İkinci dikkate değer sınır nedir? İkinci dikkat çekici sınır: bulma örnekleri, sorunlar ve ayrıntılı çözüm

Bu madde: “İkinci Dikkate Değer Sınır”, şeklin belirsizlikleri çerçevesinde açıklamaya ayrılmıştır:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ ve $ ^\infty $.

Ayrıca üstel fonksiyonun logaritması kullanılarak bu tür belirsizlikler ortaya çıkarılabilir ancak bu, başka bir makalede ele alınacak başka bir çözüm yöntemidir.

Formül ve sonuçları

Formül ikinci dikkat çekici limit şu şekilde yazılır: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( Where ) e \approx 2,718 $$

Formülden şu çıkıyor sonuçlar limitli örnekleri çözmek için kullanımı çok uygundur: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( burada ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

İkinci dikkat çekici limitin her zaman üstel bir fonksiyona uygulanamayacağını, yalnızca tabanın birliğe eğilimli olduğu durumlarda uygulanabileceğini belirtmekte fayda var. Bunu yapmak için önce tabanın sınırını zihinsel olarak hesaplayın ve ardından sonuçlar çıkarın. Bütün bunlar örnek çözümlerde tartışılacaktır.

Çözüm örnekleri

Doğrudan formülü ve sonuçlarını kullanan çözüm örneklerine bakalım. Formülün gerekli olmadığı durumları da analiz edeceğiz. Sadece hazır bir cevabı yazmanız yeterlidir.

örnek 1

Limiti bulun $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $

Çözüm

Sınırın içine sonsuzluğu koyalım ve belirsizliğe bakalım: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ Tabanın limitini bulalım: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac) (4)() x))))(x(1+\frac(3)(x)))) = 1 $$ Bire eşit bir taban elde ettik, bu da ikinci dikkate değer limiti zaten uygulayabileceğimiz anlamına geliyor. Bunu yapmak için fonksiyonun tabanını formüle bir çıkarıp bir ekleyerek ayarlayalım: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ İkinci sonuca bakalım ve cevabı yazalım: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Sorununuzu çözemezseniz bize gönderin. Detaylı çözüm sunacağız. Hesaplamanın ilerlemesini görüntüleyebilecek ve bilgi alabileceksiniz. Bu, öğretmeninizden notunuzu zamanında almanıza yardımcı olacaktır!

Cevap

$$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$

Örnek 4

Limiti çözün $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $

Çözüm

Tabanın limitini buluyoruz ve $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $ olduğunu görüyoruz, bu da ikinci dikkat çekici limiti uygulayabileceğimiz anlamına geliyor. Standart plana göre derecenin tabanından bir tane ekleyip çıkarıyoruz: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty) ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ Kesri 2. notanın formülüne göre ayarlıyoruz. sınır: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ Şimdi dereceyi ayarlayalım. Kuvvet $ \frac(3x^2-2)(6) $ tabanının paydasına eşit bir kesir içermelidir. Bunu yapmak için dereceyi çarpıp bölün ve çözmeye devam edin: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ $ e $ üssünde yer alan limit şuna eşittir: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. Bu nedenle elimizdeki çözüme devam ediyoruz:

Cevap

$$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$

Sorunun ikinci dikkate değer limite benzer olduğu ancak bu olmadan da çözülebileceği durumları inceleyelim.

“İkinci Dikkate Değer Limit: Çözüm Örnekleri” başlıklı makalede formül, sonuçları incelenmiş ve bu konudaki yaygın problem türleri verilmiştir.

