Побудувати матрицю парних коефіцієнтів кореляції. Перевірити наявність мультиколінеарності

Розглянемо тепер рішення прикладу 3.2.1 Excel.

Щоб обчислити кореляцію засобами Excel, можна скористатися функцією = Корел (), вказавши адреси двох стовпців чисел, як показано на рис. 3.2.2. Відповідь поміщена в D8 і дорівнює 0,816.

Мал. 3.2.2.

(Примітка. Аргументи функції корел мають бути числами чи іменами, масивами чи посиланнями, що містять числа. Якщо аргумент, який є масивом чи посиланням, містить текст, логічні значення чи порожні комірки, такі значення ігноруються; проте осередки, які містять нульові значення, враховуються.

Якщо масив! і масив2 мають різну кількість точок даних, то функція корел повертає значення помилки #н/д.

Якщо масив1 або масив2 порожній або якщо (стандартне відхилення) їх значень дорівнює нулю, то функція корел повертає значення помилки #справ/0!.)

Критичне значення /-статистики Стьюдента може бути отримано за допомогою функції Стюдраспробр 1 пакета Excel. Як аргументи функції необхідно задати число ступенів свободи, що дорівнює п- 2 (у прикладі 16 - 2= 14) і рівень значимості а (у прикладі а = 0,1) (рис. 3.2.3). Якщо фактичне значення/-статистики, взяте за модулем, більше критичного,то з ймовірністю (1 - а) коефіцієнт кореляції значно відрізняється від нуля.

Мал. 3.2.3. Критичне значення /-статистики дорівнює 1,7613

В Excel входить набір засобів аналізу даних (так званий пакет аналізу), призначений на вирішення різних статистичних завдань. Для обчислення матриці коефіцієнтів парної кореляції Rслід скористатися інструментом Кореляція (рис. 3.2.4) та встановити параметри аналізу у відповідному діалоговому вікні. Відповідь буде поміщено на новий робочий лист (рис. 3.2.5).

1 У Excel 2010 назва функції стюдраспробр змінено на стю-

ДЕНТ.ОБР.2Х.

Мал. 3.2.4.

Мал. 3.2.5.

• Основоположниками теорії кореляції вважаються англійські статистики Ф. Гальтон (1822-1911) та К. Пірсон (1857-1936). Термін "кореляція" був запозичений з природознавства і означає "співвідношення, відповідність". Уявлення про кореляцію як взаємозалежність між випадковими змінними величинами лежить в основі математико-статистичної теорії кореляції.

Завдання 2

1. Побудувати матрицю парних коефіцієнтів кореляції. Перевірити наявність мультиколінеарності. Обґрунтувати відбір факторів у модель.

2. Побудувати рівняння множинної регресії у лінійній формі з вибраними факторами.

3. Оцінити статистичну значущість рівняння регресії та її параметрів з допомогою критеріїв Фішера і Стьюдента.

4. Побудувати рівняння регресії зі статистично значимими чинниками. Оцінити якість рівняння регресії за допомогою коефіцієнта детермінації R2. Оцінити точність збудованої моделі.

5. Оцінити прогноз обсягу випуску продукції, якщо прогнозні значення чинників становлять 75% від своїх максимальних значень.

Умови завдання (Варіант 21)

За даними, представленими в таблиці 1 (n = 17), вивчається залежність обсягу випуску продукції Y (млн. руб.) Від наступних факторів (змінних):

X 1 – чисельність промислово-виробничого персоналу, чол.

X 2 - Середньорічна вартість основних фондів, млн. руб.

X 3 – знос основних фондів, %

X 4 – електроозброєність, кВт×год.

X 5 - технічна озброєність одного робітника, млн. руб.

X 6 - Вироблення товарної продукції на одного працюючого, руб.

Таблиця 1. Дані випуску продукції

Побудувати матрицю парних коефіцієнтів кореляції. Перевірити наявність мультиколінеарності. Обґрунтувати відбір факторів у модель

У таблиці 2 подано матриця коефіцієнтів парної кореляції всім змінних, що у розгляді. Матриця отримана за допомогою інструменту Кореляціяз пакета Аналіз данихв Excel.

Таблиця 2. Матриця коефіцієнтів парної кореляції

Візуальний аналіз матриці дозволяє встановити:

1) Умає досить високі парні кореляції зі змінними Х1, Х2 (>0,5) та низькі зі змінними Х3, Х4, Х5, Х6 (<0,5);

2) Змінні аналізу Х1, Х2 демонструють досить високі парні кореляції, що зумовлює необхідність перевірки чинників наявність між ними мультиколлинеарности. Тим більше що однією з умов класичної регресійної моделі є припущення про незалежність пояснюючих змінних.

