Диференціальні рівняння вищих порядків із постійними коефіцієнтами. Диференціальні рівняння другого порядку та вищих порядків

Часто одна лише згадка диференціальних рівняньвикликає у студентів неприємне почуття. Чому так відбувається? Найчастіше тому, що при вивченні основ матеріалу виникає прогалина в знаннях, через яку подальше вивчення дифурів стає просто катуванням. Нічого не зрозуміло, що робити, як вирішувати, з чого почати?

Однак ми намагатимемося вам показати, що дифури – це не так складно, як здається.

Основні поняття теорії диференціальних рівнянь

Зі школи нам відомі найпростіші рівняння, в яких потрібно знайти невідому x. По суті диференційне рівняннялише трішки відрізняються від них – замість змінної х у них потрібно знайти функцію y(х) , яка оберне рівняння в тотожність.

Д іференціальні рівняннямають велике прикладне значення. Це не абстрактна математика, яка не має відношення до навколишнього світу. За допомогою диференціальних рівнянь описуються багато реальних природних процесів. Наприклад, коливання струни, рух гармонійного осцилятора, за допомогою диференціальних рівнянь у завданнях механіки знаходять швидкість та прискорення тіла. Також ДКзнаходять широке застосування у біології, хімії, економіці та багатьох інших науках.

Диференціальне рівняння (ДК) – це рівняння, що містить похідні функції y(х), саму функцію, незалежні змінні та інші параметри у різних комбінаціях.

Існує безліч видів диференціальних рівнянь: звичайні диференціальні рівняння, лінійні та нелінійні, однорідні та неоднорідні, диференціальні рівняння першого та вищих порядків, дифури у приватних похідних тощо.

Рішенням диференціального рівняння є функція, яка перетворює його на тотожність. Існують загальні та приватні рішення ДК.

Загальним рішенням ДК є загальна кількість рішень, що обертають рівняння у тотожність. Приватним рішенням диференціального рівняння називається рішення, що задовольняє додатковим умовам, заданим спочатку.

Порядок диференціального рівняння визначається найвищим порядком похідних, що входять до нього.

Звичайні диференціальні рівняння

Звичайні диференціальні рівняння- Це рівняння, що містять одну незалежну змінну.

Розглянемо найпростіше звичайне диференціальне рівняння першого ладу. Воно має вигляд:

Вирішити таке рівняння можна, просто проінтегрувавши його праву частину.

Приклади таких рівнянь:

Рівняння з змінними, що розділяються

Загалом цей тип рівнянь виглядає так:

Наведемо приклад:

Вирішуючи таке рівняння, потрібно розділити змінні, привівши його до вигляду:

Після цього залишиться проінтегрувати обидві частини та отримати рішення.

Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

Такі рівняння мають вигляд:

Тут p(x) і q(x) – деякі функції незалежної змінної, а y=y(x) – потрібна функція. Наведемо приклад такого рівняння:

Вирішуючи таке рівняння, найчастіше використовують метод варіації довільної постійної або представляють потрібну функцію у вигляді добутку двох інших функцій y(x)=u(x)v(x).

Для вирішення таких рівнянь необхідна певна підготовка і взяти їх з наскоку буде досить складно.

Приклад рішення ДК з змінними, що розділяються.

Ось ми розглянули найпростіші типи ДУ. Тепер розберемо рішення одного з них. Нехай це буде рівняння з змінними, що розділяються.

Спочатку перепишемо похідну у більш звичному вигляді:

Потім розділимо змінні, тобто в одній частині рівняння зберемо всі "ігреки", а в іншій - "ікси":

Тепер залишилося проінтегрувати обидві частини:

Інтегруємо та отримуємо загальне рішення даного рівняння:

Звісно, ​​розв'язання диференціальних рівнянь – свого роду мистецтво. Потрібно вміти розуміти, якого типу належить рівняння, і навіть навчитися бачити, які перетворення потрібно з ним зробити, щоб призвести до того чи іншого виду, не кажучи вже просто про вміння диференціювати та інтегрувати. І щоб досягти успіху у вирішенні ДУ, потрібна практика (як і у всьому). А якщо у Вас в даний момент немає часу розбиратися з тим, як вирішуються диференціальні рівняння або завдання Коші стала як кістка в горлі або ви не знаєте, зверніться до наших авторів. У стислий термін ми надамо Вам готове та докладне рішення, розібратися в подробицях якого Ви зможете у будь-який зручний для Вас час. А поки що пропонуємо подивитися відео на тему "Як вирішувати диференціальні рівняння":

Теорію обчислень неоднорідних диференціальних рівнянь(ДУ) наводити в даній публікації не будемо, з попередніх уроків Ви можете знайти достатньо інформації, щоб знайти відповідь на запитання "Як вирішити неоднорідне диференціальне рівняння?"Ступінь неоднорідного ДУ тут великої ролі не грає, не так вже й багато є способів, які дозволяють обчислити рішення таких ДУ. Щоб Вам було легко читати відповіді в прикладах, основний акцент зроблений тільки на методику обчислень та підказки, які полегшать виведення кінцевої функції.

приклад 1. Розв'язати диференціальне рівняння
Рішення: Задано однорідне диференціальне рівняння третього порядку,причому воно містить лише другу та третю похідні та не має функції та її першої похідної. В таких випадках застосовують метод зниження ступенядиференціального рівняння. Для цього вводять параметр – позначимо другу похідну через параметр p

тоді третя похідна функції дорівнює

Початкове однорідне ДК спроститься до вигляду

Записуємо його у диференціалах, далі зводимо до рівняння з розділеними зміннимита знаходимо рішення інтегруванням

Згадуємо, що параметр це друга похідна функції

тому знаходження формули самої функції двічі інтегруємо знайдену диференціальну залежність

У функції стали C 1 , C 2 , C 3 - рівні довільним значенням.
Ось так просто виглядає схема, що дозволяє визначити загальне рішення однорідного диференціального рівняння шляхом запровадження параметра.Наступні завдання складніші і їх ви навчитеся вирішувати неоднорідні диференціальні рівняння третього порядку. Між однорідними і неоднорідними ДК у плані обчислень є певна відмінність, у цьому Ви переконаєтеся.

приклад 2. Знайти
Рішення: Маємо третій порядок. Тому його рішення слід шукати у вигляді суми двох - рішення однорідного та приватного розв'язання неоднорідного рівняння

Вирішимо спочатку

Як бачите, воно містить тільки другу і третю похідну функції і не містить самої функції. Такого сорту диф. рівняння вирішують методом введення параметра, що ву свою чергу знижує та спрощує знаходження рішення рівняння. Насправді це виглядає так: нехай друга похідна дорівнює певної функції , тоді третя похідна формально матиме запис

Розглянуте однорідне ДК 3 порядку перетворюється на рівняння першого порядку

звідки поділяючи змінні знаходимо інтеграл
x * dp-p * dx = 0;

Постійні в таких завданнях рекомендуємо нумерувати, оскільки рішення диференціального рівняння 3 порядку має 3 постійні, четвертого - 4 і далі за аналогією. Тепер повертаємося до введеного параметра: оскільки друга похідна має вигляд, то інтегруючи її один раз, ми маємо залежність для похідної функції.

та повторним інтегруванням знаходимо загальний вигляд однорідної функції

Часткове рішення рівняннязапишемо у вигляді змінної помноженої на логарифм. Це випливає з того, що права (неоднорідна) частина ДУ дорівнює -1/x і щоб отримати еквівалентний запис

слід рішення шукати у вигляді

Знайдемо коефіцієнт A для цього обчислимо похідні першого і другого порядків

Підставимо знайдені вирази у вихідне диференціальне рівняння та прирівняємо коефіцієнти при однакових ступенях x:

Стала дорівнює -1/2, а має вигляд

Загальне вирішення диференціального рівняннязаписуємо у вигляді суми знайдених

де C1, C2, C3 - довільні константи які можна уточнити із завдання Коші.

