V. Varyasyon serileri, ortalama değerler, özellik değişkenliği

Varyasyon serisi bir özelliğin bir dizi sayısal değeridir.

Varyasyon serisinin temel özellikleri: v – değişken, p – ortaya çıkma sıklığı.

Varyasyon serisi türleri:

seçeneklerin ortaya çıkma sıklığına göre: basit - seçenek bir kez gerçekleşir, ağırlıklı - seçenek iki veya daha fazla kez gerçekleşir;

seçeneklerin konumuna göre: sıralanmış - seçenekler azalan ve artan sırada düzenlenir; sıralanmamış - seçenekler belirli bir sıraya göre yazılmaz;

bir seçeneği gruplar halinde birleştirerek: gruplandırılmış - seçenekler gruplar halinde birleştirilir, gruplanmamış - seçenekler gruplar halinde birleştirilmez;

boyut seçeneklerine göre: sürekli - seçenekler bir tam sayı ve kesirli sayı olarak ifade edilir, ayrık - seçenekler bir tam sayı olarak ifade edilir, karmaşık - seçenekler göreceli veya ortalama bir değerle temsil edilir.

Ortalama değerlerin hesaplanması amacıyla bir varyasyon serisi derlenir ve resmileştirilir.

Varyasyon serisi kayıt formu:

8. Ortalama değerler, çeşitleri, hesaplama yöntemleri, sağlık hizmetlerinde uygulanması

Ortalama değerler– niceliksel özelliklerin kümülatif genelleştirici özelliği. Ortalamaların uygulanması:

1. Tıbbi kurumların iş organizasyonunu karakterize etmek ve faaliyetlerini değerlendirmek:

a) klinikte: doktorların iş yükü göstergeleri, ortalama ziyaret sayısı, bölgedeki ortalama sakin sayısı;

b) hastanede: bir yatağın yılda ortalama açık olduğu gün sayısı; ortalama hastanede kalış süresi;

c) hijyen, epidemiyoloji ve halk sağlığının merkezinde: kişi başına ortalama alan (veya kübik kapasite), ortalama beslenme standartları (proteinler, yağlar, karbonhidratlar, vitaminler, mineral tuzlar, kaloriler), sağlık normları ve standartları vb.;

2. Fiziksel gelişimi karakterize etmek (temel antropometrik özellikler, morfolojik ve fonksiyonel);

3. Klinik ve deneysel çalışmalarda normal ve patolojik durumlarda vücudun tıbbi ve fizyolojik parametrelerini belirlemek.

4. Özel bilimsel araştırmalarda.

Ortalama değerler ve göstergeler arasındaki fark:

1. Katsayılar, istatistiksel popülasyonun yalnızca belirli bir bölümünde meydana gelen, meydana gelebilecek veya gelmeyebilecek alternatif bir özelliği karakterize eder.

Ortalama değerler, ekibin tüm üyeleri için ortak olan ancak değişen derecelerde (ağırlık, boy, hastanede tedavi günleri) özellikleri kapsar.

2. Katsayılar niteliksel özellikleri ölçmek için kullanılır. Ortalama değerler – değişen niceliksel özellikler için.

Ortalama türleri:

aritmetik ortalama, özellikleri standart sapma ve ortalama hatadır

mod ve medyan. Moda (Ay)– belirli bir popülasyonda diğerlerinden daha sık ortaya çıkan özelliğin değerine karşılık gelir. Medyan (Ben)– belirli bir popülasyonda medyan değeri işgal eden bir özelliğin değeri. Gözlem sayısına göre seriyi 2 eşit parçaya ayırır. Aritmetik ortalama (M)– mod ve medyandan farklı olarak yapılan tüm gözlemlere dayanır, dolayısıyla dağılımın tamamı için önemli bir özelliktir.

özel çalışmalarda kullanılan diğer ortalama türleri: karekök ortalama, kübik, harmonik, geometrik, aşamalı.