Kanıt:

İlk önce dizinin durumu için teoremi kanıtlayalım

Newton'un binom formülüne göre:

Aldığımızı varsayarsak

Bu eşitlikten (1), n ​​arttıkça sağ taraftaki pozitif terimlerin sayısının arttığı sonucu çıkar. Ayrıca n arttıkça sayı azalacağından değerler Artıyor. Bu nedenle sıra artan ve (2)*sınırlı olduğunu gösteriyoruz. Eşitliğin sağ tarafındaki her parantezi bir ile değiştirin, sağ taraf artacak ve eşitsizliği elde edeceğiz

Ortaya çıkan eşitsizliği güçlendirelim, kesirlerin paydalarındaki 3,4,5, ... yerine 2 sayısını koyalım: Geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı formülünü kullanarak parantez içindeki toplamı buluyoruz: Öyleyse (3)*

Yani dizi yukarıdan sınırlanmıştır ve (2) ve (3) eşitsizlikleri sağlanmıştır: Bu nedenle Weierstrass teoremine (bir dizinin yakınsaklık kriteri) dayanarak dizi monoton olarak artar ve sınırlıdır, yani e harfiyle gösterilen bir limiti vardır. Onlar.

İkinci dikkat çekici limitin x'in doğal değerleri için doğru olduğunu bilerek, reel x için ikinci dikkat çekici limiti kanıtlıyoruz, yani şunu kanıtlıyoruz: . İki durumu ele alalım:

1. X'in her değeri iki pozitif tamsayı arasına alınsın: burada x'in tamsayı kısmıdır. => =>

Eğer , o zaman Bu nedenle, limite göre Sahibiz

Limitlerin varlığına ilişkin kritere (bir ara fonksiyonun limiti hakkında) dayanarak

2. Let . Değiştirmeyi − x = t yapalım, o zaman

Bu iki durumdan şu sonuç çıkıyor gerçek x için.

Sonuçlar:

9 .) Sonsuz küçüklerin karşılaştırılması. Sonsuz küçüklerin limitteki eşdeğerleriyle değiştirilmesine ilişkin teorem ve sonsuz küçüklerin ana kısmına ilişkin teorem.

Fonksiyonlar a( X) ve B( X) – b.m. en X ® X 0 .

TANIMLAR.

1 A( X) isminde bundan sonsuz derecede daha yüksek dereceli B (X) Eğer

Şunu yazın: a( X) = o(b( X)) .

2)bir( X) Ve B( X)arandı aynı mertebeden sonsuz küçükler, Eğer

nerede CÎℝ ve C¹ 0 .

Şunu yazın: a( X) = Ö(B( X)) .

3 A( X) Ve B( X) arandı eş değer , Eğer

Şunu yazın: a( X) ~ b( X).

4)bir( X) k mertebesinden sonsuz küçük denir göreceli
kesinlikle sonsuz küçük B( X), eğer sonsuz küçükse A( X)Ve(B( X)) k aynı sıraya sahip, yani Eğer

nerede CÎℝ ve C¹ 0 .

TEOREM 6 (sonsuz küçüklerin eşdeğer olanlarla değiştirilmesi üzerine).

İzin vermek A( X), B( X), bir 1 ( X), b1 ( X)– b.m. x'te ® X 0 . Eğer A( X) ~ a 1 ( X), B( X) ~ b 1 ( X),

O

Kanıt: a( X) ~ a 1 ( X), B( X) ~ b 1 ( X), Daha sonra

TEOREM 7 (sonsuz küçüğün ana kısmı hakkında).

İzin vermek A( X)Ve B( X)– b.m. x'te ® X 0 , Ve B( X)– b.m. bundan daha yüksek sıra A( X).

= , a beri b( X) – a(’dan daha yüksek sıra) X), o zaman, yani. itibaren açıktır ki bir ( X) + b( X) ~ bir( X)

10) Bir fonksiyonun bir noktada sürekliliği (epsilon-delta dilinde, geometrik sınırlar) Tek taraflı süreklilik. Bir aralıkta, bir segmentte süreklilik. Sürekli fonksiyonların özellikleri.

1. Temel tanımlar

İzin vermek F(X) noktanın bazı komşuluklarında tanımlanır X 0 .

TANIM 1. Fonksiyon f(X) isminde bir noktada sürekli X 0 eşitlik doğruysa

Notlar.

