Örnek verilerin medyanı. İstatistiksel analiz yapmak için excel'de medyan işlevi
Ortalama değerlerle birlikte yapısal ortalamalar, değişken dağılım serilerinin istatistiksel özellikleri olarak hesaplanır - moda ve medyan.
Moda(Mo), en yüksek frekansla tekrarlanan çalışılan özelliğin değerini temsil eder, yani. modu, en sık meydana gelen özelliğin değeridir.
medyan(Ben), sıralanmış (sıralı) popülasyonun ortasına düşen özelliğin değeridir, yani. medyan - varyasyon serisinin merkezi değeri.
Medyanın ana özelliği, öznitelik değerlerinin medyandan mutlak sapmalarının toplamının diğer herhangi bir değerden daha az olmasıdır ∑|x i - Me|=min.
Gruplandırılmamış Verilerden Mod ve Medyan Belirleme
Düşünmek gruplandırılmamış verilerden mod ve medyanın belirlenmesi. 9 kişiden oluşan çalışma ekiplerinin aşağıdaki ücret kategorilerine sahip olduğunu varsayalım: 4 3 4 5 3 3 6 2 6 . Bu ekip 3. kategoride en fazla işçiye sahip olduğu için bu tarife kategorisi modal olacaktır. Mo = 3.Medyanı belirlemek için aşağıdakileri sıralamak gerekir: 2 3 3 3 4 4 5 6 6 . Bu seride merkez, 4. kategorinin çalışanıdır, bu nedenle bu kategori medyan olacaktır. Sıralanan seri çift sayıda birim içeriyorsa, medyan iki merkezi değerin ortalaması olarak tanımlanır.
Mod, öznitelik değerinin en yaygın varyantını yansıtıyorsa, medyan, normal dağılım yasasına uymayan heterojen bir popülasyon için ortalamanın işlevlerini pratik olarak yerine getirir. Bilişsel önemini aşağıdaki örnekle açıklayalım.
100 kişiden oluşan bir grup insanın ortalama gelirini karakterize etmemiz gerektiğini varsayalım, bunların 99'u ayda 100 ila 200 dolar arasında gelire sahiptir ve ikincisinin aylık geliri 50.000 dolar (Tablo 1).
Tablo 1 - İncelenen grubun aylık gelirleri. Aritmetik ortalamayı kullanırsak, grubun ana bölümünün geliriyle çok az ortak noktası olan yaklaşık 600 - 700 dolarlık bir ortalama gelir elde ederiz. Bu durumda Me = 163 dolara eşit olan medyan, bu insan grubunun %99'unun gelir düzeyinin nesnel bir tanımını yapmamızı sağlayacaktır.
Gruplandırılmış verilere (dağıtım serisi) göre mod ve medyan tanımını düşünün.
Tüm işletmenin işçilerinin bir bütün olarak tarife kategorisine göre dağılımının aşağıdaki forma sahip olduğunu varsayalım (Tablo 2).
Tablo 2 - İşletme çalışanlarının tarife kategorisine göre dağılımı
Ayrık bir seri için mod ve medyanın hesaplanması
Bir aralık serisi için mod ve medyanın hesaplanması
Bir varyasyon serisi için mod ve medyanın hesaplanması
Ayrık Bir Varyasyon Serisinden Modu Belirleme
Daha önce oluşturulmuş, değere göre sıralanmış özellik değerleri dizisi kullanılır. Örnek boyutu tek ise, merkez değeri alın; örneklem büyüklüğü eşitse, iki merkezi değerin aritmetik ortalamasını alırız.Ayrık Bir Varyasyon Serisinden Modu Belirleme: 5. tarife kategorisi en yüksek frekansa (60 kişi) sahiptir, bu nedenle modaldir. Mo = 5.
Özniteliğin medyan değerini belirlemek için, dizinin medyan biriminin sayısı (N Me) aşağıdaki formül kullanılarak bulunur: burada n, popülasyonun hacmidir.
Bizim durumumuzda:
.
Her zaman çift sayıda nüfus birimi ile ortaya çıkan elde edilen kesirli değer, tam ortanın 95 ile 96 işçi arasında olduğunu gösterir. Bu seri numaralarına sahip işçilerin hangi gruba ait olduğunun belirlenmesi gerekmektedir. Bu, birikmiş frekansları hesaplayarak yapılabilir. Sadece 12 kişinin bulunduğu birinci grupta bu sayılara sahip işçi yoktur ve ikinci grupta (12+48=60) değildirler. 95. ve 96. işçiler üçüncü grupta (12+48+56=116), dolayısıyla 4. ücret kategorisi ortancadır.
Bir aralık serisinde mod ve medyanın hesaplanması
Kesikli varyasyon serilerinden farklı olarak, aralık serilerinden mod ve medyanın belirlenmesi, aşağıdaki formüllere dayalı belirli hesaplamalar gerektirir:
, (5.6)
nerede x0- mod aralığının alt sınırı (en yüksek frekansa sahip aralığa modal denir);
i mod aralığının değeridir;
fMo mod aralığının frekansıdır;
f Mo-1 moddan önceki aralığın frekansıdır;
f Ay +1 kipi izleyen aralığın frekansıdır.
(5.7)
nerede x0- ortanca aralığın alt sınırı (ortanca, birikmiş frekansı toplam frekans toplamının yarısını aşan ilk aralıktır);
i medyan aralığın değeridir;
S Ben-1- medyandan önceki birikmiş aralık;
ben medyan aralığın frekansıdır.
Tablodaki verileri kullanarak bu formüllerin uygulamasını gösteriyoruz. 3.
Bu dağılımda 60 - 80 sınırları olan aralık modal olacaktır, çünkü en yüksek frekansa sahiptir. Formül (5.6) kullanarak modu belirleriz:
Ortanca aralığı belirlemek için, biriken frekansların toplamının yarısını (bizim durumumuzda, %50) geçene kadar her bir sonraki aralığın birikmiş frekansını belirlemek gerekir (Tablo 5.11).
Medyanın 100 - 120 bin ruble sınırları olan aralık olduğu bulundu. Şimdi medyanı tanımlıyoruz:
Tablo 3 - Mart 1994'te Rusya Federasyonu nüfusunun kişi başına ortalama nominal nakit gelir düzeyine göre dağılımı
| Kişi başına aylık ortalama gelir düzeyine göre gruplar, bin ruble | Nüfusun payı, % |
| 20'ye kadar | 1,4 |
| 20 – 40 | 7,5 |
| 40 – 60 | 11,9 |
| 60 – 80 | 12,7 |
| 80 – 100 | 11,7 |
| 100 – 120 | 10,0 |
| 120 – 140 | 8,3 |
| 140 –160 | 6,8 |
| 160 – 180 | 5,5 |
| 180 – 200 | 4,4 |
| 200 – 220 | 3,5 |
| 220 – 240 | 2,9 |
| 240 – 260 | 2,3 |
| 260 – 280 | 1,9 |
| 280 – 300 | 1,5 |
| 300'ün üzerinde | 7,7 |
| Toplam | 100,0 |
Tablo 4 - Medyan aralığın tanımı
Bu nedenle, aritmetik ortalama, mod ve medyan, sıralanmış bir popülasyonun birimleri için belirli bir özelliğin değerlerinin genelleştirilmiş bir özelliği olarak kullanılabilir.
Dağıtım merkezinin ana özelliği, ondan tüm sapmaların (pozitif ve negatif) sıfıra eşit olmasıyla karakterize edilen aritmetik ortalamadır. Modülde ondan sapmaların toplamının minimum olması ve modun en sık meydana gelen özelliğin değeri olması medyan için tipiktir.
Modun oranı, medyan ve aritmetik ortalama, özelliğin toplamdaki dağılımının doğasını gösterir, asimetrisini değerlendirmemize izin verir. Simetrik dağılımlarda, her üç özellik de aynıdır. Mod ve aritmetik ortalama arasındaki fark ne kadar büyükse seri o kadar asimetriktir. Orta derecede çarpık seriler için mod ve aritmetik ortalama arasındaki fark, medyan ve ortalama arasındaki farkın yaklaşık üç katıdır, yani:
|Mo–`x| = 3 |Ben –`x|.
