Загальне розв'язання однорідного рівняння. Диференціальні рівняння другого порядку та вищих порядків
Тут ми застосуємо метод варіації постійних Лагранж для вирішення лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь другого порядку. Детальний опис цього методу для вирішення рівнянь довільного порядку викладено на сторінці
Вирішення лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь вищих порядків методом Лагранжа >>>. Приклад 1 Вирішити диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами методом варіації постійних Лагранжа:
(1)
Рішення Спочатку ми вирішуємо однорідне диференціальне рівняння:
(2)
Це рівняння другого порядку. Вирішуємо квадратне рівняння:
.
Коріння кратне: . Фундаментальна система розв'язків рівняння (2) має вигляд:
(3)
.
Звідси одержуємо загальне рішення однорідного рівняння (2):
(4)
.
Варіювати постійні C 1
та C 2
. Тобто замінимо на (4) постійні і на функції:
.
Шукаємо рішення вихідного рівняння (1) у вигляді:
(5)
.
Знаходимо похідну:
.
Зв'яжемо функції та рівнянням:
(6)
.
Тоді
.
Знаходимо другу похідну:
.
Підставляємо у вихідне рівняння (1):
(1)
;
.
Оскільки і задовольняють однорідне рівняння (2), то сума членів у кожному стовпці останніх трьох рядків дає нуль і попереднє рівняння набуває вигляду:
(7)
.
Тут. Разом з рівнянням (6) ми отримуємо систему рівнянь для визначення функцій та :
(6)
:
(7)
.
Розв'язання системи рівнянь Вирішуємо систему рівнянь (6-7). Випишемо вирази для функцій і:
.
Знаходимо їх похідні:
;
.
Вирішуємо систему рівнянь (6-7) методом Крамера. Обчислюємо визначник матриці системи:
.
За формулами Крамера знаходимо:
;
.
Отже, ми знайшли похідні функції:
;
.
Інтегруємо (див. Методи інтегрування коріння). Робимо підстановку
;
;
;
.
.
.
;
.
Відповідь Приклад 2 Вирішити диференціальне рівняння методом варіації постійних Лагранжа:
(8)
Рішення Крок 1. Вирішення однорідного рівняння Вирішуємо однорідне диференціальне рівняння: (9)
Шукаємо рішення у вигляді. Складаємо характеристичне рівняння:
Це рівняння має комплексне коріння:
.
Фундаментальна система рішень, що відповідає цим корінням, має вигляд:
(10)
.
Загальне рішення однорідного рівняння (9):
(11)
.
Крок 2. Варіація постійних – заміна постійних функціями Тепер варіюємо постійні C 1
та C 2
. Тобто замінимо на (11) постійні на функції:
.
Шукаємо рішення вихідного рівняння (8) у вигляді:
(12)
.
Далі хід рішення виходить таким самим, як у прикладі 1. Ми приходимо до наступної системи рівнянь для визначення функцій і :
(13)
:
(14)
.
Тут. Розв'язання системи рівнянь Вирішуємо цю систему. Випишемо вирази функцій і:
.
З таблиці похідних знаходимо:
;
.
Вирішуємо систему рівнянь (13-14) методом Крамера. Визначник матриці системи:
.
За формулами Крамера знаходимо:
;
.
.
Оскільки знак модуля під знаком логарифму можна опустити. Помножимо чисельник і знаменник на :
.
Тоді
.
Загальне рішення вихідного рівняння:
.
Диференціальні рівняння другого порядку та вищих порядків.
Лінійні ДК другого порядку з постійними коефіцієнтами.
Приклади розв'язків.Переходимо до розгляду диференціальних рівнянь другого ладу та диференціальних рівнянь вищих порядків. Якщо Ви погано уявляєте, що таке диференціальне рівняння (або взагалі не розумієте, що це таке), то рекомендую почати з уроку Диференціальні рівняння першого ладу. Приклади рішень. Багато принципів вирішення та базові поняття дифурів першого порядку автоматично поширюються і на диференціальні рівняння вищих порядків, тому дуже важливо спочатку розібратися з рівняннями першого порядку. Багато читачів може бути упередження, що ДУ 2-го, 3-го та інших. порядків – щось дуже важке і недоступне освоєння. Це не так . Навчитися вирішувати дифури вищого ладу навряд чи складніше, ніж «звичайні» ДУ 1-го порядку. А місцями навіть простіше, оскільки в рішеннях активно використовується матеріал шкільної програми.
