Що таке власні вектори та власні значення. Власні значення (числа) та власні вектори.

Як вставити математичні формули на сайт?

Якщо потрібно колись додавати одну-дві математичні формули на веб-сторінку, то найпростіше зробити це, як описано в статті: математичні формули легко вставляються на сайт у вигляді картинок, які автоматично генерує Вольфрам Альфа. Окрім простоти, цей універсальний спосіб допоможе покращити видимість сайту у пошукових системах. Він працює давно (і, гадаю, працюватиме вічно), але морально вже застарів.

Якщо ви постійно використовуєте математичні формули на своєму сайті, я рекомендую вам використовувати MathJax - спеціальну бібліотеку JavaScript, яка відображає математичні позначення у веб-браузерах з використанням розмітки MathML, LaTeX або ASCIIMathML.

Є два способи, як почати використовувати MathJax: (1) за допомогою простого коду можна швидко підключити до вашого сайту скрипт MathJax, який автоматично підвантажуватиметься з віддаленого сервера (список серверів); (2) завантажити скрипт MathJax з віддаленого сервера на свій сервер та підключити до всіх сторінок свого сайту. Другий спосіб – більш складний та довгий – дозволить прискорити завантаження сторінок вашого сайту, і якщо батьківський сервер MathJax з якихось причин стане тимчасово недоступним, це ніяк не вплине на ваш власний сайт. Незважаючи на ці переваги, я вибрав перший спосіб, як більш простий, швидкий і не потребує технічних навичок. Наслідуйте мій приклад, і вже через 5 хвилин ви зможете використовувати всі можливості MathJax на своєму сайті.

Підключити скрипт бібліотеки MathJax з віддаленого сервера можна за допомогою двох варіантів коду, взятого на головному сайті MathJax або на сторінці документації:

Один з цих варіантів коду потрібно скопіювати і вставити в код вашої веб-сторінки, бажано між тегами або відразу після тега . За першим варіантом MathJax підвантажується швидше і менше гальмує сторінку. Натомість другий варіант автоматично відстежує та підвантажує свіжі версії MathJax. Якщо вставити перший код, його потрібно буде періодично оновлювати. Якщо вставити другий код, то сторінки завантажуватимуться повільніше, зате вам не потрібно буде постійно стежити за оновленнями MathJax.

Підключити MathJax найпростіше в Blogger або WordPress: в панелі керування сайтом додайте віджет, призначений для вставки стороннього коду JavaScript, скопіюйте в нього перший або другий варіант завантаженого коду, представленого вище, і розмістіть віджет ближче до початку шаблону (до речі, це зовсім не обов'язково , оскільки скрипт MathJax завантажується асинхронно). От і все. Тепер вивчіть синтаксис розмітки MathML, LaTeX та ASCIIMathML, і ви готові вставляти математичні формули на веб-сторінки свого сайту.

Будь-який фрактал будується за певним правилом, яке послідовно застосовується необмежену кількість разів. Щоразу називається ітерацією.

Ітеративний алгоритм побудови губки Менгера досить простий: вихідний куб зі стороною 1 ділиться площинами, що паралельні його граням, на 27 рівних кубів. З нього видаляються один центральний куб і 6 прилеглих до нього на грані кубів. Виходить безліч, що складається з 20 менших кубів, що залишилися. Поступаючи так само з кожним із цих кубів, отримаємо безліч, що складається вже з 400 менших кубів. Продовжуючи цей процес безкінечно, отримаємо губку Менгера.

СИСТЕМА ОДНОРОДНИХ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

Системою однорідних лінійних рівнянь називається система виду

Зрозуміло, що в цьому випадку , т.к. всі елементи одного зі стовпців у цих визначниках дорівнюють нулю.

Оскільки невідомі перебувають за формулами , то у разі, коли Δ ≠ 0, система має єдине нульове рішення x = y = z= 0. Проте, у багатьох завданнях цікаве питання, чи має однорідна система рішення відмінні від нульового.