Aritmetik ortalama istatistiksel popülasyonun ortalama seviyesini karakterize eder.

Basit bir seri için,

∑v – tutar seçeneği,

n – gözlem sayısı.

ağırlıklı bir seri için, burada

∑vр – her seçeneğin çarpımlarının toplamı ve oluşma sıklığı

n – gözlem sayısı.

Standart sapma aritmetik ortalama veya sigma (σ) bir özelliğin çeşitliliğini karakterize eder

- basit bir seri için

Σd 2 – aritmetik ortalama ile her seçenek arasındaki farkın karelerinin toplamı (d = │M-V│)

n - gözlem sayısı

- ağırlıklı bir satır için

∑d 2 p – aritmetik ortalama ile her seçenek arasındaki farkın karelerinin çarpımlarının toplamı ve ortaya çıkma sıklığı,

n – gözlem sayısı.

Çeşitliliğin derecesi, varyasyon katsayısının büyüklüğü ile değerlendirilebilir.
. %20'den fazlası güçlü çeşitlilik, %10-20 orta çeşitlilik, %10'dan azı zayıf çeşitliliktir.

Aritmetik ortalama değere bir sigma (M ± 1σ) ekler ve çıkarırsak, normal bir dağılımla, tüm değişkenlerin (gözlemlerin) en az% 68,3'ü bu sınırlar içinde olacaktır; bu, incelenen olgunun normu olarak kabul edilir. . k 2 ± 2σ ise tüm gözlemlerin %95,5'i bu sınırlar içinde olacaktır ve eğer k M ± 3σ ise tüm gözlemlerin %99,7'si bu sınırlar içinde olacaktır. Dolayısıyla standart sapma, incelenen özelliğin böyle bir değerinin belirtilen sınırlar dahilinde ortaya çıkma olasılığını tahmin etmemizi sağlayan standart bir sapmadır.

Aritmetik ortalamanın ortalama hatası veya temsiliyet önyargısı. Basit, ağırlıklı bir seri ve momentler kuralı için:

.

Ortalama değerleri hesaplamak için şunlar gereklidir: malzemenin homojenliği, yeterli sayıda gözlem. Gözlem sayısı 30'dan az ise σ ve m hesaplama formüllerinde n-1 kullanılır.

Ortalama hatanın büyüklüğüne göre elde edilen sonucu değerlendirirken, doğru cevap olasılığını belirlemeyi mümkün kılan bir güven katsayısı kullanılır, yani örnekleme hatasının ortaya çıkan değerinin şundan büyük olmayacağını gösterir: sürekli gözlem sonucunda yapılan asıl hata. Sonuç olarak, güven olasılığı arttıkça güven aralığının genişliği de artar, bu da yargının güvenini ve elde edilen sonucun desteklenebilirliğini artırır.

​ Varyasyon serisi - karşılaştırılan bir seri (artış veya azalma derecesine göre) seçenekler ve karşılık gelen frekanslar

Seçenekler, bir özelliğin bireysel niceliksel ifadeleridir. Latin harfiyle gösterilir V . “Varyant” kavramının klasik anlayışında, tekrar sayısı dikkate alınmaksızın, bir özelliğin kendine özgü her değerinin bir varyant olarak adlandırıldığı varsayılır.

Örneğin, on hastada ölçülen sistolik kan basıncı göstergelerinin varyasyon serisinde:

110, 120, 120, 130, 130, 130, 140, 140, 160, 170;

Yalnızca 6 değer mevcuttur:

110, 120, 130, 140, 160, 170.

Frekans, bir seçeneğin kaç kez tekrarlandığını gösteren bir sayıdır. Latin harfiyle gösterilir P . Tüm frekansların toplamı (elbette incelenenlerin sayısına eşittir) şu şekilde gösterilir: N.