1) Teorem 5 §3'e göre eşitlik (1) şu şekilde yazılabilir:

Durum (2) – tek taraflı limitler dilinde bir fonksiyonun bir noktada sürekliliğinin tanımı.

2) Eşitlik (1) şu şekilde de yazılabilir:

Şöyle diyorlar: “Eğer bir fonksiyon bir noktada sürekli ise X 0 ise limitin ve fonksiyonun işareti yer değiştirebilir."

TANIM 2 (e-d dilinde).

Fonksiyon f(X) isminde bir noktada sürekli X 0 Eğer"e>0 $d>0 çok, Ne

eğer xОU( X 0 , d) (yani | X – X 0 | < d),

sonra f(X)ÎU( F(X 0), e) (yani | F(X) – F(X 0) | < e).

İzin vermek X, X 0 Î D(F) (X 0 – sabit, X - keyfi)

belirtelim :D X= x – x 0 – argüman artışı

D F(X 0) = F(X) – F(X 0) – x noktasında fonksiyonun arttırılması 0

TANIM 3 (geometrik).

Fonksiyon f(X) Açık isminde bir noktada sürekli X 0 eğer bu noktada argümandaki sonsuz küçük bir artış, fonksiyondaki sonsuz küçük bir artışa karşılık geliyorsa yani

Fonksiyona izin ver F(X) aralıkta tanımlanır [ X 0 ; X 0 + d) (aralığında ( X 0 – d; X 0 ]).

TANIM. Fonksiyon f(X) isminde bir noktada sürekli X 0 sağda (sol ), eşitlik doğruysa

Açıkça görülüyor ki F(X) noktasında süreklidir X 0 Û F(X) noktasında süreklidir X 0 sağa ve sola.

TANIM. Fonksiyon f(X) isminde bir aralık boyunca sürekli e ( A; B) eğer bu aralığın her noktasında sürekli ise.

Fonksiyon f(X) segmentte sürekli olarak adlandırılır [A; B] aralıkta sürekli ise (A; B) ve sınır noktalarında tek yönlü sürekliliğe sahiptir(yani noktada sürekli A sağda, bu noktada B- sol).

11) Kırılma noktaları, sınıflandırılması

TANIM. Eğer fonksiyon f(X) x noktasının bazı komşuluklarında tanımlı 0 , ancak bu noktada sürekli değil, o zaman F(X) x noktasında süreksiz denir 0 , ve konunun kendisi X 0 kırılma noktası denir işlevler f(X) .

Notlar.

1) F(X) noktanın tamamlanmamış bir komşuluğunda tanımlanabilir X 0 .

Daha sonra fonksiyonun karşılık gelen tek taraflı sürekliliğini düşünün.

2) Þ noktasının tanımından X 0 fonksiyonun kırılma noktasıdır F(X) iki durumda:

a) U( X 0 , d)О D(F) , ama için F(X) eşitlik geçerli değildir

b) U * ( X 0 , d)О D(F) .

Temel fonksiyonlar için yalnızca b) durumu mümkündür.

İzin vermek X 0 – fonksiyon kırılma noktası F(X) .

TANIM. x noktası 0 isminde kırılma noktası BEN bir nevi eğer fonksiyon f(X)bu noktada solda ve sağda sonlu limitler var.

Bu sınırlar eşitse x noktası 0 isminde çıkarılabilir kırılma noktası , aksi takdirde - atlama noktası .

TANIM. x noktası 0 isminde kırılma noktası II bir nevi f fonksiyonunun tek taraflı limitlerinden en az biri ise(X)bu noktada eşit¥ veya mevcut değil.

12) Bir aralıkta sürekli olan fonksiyonların özellikleri (Weierstrass teoremleri (kanıtsız) ve Cauchy

Weierstrass teoremi

f(x) fonksiyonu aralıkta sürekli olsun, o zaman

1)f(x) şununla sınırlıdır

2) f(x) aralıktaki en küçük ve en büyük değerini alır

Tanım: Herhangi bir x€ D(f) için m≤f(x) ise m=f fonksiyonunun değerine en küçük değer denir.

