурки, зображені на рис. 41.

25 Урок Мал. 41 Мал. 42 Методичні рекомендації. Дітям можна роздати малюнки фігур а), б) у натуральну величину. І тому школяр може вирішувати завдання, накладаючи частини головоломок на малюнок фігури і тим самим підбираючи потрібні частини, що спрощує завдання. А малюнки фігур

26 26 6. Завдання на розрізання у просторі в), г) можна дати в меншому масштабі; отже, ці завдання вирішувати буде складніше. На рис. 42 дано ще фігурки для самостійного складання Спробуйте придумати свою фігурку, використовуючи всі сім частин танграма У танграмі серед його семи частин є трикутники різних розмірів. Але з його частин можна ще складати різні трикутники. Складіть трикутник, використовуючи чотири частини танграми: а) один великий трикутник, два маленькі трикутники і квадрат; б) один великий трикутник, два маленькі трикутники та паралелограм; в) один великий трикутник, один середній трикутник і два маленькі трикутники Чи можна скласти трикутник, використовуючи лише дві частини танграми? Три частини? П'ять частин? Шість частин? Усі сім частин танграма? 5.6. Очевидно, що з усіх семи частин танграм складається квадрат. Можна чи не можна скласти квадрат із двох частин? З трьох? З чотирьох? 5.7. З яких різних частин танграм можна скласти прямокутник? Які ще опуклі багатокутники можна скласти? 6. Завдання на розрізання у просторі Урок 6.1 Тема: Завдання на розрізання у просторі. Мета: Розвивати просторову уяву. Навчитися будувати розгортки трикутної піраміди, куба, визначати які розгортки невірні. Попрактикуватися у розв'язанні задач на розрізання тіл у просторі (вирішення таких завдань відрізняється від розв'язування задач на розрізання фігур на площині). Завдання Буратіно мав папір, з одного боку обклеєний поліетиленом. Він зробив заготівлю, зображену на рис. 43, щоб з неї клеїти пакети для молока (трикутні піраміди). А лисиця Аліса може зробити іншу заготівлю. Який?

27 Урок Рис Кіт Базіліо теж дістав такого паперу, але він хоче клеїти куби (пакети для кефіру). Він зробив заготовки, зображені на рис. 44. А лисиця Аліса каже, що деякі можна одразу викидати, бо вони не годяться. Чи права вона? Рис Піраміда Хеопса має в основі квадрат, а її бічні грані рівні рівнобедрені трикутники. Буратіно лазив нагору та виміряв кут грані при вершині (AMD, на рис. 45). Вийшло 100. А лисиця Аліса каже, що він перегрівся на сонці, адже такого не може бути. Чи права вона? 6.4. Яке мінімальне число плоских розрізів потрібно зробити, щоб поділити куб на 64 маленькі кубики? Після кожного розрізу дозволяється перекладати частини куба як завгодно. Дерев'яний куб пофарбували зовні білою фарбою, потім кожне його ребро. 45 розділили на 5 рівних частин, після чого розпилили так, що вийшли маленькі кубики, у яких ребро в 5 разів менше, ніж у вихідного куба. Скільки вийшло маленьких кубиків? У скільки кубиків пофарбовані три грані? Дві грані? Одна грань? Скільки залишилося незабарвлених кубиків? 6.6. Кавун розрізали на 4 частини та з'їли. Вийшло 5 кірок. Чи може бути таке?

