En akılcı şekilde hesaplayın. Rasyonel hesaplama yöntemleri

Bilgisayar otomasyon araçlarının mevcut gelişme düzeyi, birçok kişi arasında bilgisayar becerilerini geliştirmenin hiç de gerekli olmadığı yanılsamasını yarattı. Bu, okul çocuklarının hazırlıklılığını etkiledi. Hesap makinesinin yokluğunda, basit hesaplama görevleri bile birçok kişi için sorun haline gelir.

Aynı zamanda, Birleşik Devlet Sınavı için sınav görevleri ve materyalleri, çözümü sınava girenlerin hesaplamaları rasyonel bir şekilde organize etme yeteneğini gerektiren birçok görevi içerir.

Bu makalede, hesaplamaları optimize etmeye yönelik bazı yöntemlere ve bunların rekabet sorunlarına uygulanmasına bakacağız.

Çoğu zaman, hesaplamaları optimize etmeye yönelik yöntemler, aritmetik işlemleri gerçekleştirmenin temel yasalarının uygulanmasıyla ilişkilidir.

Örneğin:

125 · 24 = 125 · 8 · 3 = 1000 · 3 = 3000; veya

98 16(100 – 2) 16 = 100 16 – 2 16 = 1600 – 32 = 1568, vb.

Başka bir yön - kısaltılmış çarpma formüllerinin kullanılması.

96 · 104 = (100 – 4) · (100 + 4) = 100 2 – 4 2 = 10000 – 16 = 9984; veya

115 2 = (100 + 15) 2 = 10000 + 2 15 100 + 225 = 10525.

Aşağıdaki örnek hesaplamalar için ilginçtir.

Hesaplamak:

(197 · 203 + 298 · 302 + 13) / (1999 · 2001 + 2993 · 3007 + 50) =
= ((200 – 3) · (200 + 3) + (300 – 2) · (300 + 2) + 13) / ((2000 – 1) · (2000 + 1) + (3000 – 7) · (3000 + 7) + 50) =
= (200 2 – 3 2 + 300 2 – 2 2 + 13) / (2000 2 – 1 2 + 3000 2 – 7 2 – 50) =
= 130000 / 13000000 = 0,01

Bunlar hesaplamaları optimize etmenin neredeyse standart yollarıdır. Bazen daha egzotik olanlar da sunulmaktadır. Örnek olarak, birimleri toplamı 10 olan iki basamaklı sayıları çarpma yöntemini düşünün.

54 26 = 50 30 + 4 (26 – 50) = 1500 – 96 =1404 veya

43 87 = 40 90 + 3 (87 – 40) = 3600 + 141 = 3741.

Çarpma şeması şekilden anlaşılmaktadır.

Bu çarpma şeması nereden geliyor?

Koşula göre sayılarımız şu şekildedir: M = 10m + n, K = 10k + (10 – n). Bir parça oluşturalım:

MK = (10m + n)(10k + (10 – n)) =
= 100mk + 100m – 10dk + 10nk + 10n – n 2 =
= m(k + 1) 100 + n(10k + 10 – n) =
= (10m) · (10 · (k + 1)) + n · (K – 10m) ve yöntem doğrulanmıştır.

Oldukça karmaşık hesaplamaları zihinsel problemlere dönüştürmenin birçok akıllı yolu vardır. Ancak hesaplamaları basitleştirmenin bunları ve diğer birçok akıllı yolunu herkesin hatırlaması gerektiğini düşünemezsiniz. Sadece bazı temel bilgileri öğrenmek önemlidir. Başkalarının analizi yalnızca temel yöntemleri kullanma becerilerini geliştirmek için anlamlıdır. Hesaplama problemlerini hızlı ve doğru bir şekilde çözmeyi mümkün kılan, bunların yaratıcı kullanımıdır.

Bazen hesaplama örneklerini çözerken, sayılarla ifadeleri dönüştürmekten polinomları dönüştürmeye geçmek uygun olur. Aşağıdaki örneği düşünün.

En rasyonel şekilde hesaplayın:

3 1/117 4 1/110 -1 110/117 5 118/119 - 5/119

Çözüm.

a = 1/117 ve b = 1/119 olsun. O halde 3 1/117 = 3 + a, 4 1/119 = 4 + b, 1 116/117 = 2 – a, 5 118/119 = 6 – b.

Böylece verilen ifade (3 + a) · (4 + b) – (2 – a) · (6 – b) – 5b şeklinde yazılabilir.

Polinomun basit dönüşümlerini yaptıktan sonra 10a veya 10/117 elde ederiz.

Burada ifademizin değerinin b'ye bağlı olmadığını elde ettik. Bu, yalnızca bu ifadenin değerini değil aynı zamanda (3 + a) · (4 + b) – (2 – a) · (6 – b) – 5b'den elde edilen herhangi bir ifadenin değerini de değerleri yerine koyarak hesapladığımız anlamına gelir. a ve b'den. Örneğin a = 5/329 ise cevap şu şekilde olacaktır: 50 / 329 , her neyse b.

Hesap makinesi kullanmanın çözümü neredeyse imkansız olan başka bir örneğe bakalım ve bu tür örnekleri çözme yaklaşımını biliyorsanız cevap oldukça basittir.

Hesaplamak

1 / 6 · 7 1024 – (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) · ( 7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 2 + 1) · (7 + 1)

Çözüm.

Koşulu dönüştürelim

1 / 6 7 1024 - 1 / 6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 +1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) · (7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 2 + 1) · (7 + 1) · (7 – 1) =

1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1 ) · (7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 2 + 1) · (7 2 – 1) =

1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1 ) · (7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 4 – 1) =

1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1 ) · (7 8 + 1) · (7 8 – 1) =

1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 256 +1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1 ) · (7 16 – 1) = … =

1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 512 – 1) = 1/6 · 7 1024 - 1/6 · (7 1024 – 1) = 1/6

Şimdiden haline gelmiş bir örneğe bakalım temel okul dersi için sınav materyallerinde ders kitabı.

Tutarı hesaplayın:

1/2 + 1 / (2 3) + 1 / (3 4) + 1 / (4 5) + … + 1 / (120 121) =

= (1 – 1/2) + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + (1/4 – 1/5) + … + (1/120 – 1/121) =

= 1 – 1/121 = 120/121.

Yani her kesirin yerine iki kesrin farkı konularak bu sorun çözüldü. Toplamın, ilk ve sonuncu hariç hepsinin zıt sayı çiftleri olduğu ortaya çıktı.

Ancak bu örnek genelleştirilebilir. Miktarı ele alalım:

k/(n (n + k)) + k/((n + k) (n + 2k)) + k/((n + 2k) (n + 3k)) + … + k/(( n+(m) – 1)k) (n + mk))

Bir önceki örnekteki mantığın aynısı bunun için de geçerlidir. Aslında:

1/n – 1/(n + k) = k/(n · (n + k));

1/((n + k) – 1/(n + 2k) = k/((n + k) (n + 2k))), vb.

Daha sonra cevabı aynı şemaya göre oluşturacağız: 1/n – 1/(n + mk) = mk/(n (n + mk))

Ve "uzun" miktarlar hakkında daha fazlası.

Miktar

X = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/1024

paydası 1/2 ve ilk terimi 1 olan bir geometrik ilerlemenin 11 teriminin toplamı olarak hesaplanabilir. Ancak aynı toplam, ilerlemeler hakkında hiçbir fikri olmayan 5. sınıf öğrencisi tarafından da hesaplanabilir. Bunun için X toplamına ekleyeceğimiz bir sayıyı başarılı bir şekilde seçmeniz yeterlidir. Buradaki bu sayı 1/1024 olacaktır.

Haydi hesaplayalım

X + 1/1024 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + (1/1024 + 1 /1024) =
= 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/512 =
=1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/256 = … = 1 + 1/2 + 1/2 = 2.

Artık X = 2 olduğu açıktır. – 1/1024 = 1 1023 / 1024 .

İkinci yöntem daha az umut verici değil. Bunu kullanarak miktarı hesaplayabilirsiniz:

S = 9 + 99 + 999 + 9999 + … + 99 999 999 999.

Burada "şanslı" sayı 11'dir. Bunu S'ye ekleyin ve 11 terimin tamamına eşit olarak dağıtın. Daha sonra her biri 1 alacak. O zaman elimizde:

S + 11 = 9 + 1 + 99 + 1 + 999 + 1 + 9999 + 1 + … + 99 999 999 999 + 1 =
= 10 + 100 + 1000 + 10000 + ... + 100 000 000 000 = 111 111 111 110;

Bu nedenle S = 111 111 111 110 – 11 = 111 111 111 099.