Для виявлення мультиколлінеарності факторів виконаємо тест Фаррара-Глоубера за факторами Х1, Х2, Х3, Х4, Х5, Х6.

Перевірка тесту Фаррара-Глоубера на мультиколінеарність факторів включає кілька етапів.

1) Перевірка наявності мультиколінеарності всього масиву змінних .

Однією з умов класичної регресійної моделі є припущення незалежності пояснюючих змінних. Для виявлення мультиколлінеарності між факторами обчислюється матриця міжфакторних кореляцій з допомогою Пакету аналізу даних (таблиця 3).

Таблиця 3. Матриця міжфакторних кореляцій R

Між факторами Х1 та Х2, Х5 та Х4, Х6 та Х5 спостерігається сильна залежність (>0,5).

Визначник det(R) = 0,001488 обчислюється за допомогою функції МОПРЕД. Визначник матриці R прагне нуля, що дозволяє зробити припущення про загальну мультиколлінеарність факторів.

2) Перевірка наявності мультиколінеарності кожної змінної з іншими змінними:

· Обчислимо зворотну матрицю R-1 за допомогою функції Excel МОБР (таблиця 4):

Таблиця 4. Зворотна матриця R-1

· Обчислення F-критеріїв, де - Діагональні елементи матриці, n = 17, k = 6 (таблиця 5).

Таблиця 5. Значення F-критеріїв

· Фактичні значення F-критеріїв порівнюються з табличним значенням F табл = 3,21(FРАСПОБР(0,05;6;10)) при n1= 6 і n2 = n - k – 1=17-6-1=10 степенях свободи та рівні значущості α=0,05, де k – кількість факторів.

· Значення F-критеріїв для факторів Х1 та Х2 більше табличного, що свідчить про наявність мультиколінеарності між цими факторами. Найменше впливає на загальну мультиколінеарність факторів фактор Х3.

3) Перевірка наявності мультиколінеарності кожної пари змінних

· Обчислимо окремі коефіцієнти кореляції за формулою , де - Елементи матриці (таблиця 6)

Таблиця 6. Матриця коефіцієнтів приватних кореляцій

· Обчислення t-критеріїв за формулою (Таблиця 7)

n – число даних = 17

K – число факторів = 6

Таблиця 7.t-критерії для коефіцієнтів приватної кореляції

t табл = СТЬЮДРАСПОБР(0,05;10) = 2,23

Фактичні значення t-критеріїв порівнюються з табличним значенням при ступенях свободи n-k-1 = 17-6-1=10 та рівні значущості α=0,05;

t21 > tтабл

t54 > tтабл

З таблиць 6 та 7 видно, що дві пари факторів X1 і Х2, Х4 та Х5 мають високу статистично значиму приватну кореляцію, тобто є мультиколлінеарними. Для того, щоб позбутися мультиколінеарності, можна виключити одну зі змінних колінеарної пари. У парі Х1 та Х2 залишаємо Х2, у парі Х4 та Х5 залишаємо Х5.

Таким чином, в результаті перевірки тесту Фаррара-Глоубер залишаються фактори: Х2, Х3, Х5, Х6.

Завершуючи процедури кореляційного аналізу, доцільно переглянути приватні кореляції вибраних факторів із результатом Y.

Побудуємо матрицю парних коефіцієнтів кореляції, з даних таблиці 8.

Таблиця 8. Дані випуску продукції із відібраними чинниками Х2, Х3, Х5, Х6.

В останньому стовпці таблиці 9 наведено значення t-критерію для стовпця У.

Таблиця 9. Матриця коефіцієнтів приватної кореляції з результатом Y

З таблиці 9 видно, що змінна Yмає високу і одночасно статистично значиму приватну кореляцію з фактором Х2.

Аналіз міжфакторних(Між «іксами»!) Коефіцієнтів кореляції показує, що значення 0,8 перевищує за абсолютною величиноюлише коефіцієнт кореляції між парою факторів Х 1 –Х 3 (виділений жирним шрифтом). Чинники Х 1 –Х 3 таким чином визнаються колінеарними.

2. Як було показано у пункті 1, фактори Х 1 –Х 3 є колінеарними, а це означає, що вони фактично дублюють один одного, і їхнє одночасне включення в модель призведе до неправильної інтерпретації відповідних коефіцієнтів регресії. Видно, що фактор Х 3 має більший за модулемкоефіцієнт кореляції із результатом Y, Чим фактор Х 1: r y , x 1 =0,519; r y , x 3 = 0,610; (Див. табл. 1). Це свідчить про сильніший вплив фактора Х 3 на зміну Y. Чинник Х 1 таким чином виключається з розгляду.

