Формули інтегрування частинами з прикладами. Складні інтеграли

Функція F(x), що диференціюється в даному проміжку X, називається первісної функції f(x), або інтегралом від f(x), якщо для кожного x ∈X справедлива рівність:

F "(x) = f(x). (8.1)

Знаходження всіх первісних для цієї функції називається її інтегрування. Невизначеним інтегралом функції f(x) на даному проміжку Х називається безліч всіх первісних функцій для функції f(x); позначення -

Якщо F(x) - якась первоподібна для функції f(x), то ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

де С-довільна постійна.

Таблиця інтегралів

Безпосередньо з визначення отримуємо основні властивості невизначеного інтегралу та список табличних інтегралів:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Список табличних інтегралів

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctg x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C

Заміна змінної

Для інтегрування багатьох функцій застосовують метод заміни змінної або підстановки,що дозволяє приводити інтеграли до табличної форми.

Якщо функція f(z) неперервна на [α,β], функція z =g(x) має безперервну похідну і α ≤ g(x) ≤ β, то

∫ f(g(x)) g "(x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

причому після інтегрування у правій частині слід зробити підстановку z = g (x).

Для доказу достатньо записати вихідний інтеграл у вигляді:

∫ f(g(x)) g "(x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Наприклад:

Метод інтегрування частинами

Нехай u = f(x) та v = g(x) - функції, що мають безперервні . Тоді, за творами,

d(uv))= udv + vdu або udv = d(uv) - vdu.

Для вираження d(uv) первісної, очевидно, буде uv, тому має місце формула:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Ця формула виражає правило інтегрування частинами. Воно наводить інтегрування виразу udv=uv"dx до інтегрування виразу vdu=vu"dx.

Нехай, наприклад, потрібно знайти ∫xcosx dx. Покладемо u = x, dv = cosxdx, отже du=dx, v=sinx. Тоді

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫ sin x dx = x sin x + cosx + C.

Правило інтегрування частинами має більш обмежену сферу застосування, ніж заміна змінної. Але є цілі класи інтегралів, наприклад,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax та інші, які обчислюються саме за допомогою інтегрування частинами.

Визначений інтеграл

Поняття певного інтеграла вводиться в такий спосіб. Нехай на відрізку визначено функцію f(x). Розіб'ємо відрізок [a, b] на nчастин точками a = x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i = x i - x i-1. Сума виду f(ξ i)Δ x i називається інтегральною сумою, а її межа при λ = maxΔx i → 0, якщо вона існує і кінцева, називається певним інтеграломфункції f(x) від aдо bі позначається:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Функція f(x) у разі називається інтегрованої на відрізку, числа a та b носять назву нижньої та верхньої межі інтегралу.

Для певного інтеграла справедливі такі характеристики:

4), (k = const, k R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Остання властивість називається теорема про середнє значення.

Нехай f(x) безперервна на . Тоді на цьому відрізку існує невизначений інтеграл

∫f(x)dx = F(x) + C

і має місце формула Ньютона-Лейбніца, що пов'язує певний інтеграл з невизначеним:

F(b) - F(a). (8.6)

Геометрична інтерпретація: певний інтеграл є площею криволінійної трапеції, обмеженою зверху кривою y=f(x), прямими x = a і x = b і відрізком осі Ox.

Невласні інтеграли

Інтеграли з нескінченними межами та інтеграли від розривних (необмежених) функцій називаються невласними. Невласні інтеграли I роду -це інтеграли на нескінченному проміжку, що визначаються таким чином:

(8.7)

Якщо ця межа існує і кінцева, то називається схожим невласним інтегралом від f(x)на інтервалі [а,+ ∞), а функцію f(x) називають інтегрованої на нескінченному проміжку[а + ∞). Інакше про інтеграл кажуть, що він не існує або розходиться.

Аналогічно визначаються невласні інтеграли на інтервалах (-∞,b] та (-∞, + ∞):

Визначимо поняття інтеграла від необмеженої функції. Якщо f(x) безперервна для всіх значень xвідрізка , крім точки з, в якій f(x) має нескінченний розрив, то невласним інтегралом II роду від f(x) в межах від a до bназивається сума:

якщо ці межі є і кінцеві. Позначення:

Приклади обчислення інтегралів

Приклад 3.30.Обчислити ∫dx/(x+2).