Örneğimizde frekanslar aşağıdaki değerleri alacaktır:
• seçenek 110 için frekans P = 1 (110 değeri bir hastada oluşur),
• seçenek 120 için sıklık P = 2 (120 değeri iki hastada ortaya çıkar),
• seçenek 130 için frekans P = 3 (130 değeri üç hastada ortaya çıkar),
• seçenek 140 için frekans P = 2 (140 değeri iki hastada ortaya çıkar),
• seçenek 160 için frekans P = 1 (160 değeri bir hastada oluşur),
• seçenek 170 için frekans P = 1 (170 değeri bir hastada oluşur),

Varyasyon serisi türleri:

1. basit- bu, her seçeneğin yalnızca bir kez gerçekleştiği bir seridir (tüm frekanslar 1'e eşittir);
2. askıya alınmış- bir veya daha fazla seçeneğin birden fazla kez göründüğü bir seri.

Varyasyon serisi, büyük sayı dizilerini tanımlamak için kullanılır; çoğu tıbbi çalışmanın toplanan verileri başlangıçta bu biçimde sunulur. Varyasyon serisini karakterize etmek için, ortalama değerler, değişkenlik göstergeleri (sözde dağılım) ve örnek verilerin temsil edilebilirliğine ilişkin göstergeler dahil olmak üzere özel göstergeler hesaplanır.

Varyasyon serisi göstergeleri

1) Aritmetik ortalama, incelenen özelliğin boyutunu karakterize eden genel bir göstergedir. Aritmetik ortalama şu şekilde gösterilir: M , en yaygın ortalama türüdür. Aritmetik ortalama, tüm gözlem birimlerinin gösterge değerlerinin toplamının çalışılan tüm konuların sayısına oranı olarak hesaplanır. Aritmetik ortalamayı hesaplama yöntemi, basit ve ağırlıklı varyasyon serileri için farklılık gösterir.

Hesaplama formülü basit aritmetik ortalama:

Hesaplama formülü ağırlıklı aritmetik ortalama:

M = Σ(V * P)/ n

​ 2) Mod, en sık tekrarlanan seçeneğe karşılık gelen, varyasyon serisinin başka bir ortalama değeridir. Veya başka bir deyişle en yüksek frekansa karşılık gelen seçenektir. Olarak gösterilir Ay . Mod yalnızca ağırlıklı seriler için hesaplanır, çünkü basit serilerde seçeneklerin hiçbiri tekrarlanmaz ve tüm frekanslar birliğe eşittir.

Örneğin, kalp atış hızı değerlerinin varyasyon serisinde:

80, 84, 84, 86, 86, 86, 90, 94;

mod değeri 86 olup bu seçenek 3 kez geçtiği için frekansı en yüksektir.

​

3) Medyan - varyasyon serisini ikiye bölen seçeneğin değeri: her iki tarafında da eşit sayıda seçenek vardır. Medyan, aritmetik ortalama ve mod gibi ortalama değerleri ifade eder. Olarak gösterilir Ben

4) Standart sapma (eş anlamlılar: standart sapma, sigma sapma, sigma) - varyasyon serisinin değişkenliğinin bir ölçüsü. Ortalamadan tüm sapma durumlarını birleştiren ayrılmaz bir göstergedir. Aslında şu soruyu yanıtlıyor: Değişkenler aritmetik ortalamadan ne kadar uzağa ve ne sıklıkta yayılır? Yunan harfiyle gösterilir σ ("sigma").

Popülasyon büyüklüğü 30 birimden fazla ise standart sapma aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Küçük popülasyonlar için (30 gözlem birimi veya daha az) standart sapma farklı bir formül kullanılarak hesaplanır:

Gruplandırma yöntemi aynı zamanda ölçüm yapmanıza da olanak tanır varyasyon işaretlerin (değişkenlik, dalgalanma). Bir popülasyondaki birim sayısı nispeten küçük olduğunda varyasyon, popülasyonu oluşturan birimlerin sıralanmış sayısına göre ölçülür. Seri denir sıralanmış, birimler karakteristiğin artan (azalan) sırasına göre düzenlenmişse.