Найбільш популярні диференціальні рівняння другого порядку. У диференціальне рівняння другого порядку обов'язкововходить друга похідна та не входять
Слід зазначити, що деякі з малюків (і навіть усі відразу) можуть бути відсутніми в рівнянні, важливо, щоб удома був батько. Найпримітивніше диференціальне рівняння другого порядку виглядає так:
Диференціальні рівняння третього порядку в практичних завданнях зустрічаються значно рідше, за моїми суб'єктивними спостереженнями до Державної Думи вони набрали б приблизно 3-4% голосів.
У диференціальне рівняння третього порядку обов'язкововходить третя похідна та не входятьпохідні вищих порядків:
Найпростіше диференціальне рівняння третього порядку виглядає так: - тато вдома, всі діти на прогулянці.
Аналогічним чином можна визначити диференціальні рівняння 4-го, 5-го та більш високих порядків. У практичних завданнях такі ДУ проскакують вкрай рідко, проте я намагатимусь навести відповідні приклади.
Диференціальні рівняння вищих порядків, які пропонуються у практичних завданнях, можна поділити на дві основні групи.
1) Перша група – так звані рівняння, що допускають зниження порядку. Налітайте!
2) Друга група – лінійні рівняння вищих порядків із постійними коефіцієнтами. Які ми почнемо розглядати зараз.
Лінійні диференціальні рівняння другого порядку
з постійними коефіцієнтами
У теорії та практиці розрізняють два типи таких рівнянь – однорідне рівнянняі неоднорідне рівняння.
Однорідне ДК другого порядку з постійними коефіцієнтамимає такий вигляд:
 , де і – константи (числа), а правій частині – суворонуль.
Як бачите, особливих труднощів із однорідними рівняннями немає, головне, правильно розв'язати квадратне рівняння.
Іноді зустрічаються нестандартні однорідні рівняння, наприклад, рівняння у вигляді  , де за другий похідної є деяка константа , відмінна від одиниці (і, природно, відмінна від нуля). Алгоритм рішення нітрохи не змінюється, слід незворушно скласти характеристичне рівняння та знайти його коріння. Якщо характеристичне рівняння  матиме два різні дійсні корені, наприклад:  , то загальне рішення запишеться за звичайною схемою:  .
У ряді випадків через помилки в умові можуть вийти «нехороші» коріння, щось на зразок  . Що робити, відповідь доведеться записати так:
З «поганим» пов'язаним комплексним корінням на кшталт  теж жодних проблем, загальне рішення:
Тобто, загальне рішення у будь-якому випадку існує. Тому що будь-яке квадратне рівняння має два корені.
У заключному параграфі, як і обіцяв, коротко розглянемо:
Лінійні однорідні рівняння вищих порядків
Все дуже схоже.
Лінійне однорідне рівняння третього порядку має такий вигляд:
де - Константи.
Для цього рівняння теж потрібно скласти характеристичне рівняння та знайти його коріння. Характеристичне рівняння, як багато хто здогадався, виглядає так:
 , і воно в будь-якому випадкумає рівно трикореня.
Нехай, наприклад, все коріння дійсне і різне:  , Тоді загальне рішення запишеться так:
Якщо один корінь дійсний, а два інших – пов'язані комплексні, то загальне рішення записуємо так:
Особливий випадок, коли всі три корені кратні (однакові). Розглянемо найпростіші однорідне ДК 3-го порядку з самотнім татком: . Характеристичне рівняння має три нульових кореня , що збіглися . Загальне рішення записуємо так:
Якщо характеристичне рівняння  має, наприклад, три кратні корені, то загальне рішення, відповідно, таке:
Приклад 9
Розв'язати однорідне диференціальне рівняння третього порядку
Рішення:Складемо та вирішимо характеристичне рівняння:
, - Отримано один дійсний корінь і два сполучених комплексних кореня.