1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 1 111 111 111?

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Uzak geçmişte, sayı sisteminin henüz icat edilmediği zamanlarda insanlar her şeyi parmaklarıyla sayıyordu. Aritmetiğin ve matematiğin temellerinin ortaya çıkışıyla birlikte malların, ürünlerin ve ev eşyalarının takibi çok daha kolay ve pratik hale geldi. Ancak modern matematik sistemi neye benziyor: Mevcut sayılar hangi türlere ayrılıyor ve "sayıların rasyonel biçimi" ne anlama geliyor? Hadi çözelim.

Matematikte kaç çeşit sayı vardır?

“Sayı” kavramı, herhangi bir nesnenin niceliksel, karşılaştırmalı veya sıralı göstergelerini karakterize eden belirli bir birimini ifade eder. Belirli şeylerin sayısını doğru hesaplamak veya sayılarla belirli matematiksel işlemleri (toplama, çarpma vb.) gerçekleştirmek için, öncelikle aynı sayıların çeşitlerine aşina olmalısınız.

Dolayısıyla mevcut sayılar aşağıdaki kategorilere ayrılabilir:

1. Doğal sayılar, nesnelerin sayısını saydığımız sayılardır (en küçük doğal sayı 1'dir, doğal sayılar dizisinin sonsuz olması mantıklıdır, yani en büyük doğal sayı yoktur). Doğal sayılar kümesi genellikle N harfiyle gösterilir.
2. Bütün sayılar. Bu set her şeyi içerirken, “sıfır” sayısı da dahil olmak üzere negatif değerler de buna ekleniyor. Bir tamsayı kümesinin tanımı Latin harfi Z olarak yazılır.
3. Rasyonel sayılar, payı tam sayılar kümesine, paydası ise doğal sayılar kümesine ait olacak şekilde zihinsel olarak kesire dönüştürebileceğimiz sayılardır. Aşağıda “rasyonel sayının” ne anlama geldiğini daha detaylı inceleyip bazı örnekler vereceğiz.
4. - Tüm rasyonelleri içeren bir küme ve Bu küme R harfi ile gösterilir.
5. Karmaşık sayılar reel sayının bir kısmını ve değişken sayının bir kısmını içerir. Formüllerde negatif bir ifadeye sahip olabilen çeşitli kübik denklemlerin çözümünde kullanılırlar (i 2 = -1).

“Rasyonel” ne anlama geliyor: örneklere bakalım

Sıradan kesir olarak temsil edebileceğimiz bu sayılar rasyonel kabul edilirse, pozitif ve negatif tüm tam sayıların da rasyoneller kümesine dahil olduğu ortaya çıkar. Sonuçta herhangi bir tam sayı, örneğin 3 veya 15, paydanın bir olduğu bir kesir olarak temsil edilebilir.

Kesirler: -9/3; 7/5, 6/55 rasyonel sayılara örnektir.

"Rasyonel ifade" ne anlama geliyor?

Devam etmek. Sayıların rasyonel formunun ne anlama geldiğini daha önce tartışmıştık. Şimdi çeşitli sayı ve değişkenlerin toplamı, farkı, çarpımı veya bölümünden oluşan bir matematiksel ifade düşünelim. İşte bir örnek: payın iki veya daha fazla tam sayının toplamı olduğu ve paydanın hem bir tam sayı hem de bir değişken içerdiği bir kesir. Rasyonel denilen bu tür bir ifadedir. “Sıfıra bölemezsiniz” kuralından yola çıkarak bu değişkenin değerinin payda değerinin sıfır olacağı şekilde olamayacağını tahmin edebilirsiniz. Bu nedenle rasyonel bir ifadeyi çözerken öncelikle değişkenin aralığını belirlemelisiniz. Örneğin payda şu ifadeye sahipse: x+5-2, o zaman "x"in -3'e eşit olamayacağı ortaya çıkar. Aslında bu durumda ifadenin tamamı sıfıra döner, bu nedenle çözerken bu değişken için -3 tamsayısını hariç tutmak gerekir.

Rasyonel denklemler doğru şekilde nasıl çözülür?

Rasyonel ifadeler oldukça fazla sayıda sayı ve hatta 2 değişken içerebildiğinden bazen bunları çözmek zorlaşabilmektedir. Böyle bir ifadenin çözümünü kolaylaştırmak için belirli işlemlerin rasyonel bir şekilde yapılması tavsiye edilir. Peki “rasyonel bir şekilde” ne anlama geliyor ve karar verirken hangi kurallara uyulmalı?

1. İlk tür, yalnızca ifadeyi basitleştirmenin yeterli olduğu durumlarda. Bunu yapmak için pay ve paydayı indirgenemez bir değere düşürme işlemine başvurabilirsiniz. Örneğin, pay 18x ifadesini ve payda 9x ifadesini içeriyorsa, her iki üssü de 9x azaltarak, 2'ye eşit bir tamsayı elde ederiz.
2. İkinci yöntem, payda bir monom ve paydada bir polinom olduğunda pratiktir. Bir örneğe bakalım: payda 5x var ve paydada - 5x + 20x 2. Bu durumda en iyisi paydadaki değişkeni parantez içinden çıkarmaktır, paydanın şu formunu elde ederiz: 5x(1+4x). Artık ilk kuralı kullanabilir ve pay ve paydadaki 5x'i iptal ederek ifadeyi basitleştirebilirsiniz. Sonuç olarak 1/1+4x formunun bir kısmını elde ederiz.

Rasyonel sayılarla hangi işlemler yapılabilir?

Rasyonel sayılar kümesinin kendine has birtakım özellikleri vardır. Birçoğu, tamsayılarda ve doğal sayılarda bulunan özelliklere çok benzer, çünkü ikincisi her zaman rasyonel sayılar kümesine dahil edilir. Herhangi bir rasyonel ifadeyi kolayca çözebileceğinizi bilerek, rasyonel sayıların birkaç özelliğini burada bulabilirsiniz.

1. Değişme özelliği, sıralarına bakılmaksızın iki veya daha fazla sayıyı toplamanıza olanak tanır. Basitçe söylemek gerekirse terimlerin yerlerinin değiştirilmesi toplamı değiştirmez.
2. Dağılma özelliği, sorunları dağıtım yasasını kullanarak çözmenize olanak sağlar.
3. Ve son olarak toplama ve çıkarma işlemleri.

Okul çocukları bile "rasyonel sayı biçiminin" ne anlama geldiğini ve bu tür ifadelere dayanarak problemlerin nasıl çözüleceğini biliyor, bu nedenle eğitimli bir yetişkinin en azından rasyonel sayılar kümesinin temellerini hatırlaması gerekiyor.

Bu yazıda keşfetmeye başlayacağız rasyonel sayılar. Burada rasyonel sayıların tanımlarını vereceğiz, gerekli açıklamaları yapıp rasyonel sayılara örnekler vereceğiz. Bundan sonra verilen bir sayının rasyonel olup olmadığının nasıl belirleneceğine odaklanacağız.

Sayfada gezinme.

Rasyonel sayıların tanımı ve örnekleri

Bu bölümde rasyonel sayıların çeşitli tanımlarını vereceğiz. İfadelerdeki farklılıklara rağmen, bu tanımların tümü aynı anlama sahiptir: tıpkı tam sayıların doğal sayıları, onların zıttlarını ve sıfır sayısını birleştirmesi gibi, rasyonel sayılar da tam sayıları ve kesirleri birleştirir. Başka bir deyişle rasyonel sayılar tam ve kesirli sayıları genelleştirir.

İle başlayalım rasyonel sayıların tanımları, bu en doğal şekilde algılanır.

Belirtilen tanımdan rasyonel bir sayının şu olduğu anlaşılmaktadır:

• Herhangi bir doğal sayı n. Aslında herhangi bir doğal sayıyı sıradan bir kesir olarak temsil edebilirsiniz, örneğin 3=3/1.
• Herhangi bir tam sayı, özellikle sıfır sayısı. Aslında herhangi bir tam sayı pozitif kesir, negatif kesir veya sıfır olarak yazılabilir. Örneğin, 26=26/1, .
• Herhangi bir ortak kesir (pozitif veya negatif). Bu, rasyonel sayıların verilen tanımıyla doğrudan doğrulanır.
• Herhangi bir karışık sayı. Aslında, karışık bir sayıyı her zaman uygunsuz bir kesir olarak temsil edebilirsiniz. Örneğin ve.
• Herhangi bir sonlu ondalık kesir veya sonsuz periyodik kesir. Bunun nedeni, belirtilen ondalık kesirlerin sıradan kesirlere dönüştürülmesidir. Örneğin, ve 0,(3)=1/3.