Bununla birlikte, karşılaştırmalı bir varyasyon karakteristiğine ihtiyaç duyulduğunda sıralanmış seriler oldukça gösterge niteliğindedir. Ek olarak, birçok durumda, belirli bir seri biçiminde temsil edilmesi pratik olarak zor olan, çok sayıda birimden oluşan istatistiksel popülasyonlarla uğraşmak zorundayız. Bu bağlamda, istatistiksel verilerle ilk genel tanışma için ve özellikle özelliklerdeki çeşitliliğin incelenmesini kolaylaştırmak için, incelenen olgular ve süreçler genellikle gruplar halinde birleştirilir ve gruplandırma sonuçları grup tabloları şeklinde sunulur.

Bir grup tablosunun yalnızca iki sütunu varsa - seçilen özelliğe (seçenekler) ve grup sayısına (frekans veya frekans) göre gruplar, buna denir yakın dağıtım.

Dağıtım aralığı - Karakteristiğin varyantlarını ve frekanslarını içeren iki sütunlu bir grup tablosunda görüntülenen, tek bir karakteristiğe dayalı en basit yapısal gruplandırma türü. Çoğu durumda, böyle bir yapısal gruplamayla; Dağıtım serilerinin derlenmesiyle ilk istatistiksel materyalin incelenmesi başlar.

Bir dağılım serisi şeklindeki yapısal gruplama, seçilen grupların sadece frekanslarla değil aynı zamanda diğer istatistiksel göstergelerle de karakterize edilmesi durumunda gerçek bir yapısal gruplamaya dönüştürülebilir. Dağılım serilerinin temel amacı özelliklerin değişimini incelemektir. Dağılım serisi teorisi matematiksel istatistiklerle ayrıntılı olarak geliştirilmiştir.

Dağıtım serisi şu şekilde ayrılmıştır: niteliksel(Nüfusun cinsiyete, uyruğa, medeni duruma vb. göre bölünmesi gibi niteleyici özelliklere göre gruplandırma) ve varyasyonel(niceliksel özelliklere göre gruplandırma).

Varyasyon serisi iki sütun içeren bir grup tablosudur: birimlerin bir niceliksel özelliğe göre gruplandırılması ve her gruptaki birim sayısı. Varyasyon serilerindeki aralıklar genellikle eşit ve kapalı olarak oluşturulur. Varyasyon serisi, Rus nüfusunun kişi başına düşen ortalama parasal gelire göre aşağıdaki gruplandırılmasıdır (Tablo 3.10).

Tablo 3.10

2004-2009 yıllarında Rusya nüfusunun kişi başına düşen ortalama gelire göre dağılımı.

Kişi başına ortalama nakit gelire göre nüfus grupları, rub./ay	Gruptaki nüfus, toplamın yüzdesi
8 000,1-10 000,0
10 000,1-15 000,0
15 000,1-25 000,0
25.000,0'ın üzerinde
Tüm nüfus

Varyasyon serileri ise ayrık ve aralıklı olarak ikiye ayrılır. ayrık varyasyon serileri, dar sınırlar içinde değişen farklı karakteristiklerin varyantlarını birleştirir. Ayrık bir varyasyon serisinin bir örneği, Rus ailelerin sahip oldukları çocuk sayısına göre dağılımıdır.

Aralık Varyasyon serileri, geniş bir aralıkta değişen sürekli karakteristiklerin veya ayrık karakteristiklerin varyantlarını birleştirir. Aralık, Rusya nüfusunun kişi başına düşen ortalama parasal gelirin değerine göre dağılımının varyasyon serisidir.

Ayrık varyasyon serileri pratikte çok sık kullanılmaz. Bu arada, grupların bileşimi, incelenen gruplandırma özelliklerinin gerçekte sahip olduğu belirli değişkenler tarafından belirlendiğinden, bunları derlemek zor değildir.