Рішення.Позначимо t = x+2, тоді dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln | x +2 | + C.

Приклад 3.31. Знайти ∫ tgxdx.

Рішення.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Нехай t = cosx, тоді tgxdx = - dt / t = - ln | t | + C = -ln|cosx|+C.

приклад3.32 . Знайти ∫dx/sinx

Рішення.

приклад3.33. Знайти.

Рішення. = .

приклад3.34 . Знайти ∫arctgxdx.

Рішення. Інтегруємо частинами. Позначимо u=arctgx, dv=dx. Тоді du = dx/(x 2 +1), v=x, звідки ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; так як
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

приклад3.35 . Обчислити ∫lnxdx.

Рішення.Застосовуючи формулу інтегрування частинами, отримаємо:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Тоді ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C = xlnx - x + C.

приклад3.36 . Обчислити ∫e x sinxdx.

Рішення.Позначимо u = e x , dv = sinxdx, тоді du = e x dx, v = sinxdx = - cosx → e x sinxdx = - e cosx + ∫ e x cosxdx. Інтеграл ∫e x cosxdx також інтегруємо вроздріб: u = e x , dv = cosxdx, du = e x dx, v = sinx. Маємо:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Отримали співвідношення ∫e x sinxdx = – e x cosx + e x sinx – ∫ e x sinxdx, звідки 2∫e x sinx dx = – e x cosx + e x sinx + С.

приклад 3.37. Обчислити J = ∫cos(lnx)dx/x.

Рішення.Оскільки dx/x = dlnx, то J= ∫cos(lnx)d(lnx). Замінюючи lnx через t, приходимо до табличного інтеграла J = ∫ costdt = sint + C = sin (lnx) + C.

приклад 3.38 . Обчислити J =.

Рішення.Враховуючи, що = d(lnx), робимо підстановку lnx = t. Тоді J = .

приклад 3.39 . Обчислити інтеграл J = .

Рішення.Маємо: . Тому =
=
=. вводиться так sqrt(tan(x/2)).

А якщо у вікні результату натиснете Show steps у правому верхньому кутку, то отримаєте докладне рішення.

Калькулятор вирішує інтеграли з описом дій ДЕТАЛЬНО російською мовою та безкоштовно!

Рішення невизначених інтегралів

Це онлайн сервіс у один крок:

Рішення певних інтегралів

Це онлайн сервіс у один крок:

• Ввести підінтегральний вираз (підінтегральну функцію)
• Ввести нижню межу для інтегралу
• Ввести верхню межу для інтегралу

Рішення подвійних інтегралів

• Ввести підінтегральний вираз (підінтегральну функцію)

Рішення невласних інтегралів

• Ввести підінтегральний вираз (підінтегральну функцію)
• Введіть верхню область інтегрування (або нескінченність)
• Ввести нижню область інтегрування (або - нескінченність)

Перейти: Онлайн сервіс "Невласний інтеграл" →

Рішення потрійних інтегралів

• Ввести підінтегральний вираз (підінтегральну функцію)
• Ввести нижню та верхню межі для першої області інтегрування
• Ввести нижню та верхню межу для другої області інтегрування
• Ввести нижню та верхню межу для третьої області інтегрування

Перейти: Онлайн сервіс "Потрійний інтеграл" →

Даний сервіс дозволяє перевірити свої обчисленняна правильність

Можливості

• Підтримка всіх можливих математичних функцій: синус, косинус, експонента, тангенс, котангенс, корінь квадратний та кубічний, ступеня, показові та інші.
• Є приклади для введення, як невизначених інтегралів, так невласних і певних.
• Виправляє помилки у ведених виразах і пропонує свої варіанти для введення.
• Чисельне рішення для певних та невласних інтегралів (у тому числі для подвійних та потрійних інтегралів).
• Підтримка комплексних чисел, а також різних параметрів (ви можете вказувати в підінтегральному вираженні не тільки змінну інтеграцію, а й інші змінні параметри)

Інтегрування частинами- метод, який застосовується для вирішення певних і невизначених інтегралів, коли одна з підінтегральних функцій легко інтегрована, а інша диференційована. Досить поширений метод знаходження інтегралів як невизначених, і певних. Головна ознака, коли потрібно використовувати його - це деяка функція, що складається з твору двох функцій, яку не можна проінтегрувати в упор.