Відповідь:загальне рішення
Аналогічно можна розглянути лінійне однорідне рівняння четвертого порядку з постійними коефіцієнтами: де - Константи. |
Установа освіти «Білоруська державна
сільськогосподарська академія»
Кафедра вищої математики
Методичні вказівки
з вивчення теми «Лінійні диференціальні рівняння другого порядку» студентами бухгалтерського факультету заочної форми здобуття освіти (НІСПО)
Гірки, 2013
Лінійні диференціальні рівняння
другого порядку з постійнимикоефіцієнтами
Лінійні однорідні диференціальні рівняння
Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами
називається рівняння виду
тобто. рівняння, яке містить потрібну функцію та її похідні тільки в першому ступені і не містить їх творів. У цьому рівнянні 
і
- Деякі числа, а функція
задана на деякому інтервалі
.
Якщо
на інтервалі
, то рівняння (1) набуде вигляду
,
(2)
і називається лінійним однорідним
. Інакше рівняння (1) називається лінійним неоднорідним
.
Розглянемо комплексну функцію
,
(3)
де
і
- дійсні функції. Якщо функція (3) є комплексним рішенням рівняння (2), то і дійсна частина
, і уявна частина
рішення
окремо є рішеннями цього однорідного рівняння. Таким чином, будь-яке комплексне рішення рівняння (2) породжує два дійсні рішення цього рівняння.
Рішення однорідного лінійного рівняння мають властивості:
Якщо 
є рішення рівняння (2), то й функція
, де З– довільна стала, також буде рішенням рівняння (2);
Якщо 
і 
є рішення рівняння (2), то й функція
також буде вирішенням рівняння (2);
Якщо 
і 
є рішення рівняння (2), то їхня лінійна комбінація
також буде рішенням рівняння (2), де 
і
- Довільні постійні.
Функції
і
називаються лінійно залежними
на інтервалі
якщо існують такі числа 
і
, Не рівні нулю одночасно, що на цьому інтервалі виконується рівність
Якщо рівність (4) має місце лише тоді, коли
і
, то функції
і
називаються лінійно незалежними
на інтервалі
.
Приклад 1
. Функції
і
лінійно залежні, оскільки
на всій числовій прямій. У цьому прикладі
.
Приклад 2
. Функції
і
лінійно незалежні на будь-якому інтервалі, тому що рівність
можливо лише у випадку, коли і
, і
.
Побудова загального рішення лінійного однорідного
рівняння
Для того, щоб знайти загальне рішення рівняння (2), потрібно знайти два його лінійно незалежні рішення 
і 
. Лінійна комбінація цих рішень
, де 
і
- Довільні постійні, і дасть загальне рішення лінійного однорідного рівняння.
Лінійно незалежні рішення рівняння (2) шукатимемо у вигляді
,
(5)
де 
- Деяке число. Тоді
,
. Підставимо ці вирази до рівняння (2):
або
.
Так як
, то
. Таким чином, функція
буде рішенням рівняння (2), якщо 
буде задовольняти рівняння
.
(6)
Рівняння (6) називається характеристичним рівнянням
для рівняння (2). Це рівняння є квадратним рівнянням алгебри.
Нехай 
і 
є коріння цього рівняння. Вони можуть бути або дійсними та різними, або комплексними, або дійсними та рівними. Розглянемо ці випадки.
Нехай коріння 
і 
характеристичного рівняння дійсні та різні. Тоді рішеннями рівняння (2) будуть функції
і
. Ці рішення лінійно незалежні, оскільки рівність
може виконуватися лише тоді, коли і
, і
. Тому загальне рішення рівняння (2) має вигляд
,
де 
і
- Довільні постійні.
Приклад 3
.
Рішення
. Характеристичним рівнянням для цього диференціального буде
. Розв'язавши це квадратне рівняння, знайдемо його коріння
і
. Функції
і
є рішеннями диференціального рівняння. Загальне рішення цього рівняння має вигляд
.
Комплексним числом 
називається вираз виду
, де 
і 
- дійсні числа, а
називається уявною одиницею. Якщо
, то число
називається чисто уявним. Якщо ж
, то число
ототожнюється з дійсним числом 
.
Число 
називається дійсною частиною комплексного числа, а 
- уявною частиною. Якщо два комплексні числа відрізняються один від одного тільки знаком уявної частини, то вони зазиваються сполученими:
,
.