Grafiksel bir yöntemle mod ve medyanın belirlenmesi
Bir aralık serisinde mod ve medyan grafiksel olarak belirlenebilir. Mod, dağılımın histogramından belirlenir. Bunu yapmak için, bu durumda modal olan en uzun dikdörtgen seçilir. Ardından modal dikdörtgenin sağ köşesini bir önceki dikdörtgenin sağ üst köşesine bağlarız. Ve kalıcı dikdörtgenin sol köşesi, sonraki dikdörtgenin sol üst köşesidir. Kesiştikleri noktadan, dik olanı apsis eksenine indiriyoruz. Bu çizgilerin kesiştiği noktanın apsisi dağıtım modu olacaktır (Şekil 5.3).
Pirinç. 5.3. Modanın histograma göre grafiksel tanımı.
Pirinç. 5.4. Kümülat ile medyanın grafiksel tespiti
Birikmiş frekanslar (frekanslar) ölçeğinde %50'ye tekabül eden bir noktadan medyanı belirlemek için, apsis eksenine paralel olarak kümülat ile kesişme noktasına düz bir çizgi çizilir. Daha sonra kesişim noktasından apsis eksenine bir dik açı indirilir. Kesişme noktasının apsisi medyandır.
Çeyrekler, Ondalıklar, Yüzdelikler
Benzer şekilde, değişken dağılım serilerinde medyanı bularak, sıralanmış serilerin herhangi bir birimi için bir özelliğin değerini sırayla bulabilirsiniz. Örneğin, bir özelliğin değerini, seriyi dört eşit parçaya, 10 veya 100 parçaya bölen birimlerde bulabilirsiniz. Bu değerlere "çeyrek", "ondalık", "yüzdelik" denir.Çeyrekler, aralıklı popülasyonu 4 eşit parçaya bölen bir özelliğin değeridir.
Niteliğin en düşük değerleriyle popülasyonun ¼'ünü ayıran alt çeyreği (Q 1) ve niteliğin en yüksek değerleriyle ¼ kısmını kesen üst çeyreği (Q 3) ayırt edin . Bu, nüfus birimlerinin %25'inin Q 1'den az olacağı anlamına gelir; %25 birim Q 1 ve Q 2 arasında kapatılacaktır; %25 - Q 2 ile Q 3 arasında ve kalan %25 Q 3'ten üstün. Q 2'nin orta çeyreği medyandır.
Aralık varyasyon serisine göre çeyrekleri hesaplamak için aşağıdaki formüller kullanılır:
, 
,
nerede x S 1- alt çeyreği içeren aralığın alt sınırı (aralık, ilki %25'i aşan birikmiş frekans tarafından belirlenir);
x S3- üst çeyreği içeren aralığın alt sınırı (aralık, ilki %75'i aşan birikmiş frekans tarafından belirlenir);
i– aralık değeri;
SQ 1-1 alt çeyreği içeren aralıktan önceki aralığın kümülatif frekansıdır;
SQ 3-1üst çeyreği içeren aralıktan önceki aralığın kümülatif frekansıdır;
f S 1 alt çeyreği içeren aralığın frekansıdır;
f S 3üst çeyreği içeren aralığın frekansıdır.
Tabloya göre alt ve üst çeyreklerin hesaplanmasını düşünün. 5.10. Alt çeyrek, kümülatif frekansı %33,5 olan 60 - 80 aralığındadır. Üst çeyrek, %75,8 birikmiş frekansla 160 - 180 aralığında yer alır. Bunu akılda tutarak, şunları elde ederiz:
,
.
Çeyreklere ek olarak, değişken dağılım sıralarında - sıralanmış varyasyon serilerini on eşit parçaya bölen seçeneklerde ondalıklar belirlenebilir. İlk ondalık (d 1) popülasyonu 1/10'a 9/10'a, ikinci ondalık (d 1) 2/10'dan 8/10'a vb. böler.
Formüllere göre hesaplanırlar:
, 
.
Seriyi yüz parçaya bölen özellik değerlerine yüzdelikler denir. Medyan, çeyrek, ondalık ve yüzdelik oranları Şekil 1'de gösterilmektedir. 5.5.
Ekonominin çeşitli sektörlerindeki ücretler, aynı bölgede karşılaştırılabilir zaman dilimleri için sıcaklık ve yağış, farklı coğrafi bölgelerdeki mahsul verimi, vb. Bununla birlikte, ortalama hiçbir şekilde tek genelleştirici gösterge değildir - bazı durumlarda daha kesin bir sonuç için değerlendirme medyan gibi bir değer uygundur. İstatistikte, bir özelliğin tek bir popülasyondaki dağılımının yardımcı tanımlayıcı bir özelliği olarak yaygın olarak kullanılır. Ortalamadan nasıl farklı olduğunu ve onu kullanma ihtiyacına neyin neden olduğunu görelim.
İstatistikte medyan: tanım ve özellikler
Şu durumu hayal edin: Bir şirkette müdürle birlikte 10 kişi çalışıyor. Sıradan çalışanların her birine 1.000 Grivnası verilir ve ayrıca sahibi olan yöneticilerine 10.000 Grivnası verilir. Aritmetik ortalamayı hesaplarsak, bu işletmedeki ortalama maaşın 1900 UAH olduğu ortaya çıkıyor. Bu ifade doğru olacak mı? Veya bir örnek vermek gerekirse, aynı hastane odasında 36.6°C ateşi olan dokuz kişi ve 41°C ateşi olan bir kişi var. Bu durumda aritmetik ortalama: (36.6 * 9 + 41) / 10 \u003d 37.04 ° C. Ancak bu, mevcut herkesin hasta olduğu anlamına gelmez. Bütün bunlar, ortalamanın tek başına genellikle yeterli olmadığını ve bu nedenle medyanın buna ek olarak kullanıldığını göstermektedir. İstatistikte, bu göstergeye, sıralı bir varyasyon serisinin tam ortasında bulunan bir varyant denir. Örneklerimiz için hesaplarsanız, sırasıyla 1000 UAH alırsınız. ve 36.6 °С. Başka bir deyişle, istatistikteki medyan, seriyi her iki tarafında (yukarı veya aşağı) belirli bir popülasyonun aynı sayıda birimi bulunacak şekilde ikiye bölen değerdir. Bu özellik nedeniyle, bu göstergenin birkaç başka adı vardır: 50. yüzdelik dilim veya 0,5 nicelik.
İstatistiklerde medyan nasıl bulunur
Bu değeri hesaplama yöntemi büyük ölçüde ne tür varyasyon serilerine sahip olduğumuza bağlıdır: kesikli veya aralıklı. İlk durumda, istatistiklerdeki medyan oldukça basittir. Tek yapmanız gereken frekansların toplamını bulmak, 2'ye bölmek ve ardından sonuca ½ eklemek. Hesaplama prensibini aşağıdaki örnekle açıklamak en doğrusu olacaktır. Doğurganlık verilerini gruplandırdığımızı ve medyanın ne olduğunu bulmak istediğimizi varsayalım.
Çocuk sayısına göre aile grubu sayısı | Aile sayısı |
Bazı basit hesaplamalar yaptıktan sonra, istenen göstergenin şuna eşit olduğunu elde ederiz: 195/2 + ½ = seçenek. Bunun ne anlama geldiğini bulmak için, en küçük seçeneklerden başlayarak sırayla frekansları biriktirmelisiniz. Yani, ilk iki satırın toplamı bize 30'u veriyor. Açıkçası, burada 98 seçenek yok. Ancak sonuca üçüncü seçeneğin (70) frekansını eklersek, 100'e eşit bir toplam elde ederiz. Sadece 98. seçeneği içerir, bu da medyanın iki çocuklu bir aile olacağı anlamına gelir.
Aralık serilerine gelince, burada genellikle aşağıdaki formül kullanılır:
M e \u003d X Me + i Me * (∑f / 2 - S Me-1) / f Me, içinde:
- X Me - ortanca aralığın ilk değeri;
- ∑f, serinin sayısıdır (frekanslarının toplamı);
- i Me - ortanca aralığın değeri;
- f Me - medyan aralığın frekansı;
- S Me-1 - medyandan önceki aralıklardaki kümülatif frekansların toplamı.