Ayrıca, periyodik olmayan herhangi bir sonsuz ondalık kesirin, ortak bir kesir olarak temsil edilemeyeceği için rasyonel bir sayı OLMADIĞI da açıktır.

Artık rahatlıkla verebiliriz rasyonel sayılara örnekler. 4, 903, 100,321 sayıları doğal sayılar olduğundan rasyonel sayılardır. 58, −72, 0, −833,333,333 tam sayıları da rasyonel sayılara örnektir. Ortak kesirler 4/9, 99/3 de rasyonel sayılara örnektir. Rasyonel sayılar da sayıdır.

Yukarıdaki örneklerden hem pozitif hem de negatif rasyonel sayıların olduğu ve sıfır rasyonel sayısının ne pozitif ne de negatif olduğu açıktır.

Rasyonel sayıların yukarıdaki tanımı daha kısa bir biçimde formüle edilebilir.

Tanım.

Rasyonel sayılar z/n kesri olarak yazılabilen sayılardır; burada z bir tamsayı ve n bir doğal sayıdır.

Rasyonel sayıların bu tanımının önceki tanıma eşdeğer olduğunu kanıtlayalım. Bir kesir çizgisini bir bölme işareti olarak düşünebileceğimizi biliyoruz, o zaman tam sayıları bölmenin özelliklerinden ve tam sayıları bölme kurallarından aşağıdaki eşitliklerin geçerliliği takip edilir ve. İşte bunun kanıtı.

Bu tanımdan yola çıkarak rasyonel sayılara örnekler verelim. −5, 0, 3 ve sayıları rasyonel sayılardır, çünkü bunlar sırasıyla bir tamsayı payı ve doğal paydası ile kesirler olarak yazılabilinir.

Rasyonel sayıların tanımı aşağıdaki formülle verilebilir.

Tanım.

Rasyonel sayılar sonlu veya sonsuz periyodik ondalık kesir olarak yazılabilen sayılardır.

Bu tanım aynı zamanda ilk tanıma da eşdeğerdir, çünkü her sıradan kesir sonlu veya periyodik bir ondalık kesire karşılık gelir ve bunun tersi de geçerlidir ve herhangi bir tam sayı, ondalık noktadan sonra sıfır bulunan bir ondalık kesirle ilişkilendirilebilir.

Örneğin 5, 0, −13 sayıları rasyonel sayılara örnektir çünkü aşağıdaki ondalık kesirler olarak yazılabilirler: 5,0, 0,0, −13,0, 0,8 ve −7, (18).

Bu noktanın teorisini aşağıdaki ifadelerle bitirelim:

• tamsayılar ve kesirler (pozitif ve negatif) rasyonel sayılar kümesini oluşturur;
• her rasyonel sayı, bir tamsayı payı ve bir doğal paydası olan bir kesir olarak temsil edilebilir ve bu tür kesirlerin her biri, belirli bir rasyonel sayıyı temsil eder;
• her rasyonel sayı, sonlu veya sonsuz periyodik ondalık kesir olarak temsil edilebilir ve bu tür kesirlerin her biri, bir rasyonel sayıyı temsil eder.

Bu sayı rasyonel midir?

Önceki paragrafta, herhangi bir doğal sayının, herhangi bir tam sayının, herhangi bir sıradan kesirin, herhangi bir karışık sayının, herhangi bir sonlu ondalık kesirin yanı sıra herhangi bir periyodik ondalık kesirin rasyonel bir sayı olduğunu öğrendik. Bu bilgi, bir dizi yazılı sayıdan rasyonel sayıları “tanımamızı” sağlar.

Peki ya sayı bazı şeklinde veya şeklinde verilirse, bu sayının rasyonel olup olmadığı sorusuna nasıl cevap verilir? Çoğu durumda cevap vermek çok zordur. Bazı düşünce yönlerini belirtelim.

Bir sayı, yalnızca rasyonel sayılar ve aritmetik işaretler (+, −, · ve:) içeren sayısal bir ifade olarak veriliyorsa bu ifadenin değeri bir rasyonel sayıdır. Bu, rasyonel sayılarla yapılan işlemlerin nasıl tanımlandığından kaynaklanmaktadır. Örneğin ifadedeki tüm işlemleri yaptıktan sonra 18 rasyonel sayısını elde ederiz.

Bazen ifadeleri basitleştirip daha karmaşık hale getirdikten sonra verilen bir sayının rasyonel olup olmadığını belirlemek mümkün hale gelir.

Daha ileri gidelim. Her doğal sayı rasyonel olduğundan 2 sayısı rasyonel bir sayıdır. Peki ya sayı? Mantıklı mı? Hayır, bunun rasyonel bir sayı olmadığı, irrasyonel bir sayı olduğu ortaya çıktı (bu gerçeğin çelişkili kanıtı, aşağıda referans listesinde listelenen 8. sınıf cebir ders kitabında verilmiştir). Ayrıca, bir doğal sayının karekökünün, yalnızca kökün altında bir doğal sayının tam karesi olan bir sayının bulunduğu durumlarda rasyonel bir sayı olduğu kanıtlanmıştır. Örneğin, 81 = 9 2 ve 1 024 = 32 2 olduğundan ve sayıları rasyonel sayılardır ve 7 ve 199 sayıları doğal sayıların tam kareleri olmadığından ve sayıları rasyonel değildir.

Sayı rasyonel mi değil mi? Bu durumda bu sayının rasyonel olduğunu fark etmek kolaydır. Sayı rasyonel mi? Bir tam sayının k'inci kökünün, yalnızca kök işaretinin altındaki sayının bir tamsayının k'inci kuvveti olması durumunda rasyonel sayı olduğu kanıtlanmıştır. Dolayısıyla beşinci kuvveti 121 olan bir tam sayı bulunmadığından rasyonel bir sayı değildir.

Çelişki yöntemi, bazı sayıların logaritmasının bazı nedenlerden dolayı rasyonel sayılar olmadığının kanıtlanmasına olanak tanır. Örneğin - sayısının rasyonel bir sayı olmadığını kanıtlayalım.

Bunun tersini varsayalım, yani bunun rasyonel bir sayı olduğunu ve m/n sıradan kesri olarak yazılabildiğini varsayalım. Daha sonra aşağıdaki eşitlikleri veriyoruz: . Son eşitlik imkansızdır çünkü sol tarafta tek sayı 5 n ve sağ tarafta çift sayı 2 m var. Dolayısıyla varsayımımız yanlıştır, dolayısıyla rasyonel bir sayı değildir.

Sonuç olarak, sayıların rasyonelliğini veya irrasyonelliğini belirlerken ani sonuçlara varmaktan kaçınılması gerektiğini özellikle belirtmekte fayda var.

Örneğin, irrasyonel sayılar π ve e'nin çarpımının irrasyonel bir sayı olduğunu hemen iddia etmemelisiniz; bu "görünüşte açık" ama kanıtlanmadı. Bu şu soruyu gündeme getiriyor: "Bir ürün neden rasyonel sayı olsun?" Ve neden olmasın, çünkü çarpımı rasyonel bir sayı veren irrasyonel sayılara bir örnek verebilirsiniz: .

Sayıların ve daha birçok sayının rasyonel olup olmadığı da bilinmiyor. Örneğin, irrasyonel gücü rasyonel bir sayı olan irrasyonel sayılar vardır. Örnek olarak, formun bir derecesini sunuyoruz, bu derecenin tabanı ve üssü rasyonel sayılar değil, ve 3 rasyonel bir sayıdır.

Kaynakça.

• Matematik. 6. sınıf: eğitici. genel eğitim için kurumlar / [N. Ya Vilenkin ve diğerleri]. - 22. baskı, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: hasta. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Cebir: ders kitabı 8. sınıf için. Genel Eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.

Kozhinova Anastasia

BELEDİYENİN TİPİK OLMAYAN BÜTÇESİ

GENEL EĞİTİM KURUMU

"LİSE No. 76"

RASYONEL MUHASEBE SIRRI NEDİR?