Приклад 4
. Розв'язати квадратне рівняння
.
Рішення
. Дискримінант рівняння
. Тоді. Аналогічно,
. Таким чином, дане квадратне рівняння має пов'язане комплексне коріння.
Нехай коріння характеристичного рівняння комплексне, тобто.
,
, де
. Рішення рівняння (2) можна записати у вигляді
,
або
,
. За формулами Ейлера
,
.
Тоді,. Як відомо, якщо комплексна функція є рішенням лінійного однорідного рівняння, рішеннями цього рівняння є і дійсна, і уявна частини цієї функції. Таким чином, рішеннями рівняння (2) будуть функції
і
. Оскільки рівність
може виконуватися лише в тому випадку, якщо
і
, то ці рішення лінійно незалежні. Отже, загальне рішення рівняння (2) має вигляд
де 
і
- Довільні постійні.
Приклад 5
. Знайти загальне рішення диференціального рівняння
.
Рішення
. Рівняння
є характеристичним для цього диференціального. Вирішимо його і отримаємо комплексне коріння
,
. Функції
і
є лінійно незалежними рішеннями диференціального рівняння. Загальне рішення цього рівняння має вигляд.
Нехай коріння характеристичного рівняння дійсне і рівне, тобто.
. Тоді рішеннями рівняння (2) є функції
і
. Ці рішення лінійно незалежні, оскільки вираз може бути тотожно рівним нулю лише тоді, коли
і
. Отже, загальне рішення рівняння (2) має вигляд
.
Приклад 6
. Знайти загальне рішення диференціального рівняння
.
Рішення
. Характеристичне рівняння
має рівне коріння
. У цьому випадку лінійно-незалежними рішеннями диференціального рівняння є функції
і
. Загальне рішення має вигляд
.
Неоднорідні лінійні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами
та спеціальною правою частиною
Загальне рішення лінійного неоднорідного рівняння (1) дорівнює сумі загального рішення
відповідного однорідного рівняння та будь-якого приватного рішення
неоднорідного рівняння:
.
У деяких випадках окреме рішення неоднорідного рівняння можна знайти досить просто на вигляд правої частини
рівняння (1). Розглянемо випадки коли це можливо.
тобто. права частина неоднорідного рівняння є багаточленом ступеня m. Якщо
не є коренем характеристичного рівняння, то приватне рішення неоднорідного рівняння слід шукати у вигляді багаточлена ступеня m, тобто.
Коефіцієнти
визначаються у процесі перебування приватного рішення.
Якщо ж
є коренем характеристичного рівняння, то окреме рішення неоднорідного рівняння слід шукати у вигляді
Приклад 7
. Знайти загальне рішення диференціального рівняння
.
Рішення
. Відповідним однорідним рівнянням для цього рівняння є
. Його характеристичне рівняння
має коріння
і
. Загальне рішення однорідного рівняння має вигляд
.
Так як
не є коренем характеристичного рівняння, то приватне рішення неоднорідного рівняння шукатимемо у вигляді функції
. Знайдемо похідні цієї функції
,
і підставимо їх на дане рівняння:
або . Прирівняємо коефіцієнти при 
та вільні члени:
Вирішивши цю систему, отримаємо
,
. Тоді окреме рішення неоднорідного рівняння має вигляд
, а загальним рішенням даного неоднорідного рівняння буде сума загального рішення відповідного однорідного рівняння та окремого рішення неоднорідного:
.
Нехай неоднорідне рівняння має вигляд
Якщо
не є коренем характеристичного рівняння, то окреме рішення неоднорідного рівняння слід шукати у вигляді. Якщо ж
є корінь характеристичного рівняння кратності k
(k=1 або k=2), то цьому випадку приватне рішення неоднорідного рівняння матиме вид .
Приклад 8
. Знайти загальне рішення диференціального рівняння
.
Рішення
. Характеристичне рівняння для відповідного однорідного рівняння має вигляд
. Його коріння
,
. І тут загальне рішення відповідного однорідного рівняння записується як
.
Так як число 3 не є коренем характеристичного рівняння, то окреме рішення неоднорідного рівняння слід шукати у вигляді
. Знайдемо похідні першого та другого порядків:,
Підставимо в диференціальне рівняння:
+
+,
+,.