Yine, bunu bir örnek olmadan anlamak zor. Değerle ilgili veri olduğunu varsayalım
Maaş, bin ruble | Birikmiş Frekanslar |
|
Yukarıdaki formülü kullanmak için önce ortanca aralığı belirlememiz gerekir. Bu tür bir aralık olarak, biriken frekansı toplam frekans toplamının yarısını aşan veya buna eşit olan bir aralık seçilir. Böylece, 510'u 2'ye bölerek, bu kriterin 250.000 ruble maaş değerine sahip bir aralığa karşılık geldiğini görüyoruz. 300.000 rubleye kadar Artık formüldeki tüm verileri değiştirebilirsiniz:
M e \u003d X Me + ben Ben * (∑f / 2 - S Me-1) / f Me \u003d 250 + 50 * (510/2 - 170) / 115 \u003d 286.96 bin ruble.
Umarız makalemiz faydalı olmuştur ve artık istatistiklerde medyanın ne olduğu ve nasıl hesaplanması gerektiği konusunda net bir fikriniz vardır.
MS EXCEL'de medyanı hesaplamak için özel bir MEDIAN() işlevi vardır. Bu makalede, medyanı tanımlayacağız ve bir rastgele değişkenin belirli bir dağılım yasası ve bir örnek için nasıl hesaplanacağını öğreneceğiz.
İle başlayalım medyanlar için örnekler(yani sabit bir değerler kümesi için).
örnek medyan
Medyan(medyan) sayı kümesinin ortasındaki sayıdır: kümedeki sayıların yarısı şundan büyüktür medyan, ve sayıların yarısı küçüktür medyan.
Hesaplamak medyanlarönce gerekli (değerler örnekleme). Örneğin, medyanörnek için (2; 3; 3; 4 ; 5; 7; 10) 4 olacaktır. sadece örnekleme 7 değer, üçü 4'ten küçük (yani 2; 3; 3) ve üç değerden büyük (yani 5; 7; 10).
Küme çift sayıda sayı içeriyorsa, kümenin ortasındaki iki sayı için hesaplanır. Örneğin, medyanörnek (2; 3; 3 ; 6 ; 7; 10) 4,5 olacaktır, çünkü (3+6)/2=4.5.
belirlemek için medyanlar MS EXCEL'de MEDIAN()'ın İngilizce versiyonu olan MEDIAN() adında bir fonksiyon vardır.
Medyan mutlaka eşleşmez. Bir eşleşme, yalnızca numunedeki değerler yaklaşık olarak simetrik olarak dağıtılırsa gerçekleşir. orta. örneğin, için örnekler (1; 2; 3 ; 4 ; 5; 6) medyan ve ortalama 3.5'e eşittir.
biliniyorsa dağıtım işlevi F(x) veya olasılık yoğunluk fonksiyonu p(X), sonra medyan denklemden bulunabilir:
Örneğin, Lognormal dağılım lnN(μ; σ 2) için bu denklemi analitik olarak çözerek, şunu elde ederiz: medyan=EXP(μ) formülüyle hesaplanır. μ=0 için medyan 1'dir.
Noktaya dikkat edin dağıtım fonksiyonları, hangisi için F(x)=0.5(yukarıdaki resme bakın) . Bu noktanın apsisi 1'dir. Bu, em formülü kullanılarak daha önce hesaplanan değerle doğal olarak çakışan medyanın değeridir.
MS EXCEL'de medyan için lognormal dağılım LnN(0;1) formülü kullanılarak hesaplanabilir =LOGNORM.INV(0,5,0,1).
Not: integralinin tüm alan üzerinde rastgele bir değişken ayarlama bire eşittir.
Bu nedenle, medyan doğrusu (x=Medyan) grafiğin altındaki alanı böler. olasılık yoğunluk fonksiyonları iki eşit parçaya bölün.
Araştırmacının her döviz bürosundaki satış hacmine ilişkin verisi olmaması nedeniyle dolar başına ortalama fiyatı belirlemek için aritmetik ortalamanın hesaplanması uygun değildir.
Bir dizi sayının medyanı
Ancak medyan (Me) olarak adlandırılan özniteliğin değerini belirlemek mümkündür. Medyan
bizim örneğimizde 
Medyan sayı: NoMe = ;
Moda
Tablo 3.6.
f serinin frekanslarının toplamıdır;
S kümülatif frekanslar
12_
_
S birikmiş frekanslardır.
Şek. 3.2. Bankaların kâra göre dağılımının bir histogramı gösterilmektedir (Tablo 3.6'ya göre).
x kar miktarı, milyon ruble,
f banka sayısıdır.
"SİPARİŞ EDİLEN SERİNİN ORTADOĞU"
Yayının metin HTML sürümü
7. sınıf cebir dersinin özeti
Dersin konusu: "SİPARİŞ EDİLEN SERİNİN ORTADOĞU".
MKOU Burkovskaya ortaokulu Eremenko Tatyana Alekseevna'nın Göl Okulu şubesinin öğretmeni
Hedefler:
sıralı bir serinin istatistiksel bir özelliği olarak medyan kavramı; üye sayısı çift ve tek olan sıralı diziler için medyan bulma yeteneği oluşturmak; pratik duruma bağlı olarak medyanın değerlerini yorumlama becerisini oluşturmak, aritmetik ortalama sayı kümesi kavramını pekiştirmek. Bağımsız çalışma becerileri geliştirin. Matematiğe ilgi oluşturun.
Dersler sırasında
sözlü çalışma
Satırlar verilmiştir: 1) 4; bir; sekiz; 5; bir; 2) ; 9; 3; 0,5; ; 3) 6; 0.2; ; dört; 6; 7.3; 6. Bul: a) her satırın en büyük ve en küçük değerleri; b) her satırın aralığı; c) her sıranın modası.
II. Yeni malzemenin açıklaması.
Ders kitabı çalışması. 1. Ders kitabının 10. paragrafındaki sorunu düşünün. sıralı sıra ne demek? Medyanı bulmadan önce her zaman veri serilerini sıralamanız gerektiğini vurguluyorum. 2. Tahtada, çift ve tek sayıda üyeye sahip diziler için medyan bulma kurallarını öğreniyoruz:
medyan
düzenli
sıra
sayılar
İle birlikte
garip
sayı
üyeler
ortadaki numarayı aradı ve
medyan
sıralı satır
sayılar
eşit sayıda üye ile
Ortasına yazılan iki sayının aritmetik ortalamasına denir.
medyan
keyfi
sıra
karşılık gelen sıralı serinin medyanı 1 3 1 7 5 4 olarak adlandırılır.
Göstergelerin aritmetik ortalama, mod ve medyan olduğunu not ediyorum.
farklı
karakterize etmek
veri,
Alınan
sonuç
gözlemler.
III. Beceri ve yeteneklerin oluşumu.
1. grup. Sıralı ve sırasız bir serinin medyanını bulmak için formüllerin uygulanması üzerine alıştırmalar. bir.
№ 186.
Çözüm: a) Dizinin üye sayısı P= 9; medyan Ben= 41; b) P= 7, sıra sıralanır, Ben= 207; içinde) P= 6, sıra sıralanır, Ben== 21; G) P= 8, sıra sıralanır, Ben== 2.9. Cevap: a) 41; b) 207; 21'de; d) 2.9. Öğrenciler medyanın nasıl bulunduğu hakkında yorum yaparlar. 2. Bir dizi sayının aritmetik ortalamasını ve medyanını bulun: a) 27, 29, 23, 31, 21, 34; içinde) ; 1. b) 56, 58, 64, 66, 62, 74. Çözüm: Medyanı bulmak için her satırı şu şekilde sıralamak gerekir: a) 21, 23, 27, 29, 31, 34. P = 6; X = = 27,5; Ben== 28; 20 22 2 + 2, 6 3, 2 2 + 1125 ; ; ; 3636 21 23 27 29 31 34 165 66 +++++ = 27 29 2 + b) 56, 58, 62, 64, 66, 74.