Теорема. Для того щоб система лінійних однорідних рівнянь мала ненульове рішення, необхідно і достатньо, щоб Δ ≠ 0.

Отже, якщо визначник ≠ 0, то система має єдине рішення. Якщо ж Δ ≠ 0, то система лінійних однорідних рівнянь має безліч рішень.

приклади.

ВЛАСНІ ВЕКТОРИ ТА ВЛАСНІ ЗНАЧЕННЯ МАТРИЦІ

Нехай задана квадратна матриця , X- Деяка матриця-стовпець, висота якої збігається з порядком матриці A. .

У багатьох завданнях доводиться розглядати рівняння щодо X

де λ – деяке число. Зрозуміло, що з будь-яким λ це рівняння має нульове рішення .

Число λ, за якого це рівняння має ненульові рішення, називається власним значеннямматриці A, а Xпри такому λ називається власним векторомматриці A.

Знайдемо власний вектор матриці A. Оскільки E∙X = X, то матричне рівняння можна переписати у вигляді або . У розгорнутому вигляді це рівняння можна переписати як системи лінійних рівнянь. Дійсно .

І, отже,

Отже, отримали систему однорідних лінійних рівнянь визначення координат x 1, x 2, x 3вектора X. Щоб система мала ненульові рішення необхідно достатньо, щоб визначник системи дорівнював нулю, тобто.

Це рівняння 3-го ступеня щодо λ. Воно називається характеристичним рівняннямматриці Aі служить визначення власних значень λ.

Кожному власному значенню відповідає власний вектор Xкоординати якого визначаються із системи при відповідному значенні λ.

приклади.

Векторні Алгебри. ПОНЯТТЯ ВЕКТРОРА

При вивченні різних розділів фізики зустрічаються величини, що повністю визначаються завданням їх чисельних значень, наприклад, довжина, площа, маса, температура тощо. Такі величини називаються скалярними. Однак, крім них зустрічаються і величини, для визначення яких, крім чисельного значення, необхідно знати також їх напрям у просторі, наприклад, сила, що діє на тіло, швидкість та прискорення тіла при його русі в просторі, напруженість магнітного поля в даній точці простору та і т.д. Такі величини називають векторними.

Введемо суворе визначення.

Спрямованим відрізкомназвемо відрізок, щодо кінців якого відомо, який із них перший, а який другий.

Векторназивається спрямований відрізок, має певну довжину, тобто. це відрізок певної довжини, у якого одна з точок, що обмежують його, приймається за початок, а друга - за кінець. Якщо A- Початок вектора, B– його кінець, вектор позначається символом, крім того, вектор часто позначається однією літерою . На малюнку вектор позначається відрізком, яке напрямок стрілкою.

Модулемабо довжиноювектора називають довжину визначального його спрямованого відрізка. позначається | чи ||.

До векторів відноситимемо і так званий нульовий вектор, у якого початок і кінець збігаються. Він позначається. Нульовий вектор немає певного напрями і модуль його дорівнює нулю ||=0.

Вектори і називаються колінеарнимиякщо вони розташовані на одній прямій або на паралельних прямих. При цьому якщо вектори і однаково спрямовані, писатимемо, протилежно.

Вектори, розташовані на прямих, паралельних одній площині, називаються компланарними.

Два вектори і називаються рівнимиякщо вони колінеарні, однаково спрямовані і рівні по довжині. У цьому випадку пишуть.

З визначення рівності векторів випливає, що вектор можна переносити паралельно самому собі, поміщаючи його початок будь-яку точку простору.

Наприклад.

ЛІНІЙНІ ОПЕРАЦІЇ НАД ВЕКТОРАМИ

Умноження вектора на число.

Добутком вектора на число λ називається новий вектор такий, що:

Добуток вектора на число λ позначається.

Наприклад, є вектор, спрямований у той самий бік, як і вектор , і має довжину, удвічі меншу, ніж вектор .

Введена операція має наступні властивості :

Складання векторів.