28 28 7. Завдання на розфарбування 6.7. На яке найбільше частин можна розрізати млинець трьома прямолінійними розрізами? Скільки частин може вийти за трьох розрізів короваю хліба? 7. Завдання на забарвлення Урок 7.1 Тема: Забарвлення допомагає вирішувати завдання. Мета: Навчитися доводити, деякі завдання розрізання немає рішень, з допомогою вдало обраної розмальовки (наприклад, розмальовка у шаховому порядку), цим удосконалювати логічну культуру учнів. Завдання Неважко довести, що розв'язання задачі на розрізання будь-якої фігури на частини можливо: достатньо надати якийсь спосіб розрізання. Знайти всі рішення, тобто всі способи розрізання вже важче. А довести, що розрізання неможливе, теж досить важко. Зробити це в деяких випадках нам допомагає розмальовка фігури. Взяли квадрат картатого паперу розміром 8 8, відрізали від нього дві клітинки (ліву нижню та праву верхню). Чи можна одержану фігуру повністю покрити «доміношками» прямокутниками 1 2? 7.2. На шахівниці стоїть фігура «верблюд», яка кожним ходом зрушується на три клітинки по вертикалі та одну по горизонталі, або на три по горизонталі та одну по вертикалі. Чи може «верблюд», зробивши кілька ходів, потрапити до клітки, сусідньої вихідної збоку? 7.3. У кожній клітині 5 5 квадрата сидить жук. За командою кожний жук переповз на одну із сусідніх збоку клітин. Чи може після цього виявитися так, що в кожній клітці знову сидітиме рівно один жук? А якби вихідний квадрат мав розміри 66? 7.4. Чи можна розрізати квадрат картатого паперу розміром 4 4 на один п'єдестал, один квадрат, один стовпчик та один зигзаг (рис. 46)?

М. А. Єкімова, Г. П. Кукін МЦНМО Москва, 2002 УДК 514.11 ББК 22.151.0 Е45 Е45 Екімова М. А., Кукін Г. П. Завдання на розрізання. М: МЦНМО, 2002. 120 с.: іл. Серія: "Секрети викладання математики". Ця

В.А. Смирнов, І.М. Смирнова, І.В. ЯЩЕНКО ЯКОЙ БУТИ НАГЛЯДНОЮ ГЕОМЕТРІЄЮ У 5 6 КЛАСАХ Результати ГІА та ЄДІ з математики показують, що основна проблема геометричної підготовки учнів пов'язана з недостатньо

Завдання на ґратах В. В. Вавілов, О. Н. Герман, А. В. Устинов 1 Базиси ґрат 1. Пара векторів a = me 1 + ne 2 і b = ke 1 + le 2, де m, n, k, l цілі числа, тоді і тільки тоді породжує ті самі ґрати,

І. В. Яковлєв Матеріали з математики MathUs.ru Розрізання Геометричні фігури називаються рівними, якщо їх можна накласти одна на одну так, щоб вони повністю збіглися. 1. Розріжте кожну фігуру на

В.А. Смирнов, І.М. Смирнова ГЕОМЕТРІЯ Посібник для підготовки до ГІА Завдання на вибір вірних тверджень 2015 1 ВСТУП Цей посібник призначений для підготовки до вирішення геометричних завдань ГІА з математики.

Тест 448 Вертикальні кути 1. Якщо кути не вертикальні, вони не рівні. 2. Рівні кути є вертикальними кутами, якщо вони центрально - симетричні. 3. Якщо кути рівні та їх об'єднання має

І. В. Яковлєв Матеріали з математики MathUs.ru Приклади та конструкції 1. (Всеросс., 2018, ШЕ, 5.2) Дівчинка замінила кожну букву у своєму імені її номером у російському алфавіті. Вийшло число 2011533.

ЛЕКЦІЯ 24 ПЛОЩІ ГРАФИ 1. Формула Ейлера для плоских графів Визначення 44: Плоським графом називається зображення графа на площині без самоперетинів. Примітка Граф не є тим самим, що плоский

Середня (повна) загальна освіта М.І.Башмаков Математика 11 клас Збірник завдань 3-тє видання УДК 372.851(075.3) ББК 22.1я721 Б336 Башмаков М. І. Б336 Математика. 11 клас. Збірник завдань: середня (повна)

В.А. Смирнов 1. Розпізнавання фігур 1. Який багатогранник називається кубом? 2. Скільки у куба вершин, ребер, граней? 3. Зобразіть куб на папері. 4. Який багатогранник називається паралелепіпедом?