İstatistiklerde medyan nasıl bulunur
P = 6; X = 63,3; Ben== 63; içinde) ; bir. P = 5; X = : 5 = 3: 5 = 0,6; Ben = . 3.
№ 188
(sözlü olarak). Cevap: evet; b) hayır; c) hayır; d) evet. 4. Sıralı serinin içerdiğini bilmek t sayılar, nerede t tek sayı ise ortancası olan terimin numarasını belirtiniz. tşuna eşittir: a) 5; b) 17; c) 47; d) 201. Cevap: a) 3; b) 9; c) 24; d) 101. 2. grup. Karşılık gelen serinin medyanını bulmak ve sonucu yorumlamak için pratik görevler. bir.
№ 189.
Çözüm: Satır üye sayısı P= 12. Medyanı bulmak için seriler şu şekilde sıralanmalıdır: 136, 149, 156, 158, 168, 174, 178, 179, 185, 185, 185, 194. Serinin medyanı Ben= = 176. Artel'in aşağıdaki üyeleri için aylık üretim medyandan fazlaydı: 56 58 62 64 66 74 380 66 +++++ =≈ 62 64 2 + 1125; ; ; 3636 1125 12456 18 1:5:5 6336 6 6 ++++ ⎛⎞ ++++ = = ⎜⎟ ⎝⎠ 2 3 67 174 178 22 xx+ + = 1) Kvitko; 4) Bobkov; 2) Baranov; 5) Rilov; 3) Antonov; 6) Astafiev. Cevap: 176. 2.
№ 192.
Çözüm: Veri serilerini düzenleyelim: 30, 31, 32, 32, 32, 32, 32, 32, 33, 35, 35, 36, 36, 36, 38, 38, 38, 40, 40, 42; satır üye sayısı P= 20. Kaydır A = x maksimum x min = 42 - 30 = 12. Mod ay= 32 (bu değer 6 kez oluşur - diğerlerinden daha sık). Medyan Ben= = 35. Bu durumda, aralık, parçanın işlenmesi için en büyük zaman dağılımını gösterir; mod, işlem süresinin en tipik değerini gösterir; medyan, tornaların yarısının geçmediği işlem süresidir. Cevap: 12; 32; 35.
IV. Dersin özeti.
Bir dizi sayının medyanı nedir? – Bir sayı dizisinin ortancası dizideki sayılardan herhangi biriyle çakışamaz mı? – 2 içeren sıralı bir dizinin medyanı kaçtır? P sayılar? 2 P– 1 numara? Sırasız bir dizinin medyanı nasıl bulunur?
Ev ödevi:
№ 187, № 190, № 191, № 254. 10 11 35 35 22 xx + + =
Temel genel eğitim bölümünde
Mod ve medyan
Ortalama değerler, modu ve medyanı da içerir.
Medyan ve mod, genellikle ortalamanın (aritmetik, harmonik, vb.) hesaplanmasının imkansız veya pratik olmadığı popülasyonlarda ortalama bir özellik olarak kullanılır.
Örneğin, Omsk şehrinde 12 ticari döviz bürosunun örnek bir araştırması, satıldığında dolar için çeşitli fiyatların sabitlenmesini mümkün kılmıştır (10 Ekim 1995 tarihli veriler -4493 ruble döviz kuru üzerinden) .
Araştırmacının her döviz bürosundaki satış hacmine ilişkin verisi olmaması nedeniyle dolar başına ortalama fiyatı belirlemek için aritmetik ortalamanın hesaplanması uygun değildir. Ancak medyan (Me) olarak adlandırılan özniteliğin değerini belirlemek mümkündür. Medyan sıralı satırın ortasında yer alır ve onu ikiye böler.
Gruplandırılmamış veriler için medyanın hesaplanması şu şekilde yapılır:
a) özelliğin bireysel değerlerini artan sırada düzenleyin:
4500 4500 4535 4540 4550 4560 4560 4560 4560 4570 4570 4570
b) medyanın seri numarasını aşağıdaki formüle göre belirleyin:
bizim örneğimizde bu, dizi çift sayıda bireysel değere sahip olduğundan, bu durumda medyanın, sıralanmış serideki altıncı ve yedinci özellik değerleri arasında yer aldığı anlamına gelir. Böylece Me, komşu değerlerin aritmetik ortalamasına eşittir: 4550, 4560.
c) Tek sayıda bireysel değer olması durumunda medyanı hesaplama prosedürünü göz önünde bulundurun.
12 değil, 11 para birimi değişim noktası gözlemlediğimizi varsayalım, o zaman sıralanmış seri şöyle görünecektir (12. noktayı atıyoruz):
4500 4500 4535 4540 4550 4560 4560 4560 4560 4570 4570
Medyan sayı: NoMe = ;
altıncı sırada = 4560, yani medyan: Me = 4560. Her iki tarafında da aynı sayıda puan var.
Moda- bu, özniteliğin bu popülasyonun birimlerindeki en yaygın değeridir. Belirli bir karakteristik değere karşılık gelir.
Bizim durumumuzda, dolar başına modal fiyat 4560 ruble olarak adlandırılabilir: bu değer diğerlerinden daha sık olmak üzere 4 kez tekrarlanır.
Pratikte mod ve medyan genellikle gruplandırılmış verilerden bulunur. Gruplandırma sonucunda bankaların yıl içinde elde ettikleri kar tutarına göre bir dizi dağılımı elde edilmiştir (Tablo 3.6.).
Tablo 3.6.
Bankaların yıl için alınan kar miktarına göre gruplandırılması
Medyanı belirlemek için kümülatif frekansların toplamını hesaplamak gerekir. Toplamdaki artış, kümülatif frekans toplamı, frekans toplamının yarısını geçene kadar devam eder. Örneğimizde, biriken frekansların (12) toplamı, tüm değerlerin (20:2) yarısını aşıyor. Bu değer, medyanı (5.5 - 6.4) içeren medyan aralığa karşılık gelir. Değerini formülle belirleyelim:
medyanı içeren aralığın ilk değeri nerede;
- medyan aralığın değeri;
f serinin frekanslarının toplamıdır;
medyan aralıktan önceki kümülatif frekansların toplamıdır;
medyan aralığın frekansıdır.
Böylece, bankaların %50'sinin karı 6,1 milyon ruble ve bankaların %50'si - 6,1 milyon rubleden fazla.
En yüksek frekans ayrıca 5.5 - 6.4 aralığına karşılık gelir, yani. mod bu aralıkta olmalıdır. Değeri aşağıdaki formülle belirlenir:
modu içeren aralığın ilk değeri nerede;
- mod aralığının değeri;
mod aralığının frekansıdır;
- moddan önceki aralığın sıklığı;
- modu takip eden aralığın sıklığı.
Verilen moda formülü, eşit aralıklarla varyasyon serilerinde kullanılabilir.
Böylece, bu toplamda en yaygın kar 6.10 milyon ruble.
Medyan ve mod grafiksel olarak belirlenebilir. Medyan, kümülat tarafından belirlenir (Şekil 3.1.). Bunu oluşturmak için kümülatif frekansları ve frekansları hesaplamak gerekir. Kümülatif frekanslar, popülasyonun kaç biriminin dikkate alınan değerden daha büyük olmayan özellik değerlerine sahip olduğunu gösterir ve aralık frekanslarının ardışık toplamı ile belirlenir. Kümülatif aralık dağılım serisini oluştururken, ilk aralığın alt sınırı sıfıra eşit bir frekansa karşılık gelir ve üst sınır, verilen aralığın tüm frekansına karşılık gelir. İkinci aralığın üst sınırı, ilk iki aralığın frekanslarının toplamına eşit kümülatif frekansa karşılık gelir, vb.
Tabloya göre kümülatif bir eğri oluşturalım. 6 bankaların kâra göre dağılımı hakkında.
S kümülatif frekanslar
12_
_
3.7-4.6 4.6-5.5 5.5-6.4 6.4-7.3 7.3-8.2 Х kar
Pirinç. 3.1. Bankaların kâra göre kümülatif dağılımı:
x kar miktarı, milyon ruble,
S birikmiş frekanslardır.