Herhangi bir x € D(f) için m≥f(x) ise m=f fonksiyonunun değerinin en büyük olduğu söylenir.

Fonksiyon, segmentin çeşitli noktalarında en küçük/en büyük değeri alabilir.

f(x 3)=f(x 4)=maks

Cauchy'nin teoremi.

f(x) fonksiyonu doğru parçası üzerinde sürekli olsun ve x, f(a) ile f(b) arasında bulunan sayı olsun, o zaman f(x 0)= g olacak şekilde en az bir x 0 noktası vardır.

Şimdi sakin bir ruhla düşünmeye devam edelim. harika sınırlar.
benziyor.

X değişkeni yerine çeşitli fonksiyonlar mevcut olabilir, asıl mesele bunların 0'a yönelmesidir.

Limiti hesaplamak gerekiyor

Gördüğünüz gibi bu sınır ilk dikkat çekici sınıra çok benziyor ancak bu tamamen doğru değil. Genel olarak, sınırda bir günah olduğunu fark ederseniz, o zaman ilk dikkate değer sınırı kullanmanın mümkün olup olmadığını hemen düşünmelisiniz.

1 numaralı kuralımıza göre x yerine sıfır koyarız:

Belirsizlik yaşıyoruz.

Şimdi ilk harika sınırı kendimiz düzenlemeye çalışalım. Bunu yapmak için basit bir kombinasyon yapalım:

Bu yüzden pay ve paydayı 7x'i vurgulayacak şekilde düzenliyoruz. Artık tanıdık dikkate değer sınır zaten ortaya çıktı. Karar verirken vurgulamanız önerilir:

Çözümü ilk dikkate değer örneğin yerine koyalım ve şunu elde edelim:

Kesirin sadeleştirilmesi:

Cevap: 7/3.

Gördüğünüz gibi her şey çok basit.

Öyle görünüyor burada e = 2,718281828... irrasyonel bir sayıdır.

X değişkeni yerine çeşitli işlevler mevcut olabilir, asıl önemli olan bunların eğilimidir.

Limiti hesaplamak gerekiyor

Burada limit işareti altında bir derecenin varlığını görüyoruz, bu da ikinci bir dikkat çekici limitin kullanılmasının mümkün olduğu anlamına geliyor.

Her zaman olduğu gibi, 1 numaralı kuralı kullanacağız: yerine x'i kullanacağız:

X noktasında derecenin tabanının ve üssün 4x > olduğu görülebilir, yani. formun belirsizliğini elde ederiz:

Belirsizliğimizi ortaya çıkarmak için ikinci harika sınırı kullanalım ama önce onu düzenlememiz gerekiyor. Gördüğünüz gibi, ifadenin değişmemesi için tabanını 3x'in gücüne ve aynı zamanda 1/3x'in gücüne yükselttiğimiz göstergede varlık elde etmemiz gerekiyor:

Harika sınırımızı vurgulamayı unutmayın:

Gerçekten böyleler harika sınırlar!
Hala sorularınız varsa birinci ve ikinci harika sınırlar, ardından yorumlarda onlara sormaya çekinmeyin.
Herkese mümkün olduğunca cevap vereceğiz.

Bu konuda bir öğretmenle de çalışabilirsiniz.
Şehrinizde nitelikli bir öğretmen seçme hizmetlerini size sunmaktan mutluluk duyuyoruz. Ortaklarımız sizin için uygun şartlarda iyi bir öğretmeni hızlı bir şekilde seçecektir.

Yeterli bilgi yok? - Yapabilirsiniz !

Matematik hesaplamalarını not defterlerine yazabilirsiniz. Logolu not defterlerine (http://www.blocnot.ru) tek tek yazmak çok daha keyifli.