приклад 3. Знайти інтеграл ДК третього порядку
Рішення: Шукаємо загальний інтеграл неоднорідного ДК третього порядку як суми рішення однорідного і часткового неоднорідного рівняння . Спочатку для будь-якого типу рівнянь починаємо аналізувати однорідне диференціальне рівняння

Воно містить лише другу та третю похідні невідомої поки функції. Вводимо заміну змінних (параметр): позначимо за другу похідну

Тоді третя похідна дорівнює

Такі ж перетворення виконували у попередньому завданні. Це дозволяє звести диференціальне рівняння третього порядку до рівняння першого порядку виду

Інтегруванням знаходимо

Згадуємо, що відповідно до заміни змінних це лише друга похідна.

а щоб знайти рішення однорідного диференціального рівняння третього порядку, її потрібно двічі проінтегрувати

Виходячи з виду правої сторони (неоднорідної частини = x + 1), часткове рішення рівняння шукаємо у вигляді

Як знати, у якому вигляді шукати часткове рішення Вас повинні були навчити в теоретичній частині курсу диференціальних рівнянь. Якщо ні, то можемо тільки підказати, що за функцію вибирають такий вираз, щоб при підстановці в рівняння доданок, що містить старшу похідну або молодший був одного порядку (подібний) з неоднорідною частиною рівняння

Думаю, тепер Вам зрозуміліше, звідки береться вид приватного рішення. Знайдемо коефіцієнти A, B, для цього обчислюємо другу та третю похідну функції

та підставляємо у диференціальне рівняння. Після угруповання подібних доданків отримаємо лінійне рівняння

з якого при однакових ступенях змінної складаємо систему рівнянь

і знаходимо невідомі постійні. Після їхньої підстановки виражається залежністю

Загальне вирішення диференціального рівняннядорівнює сумі однорідного та часткового і має вигляд

де З 1, З 2, З 3 - довільні константи.

Приклад 4. Р ішити диференціальне рівняння
Рішення: Маємо рішення якого знаходимо через суму. Схема обчислень Вам відома, тож переходимо до розгляду однорідного диференціального рівняння

За стандартною методикою вводимо параметр
Вихідне диференціальне рівняння набуде вигляду, звідки розділивши змінні знаходимо

Згадуємо що параметр дорівнює другий похідний
Інтегруючи ДК отримаємо першу похідну функції

Повторним інтегруванням знаходимо загальний інтеграл однорідного диференціального рівняння

Часткове рішення рівняння шукаємо у вигляді, оскільки права частина дорівнює
Знайдемо коефіцієнт A - для цього підставимо y* у диференціальне рівняння та прирівняємо коефіцієнт при однакових ступенях змінної

Після підстановки та угруповання доданків отримаємо залежність

з якої стала дорівнює A = 8/3.
Таким чином, можемо записати часткове рішення ДК

Загальне вирішення диференціального рівнянняодно сумі знайдених

де З 1, З 2, З 3 - довільні константи. Якщо задана умова Коші, їх дуже легко можемо довизначити.

Вважаю, що матеріал стане Вам у нагоді при підготовці до практичних занять, модулів або контрольної роботи. Тут не розбирали завдання Коші, однак із попередніх уроків Ви загалом знаєте як це зробити.

Диференціальні рівняння вищих порядків

Основна термінологія диференціальних рівнянь вищих порядків (ДК ВП).

Рівняння виду , де n >1 (2)

називається диференціальним рівнянням вищого ладу, тобто. n-го порядку.

Область визначення ДК, n-го порядку є область.

У цьому курсі розглядатимуться ДК ВП наступних видів:

Завдання Коші ДУ ВП:

Нехай дано ДК ,
та початкові умови н/в: числа .

Потрібно знайти безперервну і n разів диференційовану функцію
:

1)
є рішенням цього ДК на , тобто.
;

2) задовольняє заданим, початковим умовам: .

Для ДК другого порядку геометрична інтерпретація розв'язання задачі полягає в наступному: шукається інтегральна крива, яка проходить через точку (x 0 , y 0 ) і що стосується прямої з кутовим коефіцієнтом k = y 0 ́ .