Для побудови рівняння регресії значення змінних ( Y,X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , X 6) скопіюємо на чистий робочий лист ( дод. 3). Рівняння регресії будуємо за допомогою надбудови Аналіз даних… Регресія» (меню « Сервіс»® « Аналіз даних…» ® « Регресія»). Панель регресійного аналізу із заповненими полями зображена на Мал. 2.

Результати регресійного аналізу наведено в дод. 4та перенесені до табл. 2. Рівняння регресії має вигляд (див. Коефіцієнти»в табл. 2):

Рівняння регресії визнається статистично значущим, оскільки ймовірність його випадкового формування у вигляді, у якому воно отримано, становить 8,80×10 -6 (див. «Значність F»в табл. 2), що значно нижче прийнятого рівня значимості a=0,05.

Х 3 , Х 4 , Х 6 нижче за прийнятий рівень значимості a=0,05 (див. « P-Значення»в табл. 2), що свідчить про статистичну значущість коефіцієнтів та суттєвий вплив цих факторів на зміну річного прибутку Y.

Ймовірність випадкового формування коефіцієнтів за факторів Х 2 та Х 5 перевищує прийнятий рівень значимості a = 0,05 (див. P-Значення»в табл. 2), і ці коефіцієнти не визнаються статистично значущими.

Мал. 2. Панель регресійного аналізу моделі Y(X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , X 6)

Таблиця 2

Y(X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , X 6)

3. За результатами перевірки статистичної значущості коефіцієнтів рівняння регресії, проведеної в попередньому пункті, будуємо нову регресійну модель, що містить лише інформативні фактори, до яких належать:

· Фактори, коефіцієнти при яких статистично значущі;

· фактори, у коефіцієнтів яких t‑статистика перевищує за модулем одиницю (іншими словами, абсолютна величина коефіцієнта більша за його стандартну помилку).

До першої групи належать фактори Х 3 , Х 4 , Х 6 , до другої - фактор X 2 . Чинник X 5 виключається з розгляду як неінформативний, і остаточно регресійна модель міститиме фактори X 2 , X 3 , X 4 , X 6 .

Для побудови рівняння регресії скопіюємо на чистий робочий лист значення змінних ( дод. 5)та проведемо регресійний аналіз ( Мал. 3). Його результати наведені в дод. 6та перенесені до табл. 3. Рівняння регресії має вигляд:

(див. « Коефіцієнти»в табл. 3).

Мал. 3. Панель регресійного аналізу моделі Y(X 2 , X 3 , X 4 , X 6)

Таблиця 3

Результати регресійного аналізу моделі Y(X 2 , X 3 , X 4 , X 6)

Рівняння регресії статистично значуще: ймовірність його випадкового формування нижче за допустимий рівень значущості a=0,05 (див. « Значення F»в табл. 3).

Статистично значущими визнаються і коефіцієнти за чинників Х 3 , Х 4 , Х 6: ймовірність їх випадкового формування нижче за допустимий рівень значимості a=0,05 (див. « P-Значення»в табл. 3). Це свідчить про суттєвий вплив річного розміру страхових зборів X 3 , річного розміру страхових виплат X 4 та форми власності X 6 на зміну річного прибутку Y.

Коефіцієнт за фактора Х 2 (річний розмір страхових резервів) перестав бути статистично значимим. Однак цей фактор все ж таки можна вважати інформативним, так як t‑статистика його коефіцієнта перевищує за модулемодиницю, хоча до подальших висновків щодо фактора Х 2 слід ставитись з деякою часткою обережності.

4. Оцінимо якість і точність останнього рівняння регресії, використовуючи деякі статистичні характеристики, отримані під час регресійного аналізу (див. . « Регресійну статистику» в табл. 3):

· множинний коефіцієнт детермінації

показує, що регресійна модель пояснює 75,1% варіації річного прибутку Y, причому ця варіація обумовлена ​​зміною включених до моделі регресії факторів X 2 , X 3 , X 4 та X 6 ;

· Стандартна помилка регресії

тис. руб.

показує, що передбачені рівнянням регресії значення річного прибутку Yвідрізняються від фактичних значень у середньому на 237,6 тис. руб.

Середня відносна помилка апроксимації визначається за наближеною формулою:

де тис. руб. - Середнє значення річного прибутку (визначено за допомогою вбудованої функції « Відмінник»; дод. 1).

Еотн показує, що передбачені рівнянням регресії значення річного прибутку Yвідрізняються від фактичних значень загалом на 26,7 %. Модель має незадовільну точність (при - точність моделі висока, при - хороша, при - задовільна, при - незадовільна).