Medyanı belirlemek için, toplam nüfusa karşılık gelen en büyük ordinatın yüksekliği ikiye bölünür. Elde edilen noktadan, apsis eksenine paralel, kümülatı kesene kadar düz bir çizgi çizilir. Kesişme noktasının apsisi medyandır.
Mod, dağılımın histogramından belirlenir. Histogram şu şekilde oluşturulmuştur:
kabul edilen ölçekte varyasyon serisinin aralıklarının boyutuna karşılık gelen apsis ekseninde eşit bölümler çizilir. Dikdörtgenler, alanları aralığın frekansları (veya frekansları) ile orantılı olan segmentler üzerine inşa edilmiştir.
istatistiklerde medyan
3.2. Bankaların kâra göre dağılımının bir histogramı gösterilmektedir (Tablo 3.6'ya göre).
3.7-4.6 4.6-5.5 5.5-6.4 6.4-7.3 7.3-8.2 X
Pirinç. 3.2. Ticari bankaların kâra göre dağılımı:
x kar miktarı, milyon ruble,
f banka sayısıdır.
Modayı belirlemek için, modal dikdörtgenin sağ köşesini önceki dikdörtgenin sağ üst köşesine ve modal dikdörtgenin sol köşesini bir sonraki dikdörtgenin sol üst köşesine bağlarız. Bu çizgilerin kesiştiği noktanın apsisi dağıtım modu olacaktır.
Medyan (istatistik)
Medyan (istatistik), matematiksel istatistiklerde, bir örneği karakterize eden bir sayı (örneğin, bir sayı kümesi). Numunedeki tüm elementler farklıysa, medyan, numunedeki elemanların tam olarak yarısının ondan büyük ve diğer yarısının ondan küçük olduğu numunenin sayısıdır. Daha genel bir durumda, medyan, numunenin öğelerini artan veya azalan düzende sıralayarak ve ortadaki öğeyi alarak bulunabilir. Örneğin, örnek (11, 9, 3, 5, 5) sıralandıktan sonra (3, 5, 5, 9, 11) olur ve ortancası 5'tir. medyan benzersiz bir şekilde belirlenemeyebilir: sayısal veriler için, en sık kullanılan iki bitişik değerin yarı toplamı kullanılır (yani, kümenin medyanı (1, 3, 5, 7) 4'e eşit alınır.
Başka bir deyişle, istatistikteki medyan, seriyi her iki tarafında (yukarı veya aşağı) belirli bir popülasyonun aynı sayıda birimi bulunacak şekilde ikiye bölen değerdir.
Görev numarası 1. Aritmetik ortalama, modal ve medyan değerin hesaplanması
Bu özellik nedeniyle, bu göstergenin birkaç başka adı vardır: 50. yüzdelik dilim veya 0,5 nicelik.
- Kastetmek
- Medyan
- Moda
Medyan (istatistik)
Medyan (istatistik), matematiksel istatistiklerde, bir örneği karakterize eden bir sayı (örneğin, bir sayı kümesi). Numunedeki tüm elementler farklıysa, medyan, numunedeki elemanların tam olarak yarısının ondan büyük ve diğer yarısının ondan küçük olduğu numunenin sayısıdır. Daha genel bir durumda, medyan, numunenin öğelerini artan veya azalan düzende sıralayarak ve ortadaki öğeyi alarak bulunabilir. Örneğin örneklem (11, 9, 3, 5, 5) sıralandıktan sonra (3, 5, 5, 9, 11) olur ve medyanı 5 sayısıdır.
5.5 Mod ve medyan. Kesikli ve aralıklı varyasyon serilerinde hesaplamaları
Örnekte çift sayıda eleman varsa, medyan benzersiz bir şekilde belirlenmeyebilir: sayısal veriler için, en sık iki bitişik değerin yarı toplamı kullanılır (yani, kümenin medyanı (1, 3, 5, 7) 4'e eşit alınır.
Başka bir deyişle, istatistikteki medyan, seriyi her iki tarafında (yukarı veya aşağı) belirli bir popülasyonun aynı sayıda birimi bulunacak şekilde ikiye bölen değerdir. Bu özellik nedeniyle, bu göstergenin birkaç başka adı vardır: 50. yüzdelik dilim veya 0,5 nicelik.
Sıralanmış serilerin (en küçük ve en büyük) aşırı değişkenleri, geri kalanıyla karşılaştırıldığında aşırı büyük veya aşırı küçük olduğu ortaya çıktığında, aritmetik ortalama yerine medyan kullanılır.
MEDIAN işlevi, istatistiksel bir dağılımdaki bir dizi sayının merkezi olan merkezi eğilimi ölçer. Merkezi eğilimi belirlemenin en yaygın üç yolu vardır:
- Kastetmek- bir dizi sayının eklenmesi ve ardından elde edilen toplamın sayılarına bölünmesiyle hesaplanan aritmetik ortalama.
Örneğin, 2, 3, 3, 5, 7 ve 10 sayılarının ortalaması 5'tir, bu da 30 olan toplamlarının 6 olan sayılarına bölünmesinin sonucudur. - Medyan- bir sayı kümesinin ortasındaki sayı: sayıların yarısı medyandan daha büyük değerlere sahiptir ve sayıların yarısı daha küçüktür.
Örneğin, 2, 3, 3, 5, 7 ve 10 sayılarının medyanı 4'tür. - Moda verilen sayı kümesinde en sık görülen sayıdır.
Örneğin, 2, 3, 3, 5, 7 ve 10 sayıları için mod 3 olacaktır.
7. sınıfta cebir dersi.
Konu "İstatistiksel bir özellik olarak medyan".
Öğretmen Egorova N.I.
Dersin amacı: Öğrencilerin bir sayı kümesinin medyanını anlamalarını ve basit sayısal kümeler için hesaplama becerisini oluşturmak, aritmetik ortalama sayı kümesi kavramını düzeltmek.
Ders türü: yeni materyalin açıklaması.
Dersler sırasında
1. Organizasyonel an.
Dersin konusunu bildirin ve amaçlarını formüle edin.
2. Önceki bilgilerin gerçekleştirilmesi.
Öğrenciler için sorular:
Bir sayı kümesinin aritmetik ortalaması nedir?
Bir dizi sayı içinde aritmetik ortalama nerede bulunur?
Bir sayı kümesinin aritmetik ortalamasını karakterize eden nedir?
Genellikle kullanılan bir dizi sayının aritmetik ortalaması nerededir?
Sözlü görevler:
Bir sayı kümesinin aritmetik ortalamasını bulun:
Ev ödevi kontrol ediliyor.
Ders Kitabı: No. 169, No. 172.
3. Yeni materyal öğrenmek.
Önceki derste, bir dizi sayının aritmetik ortalaması gibi istatistiksel bir özellik hakkında bilgi sahibi olduk. Bugün başka bir istatistiksel özelliğe - medyan - bir ders vereceğiz.
Sadece aritmetik ortalama, herhangi bir kümenin sayılarının sayı doğrusunda nerede olduğunu ve merkezlerinin nerede olduğunu göstermez. Başka bir gösterge medyandır.
Bir sayı kümesinin medyanı, kümeyi iki eşit parçaya bölen sayıdır. "Ortanca" yerine "orta" denilebilir.
İlk önce örnekler kullanarak medyanın nasıl bulunacağını analiz edeceğiz ve ardından kesin bir tanım vereceğiz.
Bir projektör kullanarak aşağıdaki sözlü örneği düşünün
Eğitim-öğretim yılının sonunda 7. sınıftan 11 öğrenci 100 metre koşu standardını geçti. Aşağıdaki sonuçlar kaydedildi:
Adamlar mesafeyi koştuktan sonra Petya öğretmene yaklaştı ve sonucunun ne olduğunu sordu.
Öğretmen “En ortalama: 16.9 saniye” yanıtını verdi.
"Neden?" Petya şaşırmıştı. - Sonuçta, tüm sonuçların aritmetik ortalaması yaklaşık 18.3 saniye ve ben bir saniye veya daha iyi koştum. Ve genel olarak Katya'nın sonucu (18.4) ortalamaya benimkinden çok daha yakın."
"Sonucun ortalama çünkü beş kişi senden daha iyi ve beş kişi daha kötü koştu. Yani tam ortadasın” dedi öğretmen.