İlk dikkate değer limit genellikle sinüs, ark sinüs, tanjant, ark tanjant içeren limitleri ve sıfırın sıfıra bölünmesiyle elde edilen belirsizlikleri hesaplamak için kullanılır.

Formül

İlk dikkate değer limitin formülü şöyledir: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$

$ \alpha\to 0 $ için $ \sin\alpha \to 0 $ elde ettiğimizi, dolayısıyla payda ve paydada sıfırlarımızın olduğunu not ediyoruz. Dolayısıyla $ \frac(0)(0) $ belirsizliklerini ortaya çıkarmak için ilk dikkate değer limitin formülüne ihtiyaç vardır.

Formülü uygulamak için iki koşulun karşılanması gerekir:

1. Kesirin sinüsü ile paydasının içerdiği ifadeler aynıdır
2. Bir kesrin sinüs ve paydasındaki ifadeler sıfıra eğilimlidir

Dikkat! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ Sinüs altındaki ve paydadaki ifadeler aynı olmasına rağmen $ 2x ^2+1 = 1 $, $ x\to 0 $ için. İkinci koşul karşılanmadığından formülü uygulayamazsınız!

Sonuçlar

Oldukça nadiren görevlerde, cevabı hemen yazabileceğiniz saf bir ilk harika sınır görebilirsiniz. Pratikte her şey biraz daha karmaşık görünüyor ancak bu gibi durumlarda ilk dikkate değer limitin sonuçlarını bilmek faydalı olacaktır. Onlar sayesinde gerekli limitleri hızlı bir şekilde hesaplayabilirsiniz.

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$

Çözüm örnekleri

İlk dikkate değer limiti, trigonometrik fonksiyonlar ve belirsizlik içeren limitlerin hesaplanmasına yönelik çözüm örneklerini ele alalım $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $

örnek 1

$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) $'ı hesaplayın

Çözüm

Limite bakalım ve bunun bir sinüs içerdiğine dikkat edelim. Daha sonra, pay ve paydayı $ x = 0 $ yerine koyarız ve sıfırın sıfıra bölünmesiyle belirsizliği elde ederiz: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)(0 ) $$ Zaten harika bir limit uygulamamız gerektiğine dair iki işaret var, ancak küçük bir nüans var: Sinüs işaretinin altındaki ifade paydadaki ifadeden farklı olduğundan formülü hemen uygulayamıyoruz. Ve onların eşit olmasına ihtiyacımız var. Bu nedenle payın temel dönüşümlerini kullanarak onu $2x$'a çevireceğiz. Bunu yapmak için kesrin paydasındaki ikisini ayrı bir faktör olarak alacağız. Şuna benzer: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ Lütfen sonunda $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $ formülüne göre elde edildiğine dikkat edin. Sorununuzu çözemezseniz bize gönderin. Detaylı çözüm sunacağız. Hesaplamanın ilerlemesini görüntüleyebilecek ve bilgi alabileceksiniz. Bu, öğretmeninizden notunuzu zamanında almanıza yardımcı olacaktır!

Cevap

$$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$

Örnek 2

$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $'ı bulun

Çözüm

Her zaman olduğu gibi öncelikle belirsizliğin türünü bilmeniz gerekir. Sıfır bölü sıfır ise sinüs varlığına dikkat ederiz: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ Bu belirsizlik, ilk dikkate değer limitin formülünü kullanmamıza izin veriyor, ancak paydanın ifadesi sinüs argümanına eşit değil mi? Bu nedenle formülün “kafa kafaya” uygulanması mümkün değildir. Kesri sinüs argümanıyla çarpmak ve bölmek gerekir: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x -x^4)(x ^3+2x)) = $$ Şimdi limitlerin özelliklerini yazıyoruz: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x))(2x -x^4)\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ İkinci limit formüle tam olarak uyar ve eşittir bire: $$ = \lim_(x\to 0 ) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x )(2x-x^4) = $$ Tekrar $ x = 0 $'ı kesirli olarak yerine koyarsak $ \frac(0)(0) $ belirsizliğini elde ederiz. Bunu ortadan kaldırmak için $ x $'ı parantezlerden çıkarıp şu kadar azaltmak yeterlidir: $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^) 3)) = \ lim_(x\to 0) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac(2 )(2) = 1 $$