Теорема існування та єдиності(вирішення задачі Коші для ДУ (2)):

Якщо 1)
безперервна (за сукупністю (n+1) аргументів) у галузі
; 2)
безперервні (за сукупністю аргументів
) в , то ! розв'язання задачі Коші для ДК , що задовольняє заданим початковим умовам н/у: .

Область називається областю єдиності ДК.

Загальне рішення ДУ ВП (2) – n -параметричнафункція ,
, де
– довільні постійні, що задовольняють такі вимоги:

1)

- Рішення ДК (2) на ;

2) н/у з галузі єдиності!
:
задовольняє заданим початковим умовам.

Зауваження.

Співвідношення виду
, неявно визначальне загальне рішення ДК (2) не називається спільним інтеграломДК.

Приватне рішенняДК (2) виходить з його загального рішення при конкретному значенні .

Інтегрування ДК ВП.

Диференціальні рівняння вищих порядків, зазвичай, не вирішуються точними аналітичними методами.

Виділимо деякого виду ДУВП, що допускають зниження порядку та зводяться до квадратур. Зведемо в таблицю ці види рівнянь та методи зниження їх порядку.

ДК ВП, що допускають зниження порядку

		Спосіб зниження порядку
	ДУ неповне, у ньому відсутні . Наприклад,	І т.д. Після nКратного інтегрування вийде загальне рішення ДК.
	Рівняння неповне; в ньому явно не міститься потрібна функція і її перших похідних. Наприклад,	Підстановка знижує порядок рівняння на kодиниць.
	Неповне рівняння; в ньому явно не міститься аргументу шуканої функції. Наприклад,	Підстановка знижується порядок рівняння на одиницю.
	Рівняння в точних похідних може бути повним і неповним. Таке рівняння можна перетворити до виду (*) = (*), де права і ліва частини рівняння є точні похідні деяких функцій.	Інтегрування правої та лівої частини рівняння за аргументом знижує порядок рівняння на одиницю.
		Підстановка знижує порядок рівняння на одиницю.

Визначення однорідної функції:

Функція
називається однорідною по змінним
, якщо


у будь-якій точці області визначення функції
;

- Порядок однорідності.

Наприклад, – функція однорідна 2-го порядку щодо
, тобто. .

Приклад 1:

Знайти спільне рішення ДК
.

ДК 3-го порядку, неповне, не містить явно
. Послідовно інтегруємо рівняння тричі.

,

- Загальне рішення ДУ.

Приклад 2:

Вирішити завдання Коші для ДУ
при

.

ДК другого порядку, неповне, не містить явно .

Підстановка
та її похідна
знизить порядок ДК на одиницю.

. Здобули ДУ першого порядку - рівняння Бернуллі. Для вирішення цього рівняння застосуємо підстановку Бернуллі:

,

і підставимо на рівняння.

На цьому етапі вирішимо задачу Коші для рівняння
:
.

- Рівняння першого порядку з змінними, що розділяються.

В останню рівність підставляємо початкові умови:

Відповідь:
- Вирішення завдання Коші, що задовольняє початковим умовам.

Приклад 3:

Вирішити ДУ.

- ДК 2-го порядку, неповне, не містить явно змінну , і тому допускає зниження порядку на одиницю за допомогою підстановки або
.

Отримаємо рівняння
(Нехай
).

- ДК 1-го порядку з роздільними змінними. Розділимо їх.

- Загальний інтеграл ДК.

Приклад 4:

Вирішити ДУ.

Рівняння
є рівняння у точних похідних. Справді,
.

Проінтегруємо ліву та праву частини по , тобто.
або . Отримали ДК 1-го порядку з змінними, що розділяються, тобто.
- Загальний інтеграл ДК.

Приклад5:

Вирішити завдання Коші для
при .

ДК 4-го порядку, неповне, не містить явно
. Помітивши, що це рівняння в точних похідних отримаємо
або
,
. Підставимо до цього рівняння початкові умови:
. Отримаємо ДК
3-го порядку першого виду (див. таблицю). Проінтегруємо його три рази, і після кожного інтегрування в рівняння підставлятимемо початкові умови:

Відповідь:
- Розв'язання задачі Коші вихідного ДК.

Приклад 6:

Вирішити рівняння.