Bir sayı kümesinin medyanını bulmak için bir algoritma yazın:
Sayısal kümeyi sıralayın (sıralı bir dizi oluşturun).
Aynı zamanda, bir veya iki sayı kalana kadar bu sayı kümesinin "en büyük" ve "en küçük" sayılarının üzerini çiziyoruz.
Yalnızca bir sayı varsa, o da medyandır.
Kalan iki sayı varsa, medyan kalan iki sayının aritmetik ortalaması olacaktır.
Öğrencileri bir dizi sayının medyanının tanımını bağımsız olarak formüle etmeye davet edin, ardından ders kitabındaki medyanın tanımını okuyun (s. 40), ardından No. 186 (a, b), No. 187 (a)'yı çözün. ders kitabı (s. 41).
Yorum:
Öğrencilerin dikkatini önemli bir duruma çekin: medyan, bireysel aşırı değer kümelerinin önemli sapmalarına karşı pratik olarak duyarsızdır. İstatistikte bu özelliğe kararlılık denir. İstatistiksel bir göstergenin kararlılığı çok önemli bir özelliktir, bizi rastgele hatalara ve bireysel güvenilmez verilere karşı sigortalar.
4. Çalışılan materyalin konsolidasyonu.
Problem çözme.
x-aritmetik ortalamayı ifade edin, Me-medyan.
Sayı kümesi: 1,3,5,7,9.
x=(1+3+5+7+9):5=25:5=5,
Sayı kümesi: 1,3,5,7,14.
x=(1+3+5+7+14):5=30:5=6.
a) Sayı kümesi: 3,4,11,17,21
b) Sayı kümesi: 17,18,19,25,28
c) Sayı seti: 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50
Sonuç: Tek sayıda üyeden oluşan bir sayı kümesinin medyanı, ortadaki sayıya eşittir.
a) Bir dizi sayı: 2, 4, 8, 9.
Ben = (4+8):2=12:2=6
b) Bir dizi sayı: 1,3,5,7,8,9.
Ben = (5+7):2=12:2=6
Çift sayıda üye içeren bir sayı kümesinin medyanı, ortadaki iki sayının toplamının yarısıdır.
Öğrenci, çeyrek boyunca cebirde aşağıdaki notları aldı:
5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.
Bu kümenin ortalama puanını ve medyanını bulun.
Ortalama puanı, yani aritmetik ortalamayı bulalım:
x= (5+4+2+5+5+4+4+5+5+5): 10=44:10 = 4.4
Bu sayı kümesinin medyanını bulun:
Bir dizi sayı sıralayalım: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5
Sadece 10 sayı, ortancayı bulmak için iki orta sayıyı alıp yarım toplamlarını bulmanız gerekir.
Ben = (5+5):2 = 5
Öğrencilere soru: Eğer bir öğretmen olsaydınız, bu öğrenciye çeyrek dönem için kaç not verirdiniz? Cevabı gerekçelendirin.
Şirketin başkanı 300.000 ruble maaş alıyor. milletvekillerinden üçü her biri 150.000 ruble, kırk çalışan - her biri 50.000 ruble alıyor. ve bir temizlikçinin maaşı 10.000 ruble. Şirketteki maaşların aritmetik ortalamasını ve medyanını bulun. Bu özelliklerden hangisini başkanın reklam amaçlı kullanması daha karlı?
x \u003d (300000 + 3 150000 + 40 50000 + 10000): (1 + 3 + 40 + 1) \u003d 2760000: 45 \u003d 61333.33 (ruble)
6. Ağızdan.
A) Ortancası dokuzuncu terim olduğuna göre kümede kaç sayı vardır?
B) Ortancası 7. ve 8. üyelerin aritmetik ortalaması ise kümede kaç sayı vardır?
C) Yedi sayı kümesinde en büyük sayı 14 artırılmıştır. Bu hem aritmetik ortalamayı hem de medyanı değiştirir mi?
D) Kümedeki sayıların her biri 3 arttırılmıştır. Aritmetik ortalama ve medyana ne olacak?
Mağazadaki tatlılar ağırlıkça satılmaktadır. Masha, bir kilogramda kaç tane şeker bulunduğunu bulmak için bir şekerin ağırlığını bulmaya karar verdi. Birkaç şeker tarttı ve aşağıdaki sonuçları aldı:
12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.
Her iki özellik de bir şekerin ağırlığını tahmin etmek için uygundur, çünkü birbirlerinden çok farklı değiller.
Bu nedenle, istatistiksel bilgileri karakterize etmek için aritmetik ortalama ve medyan kullanılır. Çoğu durumda, bazı özelliklerin anlamlı bir anlamı olmayabilir (örneğin, trafik kazalarının zamanı hakkında bilgi sahibi olmak, bu verilerin aritmetik ortalamasından bahsetmek pek mantıklı değildir).
Ödev: 10. paragraf, No. 186 (c, d), No. 190.
5. Dersin sonuçları. Refleks.
"İstatistiksel araştırma: istatistiksel verilerin toplanması ve gruplandırılması"
Ders
… Konular yedinci için önerilen sınıf. TEMATİK PLANLAMA. § bir. istatistikselözellikler. P 1. Aritmetik ortalama, aralık ve mod 1h. 2. Medyannasılistatistikselkarakteristik …
7. sınıf (temel seviye) açıklayıcı notta "cebir" eğitim kursunun çalışma programı
çalışma programı
... madde 10 Medyannasılistatistikselkarakteristik 23 s.9 Aritmetik ortalama, aralık ve mod 24 Muayene No. 2 açık başlık …
Çalışma programı. Matematik. 5. sınıf s. Kanashi. 2011
çalışma programı
... denklemler. Aritmetik ortalama, aralık ve mod. Medyannasılistatistikselkarakteristik. Amaç, ... ile ilgili bilgileri sistematize etmek ve özetlemektir. dersler göre konular(kuyu cebir 10 sınıf). 11 Sınıf(haftada 4 saat...
Sipariş No. 51, 30 Ağustos 2012 Cebir Çalışma Programı 7. Sınıf
çalışma programı
… öğrenme materyali Medyannasılistatistikselkarakteristik Aritmetik ortalama, aralık, mod ve tanımlarını bilir medyanlarnasılistatistikselözelliklerÖn ve bireysel...
Matematik 7. sınıf ii seviye temel seviye çalışma programı (1)
çalışma programı
Bir dizinin medyanı nasıl bulunur
aynı, nasıl 6'da sınıf. Çalışma Konularöğrencileri en basit olanla tanıştırarak sona erer istatistikselözellikler: orta ... M .: "Genzher" yayınevi, 2009. 3. Zhokhov, V.I. derslercebir 7'de sınıf: kitap. öğretmen için / V. I. Zhokhov ...
Diğer ilgili belgeler..
1906'da, büyük bilim adamı ve ünlü öjenist Francis Galton, batı İngiltere'deki yıllık Hayvan ve Kümes Hayvanları Sergisini ziyaret etti ve burada tesadüfen ilginç bir deney yaptı.
The Wisdom of the Crowd'un yazarı James Surowetsky'ye göre, Galton Fuarı'nda insanların katledilmiş bir boğanın ağırlığını tahmin etmeleri gereken bir yarışma vardı. Gerçek sayıya en yakın olanı adlandıran kazanan ilan edildi.
Galton, sıradan insanların entelektüel yeteneklerini hor görmesiyle tanınırdı. Sadece gerçek uzmanların boğanın ağırlığı hakkında doğru açıklamalar yapabileceğine inanıyordu. Ve yarışmanın 787 katılımcısı uzman değildi.
Bilim adamı, katılımcıların cevaplarından ortalama sayıyı hesaplayarak kalabalığın yetersizliğini kanıtlayacaktı. Aldığı sonucun neredeyse tam olarak boğanın gerçek ağırlığına karşılık geldiği ortaya çıktığında, sürprizi neydi!
Ortalama değer - geç buluş
Tabii ki, cevabın doğruluğu araştırmacıyı şaşırttı. Ancak daha da dikkat çekici olanı, Galton'un ortalamayı kullanmayı düşünmesidir.