Прирівняємо коефіцієнти при 
та вільні члени:
Звідси
,
. Тоді окреме рішення даного рівняння має вигляд
, а загальне рішення
.
Метод Лагранжа варіації довільних постійних
p align="justify"> Метод варіації довільних постійних можна застосовувати до будь-якого неоднорідного лінійного рівняння з постійними коефіцієнтами незалежно від виду правої частини. Цей метод дозволяє завжди знайти загальне рішення неоднорідного рівняння, якщо відомо загальне рішення відповідного однорідного рівняння.
Нехай
і
є лінійно незалежними рішеннями рівняння (2). Тоді загальним рішенням цього рівняння є
, де 
і
- Довільні постійні. Суть методу варіації довільних постійних у тому, що загальне рішення рівняння (1) шукається як
де
і
- нові невідомі функції, які потрібно знайти. Оскільки невідомих функцій дві, то їх знаходження необхідні два рівняння, містять ці функції. Ці два рівняння складають систему
яка є лінійною алгебраїчною системою рівнянь щодо
і
. Вирішуючи цю систему, знайдемо
і
. Інтегруючи обидві частини отриманих рівностей, знайдемо
і
.
Підставивши ці вирази (9), отримаємо загальне рішення неоднорідного лінійного рівняння (1).
Приклад 9
. Знайти загальне рішення диференціального рівняння
.
Рішення.
Характеристичним рівнянням для однорідного рівняння, що відповідає даному диференціальному рівнянню, є
. Коріння його комплексне
,
. Так як
і
, то
,
, А загальне рішення однорідного рівняння має вигляд. Тоді загальне рішення даного неоднорідного рівняння шукатимемо у вигляді, де
і
- Невідомі функції.
Система рівнянь для знаходження цих невідомих функцій має вигляд
Вирішивши цю систему, знайдемо
,
. Тоді
,
. Підставимо отримані вирази у формулу загального рішення:
Це і є загальне рішення даного диференціального рівняння, отримане методом Лагранжа.
Запитання для самоконтролю знань
Яке диференціальне рівняння називається лінійним диференціальним рівнянням другого порядку із постійними коефіцієнтами?
Яке лінійне диференціальне рівняння називається однорідним, яке - неоднорідним?
Якими властивостями має лінійне однорідне рівняння?
Яке рівняння називається характерним для лінійного диференціального рівняння і як воно виходить?
У якому вигляді записується загальне рішення лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами у разі різних коренів характеристичного рівняння?
У якому вигляді записується загальне рішення лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами у разі рівного коріння характеристичного рівняння?
У якому вигляді записується загальне рішення лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами у разі комплексного коріння характеристичного рівняння?
Як записується загальне рішення лінійного неоднорідного рівняння?
У якому вигляді шукається приватне рішення лінійного неоднорідного рівняння, якщо коріння характеристичного рівняння різне і не дорівнює нулю, а права частина рівняння є багаточлен ступеня m?
У якому вигляді шукається окреме рішення лінійного неоднорідного рівняння, якщо серед коренів характеристичного рівняння є один нуль, а права частина рівняння є багаточлен ступеня m?
У чому полягає суть методу Лагранжа?
Диференціальні рівняння 2-го порядку
§1. Методи зниження порядку рівняння.
Диференціальне рівняння 2-го порядку має вигляд:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( або Диференціал" диференціального рівняння 2-го порядку). Завдання Коші для диференціального рівняння 2-го порядку (1..gif" width="85" height= "25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.
Нехай диференціальне рівняння 2-го порядку має вигляд: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.
Таким чином, рівняння 2-го порядку width="34" width="158" ="25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. Вирішуючи його, отримуємо загальний інтеграл вихідного диференціального рівняння, що залежить від двох довільних постійних: https://pandia.ru/text/78/516/images/image020_23.gif "width="95". gif" width="76" height="25 src=">.
Рішення.
Так як у вихідному рівнянні в явному вигляді відсутня аргумент https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" src=">..gif" width="35" height="25 src=">.gif" width="82" height="38 src="> ..gif" width="99" height="38 src=">.