Нехай і – два довільні вектори. Візьмемо довільну точку Oі побудуємо вектор. Після цього з точки Aвідкладемо вектор. Вектор, що з'єднує початок першого вектора з кінцем другого, називається сумоюцих векторів і позначається .

Сформульоване визначення складання векторів називають правилом паралелограма, так як ту саму суму векторів можна отримати в такий спосіб. Відкладемо від крапки Oвектори та . Збудуємо на цих векторах паралелограм ОАВС. Оскільки вектори , то вектор , що є діагоналлю паралелограма, проведеної з вершини O, буде очевидно сумою векторів.

Легко перевірити такі властивості складання векторів.

Різниця векторів.

Вектор, колінеарний даному вектору, рівний йому за довжиною і протилежно спрямований, називається протилежнимвектор для вектора і позначається . Протилежний вектор можна як результат множення вектора на число λ = –1: .

Власний вектор квадратної матриці - це вектор, який при множенні на задану матрицю дає в результаті колінеарний вектор. Простими словами, при множенні матриці на власний вектор останній залишається тим самим, але помноженим на деяке число.

Визначення

Власний вектор - це ненульовий вектор V, який при множенні на квадратну матрицю Mперетворюється на себе, збільшеного на деяке число λ. В записі алгебри це виглядає як:

M × V = ? × V,

де - власне число матриці M.

Розглянемо числовий приклад. Для зручності запису числа в матриці відокремлюватиме крапкою з комою. Нехай у нас є матриця:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Помножимо її на вектор-стовпець:

• V = -2;

При множенні матриці на вектор-стовпець ми отримуємо також вектор-стовпець. Суворою математичною мовою формула множення матриці 2 × 2 на вектор-стовпець буде виглядати так:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

М11 означає елемент матриці M, що стоїть у першому рядку та першому стовпці, а M22 - елемент, розташовані у другому рядку та другому стовпці. Для нашої матриці ці елементи дорівнюють M11 = 0, М12 = 4, М21 = 6, М22 10. Для вектора-стовпця ці значення дорівнюють V11 = –2, V21 = 1. Відповідно до цієї формули ми отримаємо наступний результат добутку квадратної матриці на вектор:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6×(-2) + 10×(1)=-2.

Для зручності запишемо вектор стовпець у рядок. Отже, ми помножили квадратну матрицю на вектор (-2; 1), у результаті отримали вектор (4; -2). Очевидно, що це той самий вектор, помножений на = -2. Лямбда у разі позначає власне число матриці.

Власний вектор матриці - колінеарний вектор, тобто об'єкт, який не змінює свого положення в просторі при множенні його на матрицю. Поняття колінеарності у векторній алгебрі подібне до терміну паралельності в геометрії. У геометричній інтерпретації колінеарні вектори - це паралельні спрямовані відрізки різної довжини. Ще з часів Евкліда ми знаємо, що в одній прямій існує нескінченна кількість паралельних їй прямих, тому логічно припустити, що кожна матриця має нескінченну кількість власних векторів.

З попереднього прикладу видно, що власними векторами може бути і (-8; 4), і (16; -8), і (32, -16). Все це колінеарні вектори, що відповідають власному числу = -2. При множенні вихідної матриці на ці вектори ми так само буде отримувати в результаті вектор, який відрізняється від вихідного в 2 рази. Саме тому під час вирішення завдань на пошук власного вектора потрібно знайти лише лінійно незалежні векторні об'єкти. Найчастіше для матриці розміром n × n існує n кількість власних векторів. Наш калькулятор заточений під аналіз квадратних матриць другого порядку, тому практично завжди в результаті буде знайдено два власні вектори, за винятком випадків, коли вони збігаються.

У прикладі вище ми наперед знали свій вектор вихідної матриці і наочно визначили число лямбда. Однак на практиці все відбувається навпаки: спочатку знаходиться власні числа і тільки потім власні вектори.