- ДК 2-го порядку, повне, містить однорідність щодо
. Підстановка
знизить порядок рівняння. Для цього наведемо рівняння до виду
розділивши обидві частини вихідного рівняння на . І продиференціюємо функцію p:

.

Підставимо
і
у ДК:
. Це рівняння 1-го порядку з змінними, що розділяються.

Враховуючи що
, отримаємо ДК або
- Загальне рішення вихідного ДУ.

Теорія лінійних диференціальних рівнянь вищого ладу.

Основна термінологія

- НЛДУ -го порядку, де - безперервні функції на деякому проміжку.

Називається інтервалом безперервності ДУ (3).

Введемо (умовний) диференціальний оператор-го порядку

При дії його на функцію отримаємо

Т. е. ліву частину лінійного ДУ-го порядку.

Внаслідок цього ЛДУ можна записати

Лінійні властивості оператора
:

1) - властивість адитивності

2)
- Число - властивість однорідності

Властивості легко перевіряються, тому що похідні цих функцій мають аналогічні властивості (кінцева сума похідних дорівнює сумі кінцевого числа похідних; постійний множник можна винести за знак похідної).

Т. о.
- Лінійний оператор.

Розглянемо питання існування та єдиності вирішення завдання Коші для ЛДУ
.

Дозволимо ЛДУ щодо
: ,
, - Інтервал безперервності.

Безперервна функція в області , похідні
безперервні в області

Отже, область єдиності , в якій завдання Коші ЛДУ (3) має єдине рішення і залежить тільки від вибору точки
, всі інші значення аргументів
функції
можна брати довільними.

Загальна теорія ОЛДУ.

- Інтервал безперервності.

Основні властивості рішень ОЛДУ:

1. Властивість адитивності

(
– рішення ОЛДУ (4) на )
(
- Рішення ОЛДУ (4) на ).

Доведення:

- Рішення ОЛДУ (4) на

- Рішення ОЛДУ (4) на

Тоді

2. Властивість однорідності

( – рішення ОЛДУ (4) на ) (
(– числове поле))

- Рішення ОЛДУ (4) на .

Доводиться аналогічно.

Властивості адитивності та однорідності називаються лінійними властивостями ОЛДУ (4).

Наслідок:

(
– рішення ОЛДУ (4) на )(

- Рішення ОЛДУ (4) на ).

3. ( – комплексно-значне рішення ОЛДУ (4) на )(
- Справді-значні рішення ОЛДУ (4) на ).

Доведення:

Якщо – рішення ОЛДУ (4) на , то за підстановці рівняння звертає їх у тотожність, тобто.
.

У силу лінійності оператора ліву частину останньої рівності можна записати так:
.

Це означає, що , т. Е. - дійсно-значні рішення ОЛДУ (4) на .

Наступні характеристики рішень ОЛДУ пов'язані з поняттям “ лінійна залежність”.

Визначення лінійної залежності кінцевої системи функцій

Система функцій називається лінійно залежною на , якщо знайдеться нетривіальнийнабір чисел
такий, що лінійна комбінація
функцій
із цими числами тотожно дорівнює нулю на , тобто.
.n, що неправильно. Теорема доведена. рівняннявищихпорядків(4 година...

Диференціальні рівняння другого порядку та вищих порядків.
Лінійні ДК другого порядку з постійними коефіцієнтами.
Приклади розв'язків.

Переходимо до розгляду диференціальних рівнянь другого ладу та диференціальних рівнянь вищих порядків. Якщо Ви погано уявляєте, що таке диференціальне рівняння (або взагалі не розумієте, що це таке), то рекомендую почати з уроку Диференціальні рівняння першого ладу. Приклади рішень. Багато принципів вирішення та базові поняття дифурів першого порядку автоматично поширюються і на диференціальні рівняння вищих порядків, тому дуже важливо спочатку розібратися з рівняннями першого порядку.

Багато читачів може бути упередження, що ДУ 2-го, 3-го та інших. порядків – щось дуже важке і недоступне освоєння. Це не так . Навчитися вирішувати дифури вищого ладу навряд чи складніше, ніж «звичайні» ДУ 1-го порядку. А місцями навіть простіше, оскільки в рішеннях активно використовується матеріал шкільної програми.