Cevap

$$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$

Örnek 4

$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $'ı hesaplayın

Çözüm

Hesaplamaya $ x=0 $ yerine koyarak başlayalım. Sonuç olarak $ \frac(0)(0) $ belirsizliğini elde ederiz. Limit, ilk dikkate değer limit formülünü kullanarak durumun olası bir gelişimine işaret eden bir sinüs ve bir teğet içerir. Kesrin pay ve paydasını formül ve sonuca dönüştürelim: $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ Artık pay ve paydada formüle ve sonuçlara uyan ifadelerin olduğunu görüyoruz. Sinüs argümanı ve teğet argümanı karşılık gelen paydalar için aynıdır $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$

Cevap

$$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$

Makalede: "İlk dikkate değer limit, çözüm örnekleri", bu formülün kullanılmasının tavsiye edildiği durumlardan ve sonuçlarından bahsetti.

İkinci dikkate değer limitin formülü şöyledir: lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Başka bir yazma şekli şuna benzer: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.

İkinci dikkat çekici limitten bahsederken, 1 ∞ formunun belirsizliğiyle uğraşmak zorundayız, yani. sonsuz derecede birlik.

Yandex.RTB R-A-339285-1

İkinci dikkate değer limiti hesaplama yeteneğinin faydalı olacağı problemleri ele alalım.

örnek 1

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 limitini bulun.

Çözüm

Gerekli formülü yerine koyalım ve hesaplamaları yapalım.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

Cevabımız sonsuzluğun kuvvetinin bir olduğu ortaya çıktı. Çözüm yöntemini belirlemek için belirsizlik tablosunu kullanırız. Dikkate değer ikinci limiti seçip değişkenlerde değişiklik yapalım.

t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2

Eğer x → ∞ ise t → - ∞ olur.

Bakalım değişimden sonra ne elde ettik:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Cevap: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

Örnek 2

Lim x → ∞ x - 1 x + 1 x limitini hesaplayın.

Çözüm

Sonsuzluğu yerine koyalım ve aşağıdakini elde edelim.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

Cevapta yine önceki problemdekiyle aynı şeyi elde ettik, dolayısıyla ikinci dikkat çekici limiti tekrar kullanabiliriz. Daha sonra güç fonksiyonunun tabanındaki parçanın tamamını seçmemiz gerekiyor:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

Bundan sonra limit aşağıdaki formu alır:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Değişkenleri değiştirin. Diyelim ki t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; eğer x → ∞ ise t → ∞.

Bundan sonra orijinal limitte ne elde ettiğimizi yazıyoruz:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2

Bu dönüşümü gerçekleştirmek için limitlerin ve kuvvetlerin temel özelliklerini kullandık.

Cevap: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

Örnek 3

Lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 limitini hesaplayın.

Çözüm

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞

Daha sonra fonksiyonu ikinci büyük limiti uygulayacak şekilde dönüştürmemiz gerekiyor. Aşağıdakileri aldık:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Artık kesrin pay ve paydasında aynı üslere sahip olduğumuz için (altıya eşit), kesrin sonsuzdaki limiti bu katsayıların daha yüksek kuvvetlerdeki oranına eşit olacaktır.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2x2 + 2x3 + 2x2 - 1x3 + 2x2 - 1 - 2x2 + 2 - 3

t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2'yi değiştirerek ikinci bir dikkate değer limit elde ederiz. Ne demek:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Cevap: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

sonuçlar

Belirsizlik 1 ∞, yani. Sonsuz bir kuvvete birlik bir kuvvet yasası belirsizliğidir, bu nedenle üstel kuvvet fonksiyonlarının sınırlarını bulma kuralları kullanılarak ortaya çıkarılabilir.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.