Так як при https://pandia.ru/text/78/516/images/image029_18.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="42" height="38 src= ".gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="68" height="35 src=">..gif" height="25 src=">.
Нехай диференційне рівняння 2-го порядку має вигляд: https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" 25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="33" height="25 src=">..gif" width="225" height="25 src=">..gif" width="150" height="25 src=">.
приклад 2.Знайти загальне рішення рівняння: https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="107" height="25 src=">..gif" width="100" height="27 src=">.gif" width="130" height="37 src=">.gif" width="34" height="25 src =">.gif" width="183" height="36 src=">.
3. Порядок ступеня знижується, якщо вдається перетворити його до такого виду, що обидві частини рівняння стають повними похідними по width="92" height=" 25 src=">..gif" width="98" height="48 src=">.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="282" height="25 src=">, (2.1)
де https://pandia.ru/text/78/516/images/image060_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> – задані функції, безперервні у тому проміжку, у якому шукається рішення. Припускаючи, що a0(x) ≠ 0, поділимо (2..gif" width="215" height="25 src="> (2.2)
Приймемо без доказу, що (2..gif" width="82" height="25 src=">.gif" width="38" height="25 src=">.gif" width="65" height= "25 src=">, то рівняння (2.2) називається однорідним, і рівняння (2.2) називається неоднорідним інакше.
Розглянемо властивості рішень човна 2-го порядку.
Визначення.Лінійною комбінацією функцій https://pandia.ru/text/78/516/images/image071_10.gif" width="93" width="42" height="25 src= ".gif" width="195" height="25 src=">, (2.3)
то їх лінійна комбінація в (2.3) і покажемо, що в результаті виходить тотожність:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image078_10.gif" width="368" height="25 src=">.
Оскільки функції є рішеннями рівняння (2.3), то кожна з дужок в останньому рівнянні тотожна дорівнює нулю, що потрібно було довести.
Наслідок 1.З доведеної теореми випливає при вирішенні рівняння (2..gif" width=" 97" height="25 src=">.gif" width="165" height="25 src="> називається лінійно незалежною на деякому проміжку, якщо жодна з цих функцій не представляється у вигляді лінійної комбінації всіх інших.
У разі двох функцій https://pandia.ru/text/78/516/images/image085_11.gif "width="119" height="25 src=">, тобто.gif" width="77" height="47 src=">.gif" width="187" height="43 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. Таким чином, визначник Вронського для двох лінійно незалежних функцій не може бути тотожно нульовим.
Нехай https://pandia.ru/text/78/516/images/image091_10.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> .gif" width="605" height="50">..gif" width="18" height="25 src="> задовольняють рівняння (2..gif" width="42" height="25 src= "> - рішення рівняння (3.1)..gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width="162 height="42 src=">.gif" width="51" height="25 src="> виходить тотожність. Таким чином,
https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, в якій визначник для лінійно незалежних рішень рівняння (2..gif" width= "42" обидва множники в правій частині формули (3.2) відмінні від нуля.
§4. Структура загального рішення човна 2-го порядку.
Теорема.Якщо https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> - лінійно незалежні рішення рівняння (2..gif" width="19" є рішення рівняння (2.3), випливає з теореми про властивості рішень човна 2-го порядку..gif" width="85 " height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">
Постійні з цієї системи лінійних рівнянь алгебри визначаються однозначно, так як визначник цієї системи https: . //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">. Згідно з попереднім параграфом загальне рішення човна 2-го порядку легко визначається, якщо відомі два лінійно незалежні приватні рішення цього рівняння. Простий метод знаходження приватних рішень рівняння з постійними коефіцієнтами запропонував Л. Ейлер.
https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> буде рішенням рівняння (5.1) тільки при тих значеннях k, які є корінням характеристичного рівняння (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width="205" height="47 src ="> і загальне рішення (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=">..gif" width="83 Перевіримо, що ця функція задовольняє рівнянню (5.1).gif" width="190" height="26 src=">.
https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, т. к..gif" width="137" height="26 src=">.
Приватні рішення https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" лінійно незалежні, тому що height="26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" height ="25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.