5. Для економічної інтерпретації коефіцієнтів рівняння регресії зведемо до таблиці середні значення та стандартні відхилення змінних у вихідних даних ( табл. 4) . Середні значення були визначені за допомогою вбудованої функції. Відмінник», стандартні відхилення – за допомогою вбудованої функції « СТАНДОТКЛОН»(див. дод. 1).

По територіях Південного федерального округу РФ наводяться дані за 2011 рік

• 1. Розрахуйте матрицю парних коефіцієнтів кореляції; оцініть статистичну значущість коефіцієнтів кореляції.
• 2. Побудуйте поле кореляції результативної ознаки та найбільш тісно пов'язаного з ним фактора.
• 3. Розрахуйте параметри лінійної парної регресії кожного фактора Х..
• 4. Оцініть якість кожної моделі через коефіцієнт детермінації, середню помилку апроксимації та F-критерій Фішера. Виберіть найкращу модель.

становитиме 80% від його максимального значення. Уявіть графічно: фактичні та модельні значення, точки прогнозу.

• 6. Використовуючи покрокову множинну регресію (метод виключення чи спосіб включення), побудуйте модель формування ціни квартири рахунок значних чинників. Дайте економічну інтерпретацію коефіцієнтів моделі регресії.
• 7. Оцініть якість побудованої моделі. Чи покращилася якість моделі порівняно з однофакторною моделлю? Дайте оцінку впливу значимих факторів на результат за допомогою коефіцієнтів еластичності, - і -? коефіцієнтів.

При вирішенні цього завдання розрахунки та побудова графіків та діаграм будемо вести з використанням налаштування Excel Аналіз даних.

1. Розрахуємо матрицю парних коефіцієнтів кореляції та оцінимо статистичну значимість коефіцієнтів кореляції

У діалоговому вікні Кореляція у полі Вхідний інтервал вводимо діапазон осередків, що містять вихідні дані. Оскільки ми виділили і заголовки стовпців, то встановлюємо прапорець Мітки у першому рядку.

Отримали такі результати:

Таблиця 1.1 Матриця парних коефіцієнтів кореляції

Аналіз матриці коефіцієнтів парної кореляції показує, що залежна змінна Y, тобто валового регіонального продукту має тісніший зв'язок з Х1 (інвестиції в основний капітал). Коефіцієнт кореляції дорівнює 0,936. Це означає, що у 93,6% залежна змінна Y (валовий регіональний продукт) залежить від показника Х1 (інвестиції в основний капітал).

Статистична значимість коефіцієнтів кореляції визначимо з допомогою t-критерію Стьюдента. Табличне значення порівнюємо з розрахунковими значеннями.

Обчислимо табличне значення за допомогою функції СТЬЮДРАСПОБР.

t табл.=0,129 при довірчій ймовірності, що дорівнює 0,9 і ступенем свободи (n-2).

Статистичним є чинник Х1.

2. Побудуємо поле кореляції результативної ознаки (валового регіонального продукту) та найбільш тісно пов'язаного з ним фактора (інвестиції в основний капітал)

Для цього скористаємось інструментом побудови точкової діаграми програми Excel.

Через війну отримуємо полі кореляції ціни валового регіонального продукту, млрд. крб. та інвестиції в основний капітал, млрд. руб. (Малюнок 1.1.).

Малюнок 1.1

3. Розрахуємо параметри лінійної парної регресії кожного фактора Х

Для розрахунку параметрів лінійної парної регресії скористаємося інструментом Регресія, що входить до настоянки Аналіз даних.

У діалоговому вікні Регресія в полі Вхідний інтервал Y вводимо адресу діапазону осередків, які є залежною змінною. В полі

Вхідний інтервал Х вводимо адресу діапазону, що містить значення незалежних змінних. Виконаємо обчислення параметрів парної регресії для фактора Х.

Для Х1 отримали такі дані, подані у таблиці 1.2:

Таблиця 1.2

Рівняння регресії залежності ціни валового регіонального продукту від інвестиції в основний капітал має вигляд:

4. Оцінимо якість кожної моделі через коефіцієнт детермінації, середню помилку апроксимації та F-критерій Фішера. Встановимо, яка модель є найкращою.

Коефіцієнт детермінації, середню помилку апроксимації ми отримали в результаті розрахунків, проведених у пункті 3. Отримані дані представлені в наступних таблицях:

Дані Х1:

Таблиця 1.3

Таблиця 1.4б

А) Коефіцієнт детермінації визначає, яка частка варіації ознаки У врахована в моделі та обумовлена ​​впливом на нього фактора Х. Чим більше значення коефіцієнта детермінації, тим тісніше зв'язок між ознаками у побудованій математичній моделі.