В.А. Смирнов, І.В. ЯЩЕНКО ФІГУРИ У ПРОСТОРІ Посібник для підготовки до ЄДІ 2013 ВСТУП Цей посібник призначений для підготовки до вирішення геометричних завдань ЄДІ з математики. Його цілями є:

1 навчитися використовувати геометричну мову та геометричну символіку для опису предметів навколишнього світу; проводити нескладні міркування та обґрунтування в процесі вирішення завдань, передбачених

МАТЕМАТИКА 5.1-5.3 класи (технологічний профіль) Банк завдань модуль «Геометрія» «Трикутники та чотирикутники. Прямі та коло. Симетрія. Багатогранники» Основні теоретичні відомості, необхідні

Завдання на Третій Мінський міський відкритий турнір юних математиків 2016 року (молодша ліга, 5-7 класи) 10-12 березня 2016 року Попередні заявки із зазначенням установи освіти, керівника, його телефону

Муніципальна бюджетна дошкільна освітня установа «Дитячий садок 30» Центрального району м. Барнаула.

1 Правило крайнього Ігор Жук (Альфа, 1(4), 1999) Розглянемо для початку такі три завдання: Задача1. На нескінченному аркуші картатого паперу у кожній клітці записано деяке натуральне число. Відомо,

Знання це чудове з володінь. Усі прагнуть до нього, саме воно не приходить. Абу-р-Райхан ал-буруні «Поняття площі багатокутника» Геометрія 8 клас 1 ХАРАКТЕРИСТИКА МНОГОЧЛЕНІВ Замкнена ламана,

Пояснювальна записка 1. Загальна характеристика курсу Ця програма складена відповідно до вимог Федерального державного освітнього стандарту основної загальної освіти та призначена

Майстер-клас «Геометрія та стереометрія на ЄДІ з математики, частина 1. Жовтень 2017. Для вирішення завдань необхідні знання про геометричні фігури та їх властивості, обчислення площ плоских фігур, обсяги

Муніципальна бюджетна загальноосвітня установа «Середня загальноосвітня школа 2» Додаток 3.20. Робоча програма з курсу "Наочна геометрія" 5-6 класи Розробники: Овчиннікова Н.В.,

Тема 1. Четність 1. На столі лежать 13 шестерень, з'єднаних у замкнутий ланцюжок. Чи можуть всі шестерні обертатися одночасно? 2. Чи може пряма, не містить вершин замкнутої 13 ланковою ламаною,

Розбір завдань третьої частини завдань 1 2 Електронна школа Знаника Розбір завдань третьої частини завдань 4 клас 6 7 8 9 10 АВАВ Р Завдання 6 Усередині тунелю через кожні 10 м розташовані контрольні пункти.

IX Всеросійська зміна "Юний математик". ВДЦ «Орлятко». VI Турнір математичних ігор. Математична гра "Дуель". Молодша ліга. Рішення. 08 вересня 2013 року 1. У двох групах навчається однакова кількість

Займальні завдання з кубиками Завдання 1. Занумеруйте 8 вершин кубика порядковими числами (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) так, щоб сума номерів на кожній із шести його граней була однаковою (рис. 1а).

Банк завдань з математики 6 клас «Багатокутники та багатогранники» 1. Багатогранник це замкнута поверхня, складена з: паралелограмів багатокутників та трикутників багатокутників багатокутників

ДЕРЖАВНИЙ КОМІТЕТ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ З ВИЩОЇ ОСВІТИ НОВОСИБІРСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Заочна школа МАТЕМАТИЧНЕ ВІДДІЛЕННЯ ПАРАЛЕЛЬНИЙ ПРОЕКТ.

Робоча програма навчального предмета «Світ знаків та чисел» 5 клас 1. Плановані результати освоєння навчального предмета «Світ знаків та чисел» оволодіння геометричною мовою, використання її для опису

Позакласне заняття з наочної геометрії у 7 класі. Тема: «Геометрія ножиць. Завдання на розрізання та складання фігур»

І.М. СМИРНОВА, В.А. СМИРНОВ ГЕОМЕТРІЯ НА КЛЕТЧАТОМУ ПАПЕРІ Навчальний посібник для загальноосвітніх установ Москва 2009 ПЕРЕДМОВА Пропонований посібник містить п'ятдесят шість завдань на побудову та

РОБОЧИЙ Зошит 2 ПЕРЕТВОРЕННЯ 1 Поняття перетворення Приклад 1. Перетворення концентричних кіл один в одного. Коло з 1 перетворюється на концентричну їй коло c 2 як показано