Aralıklı varyasyon serileri daha yaygındır. Bunları derlerken, grup sayısı ve oluşturulması gereken aralıkların büyüklüğü konusunda zor bir soru ortaya çıkıyor.

Bu sorunu çözmeye yönelik ilkeler, istatistiksel gruplamaların oluşturulmasına ilişkin metodoloji bölümünde ortaya konmuştur (bkz. paragraf 3.3).

Varyasyon serileri, çeşitli bilgileri kompakt bir formda daraltmanın veya sıkıştırmanın bir yoludur; bunlardan biri, varyasyonun doğası hakkında oldukça net bir yargıya varabilir ve incelenen sette yer alan fenomenlerin özelliklerindeki farklılıkları inceleyebilir. Ancak varyasyon serilerinin en önemli önemi, varyasyonun özel genelleştirici özelliklerinin bu serilere dayanarak hesaplanmasıdır (bkz. Bölüm 7).

Varyasyonel niceliksel olarak oluşturulan dağılım serilerine denir. Nüfusun bireysel birimlerindeki niceliksel özelliklerin değerleri sabit değildir ve birbirinden az çok farklıdır.

Varyasyon- Nüfusun birimleri arasında bir özelliğin değerinin dalgalanması, değişebilirliği. İncelenen popülasyonda bulunan bir özelliğin bireysel sayısal değerlerine denir seçenekler değerler. Ortalama değerin popülasyonu tam olarak karakterize etmedeki yetersizliği, bizi ortalama değerleri, incelenen özelliğin değişkenliğini (varyantını) ölçerek bu ortalamaların tipikliğini değerlendirmemize olanak tanıyan göstergelerle desteklemeye zorlar.

Varyasyonun varlığı, çok sayıda faktörün özelliğin düzeyinin oluşumu üzerindeki etkisinden kaynaklanmaktadır. Bu faktörler eşit olmayan güçte ve farklı yönlerde etki eder. Özellik değişkenliğinin ölçüsünü tanımlamak için varyasyon indeksleri kullanılır.

Varyasyonun istatistiksel çalışmasının amaçları:

• 1) nüfusun bireysel birimlerindeki özelliklerin doğası ve çeşitlilik derecesinin incelenmesi;
• 2) popülasyonun belirli özelliklerinin değişmesinde bireysel faktörlerin veya gruplarının rolünün belirlenmesi.

İstatistikte, bir gösterge sisteminin kullanımına dayalı olarak varyasyonu incelemek için özel yöntemler kullanılır. İle varyasyonun ölçüldüğü yöntemdir.

Varyasyon araştırmaları önemlidir. Örnek gözlemi, korelasyon ve varyans analizi vb. yürütülürken varyasyonların ölçülmesi gereklidir. Ermolaev O.Yu. Psikologlar için matematiksel istatistikler: Ders Kitabı [Metin]/ O.Yu. Ermolaev. - M .: Moskova Psikolojik ve Sosyal Enstitüsü Flint Yayınevi, 2012. - 335 s.

Çeşitlilik derecesine göre, popülasyonun homojenliği, bireysel özellik değerlerinin istikrarı ve ortalamanın tipikliği değerlendirilebilir. Temel olarak, özellikler arasındaki ilişkinin yakınlığına ilişkin göstergeler ve örnek gözlemin doğruluğunu değerlendirmek için göstergeler geliştirildi.

Uzaydaki değişim ile zamandaki değişim arasında bir ayrım yapılır.

Uzaydaki çeşitlilik, bireysel bölgeleri temsil eden nüfus birimleri arasındaki nitelik değerlerinin dalgalanması olarak anlaşılmaktadır. Zaman değişimi, bir özelliğin değerlerinde farklı zaman dilimleri boyunca meydana gelen değişiklikleri ifade eder.

Dağıtım satırlarındaki varyasyonu incelemek için özellik değerlerinin tüm çeşitleri artan veya azalan sırada düzenlenir. Bu işleme seri sıralaması denir.