Gerçekleştirilen:

5. "B" sınıfı öğrencisi

Kozhinova Anastasia

Danışman:

Matematik öğretmeni

Shchiklina Tatyana

Nikolayevna

Novokuznetsk 2013

Giriş……………………………………………………… 3

Ana bölüm....…………………………………………………………… 5-13

Sonuç ve sonuçlar………………………………………………………….. 13-14

Referanslar…………………………………………………………….. 15

Başvurular……………………………………………………. 16-31

BEN. giriiş

Sorun: sayısal ifadelerin değerlerini bulma

Çalışmanın amacı: rasyonel muhasebenin mevcut yöntem ve tekniklerinin araştırılması, incelenmesi, bunların uygulamaya uygulanması.

Görevler:

1. Paralel sınıflar arasında anket şeklinde bir mini araştırma yapın.

2. Araştırma konusunu analiz edin: okul kütüphanesinde mevcut literatür, internette 5. sınıf matematik ders kitabındaki bilgiler.

3. Rasyonel muhasebenin en etkili yöntem ve araçlarını seçin.

4. Hızlı sözlü ve yazılı sayma için mevcut teknikleri sınıflandırabilecektir.

5. 5. sınıf paralellikler dersinde kullanılmak üzere rasyonel sayma tekniklerini içeren hatırlatıcılar oluşturun.

Çalışmanın amacı: rasyonel hesap.

Çalışma konusu: Rasyonel sayma yöntemleri.

Araştırma çalışmasının etkinliğini sağlamak için aşağıdaki yöntemleri kullandım: çeşitli kaynaklardan elde edilen bilgilerin analizi, sentez, genelleme; anket şeklinde sosyolojik araştırma. Anket, çalışmanın amaç ve hedeflerine, katılımcıların yaşına uygun olarak tarafımca geliştirilmiş olup, çalışmanın ana bölümünde sunulmuştur.

Araştırma çalışması sırasında rasyonel hesaplama yöntem ve teknikleriyle ilgili konular ele alınmış, hesaplama becerilerindeki sorunların ortadan kaldırılmasına ve hesaplama kültürünün oluşturulmasına yönelik önerilerde bulunulmuştur.

II. Ana bölüm

Öğrencilerin bilgisayar kültürünün oluşumu

5-6 sınıf.

Rasyonel hesaplama tekniklerinin, öncelikle pratik önemi nedeniyle her insanın hayatındaki hesaplama kültürünün gerekli bir unsuru olduğu ve öğrencilerin buna hemen hemen her derste ihtiyaç duyduğu açıktır.

Hesaplama kültürü, matematik ve diğer akademik disiplinlerin çalışmasının temelidir, çünkü hesaplamaların hafızayı ve dikkati harekete geçirmesinin yanı sıra, etkinliklerin rasyonel bir şekilde düzenlenmesine yardımcı olur ve insan gelişimini önemli ölçüde etkiler.

Günlük yaşamda, her dakikanın değerli olduğu sınıflarda, sözlü ve yazılı hesaplamaların hata yapmadan ve herhangi bir ek bilgi işlem aracı kullanmadan hızlı ve akılcı bir şekilde gerçekleştirilmesi çok önemlidir.

Biz okul çocukları bu sorunla her yerde karşılaşıyoruz: sınıfta, evde, mağazada vb. Ayrıca 9. ve 11. sınıflardan sonra mikro hesap makinesi kullanımına izin verilmeyen IGA ve Birleşik Devlet Sınavı şeklinde sınavlara girmek zorunda kalacağız. Bu nedenle, her insanda rasyonel hesaplama tekniklerine hakim olan bir bilgi işlem kültürü geliştirme sorunu son derece önemli hale geliyor.

Rasyonel sayma tekniklerine hakim olmak özellikle gereklidir

matematik, tarih, teknoloji, bilgisayar bilimi vb. konuların incelenmesinde, yani rasyonel hesaplama, ilgili konularda uzmanlaşmaya, üzerinde çalışılan materyali yaşam koşullarında daha iyi yönlendirmeye yardımcı olur. Peki ne bekliyoruz? Rasyonel sayma tekniklerinin sırları dünyasına girelim!!!

Öğrenciler hesaplama yaparken ne gibi sorunlarla karşılaşıyorlar?

Benim yaşımdaki akranlarım, hesaplamaları hızlı ve kolay bir şekilde yapmaları gereken çeşitli görevleri yerine getirirken sıklıkla sorun yaşarlar. . Neden???

İşte bazı tahminler:

1. Öğrenci çalışılan konuyu iyi anlamadı

2. Öğrenci materyali tekrar etmez.

3. Öğrencinin sayısal becerileri zayıftır.

4. Öğrenci bu konuyu çalışmak istemiyor

5. Öğrenci bunun kendisine faydası olmayacağına inanır.

Tüm bu varsayımları kendi deneyimlerimden ve sınıf arkadaşlarımın ve akranlarımın deneyimlerinden aldım. Ancak hesaplamalı alıştırmalarda rasyonel sayma becerileri önemli bir rol oynar, bu yüzden ben de araştırdım, uyguladım ve size bazı rasyonel sayma tekniklerini tanıtmak istiyorum.

Sözlü ve yazılı hesaplamaların rasyonel yöntemleri.

İş ve günlük yaşamda sürekli olarak çeşitli hesaplama türlerine ihtiyaç duyulmaktadır. En basit zihinsel sayma yöntemlerini kullanmak yorgunluğu azaltır, dikkati ve hafızayı geliştirir. Hesaplamaların işçiliğini, doğruluğunu ve hızını arttırmak için rasyonel hesaplama yöntemlerinin kullanılması gereklidir. Hesaplamaların hızı ve doğruluğu, ancak hesaplama yöntemlerinin ve mekanizasyon araçlarının rasyonel kullanımıyla ve zihinsel hesaplama yöntemlerinin doğru kullanılmasıyla sağlanabilir.

BEN. Sayıların basitleştirilmiş şekilde toplanmasına yönelik teknikler

Hesaplamaları hızlandırabilecek bilinen dört toplama yöntemi vardır.

Sıralı bitsel toplama yöntemi Terimlerin toplamını basitleştirdiği ve hızlandırdığı için zihinsel hesaplamalarda kullanılır. Bu yöntemi kullanırken toplama işlemi en yüksek rakamlardan başlar: ikinci toplananın karşılık gelen rakamları ilk toplanana eklenir.

Örnek. Sıralı bitsel toplama yöntemini kullanarak 5287 ve 3564 sayılarının toplamını bulalım.

Çözüm. Hesaplamayı aşağıdaki sırayla yapacağız:

5 287 + 3 000 = 8 287;

8 287 + 500 = 8 787;

8 787 + 60 = 8 847;

8 847 + 4 = 8 851.

Cevap: 8 851. (birleşimsel-değişmeli yasa)

Sıralı bitsel toplamanın başka bir yolu ikinci terimin en yüksek rakamının birinci terimin en yüksek rakamına eklenmesi, ardından ikinci terimin bir sonraki rakamının birinci terimin bir sonraki rakamına eklenmesi vb.'den oluşur.

Verilen örneği kullanarak bu çözümü ele alalım, şunu elde ederiz:

5 000 + 3 000 = 8 000;

200 + 500 = 700;

Cevap: 8851.

Yuvarlak sayı yöntemi . Bir rakamı anlamlı olan ve bir veya daha fazla sıfırla biten sayılara yuvarlak sayı denir. Bu yöntem, iki veya daha fazla terimden yuvarlak bir sayı oluşturacak şekilde tamamlanabilenleri seçebildiğinizde kullanılır. Yuvarlak sayı ile hesaplama koşulunda belirtilen sayı arasındaki farka tümleyen denir. Örneğin 1.000 - 978 = 22. Bu durumda 22 sayısı, 978'in 1.000'e aritmetik eklenmesidir.

Yuvarlak sayı yöntemini kullanarak toplama işlemini gerçekleştirmek için, bir veya daha fazla terimi yuvarlak sayılara yakın yuvarlamanız, yuvarlak sayıların toplamasını yapmanız ve elde edilen toplamdan aritmetik toplamaları çıkarmanız gerekir.

Örnek. 1,238 ve 193 sayılarının toplamını yuvarlak sayı yöntemini kullanarak bulalım.

Çözüm. 193 sayısını 200'e yuvarlayıp şu şekilde toplayalım: 1,238 + 193 = (1,238 + 200) - 7 = 1,431.(kombinasyon kanunu)

Terimleri gruplama yöntemi . Bu yöntem, terimlerin birlikte gruplandırıldığında yuvarlak sayılar vermesi ve daha sonra birbirine eklenmesi durumunda kullanılır.