У Excel позначається R-квадрат.

Виходячи з цього критерію найбільш адекватною є модель рівняння регресії залежності ціни валового регіонального продукту від інвестиції в основний капітал (Х1).

Б) Середню помилку апроксимації розрахуємо за формулою:

де чисельник – сума квадратів відхилення розрахункових значень від фактичних. У таблицях вона перебуває у стовпці SS, рядку Залишки.

Середнє значення ціни квартири розрахуємо в Excel за допомогою функції СРЗНАЧ. = 24,18182 млрд. руб.

При проведенні економічних розрахунків модель вважається досить точною, якщо середня помилка апроксимації менше 5%, модель вважається прийнятною, якщо середня помилка апроксимації менше 15%.

За даним критерієм найбільш адекватною є математична модель для рівняння регресії залежності ціни валового регіонального продукту від інвестиції в основний капітал (Х1).

для перевірки значимості моделі регресії використовується F-тест. Для цього виконується порівняння та критичного (табличного) значень F-критерію Фішера.

Розрахункові значення наведені у таблицях 1.4б (позначені літерою F).

Табличне значення F-критерій Фішера розрахуємо в Excel за допомогою функції FРАСПОБР. Імовірність візьмемо рівною 0,05. Отримали: = 4,75

Розрахункові значення F-критерій Фішера для кожного фактора можна порівняти з табличним значенням:

71,02> = 4,75 модель за даним критерієм адекватна.

Проаналізувавши дані за всіма трьома критеріями, можна зробити висновок, що найкращою є математична модель, побудована для фактора валового регіонального продукту, яка описана лінійним рівнянням

5. Для обраної моделі залежності ціни валового регіонального продукту

здійснимо прогнозування середнього значення показника за рівня значущості, якщо прогнозне значення фактора становитиме 80% від його максимального значення. Уявимо графічно: фактичні та модельні значення, точки прогнозу.

Розрахуємо прогнозне значення Х, за умовою воно становитиме 80% від максимального значення.

Розрахуємо Х max Excel за допомогою функції МАКС.

0,8 *52,8 = 42,24

Для отримання прогнозних оцінок залежної змінної підставимо отримане значення незалежної змінної лінійне рівняння:

5,07 +2,14 * 42,24 = 304,55 млрд. руб.

Визначимо довірчий інтервал прогнозу, який матиме такі межі:

Для обчислення довірчого інтервалу прогнозного значення розраховуємо величину відхилення від лінії регресії.

Для моделі парної регресії величина відхилення розраховується:

тобто. значення стандартної помилки таблиці 1.5а.

(Оскільки число ступенів свободи дорівнює одиниці, то знаменник дорівнюватиме n-2). кореляція парна регресія прогноз

Для розрахунку коефіцієнта скористаємося функцією Excel СТЬЮДРАСПОБР, можливість візьмемо рівну 0,1, число ступенів свободи 38.

Значення розрахуємо за допомогою Excel, отримаємо 12294.

Визначимо верхню та нижню межі інтервалу.

• 304,55+27,472= 332,022
• 304,55-27,472= 277,078

Таким чином, прогнозне значення = 304,55 тис.дол., перебуватиме між нижнім кордоном, що дорівнює 277,078 тис.дол. і верхнім кордоном, що дорівнює 332,022 млдр. руб.

Фактичні та модельні значення, точки прогнозу представлені графічно малюнку 1.2.

Малюнок 1.2

6. Використовуючи покрокову множинну регресію (метод виключення), побудуємо модель формування ціни валового регіонального продукту рахунок значних чинників

Для побудови множинної регресії скористаємося функцією регресії програми Excel, включивши в неї всі фактори. В результаті одержуємо результативні таблиці, з яких нам необхідний t-критерій Стьюдента.

Таблиця 1.8

Таблиця 1.8б

Таблиця 1.8 ст.

Отримуємо модель виду:

Оскільки< (4,75 < 71,024), уравнение регрессии следует признать адекватным.

Виберемо найменше за модулем значення t-критерію Стьюдента, воно дорівнює 8,427, порівнюємо його з табличним значенням, які розраховуємо в Excel, рівень значущості беремо рівним 0,10, число ступенів свободи n-m-1=12-4=8: =1,8595

Оскільки 8,427>1,8595 модель слід визнати адекватною.

7. Для оцінки значущого фактора отриманої математичної моделі, розрахуємо коефіцієнти еластичності, та - коефіцієнти

Коефіцієнт еластичності показує, наскільки відсотків зміниться результативна ознака при зміні факторної ознаки на 1%:

Е X4 = 2,137 * (10,69/24,182) = 0,94%

Тобто зі зростанням інвестиції в основний капітал 1%, вартість у середньому зростає на 0,94%.

p align="justify"> Коефіцієнт вказує на яку частину величини середнього квадратичного відхилення змінюється середнє значення залежної змінної зі зміною незалежної змінної на одне середньоквадратичне відхилення.