Обидві дужки в лівій частині цієї рівності тотожно дорівнюють нулю..gif" width="174" ..gif" width="129" height="25 src="> матиме вигляд:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)
подається у вигляді суми загального рішення https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif"
і будь-якого приватного рішення буде рішенням рівняння (6.1)..gif width=" 272" height="25 src="> f(x). Ця рівність є тотожністю, т. к. gif width="128" height="25 src="> f(x). Отже.gif" width="85" width="138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> – лінійно незалежні рішення цього рівняння. Таким чином:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">
https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src=">, а такий визначник, як ми бачили вище, відмінний від нуля..gif" width="19" height="25 src="> ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src="> буде рішенням рівняння
https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> в рівняння (6.5), отримаємо
https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7.1)
де рівняння (7.1) у випадку, коли права частина f(x) має спеціальний вид Цей метод називається методом невизначених коефіцієнтів і полягає у підборі приватного рішення в залежності від виду правої частини f(x).
1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">, можуть дорівнювати нулю. Вкажемо вигляд, у якому треба брати приватне рішення у цьому випадку.
а) Якщо число https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif "width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src =">.
Рішення.
Для рівняння https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src= ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src=" >.
Обидві частини скорочуємо на лівій і правій частинах рівності в лівій і правій частинах рівності
https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">
З отриманої системи рівнянь знаходимо: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src=">, а загальне рішення заданого рівняння є:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,
де https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.
Рішення.
Відповідне характеристичне рівняння має вигляд:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. маємо такий вираз для загального рішення:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> відмінно від нуля. Вкажемо вид приватного рішення у разі.
а) Якщо число https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,
де https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width = "16" " height="25 src=">,
де https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" 25 src=">.
Рішення.
Коріння характеристичного рівняння для рівняння https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 25 src=">.gif" src=">.
Права частина заданого в прикладі 3 рівняння має спеціальний вид: f(x) " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.
Для визначення https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > і підставляємо задане рівняння:
Наводячи подібні члени, прирівнюючи коефіцієнти при https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" "25 src=">.
Остаточно загальне рішення заданого рівняння має вигляд: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> відповідно, причому один з цих многочленів може дорівнювати нулю.
а) Якщо число https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif width="605",
де https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.
б) Якщо число https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80", то приватне рішення Лондона матиме вигляд:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. У виразі (7..gif" width="121" height=" 25 src=">.
приклад 4.Вказати вид приватного рішення для рівняння
https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . Загальне рішення човна має вигляд:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.
Далі коефіцієнти https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > є приватне рішення для рівняння з правою частиною f1(x), а "варіації довільних постійних (метод Лагранжа)".
Безпосереднє перебування приватного рішення Лондону, крім випадку рівняння з постійними коефіцієнтами, причому зі спеціальними вільними членами, становить великі труднощі. Тому для знаходження загального рішення ЛНД зазвичай застосовують метод варіації довільних постійних, який завжди дає можливість знайти загальне рішення ЛНД в квадратурах, якщо відома фундаментальна система рішень відповідного однорідного рівняння. Цей метод полягає у наступному.
Згідно з вищевикладеним, загальне рішення лінійного однорідного рівняння:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – не постійні, а деякі, поки невідомі функції від f(x). . необхідно брати з інтервалу. Насправді, у цьому випадку визначник Вронського відмінний від нуля у всіх точках інтервалу, тобто у всьому просторі – комплексний корінь характеристичного рівняння. лінійно незалежних приватних рішень виду :
У формулі загального рішення цим коренем відповідає вираз виду.
У деяких завданнях фізики безпосередній зв'язок між величинами, що описують процес, встановити не вдається. Але існує можливість здобути рівність, що містить похідні досліджуваних функцій. Так виникають диференціальні рівняння та потреба їх вирішення для знаходження невідомої функції.
Ця стаття призначена тим, хто зіштовхнувся із завданням розв'язання диференціального рівняння, у якому невідома функція є однією змінною. Теорія побудована так, що з нульовим уявленням про диференціальні рівняння ви зможете впоратися зі своїм завданням.
Кожному виду диференціальних рівнянь поставлений у відповідність метод рішення з докладними поясненнями та рішеннями характерних прикладів та завдань. Вам залишається лише визначити вид диференціального рівняння Вашого завдання, знайти подібний приклад і провести аналогічні дії.