Değişimin en basit belirtileri şunlardır: minimum ve maksimum- özelliğin toplamdaki en küçük ve en büyük değeri. Özellik değerlerinin bireysel varyantlarının tekrar sayısına tekrarlama frekansı (fi) denir. Frekansları frekanslarla değiştirmek uygundur - wi. Frekans, bir birimin kesirleri veya yüzde olarak ifade edilebilen ve varyasyon serilerini farklı gözlem sayılarıyla karşılaştırmanıza olanak tanıyan göreceli bir frekans göstergesidir. Formülle ifade edilir:

Xmax, Xmin, toplamdaki özelliğin maksimum ve minimum değerleridir; n - grup sayısı.

Bir özelliğin varyasyonunu ölçmek için çeşitli mutlak ve göreceli göstergeler kullanılır. Mutlak varyasyon göstergeleri, varyasyon aralığını, ortalama doğrusal sapmayı, dağılım ve standart sapmayı içerir. Salınımın göreceli göstergeleri, salınım katsayısını, göreceli doğrusal sapmayı ve varyasyon katsayısını içerir.

Bir varyasyon serisi bulma örneği

Egzersiz yapmak. Bu örnek için:

• a) Varyasyon serisini bulun;
• b) Dağıtım fonksiyonunu oluşturun;

Hayır.=42. Örnek öğeler:

1 5 1 8 1 3 9 4 7 3 7 8 7 3 2 3 5 3 8 3 5 2 8 3 7 9 5 8 8 1 2 2 5 1 6 1 7 6 7 7 6 2

Çözüm.

• a) sıralanmış bir varyasyon serisinin oluşturulması:
  • 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9
• b) ayrı bir varyasyon serisinin oluşturulması.

Sturgess formülünü kullanarak varyasyon serisindeki grup sayısını hesaplayalım:

Grup sayısını 7 olarak alalım.

Grup sayısını bilerek aralığın boyutunu hesaplıyoruz:

Tabloyu oluşturmanın kolaylığı için grup sayısını 8'e eşit alacağız, aralık 1 olacaktır.

Pirinç. 1 Belirli bir süre için bir mağazanın mal satış hacmi

(bir varyasyon serisinin tanımı; bir varyasyon serisinin bileşenleri; bir varyasyon serisinin üç formu; bir aralık serisi oluşturmanın fizibilitesi; oluşturulan serilerden çıkarılabilecek sonuçlar)

Bir varyasyon serisi, azalmayacak şekilde düzenlenmiş tüm örnek öğelerin dizisidir. Aynı öğeler tekrarlanıyor

Varyasyon serileri niceliksel temele dayalı serilerdir.

Varyasyonel dağılım serisi iki unsurdan oluşur: seçenekler ve frekanslar:

Varyantlar, varyasyonel bir dağılım serisindeki niceliksel bir özelliğin sayısal değerleridir. Olumlu ve olumsuz, mutlak ve göreceli olabilirler. Dolayısıyla işletmeleri ekonomik faaliyet sonuçlarına göre gruplandırırken olumlu seçenekler kâr, olumsuz sayılar ise zarardır.

Frekanslar, bireysel varyantların veya bir varyasyon serisinin her grubunun sayısıdır; Bunlar bir dağıtım serisinde belirli seçeneklerin ne sıklıkta ortaya çıktığını gösteren sayılardır. Tüm frekansların toplamına popülasyonun hacmi denir ve tüm popülasyondaki elementlerin sayısına göre belirlenir.

Frekanslar, göreceli değerler (birimlerin kesirleri veya yüzdeler) olarak ifade edilen frekanslardır. Frekansların toplamı bire veya %100'e eşittir. Frekansları frekanslarla değiştirmek, varyasyon serilerini farklı sayıda gözlemle karşılaştırmaya olanak tanır.

Üç çeşit varyasyon serisi vardır: sıralı seriler, ayrık seriler ve aralıklı seriler.