Формула

Для того, щоб успішно використовувати цей метод необхідно розібрати та вивчити формули.

Формула інтегрування частинами в невизначеному інтегралі:

$$ \int udv = uv - \int vdu $$

Формула інтегрування частинами у певному інтегралі:

$$ \int \limits_(a)^(b) udv = uv \bigg |_(a)^(b) - \int \limits_(a)^(b) vdu $$

Приклади рішень

Розглянемо практично приклади рішень інтегрування частинами, які часто пропонуються викладачами на контрольних роботах. Зверніть увагу, що під позначкою інтеграла стоїть добуток двох функцій. Це як ознака того, що для вирішення підійде цей метод.

Приклад 1

Знайти інтеграл $ \int xe^xdx $

Рішення

Бачимо, що підінтегральна функція складається з двох функцій, одна з яких при диференціюванні моментально перетворюється на одиницю, а інша легко інтегрується. Для вирішення інтеграла скористаємося методом інтегрування частинами. Припустимо, $ u = x \rightarrow du = dx $, а $ dv = e^x dx \rightarrow v = e^x $ Підставляємо знайдені значення у першу формулу інтегрування та отримуємо: $$ \int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C $$ Якщо не вдається вирішити своє завдання, то надсилайте його до нас. Ми надамо детальне рішення. Ви зможете ознайомитися з ходом обчислення та отримати інформацію. Це допоможе вчасно отримати залік у викладача!

Відповідь

$$ \int xe^x dx = xe^x - e^x + C$$

Приклад 4

Обчислити інтеграл $ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx $

Рішення

За аналогією з попередніми вирішеними прикладами розберемося яку функцію без проблем інтегрувати, яку диференціювати. Звертаємо увагу, що якщо продиференціювати $(x+5)$, то відбудеться автоматичне перетворення цього виразу на одиницю, що нам буде "на руку". Тому робимо так: $$u=x+5 \rightarrow du=dx, dv=3^x dx \rightarrow v=\frac(3^x)(ln3) $$ Тепер усі невідомі функції стали знайдені і можуть бути поставлені у другу формулу інтегрування частинами для певного інтеграла. $$ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx = (x+5) \frac(3^x)(\ln 3) \bigg |_0 ^1 - \int \limits_0 ^1 \frac (3^x dx)(\ln 3) = $$ $$ = \frac(18)(\ln 3) - \frac(5)(\ln 3) - \frac(3^x)(\ln^2 3)\bigg| _0 ^1 = \frac(13)(\ln 3) - \frac(3)(\ln^2 3)+\frac(1)(\ln^2 3) = \frac(13)(\ln 3 )-\frac(4)(\ln^2 3) $$

Відповідь

$$ \int\limits_0 ^1 (x+5)3^x dx = \frac(13)(\ln 3)-\frac(4)(\ln^2 3) $$

Певним інтегралом від безперервної функції f(x) на кінцевому відрізку [ a, b] (Де ) називається збільшення якої-небудь її первісної на цьому відрізку. (Взагалі, розуміння помітно полегшиться, якщо повторити тему невизначеного інтеграла) При цьому використовується запис

Як видно на графіках внизу (прирощення первісної функції позначено), певний інтеграл може бути як позитивним, так і негативним числом(Обчислюється як різницю між значенням первісної у верхній межі та її ж значенням у нижній межі, тобто як F(b) - F(a)).

Числа aі bназиваються відповідно нижньою і верхньою межами інтегрування, а відрізок [ a, b] - Відрізком інтегрування.

Таким чином, якщо F(x) – якась первісна функція для f(x), то, згідно з визначенням,

(38)

Рівність (38) називається формулою Ньютона-Лейбніца . Різниця F(b) – F(a) коротко записують так:

Тому формулу Ньютона-Лейбніца будемо записувати і так:

(39)

Доведемо, що певний інтеграл не залежить від того, яка первісна підінтегральна функція взята при його обчисленні. Нехай F(x) та Ф( х) – довільні первісні підінтегральні функції. Так як це первісні однієї і тієї ж функції, то вони відрізняються на постійне доданок: Ф( х) = F(x) + C. Тому

Тим самим було встановлено, що у відрізку [ a, b] збільшення всіх первісних функцій f(x) збігаються.