Örnek. 74, 32, 67, 48, 33 ve 26 sayılarının toplamını bulalım.

Çözüm. Gruplandırılan sayıları şu şekilde toplayalım: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

(birleşimsel-değişmeli yasa)

veya sayıları gruplandırdığınızda eşit toplamlar elde edilir:

Örnek:1+2+3+4+5+…+97+98+99+100= (1+100)+(2+99)+(3+98)+…=101x50=5050

(birleşimsel-değişmeli yasa)

II. Sayıların basitleştirilmiş çıkarma teknikleri

Ardışık bitsel çıkarma yöntemi. Bu yöntem, eksilen sayıdan çıkarılan her rakamı sırayla çıkarır. Sayıların yuvarlanamadığı durumlarda kullanılır.

Örnek. 721 ile 398 sayıları arasındaki farkı bulalım.

Çözüm. Verilen sayıların farkını bulma adımlarını aşağıdaki sırayla gerçekleştirelim:

398 sayısını toplam olarak düşünelim: 300 + 90 + 8 = 398;

Bitsel çıkarma işlemi yapalım:

721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

Yuvarlak sayı yöntemi . Bu yöntem, çıkarılan sayının yuvarlak bir sayıya yakın olması durumunda kullanılır. Hesaplamak için, yuvarlak sayı olarak alınan çıkanı eksiden çıkarmak ve elde edilen farka aritmetik toplamayı eklemek gerekir.

Örnek. 235 ve 197 sayıları arasındaki farkı yuvarlak sayı yöntemini kullanarak hesaplayalım.

Çözüm. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

III. Sayıların basitleştirilmiş çarpma teknikleri

Bir ile ve ardından sıfırlarla çarpın. Bir sayıyı, ardından sıfır gelen bir sayıyla (10; 100; 1.000 vb.) çarparken, sağ tarafa birden sonraki faktördeki sıfır sayısı kadar sıfır eklenir.

Örnek. 568 ile 100 sayılarının çarpımını bulalım.

Çözüm. 568 x 100 = 56.800.

Sıralı bitsel çarpma yöntemi . Bu yöntem, bir sayıyı herhangi bir tek basamaklı sayıyla çarparken kullanılır. İki basamaklı (üç, dört basamaklı vb.) bir sayıyı tek basamaklı bir sayıyla çarpmanız gerekiyorsa, önce tek basamaklı faktör başka bir faktörün onlarcasıyla, ardından birimleriyle çarpılır ve elde edilen ürünler toplanır.

Örnek. 39 ve 7 sayılarının çarpımını bulalım.

Çözüm. 39 x 7 = (30+9) x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273. (toplamaya göre çarpmanın dağılım yasası)

Yuvarlak sayı yöntemi . Bu yöntem yalnızca faktörlerden birinin yuvarlak bir sayıya yakın olması durumunda kullanılır. Çarpan yuvarlak bir sayıyla çarpılır, ardından aritmetik toplama yapılır ve sonunda ikinci, birinci çarpımdan çıkarılır.

Örnek. 174 ile 69 sayılarının çarpımını bulalım.

174 x 69 =174 x (70-1) =174 x 70 - 174 x 1 = 12,180 - 174 = 12,006 (çıkarmaya göre çarpmanın dağılım yasası)

Faktörlerden birinin ayrıştırılmasına yönelik bir yöntem. Bu yöntemde faktörlerden biri önce parçalara (toplamlara) bölünür, daha sonra ikinci faktör birinci faktörün her bir parçasıyla sırayla çarpılır ve elde edilen sonuçlar toplanır.

Örnek. 13 ile 325 sayılarının çarpımını bulalım.

13 sayısını terimlere ayıralım: 13 = 10 + 3. Ortaya çıkan terimlerin her birini 325 ile çarpın: 10 x 325 = 3,250; 3 x 325 = 975. Ortaya çıkan çarpımları toplarsak: 3,250 + 975 = 4,225

Rasyonel zihinsel hesaplama becerilerinde ustalaşmak işinizi daha etkili hale getirecektir. Bu ancak verilen tüm aritmetik işlemlere iyi derecede hakim olunmasıyla mümkündür. Rasyonel sayma tekniklerinin kullanılması hesaplamaları hızlandırır ve gerekli doğruluğu sağlar. Ancak yalnızca hesaplama yapabilmeniz değil, aynı zamanda çarpım tablosunu, aritmetik işlem yasalarını, sınıfları ve dereceleri de bilmeniz gerekir.

Sözlü olarak hızlı ve rasyonel bir şekilde saymanızı sağlayan zihinsel sayma sistemleri vardır. En sık kullanılan tekniklerden bazılarına bakacağız.

1. İki basamaklı bir sayıyı 11 ile çarpmak.

Bu yöntemi inceledik ancak tam olarak incelemedik Bu yöntemin sırrı aritmetik işlem kanunları olarak kabul edilebilmesidir.

Örnekler:

23x11= 23x(10+1) = 23x10+23x1=253 (toplamaya göre çarpmanın dağılım yasası)

23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (dağılım yasası ve yuvarlak sayı yöntemi)

Bu yöntemi inceledik ama başka bir yöntem bilmiyorduk İki basamaklı sayıları 11 ile çarpmanın sırrı.

İki basamaklı sayıları 11 ile çarparken elde edilen sonuçları incelerken cevaba ulaşmanın daha kolay bir yolu olduğunu fark ettim. : İki basamaklı bir sayı 11 ile çarpılırken bu sayının rakamları birbirinden ayrılır ve bu rakamların toplamı ortaya konur.

a) 23 11=253, çünkü 2+3=5;

b) 45 11=495, çünkü 4+5=9;

c) 57 11=627, çünkü 5+7=12, ortada ikisi yer alıyor ve yüzler basamağının başına bir ekleniyor;

d) 78 11=858, 7+8=15 olduğuna göre onlar sayısı 5'e, yüzler sayısı ise bir artarak 8'e eşit olacaktır.

İnternette bu yöntemin onayını buldum.

2) Onlarca basamağı aynı olan iki basamaklı sayıların birimlerinin toplamı 10 yani 23 27; 34 36; 52 58 vb.

Kural: Doğal seride onlar basamağı bir sonraki basamakla çarpılır, sonuç yazılır ve buna birimlerin çarpımı eklenir.

a) 23 27=621. 621’i nasıl buldun? 2 sayısını 3 ile çarpıyoruz (“iki”nin ardından “üç” geliyor), 6 oluyor ve yanına birlerin çarpımını ekliyoruz: 3 7 = 21, 621 çıkıyor.

b) 34 36 = 1224, 3 4 = 12 olduğundan 12 sayısına 24 atadık, bu sayıların birimlerinin çarpımı: 4 6.

c) 52 58 = 3016, onlar basamağı 5'i 6 ile çarptığımız için 30 olacaktır, 2 ile 8'in çarpımını yani 16'yı atadık.

d) 61 69=4209. 6'yı 7 ile çarptığımızda 42 elde ettiğimiz açık. Sıfır nereden geliyor? Birimler çarpıldı ve şunu elde ettik: 1 9 = 9, ancak sonuç iki basamaklı olmalı, bu yüzden 09 alıyoruz.

3) Rakamları aynı olan üç basamaklı sayıları 37 sayısına bölün. Sonuç, üç basamaklı sayının (veya üç basamaklı sayının rakamının üç katına eşit olan sayının) bu aynı rakamların toplamına eşittir.

Örnekler: a) 222:37=6. Bu 2+2+2=6 toplamıdır; b) 333:37=9, çünkü 3+3+3=9.

c) 777:37=21, yani 7+7+7=21.

d) 888:37=24, çünkü 8+8+8=24.

Ayrıca 888:24=37'yi de dikkate alıyoruz.