Найбільш популярні диференціальні рівняння другого порядку. У диференціальне рівняння другого порядку обов'язкововходить друга похідна та не входять

Слід зазначити, що деякі з малюків (і навіть усі відразу) можуть бути відсутніми в рівнянні, важливо, щоб удома був батько. Найпримітивніше диференціальне рівняння другого порядку виглядає так:

Диференціальні рівняння третього порядку в практичних завданнях зустрічаються значно рідше, за моїми суб'єктивними спостереженнями до Державної Думи вони набрали б приблизно 3-4% голосів.

У диференціальне рівняння третього порядку обов'язкововходить третя похідна та не входятьпохідні вищих порядків:

Найпростіше диференціальне рівняння третього порядку виглядає так: - тато вдома, всі діти на прогулянці.

Аналогічним чином можна визначити диференціальні рівняння 4-го, 5-го та більш високих порядків. У практичних завданнях такі ДУ проскакують вкрай рідко, проте я намагатимусь навести відповідні приклади.

Диференціальні рівняння вищих порядків, які пропонуються у практичних завданнях, можна поділити на дві основні групи.

1) Перша група – так звані рівняння, що допускають зниження порядку. Налітайте!

2) Друга група – лінійні рівняння вищих порядків із постійними коефіцієнтами. Які ми почнемо розглядати зараз.

Лінійні диференціальні рівняння другого порядку
з постійними коефіцієнтами

У теорії та практиці розрізняють два типи таких рівнянь – однорідне рівнянняі неоднорідне рівняння.

Однорідне ДК другого порядку з постійними коефіцієнтамимає такий вигляд:
, де і – константи (числа), а правій частині – суворонуль.

Як бачите, особливих складнощів з однорідними рівняннями немає, головне, правильно розв'язати квадратне рівняння.

Іноді зустрічаються нестандартні однорідні рівняння, наприклад, рівняння у вигляді , де за другий похідної є деяка константа , відмінна від одиниці (і, природно, відмінна від нуля). Алгоритм рішення анітрохи не змінюється, слід незворушно скласти характеристичне рівняння та знайти його коріння. Якщо характеристичне рівняння матиме два різні дійсні корені, наприклад: , то загальне рішення запишеться за звичайною схемою: .

У ряді випадків через помилки в умові можуть вийти «нехороші» коріння, щось на зразок . Що робити, відповідь доведеться записати так:

З «поганим» пов'язаним комплексним корінням на кшталт теж жодних проблем, загальне рішення:

Тобто, загальне рішення у будь-якому випадку існує. Тому що будь-яке квадратне рівняння має два корені.

У заключному параграфі, як і обіцяв, коротко розглянемо:

Лінійні однорідні рівняння вищих порядків

Все дуже схоже.

Лінійне однорідне рівняння третього порядку має такий вигляд:
де - Константи.
Для цього рівняння теж потрібно скласти характеристичне рівняння та знайти його коріння. Характеристичне рівняння, як багато хто здогадався, виглядає так:
, і воно в будь-якому випадкумає рівно трикореня.

Нехай, наприклад, все коріння дійсне і різне: , Тоді загальне рішення запишеться так:

Якщо один корінь дійсний, а два інших – пов'язані комплексні, то загальне рішення записуємо так:

Особливий випадок, коли всі три корені кратні (однакові). Розглянемо найпростіші однорідне ДК 3-го порядку з самотнім татком: . Характеристичне рівняння має три нульових кореня , що збіглися . Загальне рішення записуємо так:

Якщо характеристичне рівняння має, наприклад, три кратні корені, то загальне рішення, відповідно, таке:

Приклад 9

Вирішити однорідне диференціальне рівняння третього порядку

Рішення:Складемо та вирішимо характеристичне рівняння:

, - Отримано один дійсний корінь і два сполучених комплексних кореня.

Відповідь:загальне рішення

Аналогічно можна розглянути лінійне однорідне рівняння четвертого порядку з постійними коефіцієнтами: де - Константи.