Для успішного вирішення диференціальних рівнянь з Вашого боку також знадобиться вміння знаходити безліч первісних (невизначені інтеграли) різних функцій. При необхідності рекомендуємо звертатися до розділу.
Спочатку розглянемо види звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, які можна дозволено щодо похідної, далі перейдемо до ОДУ другого порядку, потім зупинимося на рівняннях вищих порядків і закінчимо системами диференціальних рівнянь.
Нагадаємо, що якщо y є функцією аргументу x .
Диференціальні рівняння першого ладу.
Найпростіші диференціальні рівняння першого порядку виду.
Запишемо кілька прикладів таких ДК 
.
Диференційне рівняння 
можна дозволити щодо похідної, зробивши розподіл обох частин рівності f(x) . У цьому випадку приходимо до рівняння, яке буде еквівалентно вихідному при f(x) ≠ 0 . Прикладами таких ОДУ є.
Якщо є значення аргументу x , у яких функції f(x) і g(x) одночасно перетворюються на нуль, з'являються додаткові рішення. Додатковими рішеннями рівняння 
за даних x є будь-які функції, визначені цих значень аргументу. Як приклади таких диференціальних рівнянь можна навести.
Диференціальні рівняння другого порядку.
Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку із постійними коефіцієнтами.
ЛОДУ з постійними коефіцієнтами є дуже поширеним видом диференціальних рівнянь. Їхнє рішення не становить особливої складності. Спочатку знаходять коріння характеристичного рівняння 
. При різних p і q можливі три випадки: коріння характеристичного рівняння можуть бути дійсними і різними, дійсними і збігаються 
або комплексно пов'язаними. Залежно від значень коренів характеристичного рівняння записується загальне рішення диференціального рівняння як 
, або 
, чи відповідно.
Наприклад розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Коріння його характеристичного рівняння є k 1 = -3 і k 2 = 0 . Коріння дійсне і різне, отже, загальне рішення ЛОДУ з постійними коефіцієнтами має вигляд
Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.
Загальне рішення ЛНДУ другого порядку з постійними коефіцієнтами y шукається як суми загального рішення відповідного ЛОДУ 
і окремого рішення вихідного неоднорідного рівняння, тобто, . Знаходження загального рішення однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами присвячений попередній пункт. А окреме рішення визначається або методом невизначених коефіцієнтів при певному вигляді функції f(x) , що стоїть у правій частині вихідного рівняння, або методом варіації довільних постійних.
Як приклади ЛНДУ другого порядку з постійними коефіцієнтами наведемо
Розібратися в теорії та ознайомитися з докладними рішеннями прикладів ми пропонуємо на сторінці лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами .
Лінійні однорідні диференціальні рівняння (ЛОДУ) 
та лінійні неоднорідні диференціальні рівняння (ЛНДУ) другого порядку.
Окремим випадком диференціальних рівнянь цього виду є ЛОДУ та ЛНДУ з постійними коефіцієнтами.
Загальне рішення ЛОД на деякому відрізку представляється лінійною комбінацією двох лінійно незалежних приватних рішень y 1 і y 2 цього рівняння, тобто, 
.
Головна складність полягає саме у знаходженні лінійно-незалежних приватних рішень диференціального рівняння цього типу. Зазвичай приватні рішення вибираються з наступних систем лінійно незалежних функцій:
Проте, які завжди приватні рішення представляються у такому вигляді.
Прикладом ЛОДУ є 
.
Загальне рішення ЛНДУ шукається як , де - загальне рішення відповідного ЛОДУ, а - приватне рішення вихідного диференціального рівняння. Про перебування ми щойно говорили, а можна визначити, користуючись методом варіації довільних постійних.
Як приклад ЛНДУ можна навести 
.
Диференціальні рівняння найвищих порядків.
Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку.
Порядок диференціального рівняння 
, яке не містить шуканої функції та її похідних до k-1 порядку, може бути знижено до n-k заміною .
І тут , і вихідне диференціальне рівняння зведеться до . Після знаходження рішення p(x) залишиться повернутися до заміни і визначити невідому функцію y .
Наприклад, диференціальне рівняння 
після заміни стане рівнянням з змінними, що розділяються, і його порядок з третього знизиться до першого.