2,137* (14.736/33,632) = 0,936.

Дані середніх квадратичних відхилень взяті з таблиць, отриманих за допомогою інструментів Описова статистика.

Таблиця 1.11 Описова статистика (Y)

Таблиця 1.12 Описова статистика (Х4)

Коефіцієнт визначає частку впливу фактора у сумарному впливі всіх факторів:

Для розрахунку коефіцієнтів парної кореляції обчислюємо матрицю парних коефіцієнтів кореляції в Excel за допомогою інструмента Кореляція налаштування Аналізу даних.

Таблиця 1.14

(0,93633*0,93626) / 0,87 = 1,00.

Висновок: З отриманих розрахунків можна дійти невтішного висновку, що результативний ознака Y (валовий регіональний продукт) має велику залежність від чинника X1 (інвестиції в основний капітал) (на 100%).

Список літератури

• 1. Магнус Я.Р., Катишев П.К., Пересецький А.А. Економетрики. Початковий курс Навчальний посібник. 2-ге вид. – М.: Справа, 1998. – с. 69 – 74.
• 2. Практикум з економетрики: Навчальний посібник/І.І. Єлісєєва, С.В. Куришева, Н.М. Гордєєнко та ін. 2002. – с. 49 – 105.
• 3. Доугерті К. Введення в економетрику: Пров. з англ. - М: ІНФРА-М, 1999. - XIV, с. 262 – 285.
• 4. Айвизян С.А., Міхтирян В.С. Прикладна математика та основи економетрики. -1998., з 115-147.
• 5. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Економетрики. -2007. з 175-251.

Аналіз матриці парних коефіцієнтів кореляції показує, що результативний показник найбільш тісно пов'язаний із показником x(4) – кількість добрив, що витрачаються на 1 га ().

У той самий час зв'язок між ознаками-аргументами досить тісний. Так, існує практично функціональний зв'язок між числом колісних тракторів ( x(1)) і числом знарядь поверхневого обробітку ґрунту .

Про наявність мультиколлінеарності свідчать також коефіцієнти кореляції та . Враховуючи тісний взаємозв'язок показників x (1) , x(2) та x(3) , До регресійної моделі врожайності може увійти лише один з них.

Щоб продемонструвати негативний вплив мультиколлінеарності, розглянемо регресійну модель врожайності, включивши до неї всі вихідні показники:

F набл = 121.

У дужках вказано значення виправлених оцінок середньоквадратичних відхилень оцінок коефіцієнтів рівняння .

Під рівнянням регресії представлені такі його параметри адекватності: множинний коефіцієнт детермінації; виправлена ​​оцінка залишкової дисперсії, середня відносна помилка апроксимації та розрахункове значення-критерію F набл = 121.

Рівняння регресії значимо, т.к. F набл = 121 > F kp = 2,85 знайденого за таблицею F-розподілу при a = 0,05; n 1 =6 та n 2 =14.

З цього випливає, що Q10, тобто. і хоча б один із коефіцієнтів рівняння q j (j= 0, 1, 2, ..., 5) не дорівнює нулю.

Для перевірки гіпотези про значимість окремих коефіцієнтів регресії H0: q j =0 де j=1,2,3,4,5, порівнюють критичне значення t kp = 2,14, знайдене за таблицею t-розподілу при рівні значимості a = 2 Q=0,05 та числі ступенів свободи n=14, з розрахунковим значенням . З рівняння випливає, що статистично значущим є коефіцієнт регресії лише за x(4) , оскільки ½ t 4 ½=2,90 > t kp = 2,14.

Не піддаються економічної інтерпретації негативні знаки коефіцієнтів регресії при x(1) та x(5) . З негативних значень коефіцієнтів випливає, що підвищення насиченості сільського господарства колісними тракторами ( x(1)) та засобами оздоровлення рослин ( x(5)) негативно позначається на врожайності. Таким чином, отримане рівняння регресії є неприйнятним.

Для отримання рівняння регресії із значними коефіцієнтами використовуємо покроковий алгоритм регресійного аналізу. Спочатку використовуємо покроковий алгоритм із винятком змінних.