Günümüz dünyasında ortalamalar ve medyan denilen değerler her yerdedir: Nisan ayında New York'ta ortalama sıcaklık 52 derece Fahrenhayttır; Stephen Curry maç başına ortalama 30 sayı; ABD'de medyan hane geliri 51.939 $/yıl'dır.
Ancak, birçok farklı sonucun tek bir sayı ile temsil edilebileceği fikri oldukça yenidir. 17. yüzyıla kadar ortalamalar genellikle kullanılmıyordu.
Ortalamalar ve medyanlar kavramı nasıl ortaya çıktı ve gelişti? Ve zamanımızda ana ölçüm tekniği olmayı nasıl başardı?
Araçların medyanlara üstünlüğü, bilgi anlayışımız için geniş kapsamlı sonuçlara sahipti. Ve çoğu zaman insanları yoldan çıkardı.
Ortalama ve medyan değerler
Dün gece bir restoranda sizinle yemek yiyen dört kişi hakkında bir hikaye anlattığınızı hayal edin. Birine 20 yıl, diğerine 30, üçüncüye 40, dördüncüye 50 yıl verirsiniz. Öykünüzdeki yaşları hakkında ne söylersiniz?
Büyük olasılıkla, onlara ortalama yaş diyeceksiniz.
Ortalama, genellikle bir şey hakkında bilgi iletmek ve bir dizi ölçümü tanımlamak için kullanılır. Teknik olarak ortalama, matematikçilerin "aritmetik ortalama" dediği şeydir - tüm ölçümlerin toplamının ölçüm sayısına bölümü.
"Ortalama" kelimesi genellikle "medyan" (medyan) kelimesinin eş anlamlısı olarak kullanılsa da, ikincisine daha çok bir şeyin ortası olarak atıfta bulunulur. Bu kelime, "orta" anlamına gelen Latince "medianus" kelimesinden gelir.
Antik Yunanistan'da medyan değeri
Medyan değerin tarihi, eski Yunan matematikçi Pisagor'un öğretilerinden kaynaklanmaktadır. Pisagor ve okulu için medyanın net bir tanımı vardı ve bugün ortalamayı nasıl anladığımızdan çok farklıydı. Veri analizinde değil, sadece matematikte kullanıldı.
Pisagor okulunda, medyan değer, komşu terimlerle "eşit" bir ilişki içinde, üç terimli bir sayı dizisindeki ortalama sayıydı. "Eşit" oran, aynı mesafe anlamına gelebilir. Örneğin, 2,4,6 satırındaki 4 sayısı. Bununla birlikte, 1,10,100 dizisindeki 10 gibi bir geometrik ilerlemeyi de ifade edebilir.
İstatistikçi Churchill Eisenhart, antik Yunanistan'da medyanın herhangi bir sayı kümesinin temsilcisi veya ikamesi olarak kullanılmadığını açıklıyor. Basitçe ortayı belirtir ve genellikle matematiksel ispatlarda kullanılırdı.
Eisenhart ortalama ve medyanı incelemek için on yıl harcadı. Başlangıçta, erken dönem bilimsel yapılarda medyanın temsili işlevini bulmaya çalıştı. Ancak bunun yerine, ilk fizikçilerin ve astronomların çoğunun tek ve ustaca yapılmış ölçümlere güvendiğini ve birçok gözlem arasından en iyi sonucu seçecek bir metodolojiye sahip olmadıklarını buldu.
Modern araştırmacılar, örneğin insan genomunu inceleyen biyologlar gibi, sonuçlarını büyük miktarda veri toplamaya dayandırırlar. Öte yandan antik bilim adamları, birkaç ölçüm yapabilir, ancak teorilerini oluşturmak için yalnızca en iyisini seçtiler.
Astronomi tarihçisi Otto Neugebauer'in yazdığı gibi, "bu, eski insanların bilimdeki ampirik veri miktarını en aza indirme konusundaki bilinçli arzusuyla tutarlıdır, çünkü onlar doğrudan gözlemlerin doğruluğuna inanmamışlardır."
Örneğin, Yunan matematikçi ve astronom Ptolemy, gözlem yöntemini ve dünyanın hareket teorisini kullanarak ayın açısal çapını hesapladı. Skoru 31'20 idi. Bugün Ay'ın çapının Dünya'dan uzaklığına bağlı olarak 29'20 ile 34'6 arasında değiştiğini biliyoruz. Ptolemy, hesaplamalarında çok az veri kullandı, ancak bunların doğru olduğuna inanmak için her türlü nedeni vardı.
Eisenhart şöyle yazıyor: “Antik çağda gözlem ve teori arasındaki ilişkinin bugün olduğundan farklı olduğu akılda tutulmalıdır. Gözlemlerin sonuçları, teorinin ayarlanması gereken gerçekler olarak değil, ancak teorinin doğruluğunun açıklayıcı örnekleri olarak faydalı olabilecek somut vakalar olarak anlaşıldı.
Sonunda, bilim adamları verilerin temsili ölçümlerine yönelecekler, ancak başlangıçta bu rolde ne araç ne de medyan kullanılmadı. Antik çağlardan günümüze, başka bir matematiksel kavram, böyle bir temsili araç olarak kullanılmıştır - aşırı değerlerin yarısı.
Uç değerlerin yarım toplamı
Yeni bilimsel araçlar neredeyse her zaman bir disiplinde belirli bir sorunu çözme ihtiyacından doğar. Birçok ölçüm arasından en iyi değeri bulma ihtiyacı, coğrafi konumu doğru bir şekilde belirleme ihtiyacından doğmuştur.
11. yüzyıl entelektüel devi Al-Biruni, temsili anlamlar metodolojisini kullanan ilk kişilerden biri olarak bilinir. El-Biruni, elinde birçok ölçüm olduğunda ve aralarında en iyisini bulmak istediğinde, şu "kuralı" kullandığını yazdı: İki uç değerin ortasına karşılık gelen bir sayı bulmanız gerekiyor. Uç değerlerin yarım toplamı hesaplanırken, maksimum ve minimum değerler arasındaki tüm sayılar dikkate alınmaz, ancak sadece bu iki sayının ortalaması bulunur.
Al-Biruni, bu yöntemi, modern Afganistan topraklarında bulunan Gazne şehrinin boylamını hesaplamak ve metallerin özelliklerine ilişkin çalışmalarında da dahil olmak üzere çeşitli alanlarda uygulamıştır.
Bununla birlikte, son birkaç yüzyılda, aşırı uçların yarısı giderek daha az kullanıldı. Aslında, modern bilimde, hiç alakalı değil. Ortanca değer, yarım toplamın yerini almıştır.
Ortalamalara Geçiş
19. yüzyılın başlarında, medyan/ortalama kullanımı, bir grup veriden en doğru temsili değeri bulmak için yaygın bir yöntem haline geldi. Zamanının seçkin bir matematikçisi olan Friedrich von Gauss, 1809'da şöyle yazdı: "Belirli bir sayı, aynı koşullar altında yapılan birkaç doğrudan gözlemle belirlenirse, aritmetik ortalamanın en gerçek değer olduğuna inanılıyordu. Oldukça katı değilse, en azından gerçeğe yakındır ve bu nedenle ona her zaman güvenilebilir.
Metodolojide neden böyle bir değişiklik oldu?
Bu soruyu cevaplamak oldukça zor. Churchill Eisenhart araştırmasında, aritmetik ortalamayı bulma yönteminin, manyetik sapmayı ölçme alanında, yani pusula iğnesinin kuzeyi gösteren yönü ile gerçek kuzeyi gösteren yönü arasındaki farkı bulmada ortaya çıkmış olabileceğini öne sürüyor. Bu ölçüm, Keşif Çağı boyunca son derece önemliydi.
Eisenhart, 16. yüzyılın sonuna kadar, manyetik sapmayı ölçen çoğu bilim adamının, en doğru ölçümü seçerken ad hoc yöntemini (Latince'den "bu vesileyle, bu vesileyle, bu amaç için") kullandığını buldu.