Sıralanmış bir seri, bir popülasyonun bireysel birimlerinin, incelenen özelliğe göre artan veya azalan düzende dağılımıdır. Sıralama, niceliksel verileri kolayca gruplara ayırmanıza, bir özelliğin en küçük ve en büyük değerlerini anında tespit etmenize ve en sık tekrarlanan değerleri vurgulamanıza olanak tanır.

Diğer varyasyon serileri biçimleri, incelenen özelliğin değerlerindeki varyasyonun niteliğine göre derlenen grup tablolarıdır. Değişimin doğasına göre ayrık (süreksiz) ve sürekli özellikler ayırt edilir.

Ayrık bir seri, yapısı süreksiz değişime sahip özelliklere (ayrık özellikler) dayanan bir varyasyon serisidir. İkincisi, tarife kategorisini, ailedeki çocuk sayısını, işletmedeki çalışan sayısını vb. içerir. Bu özellikler yalnızca sınırlı sayıda spesifik değer alabilir.

Ayrık bir varyasyon serisi, iki sütundan oluşan bir tabloyu temsil eder. İlk sütun, özelliğin spesifik değerini gösterirken, ikinci sütun, popülasyondaki özelliğin belirli bir değerine sahip birimlerin sayısını gösterir.

Bir özelliğin sürekli bir değişimi varsa (belirli sınırlar dahilinde herhangi bir değer alabilen gelir miktarı, hizmet süresi, bir işletmenin sabit varlık maliyeti vb.), o zaman bu özellik için bir yapı oluşturmak gerekir. aralık varyasyon serisi.

Buradaki grup tablosunda da iki sütun bulunmaktadır. Birincisi, özelliğin “başlangıç ​​- bitiş” aralığındaki değerini (seçenekler), ikincisi ise aralığa dahil edilen birim sayısını (frekans) gösterir.

Frekans (tekrarlama frekansı) - belirli bir nitelik değerleri varyantının tekrar sayısı fi ile gösterilir ve incelenen popülasyonun hacmine eşit frekansların toplamı gösterilir

Burada k, nitelik değerlerine ilişkin seçeneklerin sayısıdır

Çoğu zaman tablo, popülasyondaki kaç birimin bu değerden daha büyük olmayan bir karakteristik değere sahip olduğunu gösteren, birikmiş frekansların (S) hesaplandığı bir sütunla desteklenir.

Ayrık varyasyonel dağılım serisi, grupların ayrık olarak değişen ve yalnızca tam sayı değerleri alan bir özelliğe göre oluşturulduğu bir seridir.

Aralıklı varyasyonel dağılım serisi, gruplandırmanın temelini oluşturan gruplama özelliğinin belirli bir aralıkta kesirli olanlar da dahil olmak üzere herhangi bir değeri alabildiği bir seridir.

Bir aralık varyasyon serisi, rastgele bir değişkenin değerlerini, her birinde değerin karşılık gelen frekansları veya oluşum frekansları ile değiştiren sıralı bir aralıklar kümesidir.

Her şeyden önce, bir özelliğin sürekli varyasyonuna sahip bir aralık dağılım serisinin oluşturulması ve ayrıca ayrı bir varyasyonun geniş bir aralıkta kendini göstermesi durumunda, yani; ayrı bir özelliğin varyantlarının sayısı oldukça fazladır.

Bu seriden zaten çeşitli sonuçlar çıkarılabilir. Örneğin, bir varyasyon serisinin orta elemanı (medyan), en olası ölçüm sonucunun tahmini olabilir. Varyasyon serisinin ilk ve son elemanı (yani numunenin minimum ve maksimum elemanı), numune elemanlarının yayılmasını gösterir. Bazen, ilk veya son eleman numunenin geri kalanından çok farklıysa, bu değerlerin bir tür büyük arızanın (örneğin teknoloji) bir sonucu olarak elde edildiği düşünülerek ölçüm sonuçlarının dışında bırakılırlar.