Виключимо з моделі змінну x(1) , якій відповідає мінімальне за абсолютною величиною значення ½ t 1 ½=0,01. Для змінних, що залишилися, знову побудуємо рівняння регресії:

Отримане рівняння значимо, т.к. F набл = 155 > F kp = 2,90, знайденого при рівні значимості a=0,05 та числах ступенів свободи n 1 =5 і n 2 =15 за таблицею F-розподілу, тобто. вектор q10. Однак у рівнянні значимий лише коефіцієнт регресії при x(4). Розрахункові значення? t j ½ для інших коефіцієнтів менше tкр = 2,131, знайденого за таблицею t-розподілу при a=2 Q=0,05 та n=15.

Виключивши з моделі змінну x(3) , якій відповідає мінімальне значення t 3 = 0,35 і отримаємо рівняння регресії:

(2.9)

В отриманому рівнянні статистично не значущий і економічно не інтерпретуємо коефіцієнт при x(5) . Виключивши x(5) отримаємо рівняння регресії:

(2.10)

Ми отримали значне рівняння регресії зі значними та інтерпретованими коефіцієнтами.

Однак отримане рівняння є не єдино "хорошою" і не "найкращою" моделлю врожайності в нашому прикладі.

Покажемо, що за умови мультиколлінеарності покроковий алгоритм із включенням змінних є ефективнішим.На першому кроці модель урожайності yвходить змінна x(4) , що має найвищий коефіцієнт кореляції з y, що пояснюється змінною - r(y,x(4)) = 0,58. На другому кроці, включаючи рівняння поряд з x(4) змінні x(1) або x(3) , ми отримаємо моделі, які з економічних міркувань та статистичних характеристик перевищують (2.10):

(2.11)

(2.12)

Включення в рівняння будь-якої з трьох змінних, що залишилися, погіршує його властивості. Дивись, наприклад, рівняння (2.9).

Таким чином, ми маємо три “хороші” моделі врожайності, з яких потрібно вибрати з економічних та статистичних міркувань одну.

За статистичними критеріями найбільш адекватна модель (2.11). Їй відповідають мінімальні значення залишкової дисперсії = 2,26 та середньої відносної помилки апроксимації та найбільші значення та F набл = 273.

Дещо гірші показники адекватності має модель (2.12), а потім - модель (2.10).

Тепер вибиратимемо найкращу з моделей (2.11) та (2.12). Ці моделі відрізняються одна від одної змінними x(1) та x(3) . Однак у моделях урожайностей змінна x(1) (кількість колісних тракторів на 100 га) більш краща, ніж змінна x(3) (кількість знарядь поверхневого обробітку грунту на 100 га), який є деякою мірою вторинним (або похідним від x (1)).

У зв'язку з економічних міркувань перевагу слід віддати моделі (2.12). Таким чином, після реалізації алгоритму покрокового регресійного аналізу з включенням змінних та врахування того, що до рівняння має увійти лише одна з трьох пов'язаних змінних ( x (1) , x(2) або x(3)) вибираємо остаточне рівняння регресії:

Рівняння значимо за a=0,05, т.к. F набл = 266 > F kp = 3,20, знайденого за таблицею F-розподілу при a= Q=0,05; n 1 =3 та n 2 =17. Значні і всі коефіцієнти регресії та у рівнянні ½ t j ½> t kp (a=2 Q=0,05; n = 17) = 2,11. Коефіцієнт регресії q 1 слід визнати значущим (q 1 ¹0) з економічних міркувань, причому t 1 =2,09 лише трохи менше t kp = 2,11.

З рівняння регресії випливає, що збільшення одиницю числа тракторів на 100 га ріллі (при фіксованому значенні x(4)) призводить до зростання врожайності зернових у середньому на 0,345 ц/га.

Наближений розрахунок коефіцієнтів еластичності е 1 »0,068 та е 2 »0,161 показує, що при збільшенні показників x(1) та x(4) на 1% урожайність зернових підвищується в середньому відповідно на 0,068% та 0,161%.

Множинний коефіцієнт детермінації свідчить про те, що тільки 46,9% варіації врожайності пояснюється показниками, що увійшли в модель ( x(1) та x(4)), тобто насиченістю рослинництва тракторами та добривами. Решта варіації обумовлена ​​дією неврахованих факторів ( x (2) , x (3) , x(5), погодні умови та ін.). Середня відносна помилка апроксимації характеризує адекватність моделі, як і і величина залишкової дисперсії . При інтерпретації рівняння регресії інтерес становлять значення відносних помилок апроксимації . Нагадаємо, що - модельне значення результативного показника, що характеризує середнє для сукупності районів, що розглядаються, значення врожайності за умови, що значення пояснюючих змінних x(1) та x(4) зафіксовані на тому самому рівні, а саме x (1) = x i(1) та x (4) = x i(4). Тоді за значеннями d iможна зіставляти райони за врожайністю. Райони, яким відповідають значення d i>0, мають урожайність вище середнього, а d i<0 - ниже среднего.