Ancak 1580'de bilim adamı William Borough soruna farklı bir şekilde yaklaştı. Sekiz farklı sapma ölçümü aldı ve bunları karşılaştırdı ve en doğru okumanın 11 ⅓ ile 11 ¼ derece arasında olduğu sonucuna vardı. Muhtemelen bu aralıktaki aritmetik ortalamayı hesaplamıştır. Bununla birlikte, Borough'un kendisi, yaklaşımını açıkça yeni yöntem olarak adlandırmadı.
1635'ten önce, ortalama değeri temsili bir sayı olarak kullanma konusunda kesin bir durum yoktu. Ancak, o zaman İngiliz astronom Henry Gellibrand, manyetik sapmanın iki farklı ölçümünü aldı. Biri sabah (11 derece) ve diğeri öğleden sonra (11 derece ve 32 dakika) yapıldı. En gerçek değeri hesaplayarak şunları yazdı:
“Aritmetik ortalamayı bulursak, yüksek olasılıkla doğru bir ölçümün sonucunun yaklaşık 11 derece 16 dakika olması gerektiğini söyleyebiliriz.”
Muhtemelen bu, ortalamanın gerçeğe en yakın olarak kullanıldığı ilk seferdi!
"Ortalama" kelimesi, 16. yüzyılın başlarında, bir gemi veya kargonun bir yolculuk sırasında maruz kaldığı hasardan kaynaklanan mali kayıpları ifade etmek için İngilizce'de kullanıldı. Sonraki yüz yıl boyunca, aritmetik ortalama olarak hesaplanan bu kayıpları tam olarak ifade etti. Örneğin, bir gemi yolculuk sırasında hasar gördüyse ve mürettebat geminin ağırlığını korumak için bazı malları denize atmak zorunda kaldıysa, yatırımcılar yatırımlarının miktarına eşdeğer bir mali kayba uğradı - bu kayıplar aynı şekilde hesaplandı. aritmetik ortalama. Böylece yavaş yavaş ortalama (ortalama) ve aritmetik ortalamanın değerleri birleşti.
medyan değer
Günümüzde ortalama veya aritmetik ortalama, bir dizi ölçümün temsili bir değerini seçmenin ana yolu olarak kullanılmaktadır. Nasıl oldu? Bu rol neden ortanca değere atanmadı?
Francis Galton medyan şampiyon oldu
"Ortanca değer" (medyan) terimi - bir sayı dizisindeki orta terim, bu diziyi yarıya böler - aritmetik ortalama ile yaklaşık aynı zamanda ortaya çıktı. 1599'da, pusuladaki normal sapma sorunu üzerinde çalışan matematikçi Edward Wright, ilk olarak medyan değerini kullanmayı önerdi.
“... Diyelim ki birçok okçu bir hedefe ateş ediyor. Hedef daha sonra kaldırılır. Hedefin nerede olduğunu nasıl öğrenebilirsin? Tüm oklar arasındaki orta yeri bulmanız gerekiyor. Aynı şekilde, gözlem sonuçları kümesi arasında gerçeğe en yakın olanı ortadaki olacaktır.
Medyan, on dokuzuncu yüzyılda yaygın olarak kullanıldı ve o sırada herhangi bir veri analizinin vazgeçilmez bir parçası haline geldi. Aynı zamanda on dokuzuncu yüzyılın önde gelen analisti Francis Galton tarafından da kullanıldı. Bu makalenin başındaki boğa tartımı hikayesinde, Galton başlangıçta medyanı, kalabalığın fikrini temsil etmek için kullandı.
Galton dahil birçok analist, daha küçük veri kümeleri için hesaplamak daha kolay olduğu için medyanı tercih etti.
Ancak, medyan hiçbir zaman ortalamadan daha popüler olmamıştı. Büyük olasılıkla, bu, ortalama değerin doğasında bulunan özel istatistiksel özellikler ve bunun normal dağılımla ilişkisi nedeniyle oldu.
Ortalama ve normal dağılım arasındaki ilişki
Birçok ölçüm yaptığımızda, istatistikçilerin dediği gibi sonuçlar "normal dağılmış" oluyor. Bu, bu veriler bir grafik üzerinde çizilirse, üzerindeki noktaların zile benzer bir şey göstereceği anlamına gelir. Bunları birleştirirseniz, "çan şeklinde" bir eğri elde edersiniz. İnsanların boyu, IQ ve en yüksek yıllık sıcaklık gibi birçok istatistik normal dağılıma uygundur.
Veriler normal olarak dağıtıldığında, ortalama, çan eğrisindeki en yüksek noktaya çok yakın olacak ve çok sayıda ölçüm ortalamaya yakın olacaktır. Kaç ölçümün ortalamadan biraz uzak olacağını tahmin eden bir formül bile var.
Bu nedenle, ortalamayı hesaplamak, araştırmacılara birçok ek bilgi verir.
Ortalamanın standart sapma ile ilişkisi, medyanın böyle bir ilişkisi olmadığı için ona büyük bir avantaj sağlar. Bu bağlantı, deneysel verilerin analizinin ve bilgilerin istatistiksel olarak işlenmesinin önemli bir parçasıdır. Bu nedenle ortalama, istatistiklerin ve sonuçları için birden fazla veriye dayanan tüm bilimlerin çekirdeği haline geldi.
Ortalamanın avantajı da bilgisayarlar tarafından kolayca hesaplanabilmesinden kaynaklanmaktadır. Küçük bir veri grubu için ortanca değeri kendi başınıza hesaplamak oldukça kolay olsa da, ortalama değeri bulan bir bilgisayar programı yazmak çok daha kolaydır. Microsoft Excel kullanıyorsanız, medyan işlevinin ortalama değer işlevi kadar kolay hesaplanmadığını muhtemelen biliyorsunuzdur.
Sonuç olarak, büyük bilimsel değeri ve kullanım kolaylığı nedeniyle ortalama değer, ana temsili değer haline gelmiştir. Ancak, bu seçenek her zaman en iyisi değildir.
Medyan değerin avantajları
Bir dağılımın merkezini hesaplamak istediğimiz birçok durumda medyan en iyi ölçüdür. Bunun nedeni, ortalama değerin büyük ölçüde aşırı ölçümler tarafından belirlenmesidir.
Birçok analist, ortalamanın düşüncesizce kullanılmasının nicel bilgi anlayışımızı olumsuz etkilediğine inanıyor. İnsanlar ortalamaya bakar ve bunun "normal" olduğunu düşünür. Ama aslında homojen serilerden güçlü bir şekilde ayrılan bir terimle tanımlanabilir.
Beş evin değeri için temsili bir değer bilmek isteyen bir analist hayal edin. Dört ev 100.000 dolar değerinde ve beşincisi 900.000 dolar. O zaman ortalama 200.000 dolar ve medyan 100.000 dolar olur. Bunda, diğer birçok durumda olduğu gibi, medyan değer, "standart" olarak adlandırılabilecek şeyin daha iyi anlaşılmasını sağlar.
Aşırı değerlerin ortalamayı nasıl etkileyebileceğini anlayan medyan değer, ABD hane gelirindeki değişiklikleri yansıtmak için kullanılır.
Medyan, analistlerin bugün uğraştığı "kirli" verilere de daha az duyarlıdır. Pek çok istatistikçi ve analist, internette insanlarla görüşerek bilgi toplar. Kullanıcı yanlışlıkla cevaba 100'ü 1000'e çeviren fazladan bir sıfır eklerse, bu hata ortalamayı medyandan çok daha fazla etkileyecektir.
Ortalama mı, medyan mı?
Medyan ve ortalama arasında seçim yapmanın, ilaçların sağlık üzerindeki etkilerini anlamamızdan, bir ailenin standart bütçesinin ne olduğu konusundaki bilgimize kadar geniş kapsamlı sonuçları vardır.
Verilerin toplanması ve analizi, dünyayı nasıl anladığımızı giderek daha fazla belirlediğinden, kullandığımız miktarların değeri de öyle. İdeal bir dünyada, analistler verileri çizmek için hem ortalamayı hem de medyanı kullanırdı.
Ancak sınırlı zaman ve dikkat koşullarında yaşıyoruz. Bu sınırlamalar nedeniyle, genellikle sadece birini seçmemiz gerekir. Ve çoğu durumda, medyan değer tercih edilir.