Алгоритм рішення

Давайте знову розглянемо вихідну матрицю M і спробуємо знайти обидва її власні вектори. Отже, матриця виглядає як:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Для початку нам необхідно визначити власне число, для чого потрібно обчислити детермінант наступної матриці:

• (0 − λ); 4;
• 6; (10 − λ).

Дана матриця отримана шляхом віднімання невідомої з елементів на головній діагоналі. Детермінант визначається за стандартною формулою:

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Так як наш вектор має бути не нульовим, отримане рівняння приймаємо як лінійно залежне та прирівнюємо наш детермінант detA до нуля.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Розкриємо дужки та отримаємо характеристичне рівняння матриці:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

Це стандартне квадратне рівняння, яке потрібно вирішити через дискримінант.

D = b 2 − 4ac = (-10) × 2 − 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Корінь із дискримінанта дорівнює sqrt(D) = 14, отже, λ1 = -2, λ2 = 12. Тепер для кожного значення лямбда потрібно знайти власний вектор. Виразимо коефіцієнти системи для = -2.

• М − λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

У цій формулі E - це поодинока матриця. На підставі отриманої матриці складемо систему лінійних рівнянь:

2x + 4y = 6x + 12y,

де x та y - елементи власного вектора.

Зберемо всі ікси зліва, а всі ігреки праворуч. Вочевидь, що - 4x = 8y. Розділимо вираз на - 4 і отримаємо x = -2y. Тепер ми можемо визначити перший власний вектор матриці, прийнявши будь-які значення невідомих (згадуємо нескінченність лінійно залежних власних векторів). Приймемо y = 1, тоді x = -2. Отже, перший власний вектор має вигляд V1 = (–2; 1). Поверніться до початку статті. Саме цей векторний об'єкт ми множили матрицю для демонстрації поняття власного вектора.

Тепер знайдемо власний вектор для λ = 12.

• М - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Складемо таку саму систему лінійних рівнянь;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3x=y.

Тепер приймемо x = 1, отже, y = 3. Таким чином, другий власний вектор виглядає як V2 = (1; 3). При множенні вихідної матриці на даний вектор, у результаті завжди буде такий самий вектор, помножений на 12. На цьому алгоритм рішення закінчується. Тепер ви знаєте як вручну визначити власний вектор матриці.

• визначник;
• слід, тобто суму елементів головної діагоналі;
• ранг, тобто максимальна кількість лінійно незалежних рядків/стовпців.

Програма діє за наведеним вище алгоритмом, максимально скорочуючи процес рішення. Важливо зазначити, що у програмі лямбда позначена літерою "c". Давайте розглянемо чисельний приклад.

Приклад роботи програми

Спробуємо визначити власні вектори для наступної матриці:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

Введемо ці значення в комірки калькулятора і отримаємо відповідь у такому вигляді:

• Ранг матриці: 2;
• Детермінант матриці: 18;
• Слід матриці: 19;
• Розрахунок власного вектора: c 2 - 19,00 c + 18,00 (характеристичне рівняння);
• Розрахунок власного вектора: 18 (перше значення лямбда);
• Розрахунок власного вектора: 1 (друге значення лямбда);
• Система рівнянь вектора 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 - 4y1;
• Система рівнянь вектора 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Власний вектор 1: (1; 1);
• Власний вектор 2: (-3,25; 1).

Таким чином, ми отримали два лінійно незалежні власні вектори.

Висновок

Лінійна алгебра та аналітична геометрія – стандартні предмети для будь-якого першокурсника технічної спеціальності. Велика кількість векторів і матриць жахає, а в таких громіздких обчисленнях легко зробити помилку. Наша програма дозволить студентам перевірити свої викладки або автоматично розв'яже завдання на пошук власного вектора. У нашому каталозі є інші калькулятори з лінійної алгебри, використовуйте їх у своєму навчанні або роботі.

Визначення 9.3.Вектор хназивається власним вектором матриці Аякщо знайдеться таке число λ, що виконується рівність: Ах = λх,тобто результатом застосування до хлінійного перетворення, що задається матрицею А, є множення цього вектора на число λ . Саме число λ називається власним числом матриці А.