III. Çözüm

Çalışmamın konusundaki ana sırrı çözmek için çok çalışmak zorunda kaldım - araştırmak, bilgiyi analiz etmek, sınıf arkadaşlarımı araştırmak, bilinen ilk yöntemleri tekrarlamak ve birçok alışılmadık rasyonel hesaplama yöntemini bulmak ve sonunda anlamak zorunda kaldım. onun sırrı nedir? Ve asıl meselenin bilinenleri bilmek ve uygulayabilmek, yeni rasyonel sayma yöntemleri, çarpım tablosu, sayıların bileşimi (sınıflar ve rütbeler), aritmetik işlem yasalarını bulmak olduğunu fark ettim. Ayrıca,

yeni yollar arayın:

- Sayıların basitleştirilmiş şekilde toplanmasına yönelik teknikler: (sıralı bitsel toplama yöntemi; yuvarlak sayı yöntemi; faktörlerden birini terimlere ayırma yöntemi);

-Sayıların basitleştirilmiş çıkarma teknikleri(sıralı bitsel çıkarma yöntemi; yuvarlak sayı yöntemi);

-Sayıların basitleştirilmiş çarpma teknikleri(bir ile çarpma ve ardından sıfır; ardışık bitsel çarpma yöntemi; yuvarlak sayı yöntemi; faktörlerden birini ayrıştırma yöntemi ;

- Hızlı zihinsel saymanın sırları(İki basamaklı bir sayının 11 ile çarpılması: İki basamaklı bir sayı 11 ile çarpılırken bu sayının rakamları birbirinden ayrılır ve bu rakamların toplamı ortaya konur; iki basamaklı sayıların çarpımı aynı onluk sayı ve birlerin toplamı 10; Aynı rakamlardan oluşan üç basamaklı sayıların 37 sayısına bölünmesi. Bunun gibi daha birçok yol vardır herhalde, bundan sonra bu konu üzerinde çalışmaya devam edeceğim. yıl.

IV. Kaynakça

1. Savin A.P. Matematiksel minyatürler / A.P. Savin. – M.: Çocuk edebiyatı, 1991

2. Zubareva I.I., Matematik, 5. sınıf: genel eğitim kurumlarının öğrencileri için bir ders kitabı / I.I. Zubareva, A.G. Mordkoviç. – M.: Mnemosyne, 2011

4.http:///www. xreferat.ru

5.http:///www. biyografia.ru

6.http:///www. Matematik-tekrar. ru

V. Uygulamalar

Mini çalışma (anket şeklinde anket)

Öğrencilerin rasyonel sayma konusundaki bilgilerini belirlemek için aşağıdaki soruları içeren anket şeklinde bir anket yaptım:

* Rasyonel sayma tekniklerinin ne olduğunu biliyor musunuz?

* Evetse nereden, değilse neden?

* Rasyonel saymanın kaç yolunu biliyorsunuz?

* Zihinsel hesaplamalarda zorluk mu yaşıyorsunuz?

* Matematiğe nasıl çalışıyorsunuz? a) “5”e kadar; b) “4”e kadar; c) “3”e kadar

*Matematikle ilgili en çok neyi seviyorsunuz?

a) örnekler; b) görevler; c) kesirler

* Sizce zihinsel aritmetiğin matematik dışında nerede yararlı olabileceğini düşünüyorsunuz? *Aritmetik işlem yasalarını hatırlıyor musunuz, eğer öyleyse hangilerini?

Bir anket yaptıktan sonra sınıf arkadaşlarımın aritmetik işlem kanunları hakkında yeterince bilgi sahibi olmadıklarını, çoğunun rasyonel sayma konusunda sorun yaşadığını, birçok öğrencinin yavaş ve hatalı saydığını ve herkesin hızlı, doğru ve doğru saymayı öğrenmek istediğini fark ettim. uygun bir şekilde. Bu nedenle araştırma çalışmamın konusu sadece öğrenciler için değil tüm öğrenciler için son derece önemlidir.

1. “Matematik, 5. sınıf” ders kitabından örnekler kullanarak matematik derslerinde incelediğimiz ilginç sözlü ve yazılı hesaplama yöntemleri:

Bunlardan bazıları:

bir sayıyı hızlı bir şekilde 5 ile çarpmak 5=10:2 olduğunu not etmek yeterlidir.

Örneğin, 43x5=(43x10):2=430:2=215;

48x5=(48:2)x10=24x10=240.

Bir sayıyı 50 ile çarpmak için 100 ile çarpıp 2'ye bölebilirsiniz.

Örneğin: 122x50=(122x100):2=12200:2=6100

Bir sayıyı 25 ile çarpmak için 100 ile çarpıp 4'e bölebilirsiniz,

Örneğin, 32x25=(32 x 100):4=3200:4=800

Bir sayıyı 125 ile çarpmak için 1000 ile çarpıp 8'e bölebilirsiniz,

Örneğin: 192x125=(192x1000):8=192000:8=24000

Sonunda iki 0 olan yuvarlak bir sayıyı 25'e bölmek için 100'e bölüp 4 ile çarpabilirsiniz.

Örneğin: 2400:25=(2400:100) x 4=24 x 4=96

Yuvarlak bir sayıyı 50'ye bölmek için 100'e bölünüp 2 ile çarpılabilir

Örneğin: 4500:50=(4500:100) x 2 =45 x 2 =90

Ancak yalnızca hesaplama yapabilmeniz değil, aynı zamanda çarpım tablosunu, aritmetik işlem yasalarını, sayıların bileşimini (sınıflar ve rakamlar) bilmeniz ve bunları kullanma becerisine sahip olmanız da gerekir.

Aritmetik işlem yasaları.

A + B = B + A

Değişmeli toplama kanunu

(A + B) + C = A + (B + C)

Kombinasyon toplama kanunu

A · B = B · A

Değişmeli çarpma kanunu

(A · B) · C = A · (B · C)

Kombinatif çarpma kanunu

(A = B) · C = A · C = B · C

Çarpmanın dağıtım yasası (toplamaya göre)

Çarpım tablosu.

Çarpma nedir?

Bu akıllıca bir eklentidir.

Sonuçta, katları çarpmak daha akıllıcadır,

Daha sonra her şeyi bir saatliğine toplayın.

Çarpım tablosu

Hepimizin hayatımızda buna ihtiyacı var.

Ve boşuna çağrılmadı

ÇOĞALDI!

Rütbe ve sınıflar

Büyük değerlere sahip sayıları okumayı ve hatırlamayı kolaylaştırmak için, bunlar "sınıflara" bölünmelidir: sağdan başlayarak, sayı bir boşlukla üç basamaklı "birinci sınıf", sonra başka bir sayıya bölünür. üç hane seçilir, “ikinci sınıf” vb. Sayının anlamına bağlı olarak son sınıf üç, iki veya bir rakamla bitebilir.

Örneğin 35461298 sayısı şu şekilde yazılır:

Bu sayı sınıflara ayrılmıştır:

482 - birinci sınıf (birim sınıfı)

630 – ikinci sınıf (binlerce sınıf)

35 – üçüncü sınıf (milyonlar sınıfı)

Deşarj

Sınıfta yer alan rakamların her birine kendi rakamı denir ve bunlar da sağdan sayılır.

Örneğin, 35.630.482 sayısı sınıflara ve rütbelere ayrılabilir:

482 – birinci sınıf

2 – ilk rakam (birimler rakamı)

8 – ikinci rakam (onlar basamağı)

4 – üçüncü rakam (yüzler basamağı)

630 – ikinci sınıf

0 – ilk rakam (binler basamağı)

3 – ikinci rakam (onbinler basamağı)

6 – üçüncü hane (yüzbinler hanesi)

35 – üçüncü sınıf

5 – ilk rakam (milyonlar basamağı)

3 – ikinci rakam (on milyonlar rakamı)

35.630.482 sayısı şöyle okunur:

Otuz beş milyon altı yüz otuz bin dört yüz seksen iki.

Rasyonel saymayla ilgili sorunlar ve bunların nasıl çözüleceği

Rasyonel ezberleme yöntemleri.

Anket ve ders gözlemleri sonucunda bazı öğrencilerin rasyonel hesaplama yöntemlerine aşina olmadıkları için çeşitli problemleri ve alıştırmaları iyi çözemediklerini fark ettim.

1. Tekniklerden biri, çalışılan materyali ezberlemeye ve hafızada saklamaya uygun bir sisteme getirmektir.

2. Ezberlenen materyalin belli bir sistemde hafızaya kaydedilmesi için içeriği üzerinde bazı çalışmalar yapılması gerekmektedir.

3. Daha sonra metnin her bir bölümünü özümsemeye, yeniden okumaya ve okuduklarınızı hemen yeniden üretmeye (kendi kendinize veya yüksek sesle tekrarlamaya) başlayabilirsiniz.

4. Ezberleme için materyalin tekrarı büyük önem taşımaktadır. Popüler atasözü bundan bahseder: "Tekrar öğrenmenin anasıdır." Ancak akıllıca ve doğru bir şekilde tekrarlanması gerekir.

Tekrar çalışması, daha önce var olmayan veya unutulmuş illüstrasyonlar veya örnekler kullanılarak canlandırılmalıdır.