Осінній фізико-математичний інтенсив «100 годин» ПОЛІМІНО Ігри та головоломки з картатими фігурами Хозін Михайло Анатолійович Дзержинськ, 29 жовтня 2 листопада 2016 р. ЩО ТАКЕ ПОЛІМІНО? Всім відомо доміно

7 фігур намальовані за точками, як показано на рисунках нижче. C А G B F Покажіть, як із цих елементів скласти фігури на малюнках нижче D E А) (балу бал 0 балів) Б) (балу балу 0 балів) В) (3 балу

ЄДІ 2010. Математика. Завдання B9. Робочий зошит Смирнов В.А. (за редакцією А. Л. Семенова та І.В.Ященко) М.: Видавництво МЦНМО; 2010, 48 стор. Робочий зошит з математики серії «ЄДІ 2010. Математика»

1) IDm2014_006 відповіді конкурсного туру 2) Керівник команди Пояркова Ольга Сергіївна 3) Технічний виконавець (координатор) немає 4) URL веб-сторінки з відповідями конкурсного туру (якщо є) не 5) Таблиця

10.1 (технологічний профіль), 10.2 (профільний рівень) 2018-2019уч.год Приблизний банк завдань для підготовки до тестування з математики, розділ «Геометрія» (підручник Атанасян Л.С., профільний рівень)

І. М. Смирнова, Ст.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ НОВОСИБІРСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ СПЕЦІАЛІЗОВАНИЙ НАВЧАЛЬНО-НАУКОВИЙ ЦЕНТР Математика 0 клас ПАРАЛЛЕЛЬНЕ І.

2016 2017 навчальний рік 5 клас 51 Розставте в записі 2 2 2 2 2 дужки та знаки дій так, щоб вийшло 24 52 Аня бреше по вівторках, середах та четвергах і говорить правду у всі інші дні тижня

Тема 16. Багатогранники 1. Призма та її элементия: Призма це багатогранник, дві грані якого є рівними багатокутниками, що у паралельних площинах, інші грані паралелограммами.

Геометрія до геометрії. КПК, Геометрія, Третє Заняття (Максимов Д.В.) 28 червня 2017 Наочна геометрія Куб 3x3x3 складений з 13 білих і 14 темних кубиків. На якому малюнку його зображено? Знизу зображено

7 клас 7.1. Чи може виявитися, що це завдання правильно вирішить 1000 учасників олімпіади, причому серед них хлопчиків буде на 43 більше, ніж дівчаток? 7.2. Лада та Лера загадали за натуральним числом. Якщо

Комітет Адміністрації Зміїногорського району Алтайського краю з освіти та справ молоді Муніципальна бюджетна загальноосвітня установа «Зміїногорська середня загальноосвітня школа з поглибленим

Вступний іспит до Вечірньої математичної школи при факультеті ВМК МДУ імені М. В. Ломоносова (29 вересня 2018 року) 8-9 класи 1. Команди «Математики», «Фізики» та «Програмісти» зіграли у футбол

Муніципальна бюджетна загальноосвітня установа міста Абакана «Середня загальноосвітня школа 11» ПРОГРАМА позаурочної діяльності гуртка «Юний математик» для 1-4 класів Програма з позаурочної

Тема I. Четність Завдання 1. Квадратна таблиця 25 25 розфарбована в 25 кольорів так, що в кожному рядку та в кожному стовпці представлені всі кольори. Доведіть, якщо розташування квітів симетрично відносно

1. Безліч. Операції над множинами 1. Чи правильно, що для будь-яких множин A, B виконується рівність A (A \ B) A B? 2. Чи вірно, що для будь-яких множин A, B виконується рівність (A \ B) (B \ A)

Код розділу Вимоги (вміння), що перевіряються завданнями підсумкової роботи Відкритий банк завдань з предмета «Математика» для учнів четвертого класу Завдання 4. ПРОСТОРІ ВІДНОСИНИ. ГЕОМЕТРИЧНІ

Зображення багатогранників За зображення фігури приймається фігура, подібна до її проекції на деяку площину. Вибирається таке зображення, яке дає вірне уявлення про форму фігури,