Підставивши у формули (9.3) x` j = λx j ,отримаємо систему рівнянь визначення координат власного вектора:

. (9.5)

Ця лінійна однорідна система матиме нетривіальне рішення лише у разі, якщо її головний визначник дорівнює 0 (правило Крамера). Записавши цю умову у вигляді:

отримаємо рівняння для визначення власних чисел λ , що називається характеристичним рівнянням . Коротко його можна уявити так:

| A - λE | = 0, (9.6)

оскільки в його лівій частині стоїть визначник матриці А-λЕ. Багаточлен щодо λ | A - λE| називається характеристичним багаточленом матриці А.

Властивості характеристичного багаточлена:

1) Характеристичний многочлен лінійного перетворення залежить від вибору базису. Доведення. (див. (9.4)), але отже, . Таким чином, не залежить від вибору базису. Отже, та | A-λE| не змінюється під час переходу до нового базису.

2) Якщо матриця Алінійного перетворення є симетричною (тобто. а ij = a ji), то все коріння характеристичного рівняння (9.6) – дійсні числа.

Властивості власних чисел та власних векторів:

1) Якщо вибрати базис із власних векторів х 1, х 2, х 3, що відповідають власним значенням λ 1 , λ 2 , λ 3матриці А, то цьому базисі лінійне перетворення А має матрицю діагонального виду:

(9.7) Доказ цієї якості випливає з визначення власних векторів.

2) Якщо власні значення перетворення Арізні, відповідні їм власні вектори лінійно незалежні.

3) Якщо характеристичний багаточлен матриці Амає три різні корені, то в деякому базисі матриця Амає діагональний вигляд.

Знайдемо власні числа та власні вектори матриці Складемо характеристичне рівняння: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Знайдемо координати власних векторів, які відповідають кожному знайденому значенню λ. З (9.5) випливає, що якщо х (1) ={x 1 x 2 x 3) – власний вектор, відповідний λ 1 =-2, то

- Спільна, але невизначена система. Її рішення можна записати у вигляді х (1) ={a,0,-a), де а - будь-яке число. Зокрема, якщо вимагати, щоб | x (1) |=1, х (1) =

Підставивши систему (9.5) λ 2 =3, отримаємо систему визначення координат другого власного вектора - x (2) ={y 1 ,y 2 ,y 3}:

, звідки х (2) ={b,-b,b) або, за умови | x (2) |=1, x (2) =

Для λ 3 = 6 знайдемо власний вектор x (3) ={z 1 , z 2 , z 3}:

, x (3) ={c,2c,c) або в нормованому варіанті

х (3) = Можна помітити, що х (1) х (2) = ab – ab= 0, x (1) x (3) = ac – ac= 0, x (2) x (3) = bc- 2bc + bc= 0. Таким чином, власні вектори цієї матриці попарно ортогональні.

лекція 10.

Квадратичні форми та їх зв'язок із симетричними матрицями. Властивості власних векторів та власних чисел симетричної матриці. Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду.

Визначення 10.1.Квадратичною формою дійсних змінних х 1, х 2, ..., х nназивається многочлен другого ступеня щодо цих змінних, що не містить вільного члена та членів першого ступеня.

Приклади квадратичних форм:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Нагадаємо дане в минулій лекції визначення симетричної матриці:

Визначення 10.2.Квадратна матриця називається симетричною, якщо, тобто якщо рівні елементи матриці, симетричні щодо головної діагоналі.

Властивості власних чисел та власних векторів симетричної матриці:

1) Усі власні числа симетричної матриці дійсні.

Доказ (для n = 2).

Нехай матриця Амає вигляд: . Складемо характеристичне рівняння:

(10.2) Знайдемо дискримінант:

Отже, рівняння має лише дійсне коріння.

2) Власні вектори симетричної матриці ортогональні.

Доказ (для n= 2).

Координати власних векторів повинні задовольняти рівнянням.