Таким чином, для обчислення певного інтеграла необхідно знайти будь-яку первісну підінтегральну функцію, тобто. спочатку слід знайти невизначений інтеграл. Постійна З з наступних обчислень виключається. Потім застосовується формула Ньютона-Лейбніца: в первісну функцію підставляється значення верхньої межі b , далі - значення нижньої межі a і обчислюється різниця F(b) - F(a) . Отримане число буде певним інтегралом..

При a = bза визначенням приймається

приклад 1.

Рішення. Спочатку знайдемо невизначений інтеграл:

Застосовуючи формулу Ньютона-Лейбніца до первісної

(при З= 0), отримаємо

Однак при обчисленні певного інтеграла краще не знаходити окремо первісну, а одразу записувати інтеграл у вигляді (39).

приклад 2.Обчислити певний інтеграл

Рішення. Використовуючи формулу

Властивості певного інтегралу

Теорема 2.Розмір певного інтеграла залежить від позначення змінної інтегрування, тобто.

(40)

Нехай F(x) – первісна для f(x). Для f(t) первісної служить та сама функція F(t), в якій лише інакше позначено незалежну змінну. Отже,

На підставі формули (39) остання рівність означає рівність інтегралів

Теорема 3.Постійний множник можна виносити за знак певного інтегралу, тобто.

(41)

Теорема 4.Певний інтеграл від суми алгебри кінцевого числа функцій дорівнює сумі алгебри певних інтегралів від цих функцій, тобто.

(42)

Теорема 5.Якщо відрізок інтегрування розбитий на частини, то певний інтеграл по всьому відрізку дорівнює сумі певних інтегралів його частин, тобто. якщо

(43)

Теорема 6.При перестановці меж інтегрування абсолютна величина певного інтеграла змінюється, а змінюється лише його знак, тобто.

(44)

Теорема 7(Теорема про середнє). Певний інтеграл дорівнює добутку довжини відрізка інтегрування на значення підінтегральної функції у певній точці всередині його, тобто.

(45)

Теорема 8.Якщо верхня межа інтегрування більша за нижню і підінтегральна функція неотрицательна (позитивна), те й певний інтеграл неотрицательный (позитивний), тобто. якщо

Теорема 9.Якщо верхня межа інтегрування більша за нижню і функції і безперервні, то нерівність

можна почленно інтегрувати, тобто.

(46)

Властивості певного інтеграла дозволяють спрощувати безпосереднє обчислення інтегралів.

Приклад 5.Обчислити певний інтеграл

Використовуючи теореми 4 і 3, а при знаходженні первісних – табличні інтеграли (7) та (6), отримаємо

Певний інтеграл зі змінною верхньою межею

Нехай f(x) - безперервна на відрізку [ a, b] функція, а F(x) – її первісна. Розглянемо певний інтеграл

(47)

а через tпозначено змінну інтеграцію, щоб не плутати її з верхнім кордоном. При зміні хзмінюється і певний інтеграл (47), тобто. він є функцією верхньої межі інтегрування х, яку позначимо через Ф(х), тобто.

(48)

Доведемо, що функція Ф(х) є первісною для f(x) = f(t). Дійсно, диференціюючи Ф(х), отримаємо

так як F(x) – первісна для f(x), а F(a) - Постійна величина.

Функція Ф(х) – одна з нескінченної множини первісних для f(x), а саме та, яка при x = aзвертається в нуль. Це твердження виходить, якщо в рівності (48) покласти x = aта скористатися теоремою 1 попереднього параграфа.

Обчислення певних інтегралів методом інтегрування частинами та методом заміни змінної

де, за визначенням, F(x) – первісна для f(x). Якщо в підінтегральному вираженні провести заміну змінної

то відповідно до формули (16) можна записати

У цьому виразі

первісна функція для

Насправді, її похідна, згідно правилу диференціювання складної функції, дорівнює

Нехай α та β – значення змінної t, при яких функція

приймає відповідно значення aі b, тобто.