Завдання для 5 класу Сайт елементарної математики Дмитра Гущина www.mathnet.spb.ru у коробочці 5. Хто виграє, якщо гратиме найкращим чином? 2. У квадраті 5 5 проведені лінії, що розбивають його на

Управління освіти адміністрації Красногвардійського району Муніципальна загальноосвітня установа «Калинівська середня загальноосвітня школа «Стверджую: Директор МБОУ «Калинівська ЗОШ» Білоусова

Дванадцята всеросійська олімпіада з геометрії ім. І. Ф. Шаригіна Чотирнадцята усна олімпіада з геометрії м. Москва, 17 квітня 2016 року Розв'язання задач 8 9 клас 1. (А. Блінков) У шестикутнику рівні

Завдання Р -11.5.16. S бік = P осн. * H формула для знаходження бічної поверхні призми Г -11.5.17. S бік = 1 P осн. * h формула для знаходження бічної поверхні 2 піраміди 6. Різні завдання Г-10.6.1.

VIII командно-особистий турнір «Математичне багатоборство» 2 7 листопада 2015 року, м. Москва Геометрія (рішення) Молодша ліга 1. Дано коло та його хорду. У кінцях хорди до кола проведено дотичні

1. На папері на папері намалювали фігуру. Розділіть її на 4 однакові
частини лініями картатого паперу. Знайдіть усі можливі фігури, на які
можна розрізати цю фігуру відповідно до умови завдання.
Рішення.
2. З квадрата 5  5 вирізали центральну клітину. Розріжте отриману
фігуру на дві рівні частини двома способами.
Рішення.

3. Розділіть прямокутник 3 × 4 на дві рівні частини. Знайдіть як можна
більше способів. Розрізати можна лише з боку квадрата 1 × 1, та способи
вважаються різними, якщо одержувані фігури не будуть рівними при кожному
способі.
Рішення.
4. Розріжте фігуру, зображену на малюнку, на 2 рівні частини.
Рішення.
5. Розріжте фігуру, зображену на малюнку, на 2 рівні частини.

Рішення.
6. Розріжте фігуру, зображену на малюнку, на дві рівні частини по
лініям сітки, причому в кожній частині повинен бути гурток.
Рішення.
7. Розріжте фігуру, зображену на малюнку, на чотири рівні частини

Рішення.

8. Розріжте фігуру, зображену на малюнку, на чотири рівні частини
по лініях сітки, причому в кожній частині повинен бути гурток.
Рішення.
9. Розріжте цей квадрат по сторонах клітин так, щоб усі частини
були однакового розміру та форми і щоб кожна містила по одному
кухоль та хрестику.
Рішення.

10. Розріжте фігуру, зображену на малюнку, по лініях сітки
чотири рівні частини і складіть з них квадрат так, щоб гуртки та хрестики
розташувалися симетрично щодо всіх осей симетрії квадрата.
Рішення.
11. Розріжте квадрат 6 6 клітинок, зображений на малюнку, на чотири
однакові частини так, щоб кожна з них містила три зафарбовані клітини.

Рішення.
12. Чи можна розрізати квадрат на чотири частини так, щоб кожна частина
стикалася з трьома іншими (частини стикаються, якщо вони мають загальний
ділянку кордону)?
Рішення.
13. Чи можна розрізати прямокутник 9 4 клітин на дві рівні частини по

то як це зробити?
Розв'язання. Площа такого квадрата – 36 клітин, тобто його сторона – 6
клітин. Спосіб розрізання представлений малюнку.

14. Чи можна розрізати прямокутник 5  10 клітин на дві рівні частини по
сторонам клітин те щоб із них можна було б скласти квадрат? Якщо так,
то як це зробити?
Розв'язання. Площа такого квадрата – 50 клітин, тобто його сторона –
більше 7, але менше 8 цілих клітин. Отже, такий прямокутник розрізати
необхідним способом з боків клітин не можна.
15. Було 9 аркушів паперу. Деякі їх розрізали на три частини. Усього
стало 15 аркушів. Скільки аркушів паперу розрізали?
Розв'язання. Розрізали 3 аркуші: 3 ∙ 3 + 6 = 15.