Yukarıdakilere dayanarak, eğitim materyallerine başarılı bir şekilde hakim olmak için aşağıdaki önerileri kısaca formüle edebiliriz:

1. Bir görev belirleyin, eğitim materyalini uzun süre hızlı ve kesin bir şekilde hatırlayın.

2. Neyin öğrenilmesi gerektiğine odaklanın.

3. Çalışma materyalini iyi anlayın.

4. Ezberlenen metin için, içindeki ana düşünceleri vurgulayarak bir plan yapın ve metni parçalara ayırın.

5. Malzeme büyükse, sırayla birbiri ardına çalışın ve ardından her şeyi bir bütün olarak sunun.

6. Materyali okuduktan sonra çoğaltmanız gerekir (ne okuduğunuzu söyleyin).

7. Materyali unutmadan tekrarlayın.

8. Tekrarı daha uzun bir zamana dağıtın.

9. Ezberlerken farklı hafıza türlerini (öncelikle anlamsal) ve hafızanızın bazı bireysel özelliklerini (görsel, işitsel veya motor) kullanın.

10. Zor materyaller yatmadan önce ve sabahları "taze hafıza için" tekrarlanmalıdır.

11. Edinilen bilgileri pratikte uygulamaya çalışın. Onları hafızada tutmanın en iyi yolu budur (şunu söylemeleri boşuna değil: "Öğrenmenin gerçek anası tekrar değil, uygulamadır").

12. Daha fazla bilgi edinmemiz, yeni bir şeyler öğrenmemiz gerekiyor.

Artık incelediğiniz materyali nasıl hızlı ve doğru bir şekilde hatırlayacağınızı öğrendiniz.

Bazı sayıları 9 ile çarpmanın yanı sıra 2'den 10'a kadar ardışık doğal sayıları toplamaya yönelik ilginç bir teknik

12345x9+6=111111

123456x9+7=1111111

1234567x9+8=11111111

12345678x9+9=111111111

123456789x9+10=1111111111

İlginç oyun “Sayıyı tahmin et”

"Sayıyı Tahmin Et" oyununu oynadınız mı? Bu çok basit bir oyundur. Diyelim ki aklıma 100'den küçük bir doğal sayı geliyor, bunu bir kağıda yazıp (hile yapma ihtimaliniz olmasın) siz de sadece "evet" veya "hayır" şeklinde cevaplanabilecek sorular sorarak tahmin etmeye çalışıyorsunuz. Sonra sen bir sayı tahmin et, ben de tahmin etmeye çalışıyorum. Daha az soruda doğru tahminde bulunan kazanır.

Numaramı tahmin etmen için kaç soru sorman gerekecek? Bilmemek? Sadece yedi soru sorarak numaranızı tahmin etmeyi taahhüt ediyorum. Nasıl? Örneğin şu şekilde. Bir sayı tahmin etmenizi sağlar. Soruyorum: “64'ten az mı?” - "Evet". - “32'den az mı?” - "Evet". - “16'dan az mı?” - "Evet". - “8'den az mı?” - "HAYIR". - "12'den az mı?" - "HAYIR". - “14'ten az mı?” - "Evet". - “13'ten az mı?” - "HAYIR". - “13 sayısı planlanıyor.”

Apaçık? Olası sayılar kümesini ikiye bölüyorum, sonra kalan yarıyı tekrar ikiye bölüyorum ve geri kalan bir sayı içerene kadar bu şekilde devam ediyorum.

Oyunu beğendiyseniz veya tam tersine daha fazlasını istiyorsanız kütüphaneye gidin ve “A. P. Savin (Matematiksel minyatürler). Bu kitapta pek çok ilginç ve heyecan verici şey bulacaksınız. Kitap resmi:

İlginiz için herkese teşekkürler

Ve size başarılar diliyorum!!!

İndirmek:

Ön izleme:

Sunum önizlemelerini kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve bu hesaba giriş yapın: https://accounts.google.com

Slayt başlıkları:

Rasyonel saymanın sırrı nedir?

Çalışmanın amacı: bilgi aramak, rasyonel muhasebenin mevcut yöntem ve tekniklerini incelemek, bunları pratikte uygulamak.

görevler: 1. Paralel sınıflar arasında anket şeklinde bir mini araştırma yapın. 2. Araştırma konusunu analiz edin: okul kütüphanesinde mevcut literatür, 5. sınıf matematik ders kitabındaki bilgiler ve internette. 3. Rasyonel saymanın en etkili yöntem ve araçlarını seçin. 4. Hızlı sözlü ve yazılı sayma için mevcut teknikleri sınıflandırabilecektir. 5. 5.sınıf paralelliklerinde kullanmak üzere rasyonel sayma tekniklerini içeren notlar oluşturun.

Daha önce de söylediğim gibi rasyonel hesaplama konusu sadece öğrencileri değil her insanı ilgilendiriyor, bundan emin olmak için 5. sınıf öğrencileri arasında bir anket yaptım. Ankette yer alan soru ve yanıtlar ekte tarafınıza sunulmaktadır.

Rasyonel sayma nedir? Rasyonel hesap uygun hesaptır (rasyonel kelimesi uygun, doğru anlamına gelir)

Öğrenciler neden zorluk yaşıyor???

İşte bazı varsayımlar: Öğrenci: 1. Çalışılan konuyu yeterince anlamamıştır; 2. materyali tekrarlamaz; 3. Sayısal beceriler zayıftır; 4. ihtiyacı olmayacağına inanıyor.

Sözlü ve yazılı hesaplamaların rasyonel yöntemleri. İş ve günlük yaşamda sürekli olarak çeşitli hesaplama türlerine ihtiyaç duyulmaktadır. En basit zihinsel sayma yöntemlerini kullanmak yorgunluğu azaltır, dikkati ve hafızayı geliştirir.

Hesaplamaları hızlandırabilecek bilinen dört toplama yöntemi vardır. I. Sayıların basitleştirilmiş şekilde toplanmasına yönelik teknikler

Sıralı bitsel toplama yöntemi, terimlerin toplamını basitleştirdiği ve hızlandırdığı için zihinsel hesaplamalarda kullanılır. Bu yöntemi kullanırken toplama işlemi en yüksek rakamlardan başlar: ikinci toplananın karşılık gelen rakamları ilk toplanana eklenir. Örnek. Bu yöntemi kullanarak 5287 ve 3564 sayılarının toplamını bulalım. Çözüm. Hesaplamayı şu sırayla yapacağız: 5.287 + 3.000 = 8.287; 8,287 + 500 = 8,787; 8,787 + 60 = 8,847; 8847 + 4 = 8851. Cevap: 8.851.

Sıralı bitsel toplamanın başka bir yolu, ikinci toplananın en yüksek rakamının birinci toplananın en yüksek rakamına eklenmesi, ardından ikinci toplananın bir sonraki rakamının birinci toplananın bir sonraki rakamına eklenmesi vb. Verilen örneği kullanarak bu çözümü ele alalım, şunu elde ederiz: 5.000 + 3.000 = 8.000; 200 + 500 = 700; 80 + 60 = 140; 7 + 4 = 11 Cevap: 8851.

Yuvarlak sayı yöntemi. Bir veya daha fazla sıfırla biten sayılara yuvarlak sayı denir. Bu yöntem, iki veya daha fazla terimden yuvarlak bir sayı oluşturacak şekilde tamamlanabilenleri seçebildiğinizde kullanılır. Yuvarlak sayı ile hesaplama koşulunda belirtilen sayı arasındaki farka tümleyen denir. Örneğin 1.000 - 978 = 22. Bu durumda 22 sayısı, 978 sayısının 1.000'e aritmetik eklenmesidir. Yuvarlak sayı yöntemini kullanarak toplama işlemini gerçekleştirmek için, bir veya daha fazla terimi yuvarlak sayılara yakın yuvarlamanız, yuvarlak sayıların toplamasını yapmanız ve elde edilen toplamdan aritmetik toplamaları çıkarmanız gerekir. Örnek. 1,238 ve 193 sayılarının toplamını yuvarlak sayı yöntemini kullanarak bulalım. Çözüm. 193 sayısını 200'e yuvarlayıp toplama işlemini şu şekilde yapalım: 1,238 + 193 = (1,238 + 200) - 7 = 1,431.

Terimleri gruplandırma yöntemi. Bu yöntem, terimlerin birlikte gruplandırıldığında yuvarlak sayılar vermesi ve daha sonra birbirine eklenmesi durumunda kullanılır. Örnek. 74, 32, 67, 48, 33 ve 26 sayılarının toplamını bulun. Çözüm. Gruplandırılan sayıları şu şekilde toplayalım: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

Terimlerin gruplandırılmasına dayalı bir toplama yöntemi. Örnek: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…….+97+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)= 101x50=5050.