Але, згідно з формулою Ньютона-Лейбніца, різниця F(b) – F(a) є

Рішення інтегралів – завдання легке, але тільки для обраних. Ця стаття для тих, хто хоче навчитися розуміти інтеграли, але не знає про них нічого чи майже нічого. Інтеграл... Навіщо він потрібний? Як його обчислювати? Що таке певний та невизначений інтеграли? Якщо єдине відоме вам застосування інтеграла – діставати гачком у формі значка інтеграла щось корисне з важкодоступних місць, тоді ласкаво просимо! Дізнайтеся, як вирішувати інтеграли і чому без цього не можна обійтися.

Вивчаємо поняття "інтеграл"

Інтегрування було відоме ще у Стародавньому Єгипті. Звичайно, не в сучасному вигляді, але все ж таки. З того часу математики написали дуже багато книг на цю тему. Особливо відзначилися Ньютон і Лейбніц але суть речей не змінилася. Як зрозуміти інтеграли з нуля? Ніяк! Для розуміння цієї теми все одно знадобляться базові знання основ математичного аналізу. Відомості про , необхідні і для розуміння інтегралів, вже є у нас у блозі.

Невизначений інтеграл

Нехай у нас є якась функція f(x) .

Невизначеним інтегралом функції f(x) називається така функція F(x) , похідна якої дорівнює функції f(x) .

Тобто інтеграл - це похідна навпаки або первинна. До речі, про те, як читайте у нашій статті.

Первісна існує для всіх безперервних функцій. Також до первісної часто додають символ константи, оскільки похідні функцій, що різняться на константу, збігаються. Процес знаходження інтеграла називається інтегруванням.

Простий приклад:

Щоб постійно не вираховувати первісні елементарні функції, їх зручно звести в таблицю і користуватися вже готовими значеннями:

Визначений інтеграл

Маючи справу з поняттям інтеграла, ми маємо справу з нескінченно малими величинами. Інтеграл допоможе обчислити площу фігури, масу неоднорідного тіла, пройдений при нерівномірному русі шлях та багато іншого. Слід пам'ятати, що інтеграл - це сума нескінченно великої кількості нескінченно малих доданків.

Як приклад уявімо графік якоїсь функції. Як знайти площу фігури, обмеженої графіком функції?

За допомогою інтегралу! Розіб'ємо криволінійну трапецію, обмежену осями координат і графіком функції, на нескінченно малі відрізки. Таким чином фігура виявиться розділена на тонкі стовпчики. Сума площ стовпчиків і становитиме площу трапеції. Але пам'ятайте, що таке обчислення дасть зразковий результат. Однак що менше і вже будуть відрізки, то точніше буде обчислення. Якщо ми зменшимо їх настільки, що довжина буде прагнути до нуля, то сума площ відрізків буде прагнути до площі фігури. Це і є певний інтеграл, який записується так:

Точки а та b називаються межами інтегрування.

Барі Алібасов та гурт "Інтеграл"

До речі! Для наших читачів зараз діє знижка 10% на

Правила обчислення інтегралів для чайників

Властивості невизначеного інтегралу

Як вирішувати невизначений інтеграл? Тут ми розглянемо властивості невизначеного інтеграла, які стануть у нагоді при вирішенні прикладів.

• Похідна від інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

• Константу можна виносити з-під знаку інтеграла:

• Інтеграл від суми дорівнює сумі інтегралів. Правильно також для різниці:

Властивості певного інтегралу

• Лінійність:

• Знак інтеграла змінюється, якщо поміняти місцями межі інтегрування:

• При будь-якихточках a, bі з:

Ми вже з'ясували, що певний інтеграл – це межа суми. Але як отримати конкретне значення під час вирішення прикладу? Для цього існує формула Ньютона-Лейбніца:

Приклади вирішення інтегралів

Нижче розглянемо кілька прикладів знаходження невизначених інтегралів. Пропонуємо самостійно розібратися у тонкощах рішення, а якщо щось незрозуміло, ставте запитання у коментарях.

Для закріплення матеріалу перегляньте відео про те, як вирішуються інтеграли на практиці. Не впадаєте у відчай, якщо інтеграл не дається відразу. Зверніться до професійного сервісу для студентів, і будь-який потрійний чи криволінійний інтеграл по замкнутій поверхні стане вам під силу.