У нашому прикладі, за врожайністю найбільше ефективно рослинництво ведеться в районі, якому відповідає d 7 =28%, де врожайність на 28% вища за середню по регіону, і найменш ефективно - в районі з d 20 =-27,3%.

Завдання та вправи

2.1. З генеральної сукупності ( y, x (1) , ..., x(p)), де yмає нормальний закон розподілу з умовним математичним очікуванням і дисперсією s 2 взята випадкова вибірка обсягом n, і нехай ( y i, x i (1) , ..., x i(p)) - результат i-го спостереження ( i=1, 2, ..., n). Визначити: а) математичне очікування МНК-оцінки вектора q; б) коварійну матрицю МНК-оцінки вектора q; в) математичне очікування оцінки.

2.2. За умовою завдання 2.1 визначити математичне очікування суми квадратів відхилень, зумовлених регресією, тобто. EQ R, де

.

2.3. За умовою завдання 2.1 визначити математичне очікування суми квадратів відхилень, зумовлених залишковою варіацією щодо ліній регресії, тобто. EQост, де

2.4. Довести, що з виконанні гіпотези Н 0: q=0 статистика

має F-розподіл із числами ступенів свободи n 1 =p+1 і n 2 =n-p-1.

2.5. Довести, що з виконанні гіпотези Н 0: q j =0 статистика має t-розподіл із числом ступенів свободи n=n-p-1.

2.6. На підставі даних (табл.2.3) про залежність усушки кормового хліба ( y) від тривалості зберігання ( x) Визначити точкову оцінку умовного математичного очікування у припущенні, що генеральне рівняння регресії - лінійне.

Таблиця 2.3.

Потрібно: а) знайти оцінки та залишкової дисперсії s 2 у припущенні, що генеральне рівняння регресії має вигляд ; б) перевірити при a=0,05 значимість рівняння регресії, тобто. гіпотезу Н0: q=0; в) з надійністю g = 0,9 визначити інтервальні оцінки параметрів q0, q1; г) з надійністю g=0,95 визначити інтервальну оцінку умовного математичного очікування при х 0 = 6; д) визначити при g=0,95 довірчий інтервал передбачення у точці х=12.

2.7. З даних динаміку темпів приросту курсу акцій за 5 місяців, наведених у табл. 2.4.

Таблиця 2.4.

та припущення, що генеральне рівняння регресії має вигляд , потрібно: а) визначити оцінки та параметри рівняння регресії та залишкової дисперсії s 2 ; б) перевірити при a=0,01 значимість коефіцієнта регресії, тобто. гіпотези H0: q1=0;

в) з надійністю g = 0,95 знайти інтервальні оцінки параметрів q0 і q1; г) з надійністю g=0,9 встановити інтервальну оцінку умовного математичного очікування при x 0 = 4; д) визначити при g=0,9 довірчий інтервал передбачення у точці x=5.

2.8. Результати дослідження динаміки приросту ваги молодняку ​​наведені в табл.2.5.

Таблиця 2.5.

Припускаючи, що генеральне рівняння регресії - лінійне, потрібно: а) визначити оцінки та параметри рівняння регресії та залишкової дисперсії s 2 ; б) перевірити при a=0,05 значимість рівняння регресії, тобто. гіпотези H0: q=0;

в) з надійністю g = 0,8 знайти інтервальні оцінки параметрів q0 і q1; г) з надійністю g=0,98 визначити та порівняти інтервальні оцінки умовного математичного очікування при x 0 = 3 і x 1 =6;

д) визначити при g=0,98 довірчий інтервал передбачення у точці x=8.

2.9. Собівартість ( y) одного екземпляра книги в залежності від тиражу ( x) (тис.екз.) характеризується даними, зібраними видавництвом (табл.2.6). Визначити МНК-оцінки та параметрів рівняння регресії гіперболічного вигляду , з надійністю g=0,9 побудувати довірчі інтервали для параметрів q 0 та q 1 , а також умовного математичного очікування при x=10.

Таблиця 2.6.

Визначити оцінки та параметрів рівняння регресії виду, перевірити при a=0,05 гіпотезу Н 0: q 1 =0 і побудувати з надійністю g=0,9 довірчі інтервали для параметрів q 0 та q 1 та умовного математичного очікування при x=20.

2.11. У табл. 2.8 подані дані про темпи приросту (%) наступних макроекономічних показників n= 10 розвинутих країн світу за 1992р.: ВНП - x(1) , промислового виробництва - x(2) , індексу цін - x (3) .

Таблиця 2.8.