II. Sayıların basitleştirilmiş çıkarma teknikleri

Ardışık bitsel çıkarma yöntemi. Bu yöntem, eksilen sayıdan çıkarılan her rakamı sırayla çıkarır. Sayıların yuvarlanamadığı durumlarda kullanılır. Örnek. 721 ile 398 sayıları arasındaki farkı bulalım. Verilen sayılar arasındaki farkı bulma adımlarını şu sırayla gerçekleştirelim: 398 sayısını toplam olarak hayal edin: 300 + 90 + 8 = 398; Bitsel çıkarma işlemi yapalım: 721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

Yuvarlak sayı yöntemi. Bu yöntem, çıkarılan sayının yuvarlak bir sayıya yakın olması durumunda kullanılır. Hesaplamak için, yuvarlak sayı olarak alınan çıkanı eksiden çıkarmak ve elde edilen farka aritmetik toplamayı eklemek gerekir. Örnek. 235 ve 197 sayıları arasındaki farkı yuvarlak sayı yöntemini kullanarak hesaplayalım. Çözüm. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

III. Sayıların basitleştirilmiş çarpma teknikleri

Bir ile ve ardından sıfırlarla çarpın. Bir sayıyı, ardından sıfır gelen bir sayıyla (10; 100; 1.000 vb.) çarparken, birden sonraki faktörde ne kadar sıfır varsa sağa eklenir. Örnek. 568 ile 100 sayılarının çarpımını bulalım. Çözüm. 568 x 100 = 56.800.

Ardışık bitsel çarpma yöntemi. Bu yöntem, bir sayıyı herhangi bir tek basamaklı sayıyla çarparken kullanılır. İki basamaklı (üç, dört basamaklı vb.) bir sayıyı tek basamaklı bir sayıyla çarpmak gerekiyorsa önce çarpanlardan biri diğerinin onlukları, sonra birimleri ve çarpanlarla çarpılır. elde edilen ürünler toplanır. Örnek. 39 ve 7 sayılarının çarpımını bulalım. Çözüm. 39x7 = (30x7) + (9x7) = 210 + 63 = 273.

Yuvarlak sayı yöntemi. Bu yöntem yalnızca faktörlerden birinin yuvarlak bir sayıya yakın olması durumunda kullanılır. Çarpan yuvarlak bir sayıyla çarpılır, ardından aritmetik toplama yapılır ve sonunda ikinci, birinci çarpımdan çıkarılır. Örnek. 174 ile 69 sayılarının çarpımını bulalım. Çözüm. 174x69 = (174x70) - (174x1) = 12.180 - 174 = 12.006.

Faktörlerden birinin ayrıştırılmasına yönelik bir yöntem. Bu yöntemde faktörlerden biri önce parçalara (toplamlara) bölünür, daha sonra ikinci faktör birinci faktörün her bir parçasıyla sırayla çarpılır ve elde edilen sonuçlar toplanır. Örnek. 13 ile 325 sayılarının çarpımını bulalım. Çözüm. Sayıyı terimlere ayıralım: 13 = 10 + 3. Ortaya çıkan terimlerin her birini 325 ile çarpın: 10 x 325 = 3,250; 3 x 325 = 975 Ortaya çıkan çarpımları toplarsak: 3,250 + 975 = 4,225.

Hızlı zihinsel hesaplamanın sırları. Sözlü olarak hızlı ve rasyonel bir şekilde saymanızı sağlayan zihinsel sayma sistemleri vardır. En sık kullanılan tekniklerden bazılarına bakacağız.

İki basamaklı bir sayıyı 11 ile çarpmak.

Örnekler: 23x11= 23x(10+1) = 23x10+23x1=253 (çarpmanın toplamaya göre dağılım yasası) 23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (dağıtım yasası ve yuvarlak sayı yöntemi) Çalıştık Bu yöntem ama iki basamaklı sayıları 11 ile çarpmanın başka bir sırrını bilmiyorduk.

İki basamaklı sayıları 11 ile çarparken elde edilen sonuçları inceleyerek cevaba daha rahat ulaşabileceğinizi fark ettim: İki basamaklı bir sayıyı 11 ile çarparken bu sayının rakamları birbirinden ayrılır ve bunların toplamı rakamlar ortasına konur. Örnekler. a) 23 11=253, çünkü 2+3=5; b) 45 11=495, çünkü 4+5=9; c) 57 11=627, çünkü 5+7=12, ortada ikisi yer alıyor ve yüzler basamağının başına bir ekleniyor; İnternette bu yöntemin onayını buldum.

2) Onlarca basamağı aynı olan iki basamaklı sayıların birimleri toplamı ile çarpımı 10 yani 23 27; 34 36; 52 58 vb. Kural: Doğal seride onlar basamağı bir sonraki basamakla çarpılır, sonuç yazılır ve buna birimlerin çarpımı eklenir. Örnekler. a) 23 27=621. 621’i nasıl buldun? 2 sayısını 3 ile çarpıyoruz (“iki”nin ardından “üç” geliyor), 6 oluyor ve yanına birlerin çarpımını ekliyoruz: 3 7 = 21, 621 çıkıyor. b) 34 36 = 1224, 3 4 = 12 olduğundan 12 sayısına 24 atadık, bu sayıların birimlerinin çarpımı: 4 6.

3) Rakamları aynı olan üç basamaklı sayıların 37 sayısına bölünmesi. Sonuç, üç basamaklı bir sayının (veya üç basamaklı bir sayının rakamının üç katına eşit bir sayının) bu aynı rakamların toplamına eşittir. Örnekler. a) 222:37=6. Bu 2+2+2=6 toplamıdır. b) 333:37=9, çünkü 3+3+3=9. c) 777:37=21, yani 7+7+7=21. d) 888:37=24, çünkü 8+8+8=24. Ayrıca 888:24=37'yi de dikkate alıyoruz.

Rasyonel zihinsel hesaplama becerilerinde ustalaşmak işinizi daha etkili hale getirecektir. Bu ancak verilen tüm aritmetik işlemlere iyi derecede hakim olunmasıyla mümkündür. Rasyonel sayma tekniklerinin kullanılması hesaplamaları hızlandırır ve gerekli doğruluğu sağlar.

Sonuç Çalışmamın konusundaki ana sırrı çözmek için çok çalışmak zorunda kaldım - araştırmak, bilgiyi analiz etmek, sınıf arkadaşlarımı araştırmak, bilinen eski yöntemleri tekrarlamak ve birçok alışılmadık rasyonel hesaplama yöntemini bulmak ve sonunda sırrının ne olduğunu anlamak zorunda kaldım. Ve asıl meselenin bilinenleri bilmek ve uygulayabilmek, yeni rasyonel sayma yöntemleri bulmak, çarpım tablosunu, sayıların bileşimini (sınıflar ve rütbeler), aritmetik işlem yasalarını bilmek olduğunu fark ettim. Ayrıca yeni yollar arayın:

Sayıların basitleştirilmiş toplama teknikleri: (sıralı bitsel toplama yöntemi; yuvarlak sayı yöntemi; faktörlerden birini terimlere ayırma yöntemi); - Sayıların basitleştirilmiş çıkarma teknikleri (sıralı bitsel çıkarma yöntemi; yuvarlak sayı yöntemi); - Sayıların basitleştirilmiş çarpımı için teknikler (birle ve ardından sıfırlarla çarpma; sıralı bitsel çarpma yöntemi; yuvarlak sayı yöntemi; faktörlerden birini ayrıştırma yöntemi; - Hızlı zihinsel hesaplamanın sırları (iki basamaklı bir sayıyı bir sayıyla çarpma) 11: İki basamaklı bir sayı 11 ile çarpılırken bu sayının rakamları birbirinden ayrılır ve ortaya bu rakamların toplamı, onlar sayısı aynı olan iki basamaklı sayıların çarpımı ve toplamı yazılır. Birim sayısı 10; Aynı rakamlardan oluşan üç basamaklı sayıların 37 sayısına bölümü. Bunun gibi daha pek çok yöntem vardır muhtemelen, o yüzden gelecek yıl bu konu üzerinde çalışmaya devam edeceğim.

Sonuç olarak konuşmamı şu sözlerle bitirmek istiyorum:

İlginiz için hepinize teşekkür ederim, başarılar dilerim!!!